Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh aA. Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đã cho.[r]
(1)N
M
O
CHỦ ĐỀ TÍCH VƠ HƯỚNG CẢU HAI VECTƠ
VÀ ỨNG DỤNG
BÀI GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 00 ĐẾN 1800
1 Định nghĩa
Với góc 00 1800 ta xác định điểm M nửa đường tròn đơn vị cho xOM giả sử điểm M có tọa độ M x y0; 0
Khi ta có định nghĩa:
sin góc y0, kí hiệu sin y0; cosin góc x0, kí hiệu cos x0; tang góc 0
0
0 , y
x
x
kí hiệu
0
tan y ;
x cotang góc 0
0
0 , x
y
y kí hiệu
0
0
cot x
y
2 Tính chất
Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox xOM
180
xON Ta có yM yN y0, xM xN x0 Do
0
0
0
sin sin 180
cos cos 180
tan tan 180
cot cot 180
3 Giá trị lượng giác góc đặc biệt
Giá trị lượng giác
0
0 300 450 600 900 1800
sin
2
2
3
2
cos
2
2
1
(2)tan
3
cot 1
3
Trong bảng kí hiệu " " để giá trị lượng giác không xác định
Chú ý. Từ giá trị lượng giác góc đặc biệt cho bảng tính chất trên, ta suy giá trị lượng giác số góc đặc biệt khác
Chẳng hạn:
0 0
0 0
3
sin120 sin 180 60 sin 60
2
cos135 cos 180 45 cos 45
2
4 Góc hai vectơ
a) Định nghĩa
Cho hai vectơ a b khác vectơ Từ điểm O ta vẽ OA a OB b Góc AOB với số đo từ 00 đến 1800 gọi góc hai vectơ a b Ta kí hiệu góc hai vectơ a b a b, Nếu a b, 900 ta nói a b vng góc với nhau, kí hiệu
a b b a
b) Chú ý. Từ định nghĩa ta có a b, b a,
A B
(3)CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 1. Giá trị cos 450 sin 450 bao nhiêu?
A.1 B. C. D.
Câu 2. Giá trị tan300 cot 300 bao nhiêu?
A. B.
1
3 C.
2 .
3 D.
Câu 3. Trong đẳng thức sau đẳng thức đúng?
A. sin150O
2 B.
O
cos150
2
C. tan150O
3 D.
O
cot150
Câu 4. Tính giá trị biểu thức P cos30 cos60 sin30 sin 60
A P B
2
P C.P D P
Câu 5. Tính giá trị biểu thức P sin30 cos60 sin 60 cos30
A P B. P C. P D. P
Câu 6. Trong đẳng thức sau, đẳng thức sai?
A. sin 45O cos 45O B. sin30O cos60O
C. sin 60O cos150O D. sin120O cos30O
Câu 7. Trong đẳng thức sau, đẳng thức sai?
A. sin0O cos0O B. sin 90O cos90O
C. sin180O cos180O D. sin 60O cos 60O
2 Câu 8. Trong khẳng định sau đây, khẳng định sai?
A. cos 45O sin 45 O B. cos 45O sin135 O
C. cos30O sin120 O D. sin 60O cos120 O
Câu 9. Tam giác ABC vng A có góc B 30 Khẳng định sau sai?
A. cos
B B. sin
C C. cos
C D. sin
B
Câu 10. Tam giác ABC có đường cao AH Khẳng định sau đúng?
A. sin
BAH B. cos
BAH C. sin
ABC D. sin
AHC
Vấn đề HAI GÓC BÙ NHAU – HAI GÓC PHỤ NHAU Câu 11. Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng?
(4)C sin 180 sin D sin 180 cos
Câu 12. Cho hai góc khác bù Trong đẳng thức sau đây, đẳng thức sai?
A sin sin B cos cos C tan tan D cot cot
Câu 13. Tính giá trị biểu thức P sin 30 cos15 sin150 cos165
A
P B P C
P D P
Câu 14. Cho hai góc với 180 Tính giá trị biểu thức
cos cos sin sin
P
A P B P C P D P
Câu 15. Cho tam giác ABC Tính P sin cosA B C cos sinA B C
A P B P C P D P
Câu 16. Cho tam giác ABC Tính P cos cosA B C sin sinA B C
A P B P C P D P
Câu 17. Cho hai góc nhọn phụ Hệ thức sau sai?
A. sin cos B. cos sin C. tan cot D. cot tan
Câu 18. Tính giá trị biểu thức S sin 152 cos 202 sin 752 cos 1102
A.S B. S C. S D. S
Câu 19. Cho hai góc với 90 Tính giá trị biểu thức
sin cos sin cos
P
A P B P C P D P
Câu 20. Cho hai góc với 90 Tính giá trị biểu thức
cos cos sin sin
P
A P B P C P D P
Vấn đề SO SÁNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 21. Cho góc tù Khẳng định sau đúng?
A. sin B. cos C. tan D. cot
Câu 22. Cho hai góc nhọn Khẳng định sau sai?
A. cos cos B. sin sin C. cot cot D. tan tan
Câu 23. Khẳng định sau sai?
A. cos75 cos50 B sin 80 sin 50
C. tan 45 tan 60 D. cos30 sin 60
Câu 24. Khẳng định sau đúng?
A sin 90 sin100 B cos 95 cos100
C tan 85 tan125 D cos145 cos125
Câu 25. Khẳng định sau đúng?
A sin 90 sin150 B. sin 90 15 sin 90 30
(5)Vấn đề TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Câu 26. Chọn hệ thức suy từ hệ thức cos2 sin2 1?
A cos2 sin2
2 2 B
2
cos sin
3 3
C cos2 sin2
4 4 D
2
5 cos sin
5
Câu 27. Cho biết sin
3 Giá trị
2
3 sin cos
3
P ?
A 105
25
P B 107
25
P C 109
25
P D 111
25
P
Câu 28. Cho biết tan Giá trị sin cos
6 cos sin
P ?
A
3
P B
3
P C
3
P D
3
P
Câu 29. Cho biết cos
3 Giá trị
cot 3tan
2cot tan
P ?
A 19
13
P B 19
13
P C 25
13
P D 25
13
P
Câu 30. Cho biết cot Giá trị P 2cos2 5sin cos ?
A 10
26
P B 100
26
P C 50
26
P D 101
26
P
Câu 31. Cho biết 3cos sin 1, 00 90 Giá trị tan
A tan
3 B
3
tan
4 C
4
tan
5 D
5
tan
4 Câu 32. Cho biết cos sin 2, 00 90 Tính giá trị cot
A cot
4 B
3
cot
4 C
2
cot
4 D.
2
cot
2 Câu 33. Cho biết sin cos a Tính giá trị sin cos
A sin cos a2. B sin cos a
C
2 1
sin cos
2 a
D
2 11
sin cos
2 a
Câu 34. Cho biết cos sin
3 Giá trị
2
tan cot
P ?
A
P B
P C
P D 11
P Câu 35. Cho biết sin cos
5 Giá trị
4
sin cos
(6)A 15
5
P B 17
5
P C 19
5
P D 21
5
P
Vấn đề GÓC GIỮA HAI VECTƠ
Câu 36. Cho O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Góc sau 120O?
A MN NP, B MO ON, C MN OP, D MN MP, Câu 37. Cho tam giác ABC Tính P cos AB BC, cos BC CA, cos CA AB,
A 3
P B
P C
2
P D 3
P
Câu 38. Cho tam giác ABC có đường cao AH Tính AH BA,
A.30 B. 60 C.120 D.150
Câu 39. Tam giác ABC vng A có góc B 50 Hệ thức sau sai?
A AB BC, 130 B BC AC, 40 C AB CB, 50 D AC CB, 40 Câu 40. Tam giác ABC vuông A có BC 2AC Tính cos AC CB,
A cos ,
AC CB B cos ,
AC CB
C cos ,
AC CB D cos ,
AC CB
Câu 41. Cho tam giác ABC Tính tổng AB BC, BC CA, CA AB,
A 180 B 360 C 270 D 120
Câu 42. Cho tam giác ABC với A 60 Tính tổng AB BC, BC CA,
A 120 B 360 C 270 D 240
Câu 43. Tam giác ABC có góc A 100 có trực tâm H Tính tổng
, , ,
HA HB HB HC HC HA
A 360 B 180 C 80 D 160
Câu 44. Cho hình vng ABCD Tính cos AC BA,
A cos , 2
AC BA B cos , 2
AC BA
(7)Câu 45. Cho hình vng ABCD tâm O Tính tổng AB DC, AD CB, CO DC,
(8)BÀI TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 1 Định nghĩa
Cho hai vectơ a b khác vectơ Tích vơ hướng a b số, kí hiệu a b , xác định công thức sau:
. cos ,
a b a b a b
Trường hợp hai vectơ a b vectơ ta quy ước a b
Chú ý
Với a b khác vectơ ta có a b a b
Khi a b tích vơ hướng a a kí hiệu a2 số gọi bình phương vơ hướng vectơ a
Ta có:
2
2 0
.cos 0 .
a a a a
2 Các tính chất tích vơ hướng
Người ta chứng minh tính chất sau tích vơ hướng: Với ba vectơ a b c, , số k ta có:
a b b a (tính chất giao hoán);
a b c a b a c (tính chất phân phối);
ka b k a b a kb ;
2
0, 0
a a a
Nhận xét. Từ tính chất tích vô hướng hai vectơ ta suy ra:
2 2
2 ;
a b a a b b
2 2
2 ;
a b a a b b
2
a b a b a b
3 Biểu thức tọa độ tích vơ hướng
Trên mặt phẳng tọa độ O i j; ; , cho hai vectơ a a a1; 2 , b b b1; 2 Khi tích vơ hướng
a b là:
1 2
. .
a b a b a b
(9)khi
1 2 0. a b a b
4 Ứng dụng
a) Độ dài vectơ
Độ dài vectơ a a a1; 2 tính theo cơng thức:
2
1 2.
a a a
b) Góc hai vectơ
Từ định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ ta suy a a a1; 2 b b b1; 2 khác ta có
1 2
2 2
1 2
.
cos ; .
. .
a b a b a b
a b
a a b b
a b
c) Khoảng cách hai điểm
Khoảng cách hai điểm A x yA; A B x yB; B tính theo cơng thức:
2
.
B A B A
(10)CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Câu 1. Cho a b hai vectơ hướng khác vectơ Mệnh đề sau đúng?
