Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 38

KiÕn thøc sö dông trong lêi gi¶i trªn tuy rÊt ®¬n gi¶n nh­ng c¸ch sö dông nh÷ng kiÕn thøc nµy l¹i rÊt khÐo lÐo... 20.[r]

1

l KÕt qu¶ : (TTT2 sè 36)(TTT2 sè 36)

Chỉ lần dùng compa lKì :

lĐể từ địa điểm Ađến địa điểm Cphải qua điểm Mtrên đoạn EF Khi để quãng đường ngắn đạt thời gian ngắn ta phải theo hai đoạn đường thẳng AMvà MC Công việc lại ta phải xác định điểm M

Gọi vận tốc ngựa bãi cát vvà bãi cỏ 2v; độ dài EMlà x(km) Ta có : thời gian quãng đường AMClà ngắn đạt giá trị nhỏ

đạt giá trị nhỏ

Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có : (1222)(x222) (1 x2 2)2 (đẳng thức xảy x1) ;

(2212)[(7 x)232] [2(7 x) 1 3]2

(đẳng thức xảy x1) Suy

và y đạt giá trị nhỏ x1 hay ME1 (km)

lCó thể áp dụng bất đẳng thức :

với a, b, c, dlà số dương (đẳng thức xảy adbc) để tìm giá trị nhỏ y tính giá trị x tương ứng Một số bạn sử dụng “Nguyên lí đến nhanh nhất”và “Định luật khúc xạ ánh sáng” vật lí tìm kết

Một số bạn lập luận “nghe”có vẻ hợp lí : “bình thường thẳng từ A đến C nhanh nhất, tốc độ cát chậm đồng cỏ nên phải rút ngắn đoạn đường cát đến mức tối đa, có nghĩa phải đoạn đường AEC” So sánh với kết thấy rõ “cảm giác”của bạn sai

Các bạn thưởng kì : Nguyễn Ngọc Huy, 7A, THCS Trần Văn Ơn, Hồng Bàng, Hải Phòng ; Phan Mạnh Lộc, 9A3, THCS Chu Văn An, Thái Nguyên; Nguyễn Xuân Tân, 9A2, THCS Mão Điền, Thuận Thành, Bắc Ninh ; Lê Thùy Nhi, nhà số 755, tổ 18, phường Bắc Cường, TP Lào Cai, Lào Cai ; Trần Minh Chung, 11H, THPT Ba Đình, Nga Sơn, Thanh Hóa

Anh Compa

2  2  (  )2 ( )2

a b c d a c b d

5

2 ( 4) (17 ) 5

5

    

y x x

2

(7 ) (17 )

5

 x    x

2

2 ( 4)

5

 x   x

2

2 (7 )

 y x   x 

2

1 (7 )

2  

        

 

AM MC x x

v v v

2 4 ; (7 )2 9 ;

    

AM x MC x

Cho điểm A nằm đường thẳng d Hãy dựng qua A đường thẳng vng góc với dmà cần lần dùng compa (đương nhiên dùng thước thẳng)

2 Hỡi bạn “ưa mạo hiểm” ! Chắc bạn đồng ý với tơi “hành trình khám phá” ln hành trình đầy lí thú kết đẹp bất ngờ mà gặp Sau hành trình khám phá tơi mt bi toỏn quen thuc

Bài toán 1.Cho tam giác nhọn ABCcó trực tâm H trọng tâm G Chøng minh r»ng

lSau lời giải, s dng tam giỏc ng dng

Gọi Dlà chân đường cao hạ từ Dxuống BC(Hthuộc ADdo tam giác ABCnhọn) Mlà trung điểm BC(Gthuộc AM)

Theo gi thiết, ta có ta lại chứng minh hai tam giác vuông BHD, ACD đồng dạng suy

Do :

lĐiều kiện Hvà G(là hai điểm đặc biệt tam giác ABCvà HG// BC) khiến nh li mt bi toỏn khỏc

Bài toán 2.Cho tam giác ABCcó trọng tâm Gvà tâm đường tròn nội tiÕp I Chøng minh r»ng IG// BCABAC2BC

Gọi D, M giao điểm AI, AGvới BC(BI, CIlần lượt phân giác

BAD, CAD) Theo tính chất đường phân giác tam giác ta có :

Do G trọng tâm ABC nên :

ABAC2BC

l Đặt “cạnh nhau” hai toán trên, câu hỏi đặt : “Điều kiện tương đương IG // BCtrong toán thay

// IA GA AB AC

IG BC

ID GM BC

    

; IA BA CA BA CA AB AC ID BD CD BD CD     BC

 

// AD AM tg tg

HG BC B C

DH GM

     

 

2

tg tg

AD AD B C AD

BD CD DH    DH AD CD BD DH 

3 ; AM GM 

 

// tg tg

HG BC  B C 

3 đẳng thức lượng giác tốn 1khơng ?”

Tơi nghĩ tới

Gọi D, E, Flần lượt hình chiếu vng góc A, G, Itrên BC

Khi ta cú

Đặt BCa, CAb, ABc,

ta có áp dụng

các công thức tính diện tích tam giác ta có

Mặt khác, Glà trọng tâm ABCnên :

Kết thu :

Bài toán Cho tam giác ABCcó trọng tâm Gvà tâm ®­êng trßn néi tiÕp I Chøng

minh r»ng IG// BC

Bài toán Cho tam giác ABC Chứng minh ABAC2BC

Bài toán 4là kết từ tốn 2và tốn 3, hay “chìa khóa” “giấu kín”

l“Đầu xi, lọt”, ta không nghĩ đến điểm đặc biệt khác tam giác tơi tìm thêm số kết sau (đề nghị bạn tự giải), hi vọng bạn tiếp tục khám phá thêm nhiều kết lí thú khác Bài tốn Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H, trọng tâm G, tâm đường tròn nội tiếp I tâm đường tròn ngoại tiếp O Chứng minh :

1) OH// BC 2) OG// BC 3) HI// BC 4) HI// BC 5) OI// BC

6) OI// BC tg tg 1 

2 tg tg

B C

B C

  



 

tg tgB C AB BC CA; AB BC CA 

  

 

 

tg tg ;

2

B C AB BC CA

AB BC CA 

  

 

 

tg tgB C AB BC CA; BC

 

  

 

tg tgB C ;

  

 

tg tgB C ;

  

  1

tg tg

2

B C

  

  1

tg tg

2

B C      // 1

tg tg

2 3

IF GE IG BC IF GE

AD AD

B C

    

     

2

2 (2 )

( ) ( )

2 1 2 ;

ABC

ABC

ABC ABC

ABC

ABC ABC

S p a IF

p p a IF p a IF

S

S S

S

p IF a IF a IF IF

S S a AD AD



 

  

       



  ( )

tg tg

2 ( )( )( )

B C p p a IF

p p a p b p c

 

  

( )( )( ) ( ),

ABC

S  p p a p b p c   pr r IF

 

tg tg ;

2 ( )( )

B C IF

p b p c

 

 

, a b c p  

 

tg tg ;

2

B C IF

BF CF

 

 

tg vµ tg :

2

4 lMÊu chèt cña sai lầm lời giải chỗ chưa nắm vững khái niệm giá trị nhỏ biểu thức Các bạn cần lưu ý :

Nu bất đẳng thức f(x)  a không xảy đẳng thức ứng với giá trị x  x0 (thỏa mãn điều kiện tốn) khơng thể kết luận biểu thức f(x) đạt giá trị nhỏ a

Trong lời giải nêu, với điều kiện m  m  3 (để phương trình có nghiệm) rõ ràng khơng thể xảy đẳng thức bất đẳng thức (m1)22  2

lLời giải sau :

Điều kiện để phương trình có nghiệm :

 0 (m1)24 0

(m3)(m1) 0 (*)

Khi đó, tổng bình phương nghiệm : x12x22(x1x2)22x1x2

(m1)22 (theo nh lớ Vi-ột)

[(m1)24] 2 Đẳng thức xảy (m1)24

m1 m (tháa m·n (*))

Vậy tổng bình phương nghiệm phương trình đạt giá trị nhỏ m 1 m 3

1 m m

    

Cho toán :

Bi toỏn Gi Olà trung điểm đoạn thẳng AB Kẻ hai tia Ax, By vng góc với ABvà nằm hai phía đường thẳng AB Trên Ax, By lấy điểm M, N cho AMBN Chứng minh Olà trung điểm MN

Bài toán tưởng chừng đơn giản có học sinh giải sau :

Lêi gi¶i

Theo gi¶ thiÕt ta cã :

AOBO; AMBN; suy MAO NBO(c.g.c) MONO hay Olà trung điểm MN

Các bạn có cho lời giải “quên” iu gỡ ú khụng ?

nguyễn văn (THPT Lê Thế Hiếu, Cam Lộ, Quảng Trị)

,

MAO NBO

l Kì :

l Kết : (TTT2 sè 36)

5 v Kì :

l KÕt qu¶ : SỐ NÀO TIẾP THEO ?

