Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Luùc ñaàu xe maùy ñi vôùi vaän toác ñoù, khi coøn 60km n a thì ñöôïc moät nöûa quaõng ñöôøng AB, xe maùy taêng theâm vaän ữ toác 10km/h treân quaõng ñöôøng coøn laïi, do ñoù ñeán B sôù[r]

CÁC DẠNG TOÁN GIẢI BẰNG CÁCH LẬP HỆ

PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Tốn tìm đại lượng ( (cĩ nội dung số học)

Dạng 2: Tốn tìm số

Dạng 3: Tốn chuy n đđ ngể ộ

Dạng 4: Tốn cơng vi c (n ng su t)ệ ă ấ

Dạng 5: Tốn có n i dung hình h cộ ọ

Dạng 6: Tốn có n i dung v t lí, hố h cộ ậ ọ

CÁC

CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

B­­1: LËp HPT

- Chọn ẩn đặt điều kiện thích hợp cho ẩn (đơn vị nếu có).

- Biểu diễn đại l ượng ch a biết theo ẩn đại lượng biết.

- Lập HPT biểu thị mối liên hệ đại l ượng.

Bưư2: Giải HPT nói trên.

Bưư3: Trả lời:

Bài toán

Bài toán cổ

Vừa gà vừa chó Bó lại cho trịn Ba mươi sáu con Một trăm chân chẵn

Hỏi có chó, gà ?Đặ ất v n đề : :

gi i tốn

Để ả lớp ta n ph i dùng phả ương pháp gi thi t ả ế t m.ạ

Ta có th gi i tốnể ả phương pháp khác phương pháp: “ lập hệ phương trình”

Bài giaûi

Giả sử tất số gà, số chân gà là: 36 = 72 (chân). So với đề số chân thiếu : 100 – 72 = 28 (chân).

Số chân thiếu chó có chân, mà ta cho có chân.

Suy số chó là: 28 : = 14 (con) Vậy số gà là: 36 – 14 = 22 (con). Thử lại: 14 + 22 = 100 (chân)

36

2 100

x y x y        Gà Chó

S conố

S ố chaân

x y

2x 4y

Bài giải Gọi số gà x

(con)

Số chó y (con) K: x, Đ y nguyên dương; x, y < 36 Theo đề ta có phương trình: x + y = 36 (1)Số chân gà: 2x

(chân).Số chân chó: 4y (chân)

Theo đề ta có phương trình: 2x + 4y = 100 (2) T (1) & (2), ta có h phương trình: ừ ệ

22 14 x y      

Vậy số gà 22 con, số chó 14 (con)

L p h phương trình ?ậ ệ * H thức liên hệ ệ :

* H thức liên ệ

hệ :

x + y = 36 (1) 2x + 4y = 100 (2)

(TM K)Đ

Tuổi Phương Tuổi mẹ Năm nay

13 năm nữa

x x + 13

y y + 13

L p h phương trình?ậ ệ

Hệ thức liên hệ:

y = 3x (1)

Hệ thức liên hệ: y + 13 = 2(x +13) (2)

Bài toán

3 13 y x y x      

Tuổi Phương Tuổi mẹ Năm nay

13 năm nữa

x x + 13

y y + 13

Bài giải 13 39 x y      

Gọi tuổi Phương năm x (tuổi)

ĐK: x nguyên dương.

Tuổi mẹ Phương năm nay y (tuổi), ĐK: y nguyên dương, y > x.

Theo đề ta có phương trình: y = 3x (1)

Tuổi Phương sau 13 năm x + 13 (tuổi).