A a b a b B a b C a b D a b a b
Câu 2. Cho hai vectơ a b khác Xác định góc hai vectơ a b a b a b
A 180 B. 0 C 90 D 45
Câu 3. Cho hai vectơ a b thỏa mãn a 3, b a b Xác định góc hai vectơ a b
A 30 B. 45 C 60 D 120
Câu 4. Cho hai vectơ a b thỏa mãn a b hai vectơ
u a b v a b vng góc với Xác định góc hai vectơ a b
A 90 B 180 C 60 D 45
Câu Cho hai vectơ a b Đẳng thức sau sai?
A 2
2
a b a b a b B 2
2
a b a b a b
C 2
2
a b a b a b D 2
4
a b a b a b
Câu Cho tam giác ABC có cạnh a Tính tích vơ hướng AB AC
A AB AC a2 B
2 3
2
a
AB AC C
2
2 a
AB AC D
2
2 a AB AC
Câu Cho tam giác ABC có cạnh a Tính tích vơ hướng AB BC
A AB BC a2 B
2 3
2
a
AB BC C
2
2 a
AB BC D
2
2 a AB BC
Câu Gọi G trọng tâm tam giác ABC có cạnh a Mệnh đề sau sai?
A 2
AB AC a B 2
AC CB a C
2
6
a
GA GB D 2
AB AG a
Câu Cho tam giác ABC có cạnh a chiều cao AH Mệnh đề sau sai?
A. AH BC B. AB HA, 150 C.
2
2 a
AB AC D.
2
2 a AC CB
Câu 10 Cho tam giác ABC vuông cân A có AB AC a Tính AB BC
A AB BC a2. B AB BC a2. C
2 2
2
a
AB BC D
2 2
2
a AB BC
(11)A.BA BC b2. B BA BC c2 C BA BC b2 c2 D.BA BC b2 c2. Câu 12 Cho tam giác ABC có AB cm, BC cm, CA cm Tính CA CB
A.CA CB 13 B.CA CB 15 C.CA CB 17 D.CA CB 19 Câu 13 Cho tam giác ABC có BC a CA, b AB, c Tính P AB AC BC
A P b2 c2 B
2 c b
P C
2 2
c b a
P D
2 2
c b a P
Câu 14 Cho tam giác ABC có BC a CA, b AB, c Gọi M trung điểm cạnh BC Tính
AM BC
A
2
2 b c
AM BC B
2
2 c b
AM BC
C
2 2
3
c b a
AM BC D
2 2
2 c b a AM BC
Câu 15 Cho ba điểm O A B, , không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để tích vơ hướng
OA OB AB
A tam giác OAB B tam giác OAB cân O
C tam giác OAB vuông O D tam giác OAB vuông cân O
Câu 16. Cho M N P Q, , , bốn điểm tùy ý Trong hệ thức sau, hệ thức sai?
A MN NP PQ MN NP MN PQ B MP MN MN MP
C MN PQ PQ MN D MN PQ MN PQ MN2 PQ2
Câu 17. Cho hình vng ABCD cạnh a Tính AB AC
A AB AC a2 B AB AC a2 C 2
AB AC a D 2
AB AC a
Câu 18. Cho hình vng ABCD cạnh a Tính P AC CD CA
A P B P a2 C P a2 D P a2 Câu 19. Cho hình vng ABCD cạnh a Tính P AB AC BC BD BA
A P 2 a B P a2 C P a2 D P a2
Câu 20. Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua C Tính AE AB
A. AE AB a2 B. AE AB a2 C. AE AB a2 D. AE AB a2 Câu 21. Cho hình vng ABCD cạnh Điểm M nằm đoạn thẳng AC cho
4
AC
AM Gọi N trung điểm đoạn thẳng DC Tính MB MN
(12)A. AB BD 62 B. AB BD 64 C. AB BD 62 D. AB BD 64 Câu 23. Cho hình thoi ABCD có AC BD Tính AB AC
A AB AC 24 B AB AC 26 C AB AC 28 D AB AC 32 Câu 24. Cho hình bình hành ABCD có AB cm, AD 12 cm, góc ABC nhọn diện tích
bằng 54 cm 2 Tính cos AB BC, .
A cos ,
16
AB BC B cos ,
16 AB BC
C cos ,
16
AB BC D cos ,
16 AB BC
Câu 25. Cho hình chữ nhật ABCD có AB a AD a Gọi K trung điểm cạnh
AD Tính BK AC
A. BK AC B. BK AC a2 C. BK AC a2 D. BK AC a2 Vấn đề QUỸ TÍCH
Câu 26. Cho tam giác ABC Tập hợp điểm M thỏa mãn MA MB MC là:
A. điểm B. đường thẳng C. đoạn thẳng D. đường trịn
Câu 27. Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn MB MA MB MC với A B C, , ba đỉnh tam giác
A. điểm B. đường thẳng C. đoạn thẳng D. đường tròn
Câu 28. Cho tam giác ABC Tập hợp điểm M thỏa mãn MA BC là:
A. điểm B. đường thẳng C. đoạn thẳng D. đường tròn
Câu 29*. Cho hai điểm A B, cố định có khoảng cách a Tập hợp điểm N thỏa mãn
AN AB a là:
A. điểm B. đường thẳng C. đoạn thẳng D. đường tròn
Câu 30*. Cho hai điểm A B, cố định AB Tập hợp điểm M thỏa mãn MA MB 16 là:
A. điểm B. đường thẳng C. đoạn thẳng D. đường tròn
Vấn đề BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH VƠ HƯỚNG HAI VECTƠ
Cho tam giác ABC với ba đỉnh có tọa độ xác định A x yA; A , B x yB; B , C x yC; C
Trung điểm I đoạn ;
2
A B A B x x y y
AB I
Trọng tâm ;
3
A B C A B C
x x x y y y
(13) Trực tâm
HA BC H
HB CA
Tâm đường tròn ngoại tiếp
2
2
AE BE E EA EB EC
AE CE
Chân đường cao K hạ từ đỉnh A AK BC BK kBC
Chân đường phân giác góc A điểm D DB AB.DC AC
Chu vi: P AB BC CA
Diện tích: sin cos2
2
S AB AC A AB AC A
Góc A: cosA cos AB AC,
Tam giác ABC vuông cân A AB AC
AB AC
Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 3; , 2;10 , B C 4;2 Tính tích vơ hướng AB AC
A AB AC 40 B AB AC 40 C AB AC 26 D. AB AC 26 Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 3; B 2;10 Tính tích vô hướng
AO OB
A AO OB B AO OB C AO OB D. AO OB 16 Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a 4i 6j b 3i j Tính tích vơ
hướng a b
A a b 30 B a b C a b 30 D. a b 43
Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a 3;2 b 1; Tìm tọa độ vectơ c biết c a c b 20
A c 1; B c 1;3 C c 1; D. c 1;3
Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a 1;2 , b 4;3 c 2;3 Tính P a b c
A P B P 18 C P 20 D. P 28
(14)A. cos ,
a b B. cos ,
2
a b
C. cos ,
2
a b D. cos ,
2
a b
Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a 2; b 4; Tính cosin góc hai vectơ a b
A. cos ,
5
a b B. cos ,
5 a b
C. cos ,
2
a b D. cos ,
2
a b
Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a 4;3 b 1;7 Tính góc hai vectơ a b
A 90 O B 60 O C 45 O D 30 O
Câu 39. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ x 1;2 y 3; Tính góc hai vectơ x y
A 45 O B 60 O C 90 O D 135 O
Câu 40. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a 2;5 b 3; Tính góc hai vectơ a b
A 30 O B 45 O C 60 O D 135 O
Câu 41. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ a 9;3 Vectơ sau khơng vng góc với vectơ a?
A.v1 1; B. v2 2; C. v3 1;3 D. v4 1;3
Câu 42. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1;2 , B 1;1 C 5; Tính cosin góc hai vectơ AB AC
A. cos ,
AB AC B. cos ,
AB AC
C. cos ,
5
AB AC D. cos ,
5 AB AC
Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 6;0 , 3;1B C 1; Tính số đo góc B tam giác cho
A 15 O B 60 O C 120 O D 135 O
Câu 44. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A 8;0 , 0;4 , B C 2;0 D 3; Khẳng định sau đúng?
(15)C. cos AB AD, cos CB CD, D. Hai góc BAD BCD bù
Câu 45. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ
2
u i j v ki j Tìm k để vectơ u vng góc với v
A. k 20 B. k 20 C. k 40 D. k 40
Câu 46. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ
2
u i j v ki j Tìm k để vectơ u vectơ v có độ dài
A. 37
k B. 37
k C. 37
k D.
8 k
Câu 47. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a 2;3 , b 4;1 c ka mb với
,
k m Biết vectơ c vng góc với vectơ a b Khẳng định sau đúng?
A. 2k m B. 3k m C. 2k 3m D. 3k 2m
Câu 48. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a 2;3 b 4;1 Tìm vectơ d biết
a d b d
A. 6; 7
d B. 6; 7
d C. 5;
7
d D. 5;
7
d
Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ u 4;1 , v 1;4 a u m v với
m Tìm m để a vng góc với trục hoành
A. m B. m C. m D. m
Câu 50. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u 4;1 v 1;4 Tìm m để vectơ
a m u v tạo với vectơ b i j góc 45
A. m B.
m C.
m D.
m
Vấn đề CƠNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI
Câu 51. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính khoảng cách hai điểm M 1; N 3;4
A. MN B. MN C. MN D. MN 13
Câu 52. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 1;4 , 3;2 , B C 5;4 Tính chu vi P tam giác cho
A. P 2 B. P 4 C. P 8 D. P 2
Câu 53. Trong hệ tọa độ O i j; ; , cho vectơ
5
a i j Độ dài vectơ a
A 1
5 B 1 C
6
5 D
7
(16)sau đúng?
A u v B u v phương
C u vng góc với v D u v
Câu 55. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 1;2 , B 2; , C 0;1 1;3
2
D Mệnh đề sau ?
A AB phương với CD B AB CD
C AB CD D AB CD
Câu 56. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A 7; , 8;4 , 1;5B C D 0; Khẳng định sau đúng?
A. AC CB
B. Tam giác ABC
C. Tứ giác ABCD hình vng
D. Tứ giác ABCD khơng nội tiếp đường trịn
Câu 57. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A 1;1 , 0;2 , B C 3;1 D 0; Khẳng định sau đúng?
