5 dạng toán ứng dụng của tích phân thường gặp - TOANMATH.com

Diện tích S phần hình phẳng ở bên trong đường tròn và bên ngoài 2 Elip (phần gạch carô trên hình vẽ) gần với kết quả nào nhất trong 4 kết quả dưới đây.. Lời giải?[r]

CĐ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN HỒNG TUYÊN 🙲 MINH TÂM

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

MƠN TỐN – KHỐI 12

CHINH PHỤC KỲ THI THPT QUỐC GIA

CÂU HỎI & LỜI GIẢI CHI TIẾT

MỤC LỤC

 DẠNG TỐN 1: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Dạng 1.1: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng (khơng có điều kiện)

Dạng 1.2: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng (có điều kiện) 28

 DẠNG TOÁN 2: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY 54

Dạng 2.1: Ứng dụng tích phân tính thể tích khối trịn xoay (khơng có điều kiện) 54

Dạng 2.2: Ứng dụng tích phân tính thể tích khối trịn xoay (có điều kiện) 68

 DẠNG TỐN 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG 73

Dạng 3.1: Bài toán cho biết hàm số vận tốc, quãng đường chuyển động 73

Dạng 3.2: Bài toán cho biết đồ thị vận tốc, quãng đường chuyển động 83

 DẠNG TỐN 4: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN THỰC THẾ89 Dạng 4.1: Bài tốn liên quan đến diện tích 89

Dạng 4.2: Bài tốn liên quan đến thể tích 102

DẠNG TỐN 1: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Dạng 1.1: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng (khơng có điều kiện)

Câu 1: (THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN NĂM 2018-2019) Cho hàm số y f x  xác định liên tục đoạn  a b; Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x , trục hoành hai đường thẳng x a x b ,  tính theo cơng thức

A  d

b

a

S f x x B  d

b

a

S f x x C  d

b

a

S  f x x D  d

a

b

S f x x Lời giải

Chọn A

Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x , trục hoành hai đường thẳng ,

x a x b  tính cơng thức:  d b

a

S f x x

Câu 2: (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y2x, y0, x0, x2 Mệnh đề đúng?

A

0 dx

S x B

0 dx

S  x C

2

2 dx

S  x D

2

2 dx

S  x Lời giải

Chọn B

2

0

2 dx dx

S x x (do 2x   0, x  0; )

Câu 3: (Mãđề101 BGD&ĐTNĂM2018) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường ex

y , y0, x0, x2 Mệnh đề đúng? A

2

0 e dx

S x B

0 e dx

S  x C

0 e dx

S  x D

2

e dx

S  x Lời giải

Chọn A

Diện tích hình phẳng giới hạn đườngyex, y0, x0, x2 là:

d x

Se x  BÀI TẬP NỀN TẢNG & VẬN DỤNG 

P

H

Ầ

N

Câu 4: (Mã 102 - BGD - 2019) Cho hàm số y f x  liên tục  Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y f x y , 0,x 1 x5 (như hình vẽ bên)

Mệnh đề sau đúng? A

1

1

( )d ( )d S f x x f x x



   B

1

1

( )d ( )d S f x x f x x



  

C

1

1

( )d ( )d S f x x f x x



   D

1

1

( )d ( )d S f x x f x x



  

Lời giải Chọn C

Ta có:      

1 5

1 1

( ) d d d d

S f x x f x x f x x f x x

 

     

Câu 5: (Mã 103 - BGD - 2019) Cho hàm số f x  liên tục  Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y f x y , 0,x 1,x2 (như hình vẽ bên) Mệnh đề đúng?

A    

1

1

dx + dx S f x f x



   B    

1

1

dx dx

S f x f x 

  

C    

1

1

dx+ dx S f x f x



   D    

1

1

dx dx S f x f x



  

Lời giải Chọn D

     

2

1 1

dx= dx dx

S f x f x f x

 

   

Nhìn hình ta thấy hàm số f x  liên tục nhận giá trị không âm đoạn 1;1 nên

   

1

1

dx dx

f x f x

 



  ; hàm số f x  liên tục nhận giá trị âm đoạn  1;2 nên

   

2

dx dx

f x   f x

Vậy    

1

1

dx dx S f x f x



 

Câu 6: (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x 3x đồ thị hàm số y x x  2.

A 37

12 B

9

4 C

81

12 D 13

Lời giải Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm 3

0

2

2

x

x x x x x x x x

x            

   

Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x 3x đồ thị hàm số y x x  2 là:

     

1

3 3

2

2

 

            

S x x x x dx x x x dx x x x dx

0

4

2

2

16 1 37

4

4  4 12

       

                   

   

   

x x x x

x x

Câu 7: (ĐỀTHAMKHẢOBGD&ĐTNĂM2017) GọiS diện tích hình phẳng  H giới hạn đường y f x , trục hoành hai đường thẳng x 1, x2 Đặt  

0

1 d a f x x



 ,

 

2

d

b f x x, mệnh đề sau đúng?

A S b a  B S b a  C S  b a D S  b a

Ta có:

     

2

1

d d d

S f x x f x x f x x

 

        

0

1

d d

f x x f x x a b



     

Câu 8: (ĐỀ THAM KHẢO BGD & ĐT 2018) Cho  H hình phẳng giới hạn parabol

y 3x , cung trịn có phương trình y 4 x (với 0 x 2 ) trục hoành (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích  H

A

12

 

B

6

 

C 3

6

 



D

3

  Lời giải

Chọn B

Phương trình hồnh độ giao điểm parabol cung tròn ta 3x2  4x2   x 1

với 0 x nên ta có x1 Ta có diện tích

1

1 2

2 2

0 0 1

3

3 4

3

        

S x dx x dx x x dx x dx

Đặt: 2sin cos ; ;

6

 

        

x t dx tdt x t x t

2

6

3 2 1sin 2

3





 

 

      

 

S t t

A  

1

2x dx 

 

 B  

2

1

2x dx 





C  

2

2x 2x dx 

  

 D  

2

2x 2x dx 

 

 Lời giải Chọn C

Diện tích hình phẳng gạch chéo hình vẽ là:

     

2 2

2 2

1 1

3 2 2

S x x x dx x x dx x x dx

  

               

Câu 10: (Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho hàm số f x  liên tục  Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y f x y , 0,x 1 x4 (như hình vẽ bên) Mệnh đề đúng?

A    

1

1

dx dx

S f x f x



  B    

1

1

dx dx

S f x f x



  

C    

1

1

dx dx

S f x f x



   D    

1

1

dx dx

S f x f x



  

Lời giải Chọn A

Ta có: hàm số f(x) 0   x  1;1 ; (x) 0 f   x  1;4 , nên:

         

4 4

1 1 1

dx dx dx dx dx

S f x f x f x f x f x

  

       Chọn đáp án A

A    

1

2

d d



  

S f x x f x x B    

1

2

d d



  

S f x x f x x

C    

1

2

d d



  

S f x x f x x D    

1

2

d d



  

S f x x f x x Lời giải

Chọn B

Ta có      

3

2

d d d

 

     

S f x x S f x x f x x

Do f x 0 với   x  2;1 f x 0 với  x  1;3 nên    

1

2

d d



  

S f x x f x x

Câu 12: (CHUYÊN KHTN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây?

A  

2

2x 2x dx 

 

 B  

2

2x 2x dx 

 



C  

2

2x 2x dx 

  

 D  

2

2x 2x dx 

  



Lời giải Chọn C

Từ đồ thị ta thấy   x2 x22x1,   x  1;2 Vậy diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ

   

2

2

1

3 d

S x x x x



 

        2 

1

2x 2x dx 

    

Câu 13: (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x , trục hoành, đường thẳng x a x b ,  (như hình vẽ bên) Hỏi cách tính S đúng?

x y

y=f(x)

2

3

A   b

a

S  f x dx B    

c b

a c

S  f x dxf x dx

C    

c b

a c

S f x dx f x dx D    

c b

a c

S f x dx f x dx Lời giải

Chọn B

Câu 14: (THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y x 33x, y x Tính S

A S4 B S8 C S2 D S0 Lời giải

Chọn B

Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị x33xx  x34x0

2

x x x

     

  

Vậy    

0

3

2

4 d d

S x x x x x x 

        4

Câu 15: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG GIA LAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y3x, y0,x0,x2 Mệnh đề đúng? A

2

0 3x

S dx B

2

3 x

S dx C

0 3x

S  dx D

2

3 x

S  dx Lời giải

Chọn A

Diện tích hình phẳng cho tính cơng thức

0 3x

S dx

A    

0

d d

b D

a

S f x xf x x B    

0

d d

b D

a

S   f x x f x x

C    

0

0

d d

b D

a

S f x x f x x D    

0

d d

b D

a

S   f x x f x x Lời giải

Chọn B

Ta có      

0

0

d d d

b b

D

a a

S  f x x f x x f x x Vì f x   0, x  a;0 ,f x   0, x  0;b nên:

 

       

0

0

d d d d

b b

D

a a

S   f x x f x x  f x xf x x

Câu 17: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số yx221, trục hoành hai đường thẳng x1,x2

A

3 B

3

2 C

1

3 D

7

Lời giải Chọn A

Ta có:    

2 2

2 2 2

1 1

2

2 d d d

3 S  x  x x  x x x  x x 

Câu 18: Cho hai hàm số f x( ) g x( ) liên tục  a b; Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x( ), y g x ( ) đường thẳng xa, x b

A  ( ) ( ) d b

a

f x g x x

 B ( ) ( ) d

b

a

f x g x x

 C ( ) ( ) d

b

a

f x g x x

 D

 ( ) ( ) d b

a

f x g x x



Lời giải Chọn C

Theo lý thuyết diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị đường y f x( ),

( )

y g x , xa, x b tính theo cơng thức    d b

a

S  f x g x x

A  

2

2 d

x x x



 

 B  

1

2 d

x x x



 



C  

1

2 d

x x x



  

 D  

1

2 d

x x x



  



Lời giải Chọn D

Diện tích hình phẳng tơ đậm hình vẽ bên là:    

1

2

1

2 d d

x x x x x x

 

      

  ( x  1;1  x x22 )

Câu 20: (KTNL GV BẮC GIANG NĂM 2018-2019) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y4x x trục Ox

A 11 B 34

3 C

31

3 D

32

Lời giải Chọn D

Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y4x x trục Ox Xét phương trình 4 0 0

4

x x x

x

 

    



Ta có

4

4

2 2

0 0

32 4 (4 ) (2 )

3 3

x

S x x dx   x x dx  x  

Câu 21: (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Diện tích hình phẳng giới hạn parabol yx22, đường cong y x 3 trục hồnh ( hình vẽ ) bằng:

A 11

2 B

73

12 C

7

12 D

5 Lời giải

Chọn C

 

1

2

3

0

1

2

0

4 12

x x

S x dx x dx   x  x 

 

 

, x b a b  (phần tô đậm hình vẽ) tính theo cơng thức ?

A  d  d

c b

a c

S f x x f x x B  d b

a

S  f x x

C  d  d

c b

a c

S  f x x f x x D  d b

a

S  f x x Lời giải

Chọn C

Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x , trục hoành hai đường thẳng x a , x b b  d 

a

S f x x  d  d

c b

a c

f x x f x x

   c ( )d b ( )d

a c

f x x f x x Câu 23: (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Tính diện tích S hình phẳng giới hạn

bởi đường y x 21,x 1,x2 trục hoành

A S6 B S16 C 13

6

S  D S 13 Lời giải

Chọn A

Ta có:  

2

2

1

1 d d

S x x x x

 

     

Câu 24: (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y x 25,y6x, x0,x1 Tính S

A

3 B

7

3 C

8

3 D

5

Lời giải Chọn B

Phương trình hồnh độ giao điểm: x2 5 6x x 5;x1 Diện tích hình phẳng cần tìm:

1

7 d

3

S x  x x

Câu 25: (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Gọi diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số  :

1 x C y

x   

 hai trục tọa độ S Tính S?

A ln4

S   B ln4

S  C ln4

Lời giải Chọn C

Hoành độ giao điểm  C trục hoành nghiệm phương trình 1

1

x

x x

 

   



Do diện tích hình phẳng

 

0 0

1

1

3

3 4

d d 4ln ln

1

x

S x x x x

x x 

 

   

         

   

 

Câu 26: (THPT CẨM GIÀNG NĂM 2018-2019) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm sốy x 3x;y2x đường x1; x 1 xác định công thức:

A    

0

3

1

3 d d

S x x x x x x 

     B    

0

3

1

3 d d

S x x x x x x 

    

C  

1

3

3 d

S x x x



   D  

1

3

3 d

S x x x



   Lời giải

Chọn A

Ta có diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm sốy x 3x; y2x đường

x ; x 1    

3

2

S x x x



   dx

3

3

x x



  dx Bảng xét dấu x33x

Do dựa vào bảng ta có:

   

0

3

1

3 d d

S x x x x x x 

    

Câu 27: Diện tích hình phẳng giới hạn yx2;y0;x1;x2

A

3 B

7

3 C

8

3 D

Lời giải Chọn B

Ta có

2

1

2 7.

3 S  x dxx dx

x -1

3

3

Câu 28: (THPT LÊ XOAY VĨNH PHÚC LẦN NĂM 2018-2019) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số  :

1 x H y x  

 trục tọa độ Khi giá trị S

A ln 1 B ln 1 C ln 1 D 2ln 1 Lời giải

Chọn A

Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị  H trục hoành 1 x x x     

Diện tích hình phẳng giới hạn  H trục tọa độ

 

1 1

0 0

1

1

d d d 2ln 2ln

0

1 1

x x

S x x x x x

x x x

    

           

    

  

Câu 29: (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y ln2x

x

 , y0, x1, x e Mệnh đề đúng?

A 2

1 ln d e x S x x 

  B 2

1 ln d e x S x x  C 2 ln d e x S x x   

  D

2 ln d e x S x x       Lời giải Chọn B

Diện tích hình phẳng giới hạn miền D gồm đường y ln2x x

 , y0, x1, x e là:

2

1

ln d ln d

e e

x x

S x x

x x

  ln2x 0, x  1;e

x   

Câu 30: (CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x2 2x1, y2x24x1

A B C D 10

Lời giải Chọn C

Phương trình hồnh độ giao điểm  x2 2x 1 2x24x 1 3x26x0

0 x x      

Diện tích hính phẳng    

2

0

2

S  x  x   x x dx

 

2

3x 6x dx

    3 22 4

0

x x

  

Câu 31: (THPT YÊN PHONG BẮC NINH NĂM HỌC 2018-2019 LẦN 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị y x 22x, y x 2

A

2 B

9

2 C

5

2 D

Lời giải Chọn B

Xét phương trình: x22x x 2x2  x 2 0

1 x x      

Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị là:

2

2d S x x x

       2 d

x x x

     2 x x x           10

  

2



Câu 32: (SỞ GD&ĐT BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong yxlnx, trục hoành đường thẳng x e

A 2 e 

B

2 e 

C

4 e 

D

4 e 

Lời giải

Chọn D

Phương trình hồnh độ đường cong yxlnx trục hoành

0

ln 0

ln

x x

x x x x x

x x                     

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn đường cong yxlnx, trục hoành đường thẳng x e

1

ln d ln d

e e

S  x x xx x x

Đặt 2

1 d d ln d d u x

u x x

v x x x v             

Suy

2 2

1

1

ln d

1

2 2 4

e

e e

x e x e

S x  x x   

Câu 33: (CHUYÊN HẠ LONG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Hình phẳng  H giới hạn đường y x2, y3x2 Tính diện tích hình phẳng  H

A

3 (đvdt) B

3 (đvdt) C (đvdt) D

6 (đvdt)

Lời giải Chọn D

Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số nghiệm phương trình:

2 3 2 3 2 0

2 x

x x x x

x  

        



Khi diện tích hình phẳng giới hạn đường là:

   

2

2

1

1

3

6

S x  x dx  x  x dx  (đvdt)

Câu 34: (THPT GANG THÉP THÁI NGUN NĂM 2018-2019) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số yln ,x y1 đường thẳng x1

A e2. B e2 C 2e. D e2

Chọn D

Ta có lnx   1 x e

Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số yln ,x y1 đường thẳng x1 là:

   1 1  

1 1

ln ln ln 1 1 2

e e e

e e

S x dx  x dx  x x dx  x   e    e e Câu 35: Giá trị dương tham số m cho diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

2

y x đường thẳng y0,x0,x m 10

A

2

m B m5 C m2 D m1

Lời giải Chọn C

Vì m0 nên 2x   3 0, x 0;m

Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y2x3 đường thẳng

0, 0,

y x x m là:

   

0

2 d 3

m m

S x x x  x m  m Theo giả thiết ta có:

 

2 2

10 10 10

5

m

S m m m m m m

m  

             



Câu 36: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y4x x đường thẳng y2x

A B 20

3 C

4

3 D

16 Lời giải

Chọn C

Xét phương trình hồnh độ giao điểm 4 2 2 0 x x x x x x

x  

      

  Khi diện tích hình phẳng cần tìm  

2

2

2 2

0 0

4

2 d d

3

x S  x  x x x x xx   

 

 

Câu 37: (THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo (tam giác cong OAB) hình vẽ bên

A

6 B

5



C

15 D

8 15

Phương trình hồnh độ giao điểm

 2 2

2

4

x

x x x x

x          

 

Dựa vào đồ thị, diện tích hình phẳng cần tìm  

1

2

0

1

2

Sxdx x dx  

Vậy S 

Câu 38: (KTNL GV THUẬN THÀNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đường y x 22x, y0, x 10, x10

A 2000

S  B S2008 C S2000 D 2008 S  Lời giải

Chọn D

Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường  C y x:  22x  d :y0 là:

2 2 0

2 x x x

x  

    



Bảng xét dấu:

Diện tích cần tìm:      

10 10

2 2

10 10

2 d d d d

S x x x x x x x x x x x x

 

         

0 10

3 3

2 2

10

3 3

x x x

x x x



     

        

     

1300 704 2008

3 3

   

Câu 39: (THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y f x , trục hoành hai đường thẳng x 3, x2 (như hình vẽ bên) Đặt  

1

3

d

a f x x



  ,  

2

1 d

b f x x Mệnh đề sau

A S a b  B S a b  C S  a b D S b a  Lời giải

Chọn D

Ta có  

3

d

S f x x



    

3

d d

f x x f x x



      

3

d d

f x x f x x



     a b

thị hàm số y x 2 đường thẳng y2x : A

3 B

5

3 C

3

2 D

23 15 Lời giải

Chọn A

Xét phương trình x x

x

x     



Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x 2 đường thẳng y2x :

 

1

2

0

4

S x xdx  x x dx 

Câu 41: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM 2018-2019) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x2 2x1, y2x24x1

A B C D 10

Lời giải Chọn C

Phương trình hồnh đồ giao điểm hai đồ thị hàm số y  x2 2x1, y2x24x1 là: 2 1 2 4 1 3 6 0

