Các chuyên đề nâng cao toán 8 tập 2

a) Gọi đáy là đa giác ABCDE.. a) Tính thể thức khoảng không ở bên trong lều.. a) Tìm thể tích của khối gỗ còn lại. Ta gọi mỗi mặt của khối gỗ nhỏ là mặt nhỏ. Sau khi đục, ở mỗi mặt khố[r]

(1)

Tailieumontoan.com 

Sưu tầm

TUYỂN TẬP

CÁC CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO LỚP TẬP

(2)

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

BÀI MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH

BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN VÀ CÁCH GIẢI

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 * Một phương trình ẩn x ln có dạng A x( )=B y( ), vế trái A x( ) vế phải

( )

B x hai biểu thức biến x

* Gía trị x0 của ẩn x để A x( 0)=B x( 0) gọi nghiệm

2 * Tập hợp tất nghiệm phương trình gọi tập nghiệm phương trình * Giải phương trình tìm tập nghiệm phương trình

* Hai phương trình có tập nghiệm hai phương trình tương đương

3 Từ phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân, ta phương trình tương đương với phương trình

4 Nghiệm phương trình a x+ =b (a≠0) x b

a

−

=

B CÁC DẠNG TOÁN

Dạng XÉT XEM x=a CĨ LÀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG

Phương pháp giải

* Nghiệm phương trình A x( )=B x( ) giá trị x mà thay vào phương trình, giá trị tương ứng hai vế

* Muốn xem số a có phải nghiệm phương trình hay khơng, ta thay x a= vào hai vế phương trình, tức tính A(a) B(a)

Nếu hai vế phương trình nhau, tức A a( )=B a( ) x= nghiệm phương a

trình Cịn A(a)≠B(a) x= khơng nghiệm phương trình a

Ví dụ (Bài 1, SGK trang 6)

Với phương trình, xét xem x= − có nghiệm khơng :

a) 4x− =1 3x− ; b) x+ =1 2(x 3)− ;

c) 2(x+ + = −1) x

Giải a) Với x= − : Vế trái có giá trị : 4.( 1) 1− − = −5

Vế phải có giá trị : 3.( 1)− − =2

Vậy x= − nghiệm phương trình 31 x− = x−

b) Với x= − : Vế trái có giá trị : ( 1) 1− + =0

(3)

Vế phải có giá trị : 2.( 3)− − =2.( 4)− = −8

Vậy x= − khơng nghiệm phương trình x+ =1 2(x 3)−

c) Với x= − : Vế trái có giá trị : 2.( 1) 3− + + =3

Vế phải có giá trị : ( 1)− − =3

Vậy x= − nghiệm phương trình 2(x+ + = −1) x

Ví dụ (Bài trang SGK)

Trong giá trị t= −1;t=0;t=1 giá trị nghiệm phương trình

2

(t 2)+ = +3t ?

Giải - Thay t = − vào phương trình :

2

( 2)− + = − + ⇔ =3( 1) 1:

Vậy t= − nghiệm phương trình

- Thay t= vào phương trình :

2

(0 2)+ =3.0 4+ ⇔2 =4 :

Vậy t= nghiệm phương trình

- Thay t= vào phương trình :

2

(1 2)+ =3.1 4+ ⇔3 =7 : sai

Vậy t= không nghiệm phương trình

Ví dụ (Bài trang SGK)

Xét phương trình x+ = + Ta thấy số thực nghiệm Hãy 1 x

cho biết tập nghiệm phương trình ?

Giải

Phương trình x+ = + nghiệm với 1 x x(x∈ ) nên tập nghiệm phương trình S = 

Ví dụ (Bài 4, trang SGK)

Nối phương trình sau với nghiệm (theo mẫu) :

(4)

1

x

x+ = − (b)

2

x − x− = (c)

Giải

x= − nghiệm phương trình (c)

2

x= nghiệm phương trình (a)

4

x= nghiệm phương trình (b)

Dạng XÉT HAI PHƯƠNG TRÌNH CĨ TƯƠNG ĐƯƠNG NHAU KHƠNG

* Hai phương trình gọi tương đương nghiệm phương trình nghiệm phương trình nghược lại Nói cách khác, hai phương trình tương đương hai phương trình có tập nghiệm

Đặc biệt : Hai phương trình vơ nghiệm xem hai phương trình tương đương (vì tập nghiệm chúng ∅)

* Nếu nghiệm phương trình mà khơng nghiệm phương trình phương trình có nghiệm, phương trình vơ nghiệm kết luận hai phương trình khơng tương đương

* Để chứng tỏ hai phương trình (1) (2) tương đương, ngồi phương pháp chứng tỏ hai phương trình (1) (2) có tập nghiệm S1; S2 nhau, ta dùng phương pháp

khác dùng phép biến đổi tương đương để biến (1) thành (2) ; biến đổi (2) thành (1)

Hai phương trình x= x(x 1)− =0 có tương đương khơng, ?

Giải Phương trình x= có tập nghiệm S1={ }0

Phương trình x x( − =1) có tập nghiệm S1={ }0;1

Vì S1 ≠2 nên hai phương trình đx cho khơng tương đương

Tính diện tích S hình thang ABCD theo x hai cách:

-1

(5)

1) Theo công thức S =BH BC.( +DA) : ;

2) S=SABH +SBCKH +SCKD

Sau sử dụng giả thiết S =20 để thu hai phương trình tương đương với Trong hai phương trình ấy, có phương trình phương trình bậc khơng ?

Giải 1) Ta có : BH = ; x BC=HK =x;

7 11

DA= AH+HK+KD= + + = + x x

Vậy : S =BH BC.( +DA) : 2=x(11 ) : 2+ x

2) Ta có : 1.7

2

ABH

S = BH AH = x

2

;

1

.4

2

BCKH

CKD

S BH HK x

S CK KD x

= =

Vậy

2 2

1 1 11

.7

2 2

ABH BCKH CKD

S A S S

x x x x x x x x

= + +

= + + = + + = +

Theo giả thiết, S =20 ta haiphuowng trình tương đương với :

(11 ) 20

x + x

= 11 20

x + x=

Trong hai phương trình ấy, khơng có phương trình phương trình bậc

Dạng NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN SỐ

4

7 x

x

K H

A D

C B

(6)

Phương trình bậc ẩn phương trình dạng a x b+ =0với a b, tùy ý a≠

Ví dụ (Bài 7, trang 10 SGK)

Hãy phương trình bậc phương trình sau

a) 1+ = x b)

0

x+x =

c) 2− t =0; d) 3y=0

e) − =

Giải a) 1+ = phương trình bậc với x a=1;b=1

b) x+x2 =0 khơng phải phương trình bậc

c) 2− = phương trình bậc với t a= −2;b=1

d) 3y=0 phương trình bậc với a=3;b=0

e) − = khơng phải phương trình bậc

Dạng GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc chuyển vế quy tắc nhân để tìm nghiệm phương trình bậc

Giải phương trình :

a) 4x−20= b) 2x+ +x 12=

c) x− = −5 x; d) 3− x= − x

Giải a) 4x−20= ⇔0 4x=20⇔ = x

Phương trình có nghiệm x=

b) 2x+ +x 12= ⇔0 3x+12= ⇔0 3x= − ⇔ = − 12 x

Phương trình có nghiệm x= −

c) x− = − ⇔ + = + ⇔5 x x x 2x= ⇔ = x

(7)

Phương trình có nghiệm x=

d) 3− x= − ⇔ −9 x x 3x= − ⇔ − = ⇔ = − 2x x

Phương trình có nghiệm x= −

Ví dụ (Bài trang 10 SGK)

Giải phương trình sau, viết số gần nghiệm dạng số thập phân cách làm tròn đến hàng phần trăm

a) 3x− = 11 b) 12 7+ x=

c) 10 4− x=2x−

Giải

a) 11 11 11 3, 67

3

x− = ⇔ x= ⇔ =x =

b) 12 7 12 12 1, 71

7

x x x −

+ = ⇔ = − ⇔ = = −

c) 10 x x 10 x 13 x 13 2,17

6

x x

− = − ⇔ − − = − − ⇔ − = − ⇔ = =

C LUYỆN TẬP

1 (Dạng 1) Trong số 2; 3; 1; ; ; 2;31

2

−

− − tìm nghiệm phương trình sau:

a)

2

x − x= ; b) y− = − −4 y;

c) 3

z− = −

2 (Dạng 1) Thử lại phương trình có nghiệm số viết dấu ngoặc:

2

2x −4x+ =1 x −3(3x+1) (x= −1; x= −4)

3 (Dạng 1) Thử lại phương trình 2mx+ =2 6m− + nhận x x= làm nghiệm, dù

m lấy giá trị

4 (Dạng 2) Hai phương trình sau có tương đương không?

a) 1 5x=

1

5x= ; x b) 4x+ = 3

2

4x + =3 0

c) x+ = 1 x

1 0;

x + = d) x2+ =3 0 (x2+3)(x 5)− =0

5 (Dạng 4) Giải phương trình :

(8)

c) 5y+12=8y+27; d) 13 2− y= −y 2;

e) 3 2, 25+ x+2, 6=2x+ +5 0, ;x g)

5x+3, 48 2, 35− x=5, 38 2, 9− x+10, 42.

BÀI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG AX + =B 0

A TĨM TẮT LÝ THUYẾT

Cách giải phương trình thu gọn dạng ax b+ = : - Quy đồng mẫu thức hai vế

- Nhân hai vế cho mẫu thức để khử mẫu thức

- Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế, số sang vế - Thu gọn giải phương trình

B CÁC DẠNG TỐN

Dạng 1: TÌM CHỖ SAI VÀ SỬA LẠI CÁC BÀI GIẢNG PHƯƠNG TRÌNH

- Chú ý đến quy tắc chuyển vế: Trong phương trình ta chuyển vế hạng tử từ

vế sang vế đổi dấu hạng tử

- Quy tắc nhân: Ta nhân hai vế với số khác

Ví dụ 1: Tìm chỗ sai sửa lại giải sau cho đúng:

)

3

1

a x x x

x x x

x

− + = −

⇔ + − = −

⇔ =

) 12

2 12

3

b t t t

t t t

t

− + = +

⇔ + − = −

⇔ =

Giải

a) 3x− + = − ⇔6 x x 3x+ − = − : Sai chuyển vế không đổi dấu x x

Lời giải đúng: 3x− + = − ⇔6 x x 3x+ + = + x x ⇔5x=15⇔ = x

b) 2t− + = +3 5t 4t 12⇔ + − =2t 5t 4t 12 3− : Sai chuyển vế không đổi dấu

Lời giải đúng: 12t− + = +t t ⇔ + − =2t 5t 4t 12 3+ ⇔ =3t 15⇔ = t

Ví dụ 2: Bạn Hịa giải phương trình x x( +2)=x x( +3) Theo em, bạn

Hịa giải hay sai? Em giải phương trình nào?

( 2) ( 3) 3

x x+ =x x+ ⇔ + = + ⇔ − = − ⇔x x x x x= (vô nghiệm)

(9)

Giải

Bạn Hịa giải sai: Khơng rút gọn x hai vế (vì x 0)

Lời giải đúng:

2

( 2) ( 3) 3 0

x x+ =x x+ ⇔x + x=x + x⇔ x− x= ⇔ − = ⇔ =x x

Vậy phương trình có nghiệm x=

Dạng 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Phương pháp giải:

- Quy đồng mẫu thức khử mẫu thức

- Thực quy tắc chuyển vế quy tắc nhân để tìm nghiệm

Ví dụ 3: Giải phương trình:

a) 3x− =2 2x− b) 4− u+24 6+ u= +u 27 3+ u

c) (− −x 6)=4(3 )− x d) −6.(1, )− x =3.( 15 )− + x

e) 0,1 2(0, 5− t−0,1)=2(t−2, 5) 0, 7− f) 5

2 x x  − − =

 

 

Giải a) 3x− =2 2x− ⇔3 3x−2x= − + ⇔ = − x

b) 4− u+24 6+ u= +u 27 3+ u⇔ − +4u 6u u− −3u=27 24− − ⇔ − = ⇔ = 2u u

c)

1

5 ( 6) 4(3 ) 12 8 12

7

x x x x x x x x

− − = − ⇔ − + = − ⇔ − + = − − ⇔ = ⇔ =

d) −6(1, )− x = − +3( 15 )x ⇔ − +9 12x= − +45 6x

12x 6x 45

⇔ − = − +

6x 36 x

⇔ = − ⇔ = −

e) 0,1 2(0, 5− t−0,1)=2(t−2, 5) 0, 7− ⇔0,1− +t 0, 2=2t− −5 0,

2 0, 0,1 0,

t t

⇔ − − = − − − −

3t t

⇔ − = − ⇔ =

f) 5 15 12 20

2 8

x

x x x x x

 − − = ⇔ − − = ⇔ − =

 

 

4x 20 x

⇔ = ⇔ =

(10)

a) 5

3

x− = − x

b) 10

12

x+ = + + x

c) 16

6

x x

x

− + = −

d) 4(0, 1, )

3

x

x −

− = −

Giải

a) 5 2(5 2) 3(5 ) 10 15

3

x x

x x x x

− = − ⇔ − = − ⇔ − = −

10x 9x 15 19x 19 x

⇔ + = + ⇔ = ⇔ =

b) 10 3(10 3) 36 4(6 )

12

x x

+ = + + ⇔ + = + +

30x 36 24 32x

⇔ + = + +

30x 32x 36 24

⇔ − = + −

51

2 51

2

x x

⇔ − = ⇔ = −

c) 16 5(7 1) 60 6(16 )

6

x x

x x x x

− −

+ = ⇔ − + = −

35x 60x 96 6x

⇔ − + = −

35x 60x 6x 96

⇔ + + = +

101x 101 x

⇔ = ⇔ =

d) 4(0, 1, ) 12(0, 1, ) (5 6)

x

x − x x

− = − ⇔ − = − −

6 18x 5x 18x 5x 6

⇔ − = − + ⇔ − + = −

13x x

⇔ − − ⇔ =

Ví dụ 5:

Số ba số −1, 2, 3− nghiệm phương trình sau:

x = (1) x

5

x + x+ = (2) 3( )

1−x = +x

Giải

x= nghiệm phương trình (1)

3

x= − nghiệm phương trình (2)

(11)

1

x= − nghiệm phương trình (3)

Ví dụ 6: Giải phương trình

a) 2+ x=22 3− x b) 8x− =3 5x+ 12

c) x− +12 4x=25 2+ x− d) x+2x+3x−19=3x+

e) 7−(2x+4)= − +(x 4) f) (x− −1) (2x− = −1) x

Giải

a) 2+ x=22 3− x⇔2x+3x=22 7− ⇔5x=15⇔ = x

b) 8x− =3 5x+12⇔8x−5x=12 3+ ⇔3x=15⇔ = x

c) x− +12 4x=25 2+ x− ⇔ +1 x 4x−2x=25 12− + ⇔3x=36⇔ =x 12

d) x+2x+3x−19=3x+ ⇔5 3x=24⇔ = x

e) (2− x+4)= − +(x 4)⇔ −7 2x− = − −4 x

2x x

⇔ − + = − − +

7

x x

⇔ − = − ⇔ =

f) (x− −1) (2x− = − ⇔ − −1) x x 2x+ = −1 x

2 1

x x x

⇔ − + = + −

0x

⇔ = phương trình vơ nghiệm

Ví dụ Giải phương trình:

a)

3

x x x

x

+

− = − b)2 0, 0, 25

5

x x

x

+ −

− = +

Giải

a) 2 3(2 1)

3

x x x

x x x x x

+

− = − ⇔ − + = −

2x 6x x 6x

⇔ − − = −

2x 6x x 6x x

⇔ − − + = ⇔ =

b) 0, 0, 25 4(2 ) 10 5(1 )

5

x x

x x x x

+ − = − + ⇔ + − = − +

8 4x 10x 10x

⇔ + − = − +

4x x 0, ⇔ = ⇔ =

(12)

- Chọn ẩn xác định điều kiện ẩn

- Biểu thị số liệu chưa biết qua ẩn

- Tìm mối liên hệ số liệu để lập phương trình - Giải phương trình

- Chọn kết thích hợp để trả lời

Ví dụ 8: Một xe máy khởi hành từ Hà Nội Hải Phịng với vận tốc trung bình

32km/h Sau giờ, tơ khởi hành từ Hà Nội Hải Phòng, đường với người xe máy với vận tốc trung bình 48 km/h Hãy viết phương trình biểu thị việc ô tô gặp xe máy sau x giờ, kể từ ô tô khởi hành

Giải

Sau x giờ, kể từ ô tô khởi hành xe máy (x+ Khi tơ 1) đoạn đường dài 48x (km) xe máy 32(x+ (km) 1)

Phương trình biểu thị ô tô gặp xe máy sau x kể từ ô tô khởi hành là:

48x=32(x+1)

Viết phương trình biểu thị cân thăng hình bên (đơn vị khối lượng gam)

Giải

Cân bên trái có khối lượng :

x+ + + =x x 3x+ Cân bên phải có khối lượng : x+ + =x 2x+ Ta có phương trình :

3x+ =5 2x+

Ví dụ 10 (Bài 19, trang 14 SGK)

Viết phương trình ẩn x tính x (mét) hình ( S diện tích hình) :

x

(13)

a) S =144 m2 b) S =75 m2 c) S=168 m2

Giải

a) Chiều dài hình : x+ + =x 2x+

Diện tích hình a) : S =9 2( x+2 )

Ta có phương trình : 2( x+2)=144⇔2x+ =2 16⇔ = x

b) Diện tích tam giác : 1 1.6.5 15

S = =

Diện tích hình chữ nhật : S2 =x.6

Diện tích hình b) là: S =S1+S2 =15 6+ x Ta có phương trình : 15 6+ x=75⇔ =x 10 c) Diện tích hình lớn : S1=12.x

Diện tích hình nhỏ : S2 =6.4=24

Diện tích hình c) : S =S1+S2 =12x+24

Ta có phương trình : 12x+24 168= ⇔12x=144⇔ =x 12

Ví dụ 11 (Bài 20, trang 14 SGK)

Đố Trung bảo nghĩa nghĩ đầu số tự nhiên tùy ý, sau Nghĩa thêm vào số ấy, nhân tổng nhận với 2, đem trừ 10, tiếp tục nhân hiệu tìm với cộng thêm 66, cuối chia kết cho Chẳng hạn, Nghĩa nghĩ đến số q trình tính tốn :

( ) ( ) ( ) ( )

7→ 12+ = → 12 2× =24 → 24 10 14− = → 14 3× =42 (42 66 108) (108 : 18 )

→ + = → =

Trung chỉ cần biết kết số cuối (số 18) đoán số Nghĩa x nghĩ số

Nghĩa thử lần, Trung đoán đúng, Nghĩa phục tài Trung Đố em tìm bí Trung đấy!

Giải

Gọi x số tự nhiên mà Nghĩa nghĩ đầu Q trình tính toán ( 5) ( 2) ( 10) 2

x→ x+ → x+ → x+ − = x→ x = x→

( )

6x 66 6x 66 : x 11

→ + → + = +

Vậy số cuối lớn số Nghĩa nghĩ 11 đơn vị Trung cần lấy kết cuối trừ cho 11 số mà Nghĩa nghĩ lúc đầu, chẳng hạn 18 11 7− = số Nghĩa nghĩ

C LUYỆN TẬP

(14)

a) 16

2

x− = x+

; b) 12

3

x+ = x−

;

c)

12

t− = −t

; d)

15 10

u+ =u−

;

e) 3( 11) 3( 1) 2( 5)

4 10

x− x+ x−

= − ; g) 141 2( 3) 2( 7)

2

x+ x x−

− = − ;

h) 5

6

x x x

x x

− − −

− + = − + ; i) 2

5 10

x x x x

x

− − − +

+ − = −

2 (Dạng 2) Giải phương trình :

a)

6

3

1

2

2 3

2 x x x x − +  −  −  

− = − ; b)

1 10

2

3

1

3 2

x x x x x + − − − − = −

3 (Dạng 2) Cho abc ab bc ca( + + ) 0.≠ Giải phương trình ẩn x :

3

x b c x c a x a b

a b c

− − − − − −

+ + =

4 (Dạng 2) Cho abc a b c( + + ≠ Giải phương trình ẩn x : )

1 1

x a x b x c

bc ac ab a b c

− + − + − =  + + 

 

 

5 (Dạng 2) Tìm giá trị a để phương trình sau có nghiệm tương ứng

a) ax− = có nghiệm x= ; b) ax+ = có nghiệm x= − ;

c)

5

ax− = có nghiệm

x=

6 (Dạng 2) Tìm giá trị x cho hai biểu thức A B sau có giá trị

nhau

a) A=(x−3)(x+ −4) 3( x− ; 2) B=(x−4)2 b) A=(x−2)(x+2) (− 2x+1)2; B=x(2 3− x) c) A=(x+1)(x2− + −x 1) 2x; B=x x( −1)(x+ 1) d) A=(x−2)3+(3x−1 3)( x+1); B=(x+1)3

BÀI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

A TĨM TẮT LÝ THUYẾT

( ) ( ) ( )

A x B x = ⇔ A x = ( ) 0B x =

(15)

Muốn giải phương trình ( ) ( )A x B x = ta giải hai phương trình ( ) 00 A x = ( ) 0B x =

lấy tất nghiệm thu

B CÁC DẠNG TỐN Dạng PHƯƠNG TRÌNH DẠNG A x B x( ) ( ) =0

• Giải hai phương trình ( ) 0A x = ( ) 0.B x =

• Lấy tất nghiệm thu • Viết tập hợp nghiệm S

a) (3x−2 4)( x+ = ; 5) b) (2, 3x−6, 0,1)( x+2)=0; c) (4x+2)(x2+ =1) 0; d) (2x+7)(x−5 5)( x+ = 1)

Giải

a) (3x−2 4)( x+ = ⇔5) 3x− = 42 x+ =

( )

3

x− = ⇔ x= ⇔ = x

5

4 5

4

x+ = ⇔ x= − ⇔ = − x

Vậy tập nghiệm phương trình : { }5 2;

S= −

b) (2, 3x−6, 0,1)( x+2)= ⇔0 2, 3x−6, 9=0 0,1x+ =2

2, 3x−6, 9= ⇔0 2, 3x=6, 9⇔ =x

0,1x+ = ⇔2 0,1x= − ⇔ = −2 x 20 Vậy : S = −{ 20;3}

c) ( )( )

4x+2 x + = ⇔1 4x+ =2

1

x + =

4

2

x+ = ⇔ x= − ⇔ = − x

2

1

x + = ⇔x = − : vô nghiệm (vì

0

x ≥ , với x )

Vậy : { }1

2

S = −

(16)

d) (2 7)( 5)( 1) 5

x x x x

x + =   + − + = ⇔ − =  + = 

2 7

2

x+ = ⇔ x= − ⇔ = − ; x

5

x− = ⇔ = ; x

1

5

x+ = ⇔ = − x

Vậy : { 7;5; 1}

2

S = − −

Ví dụ Giải phương trình

a) (5 3)

5

x x

x−  − − + =

  ;

b) 1 2( 1) (2 1)

3

x x x

x − −  +   −  − + =         Giải

a) (5 3)

5

x x

x−  − − + = ⇔ x− =

 

4

0

5

x− x+

− = ;

3

5

x− = ⇔ = x

( ) ( )

4

0

5

x x

− +

− = ⇔ − − + =

12x 10x 2x x

⇔ − − − = ⇔ = ⇔ =

Vậy : { }3;

S =

b) ( ) ( )

( ) ( )

2 1

0

2 1

2

3

2

x x

x x x

x x x − −  − =  − −  +   −  − + = ⇔           + − + =  ( ) ( ) ( )

2

x x x x  − − − = ⇔  + − + = 

4 3

2 10

x x x x − − + =  ⇔  + − − = 

7 7

8 3

x x x x  =  =  ⇔− = ⇔    = − 

Vậy : { }5;

S = −

Dạng PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

(17)

• Chuyển tất số hạng sang vế trái, vế phải

• Rút gọn phân tích đa thức thu vế trái thành nhân tử • Giải phương trình tích kết luận

Bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử, giải phương trình sau:

a) 2x x( − +3) 5(x− = ; b) 3) (x2− +4) (x−2 2)( − x)=0; c)

3

x − x + x− = ; d) (x 2x− −7) 4x+14= ; e) (2x−5)2−(x+2)2 =0; f) x2− −x (3x− = 3)

Giải

a) ( 3) 5( 3) ( 2)( 5)

2

x

x x x x x

x − =  − + − = ⇔ − + = ⇔  + =  x x =   ⇔  = − 

Vậy : { }3;

S= −

b) (x2− +4) (x−2 2)( − x)= ⇔0 (x−2)(x+2) (+ x−2 2)( − x)=0

(x 2)(x 2x)

⇔ − + + − = ⇔(x−2 5)( −x)= 2

5

x x x x − = =   ⇔ ⇔ − = =  

Vậy : S ={ }2;5

c) ( )3

3 1 1

x − x + x− = ⇔ x− = ⇔ − = ⇔ =x x

Vậy : S ={ }1

d) (x 2x− −7) 4x+14= ⇔0 x(2x− −7) 2( x−7)=0⇔(2x−7)(x−2)=

2

2 2 x x x x  − = =   ⇔ ⇔  − =   =

Vậy : { }7; 2

S =

e) (2x−5)2−(x+2)2 = ⇔0 (2x− − −5 x 2)(2x− + +5 x 2)=0 ⇔(x−7 3)( x− = 3)

7

3

x x x x − = =   ⇔ ⇔ − = =  

Vậy : S ={ }7;1

f) x2− −x (3x− = ⇔3) x x( − −1) 3(x− = 1)

( 1)( 3) 1

3

x x x x x x − = =   ⇔ − − = ⇔ ⇔ − = =  

(18)

ậy : { }

a) (x 2x− =9) 3x x( − ; 5) b) 0, 5x x( − =3) (x−3 1, 5)( x−1);

c) 3x−15=2x x( − ; d) 5) 1 (3 7) 7x− = 7x x−

Giải

a) (x 2x− =9) 3x x( − ⇔5) x(2x− −9) 3x x( − = 5)

(2 15) ( 6)

x x x x x

⇔ − − + = ⇔ − + =

0

6

x x x x = =   ⇔ ⇔ − + = =  

Vậy : S ={ }0;

b) 0, 5x x( − =3) (x−3 1, 5)( x− ⇔1) (x−3 0, 5) x−(x−3 1, 5)( x− =1)

(x 0, 5)( x 1, 5x 1)

⇔ − − + = ⇔(x−3)(− + =x 1) 3

1

x x x x − = =   ⇔ ⇔ − + = =  

Vậy : S ={ }1;3

c) 3x−15=2x x( − ⇔5) 3(x− −5) 2x x( − =5)

( 2)( ) 53

3

2 x x x x x x =  − =   ⇔ − − = ⇔ ⇔  − = =  

Vậy : { }5;3

S=

d) 1 (3 7) (3 7)

7x− = 7x x− ⇔ x− =x x− ⇔(3x− −7) x(3x−7)=

(3 1)( ) 73

1 x x x x x x  − = =   ⇔ − − = ⇔ ⇔  − =   =

Vậy : { }7;1

S =

a) ( )

2

x − x+ − = ; b)

2

x − = − +x x ;

c) 2

4x +4x+ =1 x ; d)

5

x − x+ = Giải

a) ( ) ( )2 ( )( )

2 2

x − x+ − = ⇔ x− − = ⇔ x− − x− + =

(19)

( 3)( 1) 3

1

x x x x x x − = =   ⇔ − + = ⇔ ⇔ + = = −  

Vậy : S ={3; 1− }

b) x2− = − + ⇔x 2x x x( − = −1) 2(x− 1) ( 1) 2( 1) ( 1)( 2)

x x x x x

⇔ − + − = ⇔ − + =

1

2

x x x x − = =   ⇔ ⇔ + = = −  

Vậy S ={1; 2− }

c) 2 ( )2

4x +4x+ =1 x ⇔ 2x+1 −x =0 ⇔(2x+ −1 x)(2x+ +1 x)=

(x 3)( x 1)

⇔ + + =

1

3

3 x x x x = −  + =   ⇔ ⇔  + = = −  

Vậy : { }1;

S = − −

d) x2−5x+ = ⇔6 x2−2x−3x+ = ⇔6 x x( − −2) 3(x−2)=

( 2)( 3) 2

3

x x x x x x − = =   ⇔ − − = ⇔ ⇔ − = =  

Vậy : S ={ }2;3

a) 2x3+6x2 =x2+3x ; b) (3x−1)(x2+2)=(3x−1 7)( x−10) Giải

a) 2x3+6x2 =x2+3x⇔2x2(x+ =3) x x( + 3) ⇔2x2(x+ −3) x x( + = 3)

( 2)( 1)

x x x

⇔ + − =

0

3

2 1

x x x x x x = =     ⇔ + = ⇔ = −  − =   = 

Vậy : { }0; 3;1

S = −

b) ( )( ) ( )( )

3x−1 x +2 = 3x−1 7x−10 ⇔(3x−1)(x2+2)−(3x−1 7)( x−10)=0

(20)

3x x 7x 10 3x x 7x 12

⇔ − + − + = ⇔ − − + =

2

1

3 12

x x

x x x

 − = =   ⇔ ⇔ − + =   − − + = ( ) ( )

3

x

x x x

 =  ⇔ − − − =  ( )( )

3

x x x  =  ⇔ − − =  1 3

3

4

x x x x x x  =  =     ⇔ − = ⇔ =  − =  =  

Vậy : { }1; 3;

S =

C LUYỆN TẬP

1 (Dạng 1, 2) Giải phương trình :

a) (5x+2)(x−7)= ; b) 15(x+9)(x−3)(x+21)= ;

c) ( )( )

1

x − x+ = ; d) ( )( )

1 4

x + x + x+ = ; e) x2− − =x 6 0 ; g) x2+5x+ =6 0 ;

h)

12

x + −x = i)

2 2

x + x − x + x− =

a) (x−1)(x2+5x−2)−x3+ =1 0; b) ( )( )

2 11

x + x+ x− = ;

c) ( )

1

x −x x+ + = ; d)

1

x +x + + =x

a)

7

x − x+ = ; b)

2x −3x− =5 0; c)

4x −12x+ =5

4 (Dạng 2) Cho biểu thức : A=(5x− +3y 1 7)( x+2y−2 )

a) Tìm x cho với y=2 A=

b) Tìm y cho với x= − A=

BÀI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Điều kiện xác định phương trình

Điều kiện xác định (ĐKXĐ) phương trình giá trị ẩn để tất mẫu thức phương trình khác

2 Cách giải phương trình chứa ẩn mẫu thức

• Tìm điều kiện xác định phương trình

(21)

• Quy đồng mẫu thức hai vế phương trình khử mẫu thức • Giải phương trình vừa nhận

• Kết luận : Với giá trị x tìm được, kiểm tra điều kiện xác định phương trình

viết tập nghiệm

Dạng TÌM CHỖ SAI VÀ SỬA LẠI CÁC BÀI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Chú ý đến điều kiện xác định (ĐKXĐ) phương trình

Bạn Sơn giải phương trình ( )

2

5

x x

x

− =

− sau :

( ) ( )

1 ⇔x −5x=5 x−5

2 5 5 25

x x x

⇔ − = −

2

10 25

x x

⇔ − + =

( )2

5 0

x

⇔ − =

5

x

⇔ =

Bạn Hà cho Sơn giải sai nhân hai vế với biểu thức x− có chứa ẩn, Hà giải sau:

( ) ( 5)

1

5

x x x

−

⇔ =

−

5

x

⇔ =

Hãy cho biết ý kiến em hai lời giải Giải

Cả hai cách giải sai Sơn Hà khơng tìm điều kiện xác định phương trình

ĐKXĐ : x 5≠

( )

2

5

x x x x

x x

− −

= ⇔ =

− −

5

x

⇔ = (loại khơng thỏa ĐKXĐ) Vậy phương trình ( )1 vơ nghiệm

Dạng GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA ẨN Ở MẪU

(22)

Tìm ĐKXĐ

• Quy đồng mẫu thức bỏ mẫu thức • Giải phương trình khơng chứa ẩn mẫu • Kiểm tra ĐKXĐ

• Viết tập nghiệm

Giải phương trình:

2 ) x a x − = + ; ) x b x x − = + ;

( ) ( )

2

)

3

x x x

c x + − + = − ;

)

3

d x

x+ = −

Giải a) ĐKXĐ: x≠ −

( )

3

2 5

3

5 5

x

x x

x x x

+ − = ⇔ − =

+ + +

( )

2x x

⇔ − = + (khứ mẫu: x+ )

20 20

x x

⇔ − = ⇔ = − (thỏa ĐKXĐ) Vậy S= −{ }20

b) ĐKXĐ: x≠

( )

2 2 6

6 3

2 2

x

x x x

x

x x x

−

− = + ⇔ = +

( )

2 x 2x 3x

⇔ − = + (khử mẫu 2x )

2

2x 12 2x 3x 12 3x

⇔ − = + ⇔ − =

4

x

⇔ = − (thỏa ĐKXĐ) Vậy S= −{ }4

c) ĐKXĐ: x≠

( ) ( ) ( ) ( )

2

0

3

x x x

x x x

x

+ − +

= ⇔ + − + =

−

(x 2)(x 3)

⇔ + − =

2

x

⇔ = − (vì x≠ , theo ĐKXĐ) Vậy S= −{ }2

d) ĐKXĐ:

3

x≠−

( )( )

5

2 2

3x+2= x− ⇔ = x+ x− ⇔ = x + −x

( )( )

2

6x x x 6x

⇔ + − = ⇔ − + =

(23)

1 x x =   ⇔ −  = 

(thỏa ĐKXĐ)

Vậy 1;

6

S =  − 

 

2 1

) 1 x a x x − + = − − ; )

2

x b

x+ + = −x+ ;

2

1

)

c x x

x x

+ = + ; ) 3

1 x x d x x + + − = + Giải a) ĐKXĐ: x≠

2 1

1 1

1

x

x x

− + = ⇔ − = ⇔ =

− − (không thỏa ĐKXĐ)

Vậy: S = ∅ b) ĐKXĐ: x≠ −

5

1 2 12

2

x

x x

x+ + = −x+ ⇔ + + = −

7x 14 x

⇔ = − ⇔ = −

Vậy S= −{ }2 c) ĐKXĐ: x≠

2

1

x x x x x

x x

+ = + ⇔ + = +

( ) ( )

3

1 1

x x x x x x

⇔ − + − = ⇔ − − − =

( )( )

1 x x x

⇔ − − = ⇔ = (thỏa ĐKXĐ)

Vậy: S={ }1

d) ĐKXĐ: x≠ x≠ −

( ) ( )( ) ( )

3

2 3

1

x x

x x x x x x

x x

+ + − = ⇔ + + − + = +

+

3

x

⇔ = − (thỏa ĐKXĐ) Vậy: S= −{ }3

Giải phương trình sau:

1 ) 2 x a x x − + = − − ;

3

)

7

x x b x x − = + + − ;

1

)

1 1

x x

c

x x x

+ − − =

− + − ;

2

)

3

x x d x x x − = + + + Giải a) ĐKXĐ:x≠

(24)

3

2 2

x− + = x− ⇔ x− = x−

1 3x x 4x

⇔ + − = − ⇔ =

2

x

⇔ = (không thỏa ĐKXĐ) Vậy: S = ∅

b) ĐKXĐ:x≠ −

2

x≠

2

3

6 6 42

7

x x

x x x x x x

x x

− = + ⇔ − − + = + + +

+ −

9x 4x 42x x

⇔ − − − − = −

1 56

56

x x

⇔ − = ⇔ = − (thỏa ĐKXĐ)

Vậy:

56

S= − 

 

c) ĐKXĐ: x≠ ±

2

2 2

1 ( 1) ( 1)

1 1 1

x x x x

x x x x x

+ − + − −

− = ⇔ =

− + − − −

2 2 1 2 1 4

x x x x

⇔ + + − + − =

4x x

⇔ = ⇔ = (không thỏa ĐKXĐ) Vậy: S = ∅

d) ĐKXĐ: x≠ −

2

2 7( 3) 7.2 7.4 2( 3)

3

x x

x x x x x x

x x

− = + ⇔ + − = + +

+ +

2

14x 42x 14x 28x 2x

⇔ + − = + +

1

12

2

x x

⇔ = ⇔ = (thỏa ĐKXĐ)

Vậy:

2

S =   

 

2

3

1

)

1 1

x x

a

x− − x − = x + +x ; (1)

3

)

( 1)( 2) ( 3)( 1) ( 2)( 3)

b

x− x− + x− x− = x− x− ;

3 12 ) c x x + = + + ;

13

)

( 3)(2 7) ( 3)( 3)

d

x− x+ + x+ = x− x+

Giải

a) ĐKXĐ:x≠ , MTC:1 ( )

1 ( 1)

x − = x− x + +x

( ) ( )

2

3

2

1 ( 1)

(1)

1

( 1) ( 1)

x x x x x

x

x x x x x x

+ + −

⇔ − =

−

− + + − + +

(25)

1 2

x x x x x

⇔ + + − = −

2

4x 3x

⇔ − − =

( ) ( )

3x 3x x ⇔ − + − =

3 (x x 1) (x 1)(x 1) (x 1)(4x 1)

⇔ − + − + = ⇔ − + =

1 (không thoa DKXD)

1

4 x x x x  − =  =   ⇔ ⇔  + = = −   

Vậy:

4

S= − 

 

b) ĐKXĐ:x≠1, x≠2 x≠3 MTC: (x−1)(x−2)(x−3)

3( 3) 2( 2)

(2)

( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3)

x x x

x x x x x x x x x

− − −

⇔ + =

− − − − − − − − −

3(x 3) 2(x 2) x

⇔ − + − = −

3x 2x x 4x 12 x

⇔ − + − = − ⇔ = ⇔ = (không thỏa ĐKXĐ)

Vậy: S = ∅

c) ĐKXĐ: x≠ − , MTC: ( )

8 ( 2)

x + = x+ x − x+

( )

3

8 12

(3)

8 ( 2)

x x x

x x x x x

+ − +

⇔ + =

+ + − + +

3

8 12

x x x

⇔ + + − + =

( )

3 2

2

x x x x x x

⇔ + − = ⇔ + − =

( )

x x

x (x 1) x x

 =  = ⇔ ⇔ − + − = + − =    0 ( 1)( 2)

2( khong thoa DKXD)

x x x x x x   = =   ⇔ ⇔ = − + =   = − 

Vậy:S={ }0;1

d) ĐKXĐ: x≠ ±

2

x≠ − , MTC: (x−3)(x+3)(2x+7)

13( 3) ( 3)( 3) 6(2 7)

(4)

( 3)( 3)(2 7) ( 3)( 3)(2 7) ( 3)( 3)(2 7)

x x x x

x x x x x x x x x

+ − + +

⇔ + =

− + + − + + − + +

13(x 3) (x 3)(x 3) 6(2x 7)

⇔ + + − + = +

2

13x 39 x 12x 42 x x 12

⇔ + + − = + ⇔ + − =

2 3 4 12 0 ( 3) 4( 3) 0

x x x x x x

⇔ − + − = ⇔ − + − =

( )

3 khong thuoc DK ( 3)( 4)

4

XD x x x x x x  − =  = ⇔ − + = ⇔ ⇔ + =  = − 

Vậy: S= −{ }4

(26)

( )

1

) 2

a x x x  +  = +  +         ; 2 1

) 1

b x x

x x

 + +  = − − 

   

    ;

Giải a) ĐKXĐ:x≠

( ) (1 )( 1)

1 1

2 x x x x

x x x x

+ +

+

 

+ = +  + ⇔ =

 

( )

1 2x (1 )x x ⇔ + = + +

( )

(1 )x x (1 )x ⇔ + + − + =

( )

(1 )x x 1 ⇔ + + − =

2

(1 )

1

x x x x =  ⇔ + = ⇔  + = 

0 (khong thuoc DK )

x XD / x=  ⇔  = − 

Vậy:

2

S= − 

 

Dạng XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA a ĐỂ BIỂU THỨC CÓ GIÁ TRỊ BẰNG HẰNG SỐ k CHO TRƯỚC

• Giả sử biểu thức chứa a A a( )

• Muốn tìm giá trị a để biểu thức A a( ) bằng k ta xem a ẩn giải phương

trình A a( )=k

Tìm giá trị a cho biểu thức sau có giá trị 2:

3

)

3

a a

a

a a

− + −

+ + ;

10

)

3 12 18

a a b a a − + − − + + ; Giải a) Giải phương trình 3

3

a a

− + − =

+ + với ẩn a

ĐKXĐ:

3

a≠ − a≠ − ; MTC (3a+1)(a+3)

3 (3 1)( 3) ( 3)(3 1) 2(3 1)( 3)

3 (3 1)( 3) (3 1)( 3)

a a a a a a a a

a a a a a a

− − − + + − + + +

+ = ⇔ =

+ + + + + +

(3a 1)(a 3) (a 3)(3a 1) 2(3a 1)(a 3)

⇔ − + + − + = + +

2 2

3a 9a a 3a a 9a 6a 18a 2a

⇔ + − − + + − − = + + +

12

20 12

20

a a

⇒ − = ⇔ = − = − (thuộc ĐKXĐ)

Vậy với

5

a= − 3

3

a a

− + −

+ + có giá trị 2

(27)

b) Ta có 4a+12=4(a+3); 6a+18=6(a+3)

Ta giải phương trình: 10 2 *( )

3 12 18

a a

− +

− − =

+ +

ĐKXĐ: a≠ −3; MTC :12(a+3)

40( 3) 3(3 1) 2(7 2) 24( 3) (*)

12( 3) 12( 3) 12( 3) 12( 3)

a a a a

+ − + +

⇔ − − =

+ + + +

40(a 3) 3(3a 1) 2(7a 2) 24(a 3)

⇔ + − − − + = +

40 120 14 24 72

7 47 47 / 7( )

a a a a

a a thuoc DKXD

⇔ + − + − − = +

⇔ − = − ⇔ =

Vậy với 47

7

a= 10

3 12 18

− +

− −

+ +

u a

a a có giá trị 2

C LUYỆN TẬP

1 (Dạng 2) Giải phương trình:

2 ) x a x − = + ; ) x x b x − − = − ;

5

)

3 2

x x

c

x x

+ − = −

− − ;

12 3

)

1 3

x x

d

x x x

− +

= −

− + −

2

96

)

16 4

x x

a

x x x

− −

+ = −

− + − ;

1 12

)

2

x a

x x x

+ − = +

− + − ;

( )

2

1

)

1 1

x x

c

x x x x x x x

+ − − =

+ + − + + +

2

5

)

1

x x

a

x x x x

+ = + −

− − − + ;

1 12

)

2

x b

x x x

+ − = +

− + −

4 (Dạng 3) Với giá trị a để biểu thức sau có giá trị 2:

2

)

2

a a

a

a a

− +

− − ;

3 2

)

3 4

a a

b

a a

+ + −

+ +

5 (Dạng 2) Cho phương trình ẩn x:

2

3

0

x a x a y a

x a x a x a

− − + + + =

+ − −

a) Giải phương trình với a= − b) Giải phương trình với a=

c) Xác định a để phương trình có nghiệp x=0,

6 Định a b để phương trình (x−1) (2a+ x+1) b= +x có tập nghiệm  (vơ số

nghiệm x∈ )

7 Định m để phương trình sau có nghiệm nhất:

(28)

1

x−m = x−

8 Định m để phương trình sau vơ nghiệm: 2

x m x

x x

+ + − =

+

§ 6, § GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

A TĨM TẮT LÍ THUYẾT

Tóm tắt bước giải tốn cách lập phương trình

Bước (Lập phương trình) Bao gồm :

- Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số

- Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết;

- Từ lập phương trình biểu thị tương quan đại lượng

Bước (Giải phương trình) Giải phương trình thu

Bước (Trả lời) Kiểm tra xem nghiệm phương trình, nghiệm thỏa

mãn điều kiện ẩn, nghiệm không, trả lời

B CÁC DẠNG TOÁN Dạng TOÁN VỀ TỈ SỐ VÀ QUAN HỆ GIỮA CÁC SỐ Phương pháp giải

Tỉ số hai số avà blà sốa

b

a%

100

a

=

Biểu diễn số có hai chữ số: ab=10a b a b+ ( , ∈)

a chữ số hàng chục: 0< ≤ a b chữ số hàng đơn vị : 0≤ ≤ b

Biểu diễn số có ba chữ số: abc=100a+10b c a b c+ ( , , ∈)

a chữ số hàng trăm : 0< ≤ a ‘

b chữ số hàng chục : 0≤ ≤ b c chữ số hàng đơn vị: 0≤ ≤ c

Thí dụ: 37=3.10+7 ; 134=1.100+3.10+4

Ví dụ 1: (Bài 34 trang 25 SGK)

Mẫu số phân số lớn tử Nếu tăng tử mẫu thêm hai đơn

vị phân số phân số

2 Tìm phân số ban đầu

Giải

(29)

Gọi tử số phân số x mẫu số x+3 3(x≠ − )

Sau tăng thêm đơn vị tử số x+ mẫu là: x+ + = + x

Vì phân số

2 nên ta có phương trình :

2

5

x x

+ =

+

Giải phương trình ta được: x= Vậy phân số cho : 1

4

Ví dụ 2: (Bài 35 trang 25 SGK)

Học kì một, số học sinh giỏi lớp 8A

8 số học sinh lớp Sang học kì hai, có thêm

3 bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa, số học sinh giỏi 20 % số học sinh lớp Hỏi lớp 8A có học sinh ?

Giải

Gọi x(xnguyên dương) số học sinh lớp 8A

Số học sinh giỏi lớp 8A học kì :

8x (học sinh)

Số học sinh giỏi lớp 8A học kì hai : 20 %

5

x= x (học sinh)

Do học kì hai, có thêm bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nên ta có phương trình:

1

3 120 120 40

5⋅ =x 8x+ ⇔ x= x+ ⇔ x= ⇔ =x

Vậy lớp 8A có 40 học sinh

Ví dụ 3: (Bài 36 trang 26 SGK) (Bài tốn nói đời nhà tốn học Đi-ơ-phăng, lấy

hợp tuyển Hi Lạp - sách gồm 46 toán số, viết dạng thơ trào phúng)

Thời thơ ấu Đi-ô-phăng chiếm

6 đời,

12cuộc đời thời niên sôi

nổi Thêm

7 cuộc đời ơng sống độc thân Sau lập gia đình năm sinh

con trai Nhưng số mệnh cho sống nửa đời cha Ông từ trần năm 4sau Đi - ơ- phăng sống tuổi, tính cho ra?

Giải

Gọi x tuổi Đi - - phăng(x>0) Theo đề ta có phương trình:

5

6 12

x x x x

x

+ + + + + = 1 1

6 12

x 

⇔  − − − − =

 

3

9 84

28 x x

⇔ ⋅ = ⇔ =

Vậy Đi-ô-phăng sống 84 tuổi

Ví dụ 4: Năm tuổi mẹ gấp 3lần tuổi Phương Phương tính 13 năm tuổi mẹ

(30)

ỉ cịn gấp ần tuổi Phương Hỏi năm Phương tuổi ?

Giải

Gọi x tuổi Phương năm Điều ki ện x ngu yên dương

Tuổi Phương Tuổi mẹ

Năm x 3x

13 năm

13

x+ 3x+ 13

13năm tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi Phương nên ta có phương trình :3x+ =13 2(x+13)

Giải phương trình ta x= (thỏa điều kiện) nên Phương năm 13 tuổi 13

Ví dụ (Bài 41 trang 31 SGK)

Một số tự nhiên có hai chữ số; chữ số hàng đơn vị gấp hai lần chữ số hàng chục Nếu thêm

chữ số 1 xen vào hai chữ số số lớn ban đầu 370 Tìm số ban đầu

Giải

Gọi chữ số hàng chục xvới x nguyên 0< < x Chữ số hàng đơn vị 2x số cho là: 10x+2x=12x

Khi xen chữ số 1 vào hai chữ số x 2x x thành chữ số hàng trăm, 2x chữ số hàng đơn vị Số là: 100 10.1 2x+ + x=102x+ 10

Số lớn số cho 370 đơn vị nên ta có phương trình: 102x+ −10 12x=370⇔90x=360⇔ = nên số cần tìm 48 x

Ví du (Bài 42, trang 31 SGK)

Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết viết thêm chữ số 2 vào bên trái chữ số 2 vào bên phải số ta số lớn gấp 153 số ban đầu

Giải

Gọi x số tự nhiên có hai chữ số

Khi viết thêm chữ số 2 vào bên trái chữ số 2 vào bên phải số ta số có bốn chữ số, số nhận là: 2000+x.10 2+ =2002 10+ x

Do số nhận lớn gấp 153 số ban đầu nên ta có phương trình: 2002 10+ x=153x⇔143x=2002⇔ =x 14 Vậy số cần tìm 14

Ví dụ 7: (Bài 43 trang 31, SGK)

Tìm phân số có tính chất sau :

a) Tử số phân số số tự nhiên có chữ số; b) Hiệu tử số mẫu số 4;

(31)

c) Nếu giữ nguyên tử số viết thêm vào bên phải mẫu số chữ số tử số,

thì ta phân số phân số

6

Giải

Gọi x mẫu số (x có một chữ số, x N∈ ), tử số x+

Viết thêm bên phải mẫu số chữ số tử số được: 10.x+(x+4)=11x+4

Ta có phương trình:

4

6( 4) 11 24 11 20

11

x

x x x x x x

x

+ = ⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ = ⇔ =

+

Vậy phân số cần tìm

4

Dạng TOÁN CHUYỂN ĐỘNG Phương pháp giải

 Loại tốn chuyển động có ba đại lượng tham gia vào toán là: vận tốc (v), thời gian (t)

và quãng đường (s) ta có cơng thức s = v.t

Ví dụ 8: Lúc sáng, xe máy khởi hành từ A để đến B Sau 1 giờ, ô tô xuất phát từ A đuổi theo xe máy với vận tốc trung bình lớn vận tốc trung bình xe máy 20 km/h Cả hai xe đến B đồng thời vào lúc 9giờ 30 phút sáng ngày Tính độ dài quãng đường AB vận tốc trung bình xe máy

Giải

Goi x (km/h) vận tốc trung bình xe máy (x>0)

Thời gian xe máy từ A đến B là: 9giờ 30ph Thời gian xe ôtô từ A đến B là:

9 30h ph−6h=3 30h ph=3, 5h

Thời gian xe ô tô từ A đến B là: 3, 1− =2, 5h

Ta lập bảng sau

Vân tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đường (km)

Xe máy x 3, 3,5x

Ơ tơ x+20 2, 2,5(x+20)

Ta có phương trình: 3, 5⋅ =x 2, 5(x+20)⇔3, 5.x=2, 5.x+50⇔ =x 50(thỏa điều kiện)

Vậy vận tốc trung bình xe máy là: 50km/h quãng đường AB : 3, 5.50=175km

Ví dụ 9: (Bài 46, trang 31 SGK)

Một người lái ôtô dự định từ A đến B với vận tốc 48 km/h Nhưng sau với vận tốc ấy, ôtô bị tàu hỏa chắn đường 10 phút Do đó, để kịp đến B thời gian

(32)

Giải

Tacó:10 10 60

ph= = h Gọi x (km) quãng đường AB (x> )

Đoạn đường từ A đến C (điểm nghỉ 10 phút) 48 km Ta lập bảng sau:

Vân tốc (km/h) Thời gian (h)

Dự định 48

48

x

Đoạn đường CB 54 48

54

x−

Ta có 1 48 432 72 8( 48) 120

6 54 48

x x

x x x

−

+ + = ⇔ + + − = ⇔ = (thỏa điều kiện)

Vậy quãng đường AB 120km

Dạng TỐN VỀ CƠNG VIỆC

Phương pháp giải: Chú ý: Tỉ lệ phần trăm a%

100

a

=

Lan mua hai loại hàng phải trả tổng cộng 120 nghìn đồng, tính 10 nghìn đồng thuế giá trị gia tăng (thuế VAT), biết loại hàng thứ nhất, thuế VAT 10%, loại hàng thứ hai thuế VAT l 8% Hỏi khơng kể thuế VAT Lan phải trả loại hàng tiền?

Giải

Gọi x(nghìn) số tiền loại hàng thứ khơng kể thuế VAT m Lan phải trả (x>0)

Tổng số tiền Lan phải trả không kể thuế VAT :120 10 110− = nghìn, ta lập bảng sau:

Tiền khơng tính VAT Tiền thuế VAT

Hàng loại I x 10

100x

Hàng loại II 110 x− (110 )

100 −x

10

(110 ) 10 10 880 1000 60

100⋅ +x 100 −x = ⇔ x+ − x= ⇔ =x (thỏa điều kiện)

Vậy số tiền Lan phải trả (không kể thuế VAT) loại hàng I 60 nghìn đồng loại hàng II 50nghìn đồng

(33)

Ví dụ 11:

Một xí nghiệp kí hợp đồng dệt thảm len 20 ngày Do cải tiến kỹ thuật, suất dệt xí nghiệp tăng 20 % Bởi vậy, 19 ngày, khơng xí nghiệp

hồn thành số thảm cần dệt mà cịn dệt thêm 24 với chất lượng cao Tính số thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng

Giải

Gọi x số thảm len mà xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng (x>0 ,) ta có bảng sau:

Số thảm dệt Số thảm dệt 1 ngày

Hợp đồng x

20

x

Thực tế x+24 24

18

x+

Vì suất dệt xí nghiệp tăng 20% nên ngày xí nghiệp dệt 120% so với hợp đồng Ta có phương trình:

24 120 24

50 1200 54 1200 300

18 100 20 50

x x x x

+ +

= ⋅ ⇔ = ⇔ + = ⇔ = ⇔ = (thỏa điều

kiện)

Vậy xí nghiệp phải dệt theo hợp đồng 300 thảm len

Ví dụ 12 (Bài 47 trang 32 SGK)

Bà An gởi vào quỹ tiết kiệm x nghìn đồng với lãi suất tháng a %( a số cho trước) lãi tháng tính gộp vào vốn cho tháng sau

a) Hãy viết biểu thức biểu thị: + Số tiền lãi sau tháng thứ nhất;

+ Số tiền (cả gốc lẫn lãi) có sau tháng thứ nhất; + Tổng số tiền lãi có sau tháng thứ hai

b) Nếu lãi suất 1,2 % tức a=1, sau tháng tổng số tiền lãi 48,288 nghìn đồng, lúc đầu bà An gởi tiền tiết kiệm?

Giải

a) Số tiền lãi sau tháng thứ 100

a

x nghìn

+ Số tiền (cả gốc lẫn lãi) có sau tháng thứ là:

100 100

a a

x+x = + +x  

 (nghìn)

+ Tổng số tiền lãi có sau tháng thứ hai là:

(34)

1

100 100 100

x +x + 

  (nghìn) x100 100

 

=  + 

  (nghìn)

b) Với a=1, ta có phương trình

1, 1, 201, 2.1,

2 48, 288 48, 288

100 100 10000

x +  = ⇔x =

 

482880 2000

241, 44

x

⇔ = = (nghìn)

Vậy bà An gửi triệu đồng tiền tiết kiệm

Năm ngoái, tổng số dân hai tỉnh A B triệu Năm nay, số dân tỉnh A tăng thêm 1,1% tỉnh B tăng thêm 1,2% Tuy số dân tỉnh A năm nhiều tỉnh B 807200 người Tính số dân năm ngoái tỉnh

Giải

Gọi số dân tỉnh A năm ngoái x (người) ( x nguyên dương)

Ta lập bảng sau:

Năm ngoái Năm

Số dân tỉnh A x 101,1

100 x

Số dân tỉnh B 4000000 x− 101, 2(4000000 )

100 − x

Số dân tỉnh A năm nhiều số dân tỉnh B 807200 người nên ta có phương trình

( )

1, 011x−1, 012 4000000−x =807200⇔ −4 048000 2, 023+ x=807200

2, 203 4855 200 400 000

x

⇔ =

Vậy số dân tỉnh A năm ngoái 2,4 triệu số dân tỉnh B năm ngối 1,6 triệu

Dạng TỐN LÀM CHUNG CÔNG VIỆC

* Tốn làm chung cơng việc có ba đại lượng tham gia: tồn cơng việc, phần làm việc đơn vị thời gian (1 ngày, giờ,…) thời gian làm công việc

(35)

* Nếu đội làm xong cơng việc x ngày đội làm

x cơng

việc

Ví dụ 14 Hai vịi nước chảy vào bể sau 4 48 phút bể đầy Mỗi lượng nước vòi I chảy 1,5 lượng nước chảy vịi II Hỏi vịi chảy riêng sau đầy bể?

Giải

Ta có: 48 phút = 48 24

60

+ = giờ; 1, =

Gọi x (giờ) thơi gian vòi II chảy đầy bể (x>0) Ta lập bảng sau:

Thời gian chảy đầy bể (h) chảy (bể)

Vòi I

2 x

Vòi II x

x

Cả hai vịi 24

5

5 24 Ta có phương trình:

1

2 24

x+ x =

Giải phương trình ta được: x=12 (thỏa mãn điều kiện)

Vịi II chảy 12 đầy bể

Trong giờ, vòi I chảy được: 1 24−12= (bể)

Vịi I chảy đầy bể

Ví dụ 15 (Bài 38 trang 30 SGK)

Điểm kiểm tra Toán tổ học tập cho bảng sau:

Điểm số (x)

Tần số (n) * * N = 10

Biết điểm trung bình tổ 6,6 Hãy điền giá trị thích hợp vào hai cịn trống (được đánh dấu *)

Giải

Gọi x số điểm tổ ( x nguyên dương)

(36)

Số điểm tổ là: − + + + = − ( )

Điểm trung bình tổ 6,6 nên ta có phương trình:

( )

1

4.1 7.2 8.3 6, 78 66 12

10 + x+ + + −x = ⇔ − x= ⇔ x=

⇔ = (thỏa mãn điều kiện) x

Vậy số điểm tổ số điểm tổ

Ví dụ 16 (bài 44, trang 31 SGK)

Điểm kiểm tra Toán lớp cho dây:

Điểm (x) 10

Tần số (n) 0 * 10 12 N = *

Trong có hai cịn để trống (thay dấu *) Hãy điền số thích hợp vào trống điểm trung bình lớp 6,06

Giải

Gọi x số học sinh lớp ( x nguyên dương)

Số điểm lớp là: x− + + + + + + = −(2 10 12 1) x 42

Điểm trung bình lớp 6,06 nên ta có phương trình:

( )

1

1.0 2.0 3.2 x 42 5.10 6.12 7.7 8.6 9.4 10.1 6, 06

x + + + − + + + + + + =

103 4x 6, 06x 2, 06x 103

⇔ + = ⇔ =

⇔ =x 50(thỏa mãn điều kiện)

Vậy số học sinh lớp 50 số điểm lớp

Đố Lan có miếng bìa hình tam giác ABC vng A, cạnh AB=3cm Lan tính cắt miếng bìa hình chữ nhật có chiều dài 2cm như hình bên hình chữ nhật có diện tích nửa diện tích miếng bìa ban đầu Tính độ dài canh AC tam giác ABC

Giải

(37)

Gọi x (cm) độ dài cạnh AC (x>0)

Diện tích tam giác ABC là:

1

.3

2 2

x S= AB AC= x =

Theo định lý Ta – lét ta có:

( )

3 2

3

x DE EC DE x

DE

AB AC x x

− −

= ⇒ = ⇒ =

Diện tích hình chữ nhật là:

( )

3 12

x x

AE ED

x x

− −

= =

Theo đề ta có phương trình:

( ) 2

6 12

12 3 24 48

2

x x

x x x x

x

− = ⇔ − = ⇔ − + =

( )2

8 16

x x x

⇔ − + = ⇔ − =

4

x

⇔ = (thỏa mãn điều kiện)

Vậy AC=4cm

C LUYỆN TẬP

1 (Dạng 1) Hai số có tổng 120 tỉ số chúng 1/

2 (Dạng 1) Tổng hai số 90 Số gấp đơi số Tìm hai số

3 (Dạng 1) Một phân số có tử số bé mẫu số 13 Nếu tăng tử số lên đơn vị giảm

mẫu số đơn vị ta phân số / Tìm phân số cho

4 (Dạng 1) Tỉ số hai số / Nếu chia số thứ cho chia số thứ hai cho

thì thương thứ nhỏ thương thứ hai Tìm hai số cho

5 (Dạng 2) Tổng bốn số 45 Nếu lấy số thứ cộng thêm 2, số thứ hai trừ 2, số thứ ba nhân với 2, số thứ tư chia cho 2 bốn kết Tìm bốn số ban đầu

6 (Dạng 2) Một ô tô từ A đến 2 30 phút Nếu với vận tốc nhỏ 10km h s/ ẽ nhiều thời gian 50 phút Tính quãng đường từ A đến B

7 (Dạng 2) Một người dự định xe máy quãng đường dài 120km 2 30

phút Đi 1 người nghỉ 15 phút Để đến đích dự định người phải tăng vận tốc gấp 1, lần vận tốc lúc đầu Tính vận tốc lúc đầu người

(38)

ạng 2) Một ô tô từ đến với vận tốc 50 Sau ảm bớt vận tốc 10km h Vì v/ ậy đến B muộn dự định 18 phút Tính thời gian dự định ô tô?

9 (Dạng 2) Một ô tô từ A đến B với vận tốc 40km h / từ B đến A với vận tốc 30km h Th/ ời gian thời gian 45 phút Tính đoạn đường AB

10 (Dạng 2) Một môtô ôtô từ A đến B với vận tốc khác Vận

tốc môtô 62km h V/ ận tốc ôtô 55km h/ Để hai xe đến B lúc, người ta tính tốn cho ơtơ chạy trước thời gian Nhưng lí đặc biệt chạy / quãng đường AB, xe ôtô lại chạy với vận tốc 27, 5km h/ Do cịn cách B 124km

thì mơtơ đuổi kịp ơtơ Tính khoảng cách AB

11 (Dạng 3) Một hồ nước có dung tích 5000 lít Hai vòi nước chảy vào hồ, vòi thứ mở

trước vòi thứ hai 90 phút vòi thứ hai 100 lít/h Khi hai vịi khóa vòi thứ chảy 4 thiếu 120 lít đầy hồ Tính xem vịi chảy lít nước?

12 (Dạng 4) Hai vòi nước chảy vào bể đầy bể 20 phút Người ta cho vòi

thứ chảy giờ, vòi thứ hai chảy 2 hai vịi chảy / bể Tính thời gian vịi chảy đầy bể

13 An hỏi Bình “Năm cha mẹ anh tuổi?” Bình trả lời “Cha mẹ

4 tuổi” Trước tổng số tuổi cha mẹ tơi 104 tuổi tuổi ba anh em

14; 10 tuổi Hiện tổng số tuổi cha mẹ gấp hai lần tổng số tuổi ba anh

em chúng tơi” Tính xem tuổi cha mẹ Bình bao nhiêu?

ÔN TẬP CHƯƠNG III

A BÀI TẬP ÔN TRONG SGK

50 Giải phương trình:

a) 4− x(25 2− x)=8x2+ −x 300 (1)

b) 3( ) 2( 1)

5 10

x x x

− − + = − +

(2)

c)

6

x+ x− x+

− = − (3)

d) 3

2

x x

x

+ − + = +

(4)

Giải

a) ( )1 ⇔ −3 100x+8x2 =8x2+ −x 300

(39)

⇔ −100x− = −x 300 3− ⇔ −101x= −303⇔ = x

Vậy S ={ }3

b) ( )2 ⇔8 3( − x) (−2 3+ x)=140 15 2− ( x+1)

⇔ −8 24x− −4 6x=140 30− x− ⇔15 0x=121vô nghiệm

Vậy S = ∅

c) ( )3 ⇔5 5( x+ −2) 10 8( x− =1) (6 4x+ −2) 150

25 10 80 10 24 12 150

79 158

x x x

x x

⇔ + − + = + −

⇔ − = − ⇔ =

Vậy S ={ }2

d) ( )4 ⇔3 3( x+ −2) (3x+ =1) 12x+10

12 10 5

6

x x x x x

⇔ + − − = + ⇔ = − ⇔ = −

Vậy

6

S= − 

 

51 Giải phương trình sau cách đưa phương trình tích:

a) (2x+1 3)( x− =2) (5x−8 2)( x+1) (1)

b) 4x2− =1 (2x+1 3)( x−5) (2)

c) (x+1)2 =4(x2−2x+1) (3)

d)

2x +5x−3x=0 (4)

Giải

a) ( ) (1 ⇔ 2x+1 3)( x− −2) (5x−8 2)( x+ =1)

(2 3)( 8) (2 1)( 6) 1 /

2

x x x x x

x x

⇔ + − − + = ⇔ + − + =

+ = = −

 

⇔ ⇔

− + = =

 

Vậy S= −{ 1/ 2;3}

(40)

b) ( ) (2 ⇔ 2x−1 2)( x+ −1) (2x+1 3)( x− =5)

(2 2)( 5) (2 1)( 4) 1 /

4

x x x x x

x x x x ⇔ + − − + = ⇔ + − + = + = = −   ⇔ ⇔ − + = =  

Vậy S= −{ 1/ 2; 4}

c) ( ) (3 ⇔ x+1)2−4(x−1)2 =0

( 2)( 2) ( 3)( 1)

3

3 1 /

x x x x x x

x x x x ⇔ + − + + + − = ⇔ − + − = − + = =   ⇔ ⇔ − = =  

Vậy S ={1/ 3; 3}

d) ( ) ( )

4 ⇔x 2x +5x−3 =0

( ) ( ) ( )

( )( )

2

2 3

0

2 1 /

3

x x x x x x x x

x x

x x x x x

x x ⇔ − + − = ⇔  − + − = = =     ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ =  + =  = −  

Vậy S ={0; 1/ 2;−3}

52 Giải phương trình

a)

( )

1

2x−3−x 2x−3 = x (1)

b)

( )

2

x

x x x x

+ − =

− − (2)

c) ( )

2

1

2

x

x x

x x x

+

+ − − =

− + − (3)

d) (2 3) ( 5)

2 7

x x x x x x + +     +  + = −  +  − −

    (4)

Giải

a) ĐKXĐ:

x≠ x≠ MTC: x(2x−3)

(41)

( ) ( ) ( ) 2(( 3)) ( )

1

2 3

x x

x x x x x x

−

⇔ − = ⇔ − = −

− − −

⇔ − =x 10x−15⇔9x=12⇔ =x / (thỏa ĐKXĐ)

Vậy S={ }4 /

b) ĐKXĐ: x≠ x≠ MTC: x x( −2)

( ) ( 2) 2

( 2) ( 2) ( 2)

x x x

x x x x x x

+ −

⇔ − =

− − −

⇔x x( + − − = ⇔2) (x 2) x2+2x x− + =2 ⇔ + = ⇔x2 x x x( + =1)

0( XD)

1

x x loai vi khong thuoc DK

x x = =   ⇔ ⇔ + = = −  

Vậy: S = −{ }1

c) ĐKXĐ: x≠ ± MTC: 2

4

x −

( ) ( )(( )) (( )()( )) ( 22 )

2

( 1) 2

3

2 2

x

x x x x

x x x x x

+

+ + − −

⇔ + =

− + + − −

( )( ) ( )( ) ( )

2 2

1 2 2

2 2 2 0

x x x x x

x x x x x x x x

⇔ + + + − − = +

⇔ + + + + − − + = + ⇔ =

Phương trình có nghiệm với x≠ ±

Vậy S =\{ }±2 d) ĐKXĐ: x≠2 /

( ) (4 3)( ) ( 3)( )

2 7

x x x x x x

x x + + + − − + + − ⇔ = − − ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

2 10 10

10 10

10 /

8

x x x x

x x x x x

x x x x ⇔ + − = − − ⇔ − + − + = ⇔ − + = − = =   ⇔ ⇔ + = = −  

Vậy: S ={5 / 2; 8− }

53 Giải phương trình: ( )*

9

x+ +x+ = x+ +x+

(42)

Cộng vào hai vế phương trình (*) ta được:

( )

* 1 1

9

x+ x+ x+ x+

       

⇔ + +  + =  + +  + 

       

10 10 10 10

9

x+ x+ x+ x+

⇔ + = +

( 10) 1 1 37 ( 10) 10

9 504

x   x x

⇔ +  + − − = ⇔ + = ⇔ = −

 

Vậy S= −{ }10

54 Một ca nơ xi dịng từ bến A đến bến B ngược dòng từ bến B bến A

5 Tính khoảng cách hai bến A B, biết vận tốc nước chảy 2km/h

Giải

Gọi (x km/h) vận tốc thật canô (x > 0) Ta lập bảng sau:

Thời gian ( h) Vận tốc ( km/h) Quãng đường AB Canơ xi dịng x+ 4(x+2) Canơ ngược dịng x− 5(x−2) Ta có phương trình:

( ) ( )

4 x+ =2 x− ⇔2 4x+ =8 5x− ⇔ =10 x 18 ( thỏa mãn điều kiện ) Quãng đường AB là: 18 2( + =) 80 ( km)

55 Biết 200g dung dịch chứa 50g muối Hỏi phải pha thêm gam nước

vào dung dịch đề dung dịch chứa 20% muối ?

Giải

Gọi x g( ) lượng nước thêm vào để dung dịch chứa 20% muối (x>0) Khi ta

có (200 x g+ ) dung dịch chứa 50g muối

Để dung dịch 20% muối ta có phương trình:

200 50

50

100 20

x

+ = ⇔ =

( thỏa mãn điều kiện)

Vậy phải pha thêm 50g nước để dung dịch 20% muối

56 Để khuyến khích tiết kiệm điện, giá điện sinh hoạt tính theo kiểu lũy tiến, nghĩa

nếu người sử dụng nhiều điện giá số điện ( 1kWh) tăng lên theo mức sau:

Mức thứ nhất: Tính cho 100 số điện đầu tiên;

Mức thứ hai: Tính cho số điện thứ 101 đến 150 , số đắt 150 đồng so với mức thứ nhất;

(43)

Mức thứ ba: Tính cho số điện thứ 151 đến 200 , số đắt 200 đồng so với mức thứ hai;

v.v…

Ngồi ra, người sử dụng cịn phải trả thêm 10% thuế giá trị gia tăng ( thuế VAT)

Tháng vừa qua, nhà Cường dùng hết 165 số điện phải trả 95.700 đồng Hỏi số điện mức thứ giá ?

Giải

Gọi x ( đồng) giá tiền mà Cường phải trả cho số điện mức thứ (x>0)

Giá tiền cho 100 số điện là: 100x ( đồng)

Giá tiền cho 50 số điện thứ 101 đến 150 là: 50(x+150) đồng

Giá tiền cho 15 số điện từ 151 đến 165 là: 15(x+150 200+ )=15(x+350) ( đồng)

Số tiền nhà Cường phải trả không kể thuế VAT là:

( ) ( )

100x+50 x+150 +15 x+350 =165x+12750 ( đồng)

Nếu phải trả thêm 10% thuế VAT nhà Cường phải trả số tiền là: (165 12750 1) 10 100

x+  + 

 

( đồng)

( )

11

165 12750 95700 165 12750 87000

10 x+ = ⇔ x+ =

⇔165x=74250

⇔ =x 450 ( thỏa mãn điều kiện)

Vậy Cường phải trả 450 cho số điện mức thứ

B BÀI TẬP ÔN BỔ SUNG

1 Giải phương trình sau:

a) x4+ +x3 3x2+ + =2x 2 0;

b) 1

2 2

x x x x

+ + −

+ = +

+ + + +

2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm âm:

2

1

( 1)

1 1

x x x

m

m m m

− − + = ≠ ±

− + −

3 Giải phương trình: ( ) ( )

( )

2

1

2 2 1 1

x x

+ + −

+ =

− − −

4 Với giá trị m x= − nghiệm phương trình:

(44)

( 2 )

1

a x x

x x

x

= +

− −

−

5 Hai người hai địa điểm cách 7km để gặp Người thứ

được 6.6km người thứ hai 7.2km lại dừng phút Hỏi sau họ gặp nhau?

6 Tìm một số có hai chữ số, biết chữ số hàng đơn vị gấp lần chữ số hàng chục

ta đổi chỗ hai chữ số cho số lớn số cũ 54 đơn vị

7 Hai bể chứa nước, chứa 800 lít 1300 lít Người ta tháo lúc bể thứ

mỗi phút 15 lít bể thứ hai phút 25 lít Hỏi sau số nước lại bể thứ / số nước lại bể thứ hai

8 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số Nếu thêm số vào hai chữ

số số lớn số cho 180 đơn vị

9 Lúc 7h sáng, một chiến canô xi dịng từ bến A đến bến B, cách 36km , lập

tức quay trở đến bến A lúc 11 30 phút Tính vận tốc canơ xi dịng, biết vận tốc nước chảy 6km h /

(45)

Chương IV

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Bài 1: LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG Bài 2: LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN

1 Với ba số , ,a b c ta có:

+ Nếu a b< a+ < + c b c; + Nếu a b> a c+ > + b c; + Nếu a b≤ a c+ ≤ + b c; + Nếu a b≥ a+ ≥ + c b c;

+ Khi cộng số vào hai vế bất đẳng thức bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho

2 Với ba số ,a b c mà c> , ta có: 0

+ Nếu a b< ac bc< , a b≤ ac≤bc; + Nếu a b> ac bc> , nếu a b≥ ac≥bc

3 Với ba số ,a b c mà c<0 , ta có:

+ Nếu a b< ac bc> , nếu a b≤ ac≥bc; + Nếu a b> ac bc< , a b≥ ac≤bc

+ Khi nhân hai vế bất đẳng thức với số dương bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho

+ Khi nhân hai vế bất đẳng thức với số âm bất đẳng thức ngược chiều với bất đẳng thức cho

B CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: BIỂU THỊ THỨ TỰ CÁC SỐ

+ a<b: Đọc a nhỏ b

+ a≤b: Đọc a nhỏ b

+ Chú ý đến quy tắc cộng nhân hai vế bất đẳng thức cho số Ví dụ ( Bài 1, trang 37 SGK)

Bất đẳng thức biểu thị thứ tự số ? Vì sao? a) ( )− + ≥2 2; b) − ≤6 2.( )−3 ; c) 4+ − <( )8 15+ −( )8 ; d) x2+ ≥ 1

Giải a) ( )− + ≥2 sai 2≥ bất đẳng thức sai b) − ≤6 2.( )−3 6− = −

c) 4+ − <( )8 15+ −( )8 từ 15< cộng vào hai vế bất đẳng thức cho −8 d) x2+ ≥ 1 x2 ≥ với x 0

(46)

Ví dụ ( Bài 4, trang 37 SGK)

Đố Một biển báo giao thông với trắng, số 20 màu đen, viền đỏ ( xem hình bên) cho biết vận tốc tối đa mà phương tiện giao thơng qng đường có biển quy định

20km h N/ ếu ơtơ đường có vận tốc (a km h / ) a phải thỏa mãn điều kiện điều kiện sau:

20;

a> a<20; a≤20; a≥20?

