Đang tải... (xem toàn văn)
Trên thực tế giảng dạy Toán 8 những năm qua tôi nhận thấy phần "Các bài toán cực trị trong đại số" là một trong những phần trọng tâm của việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi ở trư[r]
(1)A - ĐẶT VẤN ĐỀ I LỜI MỞ ĐẦU
Trong trường phổ thông, mơn Tốn có vị trí quan trọng Các kiến thức phương pháp Tốn học cơng cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt môn học khác, hoạt động có hiệu lĩnh vực Đồng thời mơn Tốn cịn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ , rèn luyện cho học sinh khả tư tích cực, độc lập, sáng tạo, giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức thẩm mỹ người công dân
Ở trưịng THCS, dạy học Tốn, với việc hình thành cho học sinh hệ thống vững khái niệm, định lí việc dạy học giải tốn có tầm quan trọng đặc biệt vấn đề trung tâm phương pháp dạy học Toán trường phổ thơng Đối với học sinh THCS, coi việc giải tốn hình thức chủ yếu việc học toán
Cùng với việc hình thành cho học sinh hệ thống vững kiến thức để học sinh vận dụng vào làm tập việc bồi dưỡng học sinh giỏi mục tiêu quan trọng ngành giáo dục nói chung bậc học THCS nói riêng Do việc hướng dẫn học sinh kĩ tìm tịi sáng tạo q trình giải tốn cần thiết thiếu
Là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn tốn trường THC, tơi sâu nghiên cứu nội dung chương trình qua thực tế dạy học tơi thấy: chương trình Tốn THCS "Các tốn cực trị đại số" đa dạng, phong phú thú vị, có ý nghĩa quan trọng em học sinh bậc học Ở THPT để giải toán cực trị đại số người ta thường dùng đến "công cụ cao cấp" toán học đạo hàm hàm số Ở THCS khơng có (hay nói xác không phép dùng) "công cụ cao cấp" Tốn học nói trên, nên người ta phải cách giải thơng minh nhất, tìm biện pháp hữu hiệu phù hợp với trình độ kiến thức bậc học THCS để giải tốn loại Chính vậy, tốn cực trị đại số THCS không theo quy tắc khn mẫu cả, địi hỏi người học phải có cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức cách logic có hệ thống
(2)Thực trạng khiến tơi ln băn khoăn suy nghĩ: "Làm để học sinh không thấy ngại có hứng thú với loại tốn này?" Với trách nhiệm người giáo viên tơi thấy cần giúp em học tốt phần
Tôi dành thời gian đọc tài liệu, nghiên cứu thực tế giảng dạy thân số đồng nghiệp; qua tìm tịi thử nghiệm, giúp đỡ bạn đồng nghiệp Đặc biệt học sau năm trường sư phạm Tôi mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: "Hướng dẫn học sinh THCS giải toán cực trị đại số"
Với đề tài hi vọng giúp học sinh không bỡ ngỡ gặp toán cực trị đại số, giúp em học tốt Đồng thời hình thành học sinh tư tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện khả vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn, rèn luyện nếp nghĩ khoa học mong muốn làm việc đạt kết cao nhất, tốt II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.