A. Tứ giác ABCD hình bình hành
B. Tứ giác ABCD hình thoi
C. Tứ giác ABCD hình thang cân
D. Tứ giác ABCD khơng nội tiếp đường trịn
Câu 58. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chotam giác ABC có A 1;1 , 1;3B C 1; Khẳng định sau ?
A. Tam giác ABC B. Tam giác ABC có ba góc nhọn
C. Tam giác ABC cân B D. Tam giác ABC vuông cân A
Câu 59. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 10;5 , 3;2B C 6; Khẳng định sau đúng?
A. Tam giác ABC B. Tam giác ABC vuông cân A
C. Tam giác ABC vuông cân B D. Tam giác ABC có góc A tù
Câu 60. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chotam giác ABC có A 2; , 1; 1B C 2;2 Khẳng định sau đúng?
A. Tam giác ABC B. Tam giác ABC vuông cân A
C. Tam giác ABC vuông B D. Tam giác ABC vuông cân C
Vấn đề TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Câu 61. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 2;4 B 8;4 Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành cho tam giác ABC vuông C
A C 6;0 B.C 0;0 , C 6;0 C C 0;0 D.C 1;0
(17)thuộc trục tung cho tam giác ABC vuông A
A C 0;6 B C 5;0 C C 3;1 D.C 0;
Câu 63. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A –4;0 , B –5;0 C 3;0 Tìm điểm M thuộc trục hoành cho MA MB MC
A M –2;0 B M 2;0 C M –4;0 D. M –5;0
Câu 64. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M –2;2 N 1;1 Tìm tọa độ điểm P thuộc trục hồnh cho ba điểm M N P, , thẳng hàng
A P 0;4 B P 0;–4 C P –4;0 D. P 4;0
Câu 65. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm điểm M thuộc trục hồnh để khoảng cách từ đến điểm N 1;4
A M 1;0 B M 1;0 , M 3;0 C M 3;0 D M 1;0 , M 3;0
Câu 66. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1;3 B 4;2 Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành cho C cách hai điểm A B
A. 5;0
C B. 5;0
C C. 3;0
C D. 3;0
C
Câu 67. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 2;2 , B 5; Tìm điểm M thuộc trục hoàng cho AMB 90 ?0
A. M 0;1 B. M 6;0 C. M 1;6 D. M 0;6
Câu 68. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1; B 3;2 Tìm M thuộc trục tung cho MA2 MB2 nhỏ
A. M 0;1 B. M 0; C. 0;1
2
M D. 0;
M
Câu 69. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD biết A 2;0 , B 2;5 ,
6;2
C Tìm tọa độ điểm D
A. D 2; B. D 2;3 C. D 2; D. D 2;3
Câu 70. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A1;3 , B 2;4 , C 5;3 Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác cho
A. 2;10
G B. 8; 10
3
G C.G 2;5 D. 10;
3
G
Câu 71. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 4;1 , 2;4 ,B C 2; Tìm tọa độ tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác cho
A 1;1
I B 1;1
I C 1;1
I D 1;
I
Câu 72 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 3;0 , 3;0B C 2;6 Gọi
;
(18)A a 6b B a 6b C a 6b D a 6b
Câu 73. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 4;3 ,B 2;7 C 3; Tìm toạ độ chân đường cao A' kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC
A. A' 1; B. A' 1;4 C. A' 1;4 D. A' 4;1
Câu 74. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 2;4 , B 3;1 , C 3; Tìm tọa độ chân đường cao A' vẽ từ đỉnh A tam giác cho
A ' 1; 5
A B ' 3;
5
A C ' 1; 5
A D ' 3;
5
A
Câu 75. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 3; , 3;6B C 11;0 Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình vng
A. D 5; B. D 8;5 C. D 5;8 D. D 8;5
Câu 76. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 2;4 B 1;1 Tìm tọa độ điểm C cho tam giác ABC vuông cân B
A C 4;0 B C 2;2 C C 4;0 , C 2;2 D C 2;0
Câu 77. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có A 1; B 3;0 Tìm tọa độ điểm D, biết D có tung độ âm
A D 0; B D 2; C D 2; , D 0;1 D D 2;
Câu 78. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A1;2 ,B 1;3 ,C 2; D 0; Mệnh đề sau ?
A. ABCD hình vng B. ABCD hình chữ nhật
C. ABCD hình thoi D. ABCD hình bình hành
Câu 79. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác OAB với A 1;3 B 4;2 Tìm tọa độ điểm
E chân đường phân giác góc O tam giác OAB
A 5; 2
E B 3;
2
E
C E 2;4 D E 2;4
Câu 80. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 2;0 , 0;2B C 0;7 Tìm tọa độ đỉnh thứ tư D hình thang cân ABCD
(19)c b
a C
B A
I
c b
a C
B A
c b
a C
B A
BÀI CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC
1 Định lí cơsin
Cho tam giác ABC có BC a AC, b AB c Ta có
2 2
2 2
2 2
2 cos ; cos ; cos
a b c bc A b c a ca B c a b ab C
Hệ
2 2 2 2 2
cos ; cos ; cos
2 2
b c a c a b a b c
A B C
bc ca ab
2 Định lí sin
Cho tam giác ABC có BC a AC, b, AB c R bán kính đường trịn ngoại tiếp
Ta có
2
sin sin sin
a b c R
A B C
3 Độ dài đường trung tuyến
Cho tam giác ABC có m m ma, b, c trung tuyến kẻ từ A B C, , Ta có
2 2
2
2 2
2
2 2
2
;
2
;
2
2
a
b
c
b c a m
a c b m
a b c m
4 Công thức tính diện tích tam giác
Cho tam giác ABC có
● h h ha, ,b c độ dài đường cao tương ứng với cạnh BC CA AB, , ; ● R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác;
● r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác; ●
2
a b c
p nửa chu vi tam giác; ● S diện tích tam giác
Khi ta có:
1
2 a b c
(20)
1 1
sin sin sin
2 2
4
bc A ca B ab C abc
R pr
(21)CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề GIẢI TAM GIÁC
Câu 1. Tam giác ABC có AB 5,BC 7,CA Số đo góc A bằng:
A.30 B. 45 C. 60 D. 90 Câu 2. Tam giác ABC có AB 2,AC A 60 Tính độ dài cạnh BC
A. BC B. BC C. BC D. BC
Câu 3. Tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm AB BC 3, cạnh AB 60
ACB Tính độ dài cạnh cạnh BC
A. BC 3 B. BC C.BC D. 3 33
2
BC
Câu 4. Tam giác ABC có AB 2,AC C 45 Tính độ dài cạnh BC
A. BC B. 2
BC C. 2
BC D. BC Câu 5. Tam giác ABC có B 60 ,C 45 AB Tính độ dài cạnh AC
A.
AC B. AC C. AC D. AC 10 Câu 6. Cho hình thoi ABCD cạnh 1cm có BAD 60 Tính độ dài cạnh AC
A. AC B. AC C. AC D. AC
Câu 7. Tam giác ABC có AB 4,BC 6,AC Điểm M thuộc đoạn BC cho
2
MC MB Tính độ dài cạnh AM
A. AM B. AM C. AM D. AM Câu 8. Tam giác ABC có 2, 3,
2
AB BC CA Gọi D chân đường phân giác góc A Khi góc ADB độ?
A. 45 B. 60 C. 75 D. 90
Câu 9. Tam giác ABC vuông A, đường cao AH 32cm Hai cạnh AB AC tỉ lệ với Cạnh nhỏ tam giác có độ dài bao nhiêu?
A.38cm B. 40cm C. 42cm D. 45cm
Câu 10. Tam giác MPQ vuông P Trên cạnh MQ lấy hai điểm E F, cho góc
, ,
MPE EPF FPQ Đặt MP q PQ, m PE, x PF, y Trong hệ thức sau, hệ thức đúng?
A. ME EF FQ B. ME2 q2 x2 xq
C. MF2 q2 y2 yq D. MQ2 q2 m2 2qm
Câu 11. Cho góc xOy 30 Gọi A B hai điểm di động Ox Oy cho
1
(22)A.
2 B. C. 2 D.
Câu 12. Cho góc xOy 30 Gọi A B hai điểm di động Ox Oy cho
1
AB Khi OB có độ dài lớn độ dài đoạn OA bằng:
A.
2 B. C. 2 D.
Câu 13. Tam giác ABC có AB c BC, a CA, b Các cạnh a b c, , liên hệ với đẳng thức b b2 a2 c a2 c2 Khi góc BAC độ?
A.30 B. 45 C. 60 D. 90
Câu 14. Tam giác ABC vuông A, có AB c AC, b Gọi a độ dài đoạn phân giác góc BAC Tính a theo b c
A. a 2bc
b c B.
2
a
b c
bc C.
2 a
bc
b c D.
2 a
b c bc
Câu 15. Hai tàu thủy xuất phát từ vị trí A, thẳng theo hai hướng tạo với góc
60 Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí Sau hai giờ, hai tàu cách hải lí?
Kết gần với số sau đây?
A. 61 hải lí
B. 36 hải lí
C. 21 hải lí
D.18 hải lí
Câu 16. Để đo khoảng cách từ điểm A bờ sông đến gốc C cù lao sông, người ta chọn điểm B bờ với A cho từ A B nhìn thấy điểm C Ta đo khoảng cách AB 40m, CAB 450 CBA 700
Vậy sau đo đạc tính tốn khoảng cách AC
gần với giá trị sau đây?
A.53 m
B.30 m
C. 41,5 m
D. 41 m
Câu 17. Từ vị trí A người ta quan sát cao (hình vẽ) Biết AH 4m, HB 20m, BAC 450
Chiều cao gần với giá trị sau đây?
A.17,5m
(23)60°
1m
60m
O
C D
A
B
C.16,5m
D.16m
Câu 18. Giả sử CD h chiều cao tháp C chân tháp Chọn hai điểm A B, mặt đất cho ba điểm A B, C thẳng hàng Ta đo AB 24 m,
0
63 , 48
CAD CBD
Chiều cao h tháp gần với giá trị sau đây?
A.18m
B. 18,5m
C. 60m
D. 60,5m
Câu 19. Trên tịa nhà có cột ăng-ten cao m Từ vị trí quan sát A cao m so với mặt đất, nhìn thấy đỉnh B chân C cột ăng-ten góc 500 400 so với phương nằm ngang
Chiều cao tòa nhà gần với giá trị sau đây?
