Xin giới thiệu một sô bài toán Hình học không gian được giải bằng phương pháp tọa độ.. Một = ` = cho Ithi bài thường gặp là tính tọa độ các đỉnh, v i â plurơng trình: các đường thăng h
Trang 1Iuyén chon theo chuyén dé
TOAN HOC
TUOITRE &
Phin 4: Hinh hee gidi lich
Giải toán hình không gian bằng phương
pháp tọa độ Các bài toán hình giải tích luyện thị đại học
https: / /www.facebook.com /tusachtructuyen
Trang 2° rong cac dé thi tuyén sinh Dai hoc, Cao dang
cho ki thi Thyc té cho thay nhiéu thí sinh gặp khó khăn
trong việc xác định các môi quan hệ giữa đường tot n hiê THPT thăng và đường thăng, đường thăng và mặt
6 gniep phang: xác định khoảng cách giữa điêm và mặt
\ va thi vao phăng diém va đường thăng, đặc biệt là khoảng
~~ Đaihoc cách giữa hai đường thăng chéo nhau Sử dụng
= = phương pháp toạ độ là một giai phap tot dé khắc
phục khó khăn đó, nhất là với những học sinh gidi
đại sô nhưng lại ngại Hình học không gian Xin giới thiệu một sô bài toán Hình học không gian được giải
bằng phương pháp tọa độ giúp các bạn ôn thi có hiệu quả
PANG PHUONG DHñP TOA ĐỘ
) PHUNG HONG KON (GVš#ường THPT Phan Đình Phùng, Hà Nội) t0)
(Đề thì tuyến sinh Dai hoc, Cao dang £%) Tim m để độ đài đoạn thẳng IJ nhỏ nhất,
pm %hi đó hãy chứng mảnh IJ là đường vuông góc
Hướng dân a) Lập hệ trục toạ độ như hình 1 chưng cua AD’ va BD
Ta có toạ độ các điềm 4(0;0;0); 4'(0;0:a); ; =Huong dan a) Lập hệ trục toạ độ như hình 2
https: / /www.facebook.cormn/tusachtructuyen ¡
Trang 3€ỀBài toán 3 Cho hình chép S ABCD có
đáy là hình vuông: canh a, mat bén (SAD) là
tam gidc déu va nam trong mặt phẳng vuông
góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
các cạnh SB, BC, CD Chứng mình AM vuông
góc với BP và tính thể tích khối tứ điện CMNP!
(Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao dang
& Bài toán 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy
là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy
ABCD Goi I là trung điểm BC, ï là điểm
thuộc cạnh DC sao cho DĨ = x Tìm x để:
số đo bằng 609
Hướng dán
Lập hệ trục toạ độ gốc Ó = A, tục Ox chứa 45, tục Oy chứa 4D, trục z chứa 4S (h 4)
=© Bài toán 5, Cho hình chóp S.ABC_' có đáy là
‹ yam giác vuông cán ABC dinh A, BC = a,
¿5B = a và vuông góc với đáy Gọi M, N lần
“Sluot la trung điểm của các cạnh SA và BC
ŒW ính:
oe) 2a) Dé dai doan thang MN
Kab) cos( BA, MN)
~ Oo) Khodng cach gitta hai duéng thang MN va AB
Trang 4ABCD.A’B’C’D’ canh a Goi I, J lan lượt là & Bai toan 6 Cho hinh lap phương : A 2 2 a 0Ì:B &.2.6 :C 74.4.9) 22 2 2
trung diém của các cạnh A'D` và BB'
a) Chứng minh IÏ vuông góc với AC
b) Tinh dién tích tam giác lJC
trục Ox chứa 4, trục Óy chứa 4D, trục Oz
+ Bai 1 Cho lang tu ABC.A’B'C’ c6 do đài
“rscanh bén bang 2a, đáy ABC là tam giác vuông
“tai A, AB = a, AC = ay3 va hinh chiéu
3 vuông góc của đỉnh A’ trén mat phang (ABC)