Tốc độ tối đa cho phép

Đáp số a≤20

Bất đẳng thức biểu thị thứ tự số ? Vì sao?

a) ( )−6 5< −( )5 5; b) ( ) ( ) ( ) ( )−6 − < −3 −3 ; c) (−2003 ) (−2005) (≤ −2005 2004;) d) −3x2 ≤

Giải

a) Bất đẳng thức đúng, từ 6− < − 05 > nên ( )−6 5< −( )5

b) Bất đẳng thức sai, từ 6− < − 05 − < nên: ( ) ( ) ( ) ( )−6 − > −3 −3 c) Bất đẳng thức cho sai, vế trái số dương vế phải âm

d) Bất đẳng thức x2 ≥ nên −3.x2 ≤ với x

Số a số âm hay số dương nếu: 12a<15 ;a 4a<3 ;a −3a> −5 ?a - Vì 12 15< nên từ 12a<15a suy a>

- Vì 4> nên từ 43 a<3a suy a< - Vì − > − nên từ 33 − > − suy a 5a a>

Cho tam giác ABC Các khẳng định sau hay sai:

a)   A+ + >B C 180 ;0 b)  A+ <B 180 ;0

c)  

180 ;

B+ ≤C d)  

180

A+ ≥B Giải

a)   

180

A+ + >B C bất đẳng thức sai b) , c) đúng, d) Sai

Ví dụ (Bài 10, trang 40 SGK)

a) So sánh ( )−2 −4,

b) Từ kết câu a) chứng minh đẳng thức sau:

( )−2 30< −45; ( )−2 4, 5+ <0 Giải

a) Ta có ( )−2 3= − < −6 4, suy ( )−2 3< −4, b) Theo a) ( )−2 3< −4, 10> nên:

(47)

( )−2 3.10< −4, 5.10⇒ −( )2 30< −45 Mặt khác: ( )−2 3< −4, 5⇒ −( )2 4, 5+ < −4, 4, 5+ ⇒ −( )2 4, 5+ <0

Dạng SO SÁNH HAI PHÂN SỐ

Sử dụng quy tắc cộng nhân hai vế bất đẳng thức cho số

Giả sử a<b, so sánh:

a) a+ b+ b) a− b− Giải

a) Ta có a< suy b a+ < + b b) Ta có a< suy b a− < − b

So sánh a b nếu:

a) a− ≥ − b b) 15+ ≤ + a 15 b

Giải

a) Từ a− ≥ − suy b (a− + ≥5) (b− + ⇒ ≥5) a b b) Từ 15+ ≤a 15+ ⇒b (15+a) (+ −15) (≤ 15+ + −b) ( 15)⇒ ≤a b

Giả sử có a b< , so sánh: 2a 2b ; a− b− Giải

- Ta có a< 0b > nên 2a<2b

- Ta có a< 0b − < nên ( )−1 a> −( )1 b⇒ − > −a b

So sánh a b nếu:

a) a+ < + b b) − > − 3a 3b

c) 5a− ≥6 5b− d) − + ≤ − + 2a 2b Giải

a) a+ < + ⇒5 b (a+ + − <5) ( ) (5 b+ + − ⇒ <5) ( )5 a b

b) − > − 03a 3b

3

− < nên( ) ( )

3

a   b   a b

− − < − − ⇒ <

   

c) 5a− ≥6 5b− ⇒6 (5a− + ≥6) (5b− + ⇒6) 5a≥5b

( ) ( )

5

a b a b

⇒ ≥ ⇒ ≥

(48)

d) − + ≤ − + ⇒ − + + − ≤ − + + −2a 2b ( 2a 3) ( ) (3 2b 3) ( )3

( ) ( )

2 2

2

a b a   b  

⇒ − ≤ − ⇒ − − ≥ − − 

   

a b

⇒ ≥

Cho a<b, so sánh: 2a+1 với 2b+1; 2a+1 với 2b+3

Giải • a< ⇒b 2a<2b⇒2a+ <1 2b+1

• 2a+ <1 2b+ <1 2b+ ⇒3 2a+ <1 2b+3

Ví dụ 12 Cho a> > , so sánh hai số: b

2

1

a x

a a

+ =

+ +

1

b y

b b

+ =

+ + Giải

Ta có x>0,y> và:

2

1 1

1

a a a

a

x a a

a a a

+ +

= = + = + + = +

+ + +

2

1

y

b b

= + +

Vì a> > nên b 1 12 12 1 x y a < ⇒b a + <a b + ⇒ > ⇒ <b x y

Dạng CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Để chứng minh bất đẳng thức A B≥ ta thường sử dụng phương pháp sau: Lập hiệu A B− chứng minh hiệu khơng âm, tức A B− ≥

Lưu ý: 2

0,

C +D + +F ≥ C2 ≥0,D2 ≥0, ,F2 ≥0

2 Phương pháp biến đổi tương đương: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức

Cho a<b, chứng minh:

a) 3a+ <1 3b+ b) − − > − − 2a 2b Giải

a) a< ⇒b 3a<3b⇒3a+ <1 3b+ b) a< ⇒ − > − ⇒ − − > − − b 2a 2b 2a 2b

(49)

Chứng minh:

a) 4.( )− +2 14<4.( )− +1 14 b) ( )−3 5+ < −( ) ( )3 − +5

Giải

a) Ta có: − < − ⇒2 4.( )− <2 4.( )− ⇒1 4.( )− +2 14<4.( )− +1 14

b) Ta có: 2> − ⇒ −5 ( )3 2< −( ) ( ) ( )3 − ⇒ −5 5+ < −( ) ( )3 − +5

Ví dụ 15 a) Cho a> , Chứng minh rằng: a

a

+ ≥

b) Cho a b tùy ý, ch, ứng minh rằng:

2

a b ab

+ ≥

Giải

a) Lập hiệu : a

a

+ − Ta có:

( )2

2 1

1

2 a a a

a

a a a

− + −

+ − = =

Vì (a−1)2 ≥0 a> nên ( )

2

1

a

−

≥ Do đó: a

a

+ − ≥ , suy a

a

+ ≥

b) ( )

2

2 2 2

2

0

2 2

a b

a b a b ab a b

ab − ab

+ − = + − = ≥ ⇒ + ≥

Ví dụ 16 Với , ,x y z chứng minh rằng:

a) x2+y2+z2 ≥xy+yz+zx

b) x2+y2+z2 ≥2xy−2xz+2yz

c) 2 ( )

3

x +y +z + ≥ x+ +y z

Giải

a) Ta có: x2+y2+z2−xy+yz+zx=

( 2) ( 2) ( 2)

1

2 2

2 x xy y y yz z z zx x

 

=  − + + − + + − + 

( ) (2 ) (2 )2

1

0

2 x y y z z x

 

=  − + − + − ≥

Vì (x−y)2 ≥0,(y−z)2 ≥0,(z−x)2 ≥0

Do đó: 2

x +y +z ≥xy+yz+zx Dấu xảy x y z= =

b) Ta có: x2+y2+z2−(2xy−2xz+2yz)=

( )2

2 2

x y z xy xz yz x y z

= + + − + − = − + ≥

Do 2

2 2

x +y +z ≥ xy− xz+ yz

(50)

c) Ta có: x2+y2+z2+ −3 2(x+ +y z)=

( ) ( ) ( )

2 2

x x y y z z

= − + + − + + − +

( ) (2 ) (2 )2

1 1

x y z

= − + − + −

Vì (x−1)2 ≥0,(y−1)2 ≥0,(z−1)2 ≥0

Do 2 ( )

3

x +y +z + ≥ x+ +y z Dấu xảy x= = = y z

Dạng SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG

THỨC

Phương pháp thường sử dụng để chứng minh bất đẳng thức có vế tổng tích hữu hạn Áp dụng tính chất thứ tự để biến đổi tổng tích hữu hạn tổng tích khác mà việc tính tốn đơn giản

Ví dụ 17 Cho n số nguyên lớn 1, chứng minh bất đẳng thức sau:

a) 1 1

1 2

n+ +n+ +n+ + + n>

b) 12 12 12 12 1 +2 +3 + +n < − n

Giải

a) Ta có: 1

1

n+ > n (vì n+ <1 2n)

Tương tự : 1 ; 1 ; ; 1

2 2

n+ > n n+ > n n− > n

Do đó: 1 ; 1 1

1 2 2 n 2

n+ +n+ + n> n+ n+ + n = n =

Vậy : 1 ; 1

1 2

n+ +n+ + n >

b) Với k =2, 3, ,n ta có:

( )

2

1 1 1

(1)

1

k < k− k ⇒k <k− −k

Lần lượt cho k=2, 3, ,n (1) cộng lại ta được:

2 2

1 1 1 1 1

1

1 n 2 n n

     

+ + + + < + −  + − + + −  −

     

Hay : 12 12 12 12 1 +2 +3 + +n < − n

(51)

Dạng ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN

NHẤT

• Giả sử f x( )≤k (k hằng số) dấu xảy x a= giá trị lớn

( )

f x k x= , kí hiệu a maxf x( )=k x= a

• Giả sử f x( )≥k (k số) dấu xảy x a= giá trị nhỏ

( )

f x k x= , kí hiệu a minf x( )=k x= a

•

Ví dụ 18 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

a) A=(x−1)(x+2)(x+3)(x+6)

b) B= − + − + −x x x

Giải

a) ( )( ) ( )( ) ( )( )

1 6

A= x− x+    x+ x+ = x + x− x + x+ ( 2 )2

5 36

x x

= + −

Vì ( )2

5

x + x ≥ với x nên A≥ − Vậy min36 A= − 36 x2+5x= hay 0

x= x= −

b) Áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối: a + ≥ +b a b dấu xảy ab≥ Ta có: x− + − = − + − ≥ − + − =1 x x x x x

dấu xảy (x−1 3)( −x)≥0 hay 1≤ ≤x Mặt khác x− ≥2 0, dấu xảy x=2

Vậy B= − + − + − ≥ + =x x x 2 Dấu xảy x= , B= x=

Ví dụ 19 Tìm giá trị lớn biểu thức:

a) C=x6+y6 biết x2+y2 =

b) 22

x D

x

+ =

+

Giải

a) Ta có: ( ) ( ) (2 3 2)( 2 4) C= x + y = x +y x −x y +y

Vì x2+y2 = nên 4 2 ( 2)2 2

3

C=x +y −x y = x +y − x y 2

1 3x y

= − ≤

Dấu xảy x= hay y=

(52)

Vậy maxC 1= x=0,y= ± y=0,x= ±

b) Ta có: ( )

2

1

2

1

2

x

x x x

D

x x

−

+ − + −

= = − ≤

+ + Dấu xảy x=1 Vậy max D 1= x=

C LUYỆN TẬP

1 (Dạng 1) Bất đẳng thức biểu thị thứ tự số ? Vì ? a) − ≤ − − b) 5( )− > −3 16

c) 12< −( )3 d) 4( ) ( )( )− > −2 −2

2 (Dạng 2)

a) So sánh a−1 a ; −2b − +2b

b) Cho a< so sánh 2a 1b b+ ; 3a− 1.− − b

3 (Dạng 2)

a) Cho a≠ , so sánh

a ; − a2

b) So sánh a2+ ;1 − − a2 (Dạng 2) Cho 0< <a b, so sánh:

a) a ab ; 2 b ab 2 b) a 2 b ; 2 a 3 b 3

5 (Dạng 3) Cho a> > , chứng minh b 1

a< b

6 (Dạng 3)

a) Cho a< c db < , chứng minh a c b d+ < +

b) a b c d , , , dương a<b c, < Chứng minh d ac<bd (Dạng 3) Chứng minh bất đẳng thức:

a) ( )2 ( 2)

2

x+y ≤ x +y b) 2 ( )

3

x +y +z + ≥ x+ +y z

c)

2 2

3

x +y +z x+ +y z

≥  

8 (Dạng 2) Cho ,a b dấu, so sánh hai số (1+a)(1+b) 1 a b+ + (Dạng 4) Chứng minh bất đẳng thức:

a)

( ) ( )

1 1

1.3+3.5+ + 2n−1 2n+1 <2

b) 12 12 12 12

1 +2 +3 + + n < (v3 ới n> )

c) 1 99 15<2 100 <10

10 (Dạng 5) Chứng minh hai số dương có tổng khơng đổi tích chúng lớn hai số

(53)

Áp dụng: Tìm giá trị lớn A= −(1 x)(2−x) với 1 2< < x

11 (Dạng 5) Chứng minh : Nếu hai số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số

Áp dụng: Tìm giá trị nhỏ của:

a) ( )

2

1

x B

x

+

= (với x> ) b)

1

C x x

= +

− (với x> )

12 (Dạng 5) Tìm giá trị nhỏ lớn 42

x D

x

+ =

+

BÀI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN A TĨM TẮT LÍ THUYẾT

1 Nghiệm bất phương trình:

x= gọi nghiệm bất phương trình ta thay x aa = vào hai vế bất phương trình

thì bất đẳng thức 2 Tập nghiệm bất phương trình:

Tập nghiệm bất phương trình tất giá trị biến x thỏa mãn bất phương trình

3 Biểu diễn tập nghiệm:

• {x x/ >a}:

• {x x/ <a}:

• {x x/ ≥a}:

• {x x/ ≤a}:

Dạng 1.KIỂM TRA x a= CĨ LÀ NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG

Bằng cách thay x a= vào hai vế bất phương trình, bất đẳng thức x= nghiệm bất phương trình, cịn bất đẳng thức sai x aa = khơng

nghiệm bất phương trình

Kiểm tra xem giá trị x= nghiệm bất phương trình bất phương trình sau:

) 2x+3 <

a ; b)−4x>2x+ ; c) 5− >x 3x−12

Giải

(54)

)

a Thay x= vào hai vế (vế trái : VT ; vế phải : VP) bất phương trình ta có3 2.3

VT = + = ; VP= Vậy x= không nghiệm bất phương trình )

b Với x=3, ta có: VT = −4.3= −12; VP=2.3 11+ = Vì 12 11− < nên x=3

khơng nghiệm bất phương trình )

c Với x= , ta có: VT = − = ; VP=3.3 12− = − Vì 23 > − nên x= nghiệm bất phương trình

Dạng BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH

• {x x/ >a}:

• {x x/ <a}:

• {x x/ ≥a}:

• {x x/ ≤a}:

Ví dụ (Bài 16 , trang 43 SGK)

Viết kí hiệu biểu diễn tập nghiệm bất phương trình sau trục số: ) x < 4;

a b) x≤ − 2; c) x >− 3; d) x≥ Giải

{ }

) / x

a x < :

{ }

b) x/ x≤ −2 :

{ }

c) x/ x> −3 :

{ }

d) x/ x≥1 :

Ví dụ (Bài 17 , trang 43 SGK)

Hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm bất phương trình nào?

Giải ) x

a ≤ ; b x) > ; c x) ≥ ; d x) < −

(55)

Dạng LẬP BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Dựa vào dự kiện cho toán để chọn ẩn số x dựa vào mối quan hệ giả thiết toán với kết luận cần tìm để lập bất phương trình tìm x

Ví dụ (Bài 18 trang 43SGK)

Hãy lập bất phương trình cho tốn sau :

Quãng đường từ A đến B dài 50km Một ôtô từ A đến B , khởi hành lúc 7 Hỏi ôtô phải vận tốc km/ hđể đến B trước giờ?

Giải

Gọi x km h( / ) vận tốc ôtô (x>0)

Thời gian ôtô từ A đến B 50( )h x

Vì phải đến B trước nên thời gian ô tô từ A đến B phải nhỏ Ta có

bất phương trình 50

x <

Dạng CHỨNG MINH BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĨ NGHIỆM VỚI MỌI GIÁ TRỊ CỦA ẨN SỐ x

Biến đổi bất phương trình dạng f x( ) + >2 k 0( với k > )

Ví dụ Chứng minh bất phương trình sau có nghiệm với x :

2

) x

a − x+ > ; b)−x2+2x− < Giải

)

a Ta có : ( ) ( )2

x −4x+ =5 x −4x+ + =4 x−2 +1.Vì (x−2)2 ≥0với giá trị

x nên (x−2)2+ >1 với x

Vậy x2 −4x+ > có nghiệm với giá trị x 5

b) Ta có : ( ) ( )2

b)−x +2x− = −2 x −2x+ − = − −1 x −1 Vì −(x−1)2 ≤0 với mọi giá trị x nên −(x−1)2− <1 với x

Vậy − +x2 2x− < có nghiệm với giá trị x 2

C LUYỆN TẬP

1 (Dạng 1) Thử xem x= − có nghiệm bất phương trình sau khơng?

)

a x− > x+ ; b) 3− x− > + ; x )

c − x< − x; d) 5(x−2)>3x−1

2 (Dạng 2) Biểu diễn tập nghiệm bất phương trình bất phương trình sau trục số

) x ;

a > b) x≥ − ;

(56)

c) x < ; d x) ≤ − ;

3 (Dạng 1) Cho tập hợpA={x∈/ 10− ≤ ≤x 10} Tìm x∈ nghiệm bất A

phương trình

) ;

a x < b) x >7 ; c) x ≤2 ; d) x ≥9

4 (Dạng 3) Viết bất phương trình hai nghiệm từ mệnh đề )

a Tổng hai lần số số lớn 18

)

b Hiệu lần số nhỏ 10

5 (Dạng 4) Chứng minh bất phương trình sau có nghiệm với x :

2

) ;

a x + + >x b)−x2+3x− <3 0

6 (Dạng 4) Chứng minh bất phương trình sau vơ nghiệm :

( )( )

) 10 ;

a x− x− + < b) x2+2x<2x

BÀI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN A TĨM TẮT LÍ THUYẾT

1 Bất phương trình tương đương :

Hai bất phương trình có tập nghiệm hai bất phương trình tương đương 2 Quy tắc chuyển vế:

Khi chuyển hột hạng tử sang vế bất phương trình ta phải đổi dấu hạng tử 3 Quy tắc nhân:

Khi nhân hai vế bất phương trình với số khác số , ta phải: • Giữ ngun chiều bất phương trình số dương

• Đổi chiểu bất phương trình số âm

Dạng 1.KIỂM TRA x a= CĨ LÀ NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG

Thay x= vào hai vế bất phương trình: a

• Nếu bất đẳng thức x a= nghiệm

• Nếu khơng bất đẳng thức x a= khơng nghiệm

Kiếm tra xem giá trị x= − có nghiệm bất phương trình sau khơng?

2 4

)

a x+ x − x + x − < x − x + x − ;

( )

) 0, 001 0, 003

b − x>

Giải

)

a với x= − : VT = − +2 2( )−2 2− −3( )2 3+4( )−2 4− =5 89; VP=2( )−2 2− −3( )2 3+4( )−2 4− =6 90 Vì 89<90 nên x= − nghiệm bât phương trình

(57)

)

b Với x= − : VT = −( 0, 001)( )− =2 0, 002

Vì 0, 002<0, 003 nên x= − khơng nghiệm bât phương trình

Chú ý Ta có thể tìm tập nghiệm bất phương trình xem x= − có thuộc tập nghiệm hay không?

Chẳng hạn : (−0, 001)x>0, 003⇔ <x 0, 003 :(−0, 001)⇔ < −x

Tập nghiệm bất phương trình S={x x/ < −3}

Vì x= − ∉ nên S x= − khơng nghiệm bất phương trình

Cho bất phương trình x2 > )

a Chứng tỏ x=2, x = − nghiệm bất phương trình cho )

b Có phải giá trị ẩn x nghiệm bất phương trình cho

hay khơng?

Giải

)

a Với x= vế trái 22 = >

Với x= −3 vế trái ( )−3 = >9

Vậy x=2.x= − nghiệm bất phương trình

0

x >

)

b Với x= ta có vế trái 02 = nên x= không nghiệm bất phương trình x2 >

Dạng GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

• Áp dụng quy tắc chuyển quy tắc nhân • Viết tập nghiệm bât phương trình

Giải bất phương trình sau ( theo quy tắc chuyển vế): ) x 3;

a − > b) x x− < − + ; x

)

c − x> − + ; x d) 8x+ <2 7x− Giải

) x 5

a − > ⇔ > + ⇔ > Vậy x x S ={x x/ >8}

) x x x 2 4

b − < − + ⇔ −x x+ x< ⇔ < Vậy ) 4x b − x<12 S={x x/ <4}

) 4 2

c − x> − + ⇔ − +x x x> ⇔ > Vậy x S ={x x/ >2}

Giải bất phương trình sau ( theo quy tắc nhân):

(58)

) 0, 0,

a x> ; b)−4x<12;

)

c − > ; x d) 1, 5x> −

Giải

) 0,3x > 0,6 x > 0,6 : 0,3 x >

a ⇔ ⇔ Vậy S={x x/ >2 }

( )

) 12 12 :

b − x< ⇔ >x − ⇔ > −x Vậy S={x x/ > −3 }

c)− > ⇔ < − Vậy x x S ={x x/ < −4}

d) 1,5x > 9− ⇔ > −x : 1,6 ⇔ > − Vậy x S ={x x/ > −6}

Giải bất phương trình: )

a x− > ; b) 3x− < ;

)2 17

c − x≤ ; d) 4− x≥19

Giải

)

a x− > ⇔ x> ⇔ > x S ={x x/ >3 }

)

b x− < ⇔ x< ⇔ < x S ={x x/ <2 }

)2 17 15

c − x≤ ⇔ − ≤x ⇔ ≥ − x S ={x x/ ≥ −3 }

) 19 16

d − x≥ ⇔ − ≥x ⇔ ≤ − x S ={x x/ ≤ −4 }

Ví dụ 16 (Bài 25, trang 47 SGK)

Giải bất phương trình:

)

3

a x> − ; ) 20

6

b − x< ;

1

)

4

c − x> ; )

3

d − x>

Giải

2

) 6 :

3

a x> − ⇔ > −x ⇔ > − x S ={x x/ > −9 }

5

) 20 20 : 24

6

b − x< ⇔ >x − ⇔ > −x

  S ={x x/ > −24 }

1

)

4

c − x> ⇔ − x> − ⇔ < x S ={x x/ <4 }

1

)

3

d − x> ⇔ − x> − ⇔ < x S ={x x/ <9 }

Ví dụ (Bài 29, trang 48 SGK) Tìm x cho:

)

a Giá trị biểu thức 2x−5 không âm )

b Giá trị biểu thức 3x− không lớn giá trị biểu thức 7− + x Giải

(59)

a) 5

x− ≥ ⇔ x≥ ⇔ ≥ x

b) 7 5

4

x x x x x x

− ≤ − + ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤

Giải bất phương trình : a) 8x+3(x+ >1) 5x−(2x−6) b) 2x(6x− >1) (3x−2 4)( x+3)

Giải

a) 8x+3(x+ >1) 5x−(2x−6)⇔8x+3x+ >3 5x−2x+6

8

x x

⇔ > ⇔ >

Vậy /

S=x x> 

 

b) 2x(6x− >1) (3x−2)(4x+3)⇔12x2−2x>12x2+9x−8x−6

3x x

⇔ − > − ⇔ < Vậy S={x x/ <2}

Dạng BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM TRÊN TRỤC SỐ

Ví dụ (Bài 22, trang 47 SGK )

Giải bất phương trình biểu diễn tập nghiệm trục số a) 1, 2x< − ; b) 3x+ >4 2x+

Giải a) 1, 2x< − ⇔ < −6 x ( )6 :1, 2⇔ < −x

{ / 5}

S = x x< − :

-5 )

0 x

• :

(60)

b) 3x+ >4 2x+ ⇔3 3x−2x> − + ⇔ > − x

{ / 1}

S = x x> − :

Ví dụ 10 (Bài 23 , trang 47 SGK)

Giải bất phương trình biểu diễn tập nghiệm trục số : a) 2x− > ; b) 2x+ < c)4 3− x≤ ; d) 2− x≥

Giải

a) 3

2

x− > ⇔ x> ⇔ >x Vậy /

S=x x> 

 

b)3 4

3

x+ < ⇔ x< − ⇔ < − Vx ậy /

S =x x< − 

 

c)4 3 4

3

x x x

− ≤ ⇔ − ≤ − ⇔ ≥ /

3

S =x x≥ 

 

d)5 2 5

2

x x x

− ≥ ⇔ − ≥ − ⇔ ≤ /

2

S =x x≤ 

 

Ví dụ 11 (Bài 26, trang 47 SGK)

Hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm bất phương trình ? ( Kể ba bất phương trình có tập nghiệm )

a)

b)

x -1

(

x

3

2

(

)

x

-4

0 -1

[

x

4

2 ]

x

5

12 ]

x

8 [

x

(61)

Giải

a) {x x/ ≤12} tập nghiệm ba bất phương trình sau : 2x≤24 ; x+ ≤1 13 ; − + ≥ − x 11

b) {x x/ ≥8} tập nghiệm ba bất phương trình sau : 2x≥16 ; x+ ≥2 10 ; − ≤ − ; x

Ví dụ 12 (Bài 31, trang 48 SGK )

Giải bất phương trình sau biểu diễn tập nghiệm trục số :

a) 15

x

− > ;

b) 11 13

x

− <

c)1( 1)

4

x

x− < − d)

3

x x

− < −

Giải

a)15 15 15 0

3

x

x x x

−

> ⇔ − > ⇔ − > ⇔ <

{ / 0}

S = x x< :

b)8 11 13 11 52 11 44

4

x

x x x

−

< ⇔ − < ⇔ − < ⇔ > −

S={x x/ > −4} :

c)1( 1) 3( 1) (2 4) 3

4

x

x− < − ⇔ x− < x− ⇔ x− < x− ⇔ < − x

{ / 5}

S = x x< − :

d)2 2( ) (3 ) 10

3

x x

x x x x x

− < − ⇔ − < − ⇔ − < − ⇔ < −

{ / 1}

S = x x< − :

Dạng BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

Ví dụ 13 (Bài 21, trang 47 SGK )

Giải thích tương đương :

a)x− > ⇔ + > ; x b) − < ⇔x 3x> − Giải

) x

0

x

-4 (

)

x

-5

)

x

-1

• Hai bất phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm

•Các quy tắc chuyển vế quy tắc nhân biến đổi bất phương trình tương đương với bất phương trình ban đầu

(62)

a)Cách Ta có : x− > ⇔ >3 x 4; x+ > ⇔ > x

Vậy x− > ⇔ + > hai bất phương trình có tập nghiệm x {x x/ >4} Cách 2.Cộng hai vế x− > cho ta x+ >

b) − < ⇔ −x ( ) ( ) ( )3 − > −x 2⇔3x> −6

Hai bất phương trình có tập nghiệm {x x/ > −2}

Ví dụ 14 (Bài 34 , trang 49 SGK )

Đo Tìm sai lầm ‘’ lời giải ‘’ sau :

a) Giải bất phương trình − >2x 23 Ta có :

2x 23 x 23 x 25 − > ⇔ > + ⇔ > Vậy nghiệm bất phương trình x>25

b)Giải bất phương trình 12 7x

− > Ta có :

3 7

12 12 28

7x 7x x

     

− > ⇔ −  −  > −  ⇔ > −

     

Vậy nghiệm bất phương trình x> − 28 Giải

a)Sai lầm lời giải biến đổi : 2− >x 23⇔ >x 23 2+

Biến đổi : 23 23

x x

− > ⇔ < −

b)Sai lầm lời giải nhân cho số âm

− hai vế bất phương trình mà khơng đổi chiều

bất đẳng thức Biến đổi :

3 7

12 12

7x 7x

    

− > ⇔ − −  < − 

    

Dạng BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Ví dụ 15 ( Bài 30 , trang 48 SGK )

Một người có số tiền khơng q 70000 đồng gồm 15 tờ giấy bạc với hai loại mệnh giá : loại 2000 đồng loại 5000 đồng Hỏi người có tờ giấy bạc loại 5000 đồng

Giải

Gọi x số tờ giấy bạc loại 5000 đồng ( x nguyên dương ) Số tờ giấy bạc loại 2000 đồng : 15 – x

Số tiền người có : 5000x+2000(15− x) Theo đề ta có :

• Gọi x ẩn cần tìm , tìm điều kiện cho x

• Lập bất phương trình theo yêu cầu đề

• Giải bất phương trình để tìm x

(63)

40 5000 2000(15 ) 70000 3000 40000

3

x+ −x ≤ ⇔ x≤ ⇔ ≤x

Vì x nguyên nên x≤13

Vậy số tờ giấy bạc loại 5000 khơng vượt q 13

Ví dụ 16 (Bài 33, trang 48 SGK )

Đố Trong kì thi , bạn Chiến phải thi bốn mơn Văn , Tốn, Tiếng Anh Hóa

Chiến thi ba môn kết bảng sau :

Mơn Văn Tiếng Anh Hóa

Điểm 10

Kì thi quy định muốn đạt loại giỏi phải có điểm trung bình mơn thi trở lên khơng có mơn bị điểm Biết mơn Văn Tốn tính hệ số Hãy cho biết , để đạt loại giỏi bạn Chiến phải có điểm thi mơn Tốn ?

Giải Gọi x điểm thi mơn Tốn Chiến (x≥ ) Điểm trung bình mơn thi Chiến :

( ) 33

2 2.8 10 : 6

x

x+ + + = +

Theo đề ta có bất phương trình :

2 33

8 33 48 15 7,

6

x

x x x

+ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥

Vậy để đạt loại giỏi bạn Chiến phải có điểm thi mơn Tốn 7,5 điểm

C LUYỆN TẬP

1 (Dạng 3) , Giải bất phương trình sau biểu diễn tập nghiệm trục số : a) 3x− ≤7 ; b) 5x+18>0 ;

c)9 2− x<0 ; d)− −11 3x≥0 ;

2 (Dạng 2) Giải bất phương trình sau : a) 2x−3a≥ ;

b) a+ −1 5x≥ 0;

c)(a−1)x+2a+ <1 với a> ;

d)(2a+1)x− − ≥1 a với

a< −

3 (Dạng 2).Với a số cho trước , giải bất phương trình sau : a) ( )

1

a + x+ − <a ; b) ( )

2 2

a − a+ x≥ a+ ;

c)( )

2a−a −2 x+ ≤7 ;

4 (Dạng 2)

a) Tìm nghiệm nguyên dương bất phương trình : 17 3− x≥ ; b)Tìm nghiệm nguyên âm bất phương trình : 4x+ > ; 13 c) Tìm nghiệm tự nhiên bất phương trình : 19 0x− ≤

5 Định m để bất phương trình : ( )

4

m − m+ x+ −m m < có nghiệm với x

(64)

5 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A TĨM TẮT LÍ THUYẾT

Dạng PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Ví dụ (Bài 35, trang 51 SGK )

Bỏ dấu giá trị tuyệt đối rút gọn biểu thức :

a) A=3x+ +2 5x hai trường hợp : x≥ x< ; b) B= −4x −2x+12 hai trường hợp : x≤ x> ; • Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để rút gọn :

• Giải phương trình khơng có dấu giá trị tuyệt đối

•Chọn nghiệm thích hợp trường hợp xét

•Tính chất :

1.Phương trình dạng : (*)

a) (*) trở thành : (2)

Giải (2) chọn nghiệm thỏa (1) ta nghiệm (*)

b) (3) : (*) trở thành : (4)

Giải (4) chọn nghiệm thỏa (3) ta nghiệm (*)

c) Kết luận : Nghiệm (*) tất nghiệm vừa tìm trường hợp

2.Phương trình dạng : (**)

(**)

3.Phương trình chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối : Ta xét dấu khoảng để

khử dấu giá trị tuyệt đối

(65)

c) C= − −x 2x+12 x> ; d) D=3x+ + +2 x

Giải a) Với x≥ ta có A=3x+ +2 5x=8x+

Với x< ta có A=3x+ −2 5x= − + 2x b) Với x≤ ta có B= − −4x 2x+12= − + 6x 12

Với x> ta có B=4x−2x+12=2x+ 12 c) Với x> ta có C= − −x 2x+12= − + x d) Với x≥ − ta có D=3x+ + + =2 x 4x+ Với x< − ta có D=3x+ − − =2 x 2x−

Ví dụ 2.(Bài 36, trang 51 SGK)

) 6;

a x = −x b) 3− x = −x 8;

) 12;

c x = x+ d) 5− x − =16 x

Giải

a) Với x≥ ta có 2x = − ⇔x 2x= − ⇔ = −x x (loại) Với x<0ta có 2x = − ⇔ − = − ⇔ =x 2x x x (loại) Vậy S = ∅

b) Với x≥ ta có −3x = − ⇔x 3x= − ⇔ = −x x (loại) Với x< ta có −3x = − ⇔ − = − ⇔ =x 3x x x (loại) Vậy S = ∅

c) Với x≥ ta có 4x =2x+ ⇔12 4x=2x+ ⇔ =12 x (loại) Với x< ta có 4x =2x+12⇔ − =4x 2x+12⇔ = −x (loại) Vậy S= −{ 2;6}

d) S ={8; 2− }

) 3;

a x− = x+ b x) + =4 2x−5;

) 3 1;

c x+ = x− d x) − +4 3x=5

Giải

a) Với x≥ ta có x− =7 2x+ ⇔ − =3 x 2x+ ⇔ = −3 x 10 (loại)

Với x< ta có 7

3

x− = x+ ⇔ − + =x x+ ⇔ = (nhx ận)

Vậy

3

S=   

 

(66)

b) Với x≥ −4 ta có x+ =4 2x− ⇔ + =5 x 2x− ⇔ =5 x (nhận) Với x< − ta có 4 5

3

x+ = x− ⇔ − − =x x− ⇔ = (lox ại)

Vậy S ={ }9

c) Với x≥ − ta có x+ =3 3x− ⇔ + =1 x 3x− ⇔ =1 x (nhận) Với x< − ta có 3 3 1

2

x+ = x− ⇔ − − =x x− ⇔ =x − (loại)

Vậy S={ }2

d) Với x≥ ta có 4 5

4

x− + x= ⇔ − +x x= ⇔ = (lox ại)

Với x<4 ta có 5

x− + x= ⇔ − + +x x= ⇔ = (nhận) x

Vậy

2

S=   

 

Ví dụ Giải phương trình:

) 1 5;

a x+ − = b x) − + − =1 x 3; ) 2

c − =x x−

Giải

a) x+ − = ⇔ + − = ±1 x 1

• 1 6

1

x x

+ = =

 

+ − = ⇔ + = ⇔ ⇔

+ = − = −

 

• x+ − = − ⇔ + = −1 x Vơ nghiệm (vì x+ ≥1 0)

Vậy tập nghiệm phương trình: S = −{ 7;5 }

b) x+ + − =1 x 3(1)

x

1

x− 1 x− x− x−

2 x− 2 x− 2 x− x− 2

x+ + −x 3 2x− 2x− i) x<1: (1) trở thành: 2− x= ⇔3 2x= ⇔ =0 x 0(nhận);

ii) 1≤ ≤ : (1) trở thành: 3!!x = : Phương trình vơ nghiệm;

iii) x> : (1) trở thành: 32 x− = ⇔2x= ⇔ = (nhận); x

1

(67)

Vậy tập nghiệm phương trình: S ={ }0;3 c) Cách Áp dụng a = ⇔ = ±b a b, ta có:

5

2

2 3

2

1

x x x

x x

x



− = − =

 

− = − ⇔ ⇔

− = −

  =

Vậy 1;5

S=   

 

Cách Áp dụng a = ⇔b a2 =b2, ta có :

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

2 2

2 2 2

5

5 3

1

x x x x x x

x x

x

− = − ⇔ − = − ⇔ − − − =



− = =

 

⇔ − − = ⇔ ⇔

 − =

  =

Vậy 1;5

S=   

 

Dạng BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Áp dụng số tính chất:

1 A ≤ B ⇔ − ≤ ≤B A B;

A ≥ B ⇔ ≥A Bhoặc A≤ − B

2 A ≥ B ⇔ A2−B2 ≥ ⇔0 (A B− )(A B+ )≥0

3 Nếu bất phương trình có nhiều dấu giá trị tuyệt đối xét dấu để bỏ dấu giá trị

tuyệt đối

Ví dụ Giải bất phương trình:

) 1;

a x− < +x ) 1;

2

x b x− > +

)

c x− + − > +x x

Giải

a) Cách (Dùng định nghĩa)

i) Nếu

x≥ 2x− ≥ 2x− =1 2x−1 Khi đó:

(68)

2x− < + ⇔1 x 2x− < + ⇔ <1 x x

Vậy: 2≤ ≤ (1) x

ii) Nếu

x< 2x− < 2x− = −1 2x Khi đó:

2x− < + ⇔ −1 x 1 2x< + ⇔x 3x> ⇔ >0 x

Vậy:

x

< < (2)

Kết hợp (1) (2) ta nghiệm: 0< < x

Cách (Dùng tính chất)

Ta có: 2x− < + ⇔ − − <1 x x 2x− < +1 x

1

0

2 1

x x x

x

x x x

− − < − <

 

⇔ ⇔ ⇔ < <

− < + <

 

b) Cách (Dùng định nghĩa)

i) Nếu x≥2 x− ≥2 0và x− = −2 x Khi đó:

1

2 2

2

x x

x− > + ⇔ − >x + ⇔ x− > + ⇔ > (nhx x ận)

ii) Nếu x< 2 1

x

x + x x x

− > ⇔ − > + ⇔ < (nhận)

Vậy nghiệm bất phương trình: x< x>

Cách (Dùng tính chất)

Ta có:

1

2

1 2

2

1 1

2

x x

x x x

x x

x x x x

x

+  − >

  − > +  > +

− > ⇔ ⇔ ⇔

+  − < − −  <  − < −



c) x− + − > +1 x x 3.( 1)

i) x<1: (1) trở thành: 2− x> + ⇔x 3x< ⇔ <0 x 0(nhận); ii) 1≤ ≤ : (1) trở thành: 1x > + ⇔ < − (loại); x x

iii) x> : (1) trở thành: 32 x− > + ⇔ > (nhận) x x

Vậy nghiệm bất phương trình: x< x>

(69)

ÔN TẬP CHƯƠNG IV

38.Cho m>n Chứng minh :

) 2; )2 5;

a m n

c m n

+ > + − > −

) 2 ; )4

b m n

d m n

− < − − < −

Giải a) Áp dụng tính chất: Nếu a b> a c b c+ > + , ta có:

2

m> ⇒ + > + n m n

b)m> ⇒ −n ( )2 m< −( )2 n⇒ −2m< −2n c) m> ⇒n 2m>2n⇒2m− >5 2n−

d) m> ⇒ −n 3m< − ⇒ −3n 3m< −4 3n

39 Kiểm tra xem 2− nghiệm bất phương trình bất phương trình sau :

2

) 5; ) 1; ) 2;

a x

c x

e x

− + > − − < >

)10 2;

d) 3;

)

b x

x

f x x

− < < + > −

Giải

Thay x= − vào bất phương trình ta thấy: a); c); d) thỏa cịn b); e); f) khơng thỏa Vậy 2

− nghiệm bất phương trình a); c); d)

40.Giải bất phương trình biểu diễn tập nghiệm trục số:

) 3; )0, 0, 6;

a x c x

− < <

) 1; )4

b x

d x

+ > + <

Giải

a) x− < ⇔ <1 x Vậy S={x x/ <4} b) x+ > ⇔ > − Vậy x S ={x x/ > −1} c) 0, 2x<0, 6⇔ < Vậy x S ={x x/ <3}

d)

2

x x

+ < ⇔ < Vậy /

S=x x< 

 

41 Giải bất phương trình:

(70)

2

) 5;

4

) ; x a x x c − <

− > −

2

)3 ;

5

) x b x x d + ≤ + ≥ − − − Giải

a) 20 18

4

x

x x

− < ⇔ − < ⇔ > − { }

/ 18

S= x x> −

b) 3 15

5

x

x x

+

≤ ⇔ ≤ + ⇔ ≥ S={x x/ ≥6}

c) 20 25 21

3

x x

x x x

− −

> ⇔ − > − ⇔ > S ={x x/ >2}

d) 2( 3) 4( )

4 x x x x + ≥ − ⇔ − + ≤ − − − −

6 16

10

x x x

⇔ − − ≤ − + ⇔ ≥

7 /

10

S =x x≥ 

 

42 Giải bất phương trình:

( )2

)3 4;

) 3;

a x

c x x

− >

− < − ( )( ) ( )2

)3 2;

) 3

b x

d x x x

+ <

− + < + +

Giải

a) 1 /

2

x x x S x x 

− > ⇔ − > ⇔ < − = < − 

 

b) 2 /

3

x+ < ⇔ < −x S =x x< − 

 

c) ( )2 2 { }

3 /

x− <x − ⇔x − x+ <x − ⇔ >x S= x x>

d) ( )( ) ( )2 2

3 3 4

x− x+ < x+ + ⇔x − <x + x+ + ⇔ > −x S={x x/ > −4 }

43.Tìm x cho:

a) Giá trị biểu thức 2x− số dương;

b) Giá trị biểu thức x+ nhỏ giá trị biểu thức 5;3 x−

c) Giá trị biểu thức 2x+1 không nhỏ giá trị biểu thức x+ 3; d) Giá trị biểu thức x2+ không lớn giá trị biểu thức (x−2 )2

(71)

Giải

a) 5

2

x x

− > ⇔ <

Nếu

x< giá trị biểu thức 5 2x− số dương

b)

3

x+ < x− ⇔ >x

Nếu

x> giá trị biểu thức x+ nhỏ giá trị biểu thức 5.3 x−

c) 2x+ ≥ + ⇔ ≥ x x

Nếu x không nhỏ (x≥2)thì giá trị biểu thức 2x+ khơng nhỏ giá trị biểu thức x+

d) ( 2)2 2 4

4

x + ≤ x− ⇔x + ≤x − x+ ⇔ ≤x

Nếu xkhông lớn

3

x

 ≤ 

 

  giá trị biểu thức

2

1

x + không lớn giá trị

biểu thức (x−2 )2

44 Đố Trong thi đố vui, Ban tổ chức quy định người dự thi phải trả lời 10 câu

hỏi vòng sơ tuyển Mỗi câu hỏi có sẵn đáp án, có đáp án Người dự thi chọn đáp án điểm, chọn đáp án sai bị trừ điểm Ở vòng sơ tuyển, Ban tổ chức tặng cho người dự thi 10 điểm quy định người có tổng số điểm từ 40 trở lên dự thi vòng Hỏi người dự thi phải trả lời xác câu hỏi vịng sơ tuyển dự thi tiếp vịng sau?

