CHỦ đề 1 NGUYÊN hàm

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LỚP 12 HK CHỦ ĐỀ NGUN HÀM Trong mơn giải tích, nguyên hàm hàm số thực cho trước f hàm F có đạo hàm f, nghĩa là, F′ = f Quá trình tìm nguyên hàm gọi tích phân bất định Tìm biểu thức cho ngun hàm cơng việc khó so với việc tìm đạo hàm, khơng phải ln ln thực Tuy nhiên, hàm số liên tục đoạn hay khoảng từ giá trị a đến b, tồn ngun hàm hàm số đoạn/khoảng từ a đến b nêu Nguyên hàm liên hệ với tích phân thơng qua định lý giải tích, cung cấp phương tiện tiện lợi để tính tốn tích phân nhiều hàm số Điều thú vị tích phân đời trước ngun hàm từ lâu, cịn học phổ thơng tơi nhầm chúng phát thời Cơ sở lý thuyết a Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) xác định tập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn R ) Nếu ta có hàm số F ( x ) xác định K cho F ' ( x ) = f ( x ) F ( x ) gọi nguyên hàm hàm số f ( x ) K b Định lí Nếu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) K với số C, hàm số G ( x ) = F ( x ) + C nguyên hàm f ( x ) K c Định lí Nếu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) K nguyên hàm f ( x ) K có dạng G ( x ) = F ( x ) + C với C số d Định lí Mọi hàm số f ( x ) liên tục K có nguyên hàm K e Tính chất nguyên hàm: ➢ ➢ ➢  f ' ( x ) dx = F ( x ) + C với C số  kf ( x)dx = k  f ( x )dx với k số khác   f ( x )  g ( x ) dx =  f ( x )dx   g ( x )dx f Công thức vi phân: d  f ( x )  = f ' ( x ) dx  f ' ( x ) dx = d  f ( x ) Cần nhớ: Vi phân lượng giác: sin x.dx = −d ( cos x ) , cos xdx = d ( sin x ) , Vi phân lũy thừa: xdx = d ( x +1 )  dx , x dx =  +1 dx dx = d ( tan x ) , = −d ( cot x ) cos x sin x TOP MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT Vi phân hàm logarit: dx = d ( ln x ) x Vi phân hàm mũ: e x dx = d ( e x ) , a x dx = d (ax ) ln a g Bảng nguyên hàm bản: Với u hàm số  0du = C  du = u + C  0dx = C  dx = x + C   x dx =  + x (  −1)  +1 +C   u du =  + u (  −1) 1  x dx = ln x + C  u du = ln u  e dx = e  e du = e x x +C u ax u  +1 +C +C au  a du = ln a + C  cosxdx = sinx + C  cos udu = sinu + C  sinxdx = −cosx + C  sin udu = −cosu + C u 1  cos2u du = tan u + C  sin u du = − cot u + C  cos2 x dx = tan x + C  sin x dx = − cot x + C  1 ( ax + b ) dx = a  +1  +1 + C (  −1)  ax + b dx = a ln ax + b + C e +C  a dx = ln a + C x  ( ax + b ) ax + b du = ax + b e +C a a mx + n +C m ln a  cos ( ax + b ) dx = a sin ( ax + b ) + C  sin ( ax + b ) dx = − a cos ( ax + b ) + C 1  cos2 ( ax + b ) dx = a tan ( ax + b ) + C a mx + n dx = 1  sin ( ax + b ) dx = − a cot ( ax + b ) + C Các dạng tốn Dạng Tính ngun hàm dựa vào bảng ngun hàm Phương pháp giải Sử dụng công thức nguyên hàm bảng nguyên hàm Ví dụ Tìm nguyên hàm F ( x ) =   2dx A 2 x + C B  x + C C  x + C D 3 x + C Hướng dẫn giải Ta có F ( x ) =   dx =  x + C (vì  số) Chọn B   + x dx Ví dụ Tính    cos x  x5 A tan x + + C x5 C tan x + + C 2 x5 + C x5 D 3tan x + + C B tan x + NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LỚP 12 HK x5  4 Hướng dẫn giải Ta có   + x dx = dx + x dx = tan x + + C Chọn A    cos x  cos x    Ví dụ Tính:   2x + dx x   2 A x3 + x + C B x3 + 3 x + C 3 33 C x + D x + x + C x +C 2 −   Hướng dẫn giải Ta có:   x + dx = 2 x dx +  dx = x3 +  x dx = x3 + 3x + C  3 3 x  x  = x + 3 x + C Chọn B x −1  ( 3cos x − )dx Ví dụ Tính 3x + C B 3sinx − ln 3x + C D 8sinx − ln 3x + C A 2sin x − ln 3x + C C 6sinx − ln Hướng dẫn giải Ta có x −1 x −1 x  ( 3cosx − )dx =  3cos xdx −  dx = 3sin x −  dx 1 3x = 3sinx − +C ln Chọn B 1  Ví dụ Tính   − e x +1 dx x  A − e.e x + C x C ln x − e.e x + C B ln x − 2e.e x + C D − ln x − e.e x + C 1  Hướng dẫn giải Ta có   − e x +1 dx =  dx − e  e x dx = ln x − e.e x + C Chọn C x x  Ví dụ Tính  sin xdx,  cos xdx Hướng dẫn giải Sử dụng công thức hạ bậc để giải tốn loại Ta có: -  sin xdx =  − cos x 1 sin x dx =  dx −  cos xdx = x − +C 2 2 -  cos xdx =  + cos x 1 sin x dx =  dx +  cos xdx = x + +C 2 2 TOP MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT  +1 Dạng Nguyên hàm dạng  u du = u + C  +1 x +1 + C (  R ) ,  +1   x dx = Công thức: Sai lầm:  u dx = ( x + 1) + C B  ( x + 1) dx ( x + 1) + C Hướng dẫn giải Ta có Ví dụ Ngun hàm A C ( 3x − 1) − ( 3x − 1) − 1) − 1)  dx ( 3x − 1) + C (  R )  +C D ( x + 1) − ( 3x − 1) −2 +C ( 3x − 1) +C ( 3x − 1) −3 =  ( 3x − 1) dx = + C Chọn B −2 ( 3x − 1) −2 dx xdx ( 3x − 1) là: B − +C +C D ( 3x − 1) −4 +C ( 3x − 1)  −2 +C xdx ( 3x − 1) = d (x ) điều khiến ta  ( 3x − 1)3 −2 3x − 1) ( dt 1 ( 3t − 1) −3 = t − dt = + C = − + C Chọn A ( )  ( 3t − 1)3  −2 12 −2 nghĩ đến việc đặt t = x  t −2 xdx dt = +C Cách Ta đặt t = 3x −  dt = xdx  xdx = dt   =  3 (3x2 − 1) 6t −2 − ( 3x − 1) −2 12 + C Chọn A Ví dụ Nguyên hàm A − ( 3sinx − 1) 12  cos xdx ( 3sin x − 1) là: −2 +C +C là: Hướng dẫn giải Cách Ta thấy xdx = d ( x ) = ( x + 1) dx = + C Chọn A D  ( x + 1) −2  +1 +C 12 ( 3x C −  ( x + 1) −2 Ví dụ Nguyên hàm B Hướng dẫn giải Ta có ( 3x C +C ( ax + b ) dx = a  +1 là: A −  u + C (  R ) , u phải tương ứng với du dùng cơng thức  +1 Ví dụ Ngun hàm A  ( ax + b ) B − ( 3sinx − 1) −2 +C NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LỚP 12 HK C − ( 3sinx − 1) −2 D − +C ( 3sinx − 1) dt ( 3t − 1) +C Hướng dẫn giải Cách Ta thấy cos xdx = d ( sin x ) t = sin x ⇒  −2 cos xdx  = d ( sinx ) ( 3sin x − 1) ( 3sinx − 1) −2 −2 ( 3t − 1) + C = − ( 3sinx − 1) + C Chọn B −3 =  ( 3t − 1) dt = −6 Cách Ta đặt t = sin x  dt = cos xdx   3 nên ta đặt cos xdx ( 3sin x − 1) = dt ( 3t − 1) = ( 3t − 1) −6 −2 +C =− ( 3sin x − 1) −2 +C Chọn B Ví dụ Nguyên hàm A − C ( 3cos x − 1) sinxdx ( 3cos x − 1) là: −2 +C 12 ( 3cos x − 1)  B ( 3cos x − 1) −2 D − +C −2 ( 3sinx − 1) dt ( 3t − 1) = −  ( 3t − 1) dt −3 ( 3t − 1) −2 +C = ( 3cos x − 1) +C sinxdx  = − d ( cos x ) ( 3cos x − 1) ( 3cos x − 1) −2 −2 ( 3t − 1) + C = ( 3cos x − 1) + C Chọn B = Cách Ta đặt t = cos x  dt = − sin xdx   =− −2 Hướng dẫn giải Cách Ta thấy sin xdx = − d ( cos x ) đặt t = cos x ⇒ −  +C 6 nên ta sin xdx ( 3cos x − 1) 3 = −dt ( 3t − 1) −2 + C Chọn B tan xdx Ví dụ Nguyên hàm  là: cos x tan x tan x tan x +C +C +C A B C D tan x + C tan xdx tan x dx =  tan xd ( tan x ) = +C Hướng dẫn giải Cách Ta thấy = d ( tan x )  2 cos x cos x Chọn C tan xdx t3 tan x dx  = t dt = + C = + C Chọn C Cách 2: Ta đặt t = tan x  dt =  cos2 x  cos x 3 cot xdx Ví dụ Nguyên hàm  là: sin x cot x cot x +C +C A − B − cot x cot x +C +C C D − 3 cot xdx cot x dx = −  cot xd ( cot x ) = − +C Hướng dẫn giải Cách 1: Ta thấy = −d ( cot x )  2 sin x sin x Chọn D −6 TOP MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT Cách 2: Ta đặt t = cot x  dt = − cot xdx t3 cot x dx  = − t dt = − + C = − +C   sin x sin x 3 Chọn D ln xdx là: x ln x ln x ln x ln x +C +C +C +C A B C D ln xdx ln x dx =  ln xd ( ln x ) = + C Chọn B Hướng dẫn giải Cách Ta thấy = d ( ln x )  x x ln xdx t4 ln x =  t 3dt = + C = + C Chọn B Cách Ta đặt: t = ln x  dt = dx   x x 4 Ví dụ Nguyên hàm  Ví dụ Nguyên hàm  x.( x + 1) dx là: (2 A − x + 1) +C 4ln (2 C − x + 1) B +C 4ln D Hướng dẫn giải Cách 1: Ta thấy x dx = = (2 x + 1) (2 +C ln (2 x + 1) 4ln +C 3 1 d ( x + 1)  x.( x + 1) dx = x + 1) d ( x + 1) (  ln ln 4ln + C Chọn D Cách 2: t = x +  dt = x ln 2dx   x ( x + 1) dx =  Dạng Nguyên hàm dạng  du = ln u u Công thức: Sai lầm:  dx = ln x + C , x  u dx = ln u Ví dụ Nguyên hàm dx ( 2x + 1) + C Chọn D t3 t4 dt = +C = ln 4ln 4ln +C 1  ax + b = a ln ax + b + C  u du = ln u +C + C , u phải tương ứng với du dùng công thức ( x − 1) dx  x − x + là: ln x − +C 3ln x − +C C A + 1) x B ln x − ln x − +C +C ( x − 1) dx = ( x − 1) dx = ln x − + C Chọn B Hướng dẫn giải Ta có  x − x +  ( x − 1)2 Ví dụ Nguyên hàm D xdx  3x − là: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LỚP 12 HK A C ln 3x − ln 3x − +C D ln x − + C ( ) 1 d ( x ) = d ( 3x − 1) 2 d 3x − ln 3x − xdx = = + C Chọn A  x −  3x − ( ) Cách Ta đặt t = x −  dt = xdx   Ví