SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2015 nộp sở

Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức PHẦN I I LÍ DO CHỌN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÍNH PHỔ BIẾN AM - GM Cauchy - Schwarz cặp bất đẳng thức phổ biến toán học sơ cấp Với đa dạng vốn có, hai bất đẳng thức thường xuyên sử dụng để chứng minh bất đẳng thức đại số khác, từ trung học sở đến trung học phổ thông kì thi Ngoài mục đích nâng cao kỹ giải toán dựa phương pháp phát triển từ bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, sáng kiến kinh nghiệm tổng hợp nhiều bất đẳng thức từ trước đến chứng minh công cụ Ta thấy góc nhìn bao quát bất đẳng thức Cauchy - Schwarz: kỹ đứng trước toán bất đẳng thức Bên cạnh việc sử dụng kỹ thuật Cauchy - Schwarz cách phù hợp điều kiện đủ để chứng minh bất đẳng thức mong muốn tồn bất đẳng thức đơn giản Sáng kiến kinh nghiệm hệ thống số kỹ liên quan đến bất đẳng thức Cauchy - Schwarz TÍNH CẤP THIẾT Đối với đối tượng học sinh THPT không chuyên Bất đẳng thức chuyên đề khó Trong trình giảng dạy từ nguồn tài liệu tham khảo hệ thống số dạng tập nhằm mục đích để giúp học sinh tiếp cận số kỹ để áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz vào chứng minh BĐT với tiêu chí khuôn khổ đưa BĐT cần chứng minh dạng đơn giản BĐT ban đầu Bước đầu dạy cho đối tượng THPT không chuyên thu số hiệu định giúp em “Bớt sợ” giải số toán chứng minh BĐT Từ tạo hứng khởi cho em vấn đề khám phá loại toán MỤC TIÊU Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Mục tiêu SKKN hệ thống số tập áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz vào chứng minh để học sinh làm quen từ dần định hình phương pháp tư vào chứng minh BĐT Với mục tiêu để tạo cho học sinh “lối mòn” số dạng nên khuôn khổ SKKN không trình bày thêm cách chứng minh khác Vì chọn SKKN Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức II GIỚI THIỆU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy - Schwarz gọi bất đẳng thức Schwarz tên dài Cauchy - Bunyakovxki - Schwarz Tài liệu giáo khoa Việt Nam gọi bất đẳng thức Bunyakovxki tên dài nói đảo thứ tự bất đẳng thức Bunyakovxki - Cauchy - Schwarz nên thường viết tắt bất đẳng thức BCAUCHY - SCHWARZ Tuy nhiên toàn sáng kiến kinh nghiệm ta thống với cách gọi bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Ở mức độ phổ thông khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm quan tâm đến dạng phát biểu sơ cấp biểu thức Nó phát biểu sau: Nếu a1, a2, …, an , b1, b2, …, bn số thực tùy ý (a1b1 + a2b2 + … + anbn)2  (a12 + a22 + … + an2)(b12 + b22 + … + bn2) (*) Đẳng thức xảy a1 a2 a = =…= n b1 b2 bn (ở đây, ta sử dụng quy ước mẫu tử 0) Trong (*), chọn = xi , bi = yi yi với xi, yi  R, yi > 0, ta thu bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức Nếu x1, x2, …, xn số thực y1, y2, …, yn số thực dương x12 x22 xn2 (x1 + x2 + … + xn)2 + +…+  y1 y2 yn y1 + y2 + … + yn (**) Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Đẳng thức xảy x1 x2 x = = … = n y1 y2 yn Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm này, chúng xem xét vấn đề để sử dụng hợp lý hiệu bất đẳng thức (*) (**) việc chứng minh bất đẳng thức khác kĩ thật III MỘT SỐ CÁCH CHỨNG MINH Trong mục này, đến với số chứng minh thú vị cho bất đẳng thức Cauchy - Schwarz (*) SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC HAI Nếu a12 + a22 + … + an2 = ta có a1 = a2 = … = an = bất đẳng thức hiển nhiên Do vậy, ta cần xét a12 + a22 + … + an2 > đủ Xét tam thức bậc hai f(x) = (a12 + a22 + … + an2)x2 - 2(a1b1 + a2b2 + … + anbn)x + (b12 + b22 + … + bn2) Ta dễ dàng