£3 là trung điểm của canh BC Tinh theo a thé tích khối chóp A'.ABC và tính côsin của góc
# giữa hai đường thang AA’, B’C’
(Dé thi tuyén sinh Dai hoc, Cao dang khối A năm 2008)
& Bà ài toán 7 Cho hình chó öo hình chóp tứ giác eu đi “gy Bai 2 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA=a, SB = ay3 va S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên
cũng bằng a Gọi M, N lần lượt là trung điểm ` Tãt phang (SAB) vuông góc voi mat phang
các canh SA và BE Tính: đáy Gọi Ä, ý lân lượt là trung điêm của các
5 Dé đài đ thẳng MN cạnh AB, BC Tinh theo a the tích của khối
k oo — ne San chóp S.BMDN và tính côsin của góc giữa hai
ƒ RE p0 v6va, đường thẳng SM, DN
(Đề thị tuyến sinh Dai hoc, Cao dang
ben AA’ = v2 Gọi M là trung điểm của
cạnh ÖC Tính theo z thể tích của khối lãng
tru ABC.A’B’C’ va khoang cach gitta hai dudng thang AM, B’C
(Dé thi tuyén sinh Dai hoc, Cao dang khối B năm 2008)
https://www.facebook.com/tusachtructuyen 3
Trang 5——
Chuan hi học và Cao đẳng hiện nay luôn có một câu
hình học trong mặt phăng tọa độ Một =
` = cho Ithi bài thường gặp là tính tọa độ các đỉnh, v
i â plurơng trình: các đường thăng hoặc đường cong
tot nghiép THPT có liên quan đến một tam giác được xác định
T tong đề thì tuyển sinh vào các trường Đại
va ft ao theo ba diéu kiện cho trước, Chúng ta bắt đầu từ
i mot thi du don giản Sau đó thay đổi các giả thiết
Đại và kết luận, tạo ra các tình huông khác nhau để
= thụ được nhiều dạng bài tập mới khó hơn, thích
hợp với một đề thủ
XÁC BNHCÁC YÊU TOCUA TAMGIAC
„œ6 tréng mat phang toa độ
PHAN CUNG ĐỨC (GV khối THPT chuyên, ĐHKFHITN, ĐHQG Hà Nội)
Lời giải |) Vì 4D đi qua 4(
góc với BC =(-5:-10) nén cényecto phap
l) vuông Loi giải Đề chuẩn bị cho các thí dụ được
phát triển ở phân sau chúng tôi trình bày hai cách giải của thí dụ này
3) Ta viết PT các đường nhẫn giá bằng = {i -1) Goi A’ la diem doi xtmg ctia A
cách tính tọa độ các điểm B a luôn có tỷ Í
BA _ BA _> _ GR uP 7c qua G thi dé dang tính được A(-Sj): Khi đó
Giả sử B›(x:y) lúc đó ta có hệ PT APB fi CC) nên PT A'B la l4x—13y+5] =Ũ
https: / /www.facebook.com /tusachtructuyen
Trang 6Tính toán tương tự ta thu được
*Thí dụ 3 7rên mặt phăng
cho AABC có A(4;-1) và phi
hai đường phân giác :z-1=0
CC,:x-y-1=0 Tinh toa độ các đùnh B, C
lời giải Theo tính chất của đổờng phân
giáo, các điểm đối xứng của a BB› và
CC; đều thuộc 8C Gọi là điểm đối xứng
của A qua CC? thi duéng thang AD; qua A(4
; —l) và vuông góc với ŒC› có gg
phép tuyén n=(;1)
AD,: x+}y~ 3=0 Nếu AD, cấp, tai
thì tọa độ HA, la nghiém của hệ PT
Cent
c =1
* _ => H.Q@:}) °
x+y=3
Vi H; la trung diém AD, nên /30:3)
Tuong ty néu Đ,(x; y) là điểm 2 của 44
qua BB thì D;(—2;—l) Suy ra ong BC
BB, :§x- y—3=0 Tính tọa độ các đỉnh A, B
Lời giải Đường thăng CB qua C(-4:—5) và
vuông góc với 4) nên có vectơ pháp tuyến n(2;-1) => PT CB: 2x-y+3=0 Tọa độ Ð