Giải

Để dự thi tiếp vịng sau người dự thi phải trả lời 30 điểm Vậy người dự thi phải trả lời xác câu hỏi vịng sơ tuyển dự thi tiếp vịng sau

) 8; ) ;

a x x

c x x

= + − =

) 18; ) 2 10

b x x

d x x

− = + + = −

Giải

a) Với x≥0: 3x = + ⇔x 3x= + ⇔ =x x (nhận) Với x< : 3x = + ⇔ −x 3x= + ⇔ = −x x (nhận) Vậy S = − ; 4{ }

(72)

b) Với x≥ : −2x =4x+18⇔2x=4x+18⇔ = −x (loại) Với x< : −2x =4x+18⇔ −2x=4x+18⇔ = −x (nhận) Vậy S= −{ }3

c) Với x≥ : 5 5

2

x− = x⇔ − =x x⇔ = − (lox ại)

Với x<5: 5

4

x− = x⇔ − + =x x⇔ = (nhx ận)

Vậy

4

S =   

 

d) Với x≥ − : x+ =2 2x−10⇔ + =x 2x−10⇔ =x 12 (nhận)

Với x< : 2 10 2 10

3

x+ = x− ⇔ − − =x x− ⇔ = (lox ại)

Vậy S ={ }12

B BÀI TẬP BỔ SUNG

1 Giải bất phương trình sau:

a) ax+ >4 2x a+ b) 1

1

ax ax

a a

+ −

>

− + với a>

2 Giải bất phương trình: 1

x x

+ ≤

+

3 Giải bất phương trình:

a) x x x (a 2)x

a a

− +

+ < − −

b) (a 1)x ax 1

a a

−

+ + >

c) ( ) ( )

1

a + +a x− a> +a x+ a

4 Định m để bất phương trình sau có nghiệm với x:

( )

4

m − m+ x+ −m m <

5 Định m để hai bất phương trình sau có tập nghiệm trùng nhau: (m−1)x− + >m (m+ − + >1) m

6 Xác định m để hai bất phương trình sau có nghiệm chung: ( 2)

m x− + ≤x m x( − ≥ −1) x

7 Giải biện luận bất phương trình:

1

x m mx

+

− ≤ ≤

+

8 Giải bất phương trình: a) 2x− ≥ −1 x

b) 2x+ > −5 4x

(73)

c) 1

x x

− ≤

+

9 Định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm nhất:

1

x m m

x m m

 − ≤



 − + ≤ 

10 Chứng minh bất đẳng thức:

a) 2

2

a +b ≥ với a b+ =

b) 2

a +b +c ≥ với a b c+ + =

c) a12 a22 an2 n

+ + + ≥ với a1+a2+ + an =

11 Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện: a b c+ + > 0, ab bc ca+ + > 0, abc> Chứng minh ba số a, b, c dương

12 Cho a, b, c thỏa mãn 0<a b c, , < Chứng minh có bất đẳng thức sau sai:

( ) ( ) ( )

1 1

4 4

a −b > ; b − > ;c c −a >

13 Cho ba số dương a, b, c có tích a b c 1

a b c

+ + > + + Chứng minh rằng:

a) (a−1)(b−1)(c− >1)

b) Trong ba số a, b, c có số lớn 1, hai số lại nhỏ

14 Tìm số có hai chữ số cho tỉ số số với tổng chữ số có giá trị nhỏ

nhất

a) Nhỏ b) Lớn

ÔN TẬP CUỐI NĂM

1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) a2− −b2 4a+ b) x2+2x− b) 4x y2 2−(x2+y2)2 d) 2a3−54b3

Giải

a) 2 ( ) ( )2 ( )( )

4 4 2

a −b − a+ = a − a+ −b = a− −b = a− −b a− +b

b) x2+2x− =3 (x2+2x+ − =1) (x+1)2 −22

(x 2)(x 2) (x 1)(x 3)

= + − + + = − +

c) 4x y2 2−(x2+y2)2 =( )2xy 2−(x2+y2) (2 = 2xy−x2−y2)(2xy+x2+y2)

( ) (2 )2

x y x y

= − − +

(74)

d) 3 ( 3) ( )( 2)

2a −54b =2 a −27b =2 a−3b a −3ab+9b

2 a) Thực phép chia: ( ) ( )

2x −4x +5x +2x− :3 2x −1

b) Chứng tỏ thương tìm phép chia luôn dương với giá trị x

Giải a) Thực phép chia ta kết quả:

( ) ( )

2x −4x +5x +2x− :3 2x − =1 x −2x+3

b) Ta có: ( )2

2

x − x+ = x− + Vì (x−1)2 ≥0 với giá trị x nên

2

x − x+ > với giá trị x

3 Chứng minh hiệu bình phương hai số lẻ chia hết cho Giải

Hai số lẻ có dạng 2n+ 21 m+ với n, m số nguyên

Ta có: (2n+1) (2− 2m+1) (2 = 2n−2m)(2n+2m+2)=4(n−m)(n+ +m 1) • Nếu n, m tính chẵn, lẻ n m− chẵn Khi đó:

( )( )

4 n−m n+ +m 18

• Nếu n, m khác tính chẵn, lẻ n m+ + chẵn Khi đó:

( )( )

4 n m− n+ +m 18

Vậy (2n+1) (2− 2m+1)28

4 Rút gọn tính giá trị biểu thức sau

x= −

( ) ( )

2

2 2

3 24 12

1

9 81

3

x x x

x x  + −     + − : −      − − + − +       Giải Ta có: • ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 2

2

2 2 2 2

3

3 24

9

3 3

x x x

x

x x x x x

+ + − − − + + − − = = − − + − + − • ( ) ( )

2

4

12

24 12 81

1

81 81 12 12

x

x x x

x x x x

+

  − −

: − = : = =

− + − +

 

Vậy biểu thức cho bằng:

2 2 x x −

Với

3

x= − biểu thức cho có giá trị

40 −

5 Chứng minh rằng:

2 2 2

a b c b c a

a+b+b+c+c+a = a+b+b+c+c+a Giải

(75)

2 2 2 2 2 2

a b c a b b b c c c a a

a b b c c a a b b c c a

− + − + − +

+ + = + +

+ + + + + +

2 2

b c a

a b b c c a

= − + + − + + − +

+ + +

2 2

b c a

a b b c c a

= + +

+ + +

6 Tìm giá trị nguyên x để phân thức M có giá trị số nguyên:

2

10

x x M

x

− − =

−

Giải

Thực phép chia đa thức, ta có:

2

M x

x

= + +

−

x nguyên 5x+ nguyên, để M có giá trị nguyên 34 x− phải ước

Ước gồm: 1± ; ±

• 2x− = ⇔ = x 2x− = − ⇔ = − x • 2x− = ⇔ = x 2x− = − ⇔ = − x Vậy giá trị nguyên x cần tìm là: x∈ − ; ; ;{ 2 5}

7 Giải phương trình:

a)

5

x+ x− x+

− = + (1)

b) 2( 1) 1 3( 2)

4 10

x− x+ x+

− + = (2)

c) 2( 1) 5

3 12

x

x x

x

−

+ −

+ − = + (3)

Giải

a) ( ) ⇔1 21 4( x+ −3) 15 6( x−2)=35 5( x+4)+105.3 84x 63 90x 30 175x 140 315

⇔ + − + = + +

84x 90x 175x 140 315 63 30

⇔ − − = + − −

181x 362

⇔ − =

2

x

⇔ = − Vậy S= −{ }2

b) ( ) ⇔2 15 2( x− −1) (2 3x+ +1) 20=8 3( x+2) 30x 6x 24x 16 15 20

⇔ − − = + + −

0x 13

⇔ =

x

⇔ ∈∅ (Phương trình vơ nghiệm) Vậy S = ∅

c) ( ) ⇔3 4(x+2) (+9 2x− −1) (2 5x−3)=12x+5

4x 18x 10x 12x ⇔ + + − − + = +

4x 18x 10x 12x ⇔ + − − = − + −

(76)

0x

⇔ =

x

⇔ ∈  (Phương trình nghiệm với x) Vây S= 

a) 2x− =3 b) 3x− − =1 x Giải

a)

7

2 2

2

2 x x x x x  =  − =  − = ⇔ ⇔  − = −   = − 

Vậy

2

S = − ; 

 

b)

2

3 3

3

x

x x x x x x

x x + ≥   − − = ⇔ − = + ⇔ − = +   − = − −  3

2 2

1

4 1

4 x x x x x x x x   ≥ −   ≥ −  =       = ⇔ = ⇔ ⇔     = −  = −     = −    

Vậy

4

S = − ; 

 

98 96 94 92

x+ x+ x+ x+

+ = + (*)

Giải

100 100 100 100

*

98 96 94 92

x+ x+ x+ x+

( ) ⇔ + = + (cộng hai vế với 2)

( ) 1 1

100

94 92 98 96

x  

⇔ +  + − − =

 

10

x

⇔ = − (vì 1 1 94+92−98−96> ) Vậy S = −{ 100}

a)

( )( )

1 15

1 2

x+ −x− = x+ −x (1)

b) 22

2

x x x

− − = −

+ − − (2)

Giải

(77)

a) 1 ( )

2 15 5 15

x x x x

≠ − ; ≠

  ≠ − ; ≠

( )⇔ ⇔

− − + = −  − − − = −



1 2

4

x x x x

x

x x KTM

 ≠ − ; ≠  ≠ − ; ≠

⇔ ⇔ ⇔ ∈∅

− = −  = ( )



Vậy S = ∅

b)

( )( ) ( )

2

1 2

x

x x x x x

≠ ±  ( ) ⇔  − − − + = −  2 2

3 2 0

x x

x

x x x x x x

 ≠ ±  ≠ ±

⇔ ⇔ ⇔ ≠ ±

− + − − = −  =



Vậy S =\{ }±2

a) 3x2+2x− = b) 31

2

x x

− + − =

− −

Giải a) 3x2+2x− = ⇔1 2x2+2x+x2− =

( ) ( )( )

2x x x x

⇔ + + − + =

( 3)( 1) 11

3

3 x x x x x x  + =  = −   ⇔ + − = ⇔ ⇔  − = =   

Vậy 1

3

S = − ; 

 

b)

( )( ) ( )2 ( )( )

2

3

3 16

2 2

5

x x

x x x x x x x

≠ ; ≠ 

− + − = ⇔ 

− −  − − + − = − −

( )

2 2

2

16

7 12 4

5

x x

x x x x x x

≠ ; ≠ 



⇔  − + + − + = − +



( ) ( )

2

5 11 16 16

x x

x x x x

≠ ; ≠  ⇔  − + = − +  2

10 55 80 16 96 128

x x

x x x x

≠ ; ≠  ⇔  − + = − +  2

6 41 48

x x x x ≠ ; ≠  ⇔  − + = 

(2 3)(4 16)

x x x x ≠ ; ≠  ⇔  − − = 

(78)

2 3 16

x x

x

≠ ; ≠ 



⇔ − = 

 − = 

2

3 16

3

x x

x

≠ ; ≠ 

  = ⇔ 

 



 =

 

3 16

3

x

 =  ⇔ 

 = 

Vậy 16

2

S = ; 

 

12 Một người xe máy từ A đến B với vận tốc 25 /km h Lúc về người với vận tốc

30km h nên th/ ời gian thời gian 20 phút Tính quãng đường AB Giải

Gọi x (km) quãng đường AB (x>0.)

Thời gian xe máy từ A đến B là: ( ) 25

x h

Thời gian là: ( ) 30

x h

Ta có phương trình: 50

25 30

x x

x

− = ⇔ =

Vậy quãng đường AB dài 50km

13 Một xí nghiệp dự định sản xuất 1500 sản phẩm 30 ngày Nhưng nhờ tổ chức lao

động hợp lí nên thực tế sản xuất ngày vượt 15 sản phẩm Do xí nghiệp sản xuất vượt mức dự định 255 sản phẩm mà cịn hồn thành trước thời hạn Hỏi thực tế xí nghiệp rút ngắn ngày?

Giải

Gọi x (ngày) thời gian thực tế xí nghiệp rút ngắn (x>0) Ta có bảng sau:

Số sản phẩm Thời gian Số sản phẩm làm ngày

Dự định 1500 30 1500: 30 = 50

Thực tế 1755 30 x− 1755

30 x− Ta có phương trình:

(79)

( )

1755

50 15 1755 65 30

30−x = + ⇔ = −x ⇔ =x

Vậy thực tế xí nghiệp rút ngắn ngày

14 Cho biểu thức:

2

2 10

2

4 2

x x

A x

x x x x

 − 

 

= + + : − + 

− − + +

   

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị A x, biết

x =

c) Tìm giá trị x để A<

Giải

a) Ta có: 2 2( 2 2) 2

4 2 4

x x x

x

x x x x x

− + + − −

+ + = =

− − + − −

2 2

10 10

2

2 2

x x x

x

x x x

− − + −

− + = =

+ + +

Do đó:

6 1

4 2

x A

x x x

− + −

= = =

− − −

b) 1

2

x = ⇔ = ± x

•

2

x= :

1

2

A= =

−

•

2

x= − :

1 5

2

A= =

+

c) 2

2

A x x

x

= < ⇔ − < ⇔ >

−

15 Giải bất phương trình: 1 x x − > − Giải

1 1

1 0 3

3 3

x x x x

x x

x x x x

− > ⇔ − − > ⇔ − − + > ⇔ > ⇔ − > ⇔ >

− − − −

Vậy: S ={x∈|x>3} hay S = ; + ∞(3 )

1 Chứng minh với ,x y∈ thì:

( )( )( )( )

2

A= x+y x+ y x+ y x+ y +y số phương

2 Tìm 11 số khơng âm cho số bình phương tổng 10 số cịn lại

(80)

3 Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện:

2 2

3 3

1

a b c a b c

 + + = ( )

 + + = (2)



Chứng minh rằng: a b+ 2+c3=

4 Chứng minh với số tự nhiên n:

( )2

1 1

5+13+25+ +n + +n 1 < 20

5 Tìm số , ,x y z∈ thỏa mãn x2+y2+z2<xy+3y+2z−

6 Cho số , , ,a b c d∈ (nguyên dương) Chứng minh số sau không số +

nguyên:

a) A a b c d

a b c b c d c d a d a b

= + + +

+ + + + + + + +

b) B a b b c c d d a

a b c b c d c d a d a b

+ + + +

= + + +

+ + + + + + + + +

7 Hai số 2005

2 52005 viết liên tiếp Hỏi tất có chữ số?

8 Xác định đa thức bậc ba:

f x( ) =ax +bx +cx+ thỏa mãn: d

1

f x( ) − ( − ) =f x x với x Từ tính tổng 12+22+ + n2

9 Cho N =1.2.3 2.3.4 + + + ( + )( + ) n n n (n∈+) Chứng minh 4N+ số phương

10 Cho f x( ) = + +(1 x x2)2005 Gọi m tổng hệ số ứng với lũy thừa bậc chẵn x n tổng hệ số ứng với lũy thừa bậc lẻ x Hỏi m, n số chẵn hay lẻ

11 a) Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: x x3( − ) −2 36x

b) Chứng minh 3( )2

7 36 − −

n n n chia hết cho 210 với n∈

12 Cho a b+ =1 Tìm giá trị nhỏ của: a3+ +b3 ab

13 Tìm giá trị nhỏ của:

( )2 ( ) 2 2

6 16 8 10 ( , , )

= − + − + + − + − + ∈

A x ay x ay x y xy x y x y a

14 Cho − <1 a b c, , <1 a b c+ + =0 Chứng minh rằng: a2+b2+c2 <2

15 Tìm giá trị nhỏ của: M =xy x( −2)(y+ +6) 12x2−24x+3y2+18y+36

16 Chứng minh a b+ =2 a4+b4≥2

17 Cho a< < <b c d So sánh s ố:

( )( )

= + +

x a b c d

y a c b d

z a d b c

18 Cho x y z, , ≥0 x+ + =y z Chứng minh rằng: x+2y+ ≥z 1( −x)(1−y)(1−z)

19 Số 2100 có chữ số?

(81)

20 Cho a b+ =1, tìm giá trị nhỏ của: A=a3+ +b3 ab

21 Cho A=3x2−2x+3y2−2y+6x+1 Tính gái trị A biết xy=1 x+y đạt giá trị

nhỏ

22 Giải phương trình: x5 =x4+ + +x3 x3 (1)

( )

1 1 2.2005

1 1

1.3 2.4 3.5 2006

 

 +  +  +  + =

 

     + 

     x x  (1)

24 Giải hệ phương trình:

3

4

1 (1) (2)  + = 



+ = 

x y

25 Chứng minh ,a a b c s+ , ố nguyên ax2+bx c nguyên v+ ới giá trị

nguyên x Chiều ngược lại có khơng?

26 Tìm hai số tự nhiên biết hiệu bình phương chúng 169

27 Tìm số nguyên dương ,x y cho: (x+5)(x+ =6) xy (1)

28 Tìm nghiệm nguyên phương trình: 3

3

− = +

x y xy

29.Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x+ + =y z xyz (1)

30 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x+ + + =y z xyz

31 Tìm , ,x y z thỏa: xyz+xzy=zzz

32 Tìm nghiệm nguyên phương trình: : =

+

xy p x y (1) (p số nguyên tố)

33 Giải biện luận phương trình sau:

a) 2;

1

− = −

+ −

x m x

x x (1)

b) ( )

2

1

1 1

+ −

+ =

− + −

a x

ax b

x x x (2)

34 Định m để phương trình sau có nghiệm nhất: 1

+ = +

− −

x x

x m x (1)

35 Định a b để phương trình (x−1) (a+ 2x+1)b= +x có tập nghiệm  (vô số nghiệm x∈ )

(82)

Phần

(83)

Chương III

TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

§1 ĐỊNH LÍ TA – LÉT TRONG TAM GIÁC

1 Đoạn thẳng tỉ lệ

Hai đoạn thẳng AB CD gọi tỉ lệ với hai đoạn thẳng ′ ′A B C D′ ′nếu có tỉ lệ thức ′ ′

= ′ ′

AB A B

CD C D hay ′ ′ = ′ ′

AB CD

A B C D

2 Định lí Ta-lét tam giác

Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh lại định hai cạnh đọan thẳng tương ứng

tỉ lệ

,

// ∆ 

⇒ = =

 

ABC AD AE AD AE

DE BC AB AC DB EC

Dạng TÍNH TỐN, CHỨNG MINH VỀ TỈ SỐ CỦA HAI ĐOẠN THẲNG VÀ ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ

Thường sử dụng tính chất tỉ lệ thức

Ví dụ (Bài SGK)

Cho biết độ dài AB gấp lần độ dài CD độ dài ′ ′A B gấp 12 lần độ

dài CD Tính tỉ số hai đoạn thẳng AB ′ ′A B

Giải

5

12 12

= =

′ ′

AB CD

A B CD

Ví dụ (Bài 19 SGK)

Cho hình thang ABCD AB CD( // ) Đường thẳng a song song với DC, cắt cạnh AD BC theo thứ tự E F Chứng minh rằng:

a) AE = BF;

ED FC b) = ;

AE BF

AD BC c) =

DE CF DA CB

(84)

Giải

a) Gọi I giao điểm a AC Ta có:

// DC

a nên AE = AI;

ED IC

//

a AB nên AI = BF

IC FC

Suy AE = BF

ED FC

b) Lần lượt chứng minh AE = AI = BF

AD AC BC

c) Lần lượt chứng minh DE = CI =CF

DA CA CB

Cho biết AB′= AC′

AB AC (H.6 SGK) Chứng minh rằng:

a) ′ = ′;

′ ′

AB AC B B C C

b) ′ = ′ ′

BB CC AB AC

Giải

Áp dụng tính chất tỉ lệ thức:

′ ′ ′ ′ ′ ′

= ⇒ = ⇒ =

′ ′ ′ ′

− −

AB AC AB AC AB AC

AB AC AB AB AC AC B B C C

′ ′ − ′ − ′ ′ ′

= ⇒ = ⇒ =

AB AC AB AB AC AC BB CC

AB AC AB AC AB AC

Dạng SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TA-LÉT ĐỂ TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG

Xét đường thẳng song song với cạnh tam giác, lập đoạn thẳng tỉ lệ, sử dụng tính chất tỉ lệ thức để tính tốn

Tính x trường hợp sau (H.7 SGK);

(85)

a) MN// BC b) PQ// EF

Giải

a) Xét ∆ABC có MN // BC, theo Định lí Ta-lét ta có:

4 4.3, 2,8 3, 5

= ⇒ = ⇒ = =

AM AN

x MB NC x

b) Đáp số: x=6,

Dạng SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TA-LÉT ĐỂ CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC

Xét đường thẳng song song với cạnh tam giác, lập đoạn thẳng tỉ lệ Biến đổi tỉ lệ thức nhận để đến điều phải chứng minh

Ví dụ Cho hình thang ABCD AB( //CD) Một đường thẳng song song với hai đáy, cắt

cạnh bên AD BC theo thứ tự E F Chứng minh rằng: AE +CF =1

AD BC

Giải

Gọi K giao điểm AC EF

Xét ∆ADC EK DC ta có: //

AE AK

AD= AC ( )1

Xét ∆ABC.KF AB ta có: //

(86)

CF CK

BC = AC ( )2

Từ ( )1 ( )2 suy AE CF AK CK AK CK AC

AD BC AC AC AC AC

+

− = − = = =

C LUYỆN TẬP

1 (Dạng 1) Gọi M điểm nằm đoạn thẳng AB cho

MA MB =

Tính tỉ số AM

AB MB

AB

2 (Dạng 1) Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB

a) Biết AB=20 cm,

CA

CB = Tính độ dài CA CB,

b) Biết AC m

AB = n Tính tỉ số AC CB

3 (Dạng 1).Cho đoạn thẳng AB Điểm C thuộc đoạn thẳng AB, điểm D thuộc tia đối

của tia BA cho CA DA

CB = DB = Biết CD= cm, tính độ dài AB

4 (Dạng 2) Cho hình thang ABCD AB CD M( // ) ột đường thẳng song song với đáy, cắt cạnh bên AD BC theo thứ tự E F Tính FC, biết AE =4 cm,

2

ED= cm, BF = cm

5 (Dạng 2) Cho tam giác ABC Điểm D thuộc cạnh BC cho

BD

BC = Điểm E

thuộc đoạn thẳng AD cho AE=2ED Tiính tỉ số AK

KC

6 (Dạng 3) Cho hình thang ABCD AB CD( // ), đường chéo cắt O Chứng

minh OA OD =OB OC

7 Dạng Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC Qua D kẻ đường thẳng song song với AC AB, , chúng cắt AB AC, theo thứ tự E F Ch ứng minh hệ thức:

1

AE AF AB+ AD =

(87)

8 (Dạng 3) Cho tam giác ABC M ột đường thẳng song song với BC cắt cạnh

,

AB AC theo thứ tự D E, Qua C kẻ đường thẳng song song với EB, cắt AB

F Chứng minh hệ thức:

2

AB = AD AF

9 (Dạng 3) Cho tam giác ABC AB( <AC), đường phân giác AD Qua trung điểm M

của BC, kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AC AB theo thứ tự E K Chứng minh rằng:

a) AE= AK; b) BK =CE

BÀI ĐỊNH LÍ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ TA – LÉT A TĨM TẮT LÍ THUYẾT

1 Hệ định lí Ta – lét

Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại tạo thành tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ

lệ với ba cạnh tam giác cho

//

ABC AD AE DE

DE BC AB AC BC

∆ 

⇒ = =

 

Chú ý: Hệ trường hợp đường thẳng a song song với cạnh tam giác cắt phần kéo dài hai cạnh lại

2 Định lí Ta – lét đảo

Nếu đường thẳng cắt hai cạnh cuuả tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh lại tam giác

//

AD AE

DE BC DB = EC ⇒

Dạng SỬ DỤNG HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ TA – LÉT ĐỂ TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG

Xét đường thẳng song song với cạnh tam giác, lập đoạn thẳng tỉ lệ Chú ý sử dụng tính chất tỉ lệ thức, ý sử dụng giải phương trình để tìm số chưa biết

Ví dụ 1: (Bài SGK)

Tính độ dài x y, hình 14 SGK

(88)

Giải

a) // 9, 8.37, 31, 58 37, 9,

DM MN

MN EF x

DE EF x

⇒ = ⇒ = ⇒ = ≈

b) // 0,

6

A B OB OA A B AB

AB OB OA

′ ′ ′ ′

′ ′ ⇒ = = = =

Từ 4, 0,

AB = ta tính AB=8,

2 2 2

6 8, 106, 56 10, 32

OB =OA +AB = + = ⇒OB≈

Ví dụ 2: (Bài SGK)

a) Để chia đoạn thẳng AB thành ba đoạn nhau, người ta làm hình

15 SGK

Hãy mơ tả cách làm giải thích đoạn thẳng AC CD DB, , nhau?

b) Bằng cách làm tương tự, chia đoạn thẳng AB cho trước thành đoạn

bằng Hỏi có cách khác với cách làm mà chia đoạn thẳng AB cho trước thành đoạn thẳng nhau?

Giải

a) Kẻ đường thẳng // a AB Từ điểm P a, đặt liên tiếp đoạn thẳng

nhau PE =EF =FQ=1(đơn vị dài)

Vẽ đường thẳng PB QA, Các đường

thẳng cắt O Vẽ đường thẳng

,

FO EO cắt AB ở C D tương ứng Áp

dụng hệ Định lí Ta – lét, ta dễ dàng chứng minh được:

PE EF FQ

BD = DC = CA (vì OP

OB hay ) OQ OA

Theo cách dựng, PE=EF=FQ; từ suy AC=CD=DB

(89)

b) Chia đoạn thẳng AB thành phần

Cách Tương tự câu a) Cách

- Kẻ thêm đường thẳng Ax

đặt liên tiếp đoạn nhau:

AC=CD=DE=EF =FG

- Kẻ đường thẳng GB

Từ C D E F, , , kẻ đường thẳng song song với GB, chúng cắt AB điểm tương ứng M N P Q, , , , ta được:

AM =MN=NP=PQ=QB

Dựa vào tính chất đường trung bình tam giác đường trung bình hình thang, ta dễ dàng chứng minh kết

Ví dụ (Bài 10 SGK)

Tam giác ABC có đường cao AH Đường thẳng d song song với BC,

cắt cạnh AB AC, đường cao

AH theo thứ tự điểm B C′, ′,

và H ′ (H 16 SGK) a) Chứng minh rằng:

AH B C

AH BC

′ ′ ′ =

b) Áp dụng: Cho biết

AH′ = AH diện tích tam giác ABC

67, 5cm

Tính diện tích tam giác AB C′ ′ Giải

a) AH AB B C

AH AB BC

′ ′ ′ ′

= =

b) Ta có:

AH AH

′

= nên

3

B C BC

′ ′ =

( )2

1 1 1 67,

7, cm

2 3 9

AB C ABC

S ′ ′ = AH B C′ ′ ′= AH BC= S = =

Tam giác ABC có BC=15 cm

Trên đường cao AH lấy điểm

,

I K cho AK =KI =IH Qua I K vẽ đường

// , //

EF BC MN BC (H 17 SGK)

(90)

a) Tính độ dài đoạn thẳng MN EF

b) Tính diện tích tứ giác MNFE, biết diện tích tam giác ABC

2

270 cm

Giải

a) 1 cm

3 15

MN AM AK MN

MN BC = AB = AH = ⇒ = ⇒ =

2

10 cm

3 15

EF AE AI EF

EF BC = AB = AH = ⇒ = ⇒ =

b) AH =2SABC:BC =2.270 :15=36 cm ( )

( )

36

12 cm

3

AH

KI = = =

( ) (5 10 12) ( )2

90 cm

2

MNFE

MN EF KI

S = + = + =

Dạng SỬ DỤNG HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ TA – LÉT ĐỂ CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC

Xét đường thẳng song song với cạnh tam giác, lập đoạn thẳng tỉ lệ Chú ý so sánh tỉ số với tỉ số trung gian

Cho hình thang ABCD AB CD ( // ) Hai đường chéo AC BD cắt

O Đường thẳng a qua O song song với đáy hình thang cắt cạnh

bên AD BC, theo thứ tự E F (H 26 SGK) Chứng minnh

OE=OF

Giải

//

a CD nên OE AO;

CD = AC ( )1

//

a CD nên OF BO;

CD = BD ( )2 AB //CD nên AO BO

AC = BD ( )3

(91)

Từ ( ) ( ) ( )1 , , suy OE OF,

CD =CD OE=OF

Ví dụ Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB V ẽ phía AB tam giác

,

AMC BMD Gọi E giao điểm AD MC F, là giao điểm BC

và MD

a) Đặt MA=a MB, =b Tính ME MF, theo a b

b) Tam giác MEF tam giác gì? Giải a) BMD  60=MAC= ° ⇒MD//AC

ME MD b

MD//AC

EC AC a

⇒ = =

ME b

ME EC b a

⇒ =

+ +

ME b

a b a

⇒ =

+

ab ME

b a

⇒ =

+

Tương tự: MF ba

a b

= +

b) Từ câu a) suy ME=MF Ta lại có EMF 60= ° nên ∆MEF tam giác

Ví dụ Cho hình thang ABCD AB //CD( ), E trung điểm AB O, giao điểm

của AC BD F, là giao điểm EO CD Ch ứng minh F trung điểm CD

Giải

AE OE EB AB //CD

CF OF FD

⇒ = =

Do AE=EB nên CF =FD

Chú ý Từ tốn ta thấy: Trong hình thang, giao điểm hai đường chéo vvà trung điểm hai đáy ba điểm thẳng hàng

Dạng SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TA – LÉT ĐẢO ĐỂ CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

Xét cặp đoạn thẳng tỉ lệ để chứng minh hai đường thẳng song song

Ví dụ (Bài SGK)

Tìm cặp đường thẳng song song hình 13 SGK giải thích vè chúng song song

(92)

Giải

a) CM CN

MA = NB (vì

15 21

5 = 3)⇒MN //AB (Định lí Ta – lét đảo) Chú ý PM khơng song song với BC AP AM

PB ≠ MC (vì

3

8≠15)

b) OA OB

A A B B

′ ′

=

′ ′ (vì

2

3= 4, 5) ⇒A B //AB′ ′ (Định lí Ta – lét đảo)

Ta cịn có A B //A B′′ ′′ ′ ′ (vì hai góc so le nhau), AB//A B′ ′

Dạng PHỐI HỢP ĐỊNH LÍ TA-LÉT THUẬN VÀ ĐẢO

Sử dụng định lí thuận để suy cặp đoạn thẳng tỉ lệ, từ cặp đoạn thẳng tỉ lệ suy đường thẳng song song; ngược lại

Ví dụ Tam giác ABC, điểm O nằm tam giác Lấy điểm D OA, qua D kẻ

đường thẳng song song với AB, cắt OB E Qua E kẻ đường thẳng song song với BC, cắt OC F Chứng minh DF song song với AC

Giải

OAB

∆ , DE //AB nên OD OE

OA =OB (Định lí Ta-lét)

F E

A

B C

O D

(93)

OBC

∆ , EF // BC nên OE OF

OB =OC (Định lí Ta-lét)

Suy OD OF

OA =OC, DF // AC (Định lí Ta-lét đảo)

Dạng ÁP DỤNG VÀO TỐN DỰNG HÌNH: TRONG BỐN ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ, DỰNG ĐOẠN THẲNG THỨ TƯ KHI BIẾT ĐỘ DÀI BA ĐOẠN KIA

Đặt ba đoạn thẳng hai cạnh góc, dựng đường thẳng song song để xác định đoạn thẳng thứ tư

Ví dụ 10 (Bài 14c SGK)

Cho ba đoạn thẳng có độ dài m, n, p (cùng đơn vị đo) Dựng đoạn thẳng có độ dài

là x cho m n

x = p

Giải

- Vẽ hai tia Oz, Ot

- Trên tia Ot, đặt đoạn OA = n, OB = p

- Trên tia Oz, đặt OC = m

- Kẻ BD // AC, ta OD = x

C LUYỆN TẬP

1 (Dạng 1) Cho tam giác ABC vuông A, BC = 3.5 cm, điểm D thuộc cạnh AC, AD = 20 cm, DC = 8cm Đường vng góc với AC C cắt đường thẳng BD E Tính độ dài CE

m x n

p

t

z D

O

A

C B

(94)