thấy f(x) = (a1x - b1)2 + (a2x - b2)2 + … + (anx - bn)2 từ suy f(x)  với x Điều có nghĩa biểu thức ’f phải số không dương, mà ’f = (a1b1 + a2b2 + … + anbn)2 - (a12 + a22 + … + an2)(b12 + b22 + … + bn2), nên ta có (a1b1 + a2b2 + … + anbn)2  (a12 + a22 + … + an2)(b12 + b22 + … + bn2), Đẳng thức xảy a1x - b1 = a2x - b2 = … = anx - b, tức a1 a2 a = = … = n b1 b2 bn SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM - GM i=n i=n Rõ ràng ta cần xét bất đẳng thức trường hợp  > 0,  bi2 > i=1 i=1 đủ Lấy bậc hai hai vế bất đẳng thức cho, sau chia hai vế cho i=n i=n      ai2  bi2 , ta i = i =  Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức             a   b      i=n aibi i=1 i=n i=n 2 i i i=1 i=1 Sử dụng tính chất dấu giá trị tuyệt đối kết hợp với bất đẳng thức AM - GM, ta có:     i=n i=1         a   b      aibi i=n 2 i i=1 i=n i |ai||bi|  i=n i=1 i=n i=n      ai2  bi2 i = i =  i=1  ai2 bi2  ai2 bi2 1   + =  +  = + =  i=1 i=n  i = n  2i = i = n 2 i = 1i = n 2   bi   bi i=n i=n i=1 i=1 i=n i=1 i=1 SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Với n = 1, bất đẳng thức ta trở thành đẳng thức Xét n = 2, ta có (a12 + a22)(b12 + b22) - (a1b1 + a2b2)2 = (a2b1 - a1b2)  Giả sử bất đẳng thức n = k (k  2) Xét n = k + Áp dụng kết trường hợp n = với hai       ,  b12 + b22 + … + bk2, b ,  a12 + a22 + … + ak2, a  k + 1   k + 1  Ta có:     2 2  2    a12 + a22 + … + ak2 + ak + 1   b12 + b22 + … + bk2 + bk + 12           2   (a12 + a22 + … + ak2)(b12 + b22 + … + bk2) + ak + 1bk + 1    Mặt khác, theo giả thiết quy nạp, ta lại có (a12 + a22 + … + ak2)(b12 + b22 + … + bk2)  (a1b1 + a2b2 + … + akbk)2; Suy (a12 + a22 + … + ak2)(b12 + b22 + … + bk2)  |a1b1 + a2b2 + … + akbk| Kết hợp đánh giá với đánh giá trên, ta Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức    i=k+1 i=k+1     2 2 a b + a b + … + a b       | |   bi  1 b 2 k k + a  k + k + 1    i=1 i=1  (a1b1 + a2b2 + … + akbk + ak + 1bk + 1)2 Điều chứng tỏ bất đẳng thức ta cho n = k + Theo nguyên lý quy nạp, ta có với n  Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức PHẦN II NỘI DUNG CHÍNH NHỮNG KỸ NĂNG CƠ BẢN KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY - SCHWARZ VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Nếu a1, a2, …, an , b1, b2, …, bn số thực tùy ý (a1b1 + a2b2 + … + anbn)2  (a12 + a22 + … + an2)(b12 + b22 + … + bn2) (*) Đẳng thức xảy a1 a2 a = =…= n b1 b2 bn (ở đây, ta sử dụng quy ước mẫu tử 0) Trong (*), chọn = xi , bi = yi yi với xi, yi  R, yi > 0, ta thu bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức Nếu x1, x2, …, xn số thực y1, y2, …, yn số thực dương x12 x22 xn2 (x1 + x2 + … + xn)2 + +…+  y1 y2 yn y1 + y2 + … + yn Đẳng thức xảy (**) x1 x2 x = = … = n y1 y2 yn Để sử dụng tốt bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, Ta cần quan sát, đưa nhận xét (về điều kiện, dạng phát biểu toán, …) nhận biết cần phải làm gì? Và tự đặt câu hỏi “Có cách giúp đơn giản hóa toán hay không?” tìm cách trả lời câu hỏi Để hiểu rõ vấn đề, ta xét toán sau Bài Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a2 b2 c2 a+b+c + +  (1) b+c c+a a+b Phân tích Nhận thấy vế trái bất đẳng thức có dạng phát biểu giống với dạng  x12 x22 x 2 + + … + n  Yếu tố y2 yn   y1 phân thức bất đẳng thức Cauchy - Schwarz  Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức gợi cho ta ý nghĩ sử dụng Cauchy - Schwarz để giải toán Và nhận xét giúp giải toán thành công, theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có a2 (a + b + c)2 a+b+c ∑  = (1.1) b + c (b + c) + (c + a) + (a + b) Đẳng thức xảy a b c = = , tức