Tuổi mẹ Phương sau 13 năm nữa là: y + 13 (tuổi)

Theo đề ta có phương trình: y + 13 = 2(x + 13)  y – 2x = 13 (2)

T (1) & (2), ta coù h phương trình: ừ ệ

Vậy tuổi Phương năm nay 13 tuổi

L p h phương trình?ậ ệ

Hệ thức liên hệ:

y = 3x (1)

Hệ thức liên hệ: y + 13 = 2(x +13) (2)

(TM K)Đ

Bài toán 3

Bài toán 3 ((Bài tốn cổ)

Quýt, cam mười bảy tươi

Đem chia cho trăm người vui. Chia ba quýt rồi

Còn cam chia mười vừa xinh. Trăm người, trăm miếng lành Quýt, cam loại tính rành cho ra.

Câu hỏi gợi ýCâu hỏi gợi ý::

* Chọn ẩn cho quýt , cam (biểu thị cho số trái cịn lại thơng qua ẩn chọn).

Quýt Cam Số trái

Số phần

17

3 10 100

x y x y        x

x yy

3x

3x 10 y10 y

Hệ thức liên hệ :

x + y = 17 (1) Bài giải

Gọi số quýt x (quả) ĐK: x nguyên dương, x < 17. Số cam y (quả) ĐK: y nguyên dương, y < 17.

Số phần quýt: 3x (phần). Số phần cam: 10y (phần).

Tổng số phần chia 100, ta có phương trình: 3x + 10y = 100 (2)00 (2) Hệ thức liên hệ :

3x + 10y = 100 (2)

Tổng số cam quýt 17 quả, ta có phương trình : x + y = 17 (1)

T (1) & (2), ta có h phương trình: ừ ệ 10 x y      

Vaäy số quýt 10 (quả) , số cam (quaû).

(TM K)Đ

Tổ I Tổ II Tháng đầu

Số vượt mức

tháng thứ hai 10015 x

x (chi tieát maùy)

20 y 100

Hệ thức liên hệ :

15 20

100

x  y 

100 9 5  8 0

y (chi tiết máy)

(chi tiết máy) (chi tiết maùy)

x + y = 800 (1)

Hệ thức liên hệ :

0 ,1 x , y

  145(2)

Bài toán

Bài giải

Gọi số chi tiết máy tổ I làm tháng đầu x (chi tiết) Số chi tiết máy tổ II làm tháng đầu y (chi tiết)

Điều kiện:

Ta có phương trình:

Số chi tiết máy tổ I làm vượt tháng thứ hai là: (chi tiết)

Số chi tiết máy tổ II làm vượt tháng thứ hai là: (chi tiết)

Tổng số chi tiết máy vượt là: 945 – 800 = 145 (chi tiết).

Ta có phương trình: x + y = 800 (1)

T (1) & (2), ta coù h phương trình: ừ ệ   

  

x y

, x , y

800

0 15 145

      x y 300 500

Vậy số chi tiết máy tổ I làm tháng đầu 300 (chi tiết) , t II làm tháng đầu làổ 500 (chi ti t).ế

  *

, 800; ,

x y x y N

15 x 100 20 y 100 15 20 100

x  y 

100 9 5  8 0

0 ,1 x , y

  145(2)

(TM)

Tử số M u sốẫ P.Số

ban đầu P.Số

mới

x y

x + 2 y +

Hệ thức liên hệ :



x + 2 y + 2

1 2

Hệ thức liên hệ :

y – x = (1)

L p h phương trình?ậ ệ

Bài tốn 1

Bài toán 1 :: M u số phân số lớn tử số ẫ đơn vị Nếu tăng tử m u thêm đơn vịẫ phân số Tìm phân số ban đầu.1

2

Tìm số

Bài giải Gọi t số c a phân s c n tìmử ủ ố ầ x

M u số phân sốẫ c n tìmầ y Điều kiện: Phân số c n tìmầ là:

Ta có phương trình: 

x + 2 y + 2

x y

T số c a phân s m iử ủ ố ớ laø: x +

 ( )

x + 2 y + 2 M u số c a phân s m iẫ ủ ố ớ laø: y +

Phân số m iớ là:

 ,

x y Z M u số c a phân s l n h n t s ñ n v ẫ ủ ố ớ ơ ố ơ ị

Ta có phương trình: y – x = (1)

T (1) & (2), ta coù h phương trình: ừ ệ

          y x x y 2       x y

Bài toán 2 Bài tốn 2::

Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng chục Nếu thêm chữ số xen hai chữ số ta được số lớn số cho 370 Tìm số ban đầu ?