2 (Dạng 1) Tam giác ABC có AB = AC = 50cm, BC = 60cm, đường cao BD CE Tính độ dài cạnh tam giác ADE

3 (Dạng 1) Cho hình thang ABCD (AB//CD), AB = 4cm, CD = 10cm, AD = 3cm Gọi O là giao điểm đường thẳng AD, BC Tính độ dài OA

4 (Dạng 1) Cho hình thang ABCD (AB//CD) Một đường thẳng song song với hai đáy,

cắt cạnh bên AD,BC M, N cho

MA MD =

a) Tính tỉ số NB

NC

b) Cho AB = 8cm, CD = 17cm Tính MN

5 (Dạng 1) Cho tam giác ABC có  120A= o, AB = 3cm, AC = 6cm Tính độ dài đường

phân giác AD

Hướng dẫn: Kẻ DE // AC

6 (Dạng 1) Cho tam giác ABC cân A, cạnh bên dài 8cm Một đường thẳng song song với BC, cắt AB AC theo thứ tự D E Biết chu vi hình thang BDEC 11cm Tính chu vi tam giác ADE

7 (Dạng 1) Cho tam giác ABC, M trung điểm AB, N cạnh AC cho

AN NC =

Gọi I giao điểm MN BC Tính tỉ số IM

IN

8 (Dạng 1) Cho hình thang ABCD có AB // CD Điểm E thuộc cạnh AD cho

3

AE

ED = Qua E kẻ đường thảng song song với CD, cắt BC F Tính độ dài EF nếu:

a) AB = 10cm, CD = 30cm b) AB = a, CD = b

9 (Dạng 2) Cho hình thang ABCD (AB//CD) Một đường thẳng song song với CD, cắt đoạn thẳng AD, BD, AC, BC theo thứ tự M, L, K, N chứng minh MI = KN

10 (Dạng 2) Cho hình thang ABCD (AB//CD) có O giao điểm AD BC Gọi F trung điểm CD, E giao điểm OF AB Chứng minh E trung điểm AB

11 (Dạng 2) Cho hình bình hành ABCD, E trung điểm cạnh AB, F trung điểm cạnh CD Chứng minh hai đoạn thẳng DE BF chia đường chéo AC thành ba đoạn

12 (Dạng 2) Cho hình bình hành ABCD, điểm E thuộc cạnh AB, điểm F thuộc cạnh AD Đường thẳng qua D song song với EF cắt AC I Đường thẳng qua B song song với EF cắt AC K Chứng minh rằng:

a) AI = CK

b) AB AD AC

AE+ AF = AN (N giao điểm EF AC)

(95)

13 (Dạng 2) Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng qua D cắt AC, AB, CD theo thứ tự M, N, K Chứng minh rằng:

a)

DM =MN MK b) DM DM

DN + DK =

14 (Dạng 2) Cho tam giác ABC Qua trọng tâm G, kẻ đường thẳng d cắt cạnh AB, AC theo thứ tự E F Chứng minh rằng:

1 AF

BE CF AE+ =

Hướng dẫn: Kẻ đường thẳng qua B song song với d, qua C song song với d

15 (Dạng 2) Chứng minh đường thẳng không qua đỉnh tam giác

ABC cắt đường thẳng BC, CA, AB thứ tự A B C′ ′ ′, , AB CA BC

B C A B C A

′ ′ ′

′ ′ ′ =

(Định lí Mê-nê-lu-uýt)

16 (Dạng 2) Chứng minh cạnh đối diện với điểm A,B,C tam giác ABC, ta lấy điểm tương ứng A B C′ ′ ′, , cho AA′, BB , CC′ ′ đồng quy

AB CA BC B C A B C A

′ ′ ′

′ ′ ′ = (Định lí Xê-va)

17 (Dạng 3) Cho tứ giác ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự

điểm E,F,G,H cho ,

AE= EB BF= FC, ,

CG= GD DH = HA Chứng minh

rằng EFGH hình bình hành

18 (Dạng 3) Cho tam giác ABC cân A, đường phân giác BD, CE a) Chứng minh DE//BC

b) Tính độ dài AB biết DE = 6cm, BC = 15cm

19 (Dạng 4) Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm AB, E trung điểm BI, D thuộc cạnh AC cho Gọi F giao điểm BD CE Tính tỉ số

20 (Dạng 4) Cho hình bình hành ABCD Qua điểm E thuộc CD, vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AD F Qua F vẽ đường thẳng song song với BD, cắt AB G Qua G vẽ đường thẳng song song với AC, cắt BC H Chứng minh EFGH hình bình hành

21 (Dạng 4) Cho hình thang ABCD (AB//CD) M trung điểm CD Gọi I giao điểm AM BD, gọi K giao điểm BM AC

a) Chứng minh IK//AB

b) Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự E F Chứng minh EI = IK = KF

22 (Dạng 4) Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC, điểm M thuộc cạnh AD Gọi I, K theo thứ tự trung điểm MB, MC Gọi E giao điểm DI AB, F giao điểm DK AC Chứng minh IK // EF

(96)

Hướng dẫn: Gọi N trung điểm AM

23 (Dạng 5) Cho hình chữ nhật ABCD điểm E thuộc cạnh CD Dựng hình chữ nhật có cạnh DE có diện tích diện tích hình chữ nhật ABCD

3 TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

A.TÓM TẮT LÍ THUYẾT

Trong tam giác, đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn

 A1ABCA2 DBDC ACAB

∆

 ⇒ =

 = 

Chú ý Định lí tia phân giác góc ngồi tam giác

 

3

( )

ABC AB AC EB AB

EC AC

A A

∆ ≠

 ⇒ =

 = 

Dạng VẬN DỤNG TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC ĐỂ TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG

Lập đoạn thẳng tỉ lệ từ tính chất đường phân giác tam giác

Tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 6cm BC = 7cm Tia phân giác góc BAC cắt cạnh BC E Tính đoạn tẳng EB, EC

Giải

AE đường phân giác ∆ABC nên:

5

EB AB EC = AC =

Do đó:

4 3

2 1

D

E B C

A

6 5

E

B C

A

(97)

7

5 6 11

EB EC EB+EC

= = =

+

Suy ra:

7

.5 (cm); EC ( )

11 11 11 11

EB= = = = cm

Ví dụ Tam giác ABC vng A, đường phân giác BD Tính AB, BC biết AD =

4cm, DC = 5cm

Giải

BD đường phân giác ∆ABC ⇒

BA DA

BC = DC =

Đặt BA = x, BC = y ta có

5

x

y =

2 2

9 81

y −x =AC = = Do đó:

2 2

81 16 25 25 16

x = ⇒y x = y = y −x = =

−

Suy

4

x y

= = Từ x = 12, y = 15

Đáp số: AB = 12cm, BC = 15cm

Dạng VẬN DỤNG TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC ĐỂ

TÍNH TỈ SỐ ĐỘ DÀI HAI ĐOẠN THẲNG

Lập đoạn thẳng tỉ lệ từ tính chất đường phân giác tam giác x

y

5 4

D A

B C

(98)

Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM Tia phân giác góc AMB cắt cạnh AB D, tia phân giác góc AMC cắt cạnh AC E Chứng minh DE // BC (H.25 SGK)

Giải

MD đường phân giác tam giác AMB DA MA

DB MB

⇒ = (1)

ME đường phân giác tam giác AMC EA MA

EC MC

⇒ = (2)

Theo giả thiết: MB = MC (3)

Từ (1), (2), (3) suy DA EA

DB = EC

Theo định lí Ta-lét đảo: DE//BC

a) Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM đường phân giác AD Tính diện tích tam giác ADM, biết AB = m, AC = n (n > m) diện tích tam giác ABC S

b) Cho n = 7cm, m = 3cm, hỏi diện tích tam giác ADM chiến phần trăm diện tích tam giác ABC?

Giải

a) AD đường phân giác tam giác ABC DB AB m

DC AC n

⇒ = = Do đó:

E D

M C

B

A

(99)

DB m m

DB BC

DB+DC =m n+ ⇒ = m n+

1

m

DM BM BD BC

m n

= − = −

+

2 2( )

m n m

BC BC

m n m n

−

 

= −  =

+ +

 

Ta có

2( )

DM n m BC m n

− =

+ nên 2( )

ADM

ABC

S n m

S m n

− =

+

Vậy

2( )

ADM

n m

S S

m n

− =

+

b) Với n = 7cm, m = 3cm : 20% 2(7 3) 20

ADM ABC

S S = − = =

+

Dạng ĐƯỜNG PHÂN GIÁC NGOÀI CỦA TAM GIÁC

Lập đoạn thẳng tỉ lệ từ tính chất đường phân giác góc ngồi tam giác

Ví dụ Cho tam giác ABC có BC = 24cm, AB = 2AC Tia phân giác góc

A cắt đường thẳng BC E Tính độ dài EB

Giải

m n

D M

A

B C

(100)

AE đường phân giác góc ngồi tam giác ABC

EB AB EC AC

⇒ = = Do đó:

24

1 2

EB EC EC EB BC

−

= = = =

−

Suy EB = 24cm

C LUYỆN TẬP

1 (Dạng 1) Tam giác ABC có AB = 24cm, AC = 45cm, BC = 50cm, đường phân giác BD

a) Tính độ dài BD, DC

b) Qua D vẽ DE//AB, DF//AC (E∈AC F, ∈AB) Tính cạnh tứ giác AEDF

2 (Dạng 1) Tam giác ABC vuông A, đường phân giác AD Tính độ dài AB, AC biết, DB = 15cm, DC = 20cm

3 (Dạng 1) Cho tam giác ABC vuông cân A, đường phân giác BD Tính độ dài AD, DC biết AB = 1dm

4 (Dạng 1) Cho tam giác ABC vuông A, AB = 15cm, AC = 20cm, đường cao AH Tia phân giác góc HAB cắt HB D Tia phân giác góc HAC cắt HC E

a) Tính độ dài AH b) Tính độ dài HD, HE

5 (Dạng 1) Tam giác cân ABC có AB = AC = 10cm, BC = 12cm Gọi I giao điểm đường phân giác tam giác Tính độ dài BI

Hướng dẫn: Kẻ đường cao AH, Tính IH

6 (Dạng 2) Cho tam giác ABC, đường phân giác BD CE Biết 2,

3

AD AE

DC = EB =

Tính cạnh tam giác ABC biết chu vi tam giác 45cm

7 (Dạng 3) Tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 18cm, đường giân giác AD Điểm I thuộc cạnh AD cho AI = 2ID Gọi E giao điểm BI AC

a) Tính tỉ số AE

EC

4 3

E B C

A

(101)

b) Tính độ dài AE, EC

8 (Dạng 2) Tam giác ABC có đường phân giác AD, BE, CF Chứng minh rằng:

AE CD BF EC DB FA =

9 (Dạng 2) Tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 12cm, BC = 9cm Gọi I giao điểm đường phân giác, G trọng tâm tam giác

a) Chứng minh IG song song BC b) Tính độ dài IG

10 (Dạng 3) Tam giác ABC có AB = AC = 3cm, BC = 2cm, đường phân giác BD Đường vng góc với BD B cắt AC E Tính độ dài CE

4 KHÁI NIỆM HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

1 Định nghĩa

Hai tam giác gọi đồng dạng với chúng có ba cặp góc đôi

và ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ

     , ,

A A B B C C ABC A B C AB BC CA

A B B C C A

 = ′ = ′ = ′ 

′ ′ ′

∆ ∆ ⇔ 

= =

 ′ ′ ′ ′ ′ ′ 



2 Tính chất

- Mỗi tam giác đồng dạng với

- ∆ABC∆A B C′ ′ ′⇒ ∆A B C′ ′ ′∆ABC

- 1 2 2 2

1 1 2 ABC A B C

ABC A B C A B C A B C

∆ ∆



⇒ ∆ ∆

∆ ∆





 

3 Định lí nhận biết hai tam giác đồng dạng

Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác cho

/ /

ABC

AMN ABC

MN BC

∆ 

⇒ ∆ ∆



 

Chú ý Định lí trường hợp đường thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh

N

B C

A

M

(102)

tam giác song song với cạnh lại

Dạng VẼ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG VỚI MỘT TAM GIÁC CHO TRƯỚC

Kẻ đường thẳng song song với cạnh tam giác

Cho tam giác ABC, vẽ tam giác A B C′ ′ ′ đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ

số đồng dạng k = 2/3

Giải

Dạng TÍNH CHẤT HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Sử dụng định nghĩa tính chất hai tam giác đồng dạng

Ví dụ 2: (Bài 23 SGK)

Trong hai mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? Mệnh đề sai?

a) Hai tam giác đồng dạng với

b) Hai tam giác đồng dạng với

Giải

Mệnh đề a) đúng, tỉ số đồng dạng

Mệnh đề b) sai Chẳng hạn ví dụ ta có ∆AB C' '∽∆ABC, tam giác

' '

AB C ABC không

- Lấy 'B AB cho '

AB = AB

- Kẻ đường thẳng Bx' //BC, cắt AC C' - Ta có ∆AB C' '∽∆ABC, tỉ số đồng dạng:

'

AB k

AB

= =

C' A

B C

B'

(103)

' ' '

A B C ABC

∆ ∽∆ theo tỉ số đồng dạng

k =

a) Tính tỉ số chu vi hai tam giác cho

b) Cho biết hiệu chu vi hai tam giác 40dm, tính chu vi tam giác

Giải

a) A B C' ' ' ABC A B' ' A C' ' C A' ' A B B C C A' ' ' ' ' '

AB AC CA AB BC CA

+ +

∆ ∆ ⇒ = = =

+ +

∽

Do ' '

A B

AB = nên tỉ số chu vi ∆A B C' ' ' ∆ABC

3

b) Gọi 'P chu vi của ∆A B C' ' ', P chu vi ∆ABC, ta có:

' ' 40

20

3 5

P = P = P P− = =

−

Suy P' 60= cm P, =100cm

Dạng CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Sử dụng định lý định nghĩa để nhận biết hai tam giác đồng dạng

Ví dụ 4: (Bài 27 SGK)

Từ điểm M thuộc cạnh AB tam giác ABC với

AM= MB, kẻ tia

song song với AC BC, chúng cắt BC AC L N

a) Nêu tất cặp tam giác đồng dạng

b) Đối với cặp tam giác đồng dạng, viết cặp góc tỉ số đồng dạng tương ứng

Giải

a) Có ba cặp tam giác đồng dạng AMN

ABC, MBL ABC, AMN MBL

b) Bạn đọc tự giải

C LUYỆN TẬP

LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN SĐT VÀ ZALO: 039.373.2038 102

N

L A

B C

(104)

1 (Dạng 1) Cho tam giác ABC Vẽ tam giác đồng dạng với tam giác ABC, tỉ số đồng dạng

2 (Dạng 2) Ta có ∆ABC∽∆A B C1 1 với tỉ số đồng dạng / 3, ∆A B C1 1∽∆A B C2 2 2 với tỉ số đồng dạng /

a) Vì ∆ABC∽∆A B C2 2 2?

b) Tìm tỉ số đồng dạng hai tam giác

3 (Dạng 2) Cho tam giác với cạnh có độ dài 12m, 16m 18m Tính độ dài cạnh

của tam giác đồng dạng với tam giác cho, cạnh bé tam giác cạnh lớn tam giác cho

4 (Dạng 2) Cho tam giác ABC AB =16,2 cm; BC =24,3 cm; AC =32,7 cm Tính độ dài cạnh tam giác A B C' ' ' đồng dạng với tam giác cho biết cạnh ' 'A B

tương ứng với cạnh AB

a) lớn cạnh 10,8 cm;

b) bé cạnh 5,4 cm

5 (Dạng 3) Cho tam giác ABC, Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho D 2A

A = B Trên tia đối tia AC lấy điểm E cho AE 2A= C Chứng minh

ADE ABC

∆ ∽∆ , tìm tỉ số đồng dạng

6 (Dạng 3) Cho tam giác ABC Điểm M thuộc cạnh BC cho

2

MB

MC = Qua M

kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB D Qua M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC E

a) Tìm cặp tam giác đồng dạng, tìm tỉ số đồng dạng

b) Tính chu vi tam giác DBM EMC bi, ết chu vi tam giác ABC 24 cm

§5 TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ NHẤT A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

- Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng

- Nếu ∆ABC ∆A B C' ' ' có:

B' C'

A

B C

(105)

' ' '

' ' ' ' ' '

AB BC CA ABC A B C

A B = B C =C A ⇒ ∆ ∽∆

Dạng NHẬN BIẾT HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG THEO TRƯỜNG HỢP THỨ NHẤT

- Xếp cạnh hai tam giác theo thứ tự, chẳng hạn từ nhỏ đến lớn - Lập ba tỉ số, chúng hai tam giác đồng dạng

Cho hai tam giác ABC A B C' ' ' có kích thước hình 35

Hình 35

a) ∆ABC ∆A B C' ' ' có đồng dạng với khơng? Vì sao?

b) Tính tỉ số chu vi hai tam giác

Giải

a) Ta có

' ' ' ' ' '

AB BC CA

A B = B C =C A (vì

6 12

4 = = 1,5) nên ∆ABC∽∆A B C' ' '

b) Tỉ số chu vi ∆ABC ∆A B C' ' ' 1,5

Dạng SỬ DỤNG TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ NHẤT ĐỂ CHỨNG MINH CÁC GÓC BẰNG NHAU

- Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp thứ - Suy góc tương ứng

6

8

12

B' C'

A

B C

A'

(106)

Ví dụ Tứ giác ABCDcó AB=3cm BC, =10cm CD, =12cm, AD 5= cm, đường chéo BD 6= cm Chứng minh rằng:

a) ∆ABD∽∆B CD

b) ABCD hình thang

Giải

a) Xếp cạnh ∆ABD từ nhỏ đến lớn: 3, 5,

Xếp cạnh ∆B CD từ nhỏ đến lớn: 6, 10, 12

Ta thấy

6 10 12= = nên ∆ABD∽∆B CD

b) Từ câu a) suy  A DB =B CD ,

D//CD

A Vậy ABCD hình thang

C LUYỆN TẬP

1 (Dạng 1) Hai tam giác mà độ dài cạnh sau có đồng dạng khơng?

a) 15 cm, 18 cm, 21 cm 28 cm, 24 cm, 20 cm

b) dm, dm, dm 10 cm, 10 cm, cm

c) 4m, 5m, 6m 8m, 9m, 12m

2 (Dạng 1) Tam giác ABC có AB=6cm, AC=9cm, BC=12cm Tam giác ABC có đồng dạng với tam giác mà ba cạnh ba đường cao tam giác ABC không?

3 (Dạng 1) Tam giác ABC vuông tại A , AB=24cm, BC=26cm Tam giác IMN vuông I, IN =25cm, MN=65cm Chứng minh ∆ABC∽∆IMN

4 (Dạng 2) Gọi O điểm nằm tam giác ABC Gọi A B C theo th1, ,1 1 ứ tự trung điểm OA OB OC G, , ọi ', ', 'A B C theo thứ tự trung điểm B C1 1,A1C A B 1, 1

Chứng minh rằng:

a) ∆ABC∽∆A'B'C';

b) ABC=A ' ' 'B C

5 (Dạng 2) Tứ giác ABCD có AB=2cm, BC=10cm, CD 12,5= cm, AD 4= cm,

D

B = cm Chứng minh ABCD hình thang

§6 TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ HAI

12 10

6

D C

(107)

- Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh tam giác hai góc tạo cặp cạnh nhau, hai tam giác đồng dạng

- Nếu ∆ABC ∆A B C' ' ' có:

  A A '=

' ' A' '

AB AC

A B = C ∆ABC∽∆A B C' ' '

Dạng NHẬN BIẾT HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG THEO TRƯỜNG HỢP THỨ HAI ĐỂ TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG NHAU

- Xét hai tam giác, chọn hai góc nhau, xét tỉ số hai cạnh tạo nên góc - Từ hai tam giác đồng dạng, suy cặp đoạn thẳng tỉ lệ, góc tương ứng

Trên cạnh góc xOy xOy ≠1800, đặt đoạn thẳng OA=5cm,

16

OB= cm Trên cạnh thứ hai góc đó, đặt đoạn thẳng OC=8cm,

D 10

O = cm

a) Chứng minh hai tam giác OCB OAD đồng dạng

b) Gọi giao điểm cạnh DA BC I, chứng minh hai tam giác IAB ICD có góc đôi

Giải

a) Xét ∆AOD ∆COB: O góc chung;

D

OA O OC = OB (vì

5 10 16= )

Suy ∆AOD∽∆COB

b) Ta có ∆AOD∽∆COB suy  

ADO COB= , tức  I C IBAD =

 D A

CI = IB (đối đỉnh)

B' C'

A

B C

A'

8

16

10

y x

I O

C

B

(108)

Suy hai góc cịn lại  ICD=IAB

Chứng minh tam giác A B C' ' ' đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k , tỉ số hai đường trung tuyến tương ứng hai tam giác bằng k

Giải

' ' '

A B C ABC

∆ ∽∆ (theo tỉ số k ) nên:

' ' ' '

A B B C k AB = BC =

 '

B = B

Suy B M' ' k

BM =

' ' '

A B M

∆ ∆ABM có: B'= B A B' ' B M' ' k

AB = BM = nên ∆A B M' ' '∽∆ABM Suy

' ' ' '

A M A B k AM = AB =

Dạng SỬ DỤNG CÁC TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG ĐỂ DỰNG HÌNH

Thường dựng tam giác đồng dạng với tam giác phải dựng, sau dùng điều kiện độ dài chưa sử dụng đến để dựng tiếp

Dựng tam giác ABC, biết A 60= ° , tỉ số

AB

AC = đường cao AH=6cm

Giải

- Dựng góc xAy 60°

- Dựng 'B thuộc tia Ax cho AB = '

- Dựng C' thuộc tia Ay cho AC ='

- Dựng AH'⊥BC

- Trên tia AH , d' ựng H cho AH=6cm

- Qua H, dựng đường thẳng vng góc với

LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TỐN SĐT VÀ ZALO: 039.373.2038 107

M'

M B' C'

A

B C

A'

y

x H'

C' H

A

B C

(109)

AH , cắt Ax Ay B C

C LUYỆN TẬP

1 (Dạng 1) Cho tam giác ABC có AB=18cm, AC=27cm, BC=30cm Gọi D trung điểm AB Điểm E thuộc cạnh AC cho AE 6= cm

a) Chứng minh ∆A DE ∽∆ABC b) Tính độ dài DE

2 (Dạng 1) Tam giác ABC cóAB=4cm Điểm D thuộc cạnh AC cóAD=2 , 6cm DC= cm

Biết rằngACB =200, tính .ABD

3 (Dạng 1) Hình thang ABCD(AB CD )cóAB=2 , , 8cm BD= cm CD= cm Chứng minh  .A DBC=

4 (Dạng 1) Hình thang vng ABCD có  A D= =900, cóAB=4 , , 9cm BD= cm CD= cm Tính độ dài BC

5 (Dạng 1) Cho hình bình hành ABCD, A >90 ,0 các đường cao AH AK (H thuộc CD, K

thuộc BC) Chứng minh  .AKH ACH= Hướng dẫn: tìm cặp tam giác đồng dạng

6 (Dạng 1) Tam giác ABC cóAB=4 , , 6cm BC= cm CA= cm Chứng minh B=2 C Hướng dẫn: tia đối tia BA lấy điểm E choBE BC= Tìm tam giác đồng dạng đối với tam giác ABC

7 (Dạng 1) Cho hình thoi ABCD Qua C kẻ đường thẳng d cắt tia đối tia BA, CA

theo thứ tự E, F Chứng minh rằng:

a) EB AD

BA DF=

b) ∆EBD∆BDF

c) BID =1200 (I giao điểm DE BF)

8 (Dạng 2) Dựng tam giác ABC cho biết góc A =60 ,0 tỉ số

2

AB

AC = trung tuyến xuất

phát từ đỉnh A có độ dài m cho trước

§7 TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA

• Nếu hai góc tam giác hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng với • Nếu ABC∆ ∆A B C′ ′ ′ có:

   ,

A A B B= ′ = ′ ∆ABC∆A B C′ ′ ′

LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN SĐT VÀ ZALO: 039.373.2038 108 A'

C' B'

B C

(110)

Dạng NHẬN BIẾT HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG THEO TRƯỜNG HỢP THỨ BA ĐỂ TÍNH ĐỒ DÀI HAI ĐOẠN THẲNG

Chứng minh tam giác có hai cặp góc từ suy cặp đoạn thẳng tỉ lệ

Chứng minh A B C∆ ′ ′ ′đồng dạng với ABC∆ theo tỉ số k tỉ số hai đường phân giác tương ứng chúng k

Giải

A B C′ ′ ′ ABC

∆ ∆ (theo tỉ số k)    A A B B, ,A B k

AB

′ ′

⇒ = = = Gọi A D′ ′ AD là đường phân

giác A′ A

Do  B B′=  A1 =A′1 nên ∆A B D′ ′ ′∆ABD Do

A D k AD

′ ′ =

Tính độ dài x đoạn thẳng BD hình 43 SGK (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất), biết ABCD hình thang (AB CD ); AB=15,5 ; cm CD=28,5 ;cm

 

DAB DBC=

Giải

Xét ∆ABD ∆BDC:

 

DAB DBC= (giả thiết);

 

ABD BDC= (so le AB CD ) Do ABD∆ ∆BDC, suy ra:

( )

12,5 12,5.28,5 356,25 x 18,9 28,5

AB BD x x cm

BD DC= ⇒ x = ⇒ = = ⇒ ≈

Cho hình bình hành ABCD (H.46 SGK) có độ dài cạnh 12 ,

AB= cm BC= cm Trên cạnh AB lấy điểm E cho

AE= cm Đường thẳng DE cắt cạnh CB kéo dài F

a) Trong hình vẽ cho có cặp tam giác đồng dạng với nhau? Hãy viết cặp tam giác đồng dạng với theo đỉnh tương ứng

b) Tính độ dài đoạn thẳng EF BF, biết rằngDE=10cm

Giải

a) Có ba cặp tam giác đồng dạng: ∆ADE∆BEF BFE,∆ ∆CFD CFD,∆ ∆ADE

LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN SĐT VÀ ZALO: 039.373.2038 109 2 1

2 1

D C

A

B D'

B'

A'

C'

Hình 43 SGK 28,5 12,5

x

D D

A B

Hình 46 SGK E A

(111)

b) Ta có EB=12 4− − ( )cm Từ tỉ lệ thức EF BF EB

ED AD EA= = suy 10 2.8

EF BF= = =

Do EF=5 , 3,5 cm BF= cm

Hai tam ABC DEF có A D B E AB=  , = , =8 ,cm BC =10 ,cm DE=6 cm Tính độ dài cạnh AC, DF EF biết cạnh AC dài cạnh DF 3cm

Giải

ABC DEF

∆ ∆ ⇒ 10

6

AB BC AC AC

DE EF DF= = ⇒ =EF DF=

Từ 10

6 EF= suy EF=7,5cm

Từ

4

AC DF AC DF−

= = =

− suy

12 ,

AC= cm DF= cm

Dạng NHẬN BIẾT HAI TAM GIÁC VUÔNG ĐỒNG DẠNG THEO TRƯỜNG HỢP THỨ BA

Xét hai tam giác vngtìm cặp góc nhọn

Hình 44 SGK cho biết EBA BDC .=

a) Trong hình vẽ có tam giác vng? Hãy kể tên tam giác

b) Cho biếtAE=10 , 15 , 12cm AB= cm BC= cm Hãy tính độ dài đoạn thẳng CD, BE, BD ED (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

c) So sánh diện tích tam giác BDE với tổng diện tích của hai tam giác AEB BCD

Giải

a) Trong hình vẽ có ba tam giác vng:∆ABE CDB EBD,∆ ,∆

b) 15 10 18( )

12

AB AE

ABE CDB CD cm

CD CB CD

∆ ∆ ⇒ = ⇒ = ⇒ =

2 2 15 102 325 18

BE =AB +AE = + = ⇒BE≈ cm 2 12 182 468 21,6 BD =BC +CD = + = ⇒BD≈ cm

2 2 325 468 793 28,2 ED =BE +BD = + = ⇒ED≈ cm

c) 325 468 152100 195( )2

2 2

BED

S = BE BD= = = cm

( )2

1.15.10 112.18 183 .

2

AEB BCD

S +S = + = cm

Vậy SBDE >SAEB+SBCD

6 10

8 D

F E

A

C B

Hình 44 SGK 12 15

E

A B C

(112)

Cho tam giác ABC có cạnhAB=24 , 28cm AC= cm Tia phân giác của góc A cắt cạnh BC D Gọi M, N theo thứ tự hình chiếu B, C lên đường thẳng AD

a) Tính tỉ số BM

CN

b) Chứng minh AM DM

AN = DN

Giải

a) BM CN BM DB

CN DC

⇒ =

 AD tia phân giác góc A suy

DB AB

DC = AC Do 24 28

BM AB

CN = AC = =

b)

7

AM BM AMB ANC

AN CN

∆ ∆ ⇒ = =

Tìm dấu hiệu để nhân biết hai tam giác đồng dạng

Giải

Xét ∆ABC cân tại A A B C∆ ′ ′ ′cân A′ Ta có B C B C=  , ′= , ′ AB AC

A B′ ′= A C′ ′ Do

ABC A B C′ ′ ′

∆ ∆ có:

- Góc đỉnh tam giác góc đỉnh tam giác ( A A′= ): theo trường hợp đồng dạng thứ

- Góc đáy tam giác góc đáy tam giác (B B′ = ): theo trường hợp đồng dạng thứ - Cạnh bên cạnh đáy tam giác tỉ lệ với cạnh

bên cạnh đáy tam giác AB A B

BC B C

′ ′

 

=

 ′ ′

 :

theo trường hợp đồng dạng thứ

So sánh trường hợp đồng dạng tam giác với trường hợp tam giác (nêu lên điểm giống khác nhau)

Giải

Trường hợp tam giác trường hợp đặc biệt trường hợp đồng dạng tam giác tỉ số đồng dạng Do ba trường hợp đồng dạng tương ứng với ba trường hợp nhau, điểm khác khơng địi hỏi cặp cạnh tương ứng mà đòi hỏi cặp cạnh tương ứng tỉ lệ

So sánh Hai tam giác Hai tam giác đồng dạng Giống Góc tương ứng Góc tương úng Khác Cạnh tương ứng Cạnh tương ứng tỉ lệ

Dạng SỬ DỤNG TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG ĐỂ DỰNG HÌNH

28 24

1 2

N M

D C

A

B'

A'

C' B'

B C

(113)

Thường dựng tam giác đồng dạng với tam giác phải dựng sau dùng điều kiện độ dài chưa sử dụng đến để dựng tiếp

Ví dụ Dựng tam giác ABC biết B=60 ,0 C =45 ,0 đường cao xuất phát từ đỉnh A có

độ dài h cho trước

Giải

Cách dựng:

- Dựng A B C∆ ′ ′ ′ có B′=60 ,0 C′=45 - Dựng AH′ ⊥BC

- Trên tia AH′ dựng AH h=

- Qua H dựng đường thẳng song song với B C′ ′, cắt AB′

AC′ B C

Chứng minh:

BC B C ′ ′ nên B B = ′=60 ,0 C C = ′=450 ∆ABC có B =60 ,0 C =45 ,0 đường cao

AH h= thỏa mãn toán

Biện luận: Bài tốn có nghiệm hình

C LUYỆN TẬP

1 (Dạng 1) Tam giác ABC cóAB=6 , 9cm AC= cm Điểm D thuộc cạnh AC cho

 .

ABD C= Tính độ dài AD

2 (Dạng 2) Cho tam giác ABC có AC AB≥ ,đường phân giác AD Lấy điểm E cạnh

AC cho CDE BAC .=

a) Tìm tam giác đồng dạng với tam giác ABC b) Chứng minh rằngDE DB=

3 (Dạng 2) Cho tam giác ABC cân A, M trung điểm BC Trên canh AB lấy

điểm D, cạnh AC lấy điểm E cho DM tia phân giác góc BED Chứng minh rằng:

a) EM tia phân giác góc CED

b) Tam giác BDM đồng dạng với tam giác CME c) BD CE a = (đặtMB MC a= = )

4 (Dạng 2) Hình thang vng ABCD có  A D= =90 ,0 AB=4 ,cm CD=9 cm Tính độ dài

BD biết BD BC⊥

5 (Dạng 2) Hình thang ABCD có AB CD BD , đường cao hình thang,

  90 ,0 1 , 3

A C+ = AB cm CD= = cm Tính độ dài AD, BC.

6 (Dạng 2) Hình chữ nhật ABCD cóAB=4 , 3cm AD= cm Gọi E, F theo thứ tự hình chiếu A, C BD Tính độ dài EF

1

C

D

B A

H B

B' C'

A

C

(114)

7 (Dạng 2) Cho tam giác ABC vuông C CB, 16 , 34 = cm AB= cm Qua trung điểm D

của AB, kẻ đường thẳng vng góc với AB, cắt AC E Tính độ dài DE

8 (Dạng 2) Cho tam giác nhọn ABC, đường cao BD CE cắt tại

, ,

H HB= cm HC= cm Tính độ dài BD, CE biết rằngBD CE+ =20cm

9 Cho tam giác ABC và đường cao BD, CE

a) Chứng minh ∆ABD∆ACE

b) Tính AED biết ACB =48 0

10 (Dạng 3) Dựng tam giác ABC biết B =70 ,0 C=30 ,0 đường phân giácAD=1,5cm

§8 CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VNG

1 Các trường hợp đồng dạng tam giác vuông suy từ trường hợp đồng dạng tam giác

• Nếu tam giác vng có góc góc nhọn góc nhọn tam giác vng hai tam giác đồng dạng

• Nếu tam giác vng có hai cạnh góc vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác đồng dạng

2 Trường hợp đồng dạng đặc biệt

Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vuông tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác giác vng đồng dạng

Nếu ABC∆ ∆A B C′ ′ ′ có: A= A′=90° AB BC

A B′ ′= B C′ ′ ABC A B C′ ′ ′

∆ ∽∆ (cạnh huyền – cạnh góc vng)

3 Tỉ số hai đường cao, tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng

• Tỉ số hai đường cao tương đương hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng

• Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng

A C

B

B'

A' C'

(115)

DẠNG CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG SUY TỪ CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC

Đưa trường hợp đồng dạng thứ hai thứ ba, yếu tố góc góc vng

Trên hình 50 SGK, tam giác đồng dạng viết tam giác theo thứ tự đỉnh tương ứng giải thích chứng đồng dạng?