A.12m
B.19m
C. 24m
D. 29m
Câu 20. Xác định chiều cao tháp mà không cần lên đỉnh tháp Đặt kế giác thẳng đứng cách chân tháp khoảng CD 60m, giả sử chiều cao giác kế OC 1m
Quay giác kế cho ngắm theo ta nhình thấy đỉnh A tháp Đọc giác kế số đo góc AOB 600 Chiều cao tháp gần với giá trị sau đây:
A. 40m
B. 114m
C.105m
D.110m
Câu 21. Từ hai vị trí A B tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C núi Biết độ cao AB 70m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 300, phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15 30'0
Ngọn núi có độ cao so với mặt đất gần với giá trị sau đây?
A.135m B. 234m
C.165m D.195m
(24)Câu 22. Tam giác ABC có AB 6cm, AC 8cm BC 10cm Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A tam giác bằng:
A. 4cm B 3cm C 7cm D 5cm
Câu 23. Tam giác ABC vuông A có AB AC a Tính độ dài đường trung tuyến BM tam giác cho
A BM 1,5 a B. BM a C. BM a D.
2
a BM
Câu 24. Tam giác ABC có AB 9cm, AC 12cm BC 15cm Tính độ dài đường trung tuyến AM tam giác cho
A. 15
2
AM cm B. AM 10cm C. AM 9cm D. 13
AM cm
Câu 25. Tam giác ABC cân C, có AB 9cm 15cm
2
AC Gọi D điểm đối xứng
B qua C Tính độ dài cạnh AD
A. AD 6cm B. AD 9cm C. AD 12cm D. AD 12 2cm
Câu 26. Tam giác ABC có AB 3,BC Gọi M trung điểm BC Biết 13
cos
26
AMB AM Tính độ dài cạnh AC
A. AC 13 B. AC C. AC 13 D. AC
Câu 27*. Tam giác ABC có trọng tâm G Hai trung tuyến BM 6, CN BGC 1200 Tính độ dài cạnh AB
A. AB 11 B. AB 13 C. AB 11 D. AB 13
Câu 28**. Tam giác ABC có độ dài ba trung tuyến 9; 12; 15 Diện tích tam giác
ABC bằng:
A 24 B 24 C 72 D 72
Câu 29*. Cho tam giác ABC có AB c BC, a CA, b Nếu a b c, , có liên hệ 2 2
b c a độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A tam giác tính theo a bằng:
A.
a
B.
3 a
C. 2a D. 3a
Câu 30*. Cho hình bình hành ABCD có AB a BC, b BD, m AC n Trong biểu thức sau, biểu thức đúng:
A. m2 n2 a2 b2 B. m2 n2 a2 b2
C. m2 n2 a2 b2 D. m2 n2 a2 b2
Câu 31**. Tam giác ABC có AB c BC, a CA, b Các cạnh a b c, , liên hệ với đẳng thức a2 b2 5c2 Góc hai trung tuyến AM BN góc nào?
A.300 B. 450 C. 600 D. 900
Câu 32**. Tam giác ABC có ba đường trung tuyến m m ma, , b c thỏa mãn
2 2
(25)A. Tam giác cân B. Tam giác
C. Tam giác vuông D. Tam giác vng cân
Câu 33**. Tam giác ABC có AB c BC, a CA, b Gọi m m ma, , b c độ dài ba đường trung tuyến, G trọng tâm Xét khẳng định sau:
I 2 2
4
a b c
m m m a b c II 2 2 2
GA GB GC a b c Trong khẳng định cho có
A. I B. Chỉ II C. Cả hai sai D. Cả hai
Vấn đề BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN NGOẠI TIẾP
Câu 34. Tam giác ABC có BC 10 A 30O Tính bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
A. R B. R 10 C. 10
3
R D. R 10
Câu 35. Tam giác ABC có AB 3, AC A 60 Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
A. R B. R 3 C. R D. R
Câu 36. Tam giác ABC có BC 21cm, CA 17cm, AB 10cm Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
A. 85cm
R B. 7cm
R C. 85cm
8
R D. 7cm
2
R
Câu 37. Tam giác cạnh a nội tiếp đường trịn bán kính R Khi bán kính R bằng:
A.
2
a
R B.
3 a
R C.
3 a
R D.
4
a R
Câu 38. Tam giác ABC vng A có đường cao 12cm
AH
4 AB
AC Tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
A. R 2,5cm B. R 1,5cm C. R 2cm D. R 3,5cm
Câu 39. Cho tam giác ABC có AB 3, BC CA Gọi D trung điểm BC Tính bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác ABD
A.
6
R B. R C. R 3 D.
2
R
Câu 40**. Tam giác nhọn ABC có AC b BC, a, BB' đường cao kẻ từ B CBB' Bán kính đường tròn ngoại tiếp R tam giác ABC tính theo a b, là:
A.
2 2 cos
2 sin a b ab
R B.
2 2 cos
2 sin a b ab
R
C.
2 2 cos
2 cos a b ab
R D.
2 2 cos
2 cos a b ab
R
(26)Câu 41. Tam giác ABC có AB 3, AC 6, BAC 60 Tính diện tích tam giác ABC
A.S ABC B.
ABC
S C. S ABC D.
9
ABC
S
Câu 42. Tam giác ABC có AC 4, BAC 30 , ACB 75 Tính diện tích tam giác ABC
A.S ABC B. S ABC C. S ABC D. S ABC
Câu 43. Tam giác ABC có a 21, b 17, c 10 Diện tích tam giác ABC bằng:
A.S ABC 16 B. S ABC 48 C. S ABC 24 D. S ABC 84
Câu 44. Tam giác ABC có AB 3, AC 6, BAC 60 Tính độ dài đường cao ha tam giác
A. ha 3 B. ha C. ha D.
a
h
Câu 45. Tam giác ABC có AC 4, ACB 60 Tính độ dài đường cao h uất phát từ đỉnh A tam giác
A. h B. h C. h D. h
Câu 46. Tam giác ABC có a 21, b 17, c 10 Gọi B' hình chiếu vng góc B cạnh AC Tính BB'
A. BB' B ' 84
5
BB C. ' 168
17
BB D. ' 84
17 BB
Câu 47. Tam giác ABC có AB 8cm, AC 18cm có diện tích 64 cm2 Giá trị sinA ằng:
A. sin
A B. sin
8
A C. sin
5
A D. sin
9 A
Câu 48. Hình bình hành ABCD có AB a BC, a BAD 450 Khi hình bình hành có diện tích bằng:
A. 2a2 B. a2 C. a2 D. a2
Câu 49*. Tam giác ABC vuông A có AB AC 30cm Hai đường trung tuyến BF CE cắt G Diện tích tam giác GFC bằng:
A.50 cm2 B. 50 cm2 C. 75 cm2 D.15 105 cm2
Câu 50*. Tam giác nội tiếp đường trịn bán kính R cm có diện tích bằng:
A.13 cm2 B.13 cm2 C.12 cm2 D.15 cm2
Câu 51*. Tam giác ABC có BC 3, AC 2AB độ dài đường cao AH Tính độ dài cạnh AB
A AB B
3 AB
C AB 21
AB D AB
3
AB
Câu 52*. Tam giác ABC có BC a CA, b AB, c có diện tích S Nếu tăng cạnh BC lên
(27)A 2S. B 3S C 4S D 6S
Câu 53*. Tam giác ABC có BC a CA b Tam giác ABC có diện tích lớn góc C bằng:
A. 600 B. 900 C.1500 D.1200
Câu 54*. Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM CN, vng góc với có BC 3, góc BAC 300 Tính diện tích tam giác ABC
A S ABC 3 B S ABC C S ABC D 3
2
ABC
S
Vấn đề BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN NỘI TIẾP
Câu 55. Tam giác ABC có AB 5, AC BAC 600 Tính bán kính r đường trịn nội tiếp tam giác cho
A r B r C r D r
Câu 56. Tam giác ABC có a 21, b 17, c 10 Tính bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác cho
A r 16 B r C
r D r
Câu 57. Tính bán kính r đường trịn nội tiếp tam giác cạnh a
A.
4
a
r B.
5 a
r C.
6 a
r D.
7 a
r
Câu 58. Tam giác ABC vng A có AB 6cm, BC 10cm Tính bán kính r đường trịn nội tiếp tam giác cho
A. r cm B. r cm C. r cm D. r cm
Câu 59. Tam giác ABC vuông cân A, có AB a Tính bán kính r đường tròn nội tiếp tam giác cho
A.
a
r B.
a
r C.
2
a
r D.
3 a r
Câu 60. Tam giác ABC vuông cân A nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Khi tỉ số R
r bằng:
A.1 B. 2
2 C.
2
2 D.
1
(28)CHỦ ĐỀ TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
BÀI GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 00
ĐẾN 1800
Câu 1. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt hay dùng MTCT ta
0
0
2 cos 45
2 cos 45 sin 45 2.
2 sin 45
2
Chọn B
Câu 2. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt hay dùng MTCT ta
0
0
tan 30 4
3 tan 30 cot 30
3
cot 30
Chọn A.
Câu 3. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt hay dùng MTCT ta
O
tan150
3 Chọn C.
Câu 4. Vì 300 600 hai góc phụ nên
0
0
sin 30 cos 60 sin 60 cos 30
cos30 cos60 sin30 sin 60 cos30 cos60 cos60 cos30
P Chọn D.
Câu 5. Vì 300 600 hai góc phụ nên
0
0
sin 30 cos 60 sin 60 cos 30
2
sin30 cos60 sin 60 cos30 cos 60 sin 60
P Chọn A.
Câu 6. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt hay dùng MTCT ta
0
0
3 cos30
2 cos30 sin120 3.
3 sin120
2
Chọn D
Câu 7. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt hay dùng MTCT ta
0
0
cos
cos sin
sin 0 Chọn A
Câu 8. Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt hay dùng MTCT ta
0 cos120
2. sin 60
2
Chọn D
(29)Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác góc đặc biệt hay dùng MTCT ta
0
cos cos 30
2
B Chọn A
Câu 10. Ta có
1 sin
2 30
3 cos
2 BAH BAH
BAH
Do A sai; B sai
Ta có 600 sin
2
ABC ABC Do C Chọn C
Câu 11. Hai góc bù 180 cho có giá trị sin
Chọn C.