dụ Nguyên hàm ln 3sinx − cos xdx  ( 3sin x − 1) ln 3x − xdx 1 =  dt = ln t + C = + C Chọn A 3x − 6t 6 là: +C B C ln 3sinx − + C D A +C B Hướng dẫn giải Cách Ta thấy xdx = Suy ln 3x − +C ln 3sinx − ln 3sinx − +C +C Hướng dẫn giải Cách Ta thấy cos xdx = d ( sin x ) = d ( 3sinx − 1) ln 3sinx − d 3sinx )= cos xdx ( Do  = + C Chọn B ( 3sin x − 1)  ( 3sinx − 1) Cách Ta đặt t = 3sin x −  dt = 3cos xdx   ln 3sin x − 1 cos xdx +C dx =  dt = ln t + C = 3 3sin x − 3t Chọn B Ví dụ Nguyên hàm dx  cos2 x (1 − tan x ) là: A −2ln (1 − tan x ) + C B − ln − tan x + C C ln − tan x + C D 2ln (1 − tan x ) + C dx = d ( tan x ) = −d (1 − tan x ) cos x d (1 − tan x ) dx = − = − ln − tan x + C Chọn B Do  cos x (1 − tan x ) − tan x Hướng dẫn giải Cách Ta thấy Cách Ta đặt t = − tanx  dt = − dx dx   dx =  − dt = − ln t + C cos x cos x (1 − tan x ) t = − ln − tanx + C Chọn B Ví dụ Nguyên hàm dx  ( ln x − 1) x là: A −2ln ln x − + C B 2ln ln x − + C C ln ln x − + C D − ln ln x − + C TOP MÔN TOÁN THI TỐT NGHIỆP THPT dx = d ( ln x ) = d ( ln x − 1) x Hướng dẫn giải Cách Ta thấy dx  ( ln x − 1) x =  d ( ln x − 1) ln x − = ln ln x − + C Chọn C Cách Đặt t = ln x −  dt = Ví dụ Nguyên hàm A ln x + 2ln C −  x + dx là: +C ln x + ln 2x dx dx   dx =  dt = ln t + C = ln ln x − + C Chọn C x x ( ln x − 1) t B +C D Hướng dẫn giải Cách Ta thấy x dx = 2ln x + ln ln x + ln +C +C d ( x + 1) ln ln x + 2x 1 x dx = d + = ( ) ln + C Chọn D  2x + ln  x + Cách Ta đặt t = x +  dt = x ln 2dx   ln x + ln t 2x dx =  dt = +C = + C Chọn D +1 t ln ln ln x Ví dụ Nguyên hàm  tan xdx là: A − ln cos x + C B ln cos x + C C −2ln cos x + C D 2ln cos x + C d ( cos x ) sin x dx = −  = − ln cos x + C Chọn A cos x cos x sin x Cách 2: Đặt t = cos x  dt = − sin xdx   dx =  − dt = − ln t + C = − ln cos x + C Chọn A cos x t Hướng dẫn giải Cách 1: Ta thấy  tan xdx =  Dạng Sử dụng phép chia đa thức tách nhiều phân số Phương pháp giải Thường dùng biểu thức dấu nguyên hàm có dạng phân số, bậc tử lớn bậc mẫu Ta ý: u phandu với kq kết phép chia, phandu phần dư = kq + v v phép chia Ví dụ Tính nguyên hàm  3x + dx x −1 A x + 4ln x − + C B + 3ln x − + C C x + ln x − + C D x + ln x − + C NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LỚP 12 HK Hướng dẫn giải Có phép chia đa thức: A D =C+ B B C kết quả, D phần dư phép chia Trước hết ta lấy x + chia cho x − kết dư 3x + = 3+ x −1 x −1   Lúc   +  dx = 3x + 4ln x − + C Chọn A x −1  x2 − dx Ví dụ Tính nguyên hàm  x +1 A x − x + ln x + + C B + 3ln x − + C D x + ln x − + C C x − x + ln x + + C Hướng dẫn giải Thực phép chia đa thức ta có 2x2 − 1 = 2x − + Do x +1 x +1 x2 −  x + dx   =   2x − + dx = x − x + ln x + + C Chọn C x +1  2sin x.cos x − sin x dx Ví dụ Tính nguyên hàm  cos x + A ( cos x ) − 2cos x + ln cos x + + C B − ( cos x ) + 2cos x − ln cos x + + C C x − x + ln x + + C D x + ln x − + C 2 Hướng dẫn giải Ta nhận thấy rằng: ( 2cos2 x − 1) sin xdx = ( 2cos2 x − 1) − d ( cos x ) Do ta đặt t = cos x 2sin x.cos x − sin x dx =    cos x + cos x + cos x + 2t − 2t − dt , ví dụ ta có −  dt = −t + 2t − ln t + + C nguyên hàm trở thành −  t +1 t +1 = − ( cos x ) + 2cos x − ln cos x + + C Chọn B Ví dụ Tính nguyên hàm  x + e x + x e x x3 dx = + ln + ce x + C , ( a, b, c  N ) Giá trị a + b + c x + 2e a b là: A B C D Hướng dẫn giải Nguyên hàm phức tạp, ta biến đổi tử có lượng giống với mẫu để rút gọn xuống sau: = x (1 + 2e x ) + e x ex x + e x + x e x dx =  + 2e x  + 2e x dx =  x dx +  + 2e x dx x x3 d (1 + 2e ) x3 + ln + 2e x + C Chọn C +  = 3 + 2e x dx = ln Dạng Nguyên hàm dạng  ( x − a )( x − b ) a − b Chứng minh Ta có Ví dụ Ngun hàm 1  1  x−a +C x−b  ( x − a )( x − b ) dx = a − b   x − a − x − b  dx = a − b ln  ( x − 1)( x − 3) dx x−a +C x −b là: TOP MÔN TOÁN THI TỐT NGHIỆP THPT A −2ln C ln x−2 +C x −1 B 2ln x −1 +C x−2 D Hướng dẫn giải Thật ta giải = x−2 +C x −1 x−3 ln +C x −1 −1 / 1/  ( x − 1)( x − 3) dx =  ( x − + x − )dx = −1  1  −   dx   x −1 x −  −1 1 x−3 ( dx −  dx) = ln + C Nếu áp dụng công thức ta có  x −1 x−3 x −1  ( x − 1)( x − 3) dx x−3 x −1 = ln ln + C Chọn D 1− x − x −1 cos xdx Ví dụ Nguyên hàm  là: 3sin x + cos x − = ln 3sinx − A ln sinx − +C B ln 3sinx − +C sinx − ln +C sin x + d ( sin x ) d ( sin x ) d ( sin x ) cos xdx = = = Hướng dẫn giải  3sin x + − 2sin x −  sin x −  ( sin x − 1)( sin x + 1) 3sin x + cos x − C +C D Đặt t = sin x , nguyên hàm trở thành Ví dụ Nguyên hàm A x + 3ln x − + 2ln C x + ln x − + 2ln x2 +  ( x − 1)( x − )dx x−2 +C x −1 x−2 +C x −1 Hướng dẫn giải Ta có dt t −1 sinx −  ( t − 1)( t + 1) = ln t + + C = ln sin x + + C Chọn D là: B x + 3ln x − + ln x−2 +C x −1 D x + 3ln x − + 2ln x−2 +C x −1 x2 − x2 − + x2 + = = dx dx  ( x − 1)( x − )  ( x − 1)( x − )dx +  ( x − 1)( x − )dx  ( x − 1)( x − ) x−2+3 x−2 x−2 x +1 x−2 dx + 2ln + C = x + 3ln x − + 2ln + C Chọn A dx + 2ln +C =  x−2 x −1 x −1 x−2 x −1 Ví dụ Nguyên hàm  x dx là: e +1 = A ln ex +C e +1 B x + 3ln x − + ln x C x + ln x − + 2ln x−2 +C x −1 D ln x−2 +C x −1 2e x +C ex + Hướng dẫn giải Ta thấy đặt t = e x  dt = e x dx , tiếc tử e x nên buộc lịng ta phải nhân thêm e x vào tử mẫu Với nhận định ta có lời giải sau: Ta có 10 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LỚP 12 HK  e x + dx =  e x ex e x dx e x dx dt x x t = e  dt = e dx Đặt dx =  =   x x x x x t ( t + 1) e ( e + 1) e ( e + 1) ( e + 1) ex t  1 + C Chọn A =  − + C = ln x  dt = ln e +1 t +1  t t +1 Dạng Nguyên hàm dạng  f ( Phương pháp giải Khi tích phân có xuất Ví dụ Ngun hàm  ) a − u du , u = u ( x)    a − u ta thường đặt u = a sin t , t   − ;   2 − x dx là:    Hướng dẫn giải Đặt x = sin t , t   − ;  dx = cos t.dt , t = arcsin x ta thay vào  2  − x dx =  − sin t cos t.dt =  cos t cos tdt Nếu cos t  ta có  cos tdt =  Ví dụ Tính nguyên hàm  sin ( 2arcsinx ) + cos 2t sin 2t dt = t + + C = arcsinx + +C 2 4 − e x e x dx Hướng dẫn giải Sử dụng công thức vi phân ta có  − e x e x dx =  − e x d ( e x )    Lúc đặt e x = sin t , t   − ;  d ( e x ) = cos t.dt , t = arcsin e x thay vào  2  − e x e x dx =  − sin t cos t.dt =  cos t cos tdt Ta tiếp tục giải ví dụ Ngồi ta cịn có số dạng thức thường gặp sau: a    - u − a ta thường đặt u = , t   − ;  \ 0 sin t  2 - a+x a−x a−x đặt x = a cos2t a+x - ( x − a )( x − b ) đặt x = a + ( b − a ) sin t Bạn đọc tự thử sức với toán sau: dx Câu  x2 − 1+ x dx 1− x Câu  Câu  ( x − 1)( x − )dx Câu  dx ( x + 1)( x + ) 11 TOP MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT Dạng Nguyên hàm dạng  f ( a + u )du , u = u ( x) Phướng pháp giải Khi tích phân có xuất a2 + u2 a + u ta thường đặt    u = a tan t , t   − ;   2 Ví dụ Nguyên hàm dx  x2 + là:  x A arctan   + C 2  x C arctan   + C 2  x B 2arctan   + C 2 D arctan ( x ) + C dx = (1 + tan t ) dt     Hướng dẫn giải Đặt x = tan t , t   − ;    Nguyên hàm trở thành  x  2 t = arctan   2  (1 + tan t ) dt dx 1  x  x + =  + tan t =  dt = t + C = arctan   + C Chọn C ( ) Ví dụ Nguyên hàm dx  x2 + x + là:  x +1 A arctan  +C    x +1 C arctan  +C    x B 2arctan   + C 2 D arctan ( x ) + C Hướng dẫn giải Ta thấy dx  x2 + 2x + =  dx ( x + 1) +4 = d ( x + 1) ( x + 1) +4 d ( x + 1) = dx Lúc ta d ( x + 1) = (1 + tan t ) dt + tan t dt  dx đặt x + = tan t , t   − ;    ⇒ =  dt =    x +1 x2 + x + + tan t  2 t = arctan      (    ( 1  x +1 = t + C = arctan   + C Chọn C 2   du Dạng Nguyên hàm dạng  Ví dụ Tính nguyên hàm  dx x ln x + u + a2 = ln u + u + a + C , u = u ( x ) A ln ln x + ln x + + C B ln x + ln x + + C C ln x + x + + C D ln ln x + ln x + + C 12 ) ) NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LỚP 12 HK dx = d ( ln x ) nên x Hướng dẫn giải Ta có:  Ví dụ Tính nguyên hàm  dx x ln x + dx cos x tan x + d ( ln x ) = ln x + = ln ln x + ln x + + C Chọn A A ln tan x + tan x + + C B ln x + tan x + + C C ln x + x + + C D ln tan x + tan x + + C Hướng dẫn giải Ta có dx = d ( tan x ) nên cos x  dx cos x tan x + 2 = d ( tan x ) tan