2 x

x x x x x x

x  

           



Diện tích hình phẳng cho 2 2 2  3

0

2

3 6 3

0 x  x dx x x dx x x 

 

Câu 42: (CHUYÊN KHTN LẦN NĂM 2018-2019) Cho hàm số  

3

7

4

x x

f x

x x

   



  

Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f x  đường thẳng

0, 3,

x x y

A 16

3 B

20

3 C 10 D 9

     

1

3 2

0

7 4

S  x dx x dx x  dx

 41 3

0

7 4

3

| x | x |

x x  x   x

        8

3

      10

Câu 43: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2018-2019 LẦN 1) Tính diện tích S hình phẳng ( )H giới hạn đường cong y  x3 12x y x2

A 937

12

S B 343

12

S C 793

4

S  D 397

4

S Lời giải

Chọn A

Xét phương trình hồnh độ giao điểm đường cong:

3 2

0

12 ( 12)

4

x

x x x x x x x

x                 

⇒ Diện tích cần tìm là:

4

3 3

3

12 d 12 d 12 d

S x x x x x x x x x x x x

 

         

   

0 4

3 2

3

12 d 12 d 6

4

x x x x

x x x x x x x x x x

 

   

               

   

 

99 160 937

4 12

 

  

Câu 44: (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Cho  H hình phẳng giới hạn đường y x, y x 2 trục hoành Diện tích  H

A

3 B

8

3 C

10

3 D

16 Lời giải

Chọn C

Xét hình phẳng  H1 : 0, y x y x x         

 2

2 : 2, y x H y x x          

Ta có            12 21

\

H H H

H H H

 

  



Do        

4

1

0

4

2 16 10

d d 2

0

3 3

x

S H S H S H  x x x x x x   x   

    O x y 2

y x

O x

y

4

2

y x

O x

y

4

2

Cách khác: Ta có  

2

:

0, x y H x y

y y          

Suy     2 10 d S H  y  y y

Câu 45: (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

1 x y x  

 trục tọa độ Khi giá trị S

A S 1 ln B S2ln 1. C S2ln 1. D Sln 1. Lời giải

Chọn B

Xét phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số cho trục hoành:

0

1 x x x     

Khi  

1 1

1

0 0

1

d d d 2ln 2ln

1 1

x x

S x x x x x

x x x

     

            

      

  

Câu 46: Diện tích hình phẳng giới hạn đường y x 2 x 1 y x 4 x 1 A

15 B

7

15 C

2

5 D

4 15 Lời giải

Chọn D

Phương trình hồnh độ giao điểm y x 2 x 1 y x 4 x 1

2 1 1

x   x x  x

0

0

1

x

x x x

x            

Diện tích hình phẳng cần tìm

1

2 4

1

d d d

S x x x x x x x x x

 

      

   

0 5

2 4

1

0 2

d d

1

3 5 15 15 15

x x x x

x x x x x x                           

Câu 47: (THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Gọi S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ( ) :

1 x H y x  

 trục tọa độ Khi giá trị S

A Sln 1 B S2ln 1 C Sln 1 D S2ln 1 Lời giải

Chọn D

Phương trình trục (Ox) (Oy) y0 x0

Phương trình hồnh độ giao điểm hàm số ( )H trục Ox: 1 x x x      Ta có: 1d x S x x   

 Vì 0,  0;1

x

x x

   

 nên diện tích cần tìm là:

 

1

0

1

1

d d ln 2ln

0

1

x

S x x x x

x x

  

           

   

Câu 48: (THPT GIA LỘC HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ sau:

A 10

3 B C

13

3 D

11 Lời giải

Chọn A

Cách 1: Coi x hàm số theo biến sốy

Hình phẳng cho giới hạn đường:

2

x y (với y0); x y 2; y0

Ta có: 2 2 0 ( )

2 ( / )

y loai

y y y y

y t m

        



 



Diện tích hình phẳng cần tìm  

2

2

0

10

2 d d

3

S y y y y y y (đvdt) Cách 2:

Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y x y x,  2 :

 2 2

2

2

5

x x

x x x

x x x x



  



     

  

 

 



Diện tích hình phẳng cần tìm  

4

0

10

d d

3

S x x x x (đvdt)

đường cong có phương trình

2

4 x

y  (tham khảo hình vẽ bên )

Diện tích hình phẳng  H bằng: A 4 3

3  

B 

C 3  

D

  Lời giải

Chọn A

Xét phương trình

2

4

12

x   x 4

144

x x

   4

144 x x

    12

12 x

x    

   Diện tích hình phẳng  H bằng:

2 2 2

12 12 12 12

12 4 12 d 4 12 d 4 d 12d

x x x x x x

S x x x x



     

              

     

   

Xét

2 12

1 0 4 d x I     x

 



Đặt x4sint dx4cos dx x Đổi cận: x  0 t 0; 12

3 x  t 

 

3

2

0

4 cos tdt cos dt

3

I t

 



      

Xét 2 12

2 d

12

x I  x

Vậy  

2 2

3 S  I  I   

Câu 50: (ĐỀ THI THỬ VTED 02 NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho hàm số f x  xác định liên tục đoạn 5;3 có đồ thị hình vẽ bên Biết diện tích hình phẳng        A , B , C , D giới hạn đồ thị hàm số y f x  trục hoành 6; 3; 12; Tính tích phân  

3 2f 2x 1 dx     

A 27 B 25 C 17 D 21

Lời giải Chọn D

Ta có      

3 2f 2x 1dx 3f 2x dx x 5f x dx

            

  

Mà          

5f x dx SA SB SC SD 12 17

         



Vậy  

3 2f 2x 1 dx 21       

Câu 51: (TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y x3, y x 24x4 trục Ox

(tham khảo hình vẽ) tính theo cơng thức đây?

A  

2

3

4 d x  x  x x

 B  

1

3

0

d 4 d

x x x x x

   

C  

1

3

0

d 4 d

x x x  x x

  D  

1

3

0

d 4 d

x x x  x x

 

Lời giải Chọn D

Dựa vào hình vẽ ta thấy hình phẳng cần tính diện tích gồm phần:

Phần 1: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x3, trục Ox, x0, x1

Phần 2: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x 24x4, trục Ox, x1, x2

Do diện tích cần tính  

1 2

3

0 1

d 4 d d 4 d

S  x x x  x xx x x  x x

A

4

 

B

2

 

C

2

 

D

4

  Lời giải

Chọn A

1 1

1

x x

y x

x x

 



     



2 1 1

x y     y x tính nửa đường trịn nên ta lấy y 1x2

Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x nửa đường trịn x2y21 phần tơ màu vàng hình vẽ

Diện tích hình phẳng là:  

2

1 d

S x  x  x 1 

0

1 x dx x dx    

2

0

2

x

I  x

   

 

1

I  

Tính

2

0

1 d

I  x x Đặt xsint, ;

2

t   

 ; dxcos dt t Đổi cận x  0 t 0;

2

x  t 

2

0

1 d

I  x x 2

0

1 sin cos dt t t



 

0

cos cos dt t t



 2

0

cos dt t





0

1 cos d

t t



 

0 sin

2

t t





 

    

  Vậy

1

S 

Câu 53: [KIMLIÊN-HÀNỘI-LẦN1-2018] Cho  H hình phẳng tơ đậm hình vẽ giới hạn đường có phương trình 10

3

y x x ,

2

x x

y

x x

 



   

 Diện

A 11

6 B

13

2 C

11

2 D

14

Lời giải Chọn B

Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y x y x 2 là:     x x x Diện tích hình phẳng cần tính là:

1

2

0

10 10

d d

3

S  x x x x   x x  x  x

   

 

1

2

0

13

d d

3

S  x x  x  x x  x

         

   

 

1

2

0

13

d d

3

S  x x  x  x x  x

         

   

 

1

3

2

0

13 13

2

6

x x

S  x   x x

        

   

Câu 54: (THCS&THPT NGUYỄN KHUYẾN - BÌNH DƯƠNG - 2018) Cho đường trịn có đường kính Elip nhận đường kính vng góc đường tròn làm trục lớn, trục bé Elip Diện tích S phần hình phẳng bên đường trịn bên ngồi Elip (phần gạch carơ hình vẽ) gần với kết kết đây?

A S 4,8 B S 3,9 C S3,7 D S 3, Lời giải

Chọn C

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Hai Elip có phương trình:  

2 : 4 1

x y

E    

2 2 : 1 4

x y

Tọa độ giao điểm hai Elip góc phần tư thứ nghiệm phương trình:

2 1

4

x

x     x  5 x   Diện tích hình phẳng cần tìm:

2

5

2

0

.2 2.1 1 3,71

4

x

S    x   dx

 

 

Câu 55: (THPT TRẦN QUỐC TUẤN - LẦN - 2018)Tính diện tích S miền hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f x ax3bx2c, đường thẳng x1, x2 trục hoành (miền gạch chéo) cho hình

A 51

8

S B 52

8

S C 50

8

S D 53

8

S

Lời giải Chọn A

Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f x ax3bx2c, đường thẳng x 1,

x trục hoành chia thành hai phần:

+Miền D1 hình chữ nhật có hai kích thước 3S13

+ Miền D2 gồm:

 

1 1;

f x ax bx c y

x x

   

  

    

Dễ thấy  C qua điểm A1;1, B 0;3 , C 2;1 nên đồ thị  C có phương trình   3 3

2

f x  x  x 

2

3

2

1 3 d 27

2

S x x x



 

       

 



Vậy diện tích hình phẳng cần tìm

51

S S S 

Câu 56: (THPT CHUYÊN THOẠI NGỌC HẦU - LẦN - 2018)Cho hàm số f liên tục đoạn 6; 5, có đồ thị gồm đoạn thẳng nửa đường trịn hình vẽ Tính giá trị

 

6

2 d

I f x x



A I2 35 B I234 C I 233 D I 2 32

Lời giải Chọn D

   

5

6

2 d d

I f x x g x x

 

      với g x  f x 2 có đồ thị hình vẽ Có IS1S2S3S4 đó:

1

S diện tích hình thang vng ABCD 1   1 4

2

AB CD AD

S  

    ,

2

S diện tích hình chữ nhật CDEF  S2 3.4 12 ,

S diện tích hình trịn tâm I, bán kính R2 3 22 2

S  

   ,

4

S diện tích hình thang vng EFGH 4   5 3 12

2

EF GH EH

S  

   

Dạng 1.2: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng (có điều kiện)

Câu 57: Hình vng OABC có cạnh chia thành hai phần đường cong  C có phương trình

4

y x Gọi S S1, 2 diện tích phần khơng bị gạch bị gạch hình vẽ bên Tỉ số

2

S

S

A

2 B C

1

2 D

Lời giải Chọn D

Ta có diện tích hình vng OABC 16 S S1 2

4

4

2

0

1 16

d

4 12

x

S  x x 

2

16 16

16 3

2 16

3

S S

S S

 

   

Câu 58: (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Kí hiệu S t  diện tích hình phẳng giới hạn đường y2x1, y0, x1, x t t 1 Tìm t để S t 10

A t3 B t4 C t13 D t14 Lời giải

Chọn A

Cách Ta có:    

1

2 d d

t t

S t  x x x x Suy    

1

t

S t  x x   t t

Do   10 2 10 12 0  

4

t

S t t t t t

t L

            

 



Vậy t3

Cách Hình phẳng cho hình thang có đáy nhỏ y 1 3, đáy lớn y t 2t1 chiều cao t1

Ta có 3 1 1 10 2 2 24 0

4

t

t t

t t

t 

   

        

 Vì t1 nên t3 Do chọn đáp án A

Câu 59: (Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho đường thẳng 3

2

y x parabol y x a ( a tham số thực dương) Gọi S S1, 2 diện tích hai hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên Khi S1 S2thì a thuộc khoảng đây?

A 0;2 5

 

 

  B

1 9 ; 2 16

 

 

  C

2 9 ; 5 20

 

 

  D

9 1 ; 20 2

 

 

 

Lời giải Chọn C

Giải tốn: Phương trình hồnh độ giao điểm: 3 2 3 2 0

2

x  a x x  x a

Để phương trình có nghiệm dương

0 0

9 0

16

a a

a

  

 

  



 

Gọi hai nghiệm 0x1x2 2 3 9 16

4

a x    Để S1 S2

2

2

0

3

0 2

x

x a x dx

    

 

 

 Ta có:

2

2 2

2

0

3

d 0

2

x

x

x a x x ax x

        

 

 



3

2 16

4 3 9 16 3 3 9 16

0

3 4

a

a a

a

   

 

       

 

      

 

Giải nhanh máy tính cho kết x0,421875 thuộc khoảng 2 9; 5 20

 

 

Câu 60: (Mã 102 - BGD - 2019) Cho đường thẳng

y x parabol 2

y x a, (a tham số thực dương) Gọi S1, S2 diện tích hai hình phẳng gạch chéo hình

vẽ bên Khi S1S2 a thuộc khoảng đây?

A 1; 32

 

 

  B

1 ; 32

 

 

  C

3 ; 16 32

 

 

  D

3 0; 16       Lời giải Chọn C

Ta có phương trình hồnh độ giao điểm 0 2x 4x a 

2

2x 3x 4a

   

Theo đề phương trình có hai nghiệm 0 x1 x2 thỏa mãn

    2 * 2 ** x x

x x a        

1

S S 

1

2

0

1 3

d d

2 4

x x

x

x x a x x x a x

       2

0

1

d

2

x

x x a x

    3 x

x x ax

   

2 2

1 0

6x 8x ax

    22

6 x x a

     ***

Từ  * 1 2

x x

   , thay vào  

2 2 2 3 **

2

x x x x           2 2 3 x x

   2

8 x   (***) 27 128 a

  Vậy 7; 16 32 a 

 

A 1;9

 

 

  B

9 ;1 10

 

 

  C

4 9; 10

 

 

  D

4 0;       Lời giải Chọn C

Phương trình hồnh độ giao điểm 2x2 a 3x2x23x a 0 có hai nghiệm dương phân biệt

9

9 8 0                     a a a a a

Ta nghiệm phương trình

 

 a

x

Ta có    

3 9

4

2

1

0

4

2 d d

   

 

         

a a

a

S S x a x x x a x x

   

3 9

4

2

0

4

2 d d

   

 

        

a a

a

x a x x x a x x

 

3

2

0

3

2

2 d 4

3                   a a

x x a x x x ax

3

2 9

0

3 4

           

        

     

a a a

a

2

3 9 0

4 4

3

0 ( )

2 9 0

3 4

                                                                 

a a a a

a

vn

a a a

2

2 9 0 27

3 4 32

       

        

   

CASIO Shift Solve

a a a a

Câu 62: (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hai hàm số f x ax2bx2 cx2

  x 2

g x dx e  (a, b, c, d, e) Biết đồ thị hàm số y f x   

Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích A 37

12 B

37

6 C

13

2 D

9 Lời giải

Chọn B

Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị f x  g x 

     

3 bx2 cx 2 dx2 3x 2 a3 b d x2 c e x 4 0. *

ax             

Do đồ thị hai hàm số cắt ba điểm suy phương trình  * có ba nghiệm x 2;

x  ; x 1 Ta

       

3 4 2 1 1

ax  b d x  c e x  k x x x Khi 4  2k  k

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm    

2

37 d

6

2 1

x x x x





  



Câu 63: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hai hàm số   2 f x ax bx cx

  1

g x dx  ex a b c d e, , , ,  Biết đồ thị hàm số y f x  y g x   cắt điểm có hồnh độ 3; 1 ; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn đồ thị cho có diện tích

A B

2 C D

Cách 1: Xét phương trình 2 1

ax bx cx dx ex ( ) ( ) 0

2 ax b d x c e x

Û + - + - - = có

nghiệm 3; 1 ; nên suy

   

   

   

3

27

2

0

0 a b d c e a b d c e a b d c e

      

 

       



       

3 2

1 b d a c e      

 



     Vậy     3

2 2

f x g x  x  x  x

Hình phẳng giới hạn đồ thị cho có diện tích    

      

1

3

S f x g x dx g x f x dx 

 

    

1

3

3

1 3 3 2 4

2 2 2 2

S x x x dx x x x dx



 

   

               

   

 

Cách 2: Ta có: f x    g x a x3x1x1

Suy  3 1 1     a x x x ax  b d x  c d x Xét hệ số tự suy ra: 3

2

a a

     Do đó:     1 3 1 1

2

f x g x  x x x

Diện tích bằng:        

1

3

d d

S f x g x x g x f x x 

 

      

       

1

3

1

3 1 d 1 d

2

S x x x x x x x x



 

           4

Câu 64: (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hai hàm số f x ax3bx2 cx 1

 

2

g x dx ex a b c d e, , , ,  Biết đồ thị hàm số y f x( ) yg x( ) cắt ba điểm có hồnh độ 3; 1; 2  (tham khảo hình vẽ)

Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích A 253

12 B

125

12 C

253

48 D

Chọn C

Vì phương trình ( )f x g x( ) 0 có nghiệm 3; 1; 2  nên      3 2 

f x g x a x x x

So sánh hệ số tự ta a

  

4 a   Do    

2

3

1 3 1 2 d 253

4 48

S x x x x



     

Câu 65: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hai hàm số   3 f x ax bx cx

 

4

g x dx ex , a b c d e, , , ,  Biết đồ thị hàm số y f x  y g x   cắt ba điểm có hồnh độ 2; 1; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích

A 253

48 B

125

24 C

125

48 D

253 24 Lời giải

Chọn A

Ta có phương trình hồnh độ giao điểm là:

3 3

4

ax bx cx dx ex     0 ax b d x c e x

      

Đặt       h x ax  b d x  c e x

Dựa vào đồ thị ta có      

h x ax  b d x  c e x có ba nghiệm x 2; x1;x3 Với x 2 ta có 4  2  3, 1 

2 a b d c e

      

Với x1 ta có     3, 2 

a b d  c e   Với x3 ta có 27 9  3  3, 3 

2

a b d  c e  

Từ    1 ,  3 ta có

   

   

   

3

8

2

3

27

2 a b d c e a b d c e

a b d c e

      

 

       



      



1

1 a

b d c e     

   



    

   

2

d S f x g x x



   3

2

1 1

d d

4x 2x 4x x 4x 2x 4x x 

         63

16

  253

48



Câu 66: Cho parabol  

1 :

P y  x x cắt trục hoành hai điểm A B, đường thẳng d y a:  0 a 4 Xét parabol  P2 qua A B, có đỉnh thuộc đường thẳng y a Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn  P1 d.Gọi S2 diện tích hình phẳng giới hạn

 P2 trục hồnh Biết S1S2, tính

3

8 48

T a  a  a

A T 99 B T 64 C T 32 D T 72 Lời giải

Chọn B

Để việc tính tốn trở nên đơn giản, ta tịnh tiến hai parabol sang trái đơn vị Khi đó, phương trình parabol  

1 :

P y  x ,  2 :

4

a

P y  x a Gọi A B, giao điểm  P1 trục OxA2;0 ,  B 2;0 AB4 Gọi A B, giao điểm  P1 đường thẳng dM 4a a N;  , 4a a; 

Ta có    

4

4 3

2

4

2 4

3

a a

S  y dy   y   a a

 



2

2

2

0

2

4 12

a

a ax a

S   x a dx   ax 

   



Theo giả thiết    3

1

4

4 4 48 64

3

a

S S  a  a  a  a a  a  a

Câu 67: (ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hàm sốy f x( )là hàm số đa thức bậc bốn có đồ thị hình vẽ

Hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm sốy f x y( );  f x'( )có diện tích A 127

40 B

127

10 C

107

5 D

13

Lời giải Chọn C

Hàm số cho có dạng f x( )ax4bx3cx2dx e  f x'( ) 4 ax33bx22cx d Từ giả thiết đồ thị hàm số cho ta thấy đồ thị hàm số qua điểm ( 2;0) , ( 1;1) , (0;1) ,

(1; 0) có hai điểm cực tiểu (1; 0) , ( 2; 0) nên ta có hệ

1

(0) 1

4

( 2)

1 .

