1.Dạng bài tập tô màu, bảng vuông.
Bài toán 1. Trong mỗi ô bàn cờ kích thước 5x5 có một con bọ dừa. Vào một thời điểm nào đó tất cả các con bọ dừa bò sang ô bên cạnh (ngang hoặc dọc). Có thể khẳng định rằng sau khi các con bọ dừa di chuyển sẽ luôn có ít nhất một ô trong bàn cờ không có con bọ dừa nào trong đó không?
(Đề thi giao lưu HSG môn Toán lớp 8 TP Vĩnh Yên năm học 2012-2013) Hướng dẫn giải
Ta tô đen - trắng các ô bàn cờ như hình vẽ. Khi đó số ô đen nhiều hơn số ô trắng. Như vậy số con bọ dừa ở ô đen sẽ nhiều hơn số con bọ dừa ở ô trắng. Do mỗi con bọ dừa chỉ di chuyển sang ô bên cạnh(ngang hoặc dọc), vì thế sau khi di chuyển các ô đen sẽ chứa các con bọ dừa ở ô trắng.
Mà số con bọ dừa ở ô đen nhiều hơn số con bọ dừa ở ô
trắng nên sau khi các con bọ dừa bò đi sẽ có ít nhất một ô đen bị bỏ trống .
Vậy : Có thể khẳng định rằng sau khi di chuyển sẽ luôn có ít nhất một ô trong bàn cờ không có con bọ dừa nào trong đó.
Bài toán 2. Trên lưới ô vuông cạnh 1. Người ta tô màu các ô bằng 2 màu đen trắng xen kẽ.
Tính bán kính lớn nhất của đường tròn chỉ đi qua ba ô trắng.
Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Hướng dẫn giải
Trên lưới ô vuông cạnh 1. Người ta tô màu các ô bằng 2 màu đen trắng xen kẽ. Tính bán kính lớn nhất của đường tròn chỉ đi qua ba ô trắng.
- Xét đường tròn chỉ thuộc một ô trắng: Đường kính của nó bằng 1 (1)
- Xét đường tròn đi qua nhiều ô trắng => đường tròn đó phải đi qua các đỉnh của ô trắng.
Không mất tính tổng quát, giả sử đường tròn đi qua đỉnh A của ô trắng ABCD.
+) Nếu đường tròn đi qua 2 đỉnh liên tiếp của ô trắng ( A, B). Khi đó ta lại xét hai trường hợp: *) Đường tròn qua A, B, E. Khi đó nó là đường tròn , 2
I 2
*) Đường tròn qua A, B, G. Khi đó nó là đường tròn ; 10 K 2
(2)
+) Nếu đường tròn qua 2 đỉnh đối diện của ô trắng, Giả sử là (A, C) Ta lại xét hai trường hợp:
*) Qua A, C, M (Tương tự qua A, B, G) *) Qua A, C, N (Tương tự qua A, B, G) Cả hai trường hợp trên bán kính của đường tròn là 10
2 (3)
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra bán kính lớn nhất của đường tròn thỏa mãn yêu cầu đề bài là 10
2 .
Bài toán 3. Cho 6 điểm trong đó 3 điểm nào cũng nối được với nhau tạo thành 1 tam giác có cạnh được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. CMR: Bao giờ cũng tồn tại một tam giác có 3 cạnh cùng màu.
Hướng dẫn giải
Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Gọi A là một trong 6 điểm, 5 đoạn thẳng nối A với 5 điểm còn lại được tô bởi 2 hai màu xanh hoặc đỏ nên tồn tại 3 cạnh cùng màu. Giả sử là AB, AC, AD Xét 2 trường hợp:
+Trường hợp 1: AB, AC, AD tô màu đỏ.
Xét ∆BCD. Nếu có một cạnh được tô màu đỏ (giả sử BC) thì ∆ABC cùng màu đỏ (hình 1).
Nếu không có cạnh nào của ∆BCD tô màu đỏ thì ∆BCD có 3 cạnh cùng màu xanh (hình 2).
+Trường hợp 2: AB, AC, AD tô màu xanh. Chứng minh tương tự.
Vậy luôn tồn tại một tam giác có 3 cạnh cùng màu.
Bài toán 4. Trên tờ giấy có kẻ vô hạn các ô vuông và mỗi ô được tô bằng một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Cho bất cứ hình chữ nhật nào kích thước 2x3 thì có đúng hai ô màu đỏ.
Xét hình chữ nhật có kích thước 2013x2014 bất kì. Tính số ô đỏ của nó.
Hướng dẫn giải Ta có nhận xét sau :
Mọi hình chữ nhật 1x3 chứa đúng một ô màu đỏ.
Thật vậy, giả sử kết luận của nhận xét không đúng, tức là tồn tại hình chữ nhật 1x3 có số ô màu đỏ không khác một. Không giảm tổng quát giả sử đó là hình chữ nhật AKHD kích thước 1x3 có hai ô đỏ ( nếu không thì không có ô đỏ nào, nhưng không thể là ba vì trong mọi hình chữ nhật 2x3 có đúng hai ô đỏ mà thôi )
Trường hợp AKHD không có ô đỏ nào thì lí luận tương tự Cũng có thể cho là hai ô đỏ của AKHD là ô 7 , ô8
Xét hình chữ nhật BFNA. Đó là hình chữ nhật 2x3 , nên theo giả thiết nó có đúng hai ô đỏ mà 7 và 8 là hai ô đỏ, do đó các ô 1,2,4,5 là màu xanh.
