Một số dạng toán th-ờng gặp ƯCLN BCNN A đặt vấn đề Trong ch-ơng trình toán lớp học sinh đà đ-ợc học khái niệm -ớc chung lín nhÊt (UCLN) vµ béi chung nhá nhÊt(BCNN) Khi lun tập khái niệm học sinh gặp nhiều tập liên quan có dạng toán tìm hai số nguyên d-ơng biết số điều kiện liên quan đến ƯCLN BCNN Khi gặp loại tập học sinh th-ờng lúng túng ch-a xác định đ-ợc ph-ơng pháp giải Trong trình giảng dạy nhiều năm lớp thân rút đ-ợc cần xác định ph-ơng pháp chung để từ phân loại toán cụ thể giải dạng tâp học sinh dễ dàng B giải vấn đề I Ph-ơng pháp chung: Dựa vào định nghĩa UCLN BCNN để biểu diễn số phải tìm sau lập mối liên hệ để tìm kết ƯCLN hai số a,b d KÝ hiƯu lµ:(a,b)=d m,n N Sao cho: a=dm; b =dn víi (m,n)=1 BCNN cđa hai sè a,b lµ m KÝ hiÖu a,b =m x,y N Sao cho: m=a x; n=by.víi (x,y)=1 2.Sư dơng mèi liªn hƯ: a.b=(a,b) ThËt vËy: Gäi d=(a,b) ab a=m.d; b=n.d víi m,n Z+ (m,n)=1 a.b=m.n.d2;[a,b]=m.n.d (a,b).[a,b]=d.(mnd)=d2mn Tõ ®ã suy ra: a.b = (a,b).[a,b] II Các dạng toán cụ thể: Loại toán tìm hai số biết tổng hiệu ƯCLN chúng: Ví dụ1: Tìm hai số tự nhiên a,b biết: a+b =84;(a,b)=6 Bài giải: Không tính tổng tính tổng quát giả sử a b.Từ (a,b)=6 nên a=6m;b=6n m n m,n Z+ ;(m,n)=1 Do a+b = 84 nªn 6m +6n =84 suy m+n =14 Chọn cặp số m,n nguyên tố có tổng 14 (m đ-ợc: m 1, n 13 m 3, n 11 m 5, n suy a 6,b a 18 , b 66 a 30 , b 54 n) ta 78 : 2.Lo¹i toán tìm hai số biết ƯCLN BCNN chúng: Ví dụ 1:Tìm hai số tự nhiên a,b biết : (a,b)=12; [a,b] =72 Bài giải: Do vai trò hai số a,b nh- nên ta giả sử a b Do (a,b)=12 nªn a= 12m, b =12n Víi m n; m,n Z+ ;(m,n)=1 Theo định nghĩa BCNN ta cã: [a,b] =m.n.d =m.n.12=72 suy m.n=6 m 1, n a 12 , b 72 m 2, n a 24 , b 36 3.Loại toán tìm hai số biết tổng hiệu hai số BCNN: Ví dụ : Tìm hai số tự nhiên a,b biết: a-b=7;và [a,b]=140 Bài giải: Gọi d=(a,b) a=m.d; b=n.d với m,n Z+ (m,n)=1 Do ®ã: a-b=d.(m-n)=7 [a,b]=d.m.n = 140 Suy ra: d -ớc chung 140 d=1 d=7 m Với d=1 n m n m,n tháa m·n 140 m Víi d=7 n m n 20 m a 35 n b 28 Loại toán tìm hai số biết tích hai số ƯCLN BCNN chúng: Ví dụ:Tìm hai số tự nhiên a,b biết: ab= 360; [a,b] =60 Gi¶i: Tõ a.b = (a,b).[a,b] (ab)= a b = ab 360 =6 60 Ta đ-a đ-ợc dạng toán với (a,b)=6; [a,b]=60 Giải ta đ-ợc:a=6;b=60 a=12;b=30 Loại toán tìm hai số biết tỉ số ƯCLN BCNN chúng Ví dụ 1: Tìm hai số tự nhiên a,b cho: a = ; [a,b]=140 b Giải: Đặt (a,b)=d a = mµ (4,5)=1 b a=4d ;b=5d mµ [a,b]=4.5 d =20.d=140 VÝ dơ 2: T×m hai sè a,b biết a d=7 =2,6 và(a,b)=5 b Giải: Vì (a,b)=5 Suy ra: a=5m;b=5n víi m,n Z+ (m,n=1) a b = m n = 2,6 m n = 13 m 13 n a 28 b 35 a 65 b 25 Loại toán tìm hai số tự nhiên biết tổng ƯCLN BCNN Ví dụ: Tìm hai số tự nhiên a,b cho: [a,b]+ (a,b) = 19 Giải §Ỉt (a,b)=d a md b nd m,n Z+ (m , n ) [a,b]= a b = dm dn =dmn d (a, b) [a,b]+ (a,b)=19 Theo đề d +dmn =19 => d(mn+1)=19 Do mn+1 -ớc 19 mn +1 Giả sử a b m n ta đ-ợc: d=1 mn=18 mn+1=19 m 18 ; n m 9; n a 18 ; b a 9; b Với phân loại cách giải cụ thể loại toán nh- học sinh dễ dàng giải đ-ợc toán t-ơng tự sau: 1.Tìm hai số a,b biết 7a=11b (a,b)=45 Tìm số tự nhiên a,b cho: a.b=720; (a,b)=6 (a,b)=6; : a,b =180 [a,b]- (a,b)=5 C kÕt luận Với định h-ớng giải tập buổi luyện tập, ôn tập vấn đề nêu làm thi t-ơng tự thấy học sinh định dạng giải tập tốt Trên số kinh nghiệm nhỏ thân giảng dạy luyện tập khái niệm ƯCLN BCNN lớp Rất mong đ-ợc trao đổi, góp ý đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn Ngày 20 tháng năm 2007 ... có: [a,b] =m.n.d =m.n. 12= 72 suy m.n=6 m 1, n a 12 , b 72 m 2, n a 24 , b 36 3.Loại toán tìm hai số biết tổng hiệu hai số BCNN: Ví dụ : Tìm hai số tự nhiên a,b biết: a-b=7;và [a,b]=140 Bài giải:... =20 .d=140 VÝ dơ 2: Tìm hai số a,b biết a d=7 =2, 6 và(a,b)=5 b Giải: Vì (a,b)=5 Suy ra: a=5m;b=5n với m,n Z+ (m,n=1) a b = m n = 2, 6 m n = 13 m 13 n a 28 b 35 a 65 b 25 Loại toán tìm hai số tự nhiên... Suy ra: d lµ -íc chung cđa 140 d=1 d=7 m Với d=1 n m n m,n thỏa mÃn 140 m Với d=7 n m n 20 m a 35 n b 28 Loại toán tìm hai số biết tích hai số ƯCLN BCNN chúng: Ví dụ :Tìm hai số tự nhiên a,b biết: