CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG: HÌNH HỌC 6

Chuyên đề: HÌNH HỌC. Biên soạn bằng bản word, font Times New Roman, MathType 6.9. Tài liệu được chia làm các phần: Lý thuyết cơ bản, bài tập từ dễ đến khó, lời giải chi tiết. Đây là tài liệu dành cho học sinh lớp 6 ôn thi học sinh giỏi, giáo viên làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 năm học 20202021.

CHỦ ĐỀ 21: ĐIỂM – ĐƯỜNG THẲNG – ĐOẠN THẲNG – TAM GIÁC A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ I ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, BA ĐIỂM THẲNG HÀNG 1/ Vị trí điểm đường thẳng - Điểm A thuộc đường thẳng a , kí hiệu A �a - Điểm B khơng thuộc đường thẳng a , kí hiệu B �a 2/ Ba điểm thẳng hàng chúng thuộc đường thẳng, ba điểm không thẳng hàng chúng không thuộc đường thẳng 3/ Trong ba điểm thẳng hàng có điểm điểm nằm hai điểm cịn lại 4/ Nếu có điểm nằm hai điểm khác ba điểm thẳng hàng 5/ Quan hệ ba điểm thẳng hàng mở rộng thành nhiều (4,5, 6, ) điểm thẳng hàng II ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM 1/ Có đường thẳng có đường thẳng qua hai điểm A B 2/ Có ba cách đặt tên đường thẳng: - Dùng chữ in thường: ví dụ a - Dùng hai chữ in thường: ví dụ xy - Dùng hai chữ in hoa: ví dụ AB 3/ Ba vị trí có hai đường thẳng phân biệt: - Hoặc khơng có điểm chung (gọi hai đường thẳng song song) - Hoặc có điểm chung (gọi đường thẳng cắt nhau) 4/ Muốn chứng minh hai hay nhiều đường thẳng trùng ta cần chứng tỏ chúng có hai điểm chung 5/ Ba (hay nhiều) đường thẳng qua điểm gọi ba (hay nhiều) đường thẳng đồng quy Muốn chứng minh nhiều đường thẳng đồng quy ta xác định giao điểm đường thẳng chứng minh đường thẳng cịn lại qua giao điểm III TIA 1/ Hình gồm điểm O phần đường thẳng bị chia điểm O gọi tia gốc O 2/ Hai tia chung gốc tạo thành đường thẳng gọi hai tia đối 3/ Quan hệ điểm nằm hai điểm với hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau: Xét điểm A, O, B thẳng hàng - Nếu OA OB đối gốc O nằm A B - Ngược lại O nằm A B thì: + Hai tia OA, OB đối + Hai tia AO, AB trùng nhau; hai tia BO, BA trùng IV ĐOẠN THẲNG, ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, CỘNG ĐỘ DÀI HAI ĐOẠN THẲNG 1/ Đoạn thẳng AB hình gồm điểm A , điểm B tất điểm nằm A B 2/ Mỗi đoạn thẳng có độ dài Độ dài đoạn thẳng số dương 3/ AB = CD � AB CD có độ dài AB < CD � AB ngắn CD AB > CD � AB dài CD 4/ Điểm nằm hai điểm: Nếu điểm M nằm điểm A điểm B AM + MB = AB Ngược lại, AM + MB = AB điểm M nằm hai điểm A B Nếu AM + MB � AB điểm M không nằm A B Nếu điểm M nằm hai điểm A B ; điểm N nằm hai điểm M B AM + MN + NB = AB V VẼ ĐOẠN THẲNG CHO BIẾT ĐỘ DÀI 1/ Trên tia Ox vẽ điểm M cho OM = a (đơn vị dài) 2/ Trên tia Ox , OM = a, ON = b , < a < b hay OM < ON điểm M nằm hai điểm O N 3/ Trên tia Ox có điểm M , N , P ; OM = a; ON = b; OP = c ; < a < b < c hay OM< ON < OP điểm N nằm hai điểm M P VI TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG 1/ Trung điểm đoạn thẳng điểm nằm hai đầu đoạn thẳng cách hai đầu đoạn thẳng 2/ Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB MA = MB = 3/ Nếu M nằm hai đầu đoạn thẳng AB MA = AB AB M trung điểm AB 4/ Mỗi đoạn thẳng có trung điểm VII TAM GIÁC Định nghĩa Tam giác ABC hình gồm ba đoạn thẳng AB, BC , AC ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng Kí hiệu ABC Các yếu tố tam giác Tam giác ABC có: + Ba đỉnh là: A, B, C + Ba cạnh là: AB, BC , AC � ,� + Ba góc � ABC , BAC ACB 3/ Để vẽ tam giác ABC có độ dài cạnh cho trước, ta làm sau: Bước Vẽ đoạn thẳng AB có độ dài cạnh cho trước; Bước Vẽ đỉnh C (thứ ba) giao điểm hai cung trịn có tâm hai đỉnh A B vẽ bán kính độ dài hai cạnh lại B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP TRONG KÌ THI HSG DẠNG 1: BÀI TỐN TRỒNG CÂY THẲNG HÀNG - Các thẳng hàng nằm đường thẳng - Giao điểm hai hay nhiều đường thẳng vị trí thỏa mãn toán Bài tập Có 10 cây, trồng thành hàng cho hàng có Hướng dẫn Theo hình 11 ( điểm hình vẽ ) Hình Bài tập Có cây, trồng thành hàng cho hàng có Hướng dẫn Theo hình 12 ( điểm hình vẽ ) Hình Bài tập Hãy vẽ sơ đồ trồng 10 thành hàng, hàng (Giải cách) Hướng dẫn Cách Cách Cách Cách DẠNG 2: ĐẾM SỐ ĐOẠN THẲNG (ĐƯỜNG THẲNG) TẠO THÀNH TỪ CÁC ĐIỂM CHO TRƯỚC Cho biết có n điểm (n ∈ N n ≥ 2) Kẻ từ điểm với n 1điểm lại n  đoạn thẳng (đường thẳng) Làm với n điểm nên có n  n  1 đoạn thẳng (đường thẳng) Nhưng đoạn thẳng (đường thẳng) tính lần Do số đoạn thẳng (đường thẳng) vẽ n  n 1 : đoạn thẳng (đường thẳng) Bài tập Lấy năm điểm M, N, P, Q, R, khơng có ba điểm thẳng hàng Kẻ đường thẳng qua cặp điểm Có đường thẳng tất ? Đó đường thẳng nào? Hướng dẫn Cách 1: Vẽ hình liệt kê đường thẳng (Chỉ dùng có điểm) Cách 2: Bằng cách tính: Lấy điểm ( chẳng hạn điểm M), lại điểm phân biệt ta nối điểm M với điểm cịn lại đường thẳng Với điểm cho ta có : đường × điểm Nhưng với cách làm trên, đường ta tính hai lần chẳng hạn, chọn điểm M ta nối M với N, ta có đường thẳng MN Nhưng chọn điểm N, ta nối N với M, ta có đường thẳng NM Hai đường thẳng trùng nên ta tính đường Vậy số đường thẳng vẽ : �5  10 ( đường thẳng) Bài tập Vẽ bốn đường thẳng đôi cắt Số giao điểm ( hai đường thẳng hay nhiều đường thẳng) ? Hướng dẫn Khi vẽ bốn đường thẳng xảy trường hợp sau : a) Bốn đường thẳng đồng quy : có điểm chung ( H.a) b) Có ba đường thẳng đồng quy, đường thẳng thứ tư cắt ba đường thẳng : có điểm ( H.b) c) Khơng có ba đường thẳng đồng quy (đơi cắt nhau) : có điểm ( H.c) a) b) c) Hình Bài tập 3: Trên mặt phẳng có bốn đường thẳng Số giao điểm đường thẳng bao nhiêu? Hướng dẫn Bài tốn địi hỏi phải xét đủ trường hợp: Hình a) Bốn đường thẳng đồng quy: có giao điểm (H4a) b) Có ba đường thẳng đồng quy: - Có hai đường thẳng song song: giao điểm (H4b) - Khơng có hai đường thẳng song song: giao điểm (H4c) b) Khơng có ba đường thẳng đồng quy Hình - Bốn đường thẳng song song: giao điểm (H5a) - Có ba đường thẳng song song: giao điểm (H5b) - Có hai cặp đường thẳng song song: giao điểm (H5c) - Có cặp đường thẳng song song: giao điểm (H5d,e) - Khơng có hai đường thẳng song song: giao điểm (H5g) Bài tập 4: Cho n điểm (n �2) Nối cặp hai điểm n điểm thành đoạn thẳng a) Hỏi có đoạn thẳng n điểm khơng có ba điểm thẳng hàng? b) Hỏi có đoạn thẳng n điểm có ba điểm thẳng hàng? c) Tính n biết có tất 1770 đoạn thẳng Hướng dẫn a) Chọn điểm Nối điểm với điểm n - điểm lại, ta vẽ n - đoạn thẳng Nhưng đoạn thẳng tính hai lần, tất có n(n - 1) đoạn thẳng b) Tuy hình vẽ có ba điểm thẳng hàng, số phận đoạn thẳng phải đếm khơng thay đổi, có c) Ta có n(n - 1) đoạn thẳng n(n - 1) = 1770 Do đó: n(n - 1) = 1770.2 = 22.3.5.59 = 59.60 Suy n = 60 Bài tập 5: Cho n điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Biết có tất 105 đường thẳng Tính n ? Hướng dẫn Ta có n( n - 1) = 105 nên n(n - 1) = 210 = 2.3.5.7 = 15.14 Vậy n = 15 Bài tập 6: Cho 20 điểm, có a điểm thẳng hàng Cứ điểm, ta vẽ đường thẳng Tìm a , biết vẽ tất 170 đường thẳng Hướng dẫn Giả sử 20 điểm, khơng có điểm thẳng hàng Khi đó, số đường thẳng vẽ là: 19.20 : = 190 Trong a điểm, giả sử khơng có điểm thẳng hàng Số đường thẳng vẽ là: (a - 1)a : Thực tế, a điểm ta vẽ đường thẳng Vậy ta có: 190 - (a - 1)a : +1 = 170 � a =7 Bài tập a) Cho bốn điểm A1,A2,A3,A khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta kẻ đường thẳng Có đường thẳng? b) Cũng hỏi với điểm,10 điểm? Hướng dẫn a) Qua A1 kẻ đường thẳng A1A2 , A1A3 , A1A4 Qua A2 kẻ đường thẳng A2 A3, A2A4 Qua A3 kẻ đường thẳng A3 A4 Qua A4 khơng cịn kẻ thêm đường thẳng Vậy có tất 3+2+1=6 đường thẳng b) Nếu cho điểm A1, A2 , A3 ,A4 , A5 khơng có điểm thẳng hàng (0,25) Qua A1 kẻ đường thẳng A1A2 , A1A3 , A1A4, A 1A5 Qua A2 kẻ đường thẳng A3A2 , A2A5 , A2A4 Qua A3 kẻ đường thẳng A4 A3, A3A5 Qua A4 kẻ đường thẳng A4A5 Qua A5 khơng cịn kẻ thêm đường thẳng Vậy có tất 4+ 3+2+1=10 đường thẳng Lập luận số đường thẳng kẻ cho 10 điểm khơng có ba điểm thẳng hàng : 9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45 đường thẳng Bài tập a) Có 25 điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi vẽ tất đường thẳng? Nếu thay 25 điểm n điểm ( n �N n �2 ) số đường thẳng bao nhiêu? b) Cho 25 điểm có điểm thẳng hàng, ngồi khơng có ba điểm thẳng hàng Vẽ đường thẳng qua cặp điểm Hỏi vẽ tất đường thẳng? c) Cho m điểm ( m �N ) khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Biết tất có 120 đường thẳng Tìm m Hướng dẫn a) Kể từ điểm với điểm lại vẽ 24 đường thẳng Làm với 25 điểm nên có 24.25  600 đường thẳng Nhưng đường thẳng tính lần Do số đường thẳng thực có là: 600:  300 đường thẳng Lập luận tương tự có n điểm có: n. n 1 : (đường thẳng) b) Nếu 25 điểm cho khơng có ba điểm thẳng hàng số đường thẳng vẽ 300 đường thẳng (câu a) :  28 đường thẳng Với điểm, khơng có điểm thẳng hàng vẽ được: 87 Cịn điểm thẳng hàng vẽ đường thẳng Do số đường thẳng bị giảm là: 28 1 27 (đường thẳng) Số đường thẳng cần tìm là: 300 27  273 đường thẳng c) Ta có: m  m  1 :  120 � m  m  1  120.2 � m  m  1  240 � m  m  1  16.15 � m  15 Bài tập a) Cho 31 đường thẳng hai đường thẳng cắt nhau, ba đường thẳng qua điểm Tính số giao điểm có b) Cho m đường thẳng ( m �N ) hai đường thẳng cắt nhau, khơng có ba đường thẳng qua điểm Biết số giao điểm đường thẳng 190 Tính m Hướng dẫn a) Mỗi đường thẳng cắt 30 đường thẳng cịn lại tạo thành 30 giao điểm Có 31  930 giao điểm, giao điểm tính hai lần nên đường thẳng nên có 3031 có: 930 :  465(giao điểm) Nếu thay 31 n ( n �N n �2 ) số giao điểm có là: n  n 1 : (giao điểm) b) m  m  1 :  190 � m(m  1)  380 � m(m  1)  20.19 Vậy m  20 Bài tập 10 Cho năm điểm A, B, C, D, E phân biệt, khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đoạn thẳng Hỏi tất có đoạn thẳng? Hướng dẫn Chọn điểm Nối điểm với điểm điểm cịn lại, ta vẽ đoạn thẳng Làm lần (vì có điểm) nên ta có 5.4 =20 đoạn thẳng Nhưng đoạn thẳng tính hai lần, tất có 20 : = 10 đoạn thẳng Bài tập 11 Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt, khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đoạn thẳng Hỏi có tất đoạn thẳng? Hướng Bài tập 12 Cho năm điểm phân biệt, có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đoạn thẳng Hỏi có tất đoạn thẳng? Bài tập 13 Cho bốn điểm phân biệt, có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đoạn thẳng Hỏi có tất đoạn thẳng? Bài tập 14: Cho 20 điểm phân biệt có điểm thẳng hàng, ngồi khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi từ 20 điểm vẽ tất đường thẳng? Hướng dẫn Nếu 20 điểm khơng có ba điểm thẳng hàng vẽ (Đường thẳng) 20.( 20  1) 190 Hướng dẫn Chọn 20 điểm nối với 19 điểm cịn lại ta có 19 đoạn thẳng, có 20 điểm nên có 20 19= 380 (đoạn thẳng) Mà đoạn tính lần nên có (19 20): = 190 đoạn thẳng Hai mút đoạn thẳng với 18 điểm cịn lại ta có hình tam giác, có 190 đoạn thẳng nên có 190 18 tam giác Mà tam giác tính lần nên có (190.18):3 = 1140 (tam giác) Bài tập 6: Cho 10 điểm thuộc đường thẳng a điểm nằm đường thẳng Có tam giác có đỉnh ba 11 điểm trên? Hướng dẫn Có đoạn thẳng nằm đường thẳng a có nhiêu tam giác Đáp số: 45 tam giác Bài tập 7: Cho tam giác ABC , điểm D nằm A C , điểm E nằm A B Các đoạn thẳng BD CE cắt K Nối DE Tính xem có tam giác hình vẽ? Đáp số: Có tam giác “đơn”, có tam giác “đơi”, có tam giác “ba”, có tam giác “năm”, tất có 12 tam giác DẠNG 5: BÀI TẬP LIÊN QUAN TỚI TRUNG ĐIỂM ĐOẠN THẲNG TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG Nếu điểm M nằm điểm A điểm B AM + MB = AB Ngược lại, AM + MB = AB điểm M nằm hai điểm A B Nếu điểm M nằm hai điểm A B ; điểm N nằm hai điểm M B AM + MN + NB = AB Nếu M trung điểm đoạn thẳng AB MA = MB = Nếu M nằm hai đầu đoạn thẳng AB MA = AB AB AB M trung điểm Bài tập Đoạn thẳng AB= 36 cm chia thành bốn đoạn thẳng có độ dài khơng đoạn thẳng AM, MN, NP PB Gọi E, F, H theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng AM, MN, NP PB Biết độ dài đoạn thẳng EH = 30cm Tính độ dài đoạn thẳng FG Hướng dẫn - Theo đầu : AB = 36 cm, EH = 30 cm Vậy AE + HB = 36 – 30 = 6(cm) Mà AE  AM (1) ; HB  PB (2) (E H trung điểm AM PB) Từ (1) (2) ta có : AE  HB  AM PB AM  PB   2 AM  PB  � AM  PB  12(cm) Mà AE + HB = 6(cm) , nên Vậy, MP = AB – ( AM +PB ) = 36 – 12 →MP = 24 (cm) - Theo đầu : F trung điểm MN, nên Và G trung điểm NP, nên NG  FN  MN (3) NP (4) Từ (3) (4) suy : FN  NG  MN NP MN  NP   2 (5) Theo thứ tự lấy điểm chia thứ tự lấy trung điểm đoạn thẳng, N điểm nằm hai điểm F G; N điểm nằm hai điểm M P Vậy FN + NG = FG MN + NP = MP Thay vào (5) ta có : FG  MP 24   12(cm) 2 Vậy độ dài đoạn thẳng FG 12 cm Bài tập Các điểm A, B, C nằm đường thẳng Các điểm M N trung điểm đoạn thẳng AB AC Chứng tỏ : BC = 2MN Bài tốn có trường hợp, chứng tỏ trường hợp Hướng dẫn Khi vẽ hình có hai trường hợp: - Trường hợp 1( H.a) : Hai điểm B C phía với A, tức hai tia AB AC trùng + Trường hợp chia làm hai trường hợp nhỏ : AB > AC, AC > AB ( hai trường hợp chứng minh tương tự ) Ta chứng tỏ AB < AC: N trung điểm AC, nên : AN  AC M trung điểm AB, nên : AM  (1) AB (2) Từ (1) (2) ta có : AN  AM  AC AB AC  AB   2 (3) Ta xét AB < AC, nêm điểm B nằm hai điểm A C AC = AB + BC => BC = AC - AB (4) AB < AC => AM < AN nên điểm M nằm hai điểm A N AN = AM + MN => MN = AN - AM (5) Thay (4) (5) vào (3), ta có: MN = BC/2 hay BC = 2MN - Trường hợp ( H.b) : Hai điểm B C thuộc hai tia đối AB AC Suy hai trung điểm thuộc hai tia đối M trung điểm AB, nên : AM  N trung điểm AC, nên : AN  AB AC (6) (7) Từ ( 6) (7) có : AM  AN  AB  AC (8) Mà AB AC hai tia đối nhau, nên điểm A nằm hai điểm B C BC = BA + AC (9) M ∈ AB N∈ AC hai tia đối, nên điểm A nằm hai điểm M N ta có: MN = AM + AN Thay (9) (10) vào (8), ta có : MN  (10) BC hay BC = 2MN Bài tập điểm A, B, C nằm đoạn thẳng Biết AB= 12cm, BC = 13,5cm Độ dài đoạn thẳng AC bao nhiêu? Chỉ rõ trường hợp Hướng dẫn Xét hai trường hợp : - Trường hợp ( H.a) : Hai điểm B C hai tia đối AB AC Vậy, điểm A nằm hai điểm B C Ta có: BC = BA + AC Thay số vào ta : 13,5 = 12 + AC Vậy AC = 1,5 ( cm) - Trường hợp ( H.b) : Hai điểm B C phía với điểm A Vì BC > BA ( 13,5 cm > 12cm), nên xảy trường hợp điểm C nằm hai điểm A B Chỉ xảy điểm B nằm hai điểm A C Ta có : AC = AB + BC � AC = 12 + 13,5 = 25,5 (cm) Vậy AC = 25,5 (cm) Bài tập Đoạn thẳng AB có độ dài 28cm Được chia thành ba đoạn thẳng không theo thứ tự AC, CD DB E F trung điểm đoạn thẳng AC DB Biết độ dài đoạn EF = 16cm Tìm độ dài đoạn CD Hướng dẫn Đoạn AB chia thành ba đoạn theo thứ tự AC, CD, DB Vậy, hai điểm C D nằm hai điểm A B, hay đoạn thẳng CD nằm hai đoạn thẳng AC DB E trung điểm AC nên AE  AC (1) F trung điểm DB nên FB  DB (2) Từ (1) (2) có : AE  FB  AC DB AC  BD  � AE  FB  2 Trong AE + FB = AB – EF Vậy, AE  FB  AC  BD  28  16  12 Suy ra: AC + BD = 24 (cm) Vậy đoạn CD = AB – ( AC + BD ) = 28 – 24 = (cm) Bài tập Cho đoạn thẳng AB= 6cm Trên tia đối tia AB lấy điểm C Biết E trung điểm đoạn thẳng CA, F trung điểm đoạn thẳng CB a) Chứng tỏ độ dài đoạn CB lớn độ dài đoạn CA b) Tìm độ dài đoạn EF Hướng dẫn a) Điểm C thuộc tia đối tia AB, nên điểm A nằm hai điểm B C Vậy ta có : BC = BA + AC Độ lớn đoạn BC, BA, BC số dương, nên tổng hai số phải lớn số hạng Vậy, BC phải lớn AC b) F trung điểm đoạn CB, nên : CF  E trung điểm đoạn CA, nên : CE  CB (1) CA (2) Mà CA < Cb ( câu a), nên CE < CF, chứng tỏ điểm E nằm hai điểm C F Suy : CF = CE + EF � EF = CF – CE Thay (1) (2) vào (3), ta có : EF  (3) CB CA CB  CA AB      3(cm) 2 2 Vậy EF = cm Bài tập Đoạn thẳng AB có độ dài a chia thành ba đoạn thẳng hai điểm chia P, Q theo thứ tự đoạn AP, PQ QB cho AP = 2PQ = QB Tìm khoảng cách a) Điểm A điểm I trung điểm QB b) Điểm E trung điểm đoạn AP điểm I Hướng dẫn a) Đoạn AB chia thành ba đoạn theo thứ tự AP, PQ, QB Vậy AB = AP + PQ + QB Mà AP = PQ (1) (2) 2QP  2QB � PQ  QB Vậy AB = 2QB + BQ + QB � AB = 4QB (3) I trung điểm QB, nên : IB  QB (4) I trung điểm QB, mà Q nằm hai điểm A B, nên I nằm hai điểm A B Vậy ta có : AB = AI + IB Từ (3) ta có : Vậy IB  AB  4QB � QB  (5) AB QB AB �  QB AB  (6) Thay (6) vào (5) có : AB  AI  AB AB AB  AB AB 7a � AI  AB   � AI   (cm) 8 8 ( a độ dài đoạn AB ) b) Theo (3) : AB = 4QB Theo (1) : 2QB = AP Vậy ta suy : AB  AP � AP  Mà E trung điểm AP, nên QB AB  Theo (6) : AB EP  AP AB  (7) Suy QB = Theo (6) : AB AB , mà PQ + QB, : PQ = 4 QB AB AB  � QB  Mà I trung điểm QB, nên QI  Thay QB  (8) QB AB AB , có QI  (9) Theo đầu bài, đoạn AB chia thành ba đoạn thẳng theo thứ tự AP, PQ, QB nên EI = EP + PQ + QI (10) Thay (7), (8), (9) vào (10) có: EI = � EI  AB AB AB + + 4 AB 5a � EI  (cm) , ( a độ dài đoạn AB) 8 Bài tập 7: Trên tia Ox vẽ điểm M1;M2;M3 cho OM1 = 12cm; OM2 = 19cm; OM3 = 26cm Điểm M2 có trung điểm đoạn thẳng M1M3 hay khơng? Vì sao? Hướng dẫn Trên tia Ox ta có OM1< OM2< OM3 => M2 nằm M1 M3 (1) Tính M2M3 = cm Tính M1M2 = cm Suy M1M2 = M2M3 (2) Từ (1); (2) => M2 trung điểm đoạn thẳng M1M3 Bài tập 8: Cho đoạn thẳng AB trung điểm M Chứng tỏ C điểm thuộc tia đối tia BA CM  Hướng dẫn CA  CB A M CA = MA + CM CB = MB - CM Trừ CA - CB = 2CM (Do MA = MB)  CM  CA  CB C B Bài 10: Trên tia Ox cho điểm A, B, C , D , biết A nằm B C ; B nằm C D ; OA = 5cm; OA = 2cm; BC = 4cm độ dài AC gấp đơi độ dài BD Tính độ dài đoạn BD; AC Hướng dẫn O D B A x C Vì A nằm B C nên BA + AC = BC � BA + AC = (1) Lập luận � B nằm A D Theo gt OD < OA � D nằm O A Mà OD + DA = OA � + DA = � DA = 3cm Ta có DB + BA = DA � DB + BA = (2) (1) - (2) => AC - BD = (3) Theo đề ra: AC = BD thay vào (3) Ta có BD - BD =1 � BD =1 � AC = BD � AC = 2cm Bài 11: Gọi A B hai điểm tia Ox cho OA = 4cm; OB = 6cm Trên tia BA lấy điểm C cho BC = 3cm So sánh AB với AC Hướng dẫn B x C A O � � � � Hai điểm A B tia Ox mà OA < OB (4 < 6) nên điểm A nằm O B Suy AB = OB - OA ; AB = - = 2(cm) Hai điểm A C tia BA < BC (2 < 3) nên điểm A nằm hai điểm B C Suy AC = BC - BA = - = 1(cm) Vậy AB > AC (2 >1) Bài 12: Trên tia Ox cho điểm A, B, C , D Biết A nằm B C ; B nằm C D ; OA = 7cm; OD = 3cm; BC = 8cm AC = 3BD a)Tính độ dài AC b) Chứng tỏ rằng: Điểm B trung điểm đoạn thẳng AD Hướng dẫn a) Tính độ dài AC O � A � Dx B � � 3x C � x Đặt BD = x(cm) � AC = x(cm) Vì D nằm O A (Do OD < OA ) nên: OD + DA = OA � DA = � DB + BA = hay x + BA = (1) Vì A nằm B C nên: BA + AC = BC hay 3x + BA = (2) Từ (1) (2) ta có: (3x + BA) - ( x + BA) = - � 2x = � x = � AC = 3.2 = 6(cm) b) Chứng tỏ rằng: Điểm B trung điểm đoạn thẳng AD Theo (1) ta có: x + BA = mà x = � BA = Mà BD = x = � BD = BA(= 2) � B trung điểm đoạn thẳng AD Bài 13: Trên tia Ox lấy hai điểm M N , cho OM = 3cm ON = 7cm a) Tính độ dài đoạn thẳng MN b) Lấy điểm P tia Ox , cho MP = 2cm Tính độ dài đoạn thẳng OP c) Trong trường hợp M nằm O P Chứng tỏ P trung điểm đoạn thẳng MN Hướng dẫn O P � � M � P � N � x a) Do M , N thuộc tia Ox mà OM < ON nên M nằm hai điểm O N � OM + ON = ON � + MN = � MN = - = 4(cm) Vậy MN = 4(cm) b) TH1: Nếu P nằm M N M nằm O P � OP = OM + MP � OP = + = 5(cm) TH2: Nếu P nằm O M � OM = OP + PM � = OP + � OP = 1(cm) c) M nằm O P � OP = 5(cm) < ON = 7(cm) nên P nằm O N � OP + PN = ON � + PN = � PN = 2(cm ) Do đó: MP = PN , mà P nằm M N nên P trung điểm MN Bài 14: Cho đường thẳng xy Trên xy lấy điểm A, B, C cho AB = a (cm); AC = b(cm) (b > a ) Gọi I trung điểm AB a) Tính IC ? b) Lấy điểm M ; N ; P; Q nằm đường thẳng xy Chứng tỏ đường thẳng xy không cắt, cắt ba, cắt bốn đoạn thẳng đoạn thẳng sau: MN , MP, MQ, NP, NQ, PQ Hướng dẫn a) TH1: B, C nằm phía với so với điểm A I x B A � � � Tính IC = b - y a TH2: B, C nằm khác phía so với điểm A I x A C � � � Tính IC = b + C � a B � y b) *) TH1: Nếu điểm thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng xy đường thẳng xy khơng cắt đoạn thẳng: MN , MP, MQ, NP, NQ, PQ *) TH2: Nếu có điểm (giả sử: M ; N ; P ) thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng điểm Q nằm khác phía bờ đường thẳng xy đường thẳng xy cắt đoạn thẳng sau: MQ, NQ, PQ *) TH3: Nếu có điểm (giả sử M ; N ) thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng điểm ( P; Q) nằm khác phía bờ đường thẳng xy đường thẳng xy cắt đoạn thẳng sau: MP; MQ; NP; NQ Bài tập 15: Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối tia AB Gọi M, N thứ tự trung điểm OA, OB a) Chứng tỏ OA < OB b) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O c) Lấy điểm P nằm đường thẳng AB Cho H điểm nằm tam giác ONP Chứng tỏ tia OH cắt đoạn NP điểm E nằm N P Hướng dẫn P E H O M A N B a) Hai tia AO AB hai tia đối Suy điểm A nằm điểm O điểm B Vậy OA < OB b) Vì M, N trung điểm OA OB Suy OM = (1/2) OA, ON = (1/2) OB Theo câu a OA < OB nên OM < ON M, N thuộc tia OB nên M nằm O N Suy OM + MN = ON Suy MN = ON – OM MN = (1/2) OB – (1/2) OA = (1/2) (OB – OA)= (1/2) AB AB có độ dài khơng đổi nên MN khơng đổi c) Điểm H nằm tam giác ONP suy H nằm góc O Suy tia OH nằm hai tia ON OP P, N điểm không trùng O thuộc tia ON, OP Suy tia OH cắt đoạn NP điểm E năm N P Bài tập 16: Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối tia AB Gọi M, N thứ tự trung điểm OA, OB a) Chứng tỏ OA < OB b) Trong ba điểm O, M, N điểm nằm hai điểm lại ? c) Chứng tỏ độ dài đoạn thẳng MN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB) Hướng dẫn o m a b n a) Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm hai điểm O B � OA < OB b) Ta có M N thứ tự trung điểm OA, OB � OM  OA OB ; ON  2 Vì OA < OB, nên OM < ON Hai điểm M N thuộc tia OB, mà OM < ON, nên điểm M nằm hai điểm O N c) Vì điểm M nằm hai điểm O N � OM  MN  ON � MN  ON  OM � MN  OB  OA AB  2 Vì AB có độ dài khơng đổi, nên MN có độ dài khơng đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB) Bài tập 17 : Trên tia Ox xác định điểm A B cho OA= a (cm), OB=b (cm) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b < a b) Xác định điểm M tia Ox cho OM = (a+b) Hướng dẫn a) Vì OB AM2= AM1= AB 1 23 Vì M3 trung điểm cỏc đoạn thẳng AM2 => AM3= AM2= AB Vì M2014là trung điểm cỏc đoạn thẳng AM2013 => AM2014 = 1 2014 2014 AB = 2014 = 1( cm) Từ (1), (2), (3), , (2014) suy M2014 nằm Avà B => AM2014 + BM2014 = AB ; BM2014 = AB - AM2014 => BM2014=2 2014 – Vậy BM2014=2 2014-1 Bài tập 20: Cho AB=2 2014 cm Gọi C trung điểm AB; Gọi C trung điểm A C ; Gọi C trung điểm AC ;…; Gọi C 2014 trung điểm AC 2013 Tính C C 2014 Hướng dẫn Vì C trung điểm AB nên AC =AB/2 (1) Vì C trung điểm A C nên AC = AC /2=AB/2 (2) Vì C trung điểm A C nên AC = AC /2=AB/2 (3) … VÌ C 2014 trung điểm AC 2013 nên AC 2014 = AB/2 2014 =1 TỪ (1), (2),(3),…,(2014) suy C 2014 nằm A C Do AC 2014 + C C 2014 =AC Vậy C C 2014 =2 2013 -1 (2014) ... thành hàng cho hàng có Hướng dẫn Theo hình 11 ( điểm hình vẽ ) Hình Bài tập Có cây, trồng thành hàng cho hàng có Hướng dẫn Theo hình 12 ( điểm hình vẽ ) Hình Bài tập Hãy vẽ sơ đồ trồng 10 thành... có 60 điểm có đoạn thẳng ( Mỗi đoạn thẳng có mút thuộc 60 điểm cho) Hướng dẫn a) Số đoạn thẳng: 15 14 : = 105 b) Tổng quát số đoạn thẳng là: n = 60 nên số đoạn thẳng là: n(n  1) ( n số điểm) 60 (60 ... 36 cm, EH = 30 cm Vậy AE + HB = 36 – 30 = 6( cm) Mà AE  AM (1) ; HB  PB (2) (E H trung điểm AM PB) Từ (1) (2) ta có : AE  HB  AM PB AM  PB   2 AM  PB  � AM  PB  12(cm) Mà AE + HB = 6( cm)