LOẠI BỎ HÌNH NAỉO ?

(TTT2 số 36) Bài Bài giải bạn Thái Thị Diệu

Võn, 7A, THCS Chu Văn An, Hương Khê, Hà Tĩnh:

Bµi mét nghÜ mÃi không Nhìn nhìn lại hóa nhị ph©n

Trước sau tăng dần Thêm đơn vị lần

Quy luật thấy rõ Số cuối thế, ta ngồi ta ghi

Một trăm linh (101) tức Điền vô chỗ thiếu chờ nhận quà !

Bài 2.Bài giải bạn Hoàng Văn Huy, 10 Toán, THPT chuyên Bắc Giang, Bắc

Giang :

Số 525 : tháa m·n 5225 Sè 10100 : tháa m·n 102100 Sè 15225 : tháa m·n 152225 Sè 20400 : tháa m·n 202400

Do số cuối thỏa mãn quy luật : 252625 Vậy số cuối 25625

Hai bạn Vânvà Huyđược thưởng Ngồi ra, TTT cịn thưởng cho bạn : Nhóm Nghịch ngợm, 8C, THCS Bạch Liêu, Yên Thành, Nghệ An; Vũ Đăng Tới, 9A2, THCS Móo in, Thun Thnh, Bc Ninh

Nguyễn Đăng Quang Các bạn hÃy loại bỏ hình không loại với hình lại Bài

6 lPhương pháp chung

4Phương trình nghiệm nguyên có dạng a1x1na2x2n akxkn0 (*) Với nlà số tự nhiên lớn 1, tham số nguyên a1, a2, , akvà ẩn x1, x2, , xk giải phương pháp lùi vô hạn sau :

+ Sử dụng tính chất chia hết để chứng minh x1n, x2n, , xkncùng chia hết cho số nguyên tố p Từ suy x1, x2, , xk cng chia ht cho p

+ Đặt x1py1, x2py2, , xkpyk(suy y1, y2, , ykcòng nhËn giá trị nguyên)

Phng trỡnh (*) tr thnh : a1(py1)na

2(py2)n ak(pyk)n0

a1y1na2y2n akykn0 Hoàn toàn tương tự, ta lại chứng minh y1, y2, , ykcùng chia hết cho p, suy x1, x2, , xkcùng chia hết cho p2

+ Quá trình tiếp tục mãi, suy x1, x2, , xkcùng chia hết cho pmvới mlà số nguyên dương lớn tùy ý Điều xảy x1x2 xk0

Vậy :Phương trình (*) có nghiệm nguyên x1x2 xk0

4 Một số dạng phương trình nghiệm nguyên khác giải phương pháp lùi vơ hạn

l¸p dơng

Ví dụ Giải phương trình nghiệm ngun

x35y325z30 (1) Lời giải.Từ phương trình (1) ta suy x3 chia hết cho xchia hết cho

Đặt x  5x1(x1nhận giá trị nguyên), ta có phương trình (1) tương đương với :

125x135y325z30

25x13y35z30 (2) Từ phương trình (2) ta lại suy y3chia hết cho ychia hết cho

Đặt y  5y1(y1nhận giá trị ngun), ta có phương trình (2) tương đương với :

25x13125y135z30

5x1325y13z30 (3) Từ phương trình (3) ta lại suy z3chia hết cho zchia hết cho

Đặt z  5z1(z1nhận giá trị ngun), ta có phương trình (3) tương đương với :

5x1325y13125z130

x135y1325z130 (4) Như ta có x, y, zcùng chia hết cho Từ phương trình (4), hồn tồn tương tự trình ta suy x1, y1, z1cùng chia hết cho 5, suy x, y, zcùng chia hết cho 52

Quá trình tiếp tục mãi, suy x, y, z chia hết cho 5m với m số nguyên dương lớn tùy ý Điều xảy xyz0

Vậy : Phương trình (1) có nghiệm ngun xyz 0

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LÙI VÔ HẠN

7 Ví dụ Giải phương trình nghiệm ngun

x4 y4z4t46xyzt (1) Lời giải Từ phương trình (1) ta suy x4  y4 z4 t4 nhận giá trị chẵn Do ẩn x, y, z, tcó số chẵn ẩn nhận giá trị lẻ Có khả xảy :

+ Nếu x, y, z, tđều lẻ x4 y4z4t4 chia hết cho (x4 , y4, z4, t4khi chia cho dư 1) ; xyztlẻ nên 6xyztkhông chia hết cho Suy khả không thỏa mãn

+ NÕu hai Èn x, y, z, tnhËn giá trị lẻ x4 y4z4t4không chia hết cho 6xyzt lại chia hết cho Suy khả không thỏa mÃn

+ Nu x, y, z, t chẵn, đặt x  2x1, y 2y1, z2z1, t2t1(x1, y1, z1, t1nhận giá trị nguyên), ta có phương trình (1) tương đương với :

(2x1)4 (2y

1)4(2z1)4(2t1)4

624x1y1z1t1

x14 y14z14t146x1y1z1t1 (2) Từ phương trình (2), hồn tồn tương tự q trình ta suy x1, y1, z1, t1 chẵn, suy x, y, z, tcùng chia hết cho 22. Quá trình tiếp tục mãi, suy x, y, z, t chia hết cho 2m với m số nguyên dương lớn tùy ý Điều xảy xyzt0

Vậy : Phương trình (1) có nghiệm ngun xy z t0

Ví dụ Giải phương trình nghiệm nguyên 2(x4 y4) x2y22(z22x2y2) (1) Lời giải

Phương trình (1) tương đương với : 2(x2y2)2x2y22z2 (2) suy x2  y2 chẵn  x y chẵn hoc cựng l

+ Nếu x, ycùng lẻ 2(x2y2)2chia hÕt cho cßn x2  y2 chia cho dư nên x2y22z28t2(z21) không chia hết cho (với tlà số nguyên) z2 không

chia hết cho Suy khả không thỏa mÃn

+ Nếu x, y chẵn 2(x2y2)2và x2  y2 còng chia hÕt cho 4, suy 2z2 cịng chia hÕt cho zch½n

Vậy x, y, zcùng chẵn, đặt x2x1, y2y1, z2z1(x1, y1, z1, nhận giá trị ngun), ta có phương trình (2) tương đương với : 2[(2x1)2(2y1)2]2(2x1)2(2y1)22(2z1)2

8(x12y12)2x12y122z12 (3) Từ phương trình (3), hồn tồn tương tự q trình ta suy x1, y1, z1đều chẵn, suy x, y, zcùng chia hết cho 22

Tương tự ví dụ 2ta có kết luận :

Phương trình (1) có nghiệm nguyên xyz0

lL­u ý

Trong trường hợp toán đưa đến việc phải xét ẩn ngun dương x đó, đơi sử dụng phương pháp cực hạn để xác định dãy số lùi vô hạn số nguyên dương x> x1> > xm với mlà số nguyên dương đủ lớn, dẫn đến xm1 Từ đó, việc giải phương trình có n ẩn ban đầu quy việc giải phương trình có n1 ẩn

lBài tập làm thêm

Gii cỏc phng trỡnh nghiệm nguyên : 1) x4y4z4;

2) 8x44y42z4t4; 3) x2y2z2x2y2;

4) x3py3p2z3víi tham sè pnguyªn tè ; 5) x2y23z2;

6) x27y20 ; 7) x22y21 ;

8) x2 y2z2t2x2y2z2; 9) x4y411z4;

8 Trong sè này, tiếp tục giới thiệu bạn số thi năm 1999, 2000

Bµi 1.(Problem 9.1, 1999)

