Các chuyên đề bồi dưỡng HSG hình học lớp 8

Tailieumontoan.com  Sưu tầm CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG HÌNH HỌC TỐN LỚP Thanh Hóa, ngày 10 tháng năm 2020 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ - CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỊNH LÍ TA-LÉT A.Kiến thức: A Định lí Ta-lét: * Định lí Talét M ∆ABC  AM AN =  ⇔ MN // BC  AB AC N C B * Hệ quả: MN // BC ⇒ AM AN MN = = AB AC BC B Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD E, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC G B a) chứng minh: EG // CD A b) Giả sử AB // CD, chứng minh AB2 = CD EG O Giải E Gọi O giao điểm AC BD a) Vì AE // BC ⇒ G OE OA (1) = OB OC C D OB OG (2) BG // AC ⇒ = OD OA Nhân (1) với (2) vế theo vế ta coù: OE OG ⇒ EG // CD = OD OC b) Khi AB // CD EG // AB // CD, BG // AD neân AB OA OD CD AB CD = = = ⇒ = ⇒ AB2 = CD EG EG OG OB AB EG AB Baøi 2: Cho ABC vuông A, Vẽ phía tam giác tam giác ABD vuông cân B, ACF vuông cân C Gọi H giao điểm AB CD, K giao điểm AC BF Chứng minh rằng: a) AH = AK b) AH2 = BH CK Giải Đặt AB = c, AC = b BD // AC (cùng vuông góc với AB) Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com nên AH AC b AH b AH b = =⇒ =⇒ = HB BD c HB c HB + AH b + c Hay AH b AH b b.c (1) = ⇒ = ⇒ AH = AB b + c c b+c b+c D A H AB // CF (cùng vuông góc với AC) nên C B AK AB c AK c AK c = =⇒ =⇒ = KC CF b KC b KC + AK b + c Hay F K AK b AK c b.c (2) = ⇒ = ⇒ AK = AC b + c b b+c b+c Từ (1) (2) suy ra: AH = AK b) Từ AH AC b AK AB c AH KC AH KC vaø = = suy (Vì AH = AK) = = = ⇒ = HB BD c KC CF b HB AK HB AH ⇒ AH2 = BH KC Baøi 3: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a qua A cắt BD, BC, DC theo thứ tự E, K, G Chứng minh rằng: a) AE2 = EK EG AE b) = 1 + AK AG c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí qua A tích BK DG có giá trị không đổi A Giải a) Vì ABCD hình bình hành K ∈ BC nên b a B K E AD // BK, theo hệ định lí Ta-lét ta có: EK EB AE EK AE = = ⇒ = ⇒ AE = EK.EG AE ED EG AE EG b) Ta coù: C D G AE DE AE BE ; neân = = AK DB AG BD AE AE BE DE BD  1  (ñpcm) + = + = = ⇒ AE  + ⇒ = + = AE AK AG AK AG BD DB BD  AK AG  c) Ta coù: BK AB BK a KC CG KC CG (1); (2) = ⇒ = = ⇒ = KC CG KC CG AD DG b DG Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: BK a = ⇒ BK DG = ab không đổi (Vì a = AB; b = AD độ dài hai b DG cạnh hình bình hành ABCD không đổi) Bài 4: Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Cho tứ giác ABCD, điểm E, F, G, H theo thứ tự chia cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số 1:2 Chứng minh rằng: B a) EG = FH b) EG vuông góc với FH H Giải D Gọi M, N theo thứ tự trung điểm CF, DG Ta có CM = E A P F O Q M N 1 BM BE BM CF = BC ⇒ ⇒ = = = BC BA BC 3 G C EM BM 2 ⇒ EM // AC ⇒ = = ⇒ EM = AC (1) AC BE 3 NF BD T­¬ng tù, ta cã: NF // BD= ⇒ CF 2 = ⇒ NF = BD (2) CB 3 mµ AC = BD (3) Tõ (1), (2), (3) suy : EM = NF (a) Tương tự ta có: MG // BD, NH // AC vµ MG = NH = AC (b) = 900 (4) Mặt khác EM // AC; MG // BD Vµ AC ⊥ BD ⇒ EM ⊥ MG ⇒ EMG  = 900 (5) T­¬ng tù, ta cã: FNH  = FNH  = 900 (c) Tõ (4) vµ (5) suy EMG Tõ (a), (b), (c) suy ∆ EMG = ∆ FNH (c.g.c) ⇒ EG = FH b) Gäi giao ®iĨm cđa EG vµ FH lµ O; cđa EM vµ FH lµ P; EM FN Q = 900 ⇒ QPF  + QFP  = 900 mµ QPF  = OPE  (®èi ®Ønh), OEP  = QFP  ( ∆ EMG = ∆ FNH) PQF  = PQF  = 900 ⇒ EO ⊥ OP ⇒ EG FH Suy EOP Bài 5: Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD Từ D vẽ đường thẳng song song với BC, cắt AC M AB K, Từ C vẽ đường thẳng song song với AD, cắt AB F, qua F ta lại vẽ đường thẳng song song với AC, cắt BC P Chøng minh r»ng a) MP // AB b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy Giải a) EP // AC ⇒ CP AF (1) = PB FB Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com AK // CD ⇒ CM DC (2) = AM AK D C c¸c tø gi¸c AFCD, DCBK la hình bình hành nên AF = DC, FB = AK (3) Kết hợp (1), (2) (3) ta có CP CM MP // AB (Định lí Ta-lét = PB AM đảo) (4) Mà K A b) Gọi I giao điểm BD CF, ta có: P I M B F CP CM DC DC = = = PB AM AK FB DC DI CP DI (Do FB // DC) ⇒ ⇒ IP // DC // AB (5) = = FB IB PB IB Tõ (4) (5) suy : qua P có hai đường th¼ng IP, PM cïng song song víi AB // DC nên theo tiên đề Ơclít ba điểm P, I, M thẳng hang hay MP qua giao điểm CF DB hay ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy Bài 6: ; đường thẳng c¾t Cho ∆ ABC cã BC < BA Qua C kẻ đường thẳng vuông goác với tia phân giác BE ABC BE F cắt trung tuyến BD G Chứng minh đoạn thẳng EG bị đoạn thẳng DF chia làm hai phần Giải Gọi K giao điểm CF AB; M giao điểm DF BC B KBC có BF vừa phân giác vừa đường cao nên KBC cân B BK = BC FC = FK Mặt khác D trung điểm AC nên DF đường trung bình AKC DF // AK hay DM // AB M K G F Suy M trung điểm BC DF = AK (DF đường trung bình AKC), ta cã A D E BG BK BG BK 2BK ( DF // BK) ⇒ (1) = = = GD DF GD DF AK Mỉt kh¸c Hay CE DC - DE DC AD CE AE - DE DC AD = = −= − (V× AD = DC) ⇒ = = −= −1 DE DE DE DE DE DE DE DE CE AE - DE AE AB AE AB = : Do DF // AB) = −= − 2= − (v× DE DE DE DF DE DF CE DE Suy = AK + BK 2(AK + BK) CE 2(AK + BK) 2BK (2) ⇒ = = −2 = −2 − (Do DF = AK) DE AK AK DE AK Tõ (1) vµ (2) suy BG CE = ⇒ EG // BC GD DE Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC C Website:tailieumontoan.com Gọi giao điểm EG DF O ta cã OG OE  FO  = =  ⇒ OG = OE MC MB  FM  Bµi tËp nhà Bài 1: Cho tứ giác ABCD, AC BD cắt O Đường thẳng qua O song song với BC cắt AB E; đường thẳng song song với CD qua O cắt AD F a) Chøng minh FE // BD b) Tõ O kỴ đường thẳng song song với AB, AD cắt BD, CD G H Chứng minh: CG DH = BG CH Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc tia đối tia BC cho BN = CM; đường thẳng DN, DM cắt AB theo thứ tự E, F Chøng minh: a) AE2 = EB FE  AN  b) EB =   EF  DF  Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ – CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TALÉT VÀ TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC A Kiến thức: Định lí Ta-lét: * Định lí Talét A ∆ABC  AM AN =  ⇔ MN // BC  AB AC * Heä quaû: MN // BC ⇒ M AM AN MN = = AB AC BC N C B Tính chất đường phân giác: ∆ ABC ,AD phân giác góc A ⇒ AD’là phân giác góc A: BD AB = CD AC BD' AB = CD' AC A B Bài tập vận dụng Bài 1: Cho ∆ ABC coù BC = a, AB = b, AC = c, phân giác AD B D C A a) Tính độ dài BD, CD b) Tia phân giác BI góc B cắt AD I; tính tỉ số: AI ID D' B C Giải A AB c  nên BD a) AD phân giác BAC = = CD AC b Do CD = a - c b BD c BD c ac ⇒ = ⇒ = ⇒ BD = CD + BD b + c a b+c b+c I ac ab = b+c b+c B D C a AI AB  nên = b) BI phân giác ABC = c: ID BD ac b+c = b+c a A Baøi 2: Cho  < 600 phân giác AD ∆ ABC, có B a) Chứng minh AD < AB b) Gọi AM phân giác ∆ ADC Chứng minh BC > DM C Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 M D TÀI LIỆU TỐN HỌC B Website:tailieumontoan.com Giải     =C  + A > A + C = 180 - B = 600 a)Ta coù ADB 2  >B  ⇒ AD < AB ⇒ ADB b) Goïi BC = a, AC = b, AB = c, AD = d Trong ∆ ADC, AM phân giác ta có DM AD DM AD DM AD ⇒ ⇒ = = = CM + DM AD + AC CD AD + AC CM AC ⇒ DM = abd CD.AD CD d ab ; CD = ( Vận dụng 1) ⇒ DM = = (b + c)(b + d) AD + AC b + d b+c Để c/m BC > DM ta c/m a > 4abd hay (b + d)(b + c) > 4bd (1) (b + c)(b + d) Thaät vaäy : c > d ⇒ (b + d)(b + c) > (b + d)2 ≥ 4bd Bất đẳng thức (1) c/m 3.Bài 3: Cho ∆ ABC, trung tuyến AM, tia phân giác góc AMB , AMC cắt AB, AC theo thứ tự D E a) Chứng minh DE // BC A b) Cho BC = a, AM = m Tính độ dài DE c) Tìm tập hợp giao diểm I AM DE ∆ ABC có BC cố định, AM = m không đổi D I E d) ∆ ABC có điều kiện DE đường trung bình B Giải M  nên DA = MB (1) a) MD phân giác AMB DB MA  nên EA = MC (2) ME phân giác AMC EC Từ (1), (2) giả thiết MB = MC ta suy MA DA EA ⇒ DE // BC = DB EC x DE AD AI b) DE // BC ⇒ = = Đặt DE = x= ⇒ a BC AB AM Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 x ⇒ x = 2a.m m a + 2m m- TÀI LIỆU TOÁN HỌC C Website:tailieumontoan.com a.m DE = không đổi ⇒ I cách M đoạn không đổi nên tập hợp điểm a + 2m a.m I đường tròn tâm M, bán kính MI = (Trừ giao điểm với BC a + 2m c) Ta có: MI = d) DE đường trung bình ∆ ABC ⇔ DA = DB ⇔ MA = MB ⇔ ∆ ABC vuông A Bài 4: Cho A ∆ ABC ( AB < AC) phân giác BD, CE a) Đường thẳng qua D song song với BC cắt AB K, chứng minh E nằm B K K D E b) Chứng minh: CD > DE > BE Giải M B a) BD phân giác nên AD AB AC AE AD AE (1) = < = ⇒ < DC BC BC EB DC EB Mặt khác KD // BC nên Từ (1) (2) suy AD AK (2) = DC KB AK AE AK + KB AE + EB AB AB ⇒ < ⇒ < < ⇒ KB > EB KB EB KB EB KB EB ⇒ E nằm K B  = KDB   = KDB  (so le trong) ⇒ KBD b) Gọi M giao điểm DE CB Ta có CBD  > EDB  ⇒ KBD  > EDB  ⇒ EBD  > EDB  ⇒ EB < DE mà E nằm K B nên KDB  + ECB  = EDB  + DEC  ⇒ DEC  > ECB  ⇒ DEC  > DCE  (Vì DCE  = ECB ) Ta lại có CBD Suy ra: CD > ED ⇒ CD > ED > BE Baøi 5: Cho ∆ ABC Ba đường phân giác AD, BE, CF Chứng minh a DB EC FA = DC EA FB b 1 1 1 + + > + + AD BE CF BC CA AB Giải  nên ta có: DB = AB (1) a)AD đường phân giác BAC DC Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 AC TÀI LIỆU TỐN HỌC C Website:tailieumontoan.com Tương tự: với phân giác BE, CF ta có: Từ (1); (2); (3) suy ra: EC BC FA