là nghiệm của hệ PT thee yas <>
=> B(;$)
Giả sử 4(x;w) và Bị; ) thì x+2y—-2=0
và 8x; —w›-3=0 Mặt khác x—4=2x, y-S5=2y, > 8x-y—-33=0
AD nên có vecto phap tuyén n=(2:-l) >
—PT BC: 2x- —y+3=0 Vậy tọa độ C là nghiệm
của hệ PT ase 2x-y=-3 Goi B’la diém déi ximg cba B qua CC; thi BB’ c6 vecto pháp tuyến là m =(1;1) nén PT BB’ la
x+y~—6 =0 Nếu BB’ cit CC tại KŒ ; y) thì
x+y=6 fee
PT đường 4C là PT 8“ : x - 2y - 6 = 0
k suy » xx I#2Ww2 Tọa độ ⁄‡ là nghiệm của hệ
x-2y=6 Suy ra 4(4;— l)
* Thí dụ 6 7rên mặt phẳng tọa độ Oxy cho
AABC có 4d; ~l) và phương trình đường trung tuyến BB, : 8x —y —3 = 0, phương trình
=> C(-4; -5)
= «(3 3Ì: 0) Do đó
https: / /www.facebook.com /tusachtructuyen
Trang 7v
đường phân giác CC; : x — y — 0 Tính
tọa độ các đỉnh B, C
Lời giải Theo Thí dụ 2 nếu chỗ» và trung
tuyến Bữ: ta tính được C(—1 : -5) Theo Thi dụ
3, cho ⁄1 và phân giác CŒ;› tính đượế”?%(1 ; 5)
*Thí dụ 7 7zên mặt phan ~ Ê dd Oxy
cho AABC 0 A(4;-)) và piượn 2 trình
trung tuyến BB,:§x- y—3=0 phương trình
đường phân giác BB); :x—Il=`> Tính tọa
độ các định B, C
Lời giải Tọa độ B là nghiệm oid PT
x-1=0 8x—y—3=0 => Bd:5)
Theo Thí dụ 3, ;(—2;—1) là điệm đối xứng
cua A qua BB, nên PLE dường
cho AABC có B(1 ; 5) và pHữơng trình
đường cao 4D: x + 2y~ 2 =0, đơng trung
tuyén AA, : 2x + lly+3=0 2" tọa độ
các dinh A, C
Lời giải Tọa độ 41 là nghiệm j= PT
wey 2x+lly=-3 =23A(4;-Il) W
Đường thắng ĐC theo Thí dụ 'e6 phương
trình 2v - y + 3 = 0 Tọa độ điểằ 4 (trung
điểm đoạn 8C) là nghiệm của hẹØf
Lập phương trình các cạnh của tam giác đó
3 Lập phương trình cạnh BC của tam giác 4BC biệt 4(2;-l)và các đường phân giác trong của các góc Ö và C lân lượt có phương trình x—2y+l1=0; x+y+3=0
https: / /www.facebook.com /tusachtructuyen
Trang 8——— — Tiến tới kì th Quốc gia Trung hoe phd théng —
Cinh chit hinh hoe
TRONG CAC BAI TOAN
AINH HOC GIAN TICH
NGUYEN VAN HIEN (GV THPT chuyên Lê Quý Đôn, Qudng Tri) LST Từ số 361, tháng 7 năm 2007 chug tôi đã bắt đầu đăng chuyên đề ôn tập theo các chủ điểm Theo dõi đêu đặn các bạn sẽ có bộ tài liệu ôn thi bồ ích để tiễn tới kì thì Quốc gia THPT Xin giới thiệu tiếp chuyên đề số Ò
K hi giải các bài toán hình học giảflích, Thí dụ 2 Trong không gian với hệ tọa độ
tính toán Nhiều lúc nó còn giúp chúng Ya-định “ ›giác ngoài của góc A4 của tam giác ABC
hướng cách giải của bài toán Đề giúp các bạn ˆ ˆ ă
ôn thi đại học có hiệu quả, chúng tôi xíw đưa tời gi@¿ Ta biết đường chéo của hình thoi là
ra một số thí dụ minh họa để khi gặp dạñỳ đó —phân giác của góc ở đỉnh hình thoi mà nó đi
hs
Thí dụ 1 Trong không gian với hệ : ° độ của tam giác 4B8C có vectơ chỉ phương là
B(O; 2; 0), C(O; 0; 1) Tim toa dé trực tain H = AB AC
của tam giác ABC (De ty 6n thi so 1, PATT —- 3 oe :
Lời giải Vì các điềm 4, B, € lần lượt nằm PT lu THẾ Tu TA
trên các trục 2x, Óy, Óz nên tứ diện 24B có ¿ i ¿