1 Đối với học sinh:
Thực trạng nhận chuyên môn phân cơng dạy tốn tiết tơi cảm thấy hụt hẫng trước cách học học sinh Để Thống kê lực tiếp thu học sinh tơi dùng nhiều hình thức phát vấn trắc nghiệm rút tượng bật học sinh trả lời rõ ràng mạch lạc mang tính chất học vẹt chấp hành nguyên bản, trình dạy để kiểm tra việc thực hành ứng dụng học sinh tơi đưa số ví dụ học sinh lúng túng chứng minh
Trước thực trạng điều tra học sinh qua nhiều biện pháp kết cho thấy
Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu- kém
SL % SL % Sl % SL %
8 49 02 06 31 10
Sau kiểm tra thấy học sinh hiểu làm mơ hồ, số học sinh làm nằm vào số học sinh khá- giỏi Số lại chủ yếu học sinh TB, Yếu, Kém giải thích tốn
Đối với giáo viên:
(3)Đôi giáo viên áp đặt gị bó em phải này, phải khác mà không đưa thực tế để em nhìn nhận vấn đề
Về phía học sinh cảm thấy khó tiếp thu dạng tốn mà em gặp lí mà người thầy phải tìm phương pháp phù hợp để học sinh có hứng học, bước đầu học sinh làm quen với dạng toán “ Toán cực trị ” nên cảm thấy mơ hồ phân vân lại phải làm Nếu không biến đổi có tìm kết khơng ? Từ băn khoăn học sinh , giáo viên khẳng định khơng biến đổi khơng trả lời yêu cầu toán
Sau xin đưa số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải toán cực trị đại số
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
1 Khái niệm cực trị biểu thức
Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, , z) với x, y, , z thuộc miền S xác định Nếu với giá trị biến (x0, y0, ,z0) S mà ta có:
P(x0, y0, , z0) P(x, y, , z) P(x0, y0, , z0) P(x, y, , z) ta nói
P(x, y, , z) lớn nhỏ (x0, y0, z0) miền S
P(x, y, , z) đạt giá trị lớn (x0, y0, z0) S gọi P đạt cực đại
tại (x0, y0, z0) Pmax (x0, y0, z0)
Tương tự ta có: P đạt giá trị nhỏ (x0, y0, z0) S gọi P đạt cực
tiểu (x0, y0, , z0) Pmin (x0, y0, , z0)
Giá trị lớn nhất, nhỏ P miền xác định S gọi cực trị P miền S
2 Nguyên tắc chung tìm cực trị biểu thức
Tìm cực trị biểu thức miền xác định vấn đề rộng phức tạp, nguyên tắc chung là:
* Để tìm giá trị nhỏ biểu thức P(x, y, , z) miền xác định S, ta cần chứng minh hai bước:
- Chứng tỏ P k ( với k số ) với giá trị biến
miền xác định S
- Chỉ trường hợp xảy dấu đẳng thức
* Để tìm giá trị lớn biểu thức P(x, y, , z) miền xác định S, ta cần chứng minh hai bước:
- Chứng tỏ P k ( với k số ) với giá trị biến
miền xác định S
- Chỉ trường hợp xảy dấu đẳng thức
(4)VÍ DỤ: Cho biểu thức A = x2 + (x - 2)2
Một học sinh tìm giá trị nhỏ biểu thức A sau: Ta có x2 ; (x - 2)2 nên A 0.
Vậy giá trị nhỏ A Lời giải có khơng?
Giải
Lời giải không Sai lầm lời giải chứng tỏ A
0 chưa trường hợp xảy dấu đẳng thức Dấu đẳng thức không xảy ra, khơng thể có đồng thời:
x2 = (x - 2)2 =
Lời giải là:
A = x2 + (x - 2)2 = x2 + x2 - 4x +4 = 2x2 - 4x +
= 2(x2 -2x - +1) + = 2(x - 1)2 + 2
Ta có: (x - 1)2 x
2(x - 1)2 + x
A x
Do A = x = 1.
Vậy giá trị nhỏ biểu thức A với x = Kiến thức cần nhớ:
Để tìm cực trị biểu thức đại số ta cần nắm vững:
a) Các tính chất bất đẳng thức, cách chứng minh bất đẳng thức b) Sử dụng thành thạo số bất đẳng thức quen thuộc:
* a2 a , tổng quát: a2k a (k nguyên dương)
Xảy dấu đẳng thức a = 0
* -a2 a , tổng quát: -a2k a (k nguyên dương)
Xảy dấu đẳng thức a = 0