Câu hỏi gợi ýCâu hỏi gợi ý::

1 Đề yêu cầu tìm đại lượng ? – Tìm chữ số hàng chục và hàng đơn vị Đặt ẩn x ? (x chữ số hàng chục).

2 Các đại lượng liên quan với ẩn ? – Chữ số hàng đơn vị ban đầu , lúc sau …

3 Tính giá trị số ban đầu số theo ẩn x.

4 Liên hệ số số ban đầu ? – Số số ban đầu 370 đơn vị

KIẾN THỨC BỔ TRỢ

Số ban đầu Chữ số hàng n v

Số Số ban đầu = 370 Số mới

Chữ số hàng chục

= (Chữ số hàng chục)

Giỏ tr ca s = 10 (Chữ số hàng chục) + Chữ số hàng đơn vị

Chữ số hàng đơn vị Chữ số hàng chục

= Chữ số hàng đơn vị số ban đầu

Giá trị số = 100 (Chữ số hàng trăm) + Chữ số hàng đơn vị Chữ số hàng trăm

+ 10

= Ch÷ số hàng chục số ban đầu =

 



Hàng trăm Hàng chục Hàng

đơn vị Giá trị soá Soá ban

đầu Số mới

Bài giải Gọi chữ số hàng chục x Điều kiện: Chữ số hàng đơn vị y. Điều kiện:

Theo đề ta có phương trình: y = 2x (1)

Số tự nhiên có hai chữ số cầncần tìm là: 10x + y 10x + y

Nếu thêm chữ số xen hai chữ số ta số có ba chữ số là: 100x + 10 + y

Vì số lớn số cho 370 Ta có phương trình:

100x + 10 + y – (10x + y) = 370  90x = 360  x = (2)

T (1) & (2), ta có h phương trình: ừ ệ y x x      x y      

Vậy số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là: 48.

  

0 x 9, x N

  

0 y 9,y N

x

x yy 10x + y10x + y x

x 11 yy 100x + 10 + y100x + 10 + y

Không có

L p h phương trình?ậ ệ

(tm)

Ba đại lượng

Quãng đường Vận tốc Thời gian

.

s v t s

v

t



s t

v

DẠNG 3 :: Chuyển động

Bài toán 1 :

Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h Lúc xe với vận tốc 60 km/h Tính quãng đường AB Biết thời gian về

về thời gian 20 phút Câu hỏi gợi ý

Câu hỏi gợi ý

Đề yêu cầu tìm đại lượng ? – Quãng đường AB (x quãng đường AB).

Các đại lượng liên quan với ẩn ? – Thời gian đi, thời gian

Liên hệ thời gian ? – Thời gian về ít thời gianít thời gian đi là 20 phút.

KIẾN THỨC BỔ TRỢ

Quãng đường

AB (km) Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Đi ( A  B)

Veà (B  A)

x y

Hệ thức liên hệ : x  y = 1 (2) 3

Thời gian

Thời gian

hơn thời gian

hơn thời gian

20 phút = 1/3

20 phút = 1/3 Hệ thức liên hệ :50x 60 (1)y 50x

50x

60y

60y

50

50

60

Bài giải

Gọi thời gian từ A đến B là x (h) ; 20 phút = 1 h 3

Thời gian từ B đến A là y (h) ; Đ K: x>y > 0, x> Quãng đường AB 50x (km) , 60y (km)

Ta có phương trình: 50x = 60y (1)

Thời gian thời gian 20 phút = 1 h 3 Ta có phương trình: x  y = 1(2)

3         x y x y 50 60         x y

T (1) & (2), ta có h phương trình: ừ ệ

Thử lại: thời gian thời gian 20 phút: 2 1( )

3 3= h

Vậy q quãng đường AB 50x = 50.2 = 100 (km)

Bài toán Bài toán 22::

Một người xe đạp từ Sài Gịn đến Vũng Tàu , lúc một người ngựa từ Vũng Tàu Sài Gòn hai người gặp nhau sau 2giờ 30 phút Tìm vận tốc xe ngựa, biết ngựa nhanh xe đạp 10 km quãng đường Sàigòn – Vũng Tàu dài 125 km.

Vũng Tàu

Vũng Tàu Sài GònSài Gòn

Câu hỏi gợi ý Câu hỏi gợi ý

1 Đề yêu cầu tìm đại lượng ? – Vận tốc xe đạp ngựa

( x vận tốc xe đạp )

2 Các đại lượng liên quan với ẩn ? – Vận tốc ngựa , quãng đường xe đạp ngựa sau 30 phút ( 2,5 )

3 Liên hệ quãng đường xe ngựa ? – Tổng quãng đường xe ngựa 125 km

125km

Quãng đường

(km) Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Xe đạp

Ngựa

Hệ thức liên hệ : y – x = 10 (1)

v ngựa

v ngựa > v xe đạp v xe đạp 10km/h10km/h

s xe đạp + s ngựa = s ( SG – VT ) s xe đạp + s ngựa = s ( SG – VT )

Hệ thức liên hệ : 2,5x + 2,5y = 125 (2) (2)

2,5

2,5

2,5

2,5

x

x

y

y

2,5x

2,5x

2,5y

Bài giải 2giờ 30 phút = 2,5 giờ.

Gọi vận tốc xe đạp x (km/h);

Vận tốc ngựa y (km/h); Điều kiện y>x > 0; y>10 Vận tốc ngựa lớn vận tốc xe đạp 10(km/h)

Ta có phương trình: y – x = 10 (1)

Quãng đường xe đạp đến lúc gặp ngựa: 2,5x (km).

Quãng đường ngựa đén lúc gặp người xe đạp : 2,5y (km) Ta có phương trình: 2,5x + 2,5y = 125

 x + y = 50 (2)

T (1) & (2), ta có h phương trình:ừ ệ 10 50 y x x y        20 30 x y      

Vậy vận tốc xe đạp : 20 (km/h). Vận tốc ngựa : 30 (km/h)

(tm)

Ba đại lượng

Quãng đường Vận tốc Thời gian

.

s v t s

v

t



s t

v

Bài toán 4

Bài toán 4 : : Một xe máy khởi hành từ Hà Nội Nam Định với vận tốc 35km/h Sau 24 phút, tuyến đường đó, ơtơ xuất phát từ Nam Định Hà Nội với vận tốc 45km/h Biết quãng đường Nam Định – Hà Nội dài 90km Hỏi sau bao lâu, kể từ xe máy khởi hành, hai xe gặp nhau?

Vận tốc(km/h) Thời gian ((h) Quãng đường (km)

Xe máy Ô tô

35 45

x

x

24phút = 2 giờ 5

35x

35x

y

y 45y45y

Th i gian xe máy trờ ước xe ôtô 24 phuùt

Hệ thức liên hệ : x – y = (1)2

5

Hai xe ñi­ngược chi u vaø g p ề ặ

2 5

Bài giải 24phút = giờ

Gọi th i gian xe máyờ đến lúc hai xe gặp laø x (h);

Th i gian ôtô ờ đến lúc hai xe gặp y (h); K: x>Đ y > 0; x>2/5 Quãng đường c a xe máy làủ 35x (km)

Quãng đường c a ôtô làủ 45y (km)

Theo ta có phương trình: 35x + 45y = 90  7x + 9x = 18 (2)

Vậy thời gian để hai xe gặp giờ, tức 21 phút, kể từ lúc xe máy khởi hành. 

27 2 7

20 20

Theo ta có phương trình: x – y = (1)2

5

T (1) & (2), ta coù h phương trình:ừ ệ

5 18

A B

60 Km /h

Bài toán 6

Bài toán 6: : Một xe máy khởi hành từ A đến B với vận tốc 40km/h Cùng lúc đó, ơtơ khởi hành từ A đến B với vận tốc 60km/h đến sớm người xe máy 30 phút Tìm đ ộ dài quãng đường AB?

S v t

Xe máy 40x 40 x

Ơ tơ 60y 60 y

x-y=5/2

x-y=5/2

40x = 60y

A B C

v = 40 (km/h)

v’ = 40 + 10 = 50 (km/h)

V trí tăng ị

vận tốc

60 (km)

Bài toán

Bài toán 77 : Một xe máy khởi hành từ A đến B với vận tốc trung : bình 40km/h Lúc đầu xe máy với vận tốc đó, cịn 60km n a nửa qng đường AB, xe máy tăng thêm vận ữ tốc 10km/h qng đường cịn lại, đến B sớm so với dự định Tính quãng đường AB?

Câu hỏi gợi ý : Bài toán nêu lên ý dự định thực tế từ A đến B xe máy Cần lưu ý thực tế xe máy đi có

hai tình huống?

Quan sát mơ hình minh hoạ

( iĨm chĐ ính gi aữ )

* Khai thác thực tế xe máy

+ Lúc ban đầu: Quãng đường xe máy nào?

+ Lúc ban đầu: Quãng đường xe máy nửa quãng đường AB trừ 60 (km)

+ Lúc sau: Quãng đường xe máy nào?

A B C

v = 40 (km/h)

v’ = 40 + 10 = 50 (km/h)

V trí tăng ị

vận tốc

60 (km)

Bài toán

Bài toán 77 : Một xe máy khởi hành từ A đến B với vận tốc trung : bình 40km/h Lúc đầu xe máy với vận tốc đó, cịn 60km n a nửa quãng đường AB, xe máy tăng thêm vận ữ tốc 10km/h quãng đường lại, đến B sớm so với dự định Tính quãng đường AB?

Quan sát mơ hình minh hoạ

( iĨm chĐ ính gi aữ )

s v t

Dự định x 40 y

Thực tế Lúc đầu x/2-60 40 (x/2-60)/40 Lúc sau x/2+60 50 (x/2/+60)/50

x=40y

x=40y

y-[(x/2-60)/40+(x/2+60)/50]=1

Bài toán 1

Baứi toaựn 1:: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 340m Ba lần chiều dài bốn lần chiều rộng 20m Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất?

ChiỊu dµi(m) ChiỊu réng(m) Nöa chu vi(m) 340 : = 170 y

x

Bài giải

Nửa chu vi đám đất hìnhưchữ nht l: 340 : = 170 (m)

Gi chiu di ỏm t hìnhưchữ nht l x (m)

Chiu rng ỏm t hìnhưchữ nht l y (m) ĐK 0<y < x<170

Vì ba lần chiều dài bốn lần chiều rộng đám đất 20 (m) Nên ta có phương trình: 3x – 4y = 20 (2)0 (2)

Khi ta có phương trình: x + y = 170 (1)0 (1) Kết hợp (1) & (2), ta có hệ phương trình:

170

3 20

x y x y        100 70 x y      

Vy: chiu di ỏm t hìnhưchữ nht l 100 (m)

chiu rng ỏm t hìnhưchữ nht 70(m)

(tmđk)

Bài toán 2

Baứi toaựn 2:: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng bé chiều

dµi 4m vµ diƯn tÝch b»ng 320 m TÝnh chiỊu dµi vµ chiỊu réng cđa ²

Chiều dài (m) Chiều rộng (m) Diện tích (m2)

x y x y

Hệ ứ th c liên hệ: x - y = (1) Hệ ứ th c liên hệ: x y = 320 (2)

Baøi giaỷi

Gi chiu di mảnh t hìnhưchữ nht l x (m)

Chiu rng mảnh t hìnhưchữ nht l y (m) ĐK: x > y>0; x>4

Vì chiều dài m¶nh đất chiều rộng 4(m).