CA (2) ; (3) = = EA BA FB CB H A DB EC FA AB BC CA =1 = DC EA FB AC BA CB F E b) Đặt AB = c , AC = b , BC = a , AD = da Qua C kẻ đường thẳng song song víi AD , c¾t tia BA ë H AD BA ⇒ = CH BH BA.CH c.CH c = = = AD CH BH BA + AH b + c Theo §L TalÐt ta cã: Do CH < AC + AH = 2b nªn: d a < Chøng minh t­¬ng tù ta cã : B D b+c 11 1 11 1 2bc ⇒ > = >  +   + ⇔ d a 2bc  b c  da  b c  b+c 11 1 11 1 >  +  Và > + Nên: db a c  dc  a b  1 1  1   1   1   ⇔ + + >  + +  + + >  + + + + +    d a db dc  a b c  d a db d c  b c   a c   a b   ⇔ 1 1 1 + + > + + ( ®pcm ) d a db dc a b c Bµi tËp vỊ nhµ Cho ∆ ABC coù BC = a, AC = b, AB = c (b > c), phân giác BD, CE a) Tính độ dài CD, BE suy CD > BE b) Vẽ hình bình hành BEKD Chứng minh: CE > EK c) Chứng minh CE > BD Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC C 135 Website:tailieumontoan.com G C B F E D A c) Chứng tỏ ∆CBG  ∆CDH ⇒ Và H CG BC BC = = CH DC BA   (cùng bù với BAD  ) ⇒ ∆ABC  ∆HCG ABC = HCG d) Gọi E, F hình chiếu B, D AC ∆AFD  ∆AHC ⇒ AF AD = ⇒ AF AC = AD AH AH AC ∆AEB  ∆AGC ⇒ AE AB = ⇒ AE AC = AG AB AG AC Cộng : AF AC + AE AC = AD AH + AG AB ⇔ AC.( AF + AE= ) AD AH + AG AB Chứng tỏ được: AE = FC Thay được: AC.( AF + FC= ) AD AH + AG AB ⇒ AC=2 AD AH + AG AB Câu 52 Cho tam giác ABC vuông A ( AC > AB ) , đường cao AH ( H ∈ BC ) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E 1) Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m = AB 2) Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo  AHM 3) Tia AM cắt BC G Chứng minh GB HD = BC AH + HC Lời giải Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 136 Website:tailieumontoan.com A E B C M HG 1) Hai tam giác ADC BEC có: D  chung; C CD CA = (hai tam giác vuông CDE CAB đồng dạng) CE CB Do ∆ADC  ∆BEC  BEC =  ADC = 1350 (vì tam giác AHD vuông cân H theo giả thiết) Nên  AEB = 450 , ∆ABE vng cân A Suy Suy ra= : BE 2) Ta có Mà AB m = BM BE AD = = ( BC BC AC ∆BEC  ∆ADC ) AD = AH (tam giác AHD vuông cân H) BM BC BH BH AD AH = = = (do ∆ABH  ∆CBA) AC AC AB BE  =BEC  =1350 ⇒  AHM =450 Do đó: ∆BHM  ∆BEC (c.g c) ⇒ BHM Nên= 3) Tam giác ABE vuông cân A, nên tia AM tia phân giác Suy :  BAC AB ED GB AB AH HD = = , mà ∆DEC ) / / AH ) ( ∆ABC = ( ED= GC AC AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD = ⇒ = ⇒ = GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC Câu 53 Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) Các đường cao AE , BF cắt H Gọi Do đó: M trung điểm BC , qua H vẽ đường thẳng a vng góc với HM , a cắt AB, AC I K a) Chứng minh ∆ABC  ∆EFC b) Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK , b cắt AH,AB theo thứ tự N D Chứng minh NC = ND HI = HK Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 137 Website:tailieumontoan.com c) Gọi G giao điểm CH AB Chứng minh AH BH CH + + >6 HE HF HG Lời giải A G FK H I M B C E N D a) Ta có: ∆AEC  ∆BFC ( g g ) ⇒ Xét ∆ABC ∆EFC có: CE CA = CF CB CE CA = góc C chung nên suy ∆ABC  ∆EFC ( cgc ) CF CB b) Vì CN / / IK nên HM ⊥ CN ⇒ M trực tâm ∆HNC ⇒ MN ⊥ CH mà CH ⊥ AD( H trực tâm ∆ABC ) ⇒ MN / / AD Do M trung điểm BC nên ⇒ NC = ND ⇒ IH = IK (theo Ta let) AH HE c) Ta có: = BH BF S AHC S ABH S AHC + S ABH S AHC + S ABH = = = SCHE S BHE SCHE + S BHE S BHC = Tương tự ta có: ⇒ = S BHC + S BHA CH S BHC + S AHC ; = S AHC CG S BHA AH BH CH S AHC + S ABH S BHC + S BHA S BHC + S AHC + = + + + HE HF HG S BHC S AHC S BHA S AHC S ABH S BHC S BHA S BHC S AHC + + + + + ≥6 S BHC S BHC S AHC S AHC S BHA S BHA Dấu xảy ∆ABC mà theo giả thiết AB < AC nên không xảy dấu Câu 54 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AM , BN , CP cắt H Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 138 Website:tailieumontoan.com  = NMC  CAB NMP b) Chứng minh rằng: Tia MA tia phân giác  a) Chứng minh rằng: ∆AMC  ∆BNC c) Gọi I giao điểm BN MP Chứng minh HN BI = HI BN Lời giải A N P I B H a) Xét ∆AMC ∆BNC có: góc C chung; ⇒ ∆AMC  ∆BNC ⇒ C M = N = 900 M CM CA = CN CB CM CA  = ; C chung CN CB  = NMC  ⇒ ∆ABC  ∆MNC ( c.g c ) ⇒ CAB Xét ∆ABC ∆MNC có: b) Ta có:  = NMC  CAB  = NMC  CAB AMC =  AMB = 900 Chỉ được:  ⇒ AMN =  AMP ⇒ Tia MA tia phân giác  NMP c) Ta có: MH đường phân giác tam giác MNI Mà MB ⊥ MH nên MB đường phân giác tam giác MNI MN HN BN ⇒ = = (tính chất đường phân giác trong, tam giác) MI HI BI ⇒ HN BI = HI BN (dpcm) Chứng minh tương tự: Câu 55 Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E , F , G , H trung điểm cạnh AB, BC , CD, DA M giao điểm CE DF d) Chứng minh: Tứ giác EFGH hình vng Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 139 Website:tailieumontoan.com ∆MAD cân f) Tính diện tích ∆MDC theo a e) Chứng minh DF ⊥ CE Lời giải E A H B M F N D G C d) Chứng minh EFGH hình thoi Chứng minh có góc vng nên EFGH hình vng =  mà ∆CDF vuông C nên: ∆BEC = ∆CFD ⇒ ECB FDC  + DFC   + ECB  ⇒ CDF = 900 ⇒ DFC = 900 ⇒ ∆CMF vuông M hay CE ⊥ DF e) Gọi N giao điểm AG DF Chứng minh tương tự: AG ⊥ DF ⇒ GN / / CM mà G trung điểm DC nên N trung điểm DM Trong ∆MAD có AN vừa đường cao, vừa đường trung tuyến ⇒ ∆MAD cân A f) ∆CMD  ∆FCD ( g g ) ⇒ CD CM = FD FC 2 S  CD   CD  Do : CMD=   ⇒ SCMD=   S FCD S FCD  FD   FD  = S FCD Mà 1 = CF CD CD CD Vậy SCMD = CD 2 FD Trong ∆DCF theo định lý Pytago ta có: 1  DF = CD + CF = CD +  BC  = CD + CD = CD 4 2  Do đó: S MCD = CD 1 CD = a 5 CD Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 140 Website:tailieumontoan.com Câu 56 Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O M điểm thuộc cạnh BC ( M ≠ B, C ) Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE = CM a) Chứng minh : ∆OEM vuông cân b) Chứng minh: ME / / BN c) Từ C kẻ CH ⊥ BN ( H ∈ BN ) Chứng minh ba điểm O, M , H thẳng hàng Lời giải E A B O M H C D N a) Xét ∆OEB ∆OMC Vì ABCD hình vng nên ta có: OB=OC  =C  = 450 , BE = CM ( gt ) ⇒ ∆OEB = ∆OMC ( c.g c ) Và B 1  =O  ⇒ OE = OM O  +O = BOC = 900 tứ giác ABCD hình vng Lại có: O  +O   ⇒O = EOM = 900 kết hợp với OE = OM ⇒ ∆OEM vuông cân O b) Từ giả thiết tứ giác ABCD hình vng ⇒ AB / / CD AB = CD +) AB / / CD ⇒ AB / / CN ⇒ AM BM =(định lý Ta let) (*) MN MC Mà BE = CM ( gt ) AB = Cd ⇒ AE = BM thay vào (*) AM AE = ⇒ ME / / BN (Ta let đảo) MN EB c) Gọi H ' giao điểm OM BN =  OH ' E (cặp góc so le trong) Từ ME / / BN ⇒ OME Ta có:  = 450 ∆OEM vng cân O OME   ⇒ ∆OMC  ∆BMH '( g g ) ⇒ MH ' B= 450= C Mà Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 141 Website:tailieumontoan.com OM MH '  = CMH ' (hai góc đối đỉnh) = , kết hợp OMB OB MC   ' C 450 ⇒ ∆OMB  ∆CMH '(c.g c) ⇒ OBM = MH = ⇒ Vậy    BH ' C =BH ' M + MH ' C =900 ⇒ CH ' ⊥ BN Mà CH ⊥ BN ( H ∈ BN ) ⇒ H ≡ H ' hay điểm O, M , H thẳng hàng (đpcm) Câu 57 Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ) , có đường cao AH cho AH = HC Trên AH lấy điểm I cho HI = BH Gọi P Q trung điểm BI AC Gọi N M hình chiếu H AB IC ; K giao điểm đường thẳng CI với AB; D giao điểm đường thẳng BI với AC a) Chứng minh I trực tâm tam giác ABC b) Tứ giác HNKM hình vng c) Chứng minh bốn điểm N , P, M , Q thẳng hàng Lời giải A D K I M N Q P B H  90 a) Xét tam giác BHI có:= BH HI = ,H C = 450 ⇒ ∆BHI vuông cân H ⇒ IBH  ACH = 45 = HC , H = 900 ⇒ ∆AHC vuông cân H ⇒  ∆AHC có AH ⇒ ∆BCD vng cân D Tam giác ABC có hai đường cao AH , BD Vậy I trực tâm ∆ABC Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 142 Website:tailieumontoan.com = N = 900 , K = 900 (CK đường cao) b) Xét tứ giác HMKN có: M Tứ giác HMNK hình chữ nhật (1) ∆MIH ∆NBH có:     HMI = HNB = 900 ;= HB HI ( gt ); HIC = HBN Xét ⇒ ∆HMI = ∆HNB ( g c.g ) ⇒ HM = HN ( ) Từ (1) ( ) : Tứ giác HMKN hình vng c) Theo câu b: Tứ giác HMKN hình vng nên M , N thuộc trung trực đoạn thẳng KH -Xét tam giác vuông AHC AKC ; trung tuyến HQ, KQ Ta có: HQ = 1 AC ; KQ = AC ⇒ Q ∈trung trực KH 2 Vậy điểm M , N , P, Q thẳng hàng Câu 58 Cho hình vng ABCD có hai đường chéo AC BD cắt O Trên cạnh AB lấy M ( < MB < MA ) cạnh BC lấy N cho  = 900 Gọi E giao điểm MON AN với DC, gọi K giao điểm ON với BE 1) Chứng minh ∆MON vuông cân 2) Chứng minh MN song song với BE 3) Chứng minh CK vng góc với BE 4) Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC H Chứng minh: KC KN CN + + = KB KH BH Lời giải M A O B N K D C E H Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 143 Website:tailieumontoan.com =  + BON = 1) Ta có : BOC 900 ⇒ CON 900 ; =  + BON = =  MON 900 ⇒ BOM 900 ⇒ BOM CON   =CBO  = BOC =450 ABC ⇒ MBO Ta có BD phân giác   BOC  = NCO    = DCO = = 450 Vậy ta có : MBO Tương tự ta có: NCO  CON   NCO  Xét ∆OBM ∆OCN có OB OC = = ; BOM = ; MBO ⇒ ∆OBM = ∆OCN ⇒ OM = ON  Xét ∆MON có MON = 900 ; OM = ON ⇒ ∆MON vuông cân 2) ∆OBM = NC mà AB = BC ⇒ AB − MB = BC − NC ∆OCN ⇒ MB = ⇒ AM = BM ⇒ AM BN = MB NC Ta có: AB / / CD ⇒ AM / / CE ⇒ AN BN = NE NC AM AN = ⇒ MN / / BE (Theo định lý Talet đảo) MB NE  = MNO  = 450 (đồng vị có tam giác MON vng cân) 3) Vì MN / / BE ⇒ BKN NB NO   ; BKN   = = ONK = OCN = 450 ) ⇒ ⇒ ∆BNK  ∆ONC (vì có BNK NK NC NO   ; NB = CNK = ⇒ ∆BNO  ∆KNC - Xét ∆BNO; ∆KNC có BNO NK NC  = NBO  = 450 ⇒ NKC Vậy ta có: ⇒ Vậy ta có:  = BKN  + CKN  = 450 + 450 = 900 ⇒ CK ⊥ BE BKC = MK ⊥ OK ⇒ MK ⊥ KH ⇒ NKH 900 mà  =450 ⇒ CKH  =450 ⇒ BKN  =NKC =  =450 NKC CKH   ⇒ KN phân giác ∆BKC , mà KH ⊥ KN = NKC Xét ∆BKC có BKN KC HC = ⇒ KH phân giác ∆BKC ⇒ KB HB KN BN = Chứng minh tương tự ta có : KH BH KC KN NC HC BN CN BH + + = + + = = =1 Vậy ta có KB KH BH HB BH BH BH 4) – Vì KH / / OM mà Câu 59 Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 144 Website:tailieumontoan.com 1) Cho hình thang ABCD vng A D Biết = CD 2= AB AD BC = a a) Tính diện tích hình thang ABCD theo a I trung điểm BC , H chân đường vng góc kẻ từ D xuống AC  = 450 Chứng minh HDI b) Gọi 2) Cho tam giác ABC có= BC a= , CA b= , AB c Độ dài đường phân giác tam giác kẻ từ đỉnh A, B, C la , lb , lc Chứng minh rằng: 1 1 1 + + > + + la lb lc a b c Lời giải B A H I D C E 1) a) Gọi E trung điểm CD, ABED hình vng BEC tam giác vng cân Từ suy AB = AD = a, BC = 2a Diện tích hình thang ABCD S = CD ) AD ( a + 2a ) a ( AB += = 2 3a 2 ADH =  ACD(1) (hai góc nhọn có cặp cạnh tương ứng vng góc) b)  Xét hai tam giác ADC IBD vng D B có: AD IB = = , hai tam giác ADC IBD đồng dạng DC BC  ACD = BDI Suy  (2) Từ (1) , ( ) ⇒ Mà   ADH = BDI  =  + BDH =  = 450 ADH + BDH 450 ⇒ BDI 450 hay HDI 2) Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 145 Website:tailieumontoan.com M A B D C Gọi AD đường phân giác góc A, qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AB M = BAD AMC (hai góc vị trí đồng vị) = DAC ACM (hai góc vị trí so le trong) Ta có:  = DAC  nên  BAD AMC =  ACM hay ∆ACM cân A, suy AM = AC = b AD BA c Do AD / / CM nên = = CM BM b + c Mà Mà CM < AM + AC = 2b ⇒ Tương tự ta có: c AD 11 1 > ⇒ >  +  b + c 2b la  b c  (1) 1 1 1 1 >  +  (2); =  +  (3) lb  c a  lc  a b  Cộng (1) ; ( ) ; ( 3) vế theo vế ta có điều phải chứng minh Câu 60 Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O, M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C ) Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE = CM a) Chứng minh ∆OEM vuông cân b) Chứng minh : ME / / BN c) Từ C kẻ CH ⊥ BN ( H ∈ BN ) Chứng minh ba điểm O, M , H thẳng hàng Lời giải Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 146 Website:tailieumontoan.com E A O D a) B M H' H C N Xét ∆OEB ∆OMC Vì ABCD hình vng nên ta có : OB = OC = C  = 450 Và B 1 BE = CM ( gt ) ∆OMC (c.g c) Suy ∆OEM =  =O  ⇒ OE = OM O  +O = BOC = 900 tứ giác ABCD hình vng Lại có: O  +O   ⇒O = EOM = 900 kết hợp với OE = OM ⇒ ∆OEM vuông cân O b) Từ giả thiết ABCD hình vng ⇒ AB = CD AB / / CD AM BM =(định lý Ta-let) (*) MN MC Mà BE = CM ( gt ) AB = CD ⇒ AE = BM thay vào (*) + AB / / CD ⇒ AB / / CN ⇒ AM AE = ⇒ ME / / BN (theo Định lý Talet đảo) MN EB c) Gọi H ' giao điểm OM BN =  MH 'B Từ ME / / BN ⇒ OME Ta có: Mà  = 450 ∆OEM vng cân O ⇒ MH   OME 'B = 450 = C ⇒ ∆OMC  ∆BMH ' ( g g ) OM MC  = CMH ' (hai góc đối đỉnh) =, kết hợp OMB BM MH   ⇒ ∆OMB  ∆CMH '(c.g c) ⇒ OBM = MH = ' C 450 ⇒    BH ' C =BH ' M + MH ' C =900 ⇒ CH ' ⊥ BN Mà CH ⊥ BN ( H ∈ BN ) ⇒ H ≡ H ' hay điểm