(1) 16

2

'( 2) 32 12 3

'(1) 4

1

e

f e a

f a b c d

f a b c d b

f a b c d

c

f a b c d

d   

 

   

         

  

         

  

        

    

    

  

 



  

Do ( ) 3 1 '( ) 3 1.

4 2

f x  x  x  x   x f x x  x  x

Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( )f x  f x'( )

4

2

1

2

1

4

4 x

x

x x x x

x x

  

  



      

 

 



Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm sốy f x y( );  f x'( )là

2

( ) ( ) S f x f x dx





  

Vì biểu thức ( ) ( ) 2

4

f x  f x  x  x  x  x không đổi đấu khoảng ( 2; 1)  , ( 1;1) , (1;4) nên ta có

     

1

2 1

107

( ) '( ) ( ) '( ) ( ) '( ) ( )

5 S  f x f x dx f x f x dx f x f x dx dvdt

 

Câu 68: (THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường my x mx y m 2,  2 0 Tìm giá trị

m để S3

A m1 B m2 C m3 D m4

Lời giải Chọn C

Tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm số nghiệm hệ phương trình:     2

1 my x mx y

 

 

  Thế (1) vào (2) ta được:

2

3 0

0

x x

mx m x x

x m m



  

        

  Vì

2 x y

m

  nên mx y2y0 y mx Khi diện tích hình phẳng cần tìm là:

2

0

m x m x

S mx dx mx dx

m m

 

     

 

 

3

2

2

0

2 1

3 3

m

m x

x m m

m

 

     

 

Yêu cầu toán 3 3 9 3

m

S   m  m    m

Câu 69: (THPT CẨM GIÀNG NĂM 2018-2019) Cho hình thang cong  H giới hạn đường yex, y0, x0, xln 4 Đường thẳng x k 0 k ln 4 chia  H thành hai phần có diện tích S1 S2 hình vẽ bên Tìm k để S12S2

A 4ln

k  B ln8

k C k ln D k ln Lời giải

Chọn D

Diện tích hình thang cong  H giới hạn đường yex, y0, x0, xln 4 ln

ln 0

e dx ex

S  x  eln 4   e0 4 3(đvdt)

Ta có 1 2 1 1 1

2

S S S S  S  S Suy 1 2.3

3

S

S    (đvdt) Vì S1 phần diện tích giới hạn đường e

x

1 0

2 e d e

k

k

x x

S x

    ek  e0 ek 1 Do ek   3 k ln 3

Câu 70: (ĐỀ 04 VTED NĂM 2018-2019) Hình phẳng  H giới hạn đồ thị hai hàm số đa thức bậc bốn y f x  yg x  Biết đồ thị cảu hai hàm số cắt ba điểm phân biệt có hồnh độ  3; 1; Diện tích hình phẳng  H ( phần gạch sọc hình vẽ bên ) gần với kết đây?

A 3,11 B 2,45 C 3,21 D 2,95

Lời giải Chọn A

     3 1 2

f x g x a x x x ax3a x 2 x 2ax3ax22ax3ax23ax6a 2 5 6

ax ax ax a

   

 0  0

f g   a, quan sát hình vẽ ta có  0  0 3 10

f g    

Nên

10 20

a a 

           

2

3

3 253

3 3.1625

20 80

S f x g x dx x x x dx

 



        

Câu 71: (THPT QUỲNH LƯU NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Cho parabol  P y x:  2 hai điểm ,A B thuộc  P cho AB2 Diện tích lớn hình phẳng giới hạn  P đường thẳng AB

A

4 B

3.

2 C

2.

3 D

4. Lời giải

Chọn D

Gọi phương trình đường thẳng ABlà: y ax b  a b,  Phương trình giao điểm ABvà  P là: x2ax b 0

Để có điểm ,A B a24b0 đó:

 

 

1 2 2

; ; A x ax b B x ax b x x a x x b

 



 



 



  



Nên  

2

2

AB  a  x x 

Giả sử x2 x1 ta có

 

2 2

2

2

x x

a

  

Mặt khác:  2

2 4

x x  x x  x x  a  b

Khi      

2

2 2 3

2 2

1 d x x a

S  ax b x x   x x b x x  x x

     2

2 2

1

2

a

x x  x x b x x x x 

        

 

   

2

1

2

a

x x  a b a b 

           2 a b x x b            2

a  b x x

   

3

2

6

x x

  

Suy ra: max

S 

2 1

0

2

x x a

x x x x

 

 





     

  (thỏa mãn  P có tính đối xứng)     1;1 1;1 A B    



    1;1 1;1 A B    

Câu 72: (KTNL GV THUẬN THÀNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho Parabol  P y x:  21 đường thẳng :d y mx 2 với m tham số Gọi

0

m giá trị m để diện tích hình phẳng giới hạn  P d nhỏ Hỏi m0 nằm khoảng nào?

A ( 2; 1)

  B (0;1) C ( 1; )

2

 D ( ;3)1 Lời giải

Chọn C

Phương trình hoành độ  P d x2mx 1 1 

Dễ thấy  1 có nghiệm phân biệt Gọi a b a b,    nghiệm  1 diện tích hình phẳng giới hạn  P d

 

2 1 x2 mx dx x

3

b

b b

a a a

x mx S x mx dx       

 

 

3 (b2 a )2 2 (b a)

(b a)

3

b a m b ab a m

b a

    

       

=      

2

2 b a b a

b a

3

ab m

ab   

   

Mà a b m ab  ,  1 nên

2

2 4.

6 3

m

S m    

 

Do

S  m0

Tích phân  

5 d f x x 

A 208

45

m n p

    B

45 208

  n p m

C 208

45

m n p   D 208

45

m n p     Lời giải

Chọn B

           

2 2 2

1

5 5 5

d d d d d

S f x g x x f x x g x x f x x S g x x

    

    

          

           

0 0 0

2

2 2 2

d d d d d

S g x f x x g x x f x x f x x g x x S

    

           

           

2 3 3

3

5 0 0

d d d d d

S f x g x x f x x g x x f x x S g x x 



        

Do vậy:    

3 3 dx x g S S S dx x f         Từ đồ thị ta thấy g xdx



5

số dương Mà đáp án có B phù hợp, nên ta chọn B

Chú ý: Có thể tính g xdx 

3

5

sau:

Từ đồ thị hàm số yg x  ta thấy qua điểm 5;2 , 2;0 , 0;0   nên ta có:

25

2

4 , ,

15 15

a b c

a b c a b c

c                

Do đó:  

3

2

5

2 208

d d

15 15 45

g x x x x x

 

 

    

 

 

Câu 74: (ĐỀ THI THỬ VTED 03 NĂM HỌC 2018 - 2019) Cho hàm số f x  liên tục  có đồ thị hình vẽ bên Biết diện tích phần    A , B Tích

phân  

0

cos x f 5sinx dx 



A

 B C

5 D 2

Lời giải Chọn A

Theo giả thiết ta có  

1

d f x x 



  

4

1

d

f x x 

 suy  

1

d

f x x 

 



Đặt t5sinx 1 dt5cos dx x

Khi      

4

2

0 1

1

cos 5sin d d d

5 5

x f x x f t t f x x 

 

    

  

Câu 75: Cho hàm số y f x  có đồ thị hình vẽ diện tích hai phần ,A B 11

Giá trị  

1

3 d I f x x



 

A B 13

3 C D 13

Lời giải Chọn A

+) Xét  

1

3 d I f x x



   , đặt 3 1

3 dt

x  t dt dxdx

+) Đổi cận

0

x t

x t

     

    

         

1

2

1 1

dt= dt + dt 11

3 3 A B

I f t f t f t S S

 

 

       

 

  

 P có trục đối xứng vng góc với trục hồnh Phần tơ đậm hình vẽ có diện tích

A 37

12 B

7

12 C

11

12 D

5 12 Lời giải

Chọn A

Cách 1:

Gọi hàm số bậc ba y ax 3bx2cx d y' 3 ax22bx c

Đồ thị  C qua điểm   1;0 , 2; 2  đạt cực trị x0;x2 nên ta có hệ sau :

0

2

0

0 12

a b c d a a b c d b

c c

a b c d

    

 

       

 

   

 

     

 

Suy hàm số bậc ba y x 33x22

Gọi hàm bậc hai y mx 2nx p Đồ thị  P qua điểm   1;0 , 2; ,   1; 2 nên ta có hệ sau :

0

2

2

m n p m

m n p n

m n p p

    

 

     

 

     

 

Suy hàm số bậc hai y  x2 x

Phương trình hoành độ giao điểm  C  P :

3 2

1

3 2

2

x

x x x x x x x x

x                

  

Vậy diện tích phần tơ đậm :  

3

2

S x x x dx 

   

   

1

3

1

8 37

2 2

3 12 12

S x x x dx x x x dx



            

Cách 2: (Võ Thanh Hải)

Vì đồ thị hàm bậc ba đồ thị hàm bậc hai cắt trục tung điểm có tung độ 2,

y y nên ta xét hai hàm số y ax 3bx2cx2, y mx 2nx

   

3 2 1 1 2 0

ax bx   cx mx nxa x x x  Với x0 ta 2a  2 a *Vậy diện tích phần tơ đậm là:    

2

1

37

1

12

S x x x dx



     

Câu 77: (ĐỀ GK2 VIỆT ĐỨC HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Parabol 2

 x

y chia hình trịn có tâm gốc tọa độ, bán kính 2 thành hai phần có diện tích S1 S2, S1S2 Tìm

tỉ số S S A

12

  

B

3

 



 C

3

9

 



 D

3

21

 

  Lời giải

Chọn C

Diện tích hình trịn SR2 8

Phương trình đường trịn tâm O0; 0, bán kính R2 x2y2 8

Hồnh độ giao điểm Parabol đường tròn nghiệm phương trình

2 8

4

 x 

x

4 4 32 0

x x

    x28x240x2 4 0

2

     

 x

x

Phương trình nửa phía trục Ox đường trịn là: y 8x2

Diện tích miền giới hạn Parabol nửa phía trục Ox đường tròn là:

2

2

8

2 

 

 

 

 

 x x dx

2

2

2

1

2

 

  x dx x dx Ta có

2

2

2

2

16

3

 

 

x dx x

2

8

   

I x dx

Đặt x2 sint ; 2

        

t dx2 costdt +)

4

     

x t

+)

4

   

4

2

4

8 8sin 2 cos







  

I t tdt

4 cos







  tdt  

4

4 cos







   t dt  

4

4 cos







   t dt

4

4

1 sin

2         

t t 2 4 Vậy 2 2         

 x x dx

3

  

Diện tích phần cịn lại

3

    

 

Vậy

4

3

  

S ;

4    S       S S

Câu 78: Tìm số thực a để hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm 2 6

x ax a y

a

 



 a ax y a  

 có diện tích lớn

A

1

2 B C D

33

Lời giải Chọn B

Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số là:

  

2 2

2

6

2 3 2 0 2 0

2

1

x a x ax a a ax x ax a x a x a

x a a a                      

Nếu a0 diện tích hình phẳng S0 + Nếu a0

2 2

6 6

2

3

d d

1

a a

a a

x ax a x ax a a

S x x

a a a

                

+ Nếu a0

2 2 2

6 6

3

d d

1

a a

a a

x ax a x ax a a

S x x

a a a

                 

Do đó, với a0

3

6

1 1

6 12

a a

S

a a

  



Dấu " " xảy a3   1 a

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn hai hàm cho có diện tích lớn a1

Câu 79: (HỌC MÃI NĂM 2018-2019-LẦN 02) Cho hàm số y f x  có đạo hàm , đồ thị hàm số y f x  hình vẽ Biết diện tích hình phẳng phần sọc kẻ Tính giá trị biểu thức:

     

2

1

1 dx dx dx

A

T  B T 6 C T 0 D T  Lời giải

Chọn D

+Diện tích phần kẻ sọc là:  

2

dx

S f x



  3

Vì f x 0   x  2; 0    

0

2

3 f x dx f x dx

 

       

dx

f x 

   

+Tính  

4

3

2 dx

I f x

Đặt t2x8 dt 2dx ; x   3 t 2; x  4 t Suy ra:  

0

2

1 dt

2

I f t



   

2

1 dx

2 f x

 

2

 

Vậy      

2

1

1 dx dx dx

T f x   f x   f x

 2  3

1

1

f x f x I

      3  2  2  1

f f f f

      1 3

2

    

Câu 80: (THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Cho hàm số y x 4 6x2m có đồ

thị  Cm Giả sử  Cm cắt trục hoành bốn điểm phân biệt cho hình phẳng giới hạn  Cm trục hồnh có phần phía trục hồnh phần phía trục hồnh có diện tích Khi m a

b

 (với a, b số nguyên, b0, a

b phân số tối giản) Giá trị biểu thức S a b  là:

A B C D

Lời giải Chọn B

Phương trình hồnh độ giao điểm: x46x2 m 0 1

Đặt t x 2t0 1 trở thành t2  6t m 0  2

 Cm cắt trục hoành bốn điểm phân biệt phương trình  1 có nghiệm phân biệt hay

phương trình  2 có hai nghiệm dương phân biệt

 2

3

0

m P m

S

      

  

  



0 m

Gọi t1, t20 t1 t2 hai nghiệm phương trình  2 Lúc phương trình  1 có bốn nghiệm phân biệt theo thứ tự tăng dần là: x1  t2; x2  t1; x3 t1; x4 t2

Do tính đối xứng đồ thị  Cm nên có  

3

4

6 d

x

x  x m x

 4 

3

4 6 d x

x

x x m x

   

5

4

2

5 x

x mx

    4

5

4

10

x x mx

   

Từ có x4 nghiệm hệ phương trình:    

4

4

4

6

4

10

x x m

x x m

   

  

  

 Lấy    3 

4

x m

  , thay

x m vào  3 có: m25m0m  0 m 5

Đối chiếu điều kiện  * ta có m5 a 5và b1 Vậy S 6

Câu 81: Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị (C) hàm số đa thức bậc ba parabol (P) có trục đối xứng vng góc với trục hồnh Phần tơ đậm hình vẽ có diện tích

A 37

12 B

7

12 C

11

12 D

5 12

Lời giải Chọn A

+) Gọi  C y ax:  3bx2cx d a  0

Do  C cắt trục Oy điểm có tung độ nên d2

 C qua điểm A 1; ,  B 1;0 C2; 2  nên ta hệ phương trình

4

2

4 2

a b c a

a b c b

a b c c

     

 

       

 

      

 

Do  C y x:  33x22

+) Gọi  P y mx:  2nx r m  0

Do  P qua điểm a 1; ,  O 0;0 C2; 2  nên ta

2

0

4 2

m n r m

r r

m n r n

     

 

   

 

      

 

Do  P y:   x2 x

Vậy  

37

2

12

MTCT H

S x x x dx



    

1

p , q1, 1

p q  số dương a b, Xét hàm số:

1 p

y x  x0có đồ thị  C Gọi  S1 diện tích hình phẳng giới hạn  C , trục hoành, đường thẳng xa, Gọi  S2 diện tích hình phẳng giới hạn  C , trục tung, đường thẳng y b , Gọi  S diện tích hình phẳng giới hạn trục hồnh, trục tung hai đường thẳng xa, y b Khi so sánh

1

S S S ta nhận bất đẳng thức bất đẳng thức đây?

A ap bq ab

p  q  B

1 1 p q a b ab p q    

  C

1 1 p q a b ab p q    

  D

p q

a b ab p  q  Lời giải

Chọn D

Ta có: S S 1S2

 1

1

0

d

a

a p p

p x a

S x x

p p           ; 1 1 0 dy 1 b b

b p q q

p y y b

S y q q p                                 

Vì: 1 1

1

1 1 1

p

q

p p

p q

    

   Vậy

p q

a b ab p  q 

Câu 83: (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Cho khối trụ có hai đáy hai hình trịn O R;  O R; ,

OO  R Trên đường tròn O R;  lấy hai điểm A B, cho AB a Mặt phẳng  P qua A, B cắt đoạn OO tạo với đáy góc 60,  P cắt khối trụ theo thiết diện phần elip Diện tích thiết diện

A

3 R



 



 

 

  B

2

2

3 R



 



 

 

  C

2

2

3 R



 



 

 

  D

2

4

3 R

Cách 1: Gọi I H K E, , , điểm hình vẽ * Ta có: IHO 60

2

2 2

4

R R OH OB BH R  

2

R OH

  tan 60

2

R OI OH

    ,

cos 60

OH

IH R

 , IOH EKH nên ta có: 2

IE OK

IE R

IH OH   

* Chọn hệ trục tọa độ Ixy hình vẽ ta có elip  E có bán trục lớn aIE2R  E qua ;

2

R AR 

  nên  E có phương trình  

2 2

:

4 x y E

R  R  * Diện tích thiết diện

2 2

2

2 d d

4

R R

R R

x x

S R x R x

R R

 

     

* Xét tích phân:

2

2

1 dx

4 R

R

x I

R 

   , đặt sin ; ; 2

x R t t   

  ta

 

2 2

6

sin 2

1 cos d

2 2

R R t

I t t t R

 

 

 



 

 

        

 



3

S   R

   

 

Cách 2:  

2 2 1

cos 120

2 2

OA OB AB R

AOB AOB OH

OA OB

 

       

Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ

Ta có 2

2 d

R

R

S R x x



   Đặt x R sint 2.