x + = ln tan x + tan x + + C Chọn A Ví dụ Tính nguyên hàm  sin xdx − sin x A ln cos x + cos x + + C B − ln cos x + cos x + + C C − ln x + cos x + + C D ln x + cos x + + C Hướng dẫn giải Ta có:  sin xdx − sin x = sin xdx cos x + = − d ( cos x ) cos x + = − ln cos x + cos x + + C Chọn B Dạng Nguyên hàm phần Công thức:  udv = uv −  vdu - Các loại hàm bản: hàm logarit, hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ - Khi ngun hàm có dạng tích hai hàm nhân ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm phần - Khi giải nguyên hàm ta cần phải xác định đặt đâu u , đâu dv Kinh nghiệm cho thấy thứ tự đặt u logarit, đa thức, lượng giác, mũ ( đọc tắt lô đa lượng mũ ), sau đặt u tồn lượng cịn lại đặt dv Ví dụ Tính nguyên hàm  A tan x.ln ( sin x ) − x + C C tan x.ln ( sin x ) − x + C ln ( sin x ) cos x dx B tan x.ln ( sin x ) + x + C D tan x.ln ( sin x ) − x + C cos x  u = ln ( sin x )  du = sin x dx Hướng dẫn giải Đặt  Áp dụng công thức nguyên hàm phần ta dv = dx  v = tan x  cos x ln ( sin x ) cos x dx = tan x.ln ( sin x ) −  tan x dx = tan x.ln ( sin x ) − x + C Chọn A có:  cos x sin x Ví dụ Tính nguyên hàm  cos xdx = a x sin x + b cos x + C , ( a, b  N ) Giá trị a + b là: A B C D 13 TOP MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT Hướng dẫn giải Đặt t = x  dt = 1 dx = dx  dx = 2tdt  2t cos tdt =  t cos tdt Tiếp tục 2t x u = t du = dt  dùng nguyên hàm phần Đặt  ⇒  t cos tdt = 2t.sin t −  sin t.dt dv = cos tdt  v = sin t = 2t.sin t + 2cos t + C = x sin x + 2cos x + C Do a + b = Chọn B ln ( sin x + 2cos x ) dx Ví dụ Tính nguyên hàm  cos x cos x − 2sin x  u = ln ( sin x + 2cos x ) du = sin x + 2cos x dx  Hướng dẫn giải Ta đặt   dx dv = v = tan x + C = sinx + C cos x cos x   cos x Thường ta hay chọn C = trường hợp ta nên chọn C = cos x − 2sin x sinx + 2cos x nhân với du =  v = tan x + = dx rút gọn bớt Lúc áp sin x + 2cos x cos x dụng cơng thức ngun hàm phần ta có: ln ( sin x + 2cos x ) sinx + 2cos x cos x − 2sin x dx = ln ( sin x + 2cos x ) − dx + C  cos x cos x cos x sinx + 2cos x = ln ( sin x + 2cos x ) − x − 2ln cos x + C cos x Ví dụ Tính nguyên hàm  e x sin xdx (Nguyên Hàm Từng Phần Vòng) x x   u = e du = e dx  Hướng dẫn giải Ta đặt  Do  e x sin xdx dv = sin xdx v = − cos x     x x   u = e du = e dx = e x ( − cos x ) +  cos x.e x dx + C (1) Lúc ta tính  cos x.e x dx , đặt    dv = cos xdx  v = sin x Do  cos x.e x dx = e x sin x −  sin x.e x dx + C ( ) Thay ( ) vào (1) ta được:  e x sin xdx = e x ( − cos x ) + e x sin x −  sin x.e x dx  2 sin x.e x dx = −e x cos x + e x sin x + C   sin x.e x dx = −1 x e cos x + e x sin x + C 2 Ví dụ Tính nguyên hàm x e −x dx Hướng dẫn giải Ngồi cách giải bình thường, ta cịn sử dụng mẹo tính sau: Đạo hàm u = x x2 Bắt đầu: 2x Dừng lại: Do ta có 14 x e −x + − + Nguyên hàm e − x e− x −e − x e− x −e − x dx = x ( −e − x ) − ( x.e − x ) + ( −e − x ) + C = − x e − x − x.e − x − 2e − x + C NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LỚP 12 HK Dạng 10 Sử dụng đồng thức u với bậc tử nhở bậc mẫu v ta thường cố gắng tách phân thức thành tổng phân thức đơn giản Chú ý chương trình học khơng nên đào sâu vào dạng toán này! Phương pháp giải Khi giải nguyên hàm dạng phân thức 3x +  x3 − x − 5x + 6dx 3x + 3x + A B C = = + + Hướng dẫn giải Ta phân tích , người x − x − x + ( x − 1)( x + )( x − 3) x − x + x − Ví dụ Tính nguyên hàm ta thường quy đồng lên đồng hệ số hai vế để tìm A, B , C Tuy nhiên ta có mẹo tính sau:  3x +   3x +   3x +  13 14 A= = , C=  =− , B=   =  ( x + )( x − 3)  x =1  ( x − 1)( x − 3)  x =−2 15  ( x − 1)( x + )  x = Những kí hiệu giá trị, ví dụ muốn tính A ta x = vào 3x + ( x + )( x − 3) 13 14    −3  3x + 13 14 15 dx =   + + dx = − ln x − + ln x + + ln x − + C Vậy  x − x + x − x − x − 5x + 15     Ví dụ Biết x −1  A Bx + C   x3 + dx =   x + + x − x + dx Giá trị A + B + C là: C − D − 3 x −1 x −1 Bx + C   A Hướng dẫn giải Ta có  dx =  dx =   + dx x +1  