O, M , H thẳng hàng (đpcm) Vậy Câu 61 Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 147 Website:tailieumontoan.com Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao AD, BE , CF cắt H a) Chứng minh rằng: BD.DC = DH DA b) Chứng minh rằng: HD HE HF + + = AD BE CF c) Chứng minh rằng: H giao điểm đường phân giác tam giác DEF d) Gọi M , N , P, Q, I , K trung điểm đoạn thẳng BC , CA, AB , EF , FD, DE Chứng minh ba đường thẳng MQ, NI , PK đồng quy điểm Lời giải A E Q P F N H K I B D M a) Chỉ ∆BDH  ∆ADC ( g g ) ⇒ C BD DH = ⇒ BD.DC = DH DA AD DC S HBC HD.BC HD b) Ta= có: = S ABC AD.BC AD HE S HAC HF S HAB ; = = Tương tự BE S ABC CF S ABC Do đó: HD HE HF S HBC + S HAC + S HAB S ABC + + = = = AD BE CF S ABC S ABC c) Chứng minh  ∆AEF  ∆ABC ( c.g c ) ⇒  AEF = ABC =  DEC ABC Do đó:  AEF = DEC  = DEC  + HED  = 900 nên HEF  = HED  AEF + HEF Mà  Tương tự: ⇒ EH phân giác góc EFD Do H giao đường phân giác tam giác DEF Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 148 Website:tailieumontoan.com d) Do ∆BEC vuông E, M trung điểm BC nên EM = cạnh huyền), Tương tự: FM = BC (trung tuyến ứng với BC ∆EMF cân M, mà Q trung điểm EF nên MQ ⊥ EF ⇒ MQ đường trung trực EF hay MQ đường trung trực tam giác DEF Hoàn toàn tương tự, chứng minh NI PK đường trung trực tam giác DEF nên ba đường thẳng MQ, NI , PK đồng quy điểm Do đó: Câu 62 Cho tam giác ABC cân A có AB = AC = b; BC = a Đường phân giác BD tam giác ABC có độ dài cạnh bên tam giác ABC Chứng minh rằng: 1 b − = b a ( a + b )2 Lời giải A H D B C Vẽ BH đường cao tam giác ABC Tam giác BAD cân B ( BA = BD ) có BH đường cao nên đường trung tuyến AD ⇒ AH = Tam giác ABC có BD đường phân giác, ta có: DA AB b DA DC DA + DC AC b b2 = =⇒ = = = = ⇒ DA = DC BC a b a a+b a+b a+b a+b Tam giác HAB vuông H, theo định lý Pytago ta có: AD AB = BH + AH ⇒ BH = b − (1) Tam giác HBC vng H, theo định lý Pytago, ta có: 2 2 Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 149 Website:tailieumontoan.com BC = BH + HC ⇒ BH = BC − ( AC − AH ) 2 2 2 AD   = a − b −    2 AD (2) ⇒ BH = a − b + b AD − 2 Từ (1) (2) ta có: AD AD 2 b − = a − b + b AD − ⇒ b − a = b AD − b 4 −ab a −b ⇒ ( b + a )( b − a= ⇒ = ) a+b ab b (a + b) ⇒ 1 −= b a b (a + b) Vậy toán dược chứng minh Liên hệ tài liệu word mơn tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... tốn zalo: 039.373.20 38 TÀI LIỆU TỐN HỌC 22 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ – BỔ ĐỀ HÌNH THANG VÀ CHÙM ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY A Kiến thức: 1) Bổ đề hình thang: “Trong hình thang có hai đáy... 039.373.20 38 TÀI LIỆU TỐN HỌC 33 Website:tailieumontoan.com Hình thang vng hình thang có góc vng B HÌNH THANG CÂN A B D C A H1 HÌNH THANG A C B D B C D H2 THANG VUÔNG H3 THANG CÂN Định nghĩa Hình thang... chéo Dấu hiệu nhận biết - Hình thang có góc kề đáy hình thang cân - Hình thang có hai đường chéo hình thang cân Chú ý: Hình thang có hai cạnh bên chưa hình thang cân ( Hình bình hành ) C BÀI TẬP