* a 0(Xảy dấu đẳng thức a = 0)
* - a a a (Xảy dấu đẳng thức a = 0)
* a b ab (Xảy dấu đẳng thức ab 0)
* a b a b (Xảy dấu đẳng thức a b a b 0)
*
a a
a >
2
a a
a <
*
2 2
2
a b a b
ab
a,b (Xảy dấu đẳng thức a = b)
* a b, ab > a b
1
(5)II CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
(Một số dạng toán cực trị đại số)
Thơng qua tốn sách giáo khoa (sách tham khảo) tiến hành phân loại thành số dạng toán cực trị đại số THCS hướng dẫn học sinh tìm kiến thức có liên quan cần thiết để giải dạng tốn Sau s dng c bn thng gp:
Dạng 1: Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn cđa mét biĨu thøc lµ TAM THøC BËC HAI
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) = x2- 4x+1
Trong x biến số lấy giá trị thực Hướng dẫn giải
Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) ta cần phải biến đổi dạng A(x) k (k số) với giá trị biến trường hợp xảy đẳng
thức
Lời giải: A(x) = x2 - 4x + 1
= x2 - 2.2x + 1
= (x2 - 2.2x+ 4) - 3
= (x - 2)2 - 3
Với giá trị x: (x - 2)2 0 nên ta có:
A(x) = (x- 2)2 - 3 - 3
Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ -3 x=2 Đáp số: A(x)nhỏ = - với x=2
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn biểu thức B(x) = -5x2- 4x+1
Trong x biến số lấy giá trị thực Hướng dẫn giải
Gợi ý: Để tìm giá trị lớn biểu thức B(x) ta cần phải biến đổi đưa B(x) dạng B(x) k (k số) với giá trị biến giá trị lớn
B(x) = k xảy đẳng thức Lời giải: B(x) = -5x2 – 4x+1
= -5 (x2 + 5
(6)= - 5 5 2 2 x x = 25 5 x = -5 1 5 4 5 2 x
= -5
9 2 x
Với giá trị x:
2 x
nên -5
2 x
suy ra: B(x) = -5
2 x
+
9
Vậy B(x) đạt giá trị lớn B(x) =
x = -5
Đáp số: B(x)lớn =
9
với x = -5 Ví dụ 3: (Tổng quát)
Cho tam thức bậc hai P = ax2 +bx + c
Tìm giá trị nhỏ P a > Tìm giá trị lớn P a <
Hướng dẫn giải
Gợi ý: Để tìm giá trị nhỏ (lớn nhất) P ta cần phải biến đổi cho P = a.A2(x) + k Sau xét với trường hợp a>0 a<0 để tìm giá trị nhỏ nhất
hoặc lớn
Lời giải: P = a.A2(x) + k
= a (x2 + a b
x) + c
2 2 4 a b c a b a b x x
a
(7)
k a b x
a
2 với
2
4a b c k
Do 2 a b x nên:
+ Nếu a >
2 b a x a
P k
+Nếu a <
2 b a x a
P k
Vậy x = - a b
2 P có giá trị nhỏ k (nếu a>0) giá trị lớn k (nếu a < 0)
dạNG 3: bàI TOáN TìM GIá TRị NHỏ NHấT, GIá TRị LớN NHấT CủA ĐA THøC BËC CAO
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ A = (x2 + x + 1)2
Hướng dẫn giải
(?) Ta nhận thấy A = (x2 + x + 1)2 0, giá trị nhỏ A có phải
bằng hay khơng? Vì sao?
Trả lời : Mặc dù A giá trị nhỏ A khơng phải vì:
x2 + x +1 ≠ Do A
min (x2 + x +1)min
(?) Hãy tìm giá trị nhỏ x2 + x +1 tìm giá trị nhỏ A?
Trả lời: Ta có x2 + x +1 = x2 + 2x.2
1 +
1 -
1
+ =
2 x
+
4
3
Vậy giá trị nhỏ x2 + x + 4
3
với x = - Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + 9
Hướng dẫn giải Gợi ý: Hãy viết biểu thức dạng A2(x) + B2(x) 0
-Xét xem xảy dấu đẳng thức nào? Giá trị nhỏ biểu thức bao nhiêu?
(8)= x4 - 2.x2.3x + (3x)2 + x2 - 2x.3 +32 = (x2 - 3x)2 + (x - 3)2 0
Xảy đẳng thức khi:
x2–3x = 0 x(x-3) = 0 x = 0
x = x = x – = x – = x =
Vậy giá trị nhỏ biểu thức với x = Đáp số: Giá trị nhỏ biểu thức bng vi x =
DạNG 3: bàI TOáN TìM GIá TRị NHỏ NHấT, GIá TRị LớN NHấT CủA ĐA THứC Có CHứA DấU GIá TRị TUYệT §èI
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ A = / x – 2/ + / x – 5/ Hướng dẫn giải