Cho tam giác ABCcó phân giác AD Gọi M, Nlà điểm nằm hai tia AB,

AC cho vµ

Hai đường thẳng ADvà MNcắt P Chứng minh r»ng AD3AB.AC.AP

Bài 2.(Problem 9.2, 1999, cải biên) Cho a, b > 0, kí hiệu t(a, b) nghim dng ca phng trỡnh

(ab)x22(ab1)x(ab) Đặt M{(a, b) | a b, ab1} Tìm giá trị nhỏ t(a, b) (a, b) chạy khắp tập M

Ghi chú.Bài toán gốc :

M{(a, b) | a b, ab } Bµi 3.(Problem 9.1, 2000)

Trong tứ giác lồi ABCD, hai đường phân giác góc A góc C cắt I Chứng minh tồn đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD SAIBSCIDSAIDSBIC

Chú ý.Một đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD AB  CD  AD  BC ;

Hai kết thường sử dụng toán thi học sinh giỏi THCS nước ta

Bµi 4.(Problem 9.5, 2000)

a) Chứng minh khơng có lũy thừa số viết dạng tổng hai hay nhiều số nguyên dương liên tiếp

b) Cho m, nlà số nguyên dương, giả sử số nguyên lẻ Xác định m, nđể Ađạt giá trị nhỏ

3

(m n) A

n

 

1 .sin

ABC

S  AB AC A

ab

 

NDA BCA

 

MDA ABC

(Tiếp theo kì trước)

9

CUỘC THI VƠ ĐỊCH TỐN QUỐC GIA RU-MA-NI

Bµi 1.(Problem 7.1, 1999)

Một hai độ dài cạnh góc vuông phải số chia hết cho Gọi 3a, blà độ dài hai cạnh góc vng, clà cạnh huyền, với a, b, clà số nguyên dương Khi :

3ab3(3abc) cab3ab

Theo định lí Py-ta-go ta có (3a)2b2c2(ab3ab)2

ab[(a2)(b6) 6] 0

Vì a, bdương, suy (a; b) {(3 ; 12) ; (4 ; 9) ; (5 ; 8) ; (8 ; 7)}

Từ đó, ba cạnh tam giác thỏa mãn điều kiện đề (9 ; 12 ; 15) ; (8 ; 15 ; 17) hay (7 ; 24 ; 25)

Bài 2.(Problem 7.3, 1999)

a) Vì nên

Do tam giác CDEđồng dạng với tam giác ACE, suy (1) Trong tam giác ABE, ta có AClà phân giác góc A, : (2) Từ (1) (2) suy :

b) Ta có ACđồng thời phân giác hai tam giác ADFvà ABE Như vậy, ta cần chứng minh kt qu sau :

Nếu tam giác XYZbất kì có phân giác XL(Lthuộc YZ) XL2< XY.XZ

Chng minh : Gọi Mlà giao điểm XLvà đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ Khi đó, hai tam giác XYLvà XMZđồng dạng nên ta có XL2< XL.XMXY.XZ

Bài 3.(Problem 7.4, 1999)

a) Vì EF// BCvà EG// ADnên ta có

b) Giả sử hai đường thẳng AN, EFcắt P, gọi Qlà điểm nằm đường thẳng BCsao cho PQ// AD

Vì BC// EFvà Nlà trung điểm BCnên Plà trung điểm EF Suy PFQGlà hình bình hành Như trung điểm Xcủa FGcũng trung điểm PQ Do Mlà trung điểm ADvà AD// PQ, suy M, X, Nthẳng hàng

Bài 4.(Problem 8.4, 1999, cải biên)

Ta có : Nx4(xy) 13x2y2(xy) 36y4(xy) (xy)(x413x2y236y4)

(xy)(x24y2)(x29y2) (xy)(x2y)(x2y)(x 3y)(x3y) NÕu y0, ta có Nx5luôn khác 77 với x

Nu y0, ta có thừa số Nđơi khác Tuy nhiên, 77 phân tích tối đa thành nhân tử, chẳng hạn 77 (1)(1)(7)(11) (1)(1)(7)(11)

VËy Nkhông nhận giá trị 77 với x, ynguyên

, , suy

EF AE EG EB EF EG

BC AB AD AB  BC AD 

AB CE AB DE BC CE

BC DE  

AE AB CE BC

CE AE DE CE

 

ECD BAC

  

10

Hướng dẫn giải đề thi kì trước (TTT2 sè 37) Kì thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên, tỉnh Thái Bình, năm học 2005 - 2006

Bài 1.1) Tập xác định : x0 Nhân hai vế phương trình với ta phương trình :

(thuộc tập xác định) Đây nghim nht ca phng trỡnh

2) Đáp số : M1(1 ; 3) M2 Điểm M(x ; y) tháa m·n ®iỊu kiƯn : x0 (1) ; y2x1 (2) ; (3)

Do x0 ta cã (3)

Nếu thay vào (2) ta có (phương trình vơ nghiệm) ; Nếu thay vào (2) ta có

Bài 2.1) Đáp số : Với m 1, thỏa mãn yêu cầu ; Với m 1, điều kiện để phương trình có hai nghiệm x2x1là  0 (*) ;

Theo định lí Vi-ét ta có

suy (đều thỏa mãn điều kiện (*))

2) Phương trình x22ax3b0 có ’ a23b ; Phương trình ax22bx3c0 :

Víi a0 ta cã ;

Với a0, b0 a2 3b0 suy       c nên phương trình thỏa mãn với x, b0 phương trình có nghiệm Tóm lại, hai phương trình ln có nghiệm

Bài 1) Lấy F đối xứng với M qua A ta có BFDM hình bình hành, suy DM// BF; MFME MB(AC) suy tam giác EBFvuông BBFvng góc với BEDMvng góc với BE

2 a) Gọi H, Klần lượt chân đường vuông góc kẻ từ Avà Otới BC(OK// AH)

Ta cã : OBC

ABC S OD OK

AD AH S 

2 2

1

' ( ) ( ) ( )

2 

             

2 2

1 ( ) ( ) ( )

2           

3 hc

7

m  m 

1 1

1

2 2

1 1

( 1)( 1) hc hc

1 1 2

x x x x

x x

x x x x

       

   

       

       

   

1 2 m 11 m 21

x x x x

m m

    

 

5 { 1; ; 3}

7 m  

1

2 1 hc ;

2

x x    x  x    x  

 

3 y  x

2x2 x  1

y  x

(y )(x y ) 0x y x hcy x

      

2 5 6 0

y  y x  x 

1 ( ; )

4

2 x

 

1 2 x (2x1)( x 1 )x (2x1)( x 1 3x   1) 2x 1

1 0,

11

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9, QUẬN CẦU GIẤY, HAØ NỘI

Năm học : 2005 - 2006 ; Thời gian : 150 phút

Với kết tương tự ta suy

2 b) Đặt Theo câu 2.a áp dụng bÊt

đẳng thức Cơ-si ta có

Khi (1 x)(1 y)(1 z)  1 (xyz) (xyyzzx) xyz

Bài Gọi x1, x2, x3 ba nghiệm phân biệt phương trình P(x)  suy P(x) (xx1)(xx2)(xx3) P(Q(x)) (Q(x) x1)(Q(x) x2)(Q(x) x3) Do P(Q(x)) 0 vô nghiệm nên Q(x)  xi vô nghiệm (i {1 ; ; 3}) x2x  2005 xi vô nghiệm  i< 1 4(2005 xi) < 2005 xi>

Suy P(2005) (2005 x1)(2005 x2)(2005 x3) >

Bài 5.Luôn tồn 2005 điểm thỏa mãn điều kiện đề bài, sau cách xác định điểm : Trên mặt phẳng dựng nửa đường trịn đường kính AB, lấy 2005 điểm đơi khác nhau, khác A khác B Như vậy, ba điểm chúng khơng thẳng hàng, ba đỉnh tam giác tù tam giác ln có góc nội tiếp chắn cung lớn nửa đường tròn

1 64

2

3

3

1 xyz (xyz) xyz (1 xyz) 64

      

1 AD BE CF

OD OE OF

      

   

   

3

1 1

1 xyz

x y z xyz

     

1 1 1, x y z  

; ;

AD x BE y CF z

OD  OE  OF 

1

OBC OCA OAB

ABC

S S S

OD OE OF

AD BE CF  S

Câu 1.(4 điểm) Cho

a) Tìm điều kiện xđể biểu thức Acó nghĩa

b) Rút gọn A c) Tìm xđể A< Câu 2.(3 điểm)

Cho đa thức f(n)  n5  5n3  4n với n nguyên dương

a) Phân tích đa thức f(n) thành nhân tử b) Chứng minh đa thức chia hết cho 120 với giá trị nguyên dương n Câu 3.(3 điểm)Giải phng trỡnh sau :

Câu 4.(2 điểm)

Cho a, b, c> Chøng minh r»ng : C©u 5.(4 điểm)

Cho hình thoi ABCDcó Tia Ax tạo với tia AB góc BAx 15o cắt cạnh BCtại M, cắt đường thẳng DCtại N

Chứng minh :

Câu 6.(4 điểm)Giả sử tứ giác ABCDcó đường tròn đường kính AB tiếp xúc với đường thẳng CD Chứng minh AD// CBthì đường tròn đường kính CDtiếp xúc với đường thẳng AB

2 2

1 4

3 AM  AN  AB

 120o

A

3 3 3

2 2

5 5 .