a = b = c  b+c c+a a+b Bài Nếu a, b, c số thực dương a b c + +  (2) b + 2c c + 2a a + 2b Định hướng tìm tòi lời giải Nhận thấy vế trái bất đẳng thức có dạng phân thức, điều gợi cho ta nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức để chứng minh toán Nhưng muốn ta cần có xuất bình phương tử số, nhiên lại Ta thêm vào tử mẫu lượng a, b, c tương ứng để bình phương xuất hiện, cụ thể là: a b c a2 b2 c2 + + = + + (2.1) b + 2c c + 2a a + 2b a(b + 2c) b(c + 2a) c(a + 2b) Đến yên tâm sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz để thu a2 (a + b + c)2 (a + b + c)2 ∑  = (2.2) a(b + 2c) a(b + 2c) + b(c + 2a) + c(a + 2b) 3(ab + bc + ca) Và toán chứng minh xong ta có (a + b + c)2  3(ab + bc + ca) (2.3) Đây lại kết quen thuộc Lưu ý (2.2) xảy đẳng thức a b c = = a(b + 2c) b(c + 2a) c(a + 2b) Và (2.3) xảy đẳng thức a = b = c Giải hệ này, ta tìm a = b = c Vì bất đẳng thức cho xảy đẳng thức a = b = c  Bài Cho bốn số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng: a b c d + + +  (3) b+c c+d d+a a+b Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Định hướng tìm tòi lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có: a2 b2 c2 d2 VT = + + + a(b + c) b(c + d) c(d + a) d(a + b)  (a + b + c + d)2 (3.1) a(b + c) + b(c + d) + c(d + a) + d(a + b) (a + b + c + d)2 = (a + c)(b + d) + 2ac + 2bd Mặt khác, theo bất đẳng thức AM - GM, ta lại có (a + c)2 (b + d)2 (a + c)(b + d) + 2ac + 2bd  (a + c)(b + d) + + 2 (a + b + c + d)2 = (3.2) Kết hợp hai bất đẳng thức lại, ta suy kết cần chứng minh Ta có (3.1) xảy đẳng thức a b c d = = = a(b + c) b(c + d) c(d + a) d(a + b) Còn (3.2) xảy đẳng thức a = c b = d Từ hai điều kiện này, ta suy bất đẳng thức cho xảy a = c b = d Nhận xét Ưu điểm việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ví dụ vừa thấy rõ bậc bất đẳng thức trước sau sử dụng Cauchy - Schwarz Rõ ràng bậc bất đẳng thức giảm rõ rệt sau ta áp dụng Cauchy - Schwarz, điều có nghĩa việc chứng minh bất đẳng thức sau dễ nhiều Có thể cho “Ta sử dụng phép biến đổi trực tiếp nên không cần thiết phải sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz làm gì” Khẳng định với (2), a b c + +  biến đổi trực tiếp ta b + 2c c + 2a a + 2b có: ∑a(a + 2b)(c + 2a)  (a + 2b)(b + 2c)(c + 2a), Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức 2(a3 + b3 + c3) + 4(a2b + b2c + c2a) + (ab2 + bc2 + ca2) + 6abc  2(a2b + b2c + c2a) + 4(ab2 + bc2 + ca2) + 9abc, 2(a3 + b3 + c3) + 2(a2b + b2c + c2a)  3(ab2 + bc2 + ca2) + 3abc, Đúng theo bất đẳng thức AM - GM, ta có: VT = 2(a3 + c2a) + 2(b3 + a2b) + 2(c3 + b2c)   4ca2 + 4ab2 + 4bc2  3(ab2 + bc2 + ca2) + 3abc Nhưng với (3) a b c d + + +  sao? b+c c+d d+a a+b Việc thực biến đổi trực tiếp để đánh giá với (3) khó Một bất đẳng thức bốn biến số có tính chất hoán vị vòng quanh biến không đối xứng Mà để thực biến đổi trực tiếp, ta cần phải sử dụng nhiều tính toán (ngay với ví dụ ba biến việc triển khai sử dụng không tính toán), dễ mắc sai lầm Và biến đổi sau biến đổi xong, ta bất đẳng thức hoán vị bậc bốn với bốn biến số Việc đánh giá bất đẳng thức thật không dễ Như vậy, việc sử dụng biến đổi trực tiếp không khả thi ta nên loại trừ Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz thể ưu tuyệt đối ví dụ Và ta kết lại tác dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz giúp đơn giản hóa toán, đưa phức tạp, cồng kềnh đơn giản Tiếp theo số ví dụ khác Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a b c + +  (4) a + 2bc b + 2ca c + 2ab Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có a a2 b2 c2 ∑ = + + a + 2bc a2 + 2abc b2 + 2abc c2 + 2abc (a + b + c)2  (a + 2abc) + (b2 + 2abc) + (c2 + 2abc) (4.1) Do ta cần chứng minh (a + b + c)2  a2 + b2 + c2 + 6abc, (4.2) Hay ab + bc + ca  3abc Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Do a + b + c = nên bất đẳng thức tương đương với (a + b + c)(ab + bc + ca)  9abc, (4.4) Hiển nhiên theo bất đẳng thức AM - GM Ta có (4.1) xảy đẳng thức a b c = = , (4.4) xảy a + 2abc b + 2abc c + 2abc đẳng thức a = b = c Kết hợp hai điều kiện lại cho ta điều kiện đẳng thức toán a = b = c Bài Chứng minh với a, b, c > 0, ta có a3 b3 c3 a2 + b2 + c2 + +  (5) a + 2b b + 2c c + 2a Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có a3 b3 c3 a4 b4 c4 + + = + + a + 2b b + 2c c + 2a a + 2ab b + 2bc c + 2ca (a2 + b2 + c2)2  (a + 2ab) + (b2 + 2bc) + (c2 + 2ca) (a2 + b2 + c2)2 = (5.1) a + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) Ta phải chứng minh (a2 + b2 + c2)2 a2 + b2 + c2  a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)  3(a2 + b2 + c2)  a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca), (5.2) Hay a2 + b2 + c2  ab + bc + ca (5.3) Đây kết a2 b2 c2 Do (5.1) xảy đẳng thức = = a + 2ab b2 + 2bc c2 + 2ca (5.3) xảy đẳng thức a = b = c nên bất đẳng thức cho đạt dấu a = b = c  Sau kỹ khác 10 Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức a = b = c =  Cách khác (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2)  3(a + b + c)2 (6) Nhận xét bất đẳng thức không biến a, b, c độc lập với Ta muốn dùng Cauchy - Schwarz để đánh giá bất đẳng thức Muốn vậy, bạn nhớ lại mục đính ta đánh giá đưa toán đơn giản Không tổng quát giả sử (a2 - 1)(b2 - 1)   a2.b2 +  a2 + b2 (*) Vậy (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) = [a2.b2 + 2(a2 + b2) + 4].(c2 + 2) (*) 2  [a + b + 2(a2 + b2) + 3].(c2 + 2) = 3(a2 + b2 + 12)(12 + 12 + c2)  3(a + b + c)2 dấu a = b = c = Bài Chứng minh bất đẳng thức sau với số thực a, b, c (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1)  (ab + bc + ca - 1)2 (7) Lời giải Bằng phương pháp suy luận giống toán trước, ta muốn áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz với biểu thức bình phương bên vế phải cho đại lượng a2 + xuất đánh giá Ta thực sau    VP = a(b + c) + (bc - 1)  (a2 + 1)(b + c)2 + (bc - 1)2 (7.1) Và vậy, ta cần chứng minh (b + c)2 + (bc - 1)2  (b2 + 1)(c2 + 1) (7.2) Thế thực chất đẳng thức Đẳng thức đánh giá (7.1) xảy a(bc - 1) = b + c, hay a + b + c = abc Vậy bất đẳng thức cho, ta có đẳng thức xảy a + b + c = abc Nhận xét Thật ta có đẳng thức (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) = (ab + bc + ca - 1)2 + (a + b + c - abc)2 (7.3) 12 Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Sử dụng đẳng thức này, ta chứng minh bất đẳng thức phương pháp tương tự hai toán vừa xét Bài Cho số thực a, b, c, d thỏa mãn (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1)(d2 + 1) = 16 Chứng minh bất đẳng thức: -3  ab + ac + ad + bc + bd + cd - abcd  (8) Lời giải Dễ thấy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với (ab + ac + ad + bc + bd + cd - abcd - 1)2  16, (8.1) Hay [a(b + c + d - bcd) + (bc + ca + db - 1)]2  16 (8.2) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có  VT  (a2 + 1)(b + c + d - bcd)2 + (bc + cd + db - 1)2 (8.3) Và ta cần chứng minh (b + c + d - bcd)2 + (bc + cd + db - 1)2  (b2 + 1)(c2 + 1)(d2 + 1) (8.4) Đây đẳng thức (7.3) mà ta vừa đề cập  Bài Chứng minh với a, b, c dương, ta có a(b + 1) + b(c + 1) + c(a + 1)  (a + 1)(b + 1)(c + 1) (9) Phân tích tìm tòi lời giải Đây bất đẳng thức không biến độc lập với Đó lợi toán, việc đánh giá riêng lẻ dễ dàng bất đẳng thức có điều kiện Ta quan sát có để ý đại lượng vế phải bất đẳng thức cho chứa c(a + 1) biểu thức bên a + Do ta sử dụng Cauchy - Schwarz đánh giá biểu thức lại vế trái a(b + 1) + b(c + 1) cho a + xuất ta giản bớt a + hai vế Và ta bất đẳng thức hai biến, lẽ đương nhiên dễ chứng minh bất đẳng thức ban đầu Với ý tưởng vậy, ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz sau a(b + 1) + b(c + 1)  (a + 1)[(b + 1) + b(c + 1)] (9.1) Như ta cần chứng minh 13 Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức b(c + 2) + + c  (b + 1)(c + 1) (9.2) Phân tích tương tự trên, ta muốn áp dụng Cauchy - Schwarz lần cho vế trái (9.2) cho nhân tử b + xuất Theo ta bất đẳng thức biến số… Ý tưởng rõ Bây cần thêm chút quan sát Bạn để ý đại lượng b(c + 2) + thiếu lượng c + phân tích b + 1, mà cần Do ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz để bổ sung lượng cho nó, cụ thể b(c + 2) + + c  = c    (b(c + 2) + 1) + (c + 1) 1 +    c + 1 (b + 1)(c + 2)(2c + 1) c+1 (9.3) Cuối ta cần chứng minh (c + 2)(2c + 1)  c + 1, (9.4) c+1 Hay 4(c + 2)(2c + 1)  9(c + 1)2 (9.5) Đúng theo bất đẳng thức AM - GM   4(c + 2)(2c + 1)  (c + 2) + (2c + 1) = 9(c + 1)2 (9.6) Ta có (9.1) xảy dấu ab(c + 1) = b + 1, (9.3) xảy dấu (c + 1)2 b(c + 2) + = , c (9.6) xảy dấu c = Kết hợp điều kiện lại, tìm điều kiện để xảy dấu đẳng thức bất đẳng thức ban đầu a = b = c = 1 1 Bài 10 Cho x, y, z > + + = Chứng minh x y z x+y+z x-1+ Lời giải 14 y - + z - (10) Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Một cách tự nhiên, ta muốn áp dụng Cauchy - Schwarz cho biểu thức bên phải cho sau bước đánh giá, ta thu đại lượng x + y + z làm nhân tử Với ý tưởng vậy, ta nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz sau  x - 1  1  = (∑x)3 - ∑  = ∑x (10.1) x  x   (∑ x - 1)2  (∑x)∑ Đẳng thức xảy 1 x-1 y-1 z-1 + + = = = x y z x y2 z Giải ra, ta tìm x = y = z = Vậy bất đẳng thức cho xảy đẳng thức x = y = z = Bài 11 Cho bốn số thực dương a, b, c, d thỏa mãn: a + b + c + d = 1 1 + + + a b c d Chứng minh a2 + + a+b+c+d b2 + + c2 + + d2 + (11) Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có   a +1+  2 b +1+ c +1+ 2 d + 1   a2 + b2 + c2 + d2 + 1  (a + b + c + d) + + + b c d   a  1 1 = (a + b + c + d)a + b + c + d + + + +  = 2(a + b + c + d)2 a b c d  (11.1) Từ suy a2 + + b2 + + c2 + + d2 +  a + b + c + d (11.2) Đẳng thức xảy 1 1 a2 + b2 + c2 + d2 + a + b + c + d = + + + = = = a b c d a b2 c2 d2 Giải hệ phương trình ta tìm điều kiện để đẳng thức xảy a = b = c = d =  15 Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Bài 12 Cho n số thực dương a1, a2, …, an có tổng Chứng minh 1 +…+ < + a1 + a1 + a2 + … + an 1 1 1  + + … +  (12) 2a1 a2 an Lời giải Để việc đánh giá thuận lợi, ta đặt a0 = Khi ta phải chứng minh 1 +…+ < + a0 + a1 + a0 + a1 + … + an i=n 1  (12.1) 2i = 1ai Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta i=n i=n i=n   2  1          2 (12.2) i = 11 + a0 + … + ai  i = 1ai  i = (1 + a0 + … + ai)  Ta cần chứng minh i=n < (12.3) i = 1(1 + a0 + … + ai) P=  Để ý với  i  n, ta có < (1 + a0 + … + ai)2 (1 + a0 + … + - 1)(1 + a0 + … + ai) = + a0 + … + - - (12.4) + a0 + … + Do i=n  P<  i = 1 = 1 + a0 + … + - -   + a0 + … + ai 1 1 =1= (12.5) + a0 + a0 + … + 1+1 Bài toán chứng minh xong  Bài 13 Cho số thực dương a, b, c Chứng minh a3 b3 c3 a2 + b2 + c2 + +  (13) a2 + ab + b2 b2 + bc + c2 c2 + ca + a2 a+b+c 16 Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Phân tích tìm tòi lời giải Xin nhắc lại lần mục đích ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz làm đơn giản hóa toán, nhiều tốt Bởi ta cố gắng áp dụng Cauchy - Schwarz cho giảm bớt số đại lượng có vế bất đẳng thức cần chứng minh Chẳng hạn này, ta quan sát vế phải đưa nhận xét “nếu ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz cho vế trái để làm đại lượng a2 + b2 + c2 tử toán không khó nữa” Với ý tưởng vậy, ta thực đánh giá sau a3 (a2 + b2 + c2)2 ∑  (13.1) a + ab + b2 ∑a(a2 + ab + b2) Cuối ta cần chứng minh (a2 + b2 + c2)(a + b + c)  ∑a(a2 + ab + b2) (13.2) Thế lại đơn giản đẳng thức Ta có đẳng thức xảy a2 b2 c2 = = , tức a = b = c  a(a2 + ab + b2) b(b2 + bc + c2) c(c2 + ca + a2) Bài 14 Chứng minh bất đẳng thức sau với a, b, c dương a2 b2 c2 a3 + b3 + c3 + +  (14) b + c c + a a + b a2 + b2 + c2 Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta a2 b2 c2 (a3 + b3 + c3)2 + +  (14.1) b + c c + a a + b a4(b + c) + b4(c + a) + c4(a + b) Từ toán quy chứng minh 2(a2 + b2 + c2)(a3 + b3 + c3)  3∑a4(b + c) (14.2) Bất đẳng thức tương đương với   ∑a5 + b5 + 2a2b2(a + b) - 3ab(a3 + b3)  0, (14.3) Ta có a5 + b5 + 2a2b2(a + b) - 3ab(a3 + b3) = (a + b) [a4 - a3b + a2b2 - ab3 + b4] + 2a2b2(a + b) - 3ab(a3 + b3) 17 Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức = (a + b) [a4 - a3b + a2b2 - ab3 + b4 + 2a2b2 - 3ab(a2 - ab + b2)] = (a + b) [a4 - a3b + a2b2 - ab3 + b4 + 2a2b2 - 3a3b + 3a2b2 - 3ab3] = (a + b) [a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4] = (a + b)(a - b)4 Vậy (14.3)  (a + b)(a - b)4 + (b + c)(b - c)4 + (c + a)(c - a)4  (14.4) Do bất đẳng thức cuối hiển nhiên nên ta có điều phải chứng minh Ta tìm điều kiện để đẳng thức xảy Do (14.1) xảy đẳng thức a3 b3 c3 = = a4(b + c) b4(c + a) c4(a + b) Và (14.4) xảy đẳng thức a = b = c nên bất đẳng thức cho có dấu a = b = c  Bây đến với kỹ khác, (cùng mẫu) Bài 15 Chứng minh với số thực dương a, b, c ta có 1 (15) 2+ 2 (a + b) (a + c) a + bc Phân tích tìm tòi lời giải Ta có nhận xét “nếu ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho bình phương (a + b)2, (a + c)2 cho đại lượng a2 + bc xuất bậc bất đẳng thức giảm đáng kể” Tiến hành theo ý tưởng này, ta  b (a2 + bc)1 +   (a + b)2, (15.1) c  Từ suy c (15.2) 2 (a + b) (b + c)(a2 + bc) Hoàn toàn tương tự, ta có b (15.3) 2 (a + c) (b + c)(a2 + bc) Cộng tương ứng vế với vế hai bất đẳng thức này, ta 18 Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức 1 c b + = (15.4) 2+ 2 2 (a + b) (a + c) (b + c)(a + bc) (b + c)(a + bc) a + bc Do (15.1) xảy đẳng thức a = c (15.3) xảy đẳng thức a = b nên bất đẳng thức cho xảy đẳng thức a = b = c  Bài 16 Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau a3 b3 c3  + + (16) a + b + c (2a2 + b2)(2a2 + c2) (2b2 + c2)(2b2 + a2) (2c2 + a2)(2c2 + b2) Lời giải Tương tự trước, ta muốn áp dụng Cauchy - Schwarz cho mẫu số phân thức bên vế phải cho đại lượng a + b + c xuất sau đánh giá Với ý tưởng vậy, ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz sau (a2 + b2 + a2)(a2 + a2 + c2)  (a2 + ba + ac)2 = a2(a + b + c) (16.1) Từ suy a3 a (16.2) 2 2  (2a + b )(2a + c ) (a + b + c)2 Cộng bất đẳng thức với hai bất đẳng thức tương tự, ta thu kết toán Dễ thấy đẳng thức xảy a = b = c  Bài 17 Giả sử a, b, c ba số thực dương cho trước Chứng minh  a + b + c 2 1  (17) + +  a2 + ab + bc b2 + bc + ca c2 + ca + ab ab + bc + ca Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có c2 + ab + bc c2 + ab + bc =  (17.1) a2 + ab + bc (a2 + ab + bc)(c2 + ab + bc) (ca + ab + bc)2 Cộng bất đẳng thức với hai bất đẳng thức tương tự, ta suy ∑(c2 + ab + bc) (a + b + c)2 ∑  = (17.2) a + ab + bc (ab + bc + ca)2 (ab + bc + ca)2 Đẳng thức xảy a = b = c  Bài 18 Chứng minh với số thực dương a, b, c ta có ab bc ca a2 + b2 + c2 + +  (18) a2 + bc + ca b2 + ca + ab c2 + ab + bc ab + bc + ca 19 Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có ab ab(b2 + bc + ca) ab(b2 + bc + ca) =  a2 + bc + ca (a2 + bc + ca)(b2 + bc + ca) (ab + bc + ca)2 (18.1) Do ta cần chứng minh ∑ab(b2 + bc + ca)  (a2 + b2 + c2)(ab + bc + ca), (18.2) Hay a3b + b3c + c3a  abc(a + b + c) (18.3) Chia hai vế bất đẳng thức cho abc, ta a2 b2 c2 + +  a + b + c (18.4) c a b Hiển nhiên theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , a2 b2 c2 (a + b + c)2 + +  = a + b + c (18.5) c a b c+a+b Đẳng thức xảy a = b = c  Bài 19 Cho số thực dương x1, x2, …, xn thỏa mãn x1 + x2 + … + xn = n Chứng minh bất đẳng thức 1 + +…+  (19) x1 - x1 + n x2 - x2 + n xn - xn + n Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có [x12 + (n - x1)][1 + (n - x1)]  [x1 + (n - x1)]2 = n2 (19.1) Từ suy n + - x1  (19.2) x1 - x1 + n n2 Cộng bất đẳng thức với bất đẳng thức tương tự, ta suy kết toán Đẳng thức xảy x1 = x2 = … = xn =  Bài 20 Giả sử a, b, c số thực dương thỏa mãn 1 + +  b+c+1 c+a+1 a+b+1 Chứng minh 20 Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức a + b + c  ab + bc + ca (20) Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có b + c + a2 b + c + a2 =  (20.1) b + c + (b + c + 1)(b + c + a2) (b + c + a)2 Thực đánh giá tương tự cho hai biểu thức lại, sau cộng ba bất đẳng thức lại với nhau, ta thu a2 + b2 + c2 + 2(a + b + c)  (20.2) (a + b + c)2 Từ ta suy a + b + c  ab + bc + ca (20.3) Đẳng thức xảy a = b = c =  Bài 21 Chứng minh với a, b, c dương, ta có  a + b + c 2 1   (21) + +  2a2 + bc 2b2 + ca 2c2 + ab ab + bc + ca Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Cauchy - Schwarz , ta có (b + c)2 (b + c)2 b2 + c2 + bc + bc + 2bc 2 =  = (21.1) (b + c)2  2a2 + bc [a(b + c) + bc]2 (ab + bc + ca)2 (2a + bc) + bc   Cộng bất đẳng thức với hai bất đẳng thức tương tự, ta suy ngy kết cần chứng minh Dễ thấy đẳng thức xảy a = b = c  Bài 22 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc  Chứng minh a5 - a2 b5 - b2 c5 - c2 + +  (22) a5 + b2 + c2 b5 + c2 + a2 c5 + a2 + b2 Lời giải Do a5 - a2 a2 + b2 + c2 = nên bất đẳng thức cần chứng minh viết lại a5 + b2 + c2 a5 + b2 + c2 thành a5 - a2 b5 - b2 c5 - c2 (23) 2+ 2+ 2 a +b +c b +c +a c + a + b a + b2 + c2 21 Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có 1 + b2 + c2 + b2 + c2 a a  (23.1) 2 2=   a +b +c (a + b2 + c2)2 2 2 (a + b + c ) + b + c  a  Cộng bất đẳng thức với bất đẳng thức tương tự, ta 1 + + + 2(a2 + b2 + c2) a b c ∑ (23.2) 2  a +b +c (a2 + b2 + c2)2 Theo ta cần chứng minh bất đẳng thức sau đủ 1 + +  a + b2 + c2 (23.3) a b c Sử dụng giả thiết abc  kết hợp với bất đẳng thức ab + bc + ca  a2 + b2 + c2, ta có 1 abc abc abc + +  + + = ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 (23.4) a b c a b c Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a = b = c =  Bài 24 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = Nếu k  1, 1 + 2 +  (24) 2 a +b +k b +c +k c +a +k 2+k Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta  a + b + c2    [a + b + + (k - 1)] + + c + (k - 1)     2  a + b + c2 (k + 2)2(a + b + c)2  =  a + b + c + (k - 1) (24.1)    Từ suy 9(c2 + 2) + (k - 1)(a + b + c)2  (24.2) a2 + b2 + k (k + 2)2(a + b + c)2 Thực hiên đánh giá tương tự cho hai biểu thức lại, sau cộng vế theo vế ba bất đẳng thức lại ta 22 Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức ∑  a + b2 + k =     9∑a2 + 6 + 3(k - 1)∑a    =    9∑a2 + 2∑ab + 3(k - 1)∑a (k + 2)2∑a   (k + 2)2∑a 2 (24.3) k+2 Đẳng thức xảy a = b = c = Bài 25 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a