Gợi ý: Bài toán đề cập tới dấu giá trị tuyệt đối phải nghĩ tới khoảng nghiệm định nghĩa giá trị tuyệt đối biểu thức
A A
/A/ =
- A A
-Cách 1: Để tìm giá trị nhỏ A, ta tính giá trị A khoảng nghiệm So sánh giá trị A khoảng nghiệm để tìm giá trị nhỏ A
Lời giải
+ Trong khoảng x < : / x – 2/ = - (x -2) = - x / x – 5/ = - (x - 5) = - x A = - x + 5- x = - 2x
(9)+ Trong khoảng x : / x – / = x -
/ x – / = - (x - 5) = - x
A = x - + - x = 3
+ Trong khoảng x > : / x – 2/ = x - / x – / = x -
A = x - + x - = 2x - 7
Do x > nên 2x > 10 A = 2x – >
So sánh giá trị A khoảng trên, ta thấy giá trị nhỏ A x
Đáp số: Amin = x
Cách 2: Ta sử dụng tính chất: giá trị tuyệt đối tổng nhỏ hoặc tổng giá trị tuyệt đối.Từ tìm giá trị nhỏ biểu thức A. Lời giải: A = / x – / + x = / x - / + 5 x
Ta có: / x – / + / – x / / x - + – x / =
x -
A = (x - 2) (5 - x)
5 – x
x
Vậy giá trị nhỏ A x
DạNG 4: BàI TOáN TìM GIá TRị NHỏ NHấT, GIá TRị LớN NHấT CủA PHÂN THøC Cã Tư Lµ H»NG Sè, MÉU Sè Lµ TAM THøC BËC HAI
Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn M = 4x - 4x
(10)Gợi ý: Sử dụng tính chất a b, ab > a b
1
hoặc theo quy tắc so sánh hai phân số tử, tử mẫu dương
Lời giải:
Xét M = 4x - 4x
= (2 ) 4
3
x
x = (2x -1)
2
Ta thấy (2x - 1)2 nên (2x - 1)2 + 4
Do đó: (2x -1)
2
4
3
Trả lời: Vậy M lớn
2x – = => x =
Đáp số:Mlớn nhất=
3
với x =
Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ B = 2x - x -
2
Hướng dẫn giải:
Ta có: B = 2x - x -
2
= - x -2x
= - (x -1)
1
Vì (x - 1)2 => (x + 1)2 + 3
=> (x -1)
2
3
1
=> - (x -1)
2
- 3
1
Vậy B nhỏ -
x – 1= => x =1 Đáp số: Mnhỏ = -
1
với x =
Chú ý: Khi gặp dạng tập em thường xuyên lập luận
(11)Lập luận dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức
x Mẫu thức x2 - có giá trị nhỏ -3 x = 0
Nhưng với x =
x = - 3
giá trị lớn phân thức
Chẳng hạn với x = 2
x = > - 3
Như từ -3 < suy -
> 1
Vậy từ a < b suy a
> b
a b dấu
D¹NG 5: BàI TOáN TìM GIá TRị NHỏ NHấT, GIá TRị LớN NHấT CủA PHÂN THứC Có MẫU Là BìNH PHƯƠNG CđA NHÞ THøC.
Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ A = 2 ) ( x x x Cách1:
Gợi ý: Hãy viết tử thức dạng lũy thừa x + 1, đổi biến cách viết A dạng tổng biểu thức lũy thừa
1
x Từ tìm giá trị nhỏ nhất A
Lời giải: Ta có: x2 + x + = (x2 + 2x + 1) - (x +1) + 1
= (x + 1)2 - (x + 1) + 1
Do : A =
2 ) ( ) ( x x ) ( ) ( x x ) (
x = - 1
x +( 1)2
x
Đặt y = 1
x biểu thức A trở thành: A = - y + y2
Ta có: A = - y + y2 = y2 – 2.y 2
1
+ (2
)2 + 4
3 = 2 y
+
(12)Vậy giá trị nhỏ A
khi:
1 1
0
2 2
y y
x
x + = 2
x = 1
Đáp số: Anhỏ =
3
x = Cách 2:
Gợi ý: Ta viết A dạng tổng số với biểu thức khơng âm. Từ tìm giá trị nhỏ A
Lời giải:
2 2
2 2
1 4
1 4
x x x x x x x x
A
x x x
2 ) ( ) ( ) ( x x x A 2 ) ( ) ( x x A ) ( x x A
A= + ) ( x x
2 4
3
Vậy giá trị nhỏ A
x-1=0 x=1
Đáp số: Anhỏnhất=
3
x=1
D¹NG 6: BàI TOáN TìM GIá TRị NHỏ NHấT, GIá TRị LớN NHấT CủA MộT BIểU
THứC ĐạI Số BằNG CáCH ĐƯA Về DạNG
) ( k x A
HC
) ( k x A
(13)Ví dụ 10: Tìm giá trị lớn biểu thức: M(x) = 10 2 x x x x (Với x thuộc tập hợp số thực)
Hướng dẫn giải
Gợi ý: Từ M(x) =
10 2 x x x x
ta có: M(x) =
1 2 x x x x
=
1 ) ( 2 x x x x
(?) Ta chia tử thức mẫu thức biểu thức cho x2 + 2x + được
khơng? Vì sao?