3

S   R

   

 

Gọi diện tích phần elip cần tính S

Theo cơng thức hình chiếu, ta có 2 2.

cos 60

S

S   S   R

 

Câu 84: (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN - 2018) Cho parabol  P :yx2 đường thẳng d thay đổi cắt  P hai điểm A, B cho AB2018 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn  P đường thẳng d Tìm giá trị lớn Smax S A

3 2018

6 max

S   B

3 2018

3 max

S  C

3 2018

6 max

S   D

3 2018

3 max

S  Lời giải

Chọn D

Giả sử A a a( ; )2 ; B b b( ; ) (2 b a ) cho AB2018 Phương trình đường thẳng d là: y (a b x ab)  Khi

 

   3

2

( ) d d

6

b b

a a

S a b x ab x   x a b x ab x   x b a

Vì AB2018b a 2b2a2220182b a 21b a 220182

 2 2

2018

b a

   2018 20183

6 b a b a S

      

Vậy

3 max

2018

S  a 1009 b1009

Câu 85: (CHUYÊN KHTN - LẦN - 2018) Cho hàm số y ax 4bx2c có đồ thị  C , biết  C qua điểm A1;0, tiếp tuyến d A  C cắt  C hai điểm có hồnh độ và diện tích hình phẳng giới hạn d, đồ thị  C hai đường thẳng x0 ; x2 có diện tích 28

5 (phần tơ màu hình vẽ)

Diện tích hình phẳng giới hạn  C hai đường thẳng x 1; x0 có diện tích A

5 B

1

4 C

2

9 D

Lời giải Chọn D

Ta có y 4ax32bx  d y:   4a2b x 1

Phương trình hồnh độ giao điểm d  C là: 4a2b x  1 ax4bx2c 1 Phương trình  1 phải cho nghiệm x0, x2



12 16 a b c

a b a b c

             

4 2

28 10

a b c a b c

   



    



Mặt khác, diện tích phần tơ màu   

4

28 4 2 1 d

5   a b x ax bx c x

 

28 4 4 2 32 2

5 a b a 3b c

       112 32 28 4

5 a b c

    

Giải hệ phương trình  2 ,  3  4 ta a1, b 3, c2 Khi đó,  C :yx43x22, d y: 2x1

Diện tích cần tìm  

4

3 2 d

S x x x x



 

      0 

1

1

3

5 x x x dx 

    

Câu 86: (THPT TỨ KỲ - HẢI DƯƠNG - LẦN - 2018) Đặt S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y 4 x2, trục hoành đường thẳng x 2, x m ,

  2 m 2 Tìm số giá trị tham số m để 25

3

S

A B C D

Lời giải Chọn D

Ta có

2

25

4 d

3

m

S x x



    Phương trình 4x2    0 x 2

Bài 2 m2 nên 2;m 4x2 0 vơ nghiệm

 

2

2

2

25 25 25

4 d d

3 3

m m x m

x x x x x

                  

3 8 25 16 25

4

3 3 3

m m m m                      3 3 3

16 25

4 12 9 0

3 3

1 41

16 25 4 0 12 41

4

3

3 3

m

m m m m m

m m m m m

m                                  

 1

Xét hàm số f m m312m, với m  2; 2 có   3 12 3 4 0

Do f m  nghịch biến 2; 2 f m  f   2 16m312m41 0 Khi  1 12  3 3 21

2

m m m m m m 

           thỏa mãn

Vậy có 21

2

m  thỏa mãn toán

Câu 87: (THPT MỘ ĐỨC - QUẢNG NGÃI - 2018) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol  P :yx2 hai đường thẳng y a , y b 0 a b (hình vẽ) Gọi

1

S diện tích hình phẳng giới hạn parabol  P đường thẳng y a (phần tơ đen);  S2 diện tích hình phẳng giới hạn parabol  P đường thẳng y b (phần gạch chéo) Với điều kiện sau a b S1S2?

A b 34a B b 32a C b33a D b36a Lời giải

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm parabol  P :yx2 với đường thẳng y b

x    b x b

Phương trình hồnh độ giao điểm parabol  P :yx2 với đường thẳng y a

x    a x a

Diện tích hình phẳng giới hạn parabol  P :yx2 đường thẳng y b

 2

0

2 d

b

S  b x x

2

3

b x bx

 

   

 

b b b b

 

   

 

4

b b 

Diện tích hình phẳng giới hạn parabol  P :yx2 đường thẳng y a (phần tô màu đen)  2

1

2 d

a

S   a x x

2

3

a x ax

 

   

 

a a a a

 

   

 

4

a a



Do S 2S1 2.4

3

b b a a

     b 32 a 3 b 32 a  b 34a

Câu 88: (THPT YÊN KHÁNH A - LẦN - 2018) Cho hình phẳng giới hạn Elip

2 1

x y

parabol

2

y x trục hoành (phần tơ đậm hình vẽ) có diện tích T a c

b d

   (với a c, ; ,b d *; ,a c

b d

  phân số tối giản) Tính S    a b c d

A S 32 B S 10 C S 15 D S 21 Lời giải

Chọn C

Ta có:

2

2 1 1

4

x x

y y

     

Hoành độ giao điểm (E’)

2

4 x

y  parabol

2

y x

2 2

3

1 1

4

x

x x x x x

          (theo hình vẽ x0 )

Vậy

1 2

2

0

3

1

2

x T  x dx  dx Mà

1

1

2

0 0

3 3

2 6

x x dx 

 Ta có:

2 2

2

1

1

1

4

x

I  dx  x dx Đặt x2 cost ta có:

2

4x dx

  

3

4sin 2sint t dt





 3 

0

2

4 sin cos

3

tdt t dt

 



      

Do 1 3 12

T    nên S 15

Câu 89: Cho hàm số yx3ax2bx c a b c  , ,  có đồ thị  C và

 

2 , ,

A  0;1 B  1; C  2;3 D  3;4 Lời giải

Chọn B

Căn đồ thị ta thấy

+ Hàm số y x 3 ax2 bx cđạt cực trị

1

x  nên ta có  

 

1 0

2 3

1

y a b a

a b b

y

 

      

  

          

 



+ Hàm số y mx 2 nx p đạt cực đại x 1  

P cắt  C hai điểm có hồnh độ

x  nên ta có

2

1

1

m n n

a b c m n p m

a b c m n p p c

    

 

         

 

         

 

Suy      

1

2 3

1

4

1 1;

3

S mx nx p x ax bx x dx x x x dx

 

DẠNG TỐN 2: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY

Dạng 2.1: Ứng dụng tích phân tính thể tích khối trịn xoay (khơng có điều kiện)

Câu 90: (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Viết cơng thức tính thể tích V khối tròn xoay tạo quay hình thang cong, giới hạn đồ thị hàm số y f x , trục Ox hai đường thẳng x a x b a b ,    , xung quanh trục Ox

A  

b

a

V  f x dx B 2 

b

a

V  f x dx C 2 

b

a

V f x dx D  

b

a

V f x dx Lời giải

Chọn B

Câu 91: (ĐỀTHAMKHẢOBGD& ĐT2018) Cho hàm số y f x liên tục đoạn  a b; Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x , trục hoành hai đường thẳng

 

,

x a x b a b   Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính theo cơng thức:

A 2b   a

V   f x dx B b 2  a

V  f x dx C 2 b 2  a

V  f x dx D 2b 2  a

V  f x dx Lời giải

Chọn B

Câu 92: (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Cho hình phẳng  H giới hạn đường 3

y x  , y0, x0, x2 Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay  H xung quanh trục Ox Mệnh đề đúng?

A  

2

3

V  x  dx B  

2

3 V  x  dx

C  

2

2

3

V  x  dx D  

2

2

3 V  x  dx Lời giải

Chọn D

Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay  H xung quanh trục Ox là:

 

2

2

3 V  x  dx

Câu 93: (MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y e x, trục hoành đường thẳng x0, x1 Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu?

A     1

2

e

V B  21

2

e

V C  

3

e

V D   

2 1

2

e V Lời giải

Chọn D

 

 

   

1

1

2

0

1 e

e d

2

x

x e

V x

Câu 94: (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y x2 1 , trục hoành đường thẳng x0,x1 Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu?

A V 2 B

3

V  C V2 D

3

V Lời giải

Chọn B

Thể tích khối trịn xoay tính theo cơng thức:

   

1

2

0 0

4

1 d d

3

x

V  x  x x  x x  

 

 

Câu 95: (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Cho hình phẳng D giới hạn đường cong  cos ,

y x trục hoành đường thẳng 0,  

2

x x Khối tròn xoay tạo thành D quay quanh trục hồnh tích V bao nhiêu?

A V    ( 1) B V   1 C V   1 D V    ( 1)

Lời giải Chọn A

    



 2        

0

2 cos sin ( 1)

V x dx x x

Câu 96: MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hình phẳng D giới hạn đường cong sin

y  x, trục hoành đường thẳng x0, x Khối tròn xoay tạo thành quay D quay quanh trục hồnh tích V bao nhiêu?

A V2  1 B V 2 C V 21 D V 22 Lời giải

Chọn A A

Ta có:  2  

0

2 sin d sin d

V x x x x

 

 

      2xcosx0 2  1

Câu 97: (ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Kí hiệu  H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y2(x1) ,ex trục tung trục hồnh Tính thể tích V của khối trịn xoay thu quay hình  H xung quanh trục Ox

Lời giải Chọn A

Phương trình hồnh độ giao điểm 2x1ex   0 x

Thể tích khối trịn xoay thu quay hình  H xung quanh trục Ox là:

   

1

2 2

0

2 x x

V  x e  dx  x e dx Đặt  

  2 2 1 x x

du x dx u x

e v dv e dx

               

 2 1    2 1  2

0

0

4 4

2 2

x x x

x

e e e

V  x  x dx  x  x e dx

          

Gọi  

2

0

1 x

I  x e dx Đặt 2

1

2 x x

u x du dx e dv e dx v

          

  1 2 2 2

1 0

0

4 2

2

x x

x

e e

I  x  dx  e  e   e

           

Vậy      

1

2 2

1

4

2 x

e

V   x   I     e  e 

Câu 98: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình phẳng  H giới hạn đường thẳng

2 2, 0, 1, 2

y x  y x x Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay  H xung quanh trục Ox Mệnh đề đúng?

A  

2

2 d

V  x  x B  

2

2

2 d

V  x  x

C  

2

2

2 d

V  x  x D  

2

2 d

V  x  x Lời giải

Chọn B

Ta có:  

2

2 d

V  x  x

Câu 99: (ĐỀTHAMKHẢOBGD&ĐT NĂM2017) Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x1 x3, biết cắt vật thể mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (1 x 3) thiết diện hình chữ nhật có độ dài hai cạnh 3x 3x22

A 124

3

V B V (32 15)  C V 32 15 D 124

3

V  

Lời giải Chọn A

Diện tích thiết diện là: S x( ) 3 x x22  Thể tích vật thể là:

3

2

124

Câu 100:(ĐỀ 15 LOVE BOOK NĂM 2018-2019) Tìm cơng thức tính thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn parabol  P y x:  2 đường thẳng d y: 2x quay xung quanh trục Ox

A  

2

2

2

x x dx

  B

2

2

0

4x dx x dx   C

2

2

0

4x dx x dx

  D  

2

2x x dx   Lời giải

Chọn B

Phương trình hồnh độ giao điểm 2 0

2

x

x x

x      

  Vậy thể tích khối trịn xoay tính

2

2

0

4

V  x dxx dx

Câu 101:(THPT ĐOÀN THƯỢNG - HẢI DƯƠNG - 2018 2019) Cho hình phẳng  H giới hạn đường y x 23, y0, x0, x2 Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành

khi quay  H xung quanh trục Ox Mệnh đề sau đúng?

A  

2

2

3 d

V  x  x B  

2

3 d V  x  x

C  

2

2

3 d

V  x  x D  

2

3 d V  x  x Lời giải

Chọn A

Thể tích vật thể tạo nên  

2

3 d V  x  x

Câu 102:(CHUYÊN TRẦN PHÚ HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Gọi V thể tích khối trịn xoay thu quay hình thang cong, giới hạn đồ thị hàm số ysinx, trục Ox, trục Oy đường thẳng

2

x , xung quanh trục Ox Mệnh đề đúng?

A

2

sin V xdx



 B

2

0 sin V xdx



 C

2

sin

V xdx





  D

2

0 sin

V xdx





 

Cơng thức tính: 2  b

a

Vf x dx

Câu 103:Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số

2 2

y x  x, trục hoành, đường thẳng x0 x1quanh trục hoành A 16

15

 . B 2

3

 . C 4

3

 . D 8

15  Lời giải

Chọn D

Ta có    

1

1 2

2 4

0 0

4

2 d 4 d

5 15

x x

V  x  x x x  x  x x  x        

 

 

 

Câu 104:(THPT YÊN PHONG SỐ BẮC NINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho miền phẳng  D giới hạn y x, hai đường thẳng x1, x2 trục hồnh Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay  D quanh trục hoành

A 3 B

2



C

3



D

2

Lời giải Chọn B

2

1 V xdx

2

1

3

2

x

 

 

Câu 105:(SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình phẳng  H giới hạn đường y2x x 2, y0 Quay  H quanh trục hồnh tạo thành khối trịn xoay tích

A  

2

2

2 

 x x dx B  

2

2

 x x dx C  

2

2

2 

 x x dx D  

2

2

 x x dx Lời giải

Chọn B

Theo công thức ta chọn  

2

2

  

V x x dx

Câu 106:Cho hình phẳng giới hạn đường tan x , 0, 0,

y y x x quay xung quanh trục Ox Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh

A ln 2

 B ln

4

 C

4

 D ln 2 Lời giải

Chọn A

Thể tích vật thể tròn xoay sinh    

4 2 4

0 0

d sin

tan d tan d x.d cosx

V x x x x x

cosx cosx

   

   

        

lncosx4 ln ln

 

   

Câu 107:(THPT AN LÃO HẢI PHÒNG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay xung quanh trục hồnh elip có phương trình

2 25 16 x  y 

V có giá trị gần với giá trị sau đây?

A 550 B 400 C 670 D 335

Lời giải Chọn d

Quay elip cho xung quanh trục hồnh quay hình phẳng:

4 , 0, 5, 25

x

H y  y x  x 

 

 

Vậy thể tích khối trịn xoay sinh H quay xung quanh trục hoành là:

2

5

5

16 16 320

16 16 335,1

5

25 75

x x

V  dx  x 



   

         

   

 

Câu 108:(THPT CẨM GIÀNG NĂM 2018-2019) Cho hình phẳng  H giới hạn đường 2

y x  x, trục hồnh đường thẳng x1 Tính thể tích V hình tròn xoay sinh  H quay  H quanh trục Ox

A

3

V   B 16

15

V   C

8

V   D 15 V   Lời giải

Chọn B

Theo đề, ta có hình vẽ sau:

Nhận xét: Khi nhìn vào hình vẽ Đường thẳng x1chia hình phẳng giới hạn đường 2

y x  x trục hoành làm phần Dễ thấy lúc hình phẳng  H khơng thể xác định phần hình giới hạn bởix0đếnx1vàx1đếnx2 chưa rõ ràng

Nếu xét phần tròn xoay xoay hình phẳng quanh trục Ox khix0đếnx2thì khơng có đáp án bài, đồng thời đề cho thêm đường thẳng x1 khơng cần thiết

Do để tốn có đáp án rõ ràng ta điều chỉnh đề sau:

Cho hình phẳng  H giới hạn đường y x 22x, trục hồnh Tính thể tích V hình trịn xoay sinh  H quay  H quanh trục Ox

Hình phẳng  H giới hạn

2 2

0

y x x

y     



Ta có phương trình hồnh độ giao điểm củay x 22x y0 (trục hoành) là: x

y

O

2 2 y x  x

x

2

2

x  x

2

x x     



Khi thể tích V hình trịn xoay sinh  H quay  H quanh trục Ox là:

 

2

2

2 d Ox

V  x  x x 16 15





Câu 109:(TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG N NĂM 2018-2019) Thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng  H xác định đường

3

y x x , y0, x0

3

x quanh trục Ox A 81

35



B 81

35 C

71 35



D 71

35

Lời giải Chọn A

Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng  H quanh trục Ox :

3

3

0

1 d d 81

3 35

V   x x  x  x  x x  x 

   

 

Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính : 81

35

V  

Câu 110:(CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH ĐỒNG NAI NĂM 2018-2019 LẦN 01) Thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn parapol (P): y x 2 đường thẳng d:

2

y x

quay xung quanh trục Ox bằng: A

2

2

(2x x ) dx

  B

2

2

0

(x ) dx x   C

2

2

0

4 dx x x xd

  D

2

2

0

4 dx x x xd   Lời giải

Chọn D

Xét phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị: 2

2

x

x x

x     

 

12

10

8

6

4

2

2

y

15 10 5 10 15

x

y = 2x

y = x^2

Ta có:

2 2

2 2

0 0

(2 ) dx ( ) dx dx dx Ox

V  x  x  x x

Câu 111:(CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình phẳng  D giới hạn hai đường y2x21; y 1 x2 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành

do  D quay quanh trục Ox A 64

15

 B 32

15 C

32 15

 D 64

15 Lời giải

Chọn A

Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y2x21 y 1 x2

 

2 x   1 x   x

Lấy đối xứng đồ thị hàm số y2x21 qua trục Ox ta đồ thị hàm số y2 1 x2 Ta có 2 1 x2 1 x2,  x  1;1 Suy thể tích khối trịn xoay cần tìm

 

1 2

2

64

2

15

V  x dx 



 

    

Câu 112:(CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Cho hình phẳng giới hạn đường ytanx, y0, x0,

4

x  quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng:

A B

4 

 

  

  C

3



D

 

  

 

Lời giải Chọn B

 

4

2

2

0 0

tan x sin d tanx

1

t

V xd x dt

t

 



 

         

  

  

Câu 113:(CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN NĂM 2018-2019) Cho hình phẳng giới hạn đường y x2, y0 x9 quay xung quanh trục Ox Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành

2

2

1

x y

y=2(1-x2) y=1-x2

y=2 x 2-1

1

A

V  B

V   C 11

V   D 11 V   Lời giải

Chọn D

Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y x2 trục hoành: x 2

x

   x

Thể tích khối tròn xoay tạo thành là:

 

9 2

4

2 d

V  x x  

9

4

4 d

x x x

     4

x x x x

 

    

 

81 72 36 16 64 16 11

2



   

        

   

Câu 114:(CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN LẦN NĂM 2018-2019) Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay hình  H quanh Ox với  H giới hạn đồ thị hàm số y 4x x trục hoành

A 31

3



B 32

3



C 34

3



D 35

3  Lời giải

Chọn B

Điều kiện xác định: 4x x 2   0 0 x 4.

Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y 4x x trục hoành

4x x 0

4x x

  

4 x x      

Thể tích vật thể trịn xoay quay hình  H quanh Ox :

 2

4

2

4 d

V  x x x 4 2

4x x dx 

   32

3 



Vậy thể tích vật thể trịn xoay quay hình  H quanh Ox 32 

Câu 115:(CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018-2019) Cho hình phẳng  H giới hạn đồ thị y2x x 2 trục hoành Tính thể tích V vật thể trịn xoay

sinh cho  H quay quanh Ox

A

3

V   B 16 15

V   C 16 15

V  D V  Lời giải

Chọn B

Phương trình hồnh độ giao điểm  H với trục hoành: 2 2 0         x x x x Vậy thể tích khối trịn xoay sinh  H quay quanh Ox là:

 

2

2

2 d

V  x x x 24x24x3x4.dx

 4            x x x  16

Câu 116:(THPT NGHĨA HƯNG NĐ- GK2 - 2018 - 2019) Tính thể tích vật thể tạo nên quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn đồ thị P y: 2x x 2 trục Ox bằng:

A 19 15

V   B 13 15

V   C 17 15

V   D 16 15 V   Lời giải

Chọn D

Xét phương trình hồnh độ giao điểm  P trục Ox:

2

2

2

x x x

x      

  Khi đó:

   

2

2

2 4

0 0

4 16

2 d 4 d

3 15

V  x x x x  x x x x x  x   

 

 

Câu 117:Tính thể tích vật trịn xoay tạo miền hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x 3,

y  x , x1 xoay quanh trục Ox

A 41

2  B

43

2  C

41

3  D

40 3

Xét phương trình 3 3

x

x x x

x

  

       

  



Xét hình  H giới đồ thị hàm số y x3    3 x 2, y x 3  2 x 1,

y x1

Thể tích vật thể trịn xoay cần tìm thể tích vật thể trịn xoay thu quay quanh hình  H quanh trục Ox Do

 

2 2

3

43

3 d d

2

V   x x  x x 

 

 

      

 

 

Câu 118:(THPT QUANG TRUNG ĐỐNG ĐA HÀ NỘI NĂM 2018-2019) Ký hiệu ( )H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x( ) x e x2, trục hoành, đường thẳng x1 Tính thể tích Vcủa khối trịn xoay thu quay ( )H quanh trục hoành

A V e21 B V e21 C 1

4

V  e  D  1

4

V   e 

Lời giải Chọn D

Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y f x( )và trục hoành nghiệm phương trình

2

x 0

x e   x

Khi thể tích khối tròn xoay tạo thành là:

 2 2

1 2 1

2 2 2

0 0

1

1 1

d d d(2 ) ( 1)

0

4 4

x x x x

V  x e xxe x e x  e   e  Câu 119:(THPT YÊN KHÁNH - NINH BÌNH - 2018 - 2019) Cho vật thể  T giới hạn hai mặt

phẳng x0;x2 Cắt vật thể  T mặt phẳng vng góc với trục Ox x0 x 2 ta thu thiết diện hình vng có cạnh x1ex Thể tích vật thể  T

A  

4

13

e

 

B

4

13

e 

C 2e2. D 2e2

Diện tích thiết diện S x   x12e2x

Thể tích vật thể  T    

2

2 2

0

1 x

V S x dx x e dx

 2 2 2  2 2 2 2

0 0

1 1

1

2 2

x x e x x x

V  x e  x e dx    e  e dx

 

 

2

4 4

2 4

0

9 1 1 13

3

2 4 4

x

e e e

e e e

  

      

Câu 120:(TT HOÀNG HOA THÁM - 2018-2019) Cho hai mặt cầu    S1 , S2 có bán kính

R thỏa mãn tính chất tâm  S1 thuộc  S2 ngược lại Tính thể tích V phần chung hai khối cầu tạo    S1 , S2

A 45

8

V   B 45

4

V   C 45

4

V  D 45

8

V 

Lời giải Chọn A

Phần chung hai khối cầu tạo    S1 , S2 khối tròn xoay, tương đương phần hình phẳng OAO quay quanh trục OOhay hai lần phần mặt phẳng tạo AHO quay quanh trục OO

Đặt hệ trục hình phương trình đường trịn  O x2y2  9 y 9x2 , điểm H có hồnh độ

2 ; O có hồnh độ nên thể tích :

 2

3

2

2

9

V  x dx 3 2

3

45

8

x dx

 

   

Câu 121: (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ - THÁNG - 2018) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị y x y x 2 quay quanh trục tung tạo nên vật thể trịn xoay tích

A

6



B

3



C

15



D

15

Chọn A

Phương trình hồnh độ giao điểm x x2 0

1

x y

x y

  



     



Ta có đồ thị hai hàm số y x y x 2 đối xứng qua Oy nên hình phẳng giới hạn hai đồ thị y x y x 2 quay quanh trục tung tạo nên vật thể trịn xoay tích thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn hai đường x y x y quay xung quanh trục Oy

Thể tích vật thể trịn xoay cần tìm là:

2

d

V  y y y  

1

d

y y y

   

1

2

0

1

2y 3y

  

   

 

 

Câu 122: (THPT CHUYÊN NGUYỄN THỊ MINH KHAI - SÓC TRĂNG - 2018) Cho hình ( )H giới hạn đồ thị hàm số 3

9

y x , cung trịn có phương trình y 4x2 (với 0 x 2) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ)

Biết thể tích khối trịn xoay tạo thành quay ( )H quanh trục hoành

a c V

b d 

 

   

  ,

* , , ,

a b c d a c,

b d phân số tối giản Tính P a b c d   

A P52 B P40 C P46 D P34 Lời giải

Chọn C

 

3 2

3

0

3

d d

9

V   x  x x x

   

  

 

3

6

0

1 d 4 d

27x x x x

  

    

 

  

2

7

0

1 . 4

27

x x x

    

   

   

 

20 16

7 

 

   

 

20, 7, 16,

a b c d

    

46

Dạng 2.2: Ứng dụng tích phân tính thể tích khối trịn xoay (có điều kiện)

Câu 123:(ĐỀ HỌC SINH GIỎI TỈNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Cho hình phẳng ( )H giới hạn đường cong y m2x2 (m tham số khác 0) trục hoành Khi ( )H quay xung quanh trục hồnh khối trịn xoay tích V Có giá trị nguyên

m để V1000

A 18 B 20 C 19 D 21

Lời giải Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm đường cong trục hoành là: m2x2    0 x m Thể tích vật thể trịn xoay cần tính là:

2

2 2

( ) ( ) |

3

m m

m m

m m V  m x dx  m x x 

 

     

Ta có: V1000 1000

m m 



 

750 m

   3750  m 3750

Ta có 37509, 08 m0 Vậy có 18 giá trị nguyên m

Câu 124:(PEN I - THẦY LÊ ANH TUẤN - ĐỀ - NĂM 2019) Cho hàm số   , , , , , 0

y f x ax bx cx d a b c d  a có đồ thị  C Biết đồ thị  C tiếp xúc với đường thẳng y4 điểm có hồnh độ âm đồ thị hàm số y f x'  cho hình vẽ Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay hình phẳng H giới hạn đồ thị  C trục hoành quay xung quanh trục Ox

A 725

35  B

1

35 C 6 D đáp án khác

Lời giải Chọn D

Dựa vào đồ thị hàm số y f x'  f x' 3x21

Khi f x  f x dx x'   33x C



 

   

3

3

4

2

3

'

x x C

f x x

C x

f x

   



   

  

      



 

 

suy f x  x33x22 C + C Ox hoành độ giao điểm x 2;x1

+Khi  

1

2 2

729

3

35

V  x x dx 



    

Câu 125:(THPT GANG THÉP THÁI NGUYÊN NĂM 2018-2019) Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y x, y0 x4 quanh trục Ox Đường thẳng x a 0 a 4 cắt đồ thị hàm số y x M (hình vẽ) Gọi V1 thể tích khối trịn xoay tạo thành quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết

1

V  V Khi

A a 2 B a2 C

2

a D a3

Lời giải Chọn D

Ta có:

4

4

0

8

x

V xdx   Mà V 2V1V14

Gọi K hình chiếu M Ox OK a KH ,  4 a MK,  a

Khi xoay tam giác OMHquanh Ox ta khối tròn xoay lắp ghép hai khối nón sinh tam giác OMK MHK, , hai khối nón có mặt đáy có tổng chiều cao

4

OH  nên thể tích khối trịn xoay  2

1

.4

3

a

V   a   , từ suy a3

Câu 126:(THPT NĂM 2018-2019 LẦN 04) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,  

2

2

4 :

4 4, x y

x H y

x x 

  

  

 

  

  

,

   

 

2 2

2

2

16

:

2

x y H x y

x y

  

   

 

  



Cho    H1 , H2 xoay quanh trục Oy ta vật thể tích

lần lượt V V1, 2 Đẳng thức sau A V V1 2 B 1 2

2

V  V C V12V2 D 1 2

2

Lời giải Chọn D

Ta có    

4 2

2

0

8 .4 96

V     y dy 

  

3

2

4 4

2 64

3

V       Suy

3

V  V

Câu 127: (THPT CHU VĂN AN -THÁI NGUYÊN - 2018) Cho hình thang ABCD có AB song song CD AB AD BC a CD   , 2a Tính thể tích khối trịn xoay quay hình thang

ABCD quanh trục đường thẳng AB A

4a B

3

5

2a C

3

3 2 a



D a3 Lời giải

Chọn A

Dễ thấy ABCE hình bình hành nên AEBC a Vậy ADE tam giác

Có

2

a

AH

Xét hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ Có phương trình :

a

CD y  ; xD 0,xC 2a;

;0

a A 

 

Phương trình : 3

a

AD y x

Vậy

2

2 2 2

2

0 0

3 3

2 2 3

2 4

a a

a a a a a

V       x    a   x  ax 

 

   

  

3 2 3

3

0

3 2 3 2

2

a

a x ax a x a a a

           

 

Cách 2: Thể tích khối trịn xoay tạo theo đề thể tích khối trụ có chiều cao 2a bán kính đáy

2

a

trừ thể tích hai khối nón có chiều cao

2

a

bán kính đáy

2

a

Vậy

2

3

3

2

2 2

a a a

V    a    a

   

Câu 128:(CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hình phẳng  D giới hạn đường y x  , ysinx x0 Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành  D quay quanh trục hoành V  p4,p Giá trị 24p

A B C 24 D 12

Lời giải Chọn A

Xét phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y x  ysinx:

sin

x  x x  s ni x0 1  Ta thấy x nghiệm phương trình  1 Xét hàm số f x   x  sinx f x 1cosx0,x

  f x

 đồng biến  nên x nghiệm phương trình f x 0

Cách 1:

Xét hàm số g x xsinx x, 0;   osx 0,  0;

g x  c  x  , suy hàm số g x    x s ni x nghịch biến  0;

0;   :   sin sin

x  g x g   x x   

             x sinx  2

2

1 1

3 3

V  OB OA      p

  Vậy 24 24.1 p 

Cách 2: Từ  2 ta có  2   2 

0

d d

V x x x x

 

    

      

 3 4

0

3

x     

 

3 p

 

Vậy 24 24.1 p 

Câu 129: (THPTCHUYÊNLÊHỒNGPHONG-TPHCM-2018) Cho đồ thị  C :y f x  x Gọi  H hình phẳng giới hạn đồ thị  C , đường thẳng x9 trục Ox Cho điểm

M thuộc đồ thị  C điểm A 9;0 Gọi V1 thể tích khối tròn xoay cho  H quay quanh trục Ox, V2 thể tích khối trịn xoay cho tam giác AOM quay quanh trục Ox Biết V12V2 Tính diện tích S phần hình phẳng giới hạn đồ thị  C đường thẳng OM

A S 3 B 27

16

S C 3

2

S D

3

S Lời giải

Chọn B

Ta có  

9 2

1

π d

V   x x 81

2



Gọi H hình chiếu M lên trục Ox, đặt OH m (với 0m9), ta có M m m ; , MH  m AH  9 m

Suy 2

2

1

π π

3

V  MH OH MH AH 1π. 2.

3 MH OA

 3 πm Theo giả thiết, ta có V12V2 nên

81π π  m 

27

m Do 27 3;

4

M    Từ ta có phương trình đường thẳng OM

9

y x

Diện tích S phần hình phẳng giới hạn đồ thị  C đường thẳng OM 27

4

0

2 d S  x x x

 



27

0

2

3x x x

 

  

  

DẠNG TỐN 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG

Dạng 3.1: Bài toán cho biết hàm số vận tốc, quãng đường chuyển động

Câu 130:(MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian quy luật   13 m/s

100 30

v t  t  t , t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O, chuyển động thẳng hướng với A chậm 10 giây so với A có gia tốc am/s2 (a số) Sau B xuất phát 15 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A

A 15 m/s  B m/s  C 42 m/s  D 25 m/s 

Lời giải Chọn D

Ta có v tB a.dtat C , vB 0   0 C v tB at Quãng đường chất điểm A 25 giây

25

2

1 13

dt 100 30

A

S   t  t 

 

  25

0

1 13 375

300t 60t

 

   

 

Quãng đường chất điểm B 15 giây 15

0

.dt

B

S at 15

0

225

2

at a

 

Ta có 375 225

2

a a

  

Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A  15 5.15 25 m/s 

B

v   

Câu 131:(Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian quy luật   58  / 

120 45

v t  t  t m s , t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O, chuyển động thẳng hướng với A chậm

giây so với A có gia tốc a m s / 2 (a số) Sau

B xuất phát 15

giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A

A 21m s/  B 25m s/  C 36m s/  D 30m s/ 

Lời giải Chọn D

Thời điểm chất điểm B đuổi kịp chất điểm A chất điểm B 15giây, chất điểm Ađi 18 giây

  B

v t at

Do từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động chất điểm B đuổi kịp quãng đường hai chất điểm Do

18 2 15

0

1 58 225

d d 225

120t 45 t at t a a

       

 

 

 

Vậy, vận tốc chất điểm B thời điểm đuổi kịp A v tB 2.15 30 m s/  Câu 132:(ĐỀ MINH HỌA GBD&ĐT NĂM 2017) Một ô tô chạy với vận tốc 10m/s người

lái đạp phanh; từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v t   5 10t (m/s), t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển mét?

A 0,2m B 2m C 10m D 20m

Lời giải Chọn C

Xét phương trình 10 0 t   t Do vậy, kể từ lúc người lái đạp phanh sau 2s ô tô dừng hẳn

Quãng đường ô tô kể từ lúc người lái đạp phanh đến ô tô dừng

 

2

2

2

5 10 10 10

0

 

       

 



s t dt t t m

Câu 133:(Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian quy luật   59  / 

150 75

v t  t  t m s , t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc a bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O, chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc a m s / 2(a số) Sau B xuất phát 12 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A

A 15m s/  B 20m s/  C 16m s/  D 13m s/ 

Lời giải Chọn C

Quãng đường chất điểm A từ đầu đến B đuổi kịp   15

2

1 59 96

150 75

S  t  t dt  m

 



Vận tốc chất điểm B v tB adt at C 

Tại thời điểm t3 vật B trạng thái nghỉ nên vB 3    0 C 3a

Lại có quãng đường chất điểm B đến gặp A

  15  

15

2

3

3 72

2 at

S  at a dt  at  a m

 



Vậy 72 96

a  a m s/ 2

Tại thời điểm đuổi kịp A vận tốc B vB 15 16m s/ 

với vận tốc biến thiên theo thời gian quy luật ( ) 11  / 

180 18

v t  t  t m s , t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O, chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với

A có gia tốc a m s / 2 (a số) Sau B xuất phát 10 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A

A 15m s/  B 10m s/  C 7m s/  D 22m s/ 

Lời giải Chọn A

Thời gian tính từ A xuất phát đến bị B đuổi kịp 15 giây, suy quãng đường tới lúc

15

0 ( )d v t t

 15

0

1 11 d 180t 18t t

 

   

 



15

3

0

1 11

540t 36t

 

  

  75 m

Vận tốc chất điểm B y t a t.d a t C  (C số); B xuất phát từ trạng thái nghỉ nên có y 0 0 C 0;

Quãng đường B từ xuất phát đến đuổi kịp A 10

0

( )d 75 y t t

 10

0

d 75 a t t

 

10

0

75

2 a t

  50a75

2

a   Vậy có  

2

t

y t  ; suy vận tốc B thời điểm đuổi kịp A y 10 15m s/  Câu 135:(MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Một vật chuyển động theo quy luật  1 36

2

s t t với t (giây) khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động s m quãng đường vật di chuyển khoảng thời gian Hỏi khoảng thời gian giây, kể từ bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt bào nhiêu?

A 18 m/s  B 108 m/s  C 64 m/s  D 24 m/s 

Lời giải Chọn B

Vận tốc vật chuyển động    212   

2

v s t t f t

Tìm giá trị lớn hàm số f t  đoạn 0;6 Ta có f t   3 12t  f t     0 t 0;6

 0 0; 4 24; 6 18

f f f

Vậy vận tốc lớn 24 m/s 

A 20 m B 30 m C 10 m D 40 m Lời giải

Chọn D

Khi tơ dừng hẳn thì: v t    0 5t 20 0  t 4 s

Vậy từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô di chuyển được:    

0

5 20 40

s   t dt m

Câu 137:(THPT QUỲNH LƯU NGHỆ AN NĂM 2018-2019) Một ô tô chạy với vận tốc 12 m s/  người lái đạp phanh; từ thời điểm tô chuyển động chậm dần với vận tốc v t   6 12t m s/ , t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn, ô tô di chuyển mét?

A 8m B 12m C 15m D 10m

Lời giải Chọn B

Lấy mốc thời gian t0 lúc đạp phanh.

Khi ô tơ dừng hẳn vận tốc v t 0, tức v t   6 12 0t   t

Vậy từ lúc đạp phanh đến lúc ô tô dừng hẳn, ô tô di chuyển quãng đường

 

2

0

6t 12 dt  

  2

0 3t 12t 12

     m

Câu 138:(THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Một ô tơ chạy với vận tốc 15m/s người lái xe hãm phanh Sau hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v t   3 15t  m/s , t (giây) Hỏi từ lúc hãm phanh đến dừng hẳn, ô tô di chuyển mét?

A 38m B 37,2m C 37,5m D 37m Lời giải

Chọn C

Khi xe dừng hẳn v t   0 t

Khi quảng đường xe tính từ lúc bắt đầu hãm phanh đến dừng hẳn là:

 

5

5

0 0

3

3 15 15 37,5

2

d t

S   t t   t 

 

 m

Vậy ta chọn đáp án C

Câu 139:(CHUYÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 02) Một ô tô chạy với vận tốc 20 m/s người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc

  10 20

v t   t (m/s), t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển mét?