3 3

b a c b a c a b c

ab b bc c ca a

       

  

2

7 x x 1 x 6x13

2

2

4

4

x x x x x x

A

x x x x x x

   

 

12

l KÕt qu¶ :

THI GIẢI TỐN QUA THƯ

Bài 1(36).Cho số nguyên n> 2005 số thực x tháa m·n : 2006n 2005nxn Hái xcã thĨ lµ sè nguyên không ?

Lời giải (theo bạn Võ Văn Tuấn, 9A5, THCS Nguyễn Du, KRông Buk, Đắk Lắk)

Ta giải toán mở rộng sau :

Cho số thực xvà số nguyên dương a, b, nthỏa mãn anbnxn; a> b; n> b Hỏi xcó thể s nguyờn khụng ?

Giả sử x số nguyên, từ giả thiết ta có xn> an> suy |x| > a|x| a1

|x|n(a1)nannan1 1 > annan1> anbbn1anbn

|x|n> anbn, mâu thuẫn với giả thiết Vậy : xkhông thể số nguyên

Nhn xột 1) Một số bạn chứng minh bất đẳng thức kép 2006 < |x| < 2007, từ suy xkhông thể số nguyên ; Với hỗ trợ máy tính điện tử, việc chứng minh bất đẳng thức ngắn gọn :

Tõ gi¶ thiÕt suy 2006 < |x| ;

Mặt khác, xn2006n2005n< 22006n

|x|

2) Li gii đa số bạn khác dài dịng chia nhiều trường hợp theo dấu x tính chẵn lẻ n

3) Sai lầm đáng lưu ý mà nhiều bạn mắc phải nghĩ x>

4) Các bạn có lời giải tốt Phạm Quang Thịnh, 7H, THCS Hùng Vương, TP Tuy Hòa, Phú Yên; Vũ Thanh Tú, 9A2, THCS Vũ Hữu, Bình Giang ; Đặng Đình Hiếu, 9B, THCS Phan Bội Châu, Tứ Kì, Hải Dương; Hà Thị Thanh Huyền, 9A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Võ Ngọc

Đức, 9A1, THCS Nhơn Hậu, An Nhơn, Bình Định; Hồng Kiên An, 9E, THCS Bắc Sơn, Sầm Sơn, Thanh Hóa; Hồng Văn Sáng, 9A1, phân hiệu học sinh giỏi Thanh Nê, Kiến Xương, Thái Bình

Ngun Anh Quân Bài 2(36).Biết x2y2xy Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Fxy

Lời gi¶i.Ta cã Fxyxy2y x2y22yx2(y1)21  1

Đẳng thức xảy x0, y1 Tương tự Fxy2x(xy)  2x(x2y2) 1 (x1)2y21

Đẳng thức xảy x1, y0 Vậy giá trị lớn giá trị nhỏ Ftương ứng 1

Nhận xét.1) Cách giải đơn giản theo phương pháp “phân tích thành tổng biểu thức khơng âm” Cịn có cách giải khác, phức tạp cách giải trên, phương pháp giải có tính phổ dụng cao (có thể giải nhiều tốn khác theo phương pháp này) : từ giả thiết ta suy x2xy2y0

Do

áp dụng bất đẳng thức , ta có

Suy |xy|, tức xy 1 2) Hoan nghênh bạn Đậu Đức Linh, 7B nhiều bạn lớp 7C, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ Ancó lời giải tốt Nguyễn Minh Đức

2

2

1 1 1 ( )

2 x2 y2  x y

2 1( )2

2

  

a b a b

2

1 1

2 2

      

   

x  y 

2005

2 2006 2006 2007

13 Bµi 3(36).Rót gän :

Lời giải (theo bạn Nguyễn Đức Công, 9D, THCS Lý Nhật Quang, Đơ Lương, Nghệ An)

Ta rót gän ph©n thøc tỉng qu¸t sau :

víi n*

NhËn xÐt :với k* ta có

áp dụng hệ thức vµo T* ta cã

Khi n1002, ta cã

Nhận xét Có nhiều bạn gửi tịa soạn giải Các bạn có lời giải tốt Hà Thị Thanh Huyền, 9A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Lê Sơn Hải, 8B, THCS Yên Lạc, Yên Lạc ; Hoàng Hà Anh, 8C ; Hoàng Quốc Khánh, 9B, THCS Vĩnh Yên, Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc; Nguyễn Đức Huấn, 9B, THCS Phan Bội Châu, Tứ Kỳ ; Phạm Minh Quang, 8C, THCS Thành Nhân, Ninh Giang, Hải Dương ; Tập thể đội tuyển toán 9, THCS

Xuân Trường, Xuân Trường, Nam Định ; Phạm Đức Tuấn Anh, 9A1, THCS Chất lượng cao, Kiến Xương, Thái Bình ; Trịnh Quang Thanh, 9B, THCS Hàm Rồng, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa; Vũ Văn An, 6C ; Đậu Phi Lực Hồ Hữu Quân, 8C, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An; Phan Nghĩa Hiếu, 9G, THCS Nguyễn Trãi, Nghi Xuân, Hà Tĩnh; Trần Tấn Thanh, 9A, THCS Hành Phước, Nghĩa Hành, Quảng Ngãi

Nguyễn Văn Mạnh Bài 4(36).Giả sử hai tam giác A1B1C1; A2B2C2có ; A1B1 A2B2 cạnh lại thỏa mÃn điều kiện :

B1C1C2A2B2C2C1A1 Chng minh hai tam giác Lời giải.Trước hết, để thuận tiện cho việc trình bày lời giải, ta kí hiệu BiCiai, CiAibi, AiBi  ci (i  {1 ; 2}) đặt d  a1 b2 a2b1, c1c2c,  

Cách 1.Dựng ABO A1B1C1( , OBa1, OAb1) Trên tia đối tia OA, OBlần lượt lấy điểm C, Dsao cho OCa2, ODb2(DCO A2B2C2)

Thế ta ABDCc, BDCAd, suy ABC DCB, ADB DAC(c.c.c) hai tam giác OBC, OADđều cân O

Suy OB OC, OAOD hay a1a2, b1b2 A1B1C1 A2B2C2(®pcm)

   , ,

ACB DBC ADB DAC 

  

AOB

 1 2

C C

 1 2

C C

21 80520851

2006 2007

 



T

2 2 2

2 2 2

2

(0 )(1 ) (2 1) (2 2) *

(1 )(2 ) (2 2) (2 3)

1 .