Xét hình chữ nhật BCHK, từ giả thiết và do các ô 1,2,4,5 màu xanh nên các ô 3 ,6 là màu đỏ.
Xét hình chữ nhật ECDM kích thước 2x3, do ô 3,6,8 màu đỏ suy ra mâu thuẫn Vậy giả thiết phản chứng là sai. Nhận xét được chứng minh.
Vì 2013 chia hết cho 3 và 2013: 3=671. do vậy hình chữ nhật kích thước 2013x2014 chia thành 2014x671 hình chữ nhật 1x3
Vậy số ô đỏ trong một hình chữ nhật kích thước 2013x2014 là 2014x671 ô Số ô đỏ cần tìm là 1351394 ô
Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
3.Dạng bài tạo đa giác bao.
Bài toán 5. Cho một đa giác lồi có diện tích kcm2. CMR: Tồn tại một hình bình hành có diện tích không vượt quá 2k cm2 chứa toàn bộ đa giác.
Hướng dẫn giải
Gọi C là đỉnh cách xa AB nhất (hình vẽ).
+Trường hợp 1: Nếu AC là đường chéo của đa giác lồi.
Qua C kẻ a// b (A,B∈b)
Gọi D,E là các đỉnh cách xa AC nhất, qua D kẻ đường thẳng d // AC, qua E kẻ đường thẳng c // AC. Gọi MNPQ là hình bình hành tạo bởi a,b,c,d suy ra các đỉnh của đa giác nằm trong hoặc trên biên của hình bình hành MNPQ.
Ta chứng minh SMNPQ ≤2k cm2 , thật vậy: Gọi Sd là diện tích đa giác Ta có: SACD+SACE ≤Sd ⇔ 1
2SMNPQ ≤Sd= k ⇔ SMNPQ ≤2 (k cm2).
+Trường hợp 2: Nếu AC là cạnh của đa giác lồi. Gọi E là đỉnh cách xa AC nhất ( Chứng minh tương tự).
Suy ra ta có điều phải chứng minh.
4.Phương pháp qui nạp toán học:
Để chứng minh mệnh đề An đúng với mọi n ∈N*:
-B1: chỉ ra mệnh đề đúng với n=1 tức là A1 đúng.
-B2: giả sử mệnh đề đúng với n = k ( k ∈ N*) thì Ak đúng.
-B3: chứng minh Ak+1 đúng ( mệnh đề đúng với n=k+1).
Kết luận An đúng với mọi n ∈ N*.
Bài toán 1.
Người ta dùng loại gạch để lát những căn phòng hình vuông n x n và luôn để trống 1 ô ở goc phòng.
a) Hãy nêu cách lát căn phòng 4x4, 8x8 ô vuông.
b) Chứng tỏ rằng người ta luôn lát được một căn phòng kích thước 2kx 2k sao cho ô trống là một ô bất kỳ.
Hướng dẫn giải
a) Xét hình vuông kích thước 4x4 ô vuông. Ta chia hình vuông thành 4 hình vuông kích thước 2 x 2. Hình thứ nhất ta đặt viên gạch sao chô ô ở góc bỏ trống, 3 hình còn lại ta lát
Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
sao cho ô trống quay vào phần tâm hình vuông. Cuối cùng ta lát viên gạch vào 3 ô còn thiếu (Hình 2)
-) Để lát hình vuông 8 x 8 ô vuông, ta lát tương tự (Chia hình vuông 8 x 8 thành 4 hình vuông 4 x 4) (H3)
b) Ta chứng minh bằng PP quy nạp.
- Xét với k = 1: Bài toán luôn đúng.
- Giả sử bài toán đúng với với k = n. Nghĩa là, có thể lát được hình vuông 2nx2n sao cho còn trống một ô (i ; j) bất kỳ.
- Ta chứng minh bài toán đúng với k = n +1.
Thật vấy : Xét hình vuông 2n+1x 2n+1 = 4x(2nx2n). Ta chia hình vuông 2n+1x 2n+1 thành 4 hình vuông 2nx2n . Theo giả thiết quy nạp, luôn lát được hình 2nx2n sao cho có thể trống ô (i, j) bất kỳ. Ba hình vuông 2nx2n còn lại ta để trống ô ở góc và lát vào ô trung tâm (tương tự H3) cuối cùng lát viên gạch vào 3 ô trống. Bài toán được chứng minh.
(H1)
(H2)
(H3)
Bài toán 2. CMR: số đường chéo của đa giác lồi n cạnh (n≥4) bằng Sn = 2
) 3 (n−
n .
Hướng dẫn giải Ta chứng minh Sn =
2 ) 3 (n−
n (1) đúng với mọi n≥4.
+) Ta thấy (1) đúng với n=4 vì S4=2, tứ giác có 2 đường chéo.
+) Giả sử khẳng định (1) đúng với n=k (k≥4) tức là đa giác lồi k cạnh có
2 ) 3 (k−
k đường chéo.+) Ta sẽ chứng minh đa giác lồi
k+1cạnh có
2 ) 2 )(
1 (k+ k−
đường chéo
Thật vậy khi thêm đỉnh thứ k+1 (hình vẽ) thì có thêm k-2 đường chéo nối từ Ak+2 đến A2, A3,…, Ak−1, ngoài ra cạnh A1Ak cũng trở thành đường chéo. Do đó, Sk+1 = Sk+(k-2)+1=
2 ) 3 (k−
k +k-1=
2 ) 2 )(
1 (k+ k−
Liên hệ file word zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC
Vậy khẳng định (1) đúng với mọi n thuộc N*, n≥4.