Nên ta có phương trình: x – y = (1) = Vì diện tích m¶nh đất 320 (m2).

Nên ta có phương trình: x y = 320 (2)

T (1) & (2), áp dụng h thức Viét:ừ ệ x + (– y ) = ; x (– y ) = – 320 Ta có phương trình:  X 2 – 4X – 320 = (*)

Giaûi (*) Suy x = 20, y = 16

Bài toán 1

Bài toán 1 :: Hai vịi nước chảy vào bể khơng chứa nước sau đầy bể Mỗi lượng nước vịi I chảy lượng nước vịi II chảy Hỏi vịi chảy

một sau đầy bể?

4

4 ( ) h

2

Các đại lượng nào tham gia vào toán ?

Thời gian chảy đầy bể

Công việc làm chung ( hai vịi chảy); cơng việc làm riêng ( vịi I, vịi II).

Lượng cơng việc làm giờ.

CÔNG VIỆC LÀM CHUNG, LÀM RIÊNG - Chú ý đến việc xét đơn vị (giờ, ngày, tháng…)

Bài toán

Bài toán :: Hai tổ làm chung cơng việc dự định hồn thành 12 ngày Nhưng làm chung ngày thì đội I điều động làm việc khác Tuy có đội II làm việc, cải tiến cách làm suất tăng gấp đơi, nên họ làm xong phần việc cịn lại 3,5 ngày Hỏi với suất ban đầu, đội làm phải làm trong ngày xong công việc trên?

Câu hỏi gợi ýCâu hỏi gợi ý::

* Đội I làm ngày ta biết họ đaõ làm phần việc? Và phần việc lại mà đội II phải làm để hoàn thành là bao nhiêu?

Đội I Đội II Phần việc hai đội

làm

Phần việc l iạ

Thời gian làm để xong C.V Phần việc làm ngày



8 2 ( ) 12 cv

 1

1 ( ) 3 cv

x

x (ngaøy)(ngaøy) y y (ngaøy)(ngaøy)

1 ( )cv

x ( )y cv

Không làm

Không làm

Hệ thức liên hệ :

1x y 121 (1)

Năng suất đội II tăng gấp đôi làm xong phần việc cịn lại trong 3,5 ngày Ta có hệ thức liên hệ:

1 1

2 3,5

3

y  7 (2)y 3



 1

1 ( )

3 cv 1

x

Bài giải

Ta có phương trình:

Mỗi ngày đội I làm (cv) Mỗi ngày đội II làm (cv).1 y

  (1)

1 1 1

x y 12

Mỗi ngày hai đội làm chung (cv).1 12

Phần việc đội I đaõ làm:

 ( )cv

8 2

12 3

Năng suất đội II tăng gấp đôi, nên ngày họ làm được: Phần việc lại đội II phải làm để xong công việc:

Gọi th i gian tổ I, tổ II làm để hồn thành cơng việc ờ là x (ngày), y (ngày); ĐK: x > 12 , y > 12

Và họ hồn thành cơng việc cịn lại 3,5 ngày  1 2( )cv

2

y y

Ta có phương trình: 2 3,51  1 7 1  21(2)

3 3 y

1 1 12 21 x y y           

1

28 21 84 12

T (1) & (2), ta có h phương trình:ừ ệ

1 1

21 12 21 x y          28 21 x y      

Vậy thời gian đội I , đội II làm mình để xong cơng việc laø: 28 (ngày), 21 (ngày)

Thử lại: Cả hai đội làm chung 12 (ngày). Phần việc lại đội II làm: 2 3,5 91  1 1 ( )

21 3 cv

abc = 100a + 10b+ c

Biểu diễn giá trị số tự nhiên có , … chữ số :

ab = 10a + b

s

v =

t

s : quãng đường v : vận tốc

t : thời gian

s = v t

s t

v