b c + +  (25) 2 a + b + c b + c + a c + a2 + b Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có 1  a + + c a a  =  1  a +b +c (a + b + c) + + c a  = 1  a + + c  a  (25.1) (a + b + c) + a + ca Suy ta cần chứng minh + a + ca + b + ab + c + bc + +  1, (25.2) 9 Hay ab + bc + ca  3, (25.3) (a + b + c)2 Hiển nhiên theo kết quen thuộc ab + bc + ca  Đẳng thức xảy a = b = c =  Bài 26 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh (3a - b + c)2 (3b - c + a)2 (3c - a + b)2 + +  (26) 2a2 + (b + c)2 2b2 + (c + a)2 2c2 + (a + b)2 Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có (3a - b + c)2 (3a - b + c)2  (26.1) 2a2 + (b + c)2 2a2 + 2(b2 + c2) Do ta cần chứng minh 23 Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức (3a - b + c)2 + (3b - c + a)2 + (3c - a + b)2  9(a2 + b2 + c2) (26.2) Sau triển khai rút gọn, ta a2 + b2 + c2  ab + bc + ca , (26.3) kết quen thuộc Vì vậy, phép chứng minh ta hoàn tất Đẳng thức xảy a = b = c  Bài 27 Cho a, b, c số thực dương cho abc = Chứng minh 1  (27) 2+ 2+ + a + b + b + c + c + a2 Lời giải Đặt a = x3, b = y3 c = z3 Ta phải chứng minh 1  (27.1) 6+ + + x + y + y + z + z3 + z6 Với x, y, z > xyz = Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz , ta có y2 z4 + x2yz + z2x2 =  = 2 2 2 2   + x3 + y6 (z + x + y ) (x + y + z ) (1 + x3 + y6)z4 + x + 2 y  z4 + x + y2 z4 + x + (27.2) Ta cần chứng minh ∑(z4 + x2yz + z2x2)  (x2 + y2 + z2)2, (27.3) Hay xyz(x + y + z)  x2y2 + y2z2 + z2x2 (27.4) Đây kết quen thuộc Bài toán chứng minh xong Đẳng thức xảy a = b = c =  Nhận xét: Ngoài ra, kết tổng quát đúng: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Khi với k > 0, ta có 1  (27.5) k+ k+ + a + b + b + c + c + ak Bài 28 Chứng minh với số thực dương a, b, c ta có 1 1 + +  (28) 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc Lời giải 24 Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Sử dụng tính nhất, ta chuẩn hóa cho abc = Từ bất đẳng thức cần chứng minh viết thành 1 1 + + c2 + + c2 a b a b bc + ca + c2 c =  = 3 2 = 1  a +b +1 (a + b + c) (a + b + c) a + b + c 3 (a + b + 1) + + c  a b  (28.2) Cộng tương ứng bất đẳng thức với hai đánh giá tương tự, vế theo vế, ta suy kết cần chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c  25 Một số kỹ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức PHẦN III TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Huy Khải, 500 toán chọn lọc bất đẳng thức, tập 1, Nhà xuất Hà Nội 1998 [2] Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, Nhà xuất Tri Thức, 2006 [3] Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh, Bất đẳng thức lời giải hay, Nhà xuất Hà Nội 2009 [4] Trần Phương, Những viên kim cương bất đẳng thức Toán học, Nhà xuất Tri Thức, 2009 [5] Wikipedia, Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, [Online: http://vi.wikipedia.org/wiki/B%E1%BA%A5t_%C4%91%E1%BA%B#ng_th%E1% BB%A9c_Cauchy-Schwarz] 26 ... thức BCAUCHY - SCHWARZ Tuy nhiên toàn sáng kiến kinh nghiệm ta thống với cách gọi bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Ở mức độ phổ thông khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm quan tâm đến dạng phát biểu sơ... Schwarz vào chứng minh bất đẳng thức Đẳng thức xảy x1 x2 x = = … = n y1 y2 yn Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm này, chúng xem xét vấn đề để sử dụng hợp lý hiệu bất đẳng thức (*) (**) việc chứng... Phan Huy Khải, 500 toán chọn lọc bất đẳng thức, tập 1, Nhà xuất Hà Nội 1998 [2] Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, Nhà xuất Tri Thức, 2006 [3] Võ Quốc Bá Cẩn, Trần Quốc Anh, Bất đẳng thức