Lời giải

Có bốn tam giác đồng dạng đơi (theo trường hợp góc – góc) FDE, FBC ,

ABE, ADC nên viết sáu cặp tam giác đồng dạng

ở hình 51 SGK tam giác ABC vng A có đường cao AH

Hình 50 SGK

F D

B

A C

E

20,50 12,45

Hình 51 SGK

H A

B C

(116)

a) Trong hình vẽ có cặp tam giác đồng dạng với ? (hãy rõ cặp tam dạng viết theo đỉnh tương ứng)

b) Cho biết AB=12, 45cm, AC =20, 50cm Tính độ dài đoạn thẳng

, , ,

BC AH BH CH

Lời giải

a) Có cặp tam giác đồng dạng: AHB CHA ; CHA CAB ; CAB

AHB

b) Ta có: BC2 = AB2+AC2 =12, 452+20, 502 =575, 2525 Suy ra:

( )

23,98

BC≈ cm

( )

12, 45.20,50

10, 64 23,98

AB AC

AH cm

BC

= = ≈

( )

10, 64.12, 45

6, 46 20,50

AH BH

AHB CAB BH cm

CA BA

∆ ∽∆ ⇒ = ⇒ = ≈

( )

23,98 6, 46 17,52

CH = − ≈ cm

Ví dụ (Bài 50 SGK) Bóng ống khói nhà máy mặt đát có độ dài 36, m Cùng thời điểm đó, sắt cao 2,1m cắm vng góc với mặt đất có bóng dài 1, 62 m Tính chiều cao ống khói (H.52 SGK)

Lời giải

AB AC

ABC A B C

A B A C

′ ′ ′

∆ ∆ ⇒ =

′ ′ ′ ′ ∽

( )

2,1.36,9

47,8 1, 62

AB m

⇒ = ≈

1,62 2,1

A' C'

B'

(117)

Chân đường cao AH của tam giác vuông ABC chia thành cạnh huyền BC thành hai đoạn thẳng có độ dài 25 cm 36 cm Tính chu vi diện tích tam giác vng (H.53 SGK)

Lời giải

AH BH

AHB CHA

CH AH

∆ ∽∆ ⇒ =

2

25.36

AH BH CH

⇒ = =

( )

5.6 30

AH cm

⇒ = =

( )2

1

915

2

ABC

S∆ = BC AH = cm

Bằng định lí py ta-go, ta tính được: AB≈39cm, AC≈47cm Chu vi

147

ABC

C∆ ≈ cm

Cho tam giác vng, cạnh hun dài 20 cm cạnh góc vng dài 12 cm Tính độ dài hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền

Lời giải

36 25

Hình 53 SGK

H A

B C

(118)

Xét ∆ABC vuông A, đường cao AH: AB=12cm, BC=20cm Cần tính

CH Ta tính AC=16cm

AC BC

ABC HAC

HC AC

∆ ∽∆ ⇒ =

16 20

16

HC

⇒ =

Từ HC=12,8cm

DẠNG 2: TRƯỜNG HỢP ĐÒNG DẠNG CẠNH HUYỀN – CẠNH GĨC VNG

Xét tỉ số cạnh huyền tỉ số cặp cạnh góc vng

Ví dụ Cho điểm M nằm đoạn thẳng AB, MA=6cm, MB=24cm; vẽ phía AB tia Ax , By vng góc với AB Lấy điểm C thuộc Ax , điểm D thuộc By cho MC =10cm, MD=30cm Chứng minh rằng: CMD 90= °

Lời giải

Ta tính BD=18cm

20

x 12

Hình 53 SGK

H A

B C

24

30

10

y

x

B

A M

D

C

(119)

Xét ∆AMC ∆BDM: A= 90B= °;

10 30 18

CM AM

MD BD

 

=  = 

 

Do đó: ∆AMC∽∆BDM (cạnh huyền – cạnh góc vng)

AMC BDM

⇒ =

Ta lại có: BDM phụ BMD

nên AMC phụ BMD CMD 90= °

DẠNG TỈ SỐ HAI ĐƯỜNG CAO CỦA HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Tỉ số hai đường cao tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng

Ví dụ Cho tam giác ABC , đường cao AH, BC=15m, AH =10m Điểm K thuộc AH cho AK =4m Qua K kẻ đường thẳng song song với BC , cắt AB AC

theo thứ tự M N,

a) Tính độ dài MN

b) Kẻ MQ NP, vng góc với BC Chứng minh rằng: MNPQ hình vng

Lời giải

a) AMN ABC AK MN

AH BC

∆ ∽∆ ⇒ =

4.15 10

MN m

⇒ = =

b) MQ=K =10− =4 6m

P Q

K

N

H

B C

A

M

(120)

Dễ dàng chứng minh MNPQ hình vng

Dạng Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng Phương pháp gaiir

Tỉ số diện tích hai tam giác giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng

Tam giác ABC có dộ dài cạnh 3cm, 4cm, 5cm Tam giác ∆A B C′ ′ ′∽∆ABC

và S∆ABC =54cm2 Tính độ dài cạnh tam giác A B C′ ′ ′

Lời giải

ABC

∆ tam giác vuông ( 2 2)

3 +4 =5 , 3.4 ( )2

6

ABC

S∆ = = cm

A B C′ ′ ′ ABC

∆ ∽∆ nên

2

A B C ABC

S A B

S AB

′ ′ ′ =  ′ ′

   hay

54

A B C ABC

S S

′ ′ ′ = =

Từ k=

Vậy độ dài cạnh A B C∆ ′ ′ ′ 9cm,12cm,15cm

Ví dụ Cho tam giác ABC Qua điểm D thuộc BC , kẻ đường thẳng song song với cạnh lại, chúng cắt AB AC theo thứ tự E K Biết dienj tích tam giác EBD, KDC theo thứ tự 9cm2,16cm2 Tính diện tích tam giác

ABC

Lời giải

Đặt SABC =S

16

K

E

B C

A

D

(121)

( )

2

9

1

EBD

S BD BD BD

EBD ABC

S BC S BC BC

   

∆ ∆ ⇒ =  ⇒ =  ⇒ =

   

∽

( )

2

16

2

KDC

S DC DC DC

KDC ABC

S BC S BC BC S

   

∆ ∆ ⇒ =  ⇒ =  ⇒ =

   

∽

Từ ( ) ( )1 , , suy ra: DB DC S S 49( )cm2

BC + BC = S + S ⇒ = S ⇒ = ⇒ =

C LUYỆN TẬP

1 (Dạng 1) Tam giác ABC cân A (A< °90 ), đường cao AD CE cắt

H

a) tính BC biết HD=4cm, HA=32cm

b) tính AE biết BC=24cm, BE=9cm

2 (Dạng 1) cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH

a) cho biết HB=9cm HC, =16cm Tính độ dài AH AB AC, ,

b) chứng minh hệ thức: 2

AH =HB HC AB =BC BH

3 (Dạng 1) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, HB=4cm HC, =9cm Gọi M là trung điểm BC Tính cạnh tam giác AHM

4 (Dạng 1) Cho tam giác ABC vng A Hình vng MNPQ có M thuộc cạnh AB,

N thuộc cạnh AC , P Q thuộc cạnh BC Biết BQ=4cm, CP=9cm Tính cạnh hình vng

5 (Dạng 1) tam giác ABC đường cao AH (H thuộc cạnh BC ) có AH =6cm,

4

BH = cm, HC=9cm Chứng minh rằng:

a) ∆AHB∽∆CHA

b)  90BAC= °

6 (Dạng 1) cho hình thang vng ABCD ( A= = °D 90 ), AB=6cm, CD=12cm,

17

AD= cm Điểm E thuộc cạnh AD cho AE=8cm Chứng minh: BEC=90°

7 (Dạng 1) cho tam giác ABC , đường cao BD CE Chứng minh:

AE AB=AD AC

(122)

8 (Dạng 1) cho tam giác nhọn ABC , đường cao BD CE cắt H Gọi K hình chiếu H lên BC Chứng minh rằng:

a) BH BD =BK BC

b) CH CE =CK CB

c)

BH BD+CH CE=BC

9 (Dạng 1) cho hình bình hành ABCD ( ) A<B Gọi E hình chiếu C AB,

K hình chiếu C AD, H hình chiếu B AC Chứng minh rằng:

a) AB AE =AC AH

b) BC AK =AC HC

c)

AB AE+AD AK = AC

10 (Dạng 1) cho hình thang ABCD (AB CD// ), M trung điểm AD, H hình chiếu M lên BC Chứng minh rằng: diện tích hình thang tích BC MH b ằng cách vẽ đường cao BK, gọi N trung điểm BC tìm tam giác đồng dạng

11 (Dạng 2) Cho tam giác ABC vuông A, AC =4cm, BC=6cm phía ngồi tam giác ABC , vẽ tam giác BCD vng C có BD=9cm Chứng minh: BD//AC

12 (Dạng 2) Hình thang ABCD có   90A=D= °, điểm E thuộc cạnh bên AD Tính BEC

biết AB=4cm, BE=5cm, DE=12cm, CE=15cm

13 (Dạng 2) cho hai tam giác cân ABC A B C′ ′ ′ (AB= AC A B, ′ ′=A C′ ′), đường cao

BH B H′ ′ Cho biết BH BC

B H′ ′= B C′ ′ Chứng minh rằng: ∆ABC∽ ∆A B C′ ′ ′

14 (Dạng 3) Cho hình thang ABCD (AB CD , // ) AB=15m, CD=30m, đường cao 20m ,

các đường chéo cắt O Tính diện tích tam giác OAB , OCD

15 (Dạng 4) Cho tam giác ABC , điểm O nằm tam giác gọi D E F, , theo thứ tự trung điểm OA OB OC, , Tỉ số diện tích tam giác DEF tam giác ABC bằng:

A.1

2 B

1

2 C

1

4 D

2

Hãy chọn câu trả lời

(123)

16 (Dạng 4) Gọi O tâm tam giác ABC Trên OA OB OC, , lấy theo thứ tự điểm A B C′ ′ ′, , cho OA′=OB′=OC′ khoảng cách B C′ ′ BC 1

6 chiều cao tam giác ABC Tỉ số diện tích tam giác A B C′ ′ ′ tam giác ABC

A

2 B

1

3 C

1

6 D

1

17 (Dạng 4) Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC , cắt cạnh AB

AC tại D E Biết diện tích tam giác ADE bằng nửa diện tích tam giác ABC Tỉ số

DE

BC bằng:

A

2 B

1

2 C

2

3 D

3

18 (Dạng 4) Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC có khoảng cách

đến BC 1

5 khoảng cách từ A đến BC cắt hình thang có diện tích

2

36 cm Tính diện tích tam giác ABC

19 ( Dạng 4) Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC cắt cạnh

,

AB AC theo thứ tự D E Gọi G điểm cạnh BC Tính diện tích tứ giác

ADGE biết diện tích tam giác ABC 16cm , di2 ện tích tam giác ADE 9cm 2

20 (Dạng 4) Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH BC=20cm AH, =8cm Gọi D hình chiếu H AC, E hình chiếu H AB

a) Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC

b) Tính diện tích tam giác ADE

§9 ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

Sử dụng tam giác đồng dạng , ta xác định chiều cao , xác định khoảng cách đo đạc gián tiếp

(124)

Dạng ĐO GIÁN TIẾP CHIỀU CAO

Tìm hai tam giá đồng dạng lập tỉ số cạnh tương ứng

Ví dụ ( Bài 53 SGK)

Một người đo chiều cao nhờ cọc chôn xuống đất, cọc cao 2m đặt xa 15m Sau người lùi xa cách cọc 0,8m nhìn thấy đầu cọc đỉnh nằm

trên đường thẳng Hỏi cao , biết khoảng cách từ chân đến mắt người 1,6m ?

Giải

Trước hết tính BH ta có: ,

0, 0,8

7, 15,8

DC EG

BH m BH = EH ⇒ BH = ⇒ =

Do AB=7,9 1, 6+ =9,5( )m

Dạng ĐO GIÁN TIẾP KHOẢNG CÁCH , BỀ DÀY

Sử dụng tam giác đồng dạng Định lí Ta-lét để tính độ dài đoạn thẳng

Để đo khoảng cách hai địa điểm A B , B khơng tới được, người ta tiến hành đo tính khoảng cách AB hình 57 SGK : AB DF AD// ; =m DC; =n DF; = a

a) Em nói rõ cách đo b) Tính độ dài x khoản cách AB

Giải

a) Cách đo:

- Dùng êke dựng tia Ax vng góc với AB

- Trên tia Ax dựng điểm D

- Dựng đoạn thẳng DF vng góc với AD ( F B phía Ax )

- Trên tia đối tia DA , dựng điểm C cho ,C F B th, ẳng hàng

15 1,6

0,8

G

B

H

C E

A F

D

x

a

Hình 57 SGK n

m

F

B A

D

C

(125)

b) ta có DF AB// nên DF CD,

AB = CA suy

a n

x =m n+

Vậy x a m( n) n

+ =

Hình 58 SGK mô tả dụng cụ đo bề dày số loại sản phẩm Dụng cụ gồm thước AC chia tính đến 1mm gắn với kim loại hình tam giác ABD , khoảng cách BC=10mm

Muốn đo bề dày vật, ta kẹp vật vào kim loại thước( đáy vật áp vào bề mặt thước AC ta đọc “bề dày” d vật ( hình vẽ ta có d =5,5mm)

Hãy rõ định lí cảu hình học sở để ghi vạch thước AC d( ≤10mm)

Giải

Trên hình vẽ ta có 5, 10

d

BC = Do BC =10mm nên d =5, 5mm Cơ sở cách làm

Đinh lí Ta – lét

C LUYỆN TẬP

1 ( Dạng 1) Tính khoảng cách từ người quan sát đến chân tháp truyền hình cao

50m biết người đặt que dài 5cm thẳng phía trước cách mắt

40cm que vừa vặn che lấp tháp truyền hình

2 ( Dạng 2) Để đo khoảng cách từ địa điểm A đến địa điểm M đảo,

người ta gióng đường thẳng AM , lấy AM điểm H Trên đường vng góc với AM H, xác định địa điểm B cho  90 ABM = ° Biết AH =15m

60

AB= m Tính độ dài AM

C A

B

d D

Hình 58 SGK

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

H

A B

M

(126)

ÔN TẬP CHƯƠNG III

56 Xác định tỉ số hai đoạn thẳng AB CD trường hợp sau:

a) AB=5cm CD, =15cm;

b) AB=45dm CD, =150cm;

c) AB=5CD

Hướng dẫn

a)

15

AB

CD = = b)

45 15

AB

CD= = c) AB CD =

57 Cho tam giác ABC ( AB< AC ) Vẽ đường cao AH , đường phân giác AD , đường trung tuyến AM Có nhận xét vị trí ba điểm , , H D M

Hướng dẫn

Điểm D nằm hai điểm H M (hình a), tương ứng với trường hợp  90 B< °

( hình b) ứng với trường hợp  90 )B> °

58 Cho tam giác cânABC (AB=AC) vẽ đường cao

, ( 66 )

BH CK H SGK

a) Chứng minh BK=CH

b) a)

H D M C

B

A

B A

Hình 66 SGK

H K

A

C B

(127)

b) Chứng mih KH BC//

c) Cho biết BC=a AB; = AC= TÍnh độ dài đoạn thẳng HK b

Hướng dẫn

a) ∆BKC = ∆CHB ( cạnh huyền – góc nhọn)

nên BK=CH

b) AB AC KH BC//

BK =CH ⇒ ( Định lí Ta-lét đảo)

c)

2

2 .

2

a

AC CI b a

IAC HBC CH

BC CH a CH b

∆ #∆ ⇒ = ⇒ = ⇒ =

Do 2 2

2

a b a AH AC CH b

b b

−

= − = − =

2

2 //

b a

KH AH KH b

KH BC AKH ABC

BC AC a b

−

⇒ ∆ #∆ ⇒ = ⇒ =

( 2)

2

a b a KH

b

−

⇒ =

59 Hình thang ABCD AB CD( // ) có ACvà BD cắt O AD BC cắt K

Chứng minh OK qua trung điểm cạnh AB CD

Hướng dẫn

Gọi M N theo thứ tự giao điểm OK với AB CD ,

/ / AM MB

AB CD

DN NC

⇒ = ( KM

KN ) (1)

AM MB

NC = DN ( OM

ON ) (2)

Nhân vế (1) (2) :

2

AM MB

AM MB AM MB DN NC = NC DN ⇒ = ⇒ =

Từ (1) AM MB= suy DN =NC

Vậy OK đi qua trung điểm AB CD

M

O A

C D

K

B

N

(128)

60 Cho tam giác vuông ABC A,  =90 ,° C=30°và đường phân giác BD ( D thuộc cạnh

)

AC

a) Tính tỉ số AD?

CD

b) Cho biết độ dài AB=12,5cm, tính chu vi diện tích tam giác ABC

Hướng dẫn

a)

2

AD AB CD = BC =

b) AB=A2,5cm⇒BC=25cm

2 2 2

25 12, 468, 75

AC =BC −AB = − =

21, 65

AC cm

⇒ ≈

Chu vi ∆ABC≈59,15cm

Diện tích ∆ABC≈135, 3cm2

60 Tứ giác ABCD có AB=4cm BC, =20cm CD, =25cm, DA=8cm, đường chéo

10

BD= cm

a) Nêu cách vẽ tứ giác ABCDcó kịch thước cho

b) Các tam giác ABD BCD có đồng dạng với khơng ? Vì sao?

c) Chứng minh AB CD//

Hướng dẫn

a) Vẽ ∆BCDbiết ba cạnh, sau vẽ ABD∆ biết ba cạnh

b) ∆ABD#∆BCD

c) Từ câu b) suy  .ABD=BDC Do AB CD//

1 Tam giác ABC vuông tại A , đường phân giác BD chia cạnh AC thành đoạn thẳng

3 ,

DA= cm DC= cm Tính độ dài AC BC , ?

2 Tam giác ABC vuông tại A ,AB=15cm AC, =20cm,đường phân giác BD

a)Tính độ dài AD

30°

D C

A B

10

25 20 8

A B

C D

(129)

b) Gọi H hình chiếu A BC Tính độ dài AH HB ,

c) Chứng minh tam giác AID tam giác cân

3 Tam giác ABC vuông tại A ,AB=36cm AC, =48cm,đường phân giác AK Tia phân giác của góc B cắt AK I Qua I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB AC

theo hứ tự D E

a) Tính độ dài BK

b) Tính tỉ số AI

AK

c) Tính độ dài DE

4 Tam giác ABC vuông C, đường cao CH, AC=7,5cm BC, =100cm.Gọi E hình chiếu H AC F hình chi, ếu H BC Tính độ dài HE HF ,

5 Tam giác ABC cân ,A AB= AC=100cm BC, =120cm, các đường cao AD BE cắt H

a) Tìm tam giác đồng dạng với tam giác BDH

b) Tính đọ dài HD BH ,

c) Tính độ dài HE

6 Tam giác ABC cân A, BC=5cm AC, =20cm.đường phân giác BD

a) Tính độ dài AD DC ,

b) Tính độ dài BD ( Hướng dẫn : Kẻ DK ⊥BC Tính CK DK , )

7 Tam giác ABC vuông ,A AB=a AC, =3 a TRên cạnh AC lấy điểm ,D E

cho AD=DE=EC

a) Tính tỉ số BD DC,

DE DB

b) Chứng minh tam giác BDE CDB đồng dạng

c) Tính tổng  AEB+ACB

8 Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD BE CF c, , ắt H

Chứng minh hệ thức : HA HD =HB HE =HC HF

(130)

9 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD CE cắt G Qua điểm O thuộc cạnh BC v, ẽ tia OM song song với CE ON song song v, ới BD M( ∈AB N, ∈AC).MN

cắt BD CE theo th, ứ tự , I K

a) Gọi H giao điểm OM BD Tính tỉ số MH

MO

b) Chứng minh

MI = MN

c) Chứng minh MI =IK =KN

10 Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi ,M N theo thứ tự trung điểm BC AC , Gọi O giao điểm đường trung trực tam giác

a)Chứng minh ∆OMN#∆HAB Tìm tỉ số đồng dạng b) So sánh độ dài AH OM

c) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh ∆HAG#∆OMG

d) Chứng minh ba điểm , ,H G O thẳng hàng GH =2GO

(131)

HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG HÌNH CHĨP ĐỀU

A HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG

§ HÌNH HỘP CHỮ NHẬT

 Hình hộp chữ nhật có mặt hình chữ nhật (hình a)

a) b)

 Hình lập phương hình hộp chữ nhật có mặt hình vng

 Nếu đường thẳng d có hai điểm thuộc mặt phẳng (P) điểm thuộc

mặt phẳng (P) Ta nói đường thẳng dnằm mặt phẳng (P)

Dạng KỂ TÊN CÁC ĐỈNH, CÁC CẠNH, CÁC MẶT CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT

Phƣơng pháp giải

Hình hộp chữ nhật có mặt, đỉnh, 12 cạnh

Hãy kể tên cạnh hình hộp chữ nhật ABCD.MNPQ (H.72

SGK) Giải

ABCDPQMN

ADMQNPBC

AMBNCPDQ

Hình 72 SGK D'

C'

B' A'

D C

B A

D'

C'

B' A'

D C

B A

P Q

N M

(132)

MẶT PHẲNG

Nếu đường thẳng có hai điểm thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng

Ví dụ (Bài SGK)

1 1

ABCD.A B C D hình hộp chữ nhật (H.73 SGK)

a) Nếu O trung điểm đoạn CB1

O có điểm thuộc đoạn BC1 hay khơng? b) K điểm thuộc cạnh CD , liệu K có

thể điểm thuộc cạnh BB1 hay khơng? Hình 73 SGK

Giải

a) BCC B1 1 hình chữ nhật, O trung điểm đường chéo CB1 nên trung điểm đường chéo BC1 Vậy O thuộc đoạn BC1

b) K không thuộc cạnh BB1

Dạng VẼ HÌNH BIỂU DIỄN CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT GẤP HÌNH ĐỂ

ĐƢỢC HÌNH HỘP CHỮ NHẬT

Quan sát hình biểu diễn hình hộp chữ nhật để biết cách vẽ Với gấp hình, cắt giấy để tìm cách gấp

Xem hình 74a SGK, mũi tên hướng dẫn cách ghép cạnh với để có hình lập phương

a) b)

O K

D1 C

1

B1 A1

D C

(133)

Hãy điền thêm vào hình 74b SGK các mũi tên

Giải

Xem hình bên

C LUYỆN TẬP

1 (Dạng 1) Một hình lập phương có cạnh 17cm đặt dựa vào tường Oy mặt ngang Ox

như hình bên Biết OA 15cm Tính

khoảng cách từ B'đến mặt ngang

2 (Dạng 2) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D ' ' ' ' Điểm K thuộc đoạn thẳng BD Điểm K có

thuộc mặt phẳng (ABCD) hay không?

3 (Dạng 3) a) Hồn thành hình biểu diễn hình hộp chữ nhật cách vẽ

hình chữ nhật vẽ đoạn thẳng song song hình a)

b) Hồn thành hình biểu diễn hình lập phương cách vẽ hình vng vẽ đoạn thẳng song song

như hình b) a) b)

4 (Dạng 3) Trong hình sau, hình gấp theo nét chấm tạo thành hình lập phương?

a) b) c) d) e)

(134)

a) b)

6 (Dạng 3) Chứng minh từ đoạn dây thép dài 15dm, tạo khung hình lập phương có cạnh 1dm (đoạn dây thép để ngun khơng cắt)

§ HÌNH HỘP CHỮ NHẬT (tiếp)

1 Hai đường thẳng phân biệt khơng gian có vị trí:

 Cắt nhau, có điểm chung, chẳng hạn AB vàBCở

hình vẽ

 Song song, nằm mặt phẳng khơng có điểm chung, chẳng hạn AB CD hình vẽ

 Khơng nằm mặt phẳng, chẳng hạnAB

'

CC hình vẽ (ta gọi chúng hai đường thẳng chéo nhau)

2 Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với

nhau

a//b

a//c b//c



 



3 Hai đường thẳng song song xác định mặt phẳng

Hai đường thẳng cắt xác định mặt phẳng Ba điểm không thẳng hàng xác định mặt phẳng

4 Nếu đường thẳng a không nằm mặt phẳng (P) mà song song với đường thẳng

của mặt phẳng (P) đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) Chẳng hạn AB//mp ' ' ' '

(A B C D )ở hình vẽ

5 Nếu mặt phẳng (Q) chứa hai đường thẳng cắt chúng song song với mặt

8

3

?

? ?

?

8

3

D' C'

B' A'

D C

(135)

Chẳng hạn mp(ABCD) // mp ' ' ' '

(A B C D ) hình vẽ

6 Hai mặt phẳng phân biệt có vị trí:

 Song song, chúng khơng có điểm chung

 Cắt nhau, tồn điểm chung, chúng cắt theo đường thẳng qua điểm chung

Chẳng hạn mp(ABCD) cắt mp(BCC B )' ' theo đường thẳng BC hình vẽ Đường

thẳng BC gọi giao tuyến mp (ABCD) mp ' '

(BCC B )

Dạng VỊ TRÍ CỦA HAI ĐƢỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

 Để chứng tỏ hai đường thẳng cắt nhau, ta điểm chung chúng

 Để chứng tỏ hai đường thẳng song song, ta thường chứng tỏ chúng hai cạnh đối

một hình chữ nhật, hình bình hành, chứng tỏ chúng song song với đường thẳng thứ ba

1 1

ABCD.A B C D hình lập phương (H.81 SGK) Quan sát hình cho biết: a) Những cạnh song song với cạnh C C ? 1

b) Những cạnh song song với cạnh A D ? 1 1

Hình 81 SGK

Giải

a) Các cạnh B B ,1 D D , A A song song với C C

Giải thích: CDD C hình vng nên 1 1 D D / /C C1 1 BCC B1 1 hình vng nên B B / /C C1 1

A A / /C C1 chúng song song với B B

b) Các cạnh AD , B C , BC song song với 1 1 A D 1 1

Dạng NHẬN BIẾT ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG, MẶT

PHẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG D1

C1 B1 A1

D C

(136)

 Nếu a không nằm mặt phẳng (P) mà a//b bnằm (P) a//(P)

 Để chứng tỏ (Q)//(P) , ta cần tìm hai đường thẳng cắt (Q) song song với (P)

Hình 82 SGK vẽ phịng Quan sát hình giải thích

a) Đường thẳng b song song với mặt phẳng (P) ?

b) Đường thẳng p song song với sàn

nhà?

Giải

Hình 82 SGK

a) bkhông nằm (P) , b//a (hai cạnh đối hình chữ nhật), a nằm (P) , b//(P)

b) giải thích tương tự câu a)

Hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH (H.83 SGK) có cạnh AB song song với mặt phẳng (EFGH)

a) Hãy kể tên cạnh khác song song với mặt phẳng (EFGH)

b) Cạnh CD song song với mặt

phẳng hình hộp chữ nhật? Hình 83 SGK

c) Đường thẳng AH không song song với mặt phẳng (EFGH) , mặt

phẳng song song với đường thẳng Giải

a) BC , CD ,DA song song với mp (EFGH)

b) CD//mp(ABFE) , CD//mp(EFGH)

c) AH//mp(BCGF)

Ví dụ Hãy giải thích hình 83 SGK (xem ví dụ 3), AH song song với mặt

phẳng (BCGF)

Giải

AB//CD , AB CD ABCD hình chữ nhật

q p

b a

Q

P

H

G F

D E

C B

(137)

Suy AB//GH , AB GH , ABGH hình bình hành Do AH//BG

Ta có AH không nằm (BCGF) , AH//BG , BG nằm (BCGF) nên

AH//(BCGF)

Dạng TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG

Chỉ hai điểm thuộc hai mặt phẳng

Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D ' ' ' '

Hãy xác định giao tuyến hai mặt phẳng

' '

(ACC A ) (BDB D ) ' '

Giải

Gọi O giao điểm AC BD

O AC nên Omp(ACC A )' ' ,

O BD nên Omp(BDD B )' ' , O thuộc hai mặt phẳng Tương tự, gọi '

O giao điểm A C ' ' ' '

B D , O thuộc hai mặt phẳng ' Do '

OO giao tuyến hai mặt phẳng

Dạng TÍNH DIỆN TÍCH XUNG QUANH, DIỆN TÍCH TỒN PHẦN CỦA HÌNH

HỘP CHỮ NHẬT

 Diện tích xung quanh (S )xq tổng diện tích mặt bên

 Diện tích tồn phần (S )tp tổng diện tích xung quang diện tích hai đáy

Nếu gọi ,a b độ dài cạnh đáy, c chiều cao hình hộp chữ nhật thì: S = 2(a+b).cxq

2( )

tp

S a b c ab

Ví dụ (Bài SGK)

Một phòng dài4,5 ,m rộng 3,7m cao 3,0 m Người ta muốn quét vôi trần nhà bốn tường Biết tổng diện tích cửa 5,8m Hãy tính 2 diện tích cần qt vơi

Giải

O' O

D' C'

B' A'

D C

(138)

Diện tích trần:

4,5.3, 16, 65 m

Diện tích cần qt vơi:

49.2 16, 65 5.8 60, 05 m

C LUYỆN TẬP

1 (Dạng 1) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D Các đường thẳng sau có cắt khơng?

a) AC ' DB '; b) AC BC '

2 (Dạng 1) Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?

a) Nếu đường thằng cắt hai đường thẳng song song cắt đường thẳng

b) Nếu hai đường thẳng điểm chung chúng song song với

c) Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba chúng song song với

d) Hai đường thẳng phân biệt không song song chúng cắt

3 (Dạng 1) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D

a) Cạnh AB cắt cạnh nào? Trong cạnh hình hộp chữ nhật, có cặp

cạnh cắt nhau?

b) Cạnh AB song song với cạnh nào? Trong cạnh hình hộp chữ nhật, có cặp cạnh song song?

c) Cạnh AB chéo (tức không nằm mặt phẳng) với cạnh nào? Trong cạnh hình hộp chữ nhật, có cặp cạnh chéo nhau?

4 (Dạng 2) Trong khẳng định sau, khẳng định đúng?

a) Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng mặt phẳng  P a song

song với  P

b) Nếu hai đường thẳng nằm hai mặt phẳng song song hai đường thẳng song song với

c) Nếu hai đường thẳng song song với đường thẳng hai mặt phẳng song song với

(139)

điểm BB CC ', '

a) Chứng minh AD // B C

b) Chứng minh NI// mp A B C D

c) Khẳng định sau hay sai: Nếu mặt phẳng ( )Q chứa hai đường thẳng song song với mặt phẳng ( )P ( )Q song song với ( ).P

6 (Dạng 2) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D Chứng minh hai mặt phẳng

BDA CB D song song với

7 (Dạng 2) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D . Các điểm M I K N theo thứ tự , , , thuộc cạnh AA BB CC DD cho , , , A M D N BI CK Chứng minh hai mặt phẳng (ADKI ) MNC B song song với

8 ( Dạng 3) Trong mặt hình hộp chữ nhật:

a) Có cặp mặt phẳng song song?

b) Có cặp mặt phẳng cắt nhau?

9 (Dạng 3) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng ABC BCA

10 (Dạng 4) Nếu cạnh hình lập phương tăng 60% diện tích xung quanh hình lập phương tăng:

A)60%; B) 156%; C) 256%; D) 624%

11 (Dạng 4) Cần tơn để làm thùng có dạng hình hộp chữ nhật có chiều

cao 90cm đáy hình vng có diện tích 2.500cm (khơng kể diện tích 2 chỗ ghép nắp thùng)?

(140)

13 (Dạng 4) Cho hình lập phương

ABCD A B C D có cạnh a Tính diện

tích mặt chéo ACC A

14 (Dạng 4) Hình bên biểu diễn hộp, mặt phía trước phía sau gồm hai hình chữ nhật sáu mặt cịn lại hình chữ nhật, kích thước đề- xi- mét ghi hình vẽ Tình diện tích tồn phần hộp

10

5

7

(141)

1 Đƣờng thẳng vng góc với mặt phẳng

+ Nếu đường thẳng a vng góc với hai đường thẳng b c cắt I mặt phẳng  P a vng góc với mặt phẳng

 P

+ Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng  P điểm I vng góc với đường thẳng qua I nằm mặt phẳng  P

2 Mặt phẳng vng góc với mặt phẳng

Nếu đường thẳng d vng góc với mặt phẳng

 P mà d nằm mặt phẳng  Q mặt phẳng  Q vng góc với mặt phẳng  P

3 Thể tích hình hộp chữ nhật:

V abc

( a, b, c kích thước hình hộp chữ nhật)

4 Thể tích hình lập phƣơng:

V a 3

(a cạnh hình lập phương)

Dạng TÍNH THỂ TÍCH CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT, TÍNH MỘT YẾU TỐ CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT

Áp dụng cộng thức tính thể tích hình chữ nhật (V abc , thể tích hình lập )

phương

(V a )

a) Tính kích thước hình hộp chữ nhật, biết chúng tỉ lệ với

(142)

0,8

x

2 V1

V2

nó bao nhiêu?

Giải

a) Gọi a b c kích thước hình hộp chữ nhật, ta có: , ,

3 4

5

       

  

a k a b c

k b k

c k

Theo đề bài:

3k 4k, 5k 480k   8 k

Các kích thước hình hộp chữ nhật là: 6cm,8cm,10cm

b) Diện tích mặt hình lập phương: 486 : 681(cm ).2

Cạch hình lập phương: 819(cm)

Thể tích hình lập phương: V93 729(cm )3

Một bể nước hình hộp chữ nhật có chiều dài m Lúc đầu bể khơng có nước

Sau đổ vào bể 120 thùng nước, thùng chứa 20 lít mực nước bể cao 0,8 m

Tính chiều rộng bể nước

Người ta đổ thêm vào bể 60 thùng nước đầy bể Hỏi bể cao mét?

Giải

Thể tích nước đổ vào bể đợt 1:

3

1 20.1202400( )2400 2,

V l dm m

Chiều rộng bể nước:

2,

1,5( ) 2.0,8 m

Tỉ số mực nước tăng thêm so với mực nước đổ vào đợt 1:

2

60 120

 

V V

Mực nước tăng thêm:

0,8 0, 4( )

(143)

7

h2

h1=4

7

Một thùng hình lập phương, cạnh 7dm có chưa nước với độ sâu nước , 4dm Người ta thả 25 viên gạch có chiều dài 2 dm chiều rộng 1dm , chiều cao 0,5dm vào thùng Hỏi nước thùng dâng lên cách miệng thùng đề-xi-mét?

(Giả thiết toàn gạch ngập nước chúng hút nước không đáng kể)

Giải

Thể tích nước thùng lúc đầu:

3 7.7.4196( )

V dm

Thể tích viên gạch: 2.1.0,5 1( dm3)

Thể tích 25 viên gạch: 1.25(dm3)

Sau thả gạch vào, mực nước dâng cao nước:

2

25 25 ( ) 7.7 49

 

h dm

Khi mực nước cách miệng thùng:

1

25 24

7 ( ) ( ) 2, 49( ) 49 49

 

      

 

h h dm dm

Dang ĐƢỜNG CHÉO CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT

Đường chéo hình hộp chữ nhật giới thiệu bỡi 12 SGK với công thức

2 2

d a  b c d độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật , , a b c kích thức

hình hộp chữ nhật

(144)

hộp chữ nhật cho hình 88 SGK

Hãy điền số thích hợp ô trông bảng sau:

AB 13 14

BC 15 16 34

CD 42 70 62

DA 45 75 75

Kết 12 minh họa công thức quan trọng sau:

2 2

DA AB BC CD

Giải

Các ô bảng điền đầy đủ sau:

AB 13 14 25

BC 15 16 23 34

CD 42 40 70 62

DA 45 45 75 75

Dạng NHẬN BIẾT ĐƢỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG, MẶT PHẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG

   

   

,

b P c P

b c I

a P

a b

a c

  



  

  

    

 

     

d Q

Q P

d P

  

  





1) Gấp hình 87a SGK theo nét có hình hộp chữ nhật hay khơng?

(145)

b)

D C

A

E

B

F

G H

Hình 90 SGK

I

B K

B' A

A'

C' D' C D

H G

Hình 87SGK

1) Đường thẳng BF vng góc với mặt phẳng nào/

2) Hai mặt phẳng AEHD CGHD vng góc với nhau, sao?

Giải

Gấp thành hình hộp chữ nhật

a) BF vng góc với mặt phẳng ABCD , EFGH

Giải thích:

, nên ( )

BFBA BFBC BF ABCD

, nên (EF )

BFFE BFFG BF GH

b) ADDCvàADDHnênAD(CGDH Ta lại có AD nằm () AEHD nên ) (AEHD)(CGDH )

Ví dụ 6: ( Bài 16 SGK)

Thùng chứa xe chở hàng đông lạnh có dạng hình 90 SGK Một mặt hình chữ nhật, chẳng hạng (ABKI), (DCC D' ') quan sát hình trả lời câu hỏi sau:

a) Những đường thẳng song song với mặt phẳng (ABKI)?

b) Những đường thẳng vng

góc với mặt phẳng (DCC D' ')?

c) Mặt phẳng ( 'A D C B' ' ') có vng góc với mặt phẳng

(DCC D hay khơng? ' ')

Giải

Các đường thẳng song song với mặt phẳng (ABKI) là: DG GH CH CD, , , , ' ', ' ',

A B B C C D A D ' ', ' '

(146)

Vì A D' 'mp DCC D( ' ') A D' ' nằm mp A D C B( ' ' ' ') nên ( ' ' ' ') ( ' ')

mp A D C B mp DCC D

Dạng TÍNH ĐỘ DÀI NGẮN NHẤT TRÊN CÁC MẶT PHẲNG CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT, ĐẾM SỐ HÌNH LẬP PHƢƠNG NHỎ ĐƢỢC SƠN Ở CÁC MẶT HÌNH LẬP PHƢƠNG LỚN

* Để tính độ dài ngắn mặt hình hộp chữ nhật, cần trải phẳng mặt hình

* Để đếm số hình lập phương nhỏ sơn mặt, hai mặt, ba mặt, cần tính số hình sơn nằm mặt, cạnh, đỉnh hình lập phương lớn

Các kích thước hình hộp chữ nhật 4cm, 3cm 2cm

Một kiến bị theo mặt hình hộp từ Q đến P (H.92 KSG)

a) Hỏi kiến bò theo đường ngắn nhất?

b) Độ dài ngắn xen – ti – mét?

Giải:

a) Trải phẳng hình hộp chữ nhật, hình bên Vị trí P hình 92 SGK

bốn vị trí P1, P2, P3, P4 hình bên

Con kiến phải bò thẳng từ Q đến P1,

P2, P3, P4

Dễ thấy

1 41 QP QP  ;

2 53 QP QP 

Con đường ngắn mà kiến bò đến P QP1 (bò qua mặt bên phía trước rồiqua nắp) QP (bị qua đáy qua mặt bên phía sau), độ dài ngắn 3 416, (cm)

3 2 4

1

3

4 3 2

4 Q

P P

2 3

2 4

P 4

(147)

hình lập phương nhỏ cạnh dm Người ta sơn tất mặt hình lập phương lớn Tính xem có hình lập phương nhỏ cạnh dm mà:

a) Có ba mặt sơn?

b) Có hai mặt sơn?

c) Chỉ có mặt sơn?

Giải

a) Ở đỉnh hình lập phương lớn có hình lập phương nhỏ sơn ba mặt Có tám hình lập phương nhỏ sơn ba mặt

b) Ở cạnh hình lập phương lớn có hình lập phương nhỏ sơn hai mặt Có mười hai hình lập phương nhỏ sơn hai mặt

c) Ở mặt hình lập phương lớn có hình lập phương nhỏ (ở giữa) sơn mặt Có sáu hình lập phương nhỏ sơn mặt

C LUYỆN TẬP

1 Dạng 1: Nếu cạnh hình lập phương tăng 50% thể tích hình lập phương tăng:

A 50% B 125% C 237,5% D 337,5%

2 (Dạng 1): Một bể bơi hình lập phương dài 12m, rộng 4,5 m, nước cao 1,5 m Tính thể tích nước bể?

3 (Dạng 1): Một hố nhảy hình chữ nhật có kích thước 8m x 4m Người ta rải lớp cát dày 20 cm Tính thể tích lớp cát?