Câu 12. Hai góc bù cho có giá trị sin nhau, giá trị cịn lại đối Do D sai Chọn D.
Câu 13. Hai góc 300 1500 bù nên sin 30 sin150 ; Hai góc 15 165 bù nên cos15 cos165
Do P sin 30 cos15 sin150 cos165 sin150 cos165 sin150 cos165
Chọn B
Câu 14. Hai góc bù nên sin sin ; cos cos
Do P cos cos sin sin cos2 sin2 sin2 cos2 1 Chọn C.
Câu 15. Giả sử A ;B C Biểu thức trở thành P sin cos cos sin Trong tam giác ABC, có A B C 180 180
Do hai góc bù nên sin sin ; cos cos
Do đó, P sin cos cos sin sin cos cos sin Chọn A.
Câu 16. Giả sử A ;B C Biểu thức trở thành P cos cos sin sin Trong tam giác ABC có A B C 180 180
Do hai góc bù nên sin sin ; cos cos
Do P cos cos sin sin cos2 sin2 sin2 cos2 1 Chọn C.
Câu 17. Hai góc nhọn phụ sin cos ; cos sin ; tan cot ; cot tan Chọn A.
Câu 18. Hai góc 15 75 phụ nên sin75 cos15
Hai góc 20 110 90 nên cos110 sin 20 Do đó, S sin 152 cos 202 sin 752 cos 1102
2
2 2 2 2
sin 15 cos 20 cos 15 sin 20 sin 15 cos 15 sin 20 cos 20
Chọn C.
Câu 19. Hai góc phụ nên sin cos ; cos sin Do đó, P sin cos sin cos sin2 cos2 1
(30)Câu 20. Hai góc phụ nên sin cos ; cos sin
Do đó, P cos cos sin sin cos sin cos sin Chọn A.
Câu 21.Chọn C Câu 22.Chọn A.
Câu 23.Chọn A. Trong khoảng từ đến 90 , giá trị góc tăng giá trị cos tương ứng góc giảm
Câu 24. Trong khoảng từ 90 đến 180 , giá trị góc tăng thì: - Giá trị sin tương ứng góc giảm
- Giá trị cos tương ứng góc giảm
Chọn B.
Câu 25. Trong khoảng từ 90 đến 180 , giá trị góc tăng thì: - Giá trị sin tương ứng góc giảm
- Giá trị cos tương ứng góc giảm Chọn C
Câu 26. Từ biểu thức cos2 sin2 ta suy cos2 sin2
5
Do ta có 5 cos2 sin2 5.
5 Chọn D.
Câu 27. Ta có biểu thức sin2 cos2 cos2 sin2 16
3 3 25
Do ta có
2
2 16 107
3sin 5cos
3 25 25
P Chọn B.
Câu 28. Ta có
sin
6
6 sin cos cos tan
sin
6 cos sin 6 7 tan
cos
P Chọn B.
Câu 29. Ta có biểu thức sin2 cos2 sin2 cos2
9
Ta có
2
2
2 2
2
cos sin 3.
3
cot 3tan sin cos cos 3sin 19.
cos sin
2 cot tan 2 cos sin 2 5 13
2
sin cos 3 9
P
Chọn B Câu 30. Ta có
2
2
2
cos cos
2 cos 5sin cos sin
sin
sin sin
P
2
2
2
1 2 cot 5cot 1 cot 3cot 5cot 101.
1 cot cot 26 Chọn D.
Câu 31. Ta có 3cos sin 3cos sin 9cos2 sin 12
2 2
(31)2
sin
10 sin sin
sin sin 1: khơng thỏa mãn 00 90 0
4 sin
sin cos tan
5 cos Chọn A.
Câu 32. Ta có 2cos sin 2 sin 2cos 2sin2 2cos
2 2
2
2 sin 8cos cos cos 8cos cos
cos
6 cos 8cos
cos
cos 1: không thỏa mãn 00 90 0
1 2 cos
cos sin cot
3 sin Chọn C.
Câu 33. Ta có sin cos a sin cos a2
2
1 sin cos sin cos
2 a
a Chọn C.
Câu 34. Ta có cos sin cos sin
3
1
1 2sin cos sin cos
9
Ta có
2
2 sin cos
tan cot tan cot tan cot
cos sin
P
2 2
2
sin cos 2 2 2 7.
sin cos sin cos 4 Chọn B.
Câu 35. Ta có sin cos sin cos
5
1
1 2sin cos sin cos
5
Ta có P sin4 cos4 sin2 cos2 2 sin2 cos2
2 17
1 sin cos
5 Chọn B.
Câu 36. Vẽ NE MN Khi MN NP, NE NP,
0 0
180 180 60 120
PNE MNP Chọn A. F
(32)E C
B A
H
E C
B A
C
B A
Vẽ OF MO Khi MO ON, OF ON, NOF 60 0 Vì MN OP MN OP, 90
Ta có MN MP, NMP 60
Câu 37. Vẽ BE AB Khi AB BC, BE BC, CBE 180 CBA 1200
0
cos , cos120
2
AB BC
Tương tự, ta có cos , cos ,
BC CA CA AB
Vậy cos , cos , cos ,
2
AB BC BC CA CA AB Chọn C.
Câu 38. Vẽ AE BA
Khi AH AE, HAE (hình vẽ) 1800 BAH 1800 300 150
Chọn D
Câu 39. (Bạn đọc tự vẽ hình) Chọn D. Vì AC CB, 1800 ACB 1800 400 140
Câu 40. Xác định AC CB, 1800 ACB
Ta có cos 600
2 AC
ACB ACB
CB
0
, 180 120
AC CB ACB
Vậy cos , cos1200 1.
2
AC CB Chọn B.
Câu 41.
Ta có
0
0
0
, 180
, 180
, 180
AB BC ABC BC CA BCA CA AB CAB
0 0
, , , 540 540 180 360
AB BC BC CA CA AB ABC BCA CAB
Chọn B Câu 42. Ta có
0
0
, 180
, 180
AB BC ABC
(33)F I
C B
H
A
E D
C
B A
E
D C
B A
O
, , 360
AB BC BC CA ABC BCA
0 0 0
360 180 BAC 360 180 60 240 Chọn D
Câu 43. Ta có
, , ,
HA HB BHA HB HC BHC HC HA CHA
, , ,
HA HB HB HC HC HA BHA BHC CHA
0 0
2BHC 180 100 160
(do tứ giác HIAF nội tiếp Chọn D.
Câu 44. Vẽ AE BA
Khi cos AC BA, cos AC AE,
0
cos cos135
2
CAE Chọn B
Câu 45.
Ta có AB DC, hướng nên AB DC, 00 Ta có AD CB, ngược hướng nên AD CB, 1800 Vẽ CE DC,
CO DC, CO CE, OCE 135 Vậy
0 0
, , ,
0 180 135 315
AB DC AD CB CO DC
(34)BÀI TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Câu 1. Ta có a b a b .cos ,a b
Do a b hai vectơ hướng nên a b, 00 cos ,a b Vậy a b a b Chọn A.
Câu 2. Ta có a b a b .cos ,a b
Mà theo giả thiết a b a b , suy cos ,a b a b, 180 Chọn A.
Câu 3. Ta có cos , cos , , 120
3.2
a b
a b a b a b a b a b a b
Chọn D
Câu 4. Ta có 2 13
5 5
u v u v a b a b a ab b
1
1 a b
ab
Suy cos , , 180
a b
a b a b
a b Chọn B.
Câu Nhận thấy C D khác hệ số
1
4 nên đáp án sai rơi vào C D
Ta có
2 2 2
4
4
a b a b a b a b ab a b a b a b
Chọn C
A đúng,
2
2 2
a b a b a b a a a b b a b b a b a
b b
a
2 2
1
2
a b a b a b
B đúng,
2
2 2
a b a b a b a a a b b a b b a b a
b b
a
2
2
2
a b a b a b
Câu Xác định góc AB AC, góc A nên AB AC, 60 Do
2
.cos , cos60
2 a
AB AC AB AC AB AC a a Chọn D
Câu Xác định góc AB BC, góc ngồi góc B nên AB BC, 120 Do
2
.cos , cos120
2 a
(35)Câu Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:
Xác định góc AB AC, góc A nên AB AC, 60 Do
2
.cos , cos60
2 a
AB AC AB AC AB AC a a A
Xác định góc AC CB, góc ngồi góc C nên AC CB, 120 Do
2
.cos , cos120
2 a
AC CB AC CB AC CB a a B
Xác định góc GA GB, góc AGB nên GA GB, 120 Do
2
.cos , cos120
6
3
a a a
GA GB GA GB GA GB C sai.Chọn C
Xác định góc AB AG, góc GAB nên AB AG, 30 Do
2
.cos , cos30
2
a a
AB AG AB AG AB AG a D
Câu Xác định góc AC CB, góc ngồi góc A nên AC CB, 120 Do
2
.cos , cos120
2 a
AC CB AC CB AC CB a a Chọn D
Câu 10 Xác định góc AB BC, góc ngồi góc B nên AB BC, 135 Do AB BC. AB BC. .cos AB BC, a a. 2.cos1350 a2. Chọn A
Câu 11 Ta có 2
2
.cos , cos c
BA BC BA BC BA BC BA BC B c b c c b c
Chọn B
Cách khác Tam giác ABC vuông A suy AB AC AB AC Ta có BA BC BA BA AC BA2 BA AC AB2 c2 Chọn B
Câu 12 Ta có AB BC CA ba điểm A B C, , thẳng hàng B nằm A C, Khi CA CB. CA CB .cosCA CB, 3.5.cos00 15. Chọn B
Cách khác. Ta có
2
2 2
AB AB CB CA CB CBCA CA
2 2 2
1 3 5 2 15.
2
CBCA CB CA AB
(36)E
D C
A B
M
B A
2 2 2 2 2
AC AB AC AB AC AB AC AB b c Chọn A Câu 14 Vì M trung điểm BC suy AB AC 2AM
Khi
2
AM BC AB AC BC AB AC BA AC 2
2 2 2
1 1
2 2
b c
AC AB AC AB AC AB AC AB Chọn A
Câu 15 Ta có OA OB AB OA OB OB OA
2 2 2
0
OB OA OB OA OB OA Chọn B.
Câu 16. Đáp án A theo tính chất phân phối Đáp án B sai Sửa lại cho MP MN MN MP Đáp án C theo tính chất giao hốn
Đáp án D theo tính chất phân phối Chọn B
Câu 17. Ta có AB AC, BAC 450 nên cos 450 2
2
AB AC AB AC a a a
Chọn A
Câu 18. Từ giả thiết suy AC a
Ta có P AC CD CA AC CD AC CA CA CD AC 2
2
cos , .cos 45
CA CD CA CD AC a a a a Chọn C Câu 19. Ta có
2
BD a
BC BD BA BC BA BD BD BD BD
Khi P AB AC 2BD 2AB BD 2AC BD 2BA BD
2
2 cos , 2
2
BA BD BA BD a a a Chọn D
Câu 20. Ta có C trung điểm DE nên DE a Khi
0
AE AB AD DE AB AD AB DE AB
0
.cos , cos0
DE AB DE AB DE AB a Chọn A
Câu 21. Giả thiết khơng cho góc, ta phân tích vectơ MB MN, theo vectơ có giá vng góc với
1
4 4
MB AB AM AB AC AB AB AD AB AD
1 1
4
(37)K D
C B
A
C B
D A
D
B C
A
1
2 4
AD AB AB AD AD AB Suy ra:
2
3 1
3
4 4 16
MB MN AB AD AD AB AB AD AB AD AD AB
3 0
16 a a Chọn B
Câu 22. Giả thiết khơng cho góc, ta phân tích vectơ AB BD, theo vectơ có giá vng góc với
Ta có AB BD AB BA BC AB BA AB BC AB AB AB2 64
Chọn D
Câu 23. Gọi O AC BD, giả thiết khơng cho góc, ta phân tích vectơ AB AC, theo vectơ có giá vng góc với
Ta có
2
1
32
2
AB AC AO OB AC AO AC OB AC AC AC AC
Chọn D
Câu 24. Ta có SABCD 2.S ABC 54 S ABC 27cm Diện tích tam giác ABC là:
.sin .sin
2
ABC
S AB BC ABC AB AD ABC
2 2.27
sin
8.12 16
ABC S ABC
AB AD
2
cos sin
16
ABC ABC (vì ABC nhọn)
Mặt khác góc hai vectơ AB BC, góc ngồi góc ABC
Suy cos , cos 1800 cos
16
AB BC ABC ABC Chọn D Câu 25. Ta có AC BD AB2 AD2 2a2 a2 a
Ta có
1 BK BA AK BA AD AC AB AD
1
2
BK AC BA AD AB AD
0 2
2 2
BA AB BA AD AD AB AD AD a a Chọn A. Câu 26. Gọi I trung điểm BC MB MC 2MI
Ta có MA MB MC MA MI.2 MA MI MA MI *
(38)Biểu thức * chứng tỏ MA MI hay M nhìn đoạn AI góc vng nên tập hợp điểm M đường trịn đường kính AI Chọn D.
Câu 27. Gọi G trọng tâm tam giác ABC MA MB MC 3MG
Ta có MB MA MB MC MB MG.3 MB MG MB MG * Biểu thức * chứng tỏ MB MG hay M nhìn đoạn BG góc vng nên tập hợp điểm M đường trịn đường kính BG Chọn D.
Câu 28. Ta có MA BC MA BC
Vậy tập hợp điểm M đường thẳng qua A vng góc với BC.Chọn B.
Câu 29*. Gọi C điểm đối xứng A qua B Khi AC 2AB Suy AB AC 2AB2 a2
Kết hợp với giả thiết, ta có AN AB AB AC
0
AB AN AC AB CN CN AB
Vậy tập hợp điểm N đường thẳng qua C vng góc với AB Chọn B
Câu 30*. Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB IA IB Ta có MA MB MI IA MI IB MI IA MI IA
2
2 2 2 2
AB MI IA MI IA MI Theo giả thiết, ta có
2 2
2 16 16 16 0 .
4 4
AB AB
MI MI M I
Chọn A
Câu 31. Ta có AB 1;11 , AC 7;3
Suy AB AC 11.3 40 Chọn A.
Câu 32. Ta có AO 3;1 , OB 2;10 Suy AO OB 3.2 1.10 Chọn C.
Câu 33. Từ giả thiết suy a 4;6 b 3; Suy a b 4.3 30 Chọn A.
Câu 34. Gọi c x y;
Ta có 9 1;3
7 20
20
c a x y x
c
x y y
c b Chọn B.
Câu 35. Ta có b c 6;6 Suy P a b c 1.6 2.6 18 Chọn B.
Câu 36. Ta có
2 2
1.2 1.0
cos ,
2
1
a b a b
(39)Câu 37. Ta có cos , 2.4
5 16
a b a b
a b Chọn A
Câu 38. Ta có cos , 4.1 3.7 , 45
2 16 49
a b
a b a b
a b Chọn C
Câu 39. Ta có cos , 2 , 135
2
x y
x y x y
x y Chọn D
Câu 40. Ta có cos , 2.3 , 135
2 25 49
a b
a b a b
a b Chọn D
Câu 41. Kiểm tra tích vơ hướng a v , đáp án cho kết khác kết luận vectơ khơng vng góc với a Chọn C.
Câu 42. Ta có AB 2; AC 4;
Suy cos , 2.4
5 16
AB AC AB AC
AB AC Chọn D.
Câu 43. Ta có BA 3; BC 4; Suy ra:
O
3
cos , , 135
2 16
BA BC
BA BC B BA BC
BA BC
Chọn D
Câu 44. Ta có AB 8;4 , AD 5; , CB 2;4 , CD 5;5
Suy
2 2
2 2
8.5
cos ,
10
8 5
2 5
cos ,
10
2 5
AB AD CB CD
0
cos AB AD, cos CB CD, BAD BCD 180 Chọn D. Câu 45. Từ giả thiết suy 1; , ;
2
u v k
Yêu cầu toán: 40
2
u v k k Chọn C.
Câu 46. Từ giả thiết suy 1; , ;
2
u v k
Suy 25 101
4
u v k2 16 Do để
16 101 16 101 37 37
2 4
(40)Câu 47. Ta có ;3 2;4
c ka mb k m k m a b
Để c a b c a b 2k 4m 3k m 2k 3m Chọn C.
Câu 48. Gọi d x y; Từ giả thiết, ta có hệ
5
2 7
4
7
x x y
x y
y
Chọn B.
Câu 49. Ta có a u m v m;1 4m Trục hoành có vectơ đơn vị i 1;0 Vectơ a vng góc với trục hồnh a i m m Chọn B.
Câu 50. Ta có 1; 1;1
a m u v m m b i j
Yêu cầu toán cos , cos 450
2
a b
2 2
4
2 2 17 16 17
2 4
m m m
m m
m m
2
2
1
5 17 16 17
25 50 25 17 16 17
m
m m m m
m m m m
Chọn C
Câu 51. Ta có MN 4;6 suy MN 42 62 42 13 Chọn D
Câu 52. Ta có
2
2
2
2 2
2;
2;2 2 2
4;0 4
AB AB
BC BC
CA CA
Vậy chu vi P tam giác ABC P AB BC CA 4 Chọn B
Câu 53. Ta có
2
3 4
;
5 5 5
a i j a a Chọn B
Câu 54. Ta có u v 4.6 suy u vng góc với v Chọn C
Câu 55. Ta có AB 3; 1;1
2
CD suy
2
AB CD
(41)Câu 56. Ta có
2
1;7
7;1
5
1;
7;
AB AB
BC BC
AB BC CD DA
CD CD
DA DA
Lại có AB BC 7.1 nên AB BC Từ suy ABCD hình vng Chọn C
Câu 57. Ta có 1;1 3;3
AB
DC AB
DC
Suy DC AB DC 3AB Mặt khác
2
2
1 10
3 10
AD
AD BC
BC
Từ , suy tứ giác ABCD hình thang cân Chọn C.
Câu 58. Ta có AB 2;2 , BC 0; AC 2; Suy
2 2
2
AB AC
AB AC BC Vậy tam giác ABC vuông cân A Chọn D
Câu 59. Ta có AB 7; ,BC 3; AC 4; 10 Suy AB BC 3 AB BC Vậy tam giác ABC vuông cân B Chọn C
Câu 60. Ta có AB 3;0 , BC 3;3 AC 0;3
Do 2 2.
3
AB AC
AB AC BC
BC
Vậy tam giác ABC vuông cân A Chọn B
Câu 61. Ta có C Oxnên C c;0 ;4
8 ;4
CA c
CB c
Tam giác ABC vuông C nên CACB c c 4.4
2 6 0 6;0 .
0;0
c C c c
c C Chọn B.
Câu 62. Ta có C Oy nên C 0;c 4;
1;
AB
AC c
(42)Vậy C 0;6 Chọn A.
Câu 63.
Ta có M Ox nên M x;0
4 ;0
5 ;0 ;0
3 ;0
MA x
MB x MA MB MC x MC x
Do MA MB MC nên 3x x M 2;0 Chọn A.
Câu 64. Ta có P Ox nên P x;0 2; 3; MP x MN
Do M N P, , thẳng hàng nên 2 4;0
3
x
x P Chọn D.
Câu 65. Ta có M Ox nên M m;0 MN m;4
Theo giả thiết: MN 2 5 MN 2 5 1 m 42 2 5
2 1;0
1 16 20
3 3;0
m M
m m m
m M Chọn B
Câu 66. Ta có C Ox nên C x;0 1; 4; AC x BC x
Do 2 12 32 42 2 5;0
3
CA CB CA CB x x x C
Chọn B
Câu 67. Ta có M Ox nên M m;0 2; 5;2 AM m BM m
Vì AMB 900 suy AM BM nên m m 2
2 7 6 0 1;0 .
6 6;0
M m
m m
m M Chọn B
Câu 68. Ta có M Oy nên M 0;m 1; 3;2
MA m
MB m
Khi MA2 MB2 MA2 MB2 12 1 m 32 2 m 2m2 2m 15.
1 29 29
2 ;
2 2
(43)Suy 2
29
MA MB
Dấu '' '' xảy 0;1
2
m M Chọn C
Câu 69. Gọi D x y; Ta có AD x 2;y BC 4; Vì ABCD hình bình hành nên
2
2;
3
x x
AD BC D
y y Chọn A
Câu 70. Tọa độ trọng tâm G x yG; G
1
3 3
3 10
3
G
G
x y
Chọn D.