A m B 20 m C 40 m D 10 m

Lời giải Chọn B

Lúc bắt đầu đạp phanh, ô tô có vận tốc 20m s/ v t 0  10t020 20  t0

Do ô tô di chuyển thêm là:      

2 0

20 10 t dt 20t5t 20 m



Câu 140:(THPT LƯƠNG THẾ VINH HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 1) Một ô tô chạy với vận tốc 10 /m s người lái xe đạp phanh Từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v t   2 10t m s/ , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Tính quãng đường ô tô di chuyển giây cuối

A 55m B 25m C 50m D 16m

Lời giải Chọn A

Ta có 2 t 10 0   t Thời gian tính từ lúc bắt đầu đạp phanh đến dừng giây Vậy giây cuối có giây ô tô chuyển động với vận tốc 10 /m s giây chuyển động chậm dần với vận tốc v t   2 10t m s/ 

Khi qng đường tơ di chuyển  

0

3.10 10 30 25 55

S    t dt   m

Câu 141: (THPT THỰC HÀNH - TPHCM - 2018) Một chất điểm bắt đầu chuyển động thẳng với vận tốc v0, sau giây chuyển động gặp chướng ngại vật nên bắt đầu giảm tốc độ với vận tốc chuyển động ( ) ( / ), ( 6)

2

v t   t a m s t dừng hẳn Biết kể từ lúc chuyển động đến lúc dừng chất điểm quãng đường 80m Tìm v0

A v035 /m s B v0 25 /m s C v010 /m s D v020 /m s Lời giải

Chọn C

- Tại thời điểm t6vật chuyển động với vận tốc v0 nên có v(6)v0

0

5.6 15

2 a v a v

       , suy

5

( ) 15

2

v t   t v 

- Gọi klà thời điểm vật dừng hẳn, ta có   0

2

( ) 15

5

v v k   k v   k  - Tổng quãng đường vật 0 0

6

5

80 15

2

k

v  t v dt

     

 



0

6

80 15

4

k

v  t v t t

      

 

2

0

5

80 ( ) ( 6) 15( 6)

v k v k k

       

 2

0 0

0

4 24 2

5

80 15

4 25 5

v v v v

v   v

      

 

 2

0 36 400 0 10

v v v

     

gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc a 35 m/s2 Tính quãng đường ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn?

A 87.5 mét B 96.5 mét C 102.5 mét D 105 mét Lời giải

Chọn D

Quãng đường ô tô 5 s đầu

5

5

1

0

7 d 87,5

t

s  t t  (mét)

Phương trình vận tốc tơ người lái xe phát chướng ngại vật v 2  t 35 35 t (m/s) Khi xe dừng lại hẳn v 2  t  0 35 35 t  0 t

Quãng đường ô tô từ phanh gấp đến dừng lại  

2

35 35 d

s   t t

1

0 35 35

2 t t

 

  

  17.5 (mét)

Vậy quãng đường ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng

s s s 87.5 17.5 105 (mét)

Câu 143: (THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - NĐ - LẦN - 2018) Một chất điểm chuyển động với vận tốc v015 m/s tăng tốc với gia tốc a t  t2 4 m/st 2 Tính qng

đường chất điểm khoảng thời gian giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc A 70, 25 m B 68, 25 m C 67, 25 m D 69,75 m

Lời giải Chọn D

  4

a t  t t    

2

d

3

t

v t a t t t C

     C Mà v 0  C 15   2 15

3

t

v t t

   

Vậy

3

2 15 d 69,75 m

t

S    t   t

 



Câu 144: (THPT HOÀNG HOA THÁM - HƯNG YÊN - 2018) Một chất điểm chuyển động theo phương trình s t 10 t 9t2t3 s tính mét, t tính giây Thời gian để vận tốc chất điểm đạt giá trị lớn (tính từ thời điểm ban đầu)

A t6 s  B t3 s  C t2 s  D t5 s  Lời giải

Chọn B

    3 18 1 v t s t   t  t

Dễ thấy hàm số v t  hàm bậc hai có đồ thị dạng parabol với hệ số a  3 Do vmax đạt đỉnh I3; 28 parabol

Câu 145: (THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC - LẦN - 2018) Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc v t1 7 m/ st   Đi 5s , người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc a 70 m/ s 2 Tính quãng

đường S ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn A S 96, 25 m  B S87,5 m  C S94 m  D S 95,7 m 

Lời giải Chọn A

Chọn gốc thời gian lúc ô tô bắt đầu Sau 5s ô tô đạt vận tốc v 5 35 m/s  Sau phanh vận tốc ô tô v t 35 70 t5

Ơ tơ dừng thời điểm t5,5s

Quãng đường ô tô     5,5

5

0

7 d 35 70 d 96, 25 m S  t t   t  t

Câu 146: (SGD THANH HÓA - LẦN - 2018) Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc v t1 2 m/st   Đi 12 giây, người lái xe gặp chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc a 12 m/s 2 Tính quãng đường s m

được ôtô từ lúc bắt đầu chuyển động đến dừng hẳn?

A s168 m  B s166 m  C s144 m  D s152 m  Lời giải

Chọn A

+ Giai đoạn 1: Xe bắt đầu chuyển động đến gặp chướng ngại vật Quãng đường xe là:

  12 1

0

d

S v t t 12

2 dt t  212

0 t

 144 m 

+ Giai đoạn 2: Xe gặp chướng ngại vật đến dừng hẳn

Ơtơ chuyển động chậm dần với vận tốc v t2 a td  12t c

Vận tốc xe gặp chướng ngại vật là: v2 0 v1 12 2.12 24 m/s   12.0 c 24

     c 24v t2  12t24

Thời gian xe gặp chướng ngại vật đến xe dừng nghiệm phương trình: 12t 24

    t

Khi đó, quãng đường xe là:  

2 2

0

d

S v t t 2 

0

12t 24 dt

    2  

0

6t 24t 24 m

   

Vậy tổng quãng đường xe là: SS1S2168 m 

A 33 B 12 C 31 D 32 Lời giải

Chọn A

Ta có: vA 0 16 m/s

Khi xe A dừng hẳn: v tA 0  t 4s

Quãng đường từ lúc xe A hãm phanh đến lúc dừng  

0

16 d

s  t t 32m

Do xe phải cách tối thiểu 1mđể đảm bảo an toàn nên dừng lại ô tô A phải hãm phanh cách tơ B khoảng 33m

Câu 148: (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN - 2018) Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s tăng tốc với gia tốc tính theo thời gian a t  t2 3t Tính quãng đường vật khoảng thời gian giây kể từ vật bắt đầu tăng tốc

A 136m B 126m C 276m D 216m

Lời giải Chọn D

Ta có v 0 10 m/s    

d

t

v t a t t  

0

3 d

t

t t t

 

0 3

t

t t

 

  

 

3

1

3t 2t

 

Quãng đường vật  

0

d

Sv t t

3

1

d 3t 2t t

 

   

 



0

1

12t 2t

 

  

  216m

Câu 149: (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN - LẦN - 2018) Một máy bay chuyển động đường băng với vận tốc v t  t2 10t m s/  với t thời gian tính theo đơn vị giây kể từ máy bay bắt đầu chuyển động Biết máy bay đạt vận tốc

 

200 m s/ rời đường băng Quãng đường máy bay di chuyển đường băng A 2500 

3 m B 2000 m C 500 m D   4000

3 m Lời giải

Chọn A

Thời điểm máy bay đạt vận tốc 200m s/    200 10 200 10 10 20

t

v t t t t

t  

        

 Quãng đường máy bay di chuyển đường băng

   

10 10

2

0

2500

10 d

3

t

s t  t t  t  m

 



Câu 150: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian quy luật   59  / 

150 75

A 20m s/  B 16m s/  C 13m s/  D 15m s/  Lời giải

Chọn B

Quãng đường chất điểm A từ đầu đến B đuổi kịp   15

2

1 59 96

150 75

S  t  t dt  m

 



Vận tốc chất điểm B v tB adt at C 

Tại thời điểm t3 vật B trạng thái nghỉ nên vB 3    0 C 3a

Lại có quãng đường chất điểm B đến gặp A

   

15

15

2

3

3 72

2 at

S  at a dt  at  a m

 



Vậy 72 96

a  a m s/ 2

Tại thời điểm đuổi kịp A vận tốc B vB 15 16m s/ 

Câu 151: (THPTQG 2018 - MÃ ĐỀ 104) Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian quy luật   58  / 

120 45

v t  t  t m s , t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O, chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với

A có gia tốc a m s / 2 (a số) Sau

B xuất phát 15 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A

A 25m s/  B 36m s/  C 30m s/  D 21m s/  Lời giải

Chọn C

Thời điểm chất điểm B đuổi kịp chất điểm A chất điểm B 15giây, chất điểm Ađi 18 giây

Biểu thức vận tốc chất điểm B có dạng v tB a t at Cd   mà vB 0 0 nên  

B

v t at

Do từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động chất điểm B đuổi kịp quãng đường hai chất điểm Do

18 2 15

0

1 58 225

d d 225

120t 45 t at t a a

       

 

 

 

Vậy, vận tốc chất điểm B thời điểm đuổi kịp A v tB 2.15 30 m s/  Câu 152: (SỞ GD&ĐT LÀO CAI - 2018) Một ôtô dừng bắt đầu chuyển động theo

đường thẳng với gia tốc a t  6 2t m s / 2, t khoảng thời gian tính giây

kể từ lúc ôtô bắt đầu chuyển động Hỏi quảng đường ôtô từ lúc bắt đầu chuyển động đến vận tốc ôtô đạt giá trị lớn mét?

A 18m B 36m C 22,5m D 6,75m Lời giải

  6 2  / 2

a t   t m s v t   6 2 t dt   6t t2 C



Xe dừng bắt đầu chuyển động nên t0 v 0 C0v t 6t t 2   6

v t  t t hàm số bậc nên đạt GTLN 3 

b

t s

a    Quảng đường xe giây đầu là:  

3

6 18

Dạng 3.2: Bài toán cho biết đồ thị vận tốc, quãng đường chuyển động

Câu 153:(MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Một vật chuyển động với vận tốc

( / )

v km h phụ thuộc vào thời gian t h( ) có đồ thị vận tốc hình bên Trong thời gian

kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I(2;9) trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường s mà vật chuyển động (kết làm trịn đến hàng phần trăm)

A s21,58( )km B s23,25( )km C s13,83( )km D s15,50( )km Lời giải

Chọn A

Gọi phương trình parabol v at bt c 2  ta có hệ sau:

 

   

     

 

 

    

 

4

4

5

2

c b

a b c c

b a

a Với t1 ta có  31

4

v

Vậy quãng đường vật chuyển động        

 

 3

0

1

21,583

5 5 4 31 259

4 12

s t t dt dt

Câu 154:(MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Một người chạy thời gian giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị phần parabol với đỉnh 1;

2 I 

  trục đối xứng song song với trục tung hình bên Tính quảng đường s người chạy khoảng thời gian 45 phút, kể từ chạy?

A s2,3 (km) B s4,5 (km) C s5,3 (km) D s4 (km) Lời giải

Chọn B

Gọi parabol  P :y ax 2bx c Từ hình vẽ ta có  P qua O0; 0, A 1; 0 điểm

; I 

 

Ta có hệ:

0 32

0 32

0

4

c a

a b c b

a b c c



    

     

 

  

    

Suy  P y:  32x232x

Vậy quảng đường người  

4

2

32 32 d 4,5

s  x  x x (km)

Câu 155:(MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Một vật chuyển động với vận tốc km/h

v phụ thuộc thời gian t h có đồ thị phần đường parabol có đỉnh I 2;9

A s25,25 km  B s24,25 km  C s24,75 km  D s26,75 km 

Lời giải Chọn C

Gọi v t a t.2 bt c

Đồ thị v t  phần parabol có đỉnh I 2;9 qua điểm A 0;6 nên

2

3

2 4

.2

6

.0

b

a a

a b c b

c

a b c



    

 

 

     

 

     

 

 



Tìm   3 6

v t   t  t

Vậy

2

3

3

S   t  t dt

 

 24,75 (km)

Câu 156:(MĐ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I 2; với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường s mà vật di chuyển

A s24 (km) B s28,5 (km) C s27 (km) D s26,5 (km) Lời giải

Gọi  P y ax:  2bx c

Vì  P qua O 0;0 có đỉnh I 2;9 nên dễ tìm phương trình  9 29

4

y x x

Ngoài x3 ta có  27

4

y

Vậy quãng đuờng cần tìm là:       

 

3 4

0

9 9 d 27d 27 ( )

4

S x x x x km

Câu 157:(KTNL GV THPT LÝ THÁI TỔ NĂM 2018-2019) Một vật chuyển động với vận tốc v km h / phụ thuộc vào thời gian t h có đồ thị hình bên Trong khoảng thời gian từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường Parabol có đỉnh I 3;9 có trục đối xứng song song với trục tung Khoảng thời gian lại, đồ thị vận tốc đường thẳng có hệ số góc

4 Tính quảng đường smà vật di chuyển giờ?

A 130 

3 km B 9 km C 40 km D   134

3 km

Lời giải Chọn A

+ Vì Parabol qua O(0; 0) có tọa độ đỉnh I 3;9 nên thiết lập phương trình Parabol  P :y v t    t2 6 ;t  t  0; 2

+ Sau đầu hàm vận tốc có dạng hàm bậc

4

y t m , dựa đồ thị ta thấy qua điểm có tọa độ  6;9 nên vào hàm số tìm 15

2

m Nên hàm vận tốc từ thứ đến thứ 15; [2;6]

4

y t  t

+ Quảng đường vật tổng đoạn đường đầu đoạn đường sau

   

2

2

0

1 15 130

4

SS S   t t dt  t dt km

 

Câu 158: (THPT THỰC HÀNH - TPHCM - 2018)Một người chạy giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h)có đồ thị phần đường Parabol với đỉnh I 1;5 trục đối xứng song song với trục tung Ov hình vẽ Tính quảng đường S người chạy 30 phút kể từ lúc bắt đầu chạy (kết làm tròn đến chữ số thập phân)

A 2,11km B 6,67 km C 5,63 km D 5,63km Lời giải

Chọn C

Ta có 30 phút = 1,5

1,5

0 ( )d S v t t

  

Đồ thị v v t ( ) qua gốc tọa độ nên v t( ) có dạng v t( )at2bt

Đồ thị v v t ( ) có đỉnh I(1;5) nên 2 ( ) 52 10

5 10

5

b

b a a

v t t t

a

a b b

a b

       

      

     

 

   

 

1,5

45

5 10 d 5,63

8

S   t  t t 

Câu 159: (SGD&ĐT ĐỒNG THÁP - HKII - 2018) Một người chạy thời gian giờ, với vận tốc v km/h phụ thuộc vào thời gian  t h có đồ thị phần parabol có đỉnh

1;8

I 

A 5,3 km B 4,5 km C 4 km D 2,3 km Lời giải

Chọn B

Trước hết ta tìm cơng thức biểu thị vận tốc theo thời gian, giả sử v t at2 bt c Khi dựa vào hình vẽ ta có hệ phương trình

2

0

1

8

2

0

c

a b c

a b c   

              

    

32 32 a b c

   

 

  

Do quãng đường người sau 45 phút   45

60

2

32 32 4,5

S  t t dt  km Câu 160: (THPT CHUYÊN HẠ LONG - LẦN - 2018) Một vật chuyển động với vận

tốc v(km/ h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị phần đường parabol có đỉnh

(1;1)

I trục đối xứng song song với trục tung hình bên Tính qng đường s mà vật di chuyển kể từ lúc xuất phát

A s6 (km) B s8 (km) C 40 (km)

s D 46 (km)

3

Chọn C

Hàm biểu diễn vận tốc có dạng v t at2 bt c Dựa vào đồ thị ta có:

 

2 1

1 2

2

2

c a

b

b v t t t

a

c a b c



  



        

 

  

   

Với t 4 v 4 10 (thỏa mãn)

Từ    

4

40 2

3

s t  t dt km

DẠNG TỐN 4: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN THỰC THẾ

Dạng 4.1: Bài tốn liên quan đến diện tích

Câu 161:(ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A A B B1, 2, ,1 2 hình vẽ bên Biết chi phí để sơn phần tô đậm

2

200.000 nđv / m phần lại 100.000 nđv / m Hỏi số tiền để sơn theo cách gần 2 với số tiền đây, biết A A1 8m, B B1 6m tứ giác MNPQ hình chữ nhật có MQ3m?

A 5.526.000 đồng B 5.782.000 đồng C 7.322.000 đồng D 7.213.000 đồng

Lời giải Chọn C

P Q

N M

B1

A2

B2

A1

Gọi phương trình tắc elip  E có dạng:

2 2 x y a b  Với

1

8

6

A A a a

B B b b

  

 

    



  

2

2

: 16

16

x y

E y x

      

Suy diên tích hình elip   . 12  m2 E

S a b  Vì MNPQ hình chữ nhật ;3  

2 MQ M x  E

 

2

2

1 3

1 12 3; ; 3;

16 2

x

x M  N 

         

   

Gọi S S1; diện tích phần bị tơ màu khơng bị tơ màu

Ta có:  

4

4sin

2 2

2

2 3

3

4 16 d 16 d m

4

x t

S   x x  x x S   

Suy ra: S1S E S28 6 Gọi T tổng chi phí Khi ta có

4 100 8 200 7.322.000

T      (đồng)

Câu 162:(ĐỀ 01 ĐỀ PHÁT TRIỂN ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Một biển quảng cáo với đỉnh , , ,A B C Dnhư hình vẽ

Biết chi phí để sơn phần tơ đậm 200.000(đ/m ) sơn phần cịn lại 2 100.000đ/m Cho 2

8 ; 10 ;

AC m BD m MN mHỏi số tiền sơn gần với số tiền sau đây:

A 12204000 đ B 14207000 đ C 11503000 đ D 10894000 đ Lời giải

Chọn A

x y

3

4

P Q

N M

B1

A2

B2

elip có phương trình là:

2 16 25

x  y  Vì

5

4

5 N N

N

y

MN x

y 

  

   

 

  Diện tích phần tô đậm

5

2

1

5

4

2 25 59, 21 ( )

5

S y dy m



   

Diện tích elip S .4.5 20  (m2)

Diện tích phần trắng 2 3,622 ( ) S   S S m

Tổng chi phí trang chí là: T 59, 21.200000 3, 622.100000 12204200  đ Câu 163:Một họa tiết hình cánh bướm hình vẽ bên

Phần tơ đậm đính đá với giá thành

500.000đ/m Phần lại tô màu với giá thành 250.000 /đ m2

Cho AB4dm BC; 8dm.Hỏi để trang trí 1000 họa tiết cần số tiền gần với số sau

A 105660667đ B 106666667đ C 107665667đ D 108665667đ Lời giải

Chọn B

Vì AB4dm BC; 8dm. A( 2; 4), B(2; 4), C(2; 4), D( 2; 4)   parabol là: y x 2 y x2

Diện tích phần tơ đậm

2

1

32

4 ( )

3 S  x dx dm Diện tích hình chữ nhật S 4.8 32 ( m2)

Diện tích phần trắng

2

32 64

32 ( )

3 S  S S    dm

Tổng chi phí trang chí là: 32.5000 64.2500 1000 106666667

3

T     đ

 