4 (Dạng 2): Ba kích thước hình hộp chữ nhật 1, 2, Đường chéo hình hộp chữ nhật bằng:

A B C 14 D 14

5 (Dạng 2): Một hình hộp chữ nhật có kích thước 3, 4, 12 Độ dài lớn đoạn thẳng đặt hình hộp bằng:

A 19 B 12 C 160 D 13

(148)

bằng 12 Tính cạnh hình lập phương đó?

8 (Dạng 2): Chứng minh đường chéo hình hộp chữ nhật cắt trung điểm đường

9 (Dạng 2): Quan sát hình bên đưa cách dùng thước chia khoảng để đo đường chéo viên gạch hình hộp chữ nhật

10 (Dạng 3):Trong khẳng định sau khẳng định đúng?

a) Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ ba song song với

b) Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba vng góc với

c) Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b c mặt phẳng (P) đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P)

11 (Dạng 3) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' '

a) Cạnh AA vng góc với cạnh hình hộp chữ nhật? '

b) AA vng góc với đường thẳng đường thẳng sau: ' AC, BD , A C ' ', ' ',

B D AB', AC'?

12 (Dạng 3) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có ABCD hình vng Gọi

O giao điểm AC BD , O' giao điểm A C' ' B D Chứng minh ' ' rằng:

a) BDD B hình chữ nhật ' '

b) OO' vng góc với mặt phẳng ABCD

c) Các mặt phẳng ACC A' ', BDD B' ' vng góc với

13 (Dạng 4) Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' Gọi M trung điểm củaA B , ' '

N trung điểm BC Con đường ngắn mà kiến phải bị mặt hình

lập phương để từ M đến N dài bao nhiêu, biết cạnh hình lập phương cm ?

14 (Dạng 4) Một hình lập phương cạnh 10 dm tạo 1000 hình lập phương nhỏ

cạnh dm Người ta sơn tất mặt hình lập phương lớn Tính số lượng

hình lập phương nhỏ cạnh dm mà:

a) Có ba mặt sơn;

b) Có hai mặt sơn;

c) Chỉ có mặt sơn;

(149)

BÀI HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG

 Hình lăng trụ đứng có hai đáy đa giác, mặt bên hình chữ nhật (Hình bên lăng trụ đứng ngũ giác

' ' ' ' '

ABCDE A B C D E )

 Các mặt phẳng chứa đáy hình lăng trụ đứng mặt phẳng song song, mặt bên vng góc với hai mặt phẳng đáy, cạnh bên vng góc với hai mặt phẳng đáy Độ dài cạnh bên gọi chiều cao

 Hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành gọi hình hộp đứng Hình hộp chữ nhật hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật

Dạng TÌM SỐ CẠNH, SỐ MẶT, SỐ ĐỈNH CỦA HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG

Vẽ hình, quan sát để xác định mặt, cạnh, đỉnh

Ví dụ (Bài 19 SGK)

Quan sát hình lăng trụ đứng hình 96 SGK điền số thích hợp vào ô trống bảng đây:

Hình a b c d

Số cạnh đáy

Số mặt bên

Số đỉnh 12

Số cạnh bên

Hướng dẫn Bảng điền sau:

Hình a b c d

Số cạnh đáy

Số mặt bên

Số đỉnh 12 10

Số cạnh bên

Dạng VẼ HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG GẤP HÌNH ĐỂ TẠO THÀNH HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG

B' C' D' E' A'

B C

D E A

Hình 96 SGK b)

c) d)

(150)

thẳng song song

Vẽ lại hình sau vào vẽ thêm cạnh vào hình 97b, c, d, e SGK để có hình hộp hồn chỉnh (như hình 97a SGK)

Hướng dẫn

Dạng TÌM CÁC YẾU TỐ SONG SONG, VNG GĨC TRONG HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG

• Chú ý đến yếu tố song song hình lăng trụ đứng:

Hai đáy hai mặt song song Các cạnh bên song song với • Chú ý đến yếu tố vng góc hình lăng trụ đứng:

Các cạnh bên vng góc với đáy, mặt bên vng góc với đáy

ABCD A B C D    lăng trụ đứng tam giác (H.98.SGK)

a) Những cặp mặt song song với b) Những cặp mặt vng góc với

c) Sử dụng kí hiệu “//” “” để điền vào ô trống bảng sau:

Cạnh Mặt

AA CC BB A C  B C  A B  AC CB AB

ACB

A B C    //

b) c)

e) d)

a)

E

F D

A

F C

B A

B

H D

A

E

F C

G H

G F E

D

C

B A

Hình 97 SGK

e) d)

c) b)

C

B G

F

A H

E D

G C

F B

(151)

Hướng dẫn

Bảng điền sau:

Cạnh Mặt

AA CC BB A C  B C  A B  AC CB AB

ACB    // // //

A B C      // // // //

ABB A  //

C LUYỆN TẬP

1 (Dạng 2) Vẽ thêm nét khuất hình biểu diễn hình lăng trụ đứng sau:

2 (Dạng 1) Một hình lăng trụ đứng có 12 mặt Tính số cạnh, số đỉnh

3 (Dạng 1) Một hình lăng trụ đứng có đáy đa giác n cạnh Tính số mặt, số đỉnh

4 (Dạng 2) Điền đầy đủ kích thước vào hình khai triển hình lăng trụ

đây:

5 (Dạng 2) Trong hình khai triển đây, hình gấp lại thành hình lăng trụ đứng?

c) b)

a)

d a

b c

d c

b a

(152)

6 (Dạng 3) Cho hình hộp đứng ABCD A B C D    

a) Tìm cạnh hình hộp song song với AD

b) Tìm cạnh hình hộp vng góc với AD

c) Tìm mặt phẳng song song với mp ABB A  

d) Tìm mặt phẳng vng góc với mp ABB A  

§ DIỆN TÍCH XUNG QUAN CỦAHÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG A TĨM TẮT LÝ THUYẾT

 Diện tích xung quanh hình lăng trụ đứng chu vi đáy nhân với chiều cao

2

xq

S  p h

(p nửa chu vi đáy, h chiều cao)

 Diện tích toàn phần lăng trụ đứng tổng diện tích xung quanh diện tích hai đáy

Dạng TÍNH DIỆN TÍCH XUNG QUANH, DIỆN TÍCH TỒN PHẦN, TÍNH MỘT YẾU TỐ CỦA LĂNG TRỤ ĐỨNG

Phƣơng pháp giải:

Áp dụng cơng thức tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần

(153)

- Xét hình lăng trụ đứng tứ giác:

Diện tích xung quanh: 3 2.5 70(   cm2)

Diện tích tồn phần: 70 3.4.2 94(cm2)

- Xét hình lăng trụ đứng tam giác: CB 13cm

Diện tích xung quanh: 5 13 5 25 13 ( cm2)

Diện tích tồn phần: 25 13 3.2.2 31 13( 2)

2 cm

   

Quan sát lăng trụ tam giác (H.103 SGK) điền số thích hợp vào trống bảng sau:

a (cm) 12

b (cm) 15

c (cm) 13

h (cm) 10

Chu vi đáy (cm) 21

2

( )

xq

S cm 80 63

Hướng dẫn Các số điền vào ô trống sau:

- Ở cột 1: Chu vi đáy 18 cm , Sxq 180 cm2

- Ở cột 2: c4cm Sxq 45cm2

- Ở cột 3: h2cm, chu vi đáy 40cm - Ở cột 4: b8cm h, 3cm

Chú ý hình lăng trụ đứng, cạnh bên song song với vng góc với đáy, mặt đáy song song với nhau, mặt bên vng góc với đáy

a) Từ hình khai triển (H.105 SGK), gấp theo cạnh để có lăng trụ đứng hay khơng? (Các tứ giác hình hình chữ nhật) b) Trong hình vừa gấp được, xét xem

các phát biểu đây, phát biểu đúng:

- Cạnh AD vng góc với cạnh AB - EF CF hai cạnh vng góc với

nhau

- Cạnh DE cạnh BC vng góc với

Hình 105 SGK - Hai đáy ABC DEF nằm hai mặt phẳng song song với

(154)

a) Gấp thành lăng trụ đứng

b) Sau gấp, ta lăng trụ đứng hình bên Trong câu phát biểu trên, câu đầu đúng, câu cuối sai

C LUYỆN TẬP

1 (Dạng 1) Tính diện tích tồn phần hình lăng trụ đứng có chiều cao 6cm , đáy tam giác có cạnh 3cm cm cm , ,5

2 (Dạng 1) Tính diện tích tồn phần tủ tường hình lăng trụ đứng có chiều cao ,m đáy tam giác vng cân có cạnh huyền 1, m

3 (Dạng 1) Một khối gỗ hình lập phương ABCD A B C D có cạnh ' ' ' ' a Cắt khối gỗ

theo mặt chéo hình lập phương, tức mặt ACC A ta hai hình lăng trụ ' ', đứng Tính diện tích tồn phần hình lăng trụ đứng

4 (Dạng 1) Tính diện tích tồn phần hình lăng trụ đứng tam giác có cạnh đáy cạnh bên 2cm

5 (Dạng 1) Tính chiều cao hình lăng trụ đứng, biết đáy hình thoi có đường chéo 10cmvà 24cm, diện tích tồn phần hình lăng trụ đứng

2

1280cm

6 (Dạng 1) Tính diện tích tồn phần hình lăng trụ đứng có chiều cao 3cm , đáy lục giác có cạnh cm

7 (Dạng 2) Lăng trụ đứng ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy hình thang vng  0

90

A B Hãy kể tên:

a) Các cạnh song song với AD b) Các cạnh vng góc với AD

c) Các cạnh song song với mặt phẳng (BCC B' ') d) Các cạnh vng góc với mặt phẳng (BCC B' ')

§ THỂ TÍCH CỦA HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG

Thể tích hình lăng trụ đứng diện tích đáy nhân với chiều cao V S h ( S diện tích đáy, h chiều cao)

Dạng TÍNH THỂ TÍCH, TÍNH CÁC YẾU TỐ CỦA HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG

Sử dụng cơng thức tính thể tích hình lăng trụ đứng

Các kích thước bể bơi cho hình 110 SGK (mặt nước có dạng hình chữ nhật) Hãy tính xem bể chứa mét khối nước đầy ắp nước

Giải

D

C E

B

Hình 110 SGK 4 m

7 m

2 m 10 m

25 m

(155)

2

3

57.10570(m )

Các hình a), b), c) (H 111 SGK) gồm nhiều lăng trụ đứng Hãy tính thể tích diện tích diện tích tồn phần chúng theo kích thước cho hình

Giải

a) Diện tích đáy: 6.8 24( 2)

2  cm

Thể tích: 24.372(cm3)

b) Đáy hình lăng trụ tam giác vng Thể tích:

72(cm ) c) Diện tích đáy: 5cm Thể tích: 2 15cm 3

Điền số thích hợp vào ô trống bảng sau:

Lăng trụ Lăng trụ Lăng trụ Chiều cao lăng trụ

đứng tam giác cm cm

Chiều cao tam giác

đáy cm

Cạnh tương ứng với đường cao tam giác đáy

3 cm cm

Diện tích đáy cm2 15 cm2

Thể tích lăng trụ đứng 49 cm3 0,045l

Giải

Ở lăng trụ 1: Chiều cao tam giác đáy: 6.2 4( )  cm Thể tích: 49 : 77(cm2)

Chiều cao tam giác đáy: 7.22,8( )

5 cm

Ở lăng trụ 3: Chiều cao lăng trụ: 45:15 39( cm)

Cạnh tương ứng: 15.2 6( )

5  cm

Hình 112b SGK biểu diễn lưỡi rìu sắt, có dạng lăng trụ đứng,

BDC tam giác cân

c)

1 cm 3 cm

1 cm

(156)

song với cạnh nào? b) Tính thể tích lưỡi rìu

c) Tính khối lượng lưỡi rìu, biết khối lượng riêng sắt 7,874kg dm/

(phần cán gỗ bên lưỡi rìu khơng đáng kể)

a)

b)

Hình 112 SGK Giải a) AB song song với KD IC ,

b) Diện tích đáy:

4.832(cm )

Thể tích lưỡi rìu: 3

32.10320(cm )0,32(dm )

c) Khối lượng lưỡi rìu; 7,872.0,322,52(kg)

Phƣơng pháp giải:

Chú ý đến hai mặt đáy song song, cạnh bên song song, cạnh bên vng góc với đáy, mặt bên vng góc với đáy

Hình 113 SGK lăng trụ đứng, đáy hình thang vng Hãy kể tên:

a) Các cạnh song song với cạnh AD ; b) Cạnh song song với cạnh AB ; c) Các đường thẳng song song với mặt phẳng (EFGH );

d) Các đường thẳng song song với mặt phẳng (DCGH )

Giải

a) Các cạnh song song với cạnh AD BC FG EH , , b) Cạnh song song với cạnh AB EF

c) Các đường thẳng song song với mặt phẳng (EFGH ) AB BC CD DA , , , d) Các đường thẳng song song với mặt phẳng (DCGH ) AE BF ,

C LUYỆN TẬP

1 (Dạng 1) Một lều trại có dạng hình lăng trụ đứng đáy tam giác, thể tích phần khơng gian bên 2,16m3 Biết chiều dài CC lều 2, 4m , ' chiều rộng BC lều 1, m Tính chiều cao

(157)

lăng trụ đứng, đáy hình thang cân, biết

' , , ,

AA  m AB m CD cm DH  m

3 (Dạng 1) Một nhà kho có dạng hình lăng trụ đứng, đáy hình thang vuông Chiều cao lăng

trụ đứng (là chiều rộng nhà kho) m Các cạnh đáy hình thang vng

dài 3m 4m Tính thể tích nhà kho

4 (Dạng 1) Hình lăng trụ đứng ABC A B C có chiều cao , ' ' ' m đáy tam giác vuông

tại A AB2 m Tính AC , biết thể tích hình lăng trụ 15m 3

5 (Dạng 1) Một hình lăng trụ đứng có đáy hình thang cân mà đáy lớn 6cm, đáy

nhỏ 4cm cạnh bên , 2cm, góc đáy 60 Biết thể tích hình lăng trụ

2

25 3cm , tính chiều cao hình lăng trụ

6 (Dạng 1) Một khối gỗ hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' ' cạnh a bị cưa thành hai

nhát theo mặt phẳng ANN A ' ' CMM C đó' ', M N M N theo thứ tự , , ', ' trung điểm AD BC A D B C Tính thể tích hình lăng trụ tạo , , ' ', ' ' thành sau cưa

Mỗi hình lăng trụ tạo thành sau cưa

7 (Dạng 2) Cho hình lăng trị đứng ABC A B C ' ' ' có AB3cm AC, 4cm,

5 . BC cm

a) Tìm cạnh vng góc với cạnh AB.

(158)

LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TỐN SĐT VÀ ZALO: 039.373.2038 157

§ HÌNH CHĨP ĐỀU VÀ HÌNH CHĨP CỤT ĐỀU

1 Hình chóp

Hình chóp có mặt đáy đa giác mặt bên tam giác có chung đỉnh

Trên hình bên ta có hình chóp

,  (ABCD)

S ABCD SH mp , SH đường cao

hình chóp

2 Hình chóp

Hình chóp hình chóp có mặt đáy đa giác đều, mặt bên tam giác cân có chung đỉnh (là đình hình chóp) Trên hình bên ta có hình chóp lục giác ,SH

là đường cao, H tâm đường tròn qua đỉnh lục giác ABCDEF Đường cao SK của mặt bên gọi trung đoạn hình chóp

3 Hình chóp cụt

Cắt hình chóp mặt phẳng song song với đáy, phần hình chóp nằm mặt phẳng mặt phẳng đáy hình chóp gọi hình chóp cụt

Trong hình chóp cụt đều, mặt bên hình thang cân

Dạng TÍNH SỐ MẶT, SỐ ĐỈNH, SỐ CẠNH CỦA HÌNH CHĨP

Vẽ hình, quan sát để xác định mặt, đỉnh, cạnh

Quan sát hình 120 SGK, điền cụm từ số thích hợp vào trống bảng sau, biết hình cho hình chóp

Hình 120 SGK

H

A D

S

B

C

F

H E

C B

D A

S

K

B' C'

H

C D

A B

(159)

đều đều

Đáy Tam giác

Mặt bên Tam giác cân

Số cạnh đáy

Số cạnh 10

Số mặt

Giải

Bảng điền đầy đủ sau:

Chóp tam giác

Chóp tứ giác

Chóp ngũ giác

Chóp lục giác Đáy Tam giác Hình vng Ngũ giác Lục giác Mặt bên Tam giác cân Tam giác cân Tam giác cân Tam giác cân

Số cạnh bên

Số cạnh 10 12

Số mặt

Dạng NHẬN DẠNG HÌNH CHĨP ĐỀU TÍNH CHẤT HÌNH CHÓP ĐỀU

Sử dụng định nghĩa hình chóp

Ví dụ (Bài 37 SGK)

Hãy xét đúng, sai phát biểu sau:

a) Hình chóp có đáy hình thoi chân đường cao trùng với giao điểm hai đường chéo đáy

b) Hình chóp có đáy hình chữ nhật cân đường cao trùng với giao điểm hai đường chéo đáy

Giải

a) Sai Đáy hình chóp nói phải hình vng

(160)

Dạng VẼ HÌNH CHĨP ĐỀU GẤP HÌNH ĐỂ TẠO THÀNH HÌNH CHĨP ĐỀU

Để vẽ hình chóp đều, ta thường vẽ theo thứ tự: - Vẽ đáy hình chóp

- Vẽ tâm đường tròn qua đỉnh đáy(nếu đáy tam giác tâm đường giao điểm hai đường chéo)

- Vẽ đường cao hình chóp (chân đường cao tâm đáy) - Vẽ cạnh bên

Trong bìa hình 121 SGK, em gấp lại tâm bìa có hình chóp đều?

a) b) c) d)

Hình 121 SGK

Giải

Các hình hình b c gấp lại hình chóp ,

Dạng CHỨNG MINH CÁC QUAN HỆ BẰNG NHAU, SONG SONG, VNG GĨC TRONG HÌNH CHĨP

Sử dụng định nghĩa hình chóp dấu hiệu phân biệt quan hệ nhau, song song, vng góc

Ví dụ Cho hình chóp S ABC Điển E thuộc cạnh SA cho ,

3



SE SA điểm F

thuộc cạnh BA cho



BF BA Điểm G thuộc cạnh BC cho

2



BG BC, điểm H thuộc cạnh SC cho

3



SH SC Các khẳng định

sau hay sai?

a) EF song song với GH?

(161)

d) AC song song với mặt phẳng EFGH?

Giải

a) Xét SAB :

1

/ /

    

 

SE BF

EF SB

SA BA

(Định lí Ta- lét đảo) Xét SBC :

2

/ /

    

 

BG SH

GH SB

BC SC

(Định lí Ta – lét đảo)

Suy EF/ /GH Khẳng định a)

b) EF không nằm mp SBC EF , / /SB, nên EF/ /mp(SBC) Khẳng định b)

c) GH không nằm trongmp ABC GH  / /SB nên GH/ /mp(SAB) Khẳng định c)

d) Trong mp SAC , gọi I giao điểm EH AC Điểm I thuộc đường

thẳng AC thuộc mp EFGH . Vậy AC không song song với mp EFGH 

.Khẳng định d) sai

Chú ý: Ba điểm F G I thẳng hàng điểm thuộc hai mặt phẳng , , EFGH

và ABC nên chúng thuộc giao điểm tuyến hai mặt phẳng

C LUYỆN TẬP

1 (Dạng 1) Một hình chóp có đáy đa giác n cạnh Tính số đỉnh, số mặt, số cạnh

hình chóp

2 (Dạng 2) Điền vào chỗ trống:

a) Hình chóp tam giác có đáy là…., chân đường cao trùng với… đáy

b) Hình chóp tứ giác có đáy là…., chân đường cao trùng với … đáy

3 (Dạng 3) Hồng thành hình biểu diễn hình chóp hình đáy

I G

F

A C

B S

E

(162)

4 (Dạng 3) Trong bìa hình dưới, bìa gấp lại thành hình chóp đều?

a) b)

c)

d) e) g)

5 (Dạng 4) Cho hình chóp S ABC Gọi ,D E theo thứ tự tâm tam

giác ABC SBC Chứng minh

a) DE song song với mặt phẳng SAB

b) DE song song với mặt phẳng SAC

6 (Dạng 4) Cho hình chóp S ABCD , ABCD hình bình hành Gọi M N , theo thứ tự trung điểm SA SD Tứ giác MNCB hình gì? ,

7 (Dạng 4) Cho hình chóp S ABC có SABC.SB AC.SC AB Gọi G trung điểm SC H trung điểm AB Chứng minh rằng: ,

a) SH CH ;

b) HGSC ;

H

D C

B A

H

A C

B

H

F E

A

B C

(163)

8 (Dạng 4) Cho hình chóp S ABC có SASBSC, ASB 90 , BSC60 ,0

0

120

ASC Gọi M trung điểm AC Chứng minh rằng:

a) Tam giácABC tam giác vng

b) SM vng góc với mặt phẳng ABC

§8 DIỆN TÍCH XUNG QUANH CỦA HÌNH CHĨP ĐỀU

- Diện tích xung quanh hình chóp tích nửa chu vi đáy với trung đoạn :

 xp

S p d

(p nửa chu vi đáy : d trung đoạn hình chóp đều)

- Diện tích tồn phần hình chóp tổng diên tích xung quanh diện tích đáy

Dạng TÍNH DIỆN TÍCH XUNG QUANH, DIỆN TÍCH TỒN PHẦN, TÍNH MỘT YẾU TỐ CỦA HÌNH CHĨP ĐỀU

Phƣớng pháp giải

Áp dụng cơng thức tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần

Một hình chóp tứ giác có độ dài cạnh bên 25cm, đáy hình vng

ABCD cạnh 30cm Tính diện tích tồn phần hình chóp Giải

Tính trung đoạn SM tam giác vuông SMC 20



SM cm

Diện tích xung quanh : 60.20 1200(cm ). Diện tích đáy : 30.30900(cm ).2

Diên tích tồn phần : 1200 900 2100(cm ).2

Ví dụ (Bài 41 SGK)

Vẽ, cắt gấp miếng bìa hình 125SGK để hình chóp tứ giác

a) Trong hình 125a, có tam giác cân ?

b) Sử dụng Định lí Py – ta – go để tính chiều cao ứng với đáy tam giác

25

M H

D C

B A

(164)

nhiêu ?

a)

b) c)

Hình 125 SGK

Giải

a) Có bốn tam giác cân

b) Chiều cao ứng với đáy tam giác(là trung đoạn hình chóp) bằng:

2

10 2.5  93, 759, 68(cm)

c) Diện tích xung quanh: 10.9, 6896,8(cm ).2

Diện tích đáy: 5.525(cm)

Diện tích tồn phần:

96,8 25 121,8(cm ). 

Tính độ dài đường cao hình chóp tứ giác với kích thước cho hình 125 SGK

Giải

2 2 2

5 50

AC AB BC   

2 50

12,5

2

AC

HC   

2 2

10 12,5 87,5

SH SC HC   

9,35

SH  cm

Ví dụ (Bài 43 SGK)

Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình chóp tứ giác sau (H.126 SGK)

10 10

5 5

H

A B

D C

(165)

Hình 126 SGK

Giải

a) Diện tích xung quanh: 20.20400(cm2)

Diện tích đáy: 20.20400(cm2)

Diện tích tồn phần: 400 400 800(cm2) b) Diện tích xung quanh: 14.12 168( cm2)

Diện tích đáy:

7.749(cm )

168 49 217(cm )

c) Trung đoạn 2

17 15( )

SI    cm

Diện tích xung quanh:

32.15480(cm ) Diện tích đáy: 16.16256(cm2)

Diện tích tồn phần: 480 256 736(cm2)

Dạng 2: TÍNH DIỆN TÍCH XUNG QUANH CỦA HÌNH CHĨP CỤT ĐỀU

Trước hết tính diện tiscch mặt bên( mặt bên hình thang cân), sau tính tổng diện tích mặt xung quanh

Ví dụ (Bài 50b SGK)

Tính diện tích xung quanh hình chóp cụt hình 137 SGK

Giải

Diện tích mặt bên:

2

(4 2).3,5

10,5( )

2 cm





Diện tích xung quanh:

10,5.442(cm2)

C LUYỆN TẬP

1 (Dạng 1) Tính diện tích xung quanh hình chóp tứ giác có chiều cao 3cm, độ dài cạnh đáy 8cm

H D

C

(166)

các cạnh bên a

3 (Dạng 1) Tính diện tích xung quanh hình chóp tam giác có cạnh đáy a, mặt bên tam giác vng

4 (Dạng 1) Tính diện tích tồn phần hình chóp tam giác có chiều cao 2a, độ dài cạnh đáy a

5 (Dạng 2) Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình chóp cụt tứ giác có cạnh đáy 10cm 20cm, đường cao mặt bên 13cm

6 (Dạng 2) Một hình chóp cụt tứ giác có cạnh đáy a 2a, diện tích xung quanh tổng diện tích hai đáy Tính chiều cao hình chóp cụt

Bài THỂ TÍCH CỦA HÌNH CHĨP ĐỀU

Thể tích hình chóp

3 diện tích đáy nhân với chiều cao

V  S h

(S diện tích đáy, h chiều cao)

Dạng TÍNH THỂ TÍCH, TÍNH MỘT YẾU TỐ CỦA HÌNH CHĨP TỨ GIÁC ĐỀU

Chú ý đáy hình chóp tứ giác hình vng Nếu cạnh hình vng a diện tích hình vng a 2

Hình 129 SGK lều trại hè học sinh kèm theo kích thước a) Thể tích khơng khí bên lều bao nhiêu?

b) Xác định số vải bạt cần thiết để dụng lều( khơng tính đến đường viền, nếp gấp…biết 52, 24)

Giải

a) 1.2 22 8( 3)

3 3

V  S h  m

b) Số vải bạt cần thiết để dựng lều có diện tích diện tích xung quanh hình chóp pd, p4 ,m d  5m ( học sinh tự tính), tức

2

(167)

Tính thể tích hình chóp ( H 136SGK) Giải

2

1

.5 6.12 169(cm )

3

V  S h 

Dạng TÍNH THỂ TÍCH, TÍNH MỘT YẾU TỐ CỦA HÌNH CHĨP TAM GIÁC ĐỀU, LỤC GIÁC ĐỀU

Để tính diện tích tam giác cạnh a, trước hết ta tính đường cao(

2

a ), sau

tính diện tích (

2

3

a

) Diện tích lục giác cạnh a lần diện tích tam giác

đều cạnh a

Tính thể tích hình chóp đây( H.130, H.131 SGK)

Đường cao AO12cm

10 ( 75 8, 66)

BC cm 

Hình 130 SGK

Đường cao AO16, 2cm

8 ( 48 6,93)

BC cm 

Hình 131 SGK

Giải

a) Gọi M trung điểm BC Ta có:

2 2 2

10 75 75 8, 66( )

DM DC MC    DM   cm

2

10.8, 66

43,3( )

2

BCD

BC DM

S    cm

3

1

43.3.12 173, 2( )

3

V  S h  cm

b) 2

8 48 48 6,93( )

DM    DM   cm

H

A B

D C

S

B D

C A

M O

A

B D

C

(168)

2

3

1

27, 72.16, 149, 69( )

3

V  S h  cm

S MNOPQR hình chóp lục giác (H 132 SGK)

Bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy( đường tròn tâm H, qua sáu

đỉnh đáy)

12

HM cm (H.133

SGK), chiều cao

35

SH  cm Hãy tính: a) Diện tích đáy thể tích hình chóp( biết

10810,39)

b) Độ dài cạnh bên SM diện tích tồn phần hình chóp(biết

133336,51)

Giải

a) 2 2

12 108 108 10,39( )

HK HM KM    HK  cm

2

1

6.10.39 62,34( )

HMN

S  MN HK  cm

Diện tích lục giác đáy: 62,34.6374, 04(cm2)

Thể tích hình chóp: 1.374, 04.35 4363,8( 3)

3  cm

b) SM2 SH2MH2 352122 1369SM 37(cm)

2 2

1369 1333 36,51( )

SK SM MK    SK cm

Diện tích xung quanh: 12.6.36,51 876, 24( 2)

2  cm

Diện tích tồn phần: 876, 24 374, 04 1250, 28(  cm2) C LUYỆN TẬP

1 (Dạng 1) Một hình chóp tứ giác tích 98cm , chiều cao 6cm Tính độ dài 3 cạnh đáy

2 (Dạng 1) Tính thể tích hình chóp tứ giác có chiều cao 6cm, cạnh bên 13cm

3 (Dạng 1) Tính thể tích hình chóp tứ giác có cạnh đáy 12cm, trung đoạn 10cm

4 (Dạng 1) Tính thể tích hình chóp tứ giác có cạnh đáy a, cạnh bên a

5 (Dạng 2) Tính thể tích hình chóp tam giác có tất cạnh 6cm

S

N O

M

R Q

P H

N

M

R Q

(169)

bằng 15cm

ÔN TẬP CHƢƠNG IV A BÀI TẬP ÔN TRONG SGK

51 Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình lăng trụ đứng có chiều cao h đáy là:

a) Hình vng cạnh a;

b) Tam giác cạnh a;

c) Lục giác cạnh a;

d) Hình thang cân, đáy lớn 2a, cạnh cịn lại a;

e) Hình thoi có hai đường chéo 6a 8a

Hƣớng dẫn

Câu Chu đáy vi Sxq

Diện tích

một đáy Stp V

a) 4a 4ah

a 4ah2a2 a 2

b) 3a 3ah

2

3

a

3

2

a ah

2

3

a h

c) 6a 6ah

2

3

a

6ah3a

2

3

2

a h

d) 5a 5ah

2

3

a 3

5

2

a ah

2

3

4

a h

e) 20a 20ah

24a 20ah48a2 24a h 2

2 Tính diện tích tồn phần gỗ hình 142 SGK (mặt trước, mặt sau gỗ hình thang cân, bốn mặt cịn lại hình chữ nhật, cho biết

103,16

Hƣớng dẫn

Chu vi đáy: 3,5.2 16(   cm)

Diện tích xung quanh: 16.11,5 184( cm2)

Nửa hiệu hai đáy: (6 3) : 1,5(cm) 

(170)

2

184 14, 22.2 212, 44(cm )

53 Thùng chứa xe hình 143 SGK có dạng lăng trụ đứng tam giác, kích thước

cho hình Hỏi dung tích thùng chứa bao nhiêu?

Hƣớng dẫn

Diện tích đáy:

2

80.50

2000( )

2  cm

Dung tích thùng:

3

2000.60 120000( cm ) 120( dm )

54 Người ta muốn đổ bê tông dày

3cm, bề mặt bê tơng có kích thước hình 144 SGK

a) Số bê tơng cần phải có bao nhiêu? b) Cần phải có chuyến xe đề chở số bê tông cần thiết đến chỗ đổ bê tông, , xe chứa 0, 06m ? 3 (Khơng tính số bê tơng dư thừa rơi vãi)

Hƣớng dẫn

a) Gọi đáy đa giác ABCDE Ta có: GD5,10 3, 60 1,50 (m), 

E 4, 20 2,15 2, 05( ),

G    m

2 D

1

S 1,50.2, 05 1,5375( ),

G E   m

2

SABCG5, 01.4, 2021, 42(m )

Diện tích đáy 21, 42 1,54 19,88   m2

Thể tích bê tơng: 19,88.0, 03 0,5964 0, 6 m3 b) Số chuyến xe để chở: 0, : 0, 06 10 (chuyến)

55 A B C D, , , đỉnh hình hộp chữ nhật Hãy quan sát hình 145 SGK

điền số thích hợp vào trống bảng sau:

21,5m

3,60m

4,20m

(171)

1 2

2

2 11

12 20 25

Giải

Áp dụng công thức AB2BC2CD2 AD

Dòng 1: AD2  12 22 22 9 AD3

Dòng 2: CD272  22 32 36CD6

Dòng 3: BC2112 22 9236BC6

Dòng 4: AB2 25212220281AB9

56 Một lều trại hè có dạng lăng trụ

đứng tam giác (với kích thước hình 146 SGK)

a) Tính thể thức khoảng khơng bên lều

b) Số vải bạt cần phải có để dựng lều bao nhiêu? (Khơng tính mép nếp gấp lều)

Hướng dẫn

a) Diện tích đáy: 3, 2.1, 1,92 2

2  m

Thể tích lều: 1,92.59, 6(m2)

b) Số vải bạt cần có để dựng lều: 5.2.2 1,92.2 23,84 m2

57 Tính thể tích hình chóp đều, hình chóp cụt sau (H.147 H.148 SGK,

(172)

Hướng dẫn

a) DH2 DC2HC2 102 52 100 25 75  DH8,65 cm

 2

D

1

.10.8, 65 43, 25

2

BC

S  BC DH   cm

Thể tích hình chóp (ở hình 147 SGK):

 3

1

.43, 25.20 288,3

3  cm

b) SABCD 202 400 cm2

Thể tích hình chóp lớn: 1.400.30 4000 3

3  cm

 

2

EFGH 10 100

S   cm

Thể tích hình chóp nhỏ: 1.100.15 500 3

3  cm

Thể tích hình chóp cụt (ở hình 148 SGK):

 3

(173)

Người ta đục ba “lỗ vuông” xuyên thủng khối gỗ hình 149 SGK

a) Tìm thể tích khối gỗ cịn lại

b) Tìm tổng diện tích tất mặt (ngồi lẫn trong) khối gỗ

Hướng dẫn

a) Thể tích khối gỗ ban đầu:

 

3

9 729 cm

Khối gỗ lập phương cạnh 9cm gồm 27 khối gỗ nhỏ hình lập phương cạnh 3cm

Tổng cộng có khối gỗ nhỏ bị đục đi, thể tích chúng là:

 

3

3 189 cm

Thể tích khối gỗ cịn lại: 729 189 540 cm3

b) Tổng diện tích mặt khối gỗ ban đầu là: 9.9.6486 cm2

Ta gọi mặt khối gỗ nhỏ mặt nhỏ Sau đục, mặt khối gỗ ban đầu giảm mặt nhỏ bên tăng thêm bốn mặt nhỏ bên trong, tức tăng thêm ba mặt nhỏ

Sau đục, diện tích mặt khối gỗ ban đầu tăng thêm: 3.618 (mặt nhỏ),

có diện tích: 3.3.18 162  cm2

Vậy tổng diện tích mặt khối gỗ sau đục là:

 2

486 162 648 cm

59 Tính thể tích hình cho hình 150 SGK với kích thước kèm theo

(174)

hình hộp chữ nhật hình chóp cụt Thể tích hình hộp chữ nhật là:

 3

3.3.654 m Thể tích hình chóp lớn:

 

2

1

.7,5 7,5 140, 625

3  m

Thể tích hình chóp nhỏ:

 

2

1

.3

3  m

Thể tích hình chóp cụt:

 3

140, 625 131, 625  cm Thể tích phải tìm:

 3

131, 625 54 185, 625  m

1 Cho hình lăng trụ đứng ABCD 'A B C' ' D' có đáy hình thoi

a) Tìm cạnh song song với AB

b) AB song song với mặt phẳng nào?

c) Tìm cạnh vng góc với AC

d) AC vng góc với mặt phẳng nào?

2 Một hình chóp tứ giác có chiều cao 6cm, cạnh đáy 5cm

a) Tính diện tích tồn phần

b) Tính thể tích

3 Một hình chóp cụt tứ giác có cạnh đáy 2cm 4cm, cạnh bên 2cm

a) Tính diện tích xung quanh hình chóp cụt

b) Tính chiều cao hình chóp cụt

4 Cho hình chóp S.ABC Trên cạnh S ,A SB SC lấy theo thứ tự điểm A’, ,

B’, C’ cho ' ' '

SA SB SC

SA  SB  SC 

a) Chứng minh mặt phẳng (A’B’C) song song với mặt phẳng (ABC)

(175)

6cm Tính diện tích xung quanh thể tích hình chóp S.ABC S.A’B’C

ƠN TẬP CUỐI NĂM

1 Dựng hình thang ABCDAB/ / DC  , biết ba cạnh: ADcm C, D4cm BC, 3cm

và đường chéo AC5cm

Hướng dẫn

Dựng ACD biết ba cạnh

D , D ,

A cm C  cm AC cm

- Dựng tia Ax/ /CD

- Dựng cung tâm C bán kính 3cm

cắt Ax B

Bài tốn có hai nghiệm hình

2 Cho hình thang ABCD AB/ /CDcó hai đường chéo cắt O tam giác

ABO tam giác Gọi E F G theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng, , ,

OA OD BC Chứng minh tam giác EFGlà tam giác

Hướng dẫn

AOB

 nên CODcũng đều, AOD BOC(c.g.c) nên ADBC

CFlà đường trung tuyển tam giác COD nênCFOD Trong tam giác vuôngCFB, FGlà đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên

1

FG BC (1)

Tương tự:

2

EG BC (2)

EF đường trung bình AOD nên

1

2

EF  AD BC (3)

Từ (1), (2), (3) suy FGEGEF Vậy

EFG

 tam giác

3 Tam giác ABCcó đường cao BD CE cắt , H Đường vng góc với AB B đường

vng góc với ACtại Ccắt K Tam giác

ABC phải có điều kiện tứ giác BHCKlà: a) Hình thoi ?

b) Hình chữ nhật ?