Câu 71. Gọi I x y; Ta có
4;
2;
2;
AI x y BI x y CI x y
Do I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên
2
2
IA IB IA IB IC
IB IC
2 2 2 2
2 2
1
4 4 2 9
4
2 2 1
x y x y x x x
y
x y x y y
Chọn B
Câu 72 Ta có 3; & 1;6
3; & 5;6
AH a b BC
BH a b AC Từ giả thiết, ta có:
2
3
6
5
3
6
a
a b
AH BC
a b
a b b
BH AC Chọn C
Câu 73. Gọi A x y' ; Ta có
' 4;
5; 15
' 2;
AA x y BC
BA x y
Từ giả thiết, ta có ' '
, ', thang hang ' 2
AA BC AA BC
B A C BA kBC
1 x 15 y x 3y 13
2
2
5 15
x y
(44)Giải hệ 13 ' 1;4
3
x y x
A
x y y Chọn C.
Câu 74. Gọi A x y' ; Ta có
' 2;
6;
' 3;
AA x y BC
BA x y
Vì A' chân đường cao vẽ từ đỉnh A tam giác ABC nên
thẳng hàng
' , , '
AA BC B C A
3
2
' 5
3 2 6 0 1
' 6 2
5
x y x
AA BC x y
x y x y
BA kBC y Chọn D.
Câu 75. Dễ dàng kiểm tra BA BC ABC 90
Gọi I tâm hình vng ABCD Suy I trung điểm AC I 4;
Gọi D x y; , I trung điểm
3
4 5
2 5;
6 1
2
x
x
BD D
y y
Chọn A.
Câu 76. Gọi C x y; Ta có 1;3
1;
BA
BC x y Tam giác ABC vuông cân B BA BC
BA BC 2 2
1
1 1
x y
x y
2
4
hay
10 20
x y y y
y y x x Chọn C.
Câu 77. Gọi C x y; Ta có 2;1 3; AB
BC x y Vì ABCD hình vng nên ta có AB BC
AB BC
2 2
2 3
2
3 5
x y y x y x x
y
x y x x
2
x y
(45)Chọn B
Câu 78. Ta có
2;1 1;
2;1
AB
AB DC
BC ABCD
AB BC DC
hình hình hành
Chọn D.
Câu 79. Theo tính chất đường phân giác tam giác ta có 2 EA OA EB OB Vì E nằm hai điểm A B, nên
2
EA EB *
Gọi E x y; Ta có ;3
4 ;2
EA x y
EB x y
Từ * , suy
2
1 2 2
2 .
2
3
2
x x x
y
y y
Chọn D.
Câu 80. Để tứ giác ABCD hình thang cân, ta cần có cặp cạnh đối song song không cặp cạnh cịn lại có độ dài Gọi D x y;
Trường hợp 1: AB CD CD k AB
AB CD (với k 1)
2
0; ;2
2
x k x y k k
y k
Ta có
2 2
2
2;
2 25
0;5
AD x y AD x y
AD BC x y
BC BC
2
Từ , ta có 2
1
2 2 25 7 7;0
2
k
k k D
k
loại
Trường hợp 2: AD BC
AD BC Làm tương tự ta D 2;9
(46)N M
B C
A
C A
D B
BÀI CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC
Câu 1. Theo định lí hàm cosin, ta có
2 2 52 82 72 1
cos
2 2.5.8
AB AC BC A
AB AC
Do đó, A 60 Chọn C.
Câu 2. Theo định lí hàm cosin, ta có
2 2 2 . .cos 22 12 2.2.1.cos60 3 3
BC AB AC AB AC A BC Chọn D.
Câu 3.
Gọi M N, trung điểm AB BC, MN đường trung bình ABC
1
MN AC Mà MN 3, suy AC Theo định lí hàm cosin, ta có
2 2
2 2
2 .cos
9 2.6 .cos 60
3
AB AC BC AC BC ACB BC BC
BC
Chọn A.
Câu 4. Theo định lí hàm cosin, ta có
2
2 2 2. . .cos 2 3 2 3. .cos 45
AB AC BC AC BC C BC BC
6
2
BC Chọn B.
Câu 5. Theo định lí hàm sin, ta có 5
sin 45 sin 60
sin sin
AB AC AC
AC
C B
Chọn A. Câu 6.
Do ABCD hình thoi, có BAD 60 ABC 120 Theo định lí hàm cosin, ta có
2 2
2
2 .cos
1 2.1.1.cos120 3
AC AB BC AB BC ABC AC
Chọn A Câu 7.
Theo định lí hàm cosin, ta có :
2 2
2 2 1
cos
2 2.4.6
AB BC AC B
AB BC
Do 2
3
MC MB BM BC
(47)M
B C
A
D
B C
A
F
E Q
P
M
x y
O
B
A
2 2
2
2 .cos
1
4 2.4.2 12
2
AM AB BM AB BM B
AM
Chọn C. Câu 8.
Theo định lí hàm cosin, ta có:
2 2 1
cos
2
120 60
AB AC BC BAC
AB AC BAC BAD
2 2 2
cos 45
2
AB BC AC
ABC ABC
AB BC
Trong ABD có BAD 60 ,ABD 45 ADB 75
Chọn C.
Câu 9. Do tam giác ABC vng A, có tỉ lệ cạnh góc vng AB AC: : nên AB cạnh nhỏ tam giác
Ta có
4
AB AC AB
AC
Trong ABC có AH đường cao
2 2 2 2
2
1 1 1 1 40
4 32 16
3
AB
AH AB AC AB AB AB AB Chọn B.
Câu 10.
Ta có 30 60
3 MPQ
MPE EPF FPQ MPF EPQ
Theo định lí hàm cosin, ta có
2 2
2 2
2 .cos
2 cos30
ME AM AE AM AE MAE
q x qx q x qx
2 2
2 2
2 cos
2 cos 60
MF AM AF AM AF MAF
q y qy q y qy
2 2 2
MQ MP PQ q m Chọn C. Câu 11. Theo định lí hàm sin, ta có:
.sin sin sin
sin 30
sin sin sin
OB AB OB AB OAB OAB OAB OAB AOB AOB
Do đó, độ dài OB lớn sinOAB OAB 90 Khi OB
Chọn D.
(48)x y
O
B
A
D A
C B
1
.sin sin sin
sin 30
sin sin sin
OB AB OB AB OAB OAB OAB OAB AOB AOB
Do đó, độ dài OB lớn
sinOAB OAB 90
Khi OB
Tam giác OAB vuông A OA OB2 AB2 22 12
Chọn B
Câu 13. Theo định lí hàm cosin, ta có
2 2 2
cos
2
AB AC BC c b a BAC
AB AC bc
Mà b b2 a2 c a2 c2 b3 a b2 a c c2 a b c2 b3 c3
2 2 0 2 0
b c b c a bc b c a bc (do b 0,c 0)
2 2
b c a bc Khi đó,
2 2 1
cos 60
2
b c a
BAC BAC
bc Chọn C.
Câu 14.
Ta có BC AB2 AC2 b2 c2 Do AD phân giác BAC
2
.BC
AB c c c b c
BD DC DC
AC b b c b c
Theo định lí hàm cosin, ta có
2 2
2 2 2
2
2 .cos c b c cos 45
BD AB AD AB AD ABD c AD c AD b c
2 2 3
2 2
2
2
2 c b c bc
AD c AD c AD c AD
b c b c
2bc AD
b c hay
2 a
bc
b c Chọn A.
Câu 15 Sau tàu B 40 hải lí, tàu C 30 hải lí Vậy tam giác ABC có
40, 30
AB AC A 60
Áp dụng định lí cơsin vào tam giác ABC, ta có
2 2 2 cos
a b c bc A 302 402 2.30.40.cos600 900 1600 1200 1300.
Vậy BC 1300 36 (hải lí)
Sau giờ, hai tàu cách khoảng 36 hải lí Chọn B
Câu 16. Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC, ta có
sin sin
AC AB
(49)Vì sinC sin nên
0
0
.sin 40.sin70 41,47 m.
sin sin115
AB
AC Chọn C
Câu 17. Trong tam giác AHB, ta có tan 11 19'0
20
AH
ABH ABH
BH
Suy ABC 900 ABH 78 41'0
Suy ACB 1800 BAC ABC 56 19'0 Áp dụng định lý sin tam giác ABC, ta
.sin 17m
sin sin sin
AB CB AB BAC
CB
ACB BAC ACB Chọn B.
Câu 18. Áp dụng định lí sin vào tam giác ABD, ta có
sin sin
AD AB D
Ta có D nên D 630 480 15 Do sin 24.sin 480 68,91 m
sin sin15
AB
AD
Trong tam giác vng ACD, có h CD AD.sin 61,4 m Chọn D
Câu 19. Từ hình vẽ, suy BAC 100
0 0 0
180 180 50 90 40
ABD BAD ADB
Áp dụng định lí sin tam giác ABC, ta có
0
0
.sin =5.sin 40 18,5 m
sin10
sin sin sin
BC AC BC ABC
AC
BAC ABC BAC
Trong tam giác vng ADC, ta có sinCAD CD CD AC.sinCAD 11,9 m AC
Vậy CH CD DH 11,9 18,9 m.Chọn B.
Câu 20. Tam giác OAB vng B, có tanAOB AB AB tan 60 0OB 60 m OB
Vậy chiếu cao tháp h AB OC 60 m.Chọn C
Câu 21. Từ giả thiết, ta suy tam giác ABC có CAB 60 ,0 ABC 105 300 c 70 Khi A B C 1800 C 1800 A B 1800 165 300 14 30 0
Theo định lí sin, ta có
sin sin
b c
B C hay 0
70
sin105 30 sin14 30
b Do
0
0
70.sin105 30
269,4 m sin14 30
AC b
(50)M C B A M A B C M C B A D B A C
góc 300 nên 269,4 134,7 m
2
AC
CH
Vậy núi cao khoảng 135 m Chọn A Câu 22.
Áp dụng công thức đường trung tuyến
2 2
2
2
a
b c a
m ta được:
2 2 2
2 10 25
2 4
a
AC AB BC m
5
a
m Chọn D. Câu 23.
M trung điểm
2
AC a AC AM Tam giác BAM vuông A
2
2 2 5.
4
a a
BM AB AM a Chọn D.
Câu 24.
Áp dụng hệ thức đường trung tuyến
2 2
2
2
a
b c a
m ta được:
2 2 2
2 12 15 225.
2 4
a
AC AB BC m
15.
a
m Chọn A.