Trả lời: Vì x2 + 2x + = x2 + 2x + + = (x+1)2 + > với giá trị x.
nên chia tử mẫu cho x2 + 2x + ta : M(x) = + ( 1)
1
x
(?) Bài toán xuất điều mới?
Trả lời: Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn biểu thức ( 2)
2
x
(?) Hãy tìm giá trị lớn ( )
2
x từ suy giá trị lớn của M(x)
Trả lời: Vì (x+1)2 0 Với x
Nên (x+1)2 + với x
Do ( 1)
2
x 2
1
Từ ta có: M(x) = + ( 1)
2
x + 2
= 32
Dấu “=” xảy x+ 1=0 hay x= -1 Vậy giá trị lớn M(x) = 32
1
(14)Đáp số: M(x)Lớn =32
1
với x = -1 C KẾT LUẬN
1 Thực tiễn khảo sát sau áp dụng.
Sau áp dụng cách giải toán cực trị đại số thực tế học sinh trọng giải tốn khơng lúng túng trước
Kết thu sau áp dụng đề tài thể bảng sau: Lớp Sĩ số SLGiỏi % SLKhá% Sl TB % SLYếu- kém%
8 49 05 10 34
2 Kết quả
Sau thực giảng dạy phần “ Các toán cực trị đại số 8” theo nội dung đề tài kết mà thu khả quan
Để giải toán cực trị đại số lớp em phải biến đổi đồng biểu thức đaị số, phải biến đổi sử dụng nhiều đẳng thức đáng nhớ từ dạy đơn giản đến phức tạp Ngồi cịn liên quan mật thiết đến kiến thức chứng minh đẳng thức nói toán cực trị đại số tạo khả giúp học sinh có điều kiện để rèn luyện kĩ biến đổi đồng biểu thức đại số, kĩ tính tốn, khả tư
Đề tài giúp học sinh giải toán cực trị đại số có phương pháp hơn, có hiệu vận dụng vào giải tập có liên quan kích thích đam mê học tốn nói chung say mê giải tốn cực trị nói riêng
Yêu cầu phát huy tính tự giác rèn luyện khả tư tích cực độc lập, sáng tạo học sinh thơng qua hoạt động giải tốn học
Về mặt tư tưởng toán cực trị giúp học sinh thêm gần gũi với kiến thức thực tế đời sống, rèn luyện nếp nghĩ khoa học , mong muốn làm công việc đạt hiệu cao nhất, tốt
3 Bài học kinh nghiệm:
Với đề tài “ Hướng dẫn học sinh lớp giải tốn cực trị đại số” Tơi cố gắng hệ thống số dạng toán cực trị đại số Trong dạy tơi có đưa sở lí thuyết ví dụ , ví dụ có gợi ý hướng dẫn học sinh cách giải ý cần thiết để gặp ví dụ khác em giải
(15)Các dạng tập đưa từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp nhằm giúp cho học sinh có kiến thức giải toán cực trị đại số Bên cạnh tơi cịn đưa ví dụ toán tổng hợp kiến thức kĩ tính tốn, khả tư cấp học này, qua làm cho em say mê hứng thú học tập mơn Tốn
Tuy nhiên q trình giảng dạy có nhiều học sinh cịn bỡ ngỡ q trình giải tốn cực trị, lập luận chưa có cứ, suy diễn chưa hợp logic đặc biệt số dạng chưa phù hợp với học sinh trung bình, yếu
Mặc dù có nhiều cố gắng thời gian khơng nhiều, trình độ lực thân tài liệu tham khảo cịn hạn chế lại chưa có kinh nghiệm lĩnh vực nghiên cứu khoa học nên cách trình bày khơng tránh khỏi sơ xuất thiếu sót Rất mong nhận giúp đỡ, góp ý thầy , cô và bạn đồng nghiệp để tơi rút kinh nghiệm q trình giảng dạy thời gian sau
Thụy Hải, ngày 14 thỏng 11 nm 2012 XáC NHậN CủA NHà TRƯờNG NG¦êI VIÕT
Vũ Thị Thuỳ
TÀI LIỆU THAM KHẢO:
SGK Tốn 8- NXB Giáo dục- Phan Đức Chính, Tơn Thân SBT Tốn – NXB Giáo dục- Tôn Thân chủ biên
(16)Toán bồi dưỡng học sinh lớp Đại số-NXB Giáo dục Trần San Để học tốt đại số 8- NXB Giáo dục Hoàng Chúng Chủ biên