Hướng dẫn

(176)

a) Hình bình hành BHCK hình thoi khiHM BC

Vì AH BC nên: HM BCA H M, , thẳng hàng AM BC ABC cân tại A

b) Hình bình hình BHCK hình chữ nhật

0

90

BKC

BAC

 

ABC

 vuông A

4 Cho hình bình hành ABCD Các điểm M N theo thứ tự trung điểm , ,

AB CD Gọi E giao điểm ANvà DM K giao điểm , BNvà CM.Hình bình hành ABCD phải có điều kiện để tứ

giác MENK là:a) Hình thoi? b) Hình chữ nhật?

c) Hình vng?

Hướng dẫn:

Trước hết chứng minh MENK hình bình hành, MN//AD EK, //CD

a) Hình bình hành MENKlà hình thoi khi:

  

MN EK AD CDHình bình hành ABCD hình chữ nhật

b) Hình bình hành MENKlà hình chữ nhật khi:

1

90 90

2

        

EMK DMC MN CD AD CD

c) Hình bình hành hình vng ABCD hình chữ nhật

2

CD

AD

5 Trong tam giác ABC, đường trung tuyến AA  BB cắt  G Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác ABG S

Hƣớng dẫn:

3

 

BB BG nên 3

2

  

ABB ABG

S S S

3

2



  

ABC ABB

(177)

sao cho

2



BD

DM Tia AD cắt BC K Tìm tỉ số diện tích tam giác ABK

tam giác ABC

Hƣớng dẫn:

Kẻ ME AK E//  BC

Ta có: 1

2

   

ME BD

BK KE KE DM

//

AK ME nên 1

2

   

KE AM

KE KC KC AC

Vậy ,

4



BK KC tức

5



BK BC

Do

5

 

ABK ABC

S BK

S BC

7 Cho tam giác ABC AB AC Tia phân giác gócA cắt BC K Qua trung điểm M BC kẻ tia song song với KAcắt đường thẳng AB D, cắt AC

ở E Chứng minh BDCE

Hƣớng dẫn:

AK đường phân giác góc A nên:

 

BK CK BA  CA

Vì MD//AKnên:

 

;

BK BM CK CM BA  BD CA  CE

Từ (1) (2) suy raBM CM

BD CE

Do BM CM nên BDCE

8 Trên hình 151 SGK cho ta thấy xác định chiều rộng BB khúc sông cách xét hai tam giác đồng dạng

ABC AB C  Hãy tính BB

100 ,

 

AC m AC 32 ,m AB 34 m

Hướng dẫn:

AB AC ABC AB C

AB AC

 

   

 

∽

   

100

106, 25 34 32

106, 25 34 72, 25

AB

AB m

BB AB AB m

   

(178)

LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN SĐT VÀ ZALO: 039.373.2038 177 12 16 25 A B B' A' C C' D D' 20 24 M O B C D A S

rằng: ABDACBAB2AC.AD. Hướng dẫn:

2

AD

   

   

ABD ACB ABD ACB

AB AD AB AC AC AB ∽ AD AB AD

AB AC ABD ACB

AC AB

ABD ACB

     

 

∽

10 Cho hình hộp chữ nhật ' ' ' '

ABCD.A B C Dcó AB12cm, AD16cm.AA '25cm a) Chứng minh tứ giác ACC A BDD B' ' ' 'là hình chữ nhật

b) Chứng minh : AC'2AB2AD2AA'2

c) Tính diện tích tồn phần thể tích hình hộp chữ nhật Hướng dẫn

a) AA'// CC AA', 'CC'.vì song song với BB' BB' Suy ' '

ACC A hình bình hành

 

'

AA mp ABCD nên '

AA AC Hình bình hành ' '

ACC A có góc vng nên hình chữ nhật Tương tự ' '

BDD Blà hình chữ nhật b) Ta có :

     

'2 '2

2 2

'2 '2

AC AC CC

AC BD AB AD

CC AA

 

  



Từ (1) , (2) (3) suy điều phải chứng minh c) Diện tích xung quanh :    2

12 16 2.25 1400 cm 

Diện tích tồn phần :  2

1400 16.12.2 1784 cm

Thể tích :  3

12.16.254800 cm

11 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy AB20cm, cạnh bên SA24cm

a) Tính chiều cao SOrồi tính thể tích hình chóp b) Tính diện tích tồn phần hình chóp

Hướng dẫn a) OA2OB2  AB22OA2 202OA2 200;

2 2

SO SA OA 24 200 376;

SO 19 cm

    



Thể tích :  3

.20 19 2533 cm

3 

b) Gọi Mlà trung điểm BC

 

2 2 2

SM SB MB 24 10 476; SM 22 cm

    

(179)

 

2

Diện tích tồn phần :  2

880 20 1280 cm

1 Cho tứ giác ABCD , điểm E thuộc cạnh AB Qua Ekẻ đường thẳng song song với AC cắt BC F Qua F kẻ đường thẳng song song với BDcắt CD G Qua G kẻ đường thẳng song song với ACcắt ADở H

a) Xác định dạng tứ giác EFGH

b) Tứ giác ABCD có điều kiện EFGH hình chữ nhật ?

c) Trong trường hợp EFGH hình chữ nhật, tính diện tích tứ giác ABCD , EFGH biết

BE AC 45cm , BD 30cm ,

BA

  

2 Hình thang ABCD có AB // CD , đường cao 12cm AC, BD BD, 15cm a) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt DC E Tính độ dài DE

b) Tính diện tích hình thang ABCD

3 Cho tam giác ABC vuông A AB AC, đường cao AH , M trung điểm BC

Biết BH 7, 2cm HC, 12,8cm Đường vng góc với BC M cắt AC D

a) Chứng minh : 2

AC DC BC

b) Tính diện tích tam giác ABC c) Tính diện tích tam giác DMC

d) Gọi K hình chiếu M AC Tính diện tích tam giác KDM

4 Tính số mặt  M , số đỉnh ( Đ), số cạnh  C M + Đ – C hình sau : a) Hình hộp chữ nhật

b) Hình lăng trụ đứng có đáy đa giác n cạnh ; c) Hình chóp có đáy đa giác n cạnh ;

d) Hình chóp cụt có đáy đa giác n cạnh

5 Hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có ' ' ' ' AB4cm BC, 3cm AC, ' 13cm Tính diện tích xung quanh thể tích

6 Tính diện tích xung quanh thể tích hình chóp tam giác có chiều cao

(180)

Phần ĐẠI SỐ

Chương III PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Bài 1: MỞ ĐÂU VỀ PHƯƠNG TRÌH

Bài : PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN VÀ CÁCH GIẢI

1 a) Phương trình x2−2x=3có hai nghiệmx= −1 x=3 b) Phương trình y− = − −4 ycó nghiệm

2 =

y

c ) Phương trình

− = −

z

có nghiệm =

z

2 a) Với x= −1: Vế trái ( VT ) ; Vế phải ( VP) b) Với x= −4: VT = 49 ; VP = 49

3 Với x=3; : VT = VP = 6m +

4 a) c) : Hai phương trình tương đương

b) d) : Hai phương trình khơng tương đương

5

a) ; b) c) −

d) ; e) g) 1232 / 555

6 a) 2(x+ = +1) 2x⇔ =2 3: Vô nghiệm b) 1,5( − x)= − ⇔ =3x 0: Vơ nghiệm c) Vì x ≥0với x nên x = −1vô nghiệm

7 Thay x= −3vào ta 9− + = − − ⇔ =m m

8 Tập nghiệm phương trình : = S

BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG ax + b =

1

a) 10 b) −41 / 42 c) 31 / d) −24 /

e) 197 / 11 g) h) / 22 i) Vô nghiệm

2 a) Thực phép tính gạch phân số dài

Chẳng hạn : 3

2 4

+ − − −

− = =

x x x x x

,sau tiếp tục thực thứ tự phép tính Đáp số :

3 x= + +a b c

4 x= + +a b c

5

a) a=5 / b) a=7 / c) a=3 /

6

a) b) / 6− c)1 d)10 / BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH TÍCH :

(181)

{ }

a)S = −2 / 5; b)S = −{ 21; 9;3− }

{ }

c)S = −1;1 ; 3− d)S = −{ }2

( )( )

e) x+2 x−3 =0 g)(x+2)(x−3)=0

( )( )

h) x+4 x−3 =0 ( )( )( )

i) x−1 x+3 x + =1

2 a)(x−1)(x2+5x− −2) (x3− =1)

( ) ( ) ( )

( )( )

2

1

 

⇔ −  + − − + + =

⇔ − − =

x x x x x

x x

( ) ( )( ) ( )( )

b) x − +4 x+2 11x 7− = ⇔0 x+2 12x 9− =0

( ) ( )( )2

3

c) x + −1 x x 1+ = ⇔0 x x 1+ − =0

( ) ( ) ( )( )

3 2

d)x +x + + = ⇔x x x 1+ + x 1+ = ⇔0 x x+ + =1

3

{ }

a)S = 1; b)S = −{ 1;5 / 2} c)S ={5 / 2;1 / 2}

4

a)x=1,x= −2 / b)y= −3;y=8

BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MÂŨ

1

a) x=2 b) x= −2 c) x=25 / d) x= −1

2

{ }

2

a) MTS :x −16;S=

( 4 2 ) ( 2 )2 2

c) MTS :x x +x + =1 x x +1 −x 

( )( )

x x x x x

= + + − + S ={ }3 /

{ }

2

b) MTS :9x −4;S= /

3 a) MTS : x x( − )( −3 ;S) = ∅ b) MTS :x2−4;S= ∅

4

a) x= −1 / b) a= −8 /

5 a) Thay a= −3ta có phương trình : 3 224

3

+ −

− + =

− + −

x x

x x x S = −{ }2

b) S= ∅

c) Thay x=1 / 2ta có phương trình ẩn a Giải a=0,a=1 /

6

(x a) (2x b) x (a 2b x) a b a 2b a

S

a b b

− + + = + ⇔ + − = − +

+ − = = −

 

= ⇔ ⇔

− + = = −

 



7 ĐKXĐ : x≠mvà x≠1

2

+ = + ⇔ = − +

− −

x x

mx m x m x

(182)

Phương trình có nghiệm :

0

1 2

1

 ≠ ≠

  −

 ≠ ⇔ ≠

 

  ≠ −

 −

 ≠



m m

m

m m

m

8 m=1;m=3

BÀI 6,7 : GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH :

1 30 90

2 30 60

3 12 / 25

4 30 18

5 8,12, 5, 20

6 Gọi xkm/h vận tốc ô tô (x>0) Ta có phương trình : 20( 10)

2

−

= x

x

Giải phương trình : x=40 Quãng đường AB :100km

7 Gọi xkm/h vận tốc ô tô lúc đầu (x>0) Sau 1h người : xkm

Vận tốc sau tăng : 1, 2x km / h( )

Đoạn đường lại 120 x− , người thời gian : 11 2− = − =4 4 Ta có phương trình : 120 x 1, 2x.5 x 48

4

− = ⇔ =

8 giờ 36 phút 9 150km

10 Gọi khoảng cách AB x(km) Thời gian dự định ô tô trước y ( ) Ta có :

62 55

124

124 3

55 27, 62  + =

 

 −

 −

+ = +

 

x x

y

x x

x y

Giải ta : x=514(km)

11 712(l h/ )

12 Gọi x( giờ) thời gian vòi thứ chảy đẩy bể Phương trình : 1 3

2 10

 

+  − =

 

x x

Đáp số : x=5 10

13 Gọi xlà số năm kể từ ‘ trước ‘ đến lúc An hỏi Bình Tổng số tuổi cha mẹ Bình lúc :104 2+ x

Tổng số tuổi ba anh em Bình lúc : 14 10 3+ + + x

(183)

Tổng số tuổi cha mẹ Bình : 104 22 126+ = Cha mẹ bốn tuổi nên tuổi mẹ : 126 61

2 −

= ( tuổi) Cha : 65( tuổi)

BÀI TẬP ÔN TẬP BỔ SUNG CHƯƠNG III

1 x4 + +x3 3x2+2x+ = ⇔2 (x4+ +x3 x2) (+ 2x2+2x+2)=0

( ) ( )

( )( )

2 2

2

1

⇔ + + + + + =

⇔ + + + =

x x x x x

x x x

Vô nghiệm

2

1

2

 

+ + = +  + > ∀

 

x x x x

b) Nhóm phân thức mẫu , phương trình trở thành : 2x+3=2x+1 Điều kiện : x≠ −3 / x≠ −1 /

Nghiệm phương trình :x=1 /

2.

1 <   ≠ − 

m m

3.x=4

4 a= −1

5 Vận tốc người thứ : 6600 110

60 = (m/ph)

Vận tốc người thứ hai : 7200 120

60 = (m/ph)

Gọi thời gian phải tìm x( tính phút ), ta có phương trình : 110x+120(x−3)=7000

Giải ta :x=32

Vậy sau 32phút họ gặp

6 Gọi xlà chữ số hàng chục ( xnguyên dương nhỏ 10) Chữ số hàng đơn vị 3x

Ta có phương trình : (10.3x+x) (− 10x+3x)=54⇔ =x

7 40 phút

8 Gọi chữ số hàng chục : x(0< ≤x ,x∈ )

Chữ số hàng đơn vị : 7−x, 7− ≥x hay 7≥ x Sô cho : 10x+ −7 x

Khi xen chữ số vào hai chữ số số cho ta số : 100x+ −7 x

Vì số lớn số cho nên có phương trình :100x+ − −7 x (10x+ −7 x)=180

Giải phương trình ta : x=2 Số cho : 25

Gọi x(km/h) vận tốc cano xi dịng (x>12)

(184)

Vận tốc Thời gian

Xi dịng x 36

x

Ngược dòng x−12 36

12

x−

Ta có phương trình: 36 36 12

x + x− =

Đáp số: x=24

Chương IV BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN BÀI LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG BÀI LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN

1 a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai

2 a) a− <1 a; −2b< − +2b b) 2a<2b+1; −3a> − −3b

3 a) a2 > − < 0; a2 b) a2+ > − − < 1 0; a2

4 a) 2

;

a <ab ab<b b) 2 3

;

a <b a <b

5 1 a b 1

b a ab b a

−

− = > ⇒ >

6 a) a b a c b c a c b d

c d c b d b

< ⇒ + < + 

⇒ + < + 

< ⇒ + < + 

b) a b ac bc ac bd

c d bc bd

< ⇒ < 

⇒ < 

< ⇒ < 

7 a) (x+y)2 ≤2(x2+y2)⇔ ≤0 (x−y)2

b) x2+y2+ + ≥z2 2(x+ +y z) (⇔ x−1) (2+ y−1) (2+ −z )2

c)

2 2

3

x +y +z x+ +y z

≥  

2 2

2x 2y 2z 2xy 2yz 2zx

⇔ + + − − − ≥

( ) (2 ) (2 )2

0

x y y z z x

⇔ − + − + − ≥

8 (1+a)(1+ = + + +b) a b ab> + + 1 a b

9

a)

(2k 2)(1 k 1) 12 2k1 2k1

 

=  − 

− +  − + 

b) 12 42 24 1

4 2

k k k k k

 

= < <  − 

−  − + 

c) ( )( ) ( )

2 2

2

2 2

3 99

1 99 1

2 100 100 200 225

− − −

 ⋅ ⋅⋅⋅  > = >

 

 

(185)

2 2

2 4⋅ ⋅⋅⋅100 = ⋅4 ⋅⋅⋅ 100 ⋅1001<101< 200

 

 

10 Giả sử x y, >0 x+ =y k ( khơng đổi)

Ta có: ( ) ( )

2 2

4

k x−y + xy= x+y =k ⇒xy≤

( )( )

1

2 2 ;

2

A= − x x− maxA=

11 a) B x 4;

x

= + + ≥ minB x x

x

= ⇔ = ⇔ =

b) 1 3;

1

C x x

= − + + ≥

− minC = ⇔ =3 x

12 ( )

2

4

1

x

x x x

D x x + + + − − = = − ≥ − + + ( ) ( ) ( ) 2 2

4 4 2 1

4

1

x x x x

D

x x

+ − − + −

= = − ≤

+ +

minD= − maxD=4.1,

BÀI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

1 x= −1là nghiệm bất phương trìnhb), khơng nghiệm a c d), ), )

2 Học sinh tự vẽ

3 a) {− − −3; 2; 1; 0;1; 2;3 ;} b) {− − −8; 9; 10;10;9;8 ;} c) {− −2; 1; 0;1; ;} d) {−10; 9;9;10 − }

4 a) 2x+ >3 18: x=8; x=9. b) 3− x≤10: x=0; x=1

5 a)

2

1 ;

2

x + + =x x+  +

  b)

2

2 3

3

2

x x x 

− + − = − −  −

 

6 a) VT =(x−3)2+ > với x 6 b) x2 <0. Vơ lí

BÀI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

1 a) 7;

3

x≤ b) 18;

5

x> − c) 9;

x> d) 11

3

x≤ −

2 a) ;

2

a

x≥ b) 1;

5

a

x≤ + c) 1; a x a + < − − d) a x a + ≤ + 3

a) Vì a2+ >1 nên 12 a x a − < +

b) Vì a2−2a+ =2 (a−1)2+ > nên 22

2 a x a a + ≥ − +

c) Vì 2a a− 2− = − −2 (a 1)2− < nên 2

2

x

a a

≥

− +

4 a) x=1; 2;3; 4;5 b) x= − − −3; 2;

(186)

5 m=3

BÀI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

1 Học sinh tự làm Ví dụ trang 76 2 Học sinh tự làm Ví dụ trang 77 3 Học sinh tự làm Ví dụ trang 78

BÀI TẬP ƠN BỔ SUNG CHƯƠNG IV

1 a) Ta có : ax 4+ >2x a+ ⇔(a−2)x>a2− Nếu a> x> + a

Nếu a< x< + a

Nếu a= bất phương trình vơ nghiệm b) Vì a>1nên a− >1 a+ >1 Do đó:

( )( ) ( )( )

ax ax

ax 1 ax 1

1 a a

a a

+ −

> ⇔ + + > − −

− +

2ax 2a x ⇔ > − ⇔ > −

2 − < ≤2 x

3 a) a>1 :

( 1)

x a a

< −

0≠ <a :

( 1)

x a a

> −

1

a= : Bất phương trình nghiệm với x

b) a> −2 (a≠ : 0)

( 2)

x a a

> +

2

a< − :

( 2)

x a a

< +

2

a= − : Bất phương trình nghiệm với x

c) a > : 82

a x

a

> −

1

a < : 82

a x

a

< −

1

a= − : Bất phương trình nghiệm với x

1

a= : Bất phương trình vơ nghiệm 4 m=

5 m=

6 m=

7 Học sinh tự làm 8 Học sinh tự làm

9 Hướng dẫn: áp dụng tính chất x ≤ ⇔ − ≤ ≤ Đáp số: a a x a

m=

10 Hướng dẫn: c) Đặt a1 x1 1; ;an xn

n n

= + = +

11 Học sinh tự làm

(187)

13 Học sinh tự làm 14 Học sinh tự làm

BÀI TẬP BỔ SUNG CUỐI NĂM

1 A=(x+y)(x+4y) (   x+3y)(x+2y)+y4

( 2)( 2)

4 yx

x + xy+ + y x + xy+ xy+ y + y

( 2)( 2)

5

x xy y x xy y y

= + + + + +

( 2) ( 2)

5 5

x xy y y x xy y y y

   

= + + −   + + + +

( 2 2)2 4 4 ( 2 2)2

5 5

x xy y y y x xy y

= + + − + = + +

2 Giả sử 11số không âm là: a a1, 2, , ,a 11 Theo đề ta có:

( )2

1 11 ;

a = a + + +a a ( )1

( )2

2 11

a = a + + +a a ( )2

Lấy ( )1 trừ ( )2 ta có :

( ) ( )2

1 2 11 2 11 a −a = a + + +a a − a + + +a a

(a2 a1)(a1 a2 2a3 2a11)

= − + + + +

Suy : (a1−a2)(1+ + +a1 a2 2a3+ 2a11)= Vì : 1+ +a1 a2+2a3+ 2a11≥ nên a1=a2 Tương tự, ta có : a1 =a2 =a3 = = a11= a

Thay vào ( )1 được: ( )2

0

10 1

100

a

a a

a

=  

= ⇒

 = 

Vậy : a1=a2 = = a11= ho0 ặc 1 2 11 100

a =a = =a =

3 Từ ( )1 suy a2 = − − ≤ ⇒1 b2 c2 a ≤ ⇒ − ≤ ≤ 1 a Tương tự: − ≤1 a b c, , ≤1

Lấy ( )1 trừ ( )2 : a2(1− +a) b2(1− +b) c2(1− = c)

Vì a2(1− ≥a) 0,b2(1− ≥b) 0, c2(1− ≥ nên từ c) ( )3 suy ra: Suy ba số a b c, , hoặc

Từ ( )1 suy ba số a b c, , có số số hai số lại ,

2

1

a+b +c = (đpcm)

4 Ta có:

( )2 ( )

2

1 1 1 1

2 2

1 k k k k k k

k k

 

= < ⋅ =  − 

+ + +  + 

+ +

Với k = : 1 1 13 2

 

<  − 

 

(188)

25 3 4

…

Với k =n:

( )2

2

1 1

2

1 n

n n

 

<  −  +

 

+ +

Do đó:

( )2

2

1 1 1 1 1 1

5 13 25 n n 1 2 3 n n

 

+ + + + < +  − + − + −  +

 

+ +

1 1 2 n

 

< +  −  +

 

1 20 < + =

5 Vì x y z, , ∈Z nên từ giả thiết suy ra:

2 2

3 2 3 1

x + + − − − + ≤ −y z xy y z

( )

2

2 3 1 2 1 0.

4

y y

x xy y z z

    ⇔ − + +  − + + − + ≤     ( ) 2

3 1

2 y y x z     ⇔ −  +  −  + − ≤     Vì 0; y x  −  ≥    

3 0; y  −  ≥     ( )

z− ≥ nên ta phải có:

1 2

y y

x− = − = − =z hay x=1,y=2,z =1

6 Trước hết ta chứng minh: Với a b< < a a c(c )

b b c

+ < >

+

Thật : a a c a b( c) b a( c) ab ac ab bc b b c

+

< ⇔ + < + ⇔ + < + +

ac<bc⇔ < ( a b c> )

a) Ta có: a a a d ;

a b c d a b c a b c d

+ < <

+ + + + + + + +

;

b b b a

a b c d b c d a b c d

+ < <

+ + + + + + + +

;

c c c a

a b c d c d a a b c d

+ < <

+ + + + + + + +

d d d c

a b c d d a b a b c d

+ < <

+ + + + + + + +

Cộng lại : 1< <A 2do A∉ Z

b) Tương tự a) ta có : 2< < B B∉ Z

7 Giả sử 2005

2 có k chữ số 2005

5 có l chữ số Ta tính k+ l Ta có : 10k−1<22005<10 ;k

1 2005

10l− <5 <10 l

(189)

1 2005 k l ⇒ + − = 2006 k l ⇒ + =

8 Ta có : f x( − =1) a x( −1)3+b x( −1)2+c x( − +1) d Do đó:

( ) ( ) 3 ( )3 2 ( )2 ( )

1 1 1 1

f x − f x− =a x − −x +b x − −x +c x − −x 

( ) ( )

3

a x x b x c

= − + + − +

( )

2

3ax 2b 3a x a b c

= + − + − +

Đồng ( )

3ax + 2b−3a x a b c+ − + =x ta được:

1

3

1

2

2 a a

b a b

a b c

c  =  =    − = ⇔ =    − + =    = 

Vậy : ( )

3

f x = x + x + x+d ( d: tùy ý) Lần lượt cho x=1, 2, 3, ,n cộng lại ta :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 +2 + + +3 n =f − f   + f − f + + f n − f n−1 

( ) ( )0

3

f n f n n n

= − = + +

( )( )

3

1 2

6

n n n

n + n +n + +

= =

9 Ta có :

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2

4

k k+ k+ = k k+ k+  k+ − k− 

( )( )( ) ( ) ( )( )

1

1 1

4 k k k k k k k k

=  + + + − − + + 

Lần lượt cho k=1, 2, ,n cộng lại :

( )( )( )

1

4

N = n n+ n+ n+

Suy : 4N+ =1 n n( +1)(n+2)(n+ +3) ( )( )

3

n n n x

= + + + +

( )2 ( )

2

3

n n n n

= + + + +

( )2

2

3

n n

= + + số phương

10 Giả sử f x( )= +a0 a x a x1 + 2 2+ + a4010x4010 Ta có :

(190)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 4010 4009

0 4010

0 4010 4009

1

= + + + + + + + = +

− = − + − + +

= + + + − + + + = −

a a a a a a m n

f a a a a a

a a a a a a m n

Mà f ( )1 =32005;f ( )− =1 Do ta có :

2005

3  + =  − = 

m n

m n

Suy : 1(32005 1 ;) 1(32005 1)

2

= + = −

m n

2005

3 + 1 4 nên mlà số chẵn , n= −m 1là số lẻ

11 a) Ta có :

x3(x2−7)2−36x=x x 2(x2−7)2−36

 

( ) ( )

x x x 6 x x 6

=  − −   − + 

( )( )

x x 7x x 7x

= − − − +

Mà :

+) x3−7x− =6 x3− −x 6x− =6 x x( 2− −1) x 1( + )

( )( ) ( )( )( )

x x x x x x

= + − − = + − +

+) x3−7x+ =6 x3− −x 6x+ =6 x x( 2− −1) x 1( − )

( )( ) ( )( )( )

x x x x x x

= − + − = − + −

Vậy : ( )2 ( )( )( )( )( )( )

3

x x −7 −36x= x−3 x−2 x 1− x+1 x+2 x+3

b) Theo câu a) : 3( )2

n n −7 −36nlà tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho

2.3.5.7=210

12 Ta có: A=a3+b3+ab=a2+b2 =a2+ −(1 a)2 =2a2−2a 1+

2

1 1 a

2 2

 

=  −  + ≥

 

1

Suy : A a b

2

= = =

13 ( ) ( )

2 2

2

Ta có: A= x ay− +3 + x 4y− +1 ≥0

x ay Suy : A

x 4y

− + =



=  − + =



14 Giả sử ab≥0; a b c+ + = Suy ra:

( )

2 2

2

a + + = −b c ab bc ca+ +

Ta chứng minh: ab bc ca+ + > − ⇔1 (ab+ +1) (c a b+ >)

(191)

15 Ta có:

( )( ) ( ) ( )

2 12

M = x − x y + y + x − x+ + y + y+ −

( )2 ( )2 ( )2 ( )2

1 1 3 9 12 1 3 3 3

x y x y

   

= − −   + − + − + + −

( ) (2 )2 ( )2 ( )2

1 3 6

x y x y

= − + + − + + + ≥

Suy ra: minM = x=1, y= −3

16 Dùng biến đổi tương đương chứng minh bất đẳng thức:

( )2

2

x +y ≥ x+y

Từ suy ra: 4 1( 2)2 ( )2 1( )4

2

a +b ≥ a +b ≥  a+b = a+b

Hay 4

2

a +b ≥

17 Xét hiệu y x− = +(a c b d)( + ) (− +a b c d)( + ) (= −a d b c)( − >)

Suy x< y

( )( )

z− = −y a b c d− > ⇒ <y z

Vậy x< <y z

18 Ta có bất đẳng thức: 4ab≤(a b+ )2 Do đó:

( )( ) ( ) (2 )2

4 1−x 1−z ≤ 2− −x z = +1 y ( x+ + =y z 1)

Vì 1− ≥y nên:

( )( )( ) ( 2)( ) ( ) (2 )

4 1−x 1−y 1−z ≤ +1 y 1−y = −1 y 1+y ≤ + = +1 y x 2y+z

19 Ta có 100 ( )10 10 10 10 30

2 = =1024 >1000 >10 Mặt khác:

( )7

100 91 13 7 28 31

2 =2 =2 =512.8192 <1000.10000 =10 10 =10

Suy ra: 30 100 31

10 <2 <10 Vậy 100

2 có 31 chữ số

20 Ta có: ( )( 2) 2

;

A= a+b a −ab b+ +ab=a +b

(192)

2 2

 

21 Ta có (xy)24xy   4 |x y| 2; |xy|2, lúc đó:

2

x  y Thay y 2 x y  2 x vào A ta có Ai 9 A2 17

22 Ta có: (1)   x5 1 (x4   x3 x2 1) 0

4

(x 2)(x x x x 1) 0

      

2 2

2

( 2)

2 2

x x x

x x

    

    

         

 

 

2

x

 

Có thể sử dụng biến đổi:

4 3

1 ( 1) ( 1)

x     x x x x x   x x

2 2

(x 1) (x x 1) x 0, x

      

23 Ta có:

2

1 ( 1)

1 :

( 2) ( 2) ( 2)

x x x x x

x x x x x x x x

    

   

   

Do đó: (1) 2.2005

3 2006

4

2

3

x x x x



 

 

2( 1) 2005

2 2004

2 2006

x

x x



   



24 Từ phương trình (2) suy |x|1,| y|1

Nếu |x|1 từ (1) suy y0, tương tự x0

Nếu 0  x

x x y3y4 (vơ lí) Vậy x0,y1 x1,y0

25 Ta có:

2

2 ( )

2

x x

ax   bx c a   a b xc

( 1) ( )

x x

a  a b x c

   

(193)

2

Chiều ngược lại

26 x2−y2=169⇔(x−y)(x+ =y) 13.13 1.169=

Phương trình có hai nghiệm (13;0) (85; 84)

27 (1)⇔(2x−5)(y−3)=45

Phân tích 45 thành tích số nguyên dương

Phương trình có nghiệm ngun dương:

(3 ; 48) , (25 ; 4) , (4 ; 18) , (10 ; 6), (5 ; 12) , (7 ; 8)

28 Áp dụng đẳng thức:

x3 y3 z3 3xyz 1(x y z) (x y)2 (y z)2 (z x)2

 

 

 

+ + − = + + − + − + −

29 Giả sử 1≤x≤y≤z

( ) x x

x yz

1 zx

1 xy

1

2 ⇒ ≤ ⇒ =

≤ + + = ⇔

Khi đó: 1+y+ z=yz ⇔ (y-1)(z−1)=2 ⇔ y=2, z=3

Vậy phương trình có nghiệm (1 ; ; 3) hoán vị

30 Giải tương tự Bài 29 ta có nghiệm: (1 ; ; 12) hốn vị

31 Có nghiệm (1 ; ; 2) , (2 ; ; 4) , (3 ; ;6) , (4 ; ; 8)

32 (1)⇔(x−p)(y−p)=p2

33 a) Điều kiện: x≠±1

(1)⇔(x−1)(x−m)= (x+1)(x−2) ⇔ mx= m +2

i) Với m≠ (3) có nghiệm

m m

x = +

Kiểm tra điều kiện:

(194)

m

* m m m

m m

x = + ≠− ⇔ + ≠− ⇔ ≠−

ii) Với m= (3) thành 0x= vô nghiệm

Kết luận:

* m≠ m≠−1;

      + = m m S

* m= m=−1; S=∅ b) Điều kiện: x≠±1

(4) b a 1)x b (a 1) a(x 1) b(x 1) 1)(x (ax (2) + + = − + ⇔ + = − + + − ⇔

i) Với a+b−1≠0 hay a+b=1

1 b a b a x − + + + =

Kiểm tra điều kiện:

* a b a b 1

1 b a b a

x ≠ ⇔ + + ≠ + − ⇔ ≠− −

+ + +

= thỏa mãn

* a b a b a b

1 b a b a

x ≠− ⇔ + + ≠− − + ⇔ + ≠

− +

+ +

=

ii) Với a+b−1=0 hay a+b=1 (4) thành 0x =2 vô nghiệm

Kết luận:

*a+b≠0và a+b=1;

      + + + = -b a b a S

*a+b=0hoặc a+b=1;S=∅

34 Điều kiện x≠mvà x ≠1 (*)

Ta có: (1)⇔(x+2)(x−1)=(x+1)(x-m)⇔mx=2−m

(195)

m

Để (1) có nghiệm (2) phải có nghiệm thỏa mãn điều kiện (*), tức

là m≠ , m m

m

≠ −

và

m m

≠ −

Từ suy m≠0,m≠1 m≠−2 phương trình có nghiệm

35 Phương trình cho viết lại dạng (a+2b−1)x =a−b+2

Phương trình có tập nghiệm ℜ khi:

  

− =

− = ⇔ 

 

− = −

= + ⇔ 

 

= + −

= − +

1

2

b a

(196)

Chương III TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

§1 ĐỊNH LÝ TA – LÉT TRONG TAM GIÁC

1 Cách 1:

3 1 AB MB MA MB = + + = = Suy ra: ; = = AB MB AB MA Cách 2: 1

1 ⇒ =

+ = + ⇒ = AB MA MB MA MA AB MA 2 2

1 ⇒ =

+ = + ⇒ = AB MB MB MA MB MB MA 2

a) Đáp số: CA=8cm,CB=12cm

b) m n m CB AC m n m AC AB AC n m AB AC − = ⇒ − = − ⇒ = 3 Ta có AB CB AB CB CA CB CA 3

2 + = ⇒ =

+ = = AB DB AB DB DA DB DA = ⇒ = − − = = 1 2

Suy AB

3 DB

CB+ = , tức AB

3 CB=

Vậy 3( )

3 : 4 : CD

AB= = = cm

(197)

Gọi Klà giao điểm ACvà EF

Ta có:

2 = ⇒ =

=

FC ED

AE KC AK FC BF

Đáp số: FC=3cm

5

Kẻ DN ⁄⁄BK

Ta có: = =2

ED AE KN AK

4 = =

BC BD KC KN

Suy ra:

2

= =

KC KN KN AK

Tức là:

2 =

KC AK

Chú ý:

- Ta thường kẻ thêm đường thẳng song song với đường thằng cho trước để sử dụng Định lý Ta-lét

- Khi tìm tỉ số, đơi ta cần tính tích hai tỉ số

6 AB/ /CD OA OB OC OD

OA OD OB OC

7 Ta có AECD, AF  BD

AB CB AC BC nên:

1 

    

AE AF CD BD CD BD

AB AC CB BC BC

8 Ta có AD AE  AB

AB AC AF nên:

AB2AD AF

O

D C

B A

F E

D C

B A

F

E D

C B

A

(198)

Ta lại có  A1A nên 2 KE Suy 1



AK AE

b) Ta có:

  

BK AK AE CE

BM DM DM CM

Do BM CM nên BK CE

§2 ĐỊNH LÍ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ TA – LÉT

1 Ta tính AB45cm

Từ

45 20

CE

, ta tính CE18cm

2 Kẻ đường cao AH , ta tính AH 40cm

 

60.40 48 50

 

BD cm

2 2

196 14

    

AD AB BD AD cm

Từ tam giác cân AED ABC, , ta chứng minh

/ /

ED BC nên DE  AD

BC AC , đó:

14 60 50

DE

Từ DE16,8cm Đặt OAx

4 a) Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt MN CD, I K,

1

AI AM

IK  MD  Suy

1

NB

NC 

b) Lần lượt tính: KC 8,DK 9,MI 3,IN 8 Do MN 11cm

5 Kẻ DE AB// , ADE có A2 D1 60 nên tam giác

Đặt AD DE EAx Ta có:

2 1 M K E D C B A 53 20 E D C B A H E D C B A 10 O D C B A

(199)

3

AB CA

Từ x 2

Vậy AD2cm

6 Đặt DE x AE 2 ,x EC  8 2x

Từ 42(82 )x  x 11, ta x  Đáp số: Chu vi ADE 15cm

7 Gọi K trung điểm BC Ta có MK AC// nên:

1

5

3

5

AC

IM MK

IN NC

AC

  

8 Gọi I giao điểm AC EF

Ta có 2

5

EI AE EI CD

DC  AD   

3

5

IF CI DE

IF AB

AB CA  DA   

a) Nếu AB 10,CD 30 2.30 3.10 18( )

5

EF    cm

b) Nếu AB a CD, b 3

5 5

b a

EF  b a  

9 Lần lượt chứng minh: MK AK BN IN

DC  AC  BC  DC

Suy MK IN, MI KN

10 AE OE EB

DF OF  FC

Do DF FC nên AE EB

Vậy E trung điểm AB

4 x

E

B C

A

D

I

M

K

B C

A

N

I F

D

B A

C E

K I

O

N

A B

D C

M

E

F O

A B

(200)

2

MC CD

1

AM AC

 

Tương tự:

3

CN

AC 

Do AM MN NC

12 a) Ta có AID  CKB (g.c.g) nên AI CK

b) AB AK AD, AI CK

AE  AN AF  AN  AN

suy AB AD AK CK AC

AE AF AN AN



  

13 a) AD BC// DM MA

MK MC

 

// MA MN

AB CD

MC DM

 

Suy DM MN

MK  DM ,

2 .

DM MN MK

b) DM MN

MK  DM (chứng minh trên)

DM MN

DM MK MN DM

 

 

DM MN

DK DN

 

Do DM DM DM MN DN

DN  DK  DN  DN  DN 

14 Kẻ BB// ,d CC//d (B C  thuộc đường thẳng , AG)

Gọi M giao điểm AG BC M trung điểm BC

BMB CMC

   (g.c.g) nên MB MC

Ta có BE B G CF, C G

AE AG AF AG

 

  nên:

N M

F E

C

A B

D

N F

K

C D

B A

I E

M N

K

C D

B A

d G

C' B'

M F

E

B C

Định dạng
Số trang	232
Dung lượng	4,34 MB