đồng/m2 Hỏi cần tiền để trồng hoa trồng cỏ Nhật Bản khn viên đó? (Số tiền làm tròn đến hàng đơn vị)

A 3.738.574 (đồng) B 1.948.000 (đồng) C 3.926.990 (đồng) D 4.115.408

(đồng)

Lời giải Chọn A

Chọn hệ trục Oxy hình vẽ, ta có bán kính đường trịn R 4222 2 5 Phương trình nửa đường tròn  C là: x2y220,y  0 y 20x2

Parabol  P có đỉnh O 0;0 qua điểm  2; nên có phương trình: y x 2 Diện tích phần tơ màu là:

2

2

2

20 d 11,94

S x x x



 

       m2

Diện tích phần khơng tơ màu là: 2 5 2 1 10 11,94

S   S     m2 Số tiền để trồng hoa trồng cỏ Nhật Bản khn viên là:

 

150000.11,94 100000 10  11,94 3.738.593

Câu 165:(THPT NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG NĂM 2018-2019 LẦN 01) Người ta cần trồng vườn hoa Cẩm Tú Cầu ( phần gạch chéo hình vẽ) Biết phần gạch chéo hình phẳng giới hạn parabol y2x21 nửa đường trịn có tâm gốc tọa độ bán kính 2 m Tính số tiền tối thiểu để trồng xong vườn hoa Cẩm Tú Cầu biết để trồng m2 hoa cần 250000 đồng

4m 4m

A 250000

 

π

B 10 250000

 

π

C 10 250000

 

π

D 250000

 

π Lời giải

Chọn B

Ta có phương trình đường trịn tâm gốc tọa độ bán kính 2 m x2y2 2 Tọa độ giao điểm Parabol đường tròn nghiệm hệ

2 2

1,

1, y x

x y

y x

x y

      

 

   

   

 Diện tích vườn hoa  

1

2

1 3 10

d

6 x 2x

S x 



  

   

số tiền tối thiểu để trồng xong vườn hoa Cẩm Tú Cầu 10 250000

 

π

Câu 166:(CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH LẦN NĂM 2018-2019) Nhà trường dự định làm vườn hoa dạng elip chia làm bốn phần hai đường parabol có chung đỉnh, đối xứng với qua trục elip hình vẽ bên

Biết độ dài trục lớn, trục nhỏ elip m m , F1, F2 hai tiêu điểm elip Phần A, B dùng để trồng hoa, phần C, D dùng để trồng cỏ Kinh phí để trồng mét vuông hoa cỏ 250.000 đ 150.000 đ Tính tổng tiền để hồn thành vườn hoa (làm trịn đến hàng nghìn)

A 5.676.000 đ B 4.766.000 đ C 4.656.000 đ D 5.455.000 đ Lời giải

Chọn A

Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ

Phương trình tắc  E là:

2 16

x  y 

Suy 16 2

y  x Ta có c a2b2 2 3  

2 3;

F



Do N F2 có hồnh độ N2 3; 1 Gọi  P y kx:  2 parabol nằm phía trục Ox Do N P ta có  2

12

k k

   Suy  : 12 P y x Diện tích phần A

2 2 1 16 d 12 A

S x x x



 

    

 

 2

0

1

2 16 d

2 x 12x x

 

    

 



2 3

2

0

1

16 d d

6

x x x x

     * Xét 16 d

I   x x Đặt x4 sintdx4cos dt t Đổi cận: Khi

16 16sin 4cos d

I t t t



 

0 16 cos dt t



  3 

0

8 cos2 dt t



  

0

8 sin 2 t t                   * Ta có

2 2 d

I   x x

2 3

0 18x



3



Suy ra: 1 2 3 A

S  I I   16 3

A B A

S S S 

   

Tổng diện tích phần C, D là: SCSD  S E SASB

8 3  Khi tổng số tiền để hồn thành vườn hoa là:

16 3.250000 3.150000 5676000

3

    đ

Câu 167:(CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN LẦN NĂM 2018-2019) Người ta xây sân khấu với mặt sân có dạng hợp hai hình trịn giao Bán kính hai hai hình trịn 20 mét 15 mét Khoảng cách hai tâm hai hình trịn 30 mét Chi phí làm mét vng phân giao hai hình trịn 300 ngàn đồng chi phí làm mét vng phần cịn lại 100 ngàn đồng Hỏi số tiền làm mặt sân sân khấu gần với số số đây?

A 202 triệu đồng B 208 triệu đồng C 218 triệu đồng D 200 triệu đồng Lời giải

Gọi O I, tâm đường trịn bán kính 20 mét bán kính 15 mét Gắn hệ trục Oxy hình vẽ, OI30 mét nên I0; 30 Phương trình hai đường trịn

2 202

x y  x2y302152 Gọi A B, giao điểm hai đường trịn

Tọa độ A B, nghiệm hệ

 

2 2

2

2

5 455

20 12

215 30 15

12 x x y

x y y

   

  

 

 

  

 

 



Tổng diện tích hai đường trịn 202152625 (mét vng)

Phần giao hai hình trịn phần hình phẳng giới hạn hai đồ thị 2 30 15 y  x y 202x2 Do diện tích phần giao hai hình trịn

 

5 455 12

2 2

5 455 12

20 15 30 d 60,2546

S x x x



       (mét vuông)

Số tiền để làm phần giao hai hình trịn 300.000x 60,2546 18.076.386 (đồng) Số tiền để làm phần lại 100.000 x 625  2 x 60, 2546184.299.220(đồng) Vậy tổng số tiền làm sân khấu 184.299.220 18.076.386 202.375.606  (đồng)

Câu 168:(CHUYEN PHAN BỘI CHÂU NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Người ta xây sân khấu với sân có dạng hai hình trịn giao Bán kính hai hình trịn 20 m 15 m Khoảng cách hai tâm hai hình trịn 30 m Chi phí làm mét vng phần giao hai hình trịn 300 nghìn đồng chi phí làm mét vng phần cịn lại 100 nghìn đồng Hỏi số tiền làm mặt sân khấu gần với số số đây?

A 218 triệu đồng B 202 triệu đồng C 200 triệu đồng D 218 triệu đồng Lời giải

Chọn A

H B A

I

O y

Gọi O1, O2 tâm hai đường trịn bán kính 20 m 15 m A, B hai giao điểm hai đường trịn

Ta có O A O B1  20 m; O A O B2  15 m; O O1 30 m

 22 2

1

43 cos

2 48

O B O O O B

BO O

O B O O

 

  BO O1 2 26 23 

Theo tính chất hai đường trịn cắt ta có O O1 tia phân giác AO B1 AO B1 2O O B2 1 52, 77

   

Suy diện tích hình quạt trịn O AB1  

2 52, 77 20 184, m

360 O AB

S  

  

1

2

1 1

1

.sin 159, m

O AB

S  O A O B AO B

Gọi S1 diện tích hình giới hạn dây AB cung AmB đường tròn  O1

 

1

2 O AB O AB 25 m

S S S

   

Chứng minh tương tự ta diện tích hình giới hạn dây AB cung AmB đường tròn  O2  2

2 35 m S 

Suy diện tích phần giao  2 60 m S S S 

 Chi phí làm sân khấu phần giao 60.300000 18000000 (nghìn đồng) Tổng diện tích hai hình trịn S 202152 1963 m 2

Diện tích phần khơng giao S  S 1903 m 2

 Chi phí làm sân khấu phần khơng giao 1903.100000 190300000 (nghìn đồng) Số tiền làm mặt sân 18000000 190000000 208300000  (nghìn đồng)

208,3

 (triệu đồng)

Câu 169: (TT DIỆU HIỀN - CẦN THƠ - 2018) Bác Năm làm cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh 2,25mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất mét Giá thuê mét vuông 1500000 đồng Vậy số tiền bác Năm phải trả là:

A 33750000 đồng B 3750000 đồng C 12750000 đồng D 6750000 đồng Lời giải

Chọn D

Ta có hệ phương trình:

 

 

 

 

 

 

9 ,

9 0

4

9 0

4 c I P

a b c A P a b c B P

  

 

    

 

    



9 c a b    

  

   

Vậy  :

4

P y  x

Dựa vào đồ thị, diện tích cửa parabol là:

2

9 d

S x x



 

   

 



3

2

9

2 d

4

x x

 

   

 



9

3

0

9

3

x x

 

   

 

2

9 m



Số tiền phải trả là: 9.1500000 675  000 đồng

Câu 170: (THPT NGÔ QUYỀN - QUẢNG NINH - HKII - 2018)Một người có miếng đất hình trịn có bán kính m Người tính trồng mảnh đất đó, biết mét vng trồng thu hoạch 100 nghìn Tuy nhiên cần có khoảng trống để dựng chòi để đồ dùng nên người bớt lại phần đất nhỏ không trồng (phần màu trắng hình vẽ), AB6m Hỏi thu hoạch người thu tiền ?

A 3722 nghìn đồng B 7445 nghìn đồng C 7446 nghìn đồng D 3723 nghìn đồng

;0 B 

 

3 ;0 A 

 

9 0;

4 I 

 

O

1

1 

2 y

Lời giải Chọn B

Diện tích miếng đất π 25π S  R  (m2)

Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ Ta có phương trình đường trịn biên x2y225

5,

R AH  OH

 Phương trình cung trịn nhỏ AC y 25x2, với 4 x 5  Diện tích phần đất trống

5

2

4 25

S   x dx(m2)  Diện tích phần đất trồng

5

2

4 25π 25

S S S    x dx  Số tiền thu

5

2

100 100(25π 25 ) 7445

T  S    x dx  (nghìn đồng)

Câu 171: (THPT YÊN LẠC - LẦN - 2018) Một mảnh vườn hình elip có trục lớn 100 m   trục nhỏ 80 m chia làm hai phần đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp   elip Phần nhỏ trồng phần lớn trồng rau Biết lợi nhuận thu 2000 m trồng 4000 2 m trồng rau Hỏi thu nhập mảnh vườn 2 bao nhiêu? (Kết làm trịn đến phần nghìn)

A 31904000 B 23991000 C 10566000 D 17635000 Lời giải

Chọn B

Gọi phương trình elip

2 2 x y a b 

Diện tích phần trồng (phần gạch sọc)

4 diện tích elip trừ diện tích tam

giác DOF Do diện tích phần trồng  2

1 m

4

ab ab

S  

Diện tích phần trồng rau (phần không gạch sọc)

4 diện tích elip cộng với diện tích tam

giác DOF Do diện tích phần trồng rau  2

3

m

4

ab ab

S   

Thu nhập mảnh vườn 2000 4000 23991000

4

ab ab ab ab

 

      

   

   

Câu 172: (CHUYÊN VINH - LẦN - 2018) Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao 18 m, chiều rộng chân đế 12 m Người ta căng hai sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn Parabol mặt đất thành ba phần có diện tích (xem hình vẽ bên) Tỉ số AB

CD

A

2 B

4

5 C

1

2 D

3 2 Lời giải

Chọn C

Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ

 P qua điểm có tọa độ  6; 18 suy ra: 18 6 2

a a

       :

2

P y x

  

Từ hình vẽ ta có: x AB CD x

Diện tích hình phẳng giới bạn Parabol đường thẳng

1 :

2

AB y  x

1

2

1

0

1

2 d

2

x

S   x   x  x

 

 



1

3

2

1

0

1

2

2 3

x

x x x x

 

    

 

Diện tích hình phẳng giới hạn Parabol đường thẳng CD 22

1

y  x

2

2

2

0

1

2 d

2

x

S   x   x  x

 

 



2

3

2

2

0

1

2

2 3

x

x

x x x

 

    

 

Từ giả thiết suy 3 2 2

S  S x  x

3

1

x x

  Vậy

3

1

x AB

CD  x 

Câu 173: (THPTKINHMÔN-HD-LẦN2-2018) Một hoa văn trang trí tạo từ miếng bìa mỏng hình vng cạnh 10 cm cách kht bốn phần có hình dạng parabol hình bên Biết AB5cm, OH 4 cm Tính diện tích bề mặt hoa văn

A 160cm2

3 B

2

140 cm

3 C

2

14 cm

3 D

2

50 cm Lời giải

Chọn B

Đưa parabol vào hệ trục Oxy ta tìm phương trình là:  : 16 16

25

Diện tích hình phẳng giới hạn  : 16 16

25

P y  x  x, trục hoành đường thẳng

x , x5 là:

2

16 16 40

d

25

S  x  x x 

 



Tổng diện tích phần bị khoét đi:

160

3

S  S cm2

Diện tích hình vng là: 100 cm2 hv

S 

Vậy diện tích bề mặt hoa văn là:

2

160 140

100 cm

3

hv

S S  S  

Câu 174: (CHUYÊN VINH - LẦN - 2018)Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40cm Người thiết kế sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tâm viên gạch để tạo bốn cánh hoa (được tô mầu sẫm hình vẽ bên)

Diện tích cánh hoa viên gạch A 800cm 2 B 800cm2

3 C

2

400 cm

3 D

2 250cm Lời giải

Chọn C

Chọn hệ tọa độ hình vẽ (1 đơn vị trục 10cm1dm), cánh hoa tạo đường parabol có phương trình

2 x

y , 2 x

y  , 2 y

x  , 2 y x

Diện tích cánh hoa (nằm góc phàn tư thứ nhất) diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số

2 x

y ,y 2x hai đường thẳng x0;x2 Do diện tích cánh hoa

2

0

2 d

2 x

x x

 



 

 

  

2 3

0

2 2

3

x x

 

  

     

2

4 400

dm cm

3

  4 dm2 400 cm2

3

Dạng 4.2: Bài toán liên quan đến thể tích

Câu 175:(THPT CẨM GIÀNG NĂM 2018-2019) Trong chương trình nơng thơn mới, xã Y có xây cầu bê tơng hình vẽ Tính thể tích khối bê tơng để đổ đủ cầu (Đường cong hình vẽ đường Parabol)

A 19 m 3 B 21m 3 C 18m 3 D 40 m 3 Lời giải

Chọn D

Chọn hệ trục Oxy hình vẽ

Gọi  

1 : 1

P y a x b Parabol qua hai điểm 19;0 ,  0;2

A  B

 

Nên ta có hệ phương trình sau:

2

19

0

2

a b

  

 

  

  

  

1

1 361 a b      

  

 

1

8

:

361

P y x

   

Gọi  

2 : 2

P y a x b Parabol qua hai điểm 10;0 , 0;5 C D 

 

Nên ta có hệ phương trình sau:

 2

2

5 10

2

2

a b

  

    

2

2

1 40

a b      

  

 

2

1

:

40

P y x

   

Ta tích bê tơng là:

19

10 2 2 3

2

0

1

5.2 d d 40 m

40 361

V    x   x  x   x

   

  

 BÀI TẬP NỀN TẢNG & VẬN DỤNG 

y

12A dự định dựng lều trại có dạng parabol, với kích thước: trại hình chữ nhật có chiều rộng mét, chiều sâu mét, đỉnh parabol cách mặt đất mét Hãy tính thể tích phần khơng gian phía bên trại để lớp 12A cử số lượng người tham dự trại cho phù hợp

A 30m3 B 36m3 C 40m3 D 41m3

Lời giải Chọn B

Giả sử trại hình chữ nhật ABCD có AB = mét, BC = mét, đỉnh parabol I Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho: O trung điểm cạnh AB, A, B I, phương trình parabol có dạng y ax 2b a, 0 Do I, A, B thuộc nên ta có 3

3

y  x  Vậy thể tích phần khơng gian phía trại

3

2

4

6.2 ( 3) 36

3

V    x  dx

Câu 177:(CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG TRỊ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Săm lốp xe ô tô bơm căng đặt nằm mặt phẳng nằm ngang có hình chiếu hình vẽ với bán kính đường trịn nhỏ R120cm, bán kính đường trịn lớn R2 30cm mặt cắt cắt mặt phẳng qua trục, vuông góc mặt phẳng nằm ngang hai đường trịn Bỏ qua độ dày vỏ săm Tính thể tích khơng khí chứa bên săm

A 12502cm3 B 14002cm3 C 25002cm3 D 6002cm3 Lời giải

Chọn A

Thể tích săm xe thể tích khối trịn xoay sinh hình trịn tâm I0; 25 bán kính

Ta có phương trình đường trịn    

2

2 25 25

25 25 , 5;5

25 25

y x

x y x

y x

   



     

   



Vậy    

5 2 2

2 2

5 5

25 25 d 25 25 d 100 25 d

V  x x x x  x x

  

 

        

   

Ta có

2

25 x xd 



 diện tích nửa hình trịn tâm O 0;0 , bán kính 5

2

5

1 25

25 d

2

x x  



    

Suy

5

2

25 100 25 d 100

2

V  x x  



    12502cm3

Chú ý: Có thể bấm máy tích phân, ta

   

5 2 2

2

5

25 25 d 25 25 d 3927

V  x x x x cm

 

 

       

  

Kiểm tra đáp án ta chọn đáp án A

Câu 178:(THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2018-2019 LẦN 01) Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An làm mũ “cách điệu” cho ơng già Noel có dáng khối tròn xoay Mặt cắt qua trục mũ hình vẽ bên Biết

5

OO  cm, OA10 cm, OB20 cm, đường cong AB phần parabol có đỉnh điểmA Thể tích mũ

A 2750

3

  cm3 B 2500

3

  cm3 C 2050

3

  cm3 D 2250

3

  cm3

Ta gọi thể tích mũ V

Thể tích khối trụ có bán kính đáy OA10 cm đường cao OO 5 cm V1 Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường cong ABvà hai trục tọa độ quanh trục Oylà V2

Ta có V V V 1 2

1 5.10 500

V      cm3

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ

Do parabol có đỉnh A nên có phương trình dạng ( ) :P y a x ( 10)2 Vì  P qua điểm B0;20 nên

5

a Do đó,  : 1 102

5

P y x Từ suy x10 5y (do x10)

Suy  

20 2

2

8000 1000 10 dy 3000

3

V   y    

 

  cm3

Do

1000 500 2500

3

V V V         cm3

Câu 179:Cho trống hình vẽ, có đường sinh nửa elip cắt trục lớn với độ dài trục lớn 80 cm, độ dài trục bé 60 cm đáy trống hình trịn có bán kính 60 cm Tính thể tích V trống (kết làm trịn đến hàng đơn vị)

A V344963cm3 B V344964cm3 C V 208347cm3 D V 208346cm3

Lời giải Chọn B

Gọi  E elip có phương trình

2

1 16

x  y 

ảnh  E qua phép tịnh tiến theo vectơ  0;6

u elip  E có phương trình  

2 6

1

16

y

x   

Suy ra, phương trình đường sinh là: 6 16

4

y  x

Do đó, thể tích trống là:

2

2

3

6 16 d 344,964

4

V x x



 

     

 



  dm3

Câu 180: (SỞ GD&ĐT YÊN BÁI - 2018)Người ta thay nước cho bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu 280cm Giả sử h t là chiều cao (tính cm) mực nước bơm thời điểm t giây, biết tốc độ tăng chiều cao mực nước giây thứ t

3

1

( )

500

h t  t lúc đầu hồ bơi khơng có nước Hỏi sau bơm số nước

4độ sâu hồ bơi (làm tròn đến giây)?