các góc phẳng ở đỉnh Ø đều vuông Vậyarực Đường phân giác ngoài của gốc 4 của tam
tâm tam giác 4#C là hình chiếu vuông “góc giác 4C có vectơ chỉ phương là
1) Vay đường phân giác ngoài của góc 44 có PT
Đường thẳng (4) qua O vuông góẹ; với Thí dụ 3 Trong không gian với hệ tọa độ
š 1 a Descartes Oxyz cho cdc vecto } = (2; 2; 1), mp(48C) có PT tham số 4 y=3' (FR, ÿ,=(0;3;4), ñ= (1:0; 0) Lập phương trình
z =Ốtf đường thẳng (đ) đi qua O có vectơ chỉ thay vào PT (l) ta có 4! + 9; + 3ó: -"ð“= 0 sÄgỹ lau S0 săxgic lễ qnxšen
Lời giải Một hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường
tròn ngoại tiếp đáy, và khi đó các cạnh bên tạo
r= 4 „ thay vào PT (ở) ta có trực tâm tam
giac ABC la H(S:a: |}
49 49 49
https: / /www.facebook.cormn/tusachtructuyen 7
Trang 9với đường cao đó các góc bằng nhau Nhận
thay |5.ø.|=|3.7z|=|15.| = 15
Vậy ta chọn các điểm 4, 8, C sao cho
OA = 5.4,, OB= 3.7), OC = 15.¥, Suy ra
A(10; 10; 5), 8(0;9; 12), C(5 ; 0; 0)
Khi đó đường thăng (2) cần tìm là đườn
của hinh chop O.ABC ha tir O (d) cd vectg.chỉ
mà qua M kẻ được hai đường thăng tiến đúc
với đường tròn (C) tại 4 và B sao lÂôho
AMI vuéng tai A Vay ta cin tim M trêá 1đ)
sao cho IM= 25 ae
hai tiêu điểm là F, và F; Chứng minh rằng
tiếp tuyến của (H) tại điểm M thuộc (HỲ là
phân giác của góc F,MF;
Lời giải Tiếp tuyến của (H) tại điểm M(x ml
thuộc (#7) có phương trình 7X _ YoY 1 ộc (H) có phương a? hà MN
Tiép tuyén nay cat truc Ox tai & 0) Yo
Tìm điểm A4 trên (C\), điểm B trén (C2) va
diém C trén truc Ox sao cho tong AC + CB
dat giá trị nhỏ nhất
Lời giải (C.) là đường tròn có tâm £ (0 ; 2) bán kính 1 (€;)
= DC + CB, Goi (C;) la đường tròn đổi xứng với đường tròn (C¡) qua
—Ox thi D nam trên (C;), £*(0 ; —2) la tam cua -(C3) va dé thay rang DC + CB ngan nhat khi
Bài 2 Viết phương trình đường tròn di qua điểm
A(4 ; 2) tiếp Xúc VỚI trục Ôx và: tiếp xúc với đường
thẳng (đ) có phương trình y - x = 0
Bài 3 Trang mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (đ) có
phương trình 3x = 4y =2 = 0 cắt trục Óx tại A
a) Viết phương trình đường tròn (C) di qua gốc
tọa độ Ó và tiếp xúc với đường thẳng (4) tai A
h) Đường tròn (C) Cắt trục Oy tai B Tim toa dé diém C trén (C) sao cho tam giác ABC cain
https: / /www.facebook.cormn/tusachtructuyen s
Trang 10
cho ki thi
tôi nghiện THPT
va thi vao Đại học
ở học sinh thấy được cách giải nhất
quán của đạng toán lập phương trình
đường thẳng chứa cạnh tam giác
chúng ta cẩn làm nổi bật yếu tố giai lich
trong việc giải quyết bài tập hình Bài Viết
này nhằm mục dich giúp học sinh lập phiững
trình đường thảng với công việc ban dai la
xác định tọa độ các điểm (đỉnh trọng tànEam
giác, ) Muốn vậy, học sinh cần năm Vững
một số tính chât hình học sau:
L) Cho điểm Aƒ và đường thang (1V) Điểm-2//
đối xứng với điểm 4⁄ qua (A) khi và ch khi
đoạn Ä/ă“ vuông góc với (A) tại trung điểm
cua nó
2) Tam giác ABC có đỉnh AŒw,; vụ), (AJ là
dudng thang chứa trung tuyến BB’ Kh» dé
C(x,; vị) là đỉnh của tam giác khi và clj-khi -
trung điểm của đoạn tháng ÁC năm trên (Á)
3) Điểm Ð là giao điêm của tia phân Siác
trong (ngoài) của góc BÁC với dường thẳng
BC khi và chỉ khi 2 chia đoạn 8C theo tt Số #
= — đối với phân giác trong (k = — — Soi
với phân giác ngoài) Từ công thức đó-tính
được tọa độ /) qua tọa độ các điểm B,C
Khi người học đã nắm được định nghủa, tính
chất của các đường đặc biệt trong tamegidc
như: đường cao, trung tuyển, phân giác, trung
trực bàng việc cho biết tọa độ ba điểm không
thang hàng: tọa độ của một điềm lo với
phương trình của hai đường thẳng giao nhau:
phương trình của ba đường thẳng đôi mộÈ#iao
nhau tà có thể tổ hợp được nhiều bài toán
hằng cách gán điểm đã biết tọa độ vào vị trí
đặc biết trong tam giác Đường thang đã biết
phương trình sẽ là đường tháng chứa các
Về là: toán TWAT LAP PROG Tema WOOD THUG
NGUYEN THANH CANH (GV trường CĐÐĐSP Hưng Yên)
đường đặc biệt kể trên Sau đây, tôi xin đơn
cử một vài thí dụ cùng với hướng giải quyết
dẻ minh họa cho ý kiến của mình
# Thí dụ 1 Láp phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết đỉnh A(2 † 1), trực tám
CAB =(x—2; y— 1), CH = (x— 10; y— 7)
La xác định được xv; y bằng việc giải hệ PI
© Goi C(x; y) IA diém déi xting cla C qua BB
(C"€AB) tinh dugc CC'=(x+4;y-—]) và trung
điểm CC” là i ; a e (BB)
https://www.facebook.com/tusachtructuyen 9
Trang 11« Lap hé phương trình
x-y+5 =0 (do CC”.upg =0)
x+y-15 =0 (do Je BB)
Tinh được tọa độ C{5 ; 10) từ đó lập được PT
các đường thăng chứa các cạnh của tam giác
# Thí dụ 3 Lập phương trình các cạnh của
tam giác ABC biết A(ŠS ; 2) Phương, trùnh
đường trung trực cạnh BC, chường 1rHMệh tuyến
(đ):x+y—6=0 (đ;):2v— y + 3=
Hướng giai
e Gia sur B(x vy), C(z ; 22 + 3)
Lần lượt tính duce trung diém AB da diém
2x-y+l4 =9
Bài toán được giải quyết trọn vẹn kRÏ ta tìm
được nghiệm của hệ phương trình trên;
* Thí dụ 4 Cho tam giác ABC biét cdeahrong
trung tuyén AA’, đường cao CHÍ lân lượt cc
phương trình
(d,):x+2y—7=0, (d4,):—v+yv+240
Điểm M(I : ~2) thuộc diténg thang AB Lar
phương trình đường thẳng chứa cạnh BC
Dể thấy bài toán có vô số nghiệm hình
s Việc hướng dẫn học sinh quy bàitoán lập
PT đường thăng về việc xác định tọa độ các
điểm sẽ thuận lợi hơn khi giải quyết:eác bài
toán thuộc dạng này trong không gian ba
chiều Chẳng hạn ta xét bài toán sau đây,
*Thí dụ Š Trong không gian vớihệ tọa
độ Descartes Oxyz cho tam giác AB€ với
C(0;2; 3), phương trình hai đường cao là
Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh AB
https: / /www.facebook.comn /tusachtructuyen I\o
Hướng giải
e Giả sử A(2 +7; 1—; 1— 5#); B(— I + 13: ; l6s ; 2 + 5s) Tính được tọa độ các veclơ
Sử dụng tính chất hai vecLơ vuông góc ta tìm
được tọa độ A, Ö8, từ đó sẽ lạp được phương trình cạnh A8