Câu 25.
Ta có: D điểm đối xứng B qua C C trung điểm BD
AC trung tuyến tam giác DAB BD 2BC 2AC 15
Theo hệ thức trung tuyến ta có:
2 2
2
2
AB AD BD AC
2
2 2 2
2 BD
AD AC AB
2 AD
2
2
15 15
2 144 12
2 AD Chọn C.
Câu 26.
Ta có: M trung điểm BC
2
BC BM Trong tam giác ABM ta có:
2 2
cos
2
AM BM AB AMB
AM BM
2 2 . .cos 2 0.
(51)A B C M G N A B C M
thoả mãn
loại
2
13 ( )
20 13 7 0
7 13
13 3 ( )
13 AM AM AM AM 13 AM
Ta có: AMB AMC hai góc kề bù 13
cos cos
26
AMC AMB
Trong tam giác AMC ta có:
2 2 2 . .cos
AC AM CM AM CM AMC
5 13
13 16 13.4 49
26 AC Chọn D.
Câu 27*.
Ta có: BGC BGN hai góc kề bù mà BGC 1200 BGN 120
G trọng tâm tam giác ABC
2 3. BG BM GN CN
Trong tam giác BGN ta có:
BN2 GN2 BG2 2GN BG .cosBGN
2 9 16 2.3.4.1 13 13.
2
BN BN
N trung điểm AB AB 2BN 13 Chọn D.
Câu 28**. Ta có:
2 2
2
2
2 2
2
2
2 2
2
81
2 292
144 208 100 225 a b c
b c a m
a a c b
m b
c a b c
m 73 13 10 a b c Ta có:
2 2 208 100 292 1
cos
2 2.4 13.10 13
b c a A
bc
2
2 18 13
sin cos
65 13
A A Chọn C.
Diện tích tam giác : sin 1.4 13.10.18 13 72
2 65
ABC
ABC S bc A
Câu 29*. Hệ thức trung tuyến xuất phát từ đỉnh A tam giác:
2 2
2
2
a
(52)Mà: b2 c2 2a2
2 2
2 3.
2 4
a a
a a a a
m m Chọn A.
Câu 30*. Gọi O giao điểm AC BD Ta có:
2
m BO BD
BO trung tuyến tam giác ABC
2 2
2
2
BA BC AC BO
2 2
2 2 2
4
m a b n
m n a b Chọn B.
Câu 31**. Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta có:
2 2 2
2
2 4
AC AB BC b c a
AM
2 2
2 2
9 9
b c a
AG AM
2 2 2
2
2 4
BA BC AC c a b
BN
2 2
2
9 18 36
c a b
GN BN
Trong tam giác AGN ta có:
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
2
9 18 36
cos
2 2
2
9 18 36
b c a c a b b AG GN AN
AGN
AG GN b c a c a b
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
9 18 36
2
2
9 18 36
b c a c a b b b c a c a b
2 2
2 2 2 2 2
10
0
36.2
9 18 36
c a b
b c a c a b
0 90
AGN Chọn D.
Câu 32**. Ta có:
2 2
2
2 2
2
2 2
2 4 a b c
b c a m
a c b m
a b c m
Mà: 5ma2 mb2 mc2
2 2 2 2 2
5
2 4
b c a a c b a b c
2 2 2 2 2
10b 10c 5a 2a 2c b 2a 2b c
2 2
(53)Câu 33**. Ta có:
2 2
2
2 2
2
2 2
2 4 a b c
b c a m
a c b m
a b c m
2 2 2
4
a b c
m m m a b c
2 2 2 3. 2 2 2
9 a b c
GA GB GC m m m a b c a b c Chọn D
Câu 34. Áp dụng định lí sin, ta có 10 0 10
2.sin 30
sin 2.sin
BC R R BC
BAC A
Chọn B
Câu 35. Áp dụng định lí Cosin, ta có BC2 AB2 AC2 2AB AC .cosBAC
2 2 2
3 2.3.6.cos60 27 BC 27 BC AB AC
Suy tam giác ABC vng B, bán kính
2
AC
R Chọn A
Câu 36. Đặt 24
2
AB BC CA
p Áp dụng công thức Hê – rơng, ta có
2
24 24 21 24 17 24 10 84
ABC
S p p AB p BC p CA cm
Vậy bán kính cần tìm 21.17.10 85
4 4.84
ABC
ABC AB BC CA AB BC CA
S R cm
R S
Chọn C
Câu 37. Xét tam giác ABC cạnh a, gọi M trung điểm BC Ta có AM BC suy
2
2
1. . 1. . 3.
2
ABC
a S AM BC AB BM BC
Vậy bán kính cần tính
3
2
4 3
4 ABC
ABC
AB BC CA AB BC CA a a
S R
R S a
Chọn C.
Câu 38. Tam giác ABC vng A, có đường cao AH AB AC AH2
Mặt khác 3
4
AB
AB AC
AC vào , ta
2
3 12
4AC AC
Suy 2
4 5
AB BC AB AC
Vậy bán kính cần tìm
BC
R cm
Câu 39. Vì D trung điểm BC
2 2
2 27
2
AB AC BC
AD AD 3
(54)Nên có bán kính đường trịn ngoại tiếp 3.3 3
3
R AB Chọn B
Câu 40**. Xét tam giác BB C vuông B, có sinCBB B C B C a.sin BC
Mà AB B C AC AB b a.sin BB2 a2.cos2
Tam giác ABB vuông B, có AB BB2 AB2 b a.sin a2.cos2 b2 sinab a2sin2 a2cos2 a2 b2 sin ab
Bán kính đường trịn ngoại tiếp cần tính
2 2 sin
2
2 cos sin
AB R R a b ab ACB
Câu 41. Ta có .sin 1.3.6.sin 600
2 2
ABC
S AB AC A Chọn B.
Câu 42. Ta có ABC 1800 BAC ACB 75 ACB Suy tam giác ABC cân A nên AB AC Diện tích tam giác ABC sin
2
ABC
S AB AC BAC Chọn C. Câu 43. Ta có 21 17 10 24
2
p
Do S p p a p b p c 24 24 21 24 17 24 10 84 Chọn D.
Câu 44. Áp dụng định lý hàm số cơsin, ta có
BC2 AB2 AC2 2AB AC cosA 27 BC 3 Ta có .sin 1.3.6.sin 600
2 2
ABC
S AB AC A
Lại có
2
ABC a a
S
S BC h h
BC Chọn C.
Câu 45. Gọi H chân đường cao xuất phát từ đỉnh A
Tam giác vng AHC, có sin sin 3
2 AH
ACH AH AC ACH
AC
Chọn A.
Câu 46. Ta có 21 17 10 24
2
p
Suy S p p a p b p c 24 24 21 24 17 24 10 84
Lại có ' 84 1.17 ' ' 168
2 17
S b BB BB BB Chọn C.
Câu 47. Ta có .sin 64 1.8.18.sin sin
2
ABC
(55)Câu 48. Diện tích tam giác ABD
2
1
.sin 2.sin 45
2 2
ABD
a
S AB AD BAD a a
Vậy diện tích hình bình hành ABCD
2
2
2 ABCD ABD
a
S S a Chọn C
Câu 49*. Vì F trung điểm AC 15
2
FC AC cm
Đường thẳng BF cắt CE G suy G trọng tâm tam giác ABC
Khi ; ; ; 10
3
;
d B AC BF AB
d G AC d B AC cm GF
d G AC
Vậy diện tích tam giác GFC là:
; 1.10.15 75
2
GFC
S d G AC FC cm Chọn C Câu 50*. Xét tam giác ABC đều, có độ dài cạnh a
Theo định lí sin, ta có
0
2 2.4 8.sin 60
sin 60 sin
BC a
R a
BAC
Vậy diện tích cần tính 1. . .sin 1 sin 602 12 3 2.
2
ABC
S AB AC BAC cm
Chọn C
Câu 51*. Ta có 3
2
AB BC CA AB
p
Suy 3 3 3
2 2
AB AB AB AB
S
Lại có
2
S BC AH
Từ ta có 3 3 3
2 2
AB AB AB AB
2 2
9 12 12
12 2 21
16
3 AB
AB AB
AB Chọn C.
Câu 52*. Diện tích tam giác ABC ban đầu .sin .sin
2
S AC BC ACB ab ACB
Khi tăng cạnh BC lên lần cạnh AC lên lần diện tích tam giác ABC lúc
1 3 2 .sin 6 .1 . .sin 6
2
ABC
S AC BC ACB AC BC ACB S Chọn D Câu 53*. Diện tích tam giác ABC .sin .sin
2
ABC
S AC BC ACB ab ACB
Vì a b, khơng đổi sinACB 1, C nên suy
2
ABC
(56)Vậy giá trị lớn diện tích tam giác ABC
2
ab
S Chọn B Câu 54*. Vì BM CN 5a2 b2 c2 (Áp dụng hệ có trước)
Trong tam giác ABC, ta có
2
2 2 2 cos 5 2 cos .
cos
a a b c bc A a bc A bc
A
Khi sin 2. .sin 2tan 3 3
2 cos
a
S bc A A a A
A Chọn A.
Câu 55. Áp dụng định lý hàm số cơsin, ta có
2 2 2 . cos 49 7
BC AB AC AB AC A BC
Diện tích sin 1.5.8 10
2 2
S AB AC A
Lại có S p r r S 2S
p AB BC CA Chọn C.
Câu 56. Ta có 21 17 10 24
p
Suy S 24 24 21 24 17 24 10 84
Lại có 84
24
S
S p r r
p Chọn C.
Câu 57. Diện tích tam giác cạnh a bằng:
2 3
4
a S
Lại có
2 3
3
3
2
a
S a
S pr r
a
p Chọn C.
Câu 58. Dùng Pitago tính AC 8, suy 12
2
AB BC CA
p
Diện tích tam giác vng 24
S AB AC Lại có S p r r S cm
p
Chọn C.
Câu 59. Từ giả thiết, ta có AC AB a BC a
Suy 2
2
AB BC CA
p a
Diện tích tam giác vng
2
2
a S AB AC
Lại có
2
S a S p r r
(57)Câu 60. Giả sử AC AB a BC a Suy
2
BC a
R
Ta có 2
2
AB BC CA
p a
Diện tích tam giác vuông
2
1 .
2
a S AB AC
Lại có
2
S a S p r r
p Vậy
R