x +1 x − x +1 ( x + 1) ( x − x + 1) A Suy B ( B + A) x + ( C + B − A) x + C + A x −1 A Bx + C = + = ( x + 1) ( x − x + 1) ( x + 1) x − x + ( x + 1) ( x − x + 1)  A = − B + A =    Vậy A + B + C = − Chọn C  C + B − A =   B = 3 C + A = −1    C = −  Bài tập tự luyện Bài tập mức – Câu Trong hàm số sau, hàm số có nguyên hàm hàm số F ( x ) = ln x A f ( x ) = x Câu Nếu  1 B f ( x ) = C f ( x ) = x x f ( x ) dx = + ln x + C f ( x ) x D f ( x ) = x 15 TOP MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT A f ( x ) = x + ln x + C C f ( x ) = − B f ( x ) = − x + ln x + + ln x + C x2 D f ( x ) = +C x x −1 x2 Câu Hàm số F ( x ) = e x nguyên hàm hàm số: B f ( x ) = 3x 2e x A f ( x ) = e x 3 C f ( x ) = ex 3x Câu Nếu  D f ( x ) = x 3e x f ( x )dx = −1 x3 + e x + C f ( x ) bằng: x4 + ex x4 + ex C f ( x ) = x + e x D f ( x ) = 12 Câu Nguyên hàm hàm số y = x − 3x + x x3 3x x3 3x − + +C − − ln x + C A B x x3 3x x3 3x − + ln x + C − + ln x + C C D 3 x2 − x + Câu Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x −1 1 +C A x + B + +C x +1 ( x − 1) B f ( x ) = A f ( x ) = x + e x x2 + ln x − + C D x + ln x − + C Câu Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + C x3 + x+C C 6x + C Câu Khẳng định sau khẳng định sai? A x + C B A  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx với k  B   f ( x ) + g ( x )  dx =  f ( x ) dx +  g ( x ) dx với f ( x ) ; g ( x ) liên tục x +1 C  x dx = với   −1  +1  D  f ( x ) dx = f ( x ) ( ) Câu Nếu  f ( x ) dx = x + ln x + C A f ( x ) = − 1 + x2 x với x  ( 0; + ) hàm số f ( x ) + ln ( x ) x2 Câu 10 Mệnh đề đúng? C f ( x ) = 16 D x + x + C 2x 1 D f ( x ) = − + x 2x B f ( x ) = x + NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LỚP 12 HK 32 x 9x +C +C B  32 x dx = ln ln 32 x 32 x +1 +C +C C  32 x dx = D  32 x dx = ln 2x + Câu 11 Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + sin x A  32 x dx = 1 A x − cos x + C B x + cos x + C 2 C x − 2cos x + C D x + 2cos x + C Câu 12 Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = e 2018 x A  f ( x ) dx = 2018 e C  f ( x ) dx = 2018e +C B  f ( x ) dx = e +C D  f ( x ) dx = e 2018 x 2018 x 2018 x +C 2018 x ln 2018 + C Câu 13 Hàm số F ( x ) = cos3 x nguyên hàm hàm số: sin 3x C f ( x ) = 3sin 3x A f ( x ) = B f ( x ) = −3sin x D f ( x ) = − sin 3x Câu 14 Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = 52 x A  52 x dx = 52 x +C ln C  52 x dx = 2.52 x ln + C 25 x +C 2ln 25 x +1 +C D  52 x dx = x +1 B  52 x dx = Câu 15 Tìm nguyên hàm I =  x cos xdx A I = x sin x +C B I = x sin x + cos x + C C I = x sin x − cos x + C D I = x 2cos Câu 16 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = ln x x A  f ( x ) dx = ln x+C  f ( x ) dx = ln x + C Câu 17 Tính I =  3x dx C x +C B  f ( x ) dx = ln D  f ( x ) dx = e x x+C +C 3x +C B I = 3x ln + C ln C I = 3x + C D I = 3x + ln + C Câu 18 Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x − là: A I = x − x + C B x + x + C C x + C Câu 19 Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau x4 + C A  x3dx = B  dx = ln x + C x A C  sin xdx = − cos x + C D x − x + C D  2e x dx = ( e x + C ) 17 TOP MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT Câu 20 Tìm ngun hàm hàm số f ( x ) = x + 8sin x A C  f ( x ) dx = x + 8cos x + C D  f ( x ) dx = x + 8cos x + C  f ( x ) dx = x − 8cos x + C  f ( x ) dx = x − 8cos x + C B Câu 21 Nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = A F ( x ) = 2ln x + −  e −1 , biết F   = là: 2x +   B F ( x ) = 2ln x + + 1 C F ( x ) = ln x + + D F ( x ) = ln x + + 2 Câu 22 Cho hàm số f ( x ) xác định K F ( x ) nguyên hàm f ( x ) K Khẳng định đúng? A F ( x ) = f ' ( x ) , x  K B F ' ( x ) = f ( x ) , x  K C F ( x ) = f ( x ) , x  K D F ' ( x ) = f ' ( x ) , x  K Câu 23 Phát biểu sau đúng? A  cos xdx = −2sin x + C B  cos xdx = 2sin x + C C  cos xdx = −1 sin x + C Câu 24 Phát biểu sau đúng? D  cos xdx = sin x + C A  e x sin xdx = e x cos x −  e x cos xdx B  e x sin xdx = −e x cos x +  e x cos xdx C  e x sin xdx = e x cos x +  e x cos xdx D  e x sin xdx = −e x cos x −  e x cos xdx cos ( x − 1) + C C − cos ( x − 1) + C B − cos ( x − 1) + C Câu 25 Tìm nguyên hàm hàm số y = sin ( x − 1) A D − sin ( x − 1) + C Câu 26 Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = F ( ) = Tính F ( 3) x −1 A F ( 3) = ln − B F ( 3) = ln + C F ( 3) = D F ( 3) = Câu 27 Hàm số sau nguyên hàm hàm số f ( x) = ( 3x + 1) ? A F ( x ) = C F ( x ) = ( 3x + 1) 18 ( 3x + 1) +8 B F ( x ) = D F ( x ) = 18 Câu 28 Họ nguyên hàm  x ( 3x + 1) −2 18 ( 3x + 1) 6 x + 1dx 33 ( x + 1) + C D ( x + 1) + C Câu 29 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = 3cos x + x ( x + 1) + C C ( x + 1) + C A 18 B NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LỚP 12 HK +C x C 3cos x + + C x A −3sin x − B 3sin x − +C x D 3cos x + ln x + C Câu 30 Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + A C  f ( x ) dx = 2x + + C B  f ( x ) dx = ( x + 3) ( x + 3) x + + C D  f ( x ) dx =  f ( x ) dx = x 2x + + C 2x + + C Câu 31 Cho hai hàm số F ( x ) = ( x + ax + b ) e − x f ( x ) = ( − x + 3x + ) e − x Tìm a b để F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) A a = 1, b = −7 B a = −1, b = −7 Câu 32 Biết  xe 2x C a = −1, b = D a = 1, b = dx = axe + be + C ( a, b  Q ) Tính tích ab 2x 2x −1 1 B ab = C ab = − D ab = 8 Câu 33 Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ' ( x ) = − 5cos x f ( ) = Mệnh đề đúng? A ab = A f ( x ) = 3x + 5sin x + B f ( x ) = 3x − 5sin x − C f ( x ) = 3x − 5sin x + D f ( x ) = 3x + 5sin x + Câu 34 Hàm số nguyên hàm hàm số y = 2sin x.2cos x ( cos x − sin x ) A y = 2sin x.2cos x + C C y = 2sin x.2cos x.ln ln D y = −2sin x.2cos x +C ln B y = 2sin x.2cos x Câu 35 Hàm số F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + ? 33 ( x + 1) + C C F ( x ) = ( x + 1) ( x + 1) + C 43 ( x + 1) + C 3 D F ( x ) = ( x + 1) + C 2 x Câu 36 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos   2 A F ( x ) = A  f ( x ) dx = x + sinx + C C  f ( x ) dx = + sinx + C x B F ( x ) = B  f ( x ) dx = x − sinx + C D x  f ( x ) dx = − sinx + C Câu 37 Biết F ( x ) nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin x đồ thị hàm số y = F ( x ) qua   điểm M ( 0;1) Tính F   2   A F   = 2 Câu 38 Biết      C F   = D F   = 2 2 1  f ( x ) dx = x ln ( 3x − 1) + C với x   ; +  Tìm khẳng định khẳng định 3    B F   = −1 2 sau 19 TOP MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT B  f ( 3x ) dx = x ln ( 3x − 1) + C  f ( 3x ) dx = x ln ( x − 1) + C C  f ( 3x ) dx = x ln ( x − 1) + C D  f ( 3x ) dx = 3x ln ( x − 1) + C Câu 39 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục, không âm thỏa mãn f ( x ) f  ( x ) = x ( f ( x ) ) + f ( ) = Giá trị lớn M giá trị nhỏ m hàm số y = f ( x ) đoạn 1;3 A A M = 20; m = B M = 11; m = C M = 20; m = D M = 11; m = Câu 40 Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = x + sin x , biết F ( ) = cos3x −1 cos3x D F ( x ) = 3x − +1 cos3x + 3 cos3x C F ( x ) = 3x + +1 B F ( x ) = 3x − A F ( x ) = 3x − 2000 lúc đầu số 1+ x lượng vi khuẩn 5000 Vậy ngày thứ 12 số lượng vi khuẩn (sau làm tròn) con? A 10130 B 5130 C 5154 D 10132 b Câu 42 Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = ax + ( x  ) biết x F ( −1) = 1; F (1) = 4; f (1) = Câu 41 Một đám vi khuẩn ngày thứ x có số lượng N ( x ) Biết N ' ( x ) = 3x − − 2x 3x − − D F ( x ) = 2x 3x + + 2x 3x + − C F ( x ) = 4x B F ( x ) = A F ( x ) = Câu 43 Xét I =  x ( x − 3) dx Bằng cách đặt: u = x − , khẳng định sau đúng? 1 C I =  u du D I =  u 5du u du B I =  u 5du 16  12 Câu 44 Cho F ( x ) nguyên hàm f ( x ) = e3 x thỏa mãn F ( ) = Mệnh đề sau A I = đúng? A F ( x ) = e3 x + 3 C F ( x ) = e3 x + B F ( x ) = e3 x D F ( x ) = − e3 x + 3 Câu 45 Hàm số y = f ( x ) có nguyên hàm F ( x ) = e x Tìm nguyên hàm hàm số A  C  f ( x) + ex f ( x) + ex = e x − e− x + C B  = 2e x + e − x + C D  f ( x) + ex f ( x) + Câu 46 Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = A F ( x ) = 2 x − 20 ex = 2e x − e − x + C = e x − e− x + C 2 thỏa mãn F ( ) = 2x − B F ( x ) = 2 x − + f ( x) + ex NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LỚP 12 HK D F ( x ) = x − − 10 C F ( x ) = x − + Câu 47 Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = B F ( x ) = C F ( x ) = D F ( x ) = ( x − ln ( 2e A F ( x ) = x ) + 3) + 10 + ( x + 10 − ln ( 2e ( x − ln ( 2e ( x thỏa mãn F ( ) = 10 Tìm F ( x ) 2e + x ln ) + 3) ) + 3) + 10 + ln x − ln ( 2e x + 3) + 10 + ln x ) Câu 48 Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = x , thỏa mãn F ( ) = thức T = F ( ) + F (1) + F ( ) + + F ( 2017 ) 22017 + ln 22017 − C T = ln A T = 1009 Tính giá trị biểu ln B T = 22017.2018 D T = 22018 − ln Câu 49 Hàm số F ( x ) = ( ax + b ) x + ( a, b số thực) nguyên hàm f ( x) = A 12 x Tính a + b 4x + B C D Bài tập mức – Câu 50 Cho hàm số f ( x ) xác định Tính S = ( f ( 3) − 2018 ) ( f ( −1) − 2017 ) \ 1 thỏa mãn f  ( x ) = , f ( ) = 2017 , f ( ) = 2018 x −1 C S = 2ln D S = ln 2 1  Câu 51 Cho hàm số f ( x ) xác định R \   thỏa mãn f ' ( x ) = , f ( ) = f (1) = Giá 2x − 2 trị biểu thức f ( −1) + f ( 3) A S = B S = + ln 2 A + ln15 B + ln15 C + ln15 D ln15 Câu 52 Cho a số thực dương Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số 1  1 f ( x ) = e x  ln ( ax ) +  thỏa mãn F   = F ( 2018 ) = e 2018 Mệnh đề sau ? x  a     ;1 A a   B a   0;  2018 2018     C a  1;2018 ) D a   2018; + ) Câu 53 Biết F ( x ) nguyên hàm R hàm số f ( x ) = 2017 x (x + 1) 2018 thỏa mãn F (1) = Tìm giá trị nhỏ m F ( x ) 21 TOP MƠN TỐN THI TỐT NGHIỆP THPT A m = −1 B m = − 22017 22018 C m = + 22017 22018 D m = Câu 54 Cho hàm số f ( x ) xác định R \ −1;1 thỏa mãn: f ' ( x ) = Biết x2 −  1 1 f ( −3) + f ( 3) = f  −  + f   = Tính T = f ( −2 ) + f ( ) + f ( )   2 A T = + ln B T = + ln 5 C T = + ln D T = + ln 5 x cos x − sin x Câu 55 Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = Hỏi đồ thị hàm số y = F ( x ) x2 có điểm cực trị khoảng ( 0; 2018 ) ? A 2019 B C 2017 D 2018 ax + b Câu 56 Biết ln có hai số a b để F ( x ) = ( 4a − b  ) nguyên hàm hàm số f ( x ) x+4 thỏa mãn: f ( x ) =  F ( x ) − 1 f  ( x ) Khẳng định đầy đủ nhất? A a = , b = C a = , b  \ 4 Câu 57 Giả sử B a = , b = −1 D a  , b  ( x + 3) dx  x ( x + 1)( x + )( x + 3) + = − g ( x ) + C ( C số) Tính tổng nghiệm phương trình g ( x ) = A −1 B D − C Câu 58 Cho hàm số f liên tục, f ( x )  −1 , f ( ) = thỏa f  ( x ) x + = x f ( x ) + Tính f ( 3) A B C Câu 59 Giả sử hàm số f ( x ) liên tục, dương ( D ; thỏa mãn f ( ) = f ( x) f ( x) = x Khi x2 + ) hiệu T = f 2 − f (1) thuộc khoảng A ( 2;3) B ( 7;9 ) C ( 0;1) D ( 9;12 ) Câu 60 Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương ( 0; + ) thỏa mãn f (1) = , f ( x ) = f  ( x ) 3x + , với x  Mệnh đề sau đúng? A  f ( )  22 B  f ( )  C  f ( )  D  f ( )  NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LỚP 12 HK Bảng đáp án 1.B 2.D 3.B 4.A 5.D 6.C 7.D 8.A 9.A 10.C 11.A 12.A 13.B 14.B 15.B 16.B 17.A 18.A 19.B 20.C 21.C 22.B 23.D 24.B 25.C 26.B 27.D 28.C 29.B 30.B 31.B 32.C 33.C 34.B 35.C 36.C 37.A 38.A 39.D 40.D 41.A 42.A 43.A 44.A 45.B 46.B 47.A 48.D 49.B 50.D 51.C 52.A 53.B 54.C 55.C 56.C 57.D 58.B 59.C 60.D 23 ... = 18 Câu 28 Họ nguyên hàm  x ( 3x + 1) −2 18 ( 3x + 1) 6 x + 1dx 33 ( x + 1) + C D ( x + 1) + C Câu 29 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = 3cos x + x ( x + 1) + C C ( x + 1) + C A 18 B NGUYÊN... đề sau đúng? A  f ( )  22 B  f ( )  C  f ( )  D  f ( )  NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN LỚP 12 HK Bảng đáp án 1. B 2.D 3.B 4.A 5.D 6.C 7.D 8.A 9.A 10 .C 11 .A 12 .A 13 .B 14 .B 15 .B 16 .B 17 .A 18 .A... 2 018 ) = e 2 018 Mệnh đề sau ? x  a     ;1? ?? A a   B a   0;  2 018 2 018     C a  ? ?1; 2 018 ) D a   2 018 ; + ) Câu 53 Biết F ( x ) nguyên hàm R hàm số f ( x ) = 2 017 x (x + 1)