Trên đây ta đã xét được một số thí dụ minh
họa cho việc lập hệ phương trình để tìm tọa
độ các điểm và hoàn thiện bài toán thiết lập phương trình đường thing trong mat phẳng
cũng như trong không sian Hi vọng rằng các
bạn đang ôn thí tốt nghiệp THPT nhận thấy được tính tích cực của việc áp dụng những phép toán giải tích khi giải các bài tập hình
giác nếu biết độ dài cạnh BC = 8
2 Cho tam giác 48C, điểm Ð (0 : 5; 2) là trung điểm cạnh BC Đường cao BH, dudng phân giác trong góc C lần lượt có phương
trình x — 2y + 3 =0; y = 3 Hãy lập phương
trình các cạnh của tam giác đó
3 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết A(—3 ; 1 ; 1) và phương trình hai đường trung tuyến theo thứ tự là
ES Ie tS
4 1 8 Ï 2
4 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết B(—2 ; 4; 1) và phương trình các đường cao, trung tuyến kẻ từ A theo thứ tự là
ae =0 x y-2
5 Tam giác ABC c6 M(3 ; 2 ; 0) nằm trên đường thăng ĐC Phương trình tia phân giác góc 8, đường trung trực cạnh 8C lần lượt là
xa pel og] xl yp ˆ 7 a _» 2-2
2 si 5 8 2> ả” Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh AB
Trang 12SU DUNG TOA DO VECTO
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TDÁN DAI SO
ĐỖ THANH SƠN (GV Khoi chuyên Toản — Tìn, ĐHKHTN - DHQG Hà Nội)
Bài viết nảy để cập một phương pháp giải một số đạng toán về đấ? số như chứng minh bat ding thức, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu chứa các căn thức bậc hai, giải phương trình, Vẫn đề này
không mới! 3ạn đọc có thể đã biết trong một SỐ tài liệu hiện hành
(đưới đạng các bài tập) nhưng còn tản mạn chưa được hệ thống
Bãi viết này có găng hệ thông hóa vấn đề, giúp bạn đọc có thể vận
đựng phương pháp xác định tọa độ vectơ, hoặc tọa độ điểm giải
đệt các dạng toán nói trên Trước hết chúng ta nhắc lại vài điểm
cơ aban về vectơ trong hệ tọa độ escartes vuông góc ()vy
Cho ba vecto #ứ = (x yy); FS (4 s3);
tử = (xy, ys) thỏa mần điều kiện 7 #4 iF <0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ¿†Ÿvý ty
~L~L, Kết quả đó gợi cho ta'thiết lậ” “đối
Xạ ¥2
quan hệ giữa các biểu thức đại sé trøng bả;oấn
đang xét với độ dài của các vectØ tron mặt
phăng tọa độ
Phương pháp Khi gặp các bài foán am số
mà môi biêu thức dưới dấu căn bậc di
VANB được biểu điển dưới (¿nở tôn ia
hai bình phương 4= 4 +⁄ÿ {B=\ Bị + Hộ
Ta thiết lập các vectơ có tọa độ thích hợp trên
hệ trục tea dé Descartes Oxy saacho độ dài
các vectơ đó tương img bang J A, J5 Sau đó
nghiệm lại rằng tong các vectợ' bang vectZ
không (hoặc cé mot vector bang tonede vecta
con lai), roi su dung bắt đăng thứờ'tBĐT) vẻ độ
dài ba cạnh của tam giác hoặc BĐT vẻ độ dài
đường gấp khúc đẻ đi đến kết quả BằÌ toán
Để làm rõ cho phương pháp, cRÚng tôi xin
đưa ra một số thí dụ minh họa sau đây
Từ BĐT tam giác w + v > w ta có điều cần
chứng mình Đăng thức xảy ra khi x = 0 Thí dụ 2 Với a b là các số thực từy ý