A 36 giây B 34 giây C 35 giây D 36 giây Lời giải

Chọn C

Gọi x thời điểm bơm số nước

4 độ sâu bể (x tính giây )

Ta có:

1

3d 210 500

x

t t

  43

0

3 3 105000

4

x t

    (x 3)3 x 3 3 1400003 

 4 3

3 x 3 3 140000

      x 3 43 1400003  3  x 43 1400003  3 3

7234,8256

x

 

Câu 181: (THPT NGÔ QUYỀN - QUẢNG NINH - HKII - 2018)Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước Gọi h t  thể tích nước bơm sau t giây Cho h t 6at22bt ban đầu bể khơng có nước Sau giây thể tích nước bể 90m3, sau giây thể tích nước bể 504m3 Tính thể tích nước bể sau bơm giây

Lời giải Chọn A

 

3

6at 2bt td 90

  23

0

2at bt 9054a9b90 (1)

 

6

6at 2bt td 504

  26

0

2at bt 504  432a36b504 (2)

Từ (1), (2) 

2

a b       

Sau bơm giây thể tích nước bể là:

 

9

4 12 d

V t  t t=  

9

3

0

6 1458

3t t m

   

 

 

Câu 182:Cho vật thể gỗ có dạng hình trụ với chiều cao bán kính đáy bằngR Cắt khối gỗ mặt phẳng qua đường kính mặt đáy khối gỗ tạo với mặt phẳng đáy khối gỗ góc 30 ta thu hai khối gỗ tích 0

1

V V2, với

V V Thể tích V1 bằng? A

3

2 R

V  B

3

3 27

R

V   C

3

3 18

R

V   D

3

3 27

R V  Lời giải

Chọn A

Khi cắt khối gỗ hình trụ ta hình nêm tích V1 hình vẽ Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ

Nửa đường trịn đường kính AB có phương trình y R2x2 ,x  R R; 

Ta có 2 .tan 300 2 R x NM  y R x NP MN  

MNP

 có diện tích  

2

1

2

R x

S x  NM NP 

Thể tích hình nêm  

2

1

d d

2

R R

R R

R x

V S x x x

 



    3

3

2

R

R

R R x x



 

    

 

* Chú ý: Có thể ghi nhớ cơng thức tính thể tích hình nêm:

2

1

2 tan

3

V  R h R , AB

R , PMN

Câu 183:(THPT LÊ Q ĐƠN ĐÀ NẴNG NĂM 2018-2019) Cho mơ hình 3D mơ đường hầm hình vẽ bên Biết đường hầm mơ hình có chiều dài cm ; cắt hình mặt phẳng vng góc với nó, ta thiết diện hình parabol có độ dài đáy gấp đơi chiều cao parabol Chiều cao thiết diện parobol cho công thức

5

y  x  cm , với x  cm khoảng cách tính từ lối vào lớn đường hầm mơ hình Tính thể tích (theo đơn vịcm3 ) khơng gian bên đường hầm mơ hình ( làm

tròn kết đến hàng đơn vị )

A 29 B 27 C 31 D 33

Lời giải Chọn A

Xét thiết diện parabol có chiều cao h độ dài đáy 2h chọn hệ trục Oxy hình

vẽ

Parabol  P có phương trình  P y ax:  2h a, 0 Có B h   ;0  P  0 ah2h a 1do h 0

h

   

Diện tích S thiết diện:

2

1 dx

3

h h

h

S x h

h 

 

    

 

 ,

5  

h x

  2

3

S x  x

    

 

 

5

0

4

dx dx 28,888

3

 

      

 

 

V S x x

 3

29 cm

V  

Câu 184:(TT THANH TƯỜNG NGHỆ AN NĂM 2018-2019 LẦN 02) Một chi tiết máy thiết kế hình vẽ bên

Các tứ giác ABCD CDPQ, hình vng cạnh 2,5cm Tứ giác ABEF hình chữ nhật có BE3,5cm Mặt bênPQEFđược mài nhẵn theo đường parabol  P có đỉnh parabol nằm cạnh EF Thể tích chi tiết máy

A 395

24 cm B

3 50

3 cm C

3 125

8 cm D

3 425

24 cm Lời giải

Chọn D

Gọi hình chiếu P Q, AF BE R vàS Vật thể chia thành hình lập phương

ABCD PQRS có cạnh 2,5cm, thể tích

125

V  cm phần cịn lại tích V2 Khi thể tích vật thể 2

125 V V V  V

Đặt hệ trục Oxyz cho O trùng vớiF, Ox trùng vớiFA, Oy trùng với tia Fy song song với AD Khi Parabol  P có phương trình dạngy ax 2, qua điểm 1;5

2 P 

 

5

2

a  y x

Cắt vật thể mặt phẳng vng góc với Ox qua điểm M x ;0; 0,0 x ta thiết diện hình chữ nhật MNHK có cạnh

2 

MN x 

Áp dụng cơng thức thể tích vật thể ta có

2

0

25 25

4 12

V  x dx Từ 125 25 425

8 12 24 V    cm

Câu 185: (THPT LỤC NGẠN - LẦN - 2018) Bổ dọc dưa hấu ta thiết diện hình elip có trục lớn 28cm, trục nhỏ 25cm Biết 1000cm3 dưa hấu làm cốc sinh tố

giá 20000 đồng Hỏi từ dưa hấu thu tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết bề dày vỏ dưa không đáng kể

A 183000 đồng B 180000 đồng C 185000 đồng D 190000 đồng Lời giải

Chọn A

Đường elip có trục lớn 28cm, trục nhỏ 25cm có phương trình 2 25

2 y

 

 

 

 

2 2

2

2 25 1

2 14

x y    

     

   

2 25 1

2 14 x y

   

Do thể tích dưa

2

14

2 14

25 1

2 14

x

V  x



 

   

 

 d

2 14

2 14

25 1

2 14 d

x x 



 

 

     

    

14

2 3

2 14 25

2 3.14

x x 



 

 

     

   

2 25 56

2

 

    87503  cm3

Do tiền bán nước thu 8750 20000 183259 3.1000

  đồng

Câu 186: (THPT THỰC HÀNH - TPHCM - 2018) Một cốc rượu có hình dạng trịn xoay kích thước hình vẽ, thiết diện dọc cốc (bổ dọc cốc thành phần nhau) đường Parabol Tính thể tích tối đa mà cốc chứa (làm trịn chữ số thập phân)

A V 320cm3 B

1005,31

V  cm C 251,33

V  cm D 502, 65 V  cm Lời giải

Parabol có phương trình 2

8

y x x  y

Thể tích tối đa cốc: 10

0

8

251,33

V   y dy   



Câu 187: (THPT CHUYÊN THOẠI NGỌC HẦU - LẦN - 2018)Có cốc nước thủy tinh hình trụ, bán kính lịng đáy cốc 6cm, chiều cao lòng cốc 10cm đựng lượng nước Tính thể tích lượng nước cốc, biết nghiêng cốc nước vừa lúc nước chạm miệng cốc đáy mực nước trùng với đường kính đáy

A 240 cm 3 B 240 cm 3 C 120 cm 3 D 120 cm 3 Lời giải

Chọn A

Cách Xét thiết diện cắt cốc thủy tinh vng góc với đường kính vị trí có:   2. 2.tan

2

S x  R x R x    1 2tan

2

S x R x 

Thể tích hình nêm là: 1tan  2 d 3tan

2

R

R

V  R x x R 



   

Thể tích khối nước tạo thành ngun cốc có hình dạng nêm nên 3tan

3

kn

V  R 

3

2

240cm

kn

h

V R

R

  

Cách Dựng hệ trục tọa độ Oxyz

Gọi S x  diện tích thiết diện mặt phẳng có phương vng góc với trục Ox với khối nước, mặt phẳng cắt trục Ox điểm có hồnh độ h x 0

Gọi IOJ,FHN,OE x

6 tan

10

IJ EF

OJ OE

  

10

x EF

  6

10

x HF

  

6 10

cos

6 10

x

HF x

HN

      ; arccos 10     

 

x   hinh quat HMN 12 2.212 sin 2

S x S S HN HM HN

  6 arccos 12 1.6.6.2 1 1 1

10 10 10

x x x

S x      

          

     

 

10 10

0

d 36arccos 36 1 d 240

10 10 10

x x x

V S x x         x

            

       

 

 

Câu 188: (THPT CHUYÊN THOẠI NGỌC HẦU - LẦN - 2018)Cho vật thể đáy hình trịn có bán kính (tham khảo hình vẽ) Khi cắt vật thể mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x  1 x 1 thiết diện tam giác Thể tích V vật thể

O E J x

H M

N F

I 



x S x 

10cm

A V  B V 3 C 3

V  D V  Lời giải

Chọn C

Do vật thể có đáy đường trịn cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox thiết diện tam giác vật thể đối xứng qua mặt phẳng vng góc với trục

Oy điểm O

Cạnh tam giác thiết diện là: a2 1x2 Diện tích tam giác thiết diện là:  

2

2

3 1 3

4 a

S   x Thể tích khối cần tìm là:

 

1

2

0 0

4

2 3

3

x V  Sdx x  x  

 

 

Câu 189: (THPT BÌNH GIANG - HẢI DƯƠNG - 2018)Sân vận động Sport Hub (Singapore) sân có mái vịm kỳ vĩ giới Đây nơi diễn lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á tổ chức Singapore năm 2015 Nền sân elip  E có trục lớn dài 150m, trục bé dài 90m (hình 3) Nếu cắt sân vận động theo mặt phẳng vng góc với trục lớn  E cắt elip M N, (hình 3) ta thiết diện ln phần hình trịn có tâm I (phần tơ đậm hình 4) với MN dây cung góc MIN90 0 Để lắp máy điều hịa khơng khí kỹ sư cần tính thể tích phần khơng gian bên mái che bên mặt sân, coi mặt sân mặt phẳng thể tích vật liệu mái khơng đáng kể Hỏi thể tích xấp xỉ bao nhiêu?

1-x2

Hình

A 57793m3 B 115586m3 C 32162m3 D 101793m3

Lời giải Chọn B

Chọn hệ trục hình vẽ

Ta cần tìm diện tích S x thiết diện Gọi d O MN , x

 :7522 4522 x y

E  

Lúc 2

2

2 45 90

75 75

x x

MN  y     

 

2 2

2

2

90 1 90 1

75 75

2

MN x x

R R  

        

  2   2

1 1 2025

2

4 2 75

x S x  R  R   R      

   

Thể tích khoảng khơng cần tìm  

75

3

75

2025

2 115586

2 75

x

V  m



 

    

 



Câu 190: (TRẦN PHÚ - HÀ TĨNH - LẦN - 2018) Một thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt thùng) đường elip có trục lớn 1m, trục bé 0,8m, chiều dài (mặt thùng) 3m Đươc đặt cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng (như hình bên) Biết chiều cao dầu có thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) 0,6m Tính thể tích V dầu có thùng (Kết làm tròn đến phần trăm)

A V 1,52m3 B V 1,31m3 C V 1, 27m3 D V 1,19m3 Lời giải

Chọn A

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ

Theo đề ta có phương trình Elip

2 1 4 25 x  y 

Gọi M, Nlần lượt giao điểm dầu với elip Gọi S1 diện tích Elip ta có

1 5

S ab 

Gọi S2 diện tích hình phẳng giới hạn Elip đường thẳng MN

Theo đề chiều cao dầu có thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) 0,6m nên ta có phương trình đường thẳng MN

5

y Mặt khác từ phương trình

2 1 4 25 x  y 

ta có y x

Do đường thẳng

5

y cắt Elip hai điểm M, N có hồnh độ

4



3

4

2

2

3

4

4 1 d d

5 5 10

S x x x x

 

 

       

 

 

Tính

2

4

1 d

I x x



   Đặt 1sin d 1cos d

2

x t x t t

Đổi cận: Khi

4

x 

3

t  ; Khi

4

x

3

t

 

3

2

3

1 1 cos d 1 cos d

2 8

I t t t t

 

 



 

 

      

 

 

Vậy

4 3

5 10 15 20

S        

 

Thể tích dầu thùng 3 1,52 15 20

V     

DẠNG TỐN 5: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ

Câu 191: (PTNK CƠ SỞ - TPHCM - LẦN - 2018) Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x  liên tục đoạn  0;5 đồ thị hàm số y f x  đoạn  0;5 cho hình bên

Tìm mệnh đề

A f  0  f 5  f 3 B f  3  f 0  f 5 C f  3  f 0  f  5 D f 3  f 5  f 0

Lời giải Chọn C

Ta có      

3

5

f x x  f  f 

 d , f 5  f 3

     

3

0

3 0

f x x  f  f 

 d , f 3  f 0

     

5

0

5 0

f x x  f  f 

 d , f 5  f 0

Câu 192:(MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số y f x  Đồ thị hàm số y f x  hình bên Đặt g x 2f x   x12 Mệnh đề đúng?

A g 1 g  3 g 3 B g 1 g 3 g 3

C g 3 g  3 g 1 D g  3 g 3 g 1

Lời giải Chọn B

Ta có g x 2f x  2 x1

    1

3 x g x f x x

x  

       

 



Bảng biến thiên

Suy g  3 g 1 g 3 g 1 (1)

Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn đường: y f x y x'( ),  1, x 3, x1

Gọi S2 diện tích hình phẳng giới hạn đường: y x 1, y f x x'( ), 1, x3

Dựa vào hình vẽ, ta thấy: S1S20 Suy ra: S1S20

       

1

3

1 d d

f x x x x f x x 

 

         

       

1

3

1 d d

f x x x f x x x 

 

         

   

3

1 d f x x x 



     

Khi đó:          

3

3 d d

g g g x x f x x x

 

 

          (2) Từ (1) (2) suy ra: g 1 g 3 g 3

A g     3 g  3 g B g     1 g  3 g

C g      3 g g 1 D g     1 g g 3

Lời giải Chọn D

Ta có g x 2f x 2xg x    0 x  3;1; 3 Từ đồ thị y f x   ta có bảng biến thiên hàm g x 

Suy g   3 g Kết hợp với BBT ta có:

 

        

        

13 g x dx 13g x xd 13g x xd 13g x xd

           

 g  3 g g g  g  3 g

Vậy ta có g      3 g g

Câu 194:(MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Cho hàm số y f x   Đồ thị hàm số y f x '  hình vẽ Đặt h x 2f x x  2. Mệnh đề đúng?

A h     4 h  2 h B h     2 h  2 h

C h     4 h  2 h D h     2 h h 2

Ta có h x' 2 'f x x h x  ; '    0 x  2; 2; 

Bảng biến thiên

Suy h   2 h

Kết hợp với đồ thị hàm số y=x ta có

         

         

42h x xd h h h h

Vậy ta có h     2 h h 2

Câu 195:Cho hàm số y f x  liên tục  có đồ thị hàm số f x  hình bên Mệnh đề sau đúng?

A f  0  f 2  f  1 B f  0  f  1 f 2 C f  2  f 0  f  1 D f  1 f  0  f  2

Lời giải Chọn B

Theo đồ thị, ta có:      

1

0 d

f f f x x

 

   

 0  1

f f

    1 ,

         

1

2 d d d

f f f x x f x x f x x

 

  

     

 1  2

f f

Từ  1  2  f  0  f  1 f  2

Câu 196:(SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM 2018-2019 LẦN 01) Cho hàm số f x  Đồ thị hàm số  

 

y f x 3;2 hình vẽ (phần cong đồ thị phần parabol

2 .

  

y ax bx c )

Biết f   3 0, giá trị f  1 f 1 A 23

6 B

31

6 C

35

3 D

9 Lời giải

Chọn B

Parabol y ax 2bx c có đỉnh I2;1 qua điểm 3;0 nên ta có

2

2 1

2

4 4

9 3

  

   

           

 

      

 

b

a a

a b c b y x x

a b c c

Do f   3 nênf   1 f 1 f  1  f 0    f 0  f 1 2f   1 f 3 

 

1

2

0

( )d ( )d d



 

 

f x x f x x   x x x  

2

3

3 31

2 d

2 



S S    x x x   

Với S S1, 2 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x , trục Ox hai đường thẳng x 1,x0 x0,x1

Dễ thấy 1 1; 2

 

S S

Câu 197: (THPT LƯƠNG VĂN CAN - LẦN - 2018) Cho hàm số y f x  Đồ thị hàm số  

Mệnh đề đúng?

A g  1 g 3 g 5 B g  1 g 5 g 3 C g 5 g  1 g 3 D g 3 g 5 g 1

Lời giải Chọn B

Ta có g x 2f x   x 1; g x 0  f x  x

Dựa vào đồ thị ta có nghiệm sau:

1 x x x

        

Ta có bảng biến thiên

Ngồi dựa vào đồ thị ta có    

3

1

1

d d

2g x x  2g x x    

3

1

g x g x 

  

 3  1  3  5

g g g g

      g 5 g 1

Vậy g 3  g 5 g 1

Câu 198: (THPT HẬU LỘC - TH - 2018) Cho hàm số

 

3

( ) , , , ,

Tính giá trị H  f(4) f(2)?

A H 45 B H 64 C H 51 D H 58 Lời giải

Chọn D

Theo y f x( )ax3bx2 cx d a b c d , , , ,a0 y f x  hàm bậc hai có dạng y f x a x 2b x c  

Dựa vào đồ thị ta có:

4 c

a b c a b c

  

     



     



3 a b c

    

 

   

  3 1 y f x x

   

Gọi S diện tích phần hình phẳng giới hạn đường y f x , trục Ox, x4, x2 Ta có  

4 2

3 dx 58 S  x  

Lại có:        

4

2

dx

S f x  f x  f  f

Do đó: H  f 4  f  2 58

Câu 199: (SGD THANH HÓA - LẦN - 2018) Cho hàm số y f x  Đồ thị hàm số y f x  hình vẽ bên Đặt

 2;6  

max

M f x



 ,

 2;6  

min

m f x



 , T M m Mệnh đề đúng?

A T  f 0  f  2 B T  f 5  f 2 C T  f 5  f  6 D T  f 0  f 2

Gọi S1, S2, S3, S4 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x  với trục hồnh

Quan sát hình vẽ, ta có

    

0

2

d d

f x x f x x



   

   0  0

2

f x  f x

 

 0  2  0  2

f f f f

      f  2 f 2

    

2

0

d d

f x x f x x

 

   0  5

2

f x f x

 

 0  2  5  2

f f f f

     f  0  f 5

    

5

2

d d

f x x  f x x

   5  5

2

f x f x

 

 5  2  5  6

f f f f

     f  2  f  6

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có

 2;6    

max

M f x f



 

 2;6    

min

m f x f



  