(2 2) (2 3)

                       n n T n n n n

4 2

4

2 2

1 (2 1)(2 1)

4 4

( 1) ( 1)

                    

k k k k k

k

k k k k

4 4

4 4

1 1

1 (2 1)

4 4

* ,

1 1

2 (2 2)

4 4

                                       n T n

4 4

4 4

1 1

1 2005

4 4

1 1

2 2006

4 4

14 Cách 2.Dựng tia Cxlấy A A cho CA b1, CA b2; Cy lấy Bvà Bsao cho CBa1, CBa2 Thế :

ABC A1B1C1và A’B’C A2B2C2 suy AB A’B’c Ta chứng minh A’ trùng A B’ trùng B phương pháp phản chứng Thật vậy, giả sử A’ khơng trùng A B’ khơng trùng B từ giả thiết a1 b2a2b1suy a1a2b1

b2h(0), nghĩa BB’AA’ (Khơng tính tổng qt, giả sử h> 0, nghĩa C, B’, B C, A’, Athẳng hàng theo thứ tự đó) Tứ giác AA’B’Bcó cặp cạnh đối nên hình bình hành, suy AA’ // BB’, mâu thuẫn với giả thiết Mâu thuẫn chứng tỏ h0, suy A’Avà B’B

 A1B1C1 A2B2C2(®pcm)

Cách 3.Dựng đoạn ABc, sau dựng

ABC A1B1C1và ABD A2B2C2sao cho C D nằm phía đường thẳng AB (bạn đọc tự vẽ hình) Ta cần chứng minh C Dtrùng Giả sử D không trùng C D thuộc Khi sử dụng bất đẳng thức tam giác ta thu bất đẳng thức BCAD< BDAC, nghĩa a1 b2< a2b1, mâu thuẫn với giả thiết Mâu thuẫn chứng tỏ D  C

A1B1C1 A2B2C2(®pcm)

Nhận xét 1) Cách sử dụng kiến thức lớp 7, với phương pháp chứng minh trực tiếp (tuy có địi hỏi phải vẽ thêm hình

phụ) Cách 2và cách 3ngắn gọn có sử dụng tính chất hình bình hành lớp cung chứa góc lớp 9, với phương pháp chứng minh phản chứng(một phương pháp chứng minh gián tiếp, thay phải chứng minh mệnh đề A  B ta chứng minh mệnh đề phản đảo , tương đươngvới nó)

2) Ngồi ba cách giải trên, số bạn đưa cách giải khác, sở sử dụng định lí hàm số cosin (Hình học 10)

3) Vẫn cịn số bạn giải sai vội vàng, chí có sai lầm nghiêm trọng (chẳng hạn áp dụng tính chất tỉ lệ thức không đúng, xuất phát từ tỉ số

mà suy dÃy tỉ số : !!!)

4) Lẽ ra, toán dành riêng cho bạn lớp Tuy nhiên tòa soạn hoan nghênh bạn lớp tham gia giải Các bạn sau có lời giải tốt : Nguyễn Minh Công, 7A11, THCS Giảng Võ, Ba Đình, Hà Nội ; Trần Thanh Bình, 8C1, THCS Tiền An, TX Bắc Ninh ; Nguyễn Duy Hùng, 9A, THCS Thị Trấn Chờ, Yên Phong ; Đặng Tuấn Anh, 9A, THCS An Thịnh, Lương Tài, Bắc Ninh ; Hoàng Thanh Nga, Hoàng Việt Anh, 8A, THCS Thanh Cường, Thanh Hà ; Nguyễn Doãn Tiến Đạt, 8C, THCS Phan Bội Châu, Tứ Kỳ ; Nguyễn Văn Tuân, 8/1, THCS Hợp Tiến, Nam Sách, Hải Dương ; Nguyễn Hữu Thanh, Tạ Đức Thành, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ ; Đoàn Thu Hà, 9A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên ; Nguyễn Văn Hùng, 9D5, THCS Chu Văn An, Ngơ Quyền, Hải Phịng ; Lê Huyền Trang, 7A1, THCS Nguyễn Trực, Thanh Oai ;

1 1

2 2

a b c

a  b c

1 1

2 2

a b c a  b c BA



AC

  ,

15 Dương Văn Việt, 8K6, THCS Lê Lợi, TX Hà Đông, Hà Tây; Trần Thu Thủy, 8A4, THCS Trần Đăng Ninh, TP Nam Định, Nam Định; Phạm Văn Toàn, 8B, THCS Thái Thọ, Thái Thụy, Thái Bình ; Phạm Hồng Vũ, 7C, THCS Lý Thường Kiệt, Hà Trung ; Nguyễn Việt Hằng, 7B, THCS Hoằng Long, Hoằng Hóa, Thanh Hóa ; Dương Hồng Hưng, Hồng Thị Lê Quyên, 8B, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương ; Phạm Lê Nhật Hoàng, 8A, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Hà Cơng Đức, 8C, THCS Hồng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh ; Võ Minh Đức, Nguyễn Kim Trọng, 9/2, THCS Nguyễn Khuyến, Nguyễn Du, Đà Nẵng ; Trần Tấn Thanh, 9A, THCS Hành Phước, Nghĩa Hành, Quảng Ngãi ; Phạm Quang Thịnh, 7H, THCS Hùng Vương, TP Tuy Hòa, Phú Yên Nguyễn Đăng Phất Bài 5(36).Cho hình vng ABCDcó độ dài cạnh a Tìm quỹ tích điểm M cho tổng khoảng cách từ Mtới đường thẳng AB, BC, CD, DAbằng 2a

Lời giải

Cách (của bạn Trần Xuân Nguyên Trực, 8B, THCS Thị Trấn Kì Anh, Hà Tĩnh)

Với điểm Mbất kì, gọi H, K, E, Flà hình chiếu Mtrên đường thẳng AB, BC, CD, DA Ta thÊy :

MHMEHEADa; (1)

MKMFKFABa (2) Suy MHMKMEMF2a (3) đẳng thức xảy (3) đẳng thức xảy đồng thời (1) (2) Mcùng thuộc hai đoạn HEvà KFM thuộc dải mặt phẳng chắn hai đường thẳng song song AB, CDvà đồng thời thuộc dải mặt phẳng chắn hai đường thẳng song song AD, CB

Mthuộc hình vng ABCD, kể biên Vậy : Quỹ tích điểm Mthỏa mãn điều kiện đề hình vng ABCD, kể biên Cách (của bạn Đào Thanh Tùng, 9A, THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bỡnh, Bc Ninh)

Lời giải tóm tắt, dùng kí hiệu cách :

Đảo :Nếu Mthuộc hình vuông ABCD(kể biên) MHMKMEMF2a

Phn đảo : Nếu M khơng thuộc hình vng ABCD(kể biên) MH  MK 

MEMF> 2a

Kết luận :Quỹ tích điểm Mthỏa mãn điều kiện đề hình vng ABCD, kể biên

Nhận xét 1) Đây toán dễ, thể lời giải khơng dễ Nhiều bạn tham gia giải, có bạn giải sai Tuy nhiên, nhiều bạn cho lời giải lộn xộn dài dòng khơng biết chọn phương án trình bày tốt cho lời giải

16

Vào đêm mùa đông lạnh giá, khoảng 23 đêm, hộ số 2004 khu chung cư rộng lớn, vụ cướp táo tợn xảy Nạn nhân phụ nữ trẻ giàu có Cơ bị đánh trọng thương đến mê Kẻ trộm lấy tất đồ trang sức đắt tiền Khoảng sáng, cảnh sát thành phố nhận tin báo họ mời thám tử Sê-Lốc-Cốc đến trường Tới nơi, thám tử đưa mắt quan sát thật kĩ : Lò sưởi hoạt động khiến nhà ấm sực, đèn sáng, cửa sổ đóng chặt, rèm cửa sổ kéo gần nửa Trong nhà, đồ đạc bị lục lọi, cánh tủ mở toang, nạn nhân nằm bất động sàn nhà, tay chân bị trói chặt, may cịn thoi thóp thở Ngay lập tức, đưa đến bệnh vin cp cu

Thám tử Sê-Lốc-Cốc quay sang hỏi nhân viên cảnh sát :

- Cỏc anh có biết người phát vụ cướp khơng ?

- Dạ thưa, có ! Người phát vụ người gọi điện báo cho chúng tơi vào lúc gần

s¸ng

- Người ?

- Thưa thám tử, người chàng niên sống hộ tòa nhà đối diện

- Anh mời đến ! - Vâng, mời !

Mấy phút sau, người niên có mặt

- Xin chào thám tử ! Tơi Pen, sống tịa nhà đối diện Ngài muốn gặp ?

- Chào anh Pen ! Cảm ơn anh gọi điện báo cho ! Tôi muốn hỏi thêm anh vài chi tiết, anh sẵn lòng ?

- Thưa thám tử ! Thấy người bị nạn, báo cho cảnh sát chuyện bình thường thơi mà ! Tơi vui lòng giúp thám tử điều tra vụ cướp táo tợn !

- Xin hỏi, có phải vào quãng 23 đêm hôm qua anh tận mắt trơng thấy người đàn ơng tóc vàng nhà ?

- Th­a, v©ng ! ChÝnh mắt nhìn thấy ! Anh ta dong dỏng cao, có râu, đeo kính đen

17

l KÕt qu¶ : (TTT2 sè 36)

- Chắc tối anh nhìn sang nhà cô gái ?

- Thưa, không ! Tối qua tình cờ nhìn sang mà !

- Anh có nhìn rõ mặt tên cướp khơng ? - Có ! Rèm cửa bị kéo nửa, kính cửa sổ suốt nên tơi thấy rõ !

Chỉ nghe tới đây, thám tử Sê-Lốc-Cốc nghiêm mặt, nhìn thẳng vào Pen :

- Anh Pen ! Anh có biết bịa đặt tội lớn khơng ? Lời kể anh hoàn toàn gian dối

ThÊy Pen vÉn tá ngơ ngác, thám tử Sê-Lốc-Cốc nói thêm :

- Mời anh đồn, cần lời khai trung thực anh ! Nếu ngoan cố, tội anh nặng !

Người niên tên Pen cúi gằm mặt Các nhân viên cảnh sát chưa hiểu thám tử Sê-Lốc-Cốc lại nhanh chóng kết luận Còn thám tử “Tuổi Hồng” thỡ sao, cú oỏn khụng ?

Đủ sáu sè, më kÐt vµng

Phút, giây - bốn số rõ ràng Kim chẳng khó, bạn Một mười ba thơi

M· két xác chẳng sai -132716 !

ú l câu trả lời thơ bạn Lê Minh Hoàng (Hải Phịng) Rất nhiều bạn khơng làm thơ có đáp án Tuy nhiên, không ý chi tiết “tướng Mắc tuổi cao, trí nhớ kém, mật mã phải thật dễ nhớ” nên số bạn có cách phân tích “rắc rối” đổi 27 phút thành giây, coi 60 phút (suy mật mã 602716), tìm xem chữ số biết cách đơn vị cách theo quy luật thêm chữ số vào để chữ số mật mã v.v Những câu trả lời chưa xác khơng hợp lơgic câu chuyện Phần thưởng trao cho năm bạn sau : Phạm Đức Anh, 6A, THCS Thanh Thủy, Thanh Thủy,

Phú Thọ ; Lê Minh Hoàng, 6A6, THCS Lng Khỏnh Thin, Kin An,

Hải Phòng ; Lê Thị Quyên (con bố Học), xóm 8, thôn 10, Xuân Quan, Văn Giang, Hưng Yên; Nguyễn Thu Trang, mẹ Nguyễn Thị Thiềng, phòng Tổ chức cán bộ, công an tỉnh Thanh Hóa, Thanh Hóa; Võ Thành Văn, 9A, THCS Quách Xuân Kì, Bố Trạch, Quảng Bình

18

ÁP DỤNG NGAY !

TTT2 số 35 có hướng dẫn giải câu 5, đề thi vào 10, THPT chun Lê Q Đơn, Bình Định, năm học 2005-2006 (tính tổng S12 23  n(n1)) sau :

V× k(k1) kk2, ta cã

S(1 2  n) (1222 n2) (1) Bằng phương pháp quy nạp theo n, với n* ta chứng minh

(2)

vµ (3)

Tõ (1) ; (2) ; (3) suy :

Ngay TTT2 số tiếp theo, bạn Lê Hữu Điền Khuê lại nêu phương pháp tính tổng “rất mạnh” Tơi tự hỏi tổng có tính phương pháp khơng lời giải có ngắn lời giải khơng (vì lời giải phải quy việc chứng minh (2) (3) tổng chưa biết nên lời giải đầy đủ dài dịng) ? Tơi tính tổng Sngắn gọn sau :

Ta cã

Suy S12 23  n(n1)

VËy

Ngoài ra, bạn chứng minh (2) (3) theo phương pháp

Chøng minh (3) :Ta cã Suy 2 3  n

Đề nghị bạn chứng minh (2) theo phương pháp trên, xem tập

0 1 2 3

2 2 2

( 1) ( 1) ( 1).

2 2

n n n n n n

     

       

  

  

( 1) ( 1) ( 1) ( 1).

2 2

n n n n n n

n n         

( 1)( 2). n n n

S  

( 1) ( 1) ( 1)( 2)

3

( 1)( 2)

n n n n n n

n n n

   

 

 



( 1) ( 1) ( 1)( 2).

3

k k k k k k

  

( 2) ( 1) ( 1) ( 1)

3

k k

k k k k   

( 1) ( 1)(2 1) ( 1)( 2).

2

n n n n n n n n

S       

( 1)

1

2 n n

n 

   

2 2 ( 1)(2 1)

1

6

n n n

n  

   

0 2 3

3 3

       

      

19

TRẬN ĐẤU THỨ HAI MƯƠI TÁM TRẬN ĐẤU THỨ BA MƯƠI

Chỉ có hai võ sĩ bước lên sàn đấu đồng đăng quang trận đấu này, hai anh em Hoàng Việt ánh(lớp 8A) Hoàng Thanh Nga, THCS Thanh Cường, Thanh Hà, Hải Dương Lời giải hai võ sĩ Ngavà ánhcó ý tưởng hay trình bày chưa tốt Xin giới thiệu với bạn đọc lời giải hai võ sĩ (đã sửa chữa) :

Lời giải.Gọi OA, OB, OClần lượt tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC, COA, AOB Gọi A1, B1, C1 lần

lượt điểm đối xứng O qua OA, OB, OC

DÔ thÊy : AB1C1, BC1A1, CA1B1

Theo giả thiết X, Y, Zlần lượt điểm cung , , đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC, COA, AOB

Suy A1X, B1Y, C1Z phân giác tam giác A1B1C1  A1X, B1Y, C1Z đồng quy Gọi điểm đồng quy chúng K

DÔ thÊy :

Suy X, Y, Z thuộc đường tròn đường kính OKO, X, Y, Z thuộc đường tròn

Li bình.Kiến thức sử dụng lời giải đơn giản cách sử dụng kiến thức lại khéo léo Sự xuất tam giác A1B1C1và điểm Kquả sáng tạo

Ngun Minh Hµ

   90o

OXK OYK OZK  



AOB



COA



BOC

lNgười thách đấu

Nguyễn Minh Hà, ĐHSP Hà Nội lBài toán thách đấu

Cho tam giác ABC Các đường phân giác AA’, BB’, CC’đồng quy Ivà theo thứ tự cắt cạnh BC, CA, ABtại A’, B’, C’ Giả sử bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IA’B’, IA’C’

Chøng minh r»ng : ABAC lXuÊt xø

Đề thi chọn đội tuyển Toán thi học sinh giỏi quốc gia năm học 2004 -2005 khối phổ thông chuyên, ĐHSP Hà Nội

20

MỘT DẠNG TỐN RÚT GỌN BIỂU THỨC

Bài tốn rút gọn biểu thức có nhiều dạng Bài viết muốn luyện tập, củng cố cho bạn dạng đề cập đến sách giáo khoa (SGK) Toán lớp 9, phần bậc hai

l Chúng ta 66 (trang 34, SGK Toán 9, tập 1, NXBGD):

Bài toán

Giá trị biểu thức (A) ; (B) ; (C) 4 ; (D) Hãy chọn câu trả lời

Bằng cách quy đồng mẫu số hai phân số biểu thức, ta nhẩm giá trị biểu thức (câu trả lời (D)) Tuy nhiên, ta nhìn số dạng khác nhận

(*) ta có Đẳng thức (*) phát biểu mở rộng nội dung 71 (trang 14, sách tập Toán 9, tập 1):

Bài toán 2.Chứng minh đẳng thức (1) với nlà s t nhiờn

Đẳng thức (1) tiếp tục mở rộng sau :

(2) (với n, dlà số tự nhiên dkhác 0)

lSau õy số tập để ôn luyện dạng toán rút gọn biểu thức cách sử dụng đẳng thức (1) (2)

Bài toán Cho n số nguyên dương, rút gọn biểu thức

Lời giải.áp dụng (1) ta có

Bi 72.trang 14, sách tập Toán 9, tập trường hợp toán 3với n4 ; Bài 74.lại khỏc mt chỳt :

Bài toán 4.Rút gọn

Lời giải.Đẳng thức (1) tương đương với áp dụng vào tốn ta có :

Tương tự tốn 3, ta phát biểu chứng minh toán tổng quát

1 1

2

1 1

6

( 1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 7) ( 8) 1

    

   

   

   

       

      

     

1

1 ,

1

  

 

n n

n n

1 1

1 2 3 4

1 1 .

5 6 7 8

   

   

   

   

2

1

       

  

A n n

n

1 .

2

   

   

A

n n

  

 

d

n d n

n d n

1

1

  

 

n n

n n

1 ( 4 3) ( 4 3) 4.

2 2       ( 4 3)( 4 3) 1

2

2

1

2 2 

21 toán

Bài toán Rút gọn biểu thức Lời giải áp dụng (2) với d2 ta có

Bài toán Rút gọn biểu thức Lời giải áp dụng (2) với d3 ta có

lBài tËp vËn dơng

H·y rót gän c¸c biĨu thøc sau :

1 1

1) ;

4 25 22

1 1

2)

1 5 21 25

  

  

  

  

1

4 25 22

1 3

3 16 13

1( 16 13)

16 1 1.

3

  

  

 

     

  

 

      

 

  

1 .

4 1 7 4  25 22

2 2

3

3

9

  

   

       

    

2 2 .

3 1 5 3 7 5 9

Theå lệ thi

THẾ GIễÙI QUANH TA Đơn vị tổ chức : Công ty Bản đồ -Tranh ảnh Giáo khoa Tạp chí Tốn Tuổi thơ, thuộc Nhà xuất Giáo dục

Mục đích thi : Tạo sân chơi tìm hiểu kiến thức qua đồ tranh ảnh giáo khoa

Đối tượng dự thi : Tất học sinh bậc THCS THPT

Hình thức dự thi : Cuộc thi kéo dài 10 tháng, tháng có câu đố đăng tạp chí Tốn Tuổi thơ từ tháng đến tháng 12 năm 2006 Bài dự thi giải câu đố gửi Công ty Bản đồ -Tranh ảnh Giáo khoa (45 Hàng Chuối, Hà Nội) Thời hạn gửi không 30 ngày kể từ ngày phát hành Tạp chí (ngày 15 hàng tháng)

Giải thưởng :

+ Từng thángđều có tặng phẩm cho 10 cá nhân đơn vị (danh sách bạn thưởng kì đăng với đáp án cách sau kì)

+ Tổng kết 10 tháng gồm có 18 giải cá nhân giải tập thể (cho đơn vị lớp trường có nhiều dự thi đạt chất lượng tốt) :

l3 giải cá nhân, giải trị giá 1.000.000 đồng

l giải nhì cá nhân, giải trị giá 400.000 đồng

l giải ba cá nhân, giải trị giá 200.000 đồng

l giải tập thể, giải trị giá 1.000.000 đồng

l giải nhì tập thể, giải trị giá 500.000 đồng

l giải ba tập thể, giải trị giá 300.000 đồng

Các cá nhân tập thể đạt giải nhận Bằng chứng nhận Ban Tổ chức Rất mong bạn đọc tích cực hưởng ứng tham gia thi

22

giải toán máy tính điện tử

TH TÀI

Bµi (1)

(1) (2)

(3) (4) Vì y số nguyên nên y2 phải chia hết cho 7920 Mà 7920 24.32.5.11 nên ychia hết cho 22.3.5.11, tức ychia hết cho 660

Do (4) x3960 nên y3960 VËy ychØ cã thÓ b»ng ; 660 ; 1320 ; 1980 ;

2640 ; 3300 ; 3960

Tõ (4) suy Thay yb»ng

các số dùng máyta tìm xtương ứng : 1980 ; 2035 ; 2200 ; 2475 ; 2860 ; 3355 ; 3960 thỏa mãn phương trình cho Nhận xét Một số bạn tìm cặp nghiệm(x, y), cặp nghiệm số tự nhiên, quên trường hợp x1980 ; y0 nên không đạt điểm tối đa

Bài 1) Thay giá trị ; ta hệ phương trình ba ẩn

Giải hệ (trên máy phương pháp thế, cộng đại s) ta c

P(x) x37x24x5

Từ ta cã ( )2 155 ; P(9)  121 27

P 

2 19

9 12 16 95

5 25 112

a b c

a b c

a b c

             

3 407 561

( ) ; ( )

4 64 125

P  P 

1 39 ( )

2

P 

2 39602

7920 y x   7920 39602

y x

  

2 2

3960

7920 3960 (3) x

x y x x

   

   



2 3960

x y x

   

2

0

2 7920 (2)

x y x y

x x y             7920 x y  x y 

Bài 1.Tìm chữ số thứ 7774sau dấu phẩy số viết dạng thập phân Trần Văn Ngọc Tân (11/1, THPT Hoàng Diệu, Điện Bàn, Quảng Nam) Bài 2.Cho S181 ; S2S1225 ; S3S1S2625 ; S4S1S2S31521 ; S5S1S2S3S43249 ;

1) Viết quy trình bấm phím liên tục tính Sn; 2) Tính S25; S50; S100

Nguyễn Thành Tâm (Lớp Toán 2C, Đại học Sư phạm Huế)

Bài 3.Một số tự nhiên nđược gọi tốt tồn k số tự nhiên a1, a2, , ak (không thiết khác nhau) cho a1a2 aknvà

1) Chøng minh r»ng : NÕu nlµ sè tèt, th× 2n 2 ; 2n8 ; 2n9 ; 3n6 ; 3n8 ; 4n6 ; 4n13 ; 6n5 cịng lµ sè tèt;

2) Trong số tự nhiên từ đến 23, loại trừ 17, 21, 23, tìm số tốt;

3) Chứng minh rằng, tất số tự nhiên lớn 23 số tốt;

4) Bạn có biết cách (thí dụ, lập trình Pascal) để xem số 19, 21, 23 có phải số tốtkhơng ?

1

1 1 k a a  a 77

74

l Kì này

lKÕt qu¶ (TTT2 sè 36)

(2)

23 vµ Q(x) x410x340x2125x 121

2) Sử dụng sơ đồ Horkner ta tính Q(x) (x3x251x436)(x11) 4917

3) R(x) P(x) Q(x)

(x2)(x3)(x24x21) Do (x2)(x3) lµ tÝch hai số nguyên liên tiếp chia hết R(x) chẵn với xnguyên

Bi 3.(Nhiều bạn phát đề un3un1là sai v ó sa li cho ỳng l un3un1)

Đây nhiều quy trình tính un Tính Casio fx-500MS:

1

Lặp lại d·y :

2 nhê

Trªn Casio fx-570MS:

1

4

3

Kết : u10115248 ; u11537824 ; u121613472 ; u137529536 ; u1422588608 ; u15105413504 Nhận xét.Rất nhiều bạn làm hết Nhiều bạn đưa cách giải tốn hay quy trình bấm phím ngắn gọn đáp án Điều chứng tỏ bạn có kiến thức toán học vững khả sử dụng máy tính điện tử thành thạo sáng tạo Các bạn thưởng kì Nguyễn Minh Loan, 9E, THCS Thân Nhân Trung, Việt Yên, Bắc Giang; Nguyễn Minh Công, 7A11, THCS Giảng Võ, Hà Nội; Vũ Đức Anh, Đội 10, thôn Phù Tải 2, Thanh Giang, Thanh Miện, Hải Dương ; Nguyễn Thị Hồng Phát, 9A1, THCS Tân Xn, Đồng Xồi, Bình Phước; Nguyễn Anh Tú, 8B, THCS Lí Nhật Quang, Đơ Lương, Nghệ An

TS Tạ Duy Phượng

 COPY SHIFT  B STO SHIFT A ALPHA A STO SHIFT A ALPHA  B ALPHA B STO SHIFT A STO SHIFT   A STO SHIFT  A ALPHA     A STO SHIFT   

Khi học phổ thông, đọc tài liệu nhận thấy việc thiết lập bước giải tốn quỹ tích phương pháp thuận đảo không thống có hay khơng có thao tác “giới hạn” Việc làm cho “lúng túng” Gần đây, đọc “Vĩnh biệt giới hạn” TS Nguyễn Minh Hà, in TTT2 theo tơi vấn đề trở nên sáng tỏ Nhưng sau lại có ý kiến cho “Không thể vĩnh biệt giới hạn” (TTT2 số 34)

Suy xét lại vấn đề nhận thấy tốn quỹ tích tốn tìm tập hợp điểm, từ nhìn góc độ lí thuyết tập hợp vấn đề gii quyt rừ rng :

Tìm quỹ tích điểm M có tính chất (M()) tìm hình gồm tất điểm M() hay = {M()}

Theo lÝ thut tËp hỵp, = {M()}

Khơng khác, hai bước giải tốn quỹ tích phương pháp thuận đảo :

PhÇn thuËn : NÕu M() th× M 

(suy M()  ) ;

Phần đảo :Nếu M M() (suy M())

Như vậy, để chứng minh = {M()} cần hai bước thuận đảo đủ, TS Mguyễn Minh Hà khẳng định Cũng xin nói thêm rằng, lí thuyết tâp hợp đại số công cụ xây dựng khám phá hình học ( ) ( ) M M         

VĨNH BIỆT “GIỚI HẠN” NHÌN DƯỚI GĨC ĐỘ CỦA LÍ THUYẾT TẬP HỢP

24

CÒN HAI LỜI GIẢI KHÁC

Các bạn hẳn cịn nhớ tốn 1, kì thi Tốn quốc tế lần thứ 46 Mê-hi-cơ, tháng 7/2005 (nội dung trận đấu thứ hai mươi ba)

ởkết trận đấu (TTT2 số 33), giới thiệu lời giải nhà giáo Nguyễn Đức Tấn “bật mí” cịn tiếp tục giới thiệu hai lời giải khác Cơ hội để thực lời hứa đến, bạn theo dõi hai lời giải

Trước hết, đọc lại toán : Cho tam giác ABC Các cặp điểm A1, A2; B1, B2; C1, C2theo thứ tự thuộc cạnh BC, CA, AB cho lục giác A1A2B1B2C1C2 lồi có cạnh Chứng minh đường thẳng A1B2, B1C2, C1A2đồng quy

Lêi gi¶i Đặt XA1C2B1A2; YB1A2C1B2; ZC1B2A1C2(hình 1)

Hình Theo giả thiÕt :

BCA1A2CAB1B2ABC1C2m Dựng tam giác A’B’C’ có cạnh m Trên B’C’, C’A’, A’B’lần lượt lấy điểm X’, Y’, Z’ cho B’X’ BA1 ; C’Y’CB1; A’Z’AC1(hình 2)

H×nh

Ta thÊy : B’X’Z’ BA1C2(c.g.c) ;

C’Y’X’ CB1A2(c.g.c) ;

A’Z’Y’ AC1B2(c.g.c)

Suy X’Z’  A1C2 ; X’Y’  B1A2 ; Z’Y’C1B2 Từ đó, với ý A1C2

B1A2C1B2, ta có tam giác X’Y’Z’đều

Tương tự ta có

Suy tam giác XYZđều  B2A2B1 B2C2C1(c.g.c) B2A2B2C2A1B2 trung trực A2C2 Tương tự ta có B1C2, C1A2theo thứ tự trung trực B2A2, C2B2

Tóm lại : A1B2, B1C2, C1A2đồng quy Lời bình.Lời giải dài so với lời giải thầy Tấn Tuy nhiên, lại có ưu điểm sau :

+ Chỉ dùng kiến thức hình học + Sự xuất tam giác A’B’C’ đặc sắc

(K× sau đăng tiếp)

o

1 60

B YB 

  

    

o

1 2

o

1 2

o

o

Suy 180

180

180 ' ' ' ' ' ' ' ' ' 60

A XA XA A XA A

BA C CA B B X Z C X Y Z X Y

  

  

  

 

25

KÕt qu¶

(TTT2 số 36)

1 Đo trí thông minh

Bi : Nếu bạn tìm hình số hình A, B, C, D hình khơng “cùng loại” với hình cịn lại, soạn tin nhắn trả lời theo mẫu 3T2 IQ B1 tên hìnhgửi đến số 986

Ví dụ :Nếu bạn thấy hình A hình cần loại bỏ, soạn tin nhắn 3T2 IQ B1 A gửi đến số 986

Bài : Cũng Bài 1, soạn tin nhắn trả lời theo mẫu 3T2 IQ B2 tên hình gửi đến số 986

Ví dụ :Nếu bạn thấy hình B hình cần loại bỏ, soạn tin nhắn 3T2 IQ B2 B gửi đến số 986

2 Kh«ng văn

Bn hóy tỡm t thớch hp để sửa từ “nỗi niềm”trong câu thơ “Nỗi niềm ruộng hạn

mùa hè”cho thật chuẩn soạn tin nhắn trả lời theo mẫu 3T2 V đáp ángửi đến số 986

Ví dụ : Nếu đáp án bạn “nơm nớp”thì bạn nhắn tin 3T2 V NOMNOP gửi đến số 986

3 Vào thăm vườn Anh Bạn giải câu đố kì soạn tin nhắn trả lời theo mẫu 3T2 VA đáp ángửi đến số 986

Ví dụ :Nếu đáp án bạn “pen”thì soạn tin 3T2 VA PENgửi đến số 986

4 Rừng Cười

Bạn giải đáp câu “Sơng tưởng nhỏ tí ti ?” soạn tin nhắn trả lời theo mẫu 3T2 RC đáp ángửi đến số 986

Ví dụ :Nếu đáp án bạn “La”thì soạn tin 3T2 RC LAgửi đến số 986

Kì này

- Giải đặc biệt :200.000 đồng Đàm Cơng Thn, 9C, THCS Thanh Bình, phường Thanh Bình, TP Hải Dương, Hải Dương (số máy 0915773065) ;

- Giải khuyến khích :100.000 đồng Nguyễn Minh Thập, 9A, THCS xã Dân Chủ, Hưng Hà, Thái Bình (số máy 0915256164) ;

2 Lê Chí Cường, 6A, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc (số máy 0988826049) ;

3 Cao Thanh LÞch, 7D, THCS Phan Chu Trinh, Ngọc Khánh, Ba Đình, Hà Nội (số máy 0912621953)

Thi giaỷi toaựn qua thử Các bạn thưởng kì này

26

Problem E14. (Proposed by Vu Van Duy, Viet Hong, Thanh Ha, Hai Duong)

In a meeting there are 47 men and ladies Mrs Le knows 16 men, Mrs Dao knows 17 men, Mrs Hoa knows 18 men, ., and Mrs Hue, the last lady in the meeting, knows all the men present in the meeting How many men and ladies are there in the meeting ?

English version translated by Pham Van Thuan

lremainder :số dư (danh từ) lmultiple : bội số (danh từ) ldigit :chữ số (danh từ) lIn addition :Thêm vào đó,

lrightmost digits :nh÷ng ch÷ sè tËn cïng

Solution E12.

The rightmost digits of a positive integer is its remainder when the integer is divided by 100000 We can observe that 20052006 

(2000  5)2006  20002006  2006.20002005.5

 2006.2000.5200552006, which is equal

to the multiple of 100000  52006 In addition, 52006 (58)250.56

90625250.15625 (mod 100000).

Note that 90625 90625.90625 (mod 100000), which implies

5200690625.15625 15625 (mod 100000).

Therefore, the rightmost five digits of number

20052006is 15625. bày lời giải gọn hơnNhận xét.Có nhiều cách trình nếu dùng phép đồng dư Nhiều bạn cho đáp số sai, có bạn cho đáp số lại lập luận có chỗ “vội vàng”, ví dụ (2000 5)20062000.5.k 52006

 52006 (mod 100000) Rất tiếc rằng có số bạn làm đúng nhưng diễn đạt tiếng Anh chưa đạt yêu cầu Kì này, TTT2 trao thưởng cho bạn Mai Trung Nghĩa, 9B, THCS Lê Hữu Lập, Hu Lc,

Thanh Hóa Các bạn hÃy cố gắng thêm chút nữa, TTT2 mong sẽ khen nhiều bạn hơn trong số tiếp theo.

27

lKÕt qu¶ :

(TTT2 sè 36)

NHẦM CHỖ HẾT RỒI !

l Kì :

Bài trả lời kì có nhiều “món lạ chẳng ngon” VD : Bạn NNKH (Phú Yên) DNPL (Vĩnh Phú) nấu “hành tần” Các tần (hấp cách thủy cho chín nhừ) thích hợp với gà, vịt, chim, Cịn hành tần nát nhừ mất, chẳng lấy đâu “củ trắng” “thích” Những ăn ngon sửa :

Gà luộcchín tới thật ngon Vịt hầmvừa đâu phải chê

Giò viên, tôm chiên, bóng bì Cá, rau, đậu, thịt nấuthì tuyệt ngon

Bánh đa nem ránthật giòn Thịt bò hầmhẳn mùi bay xa

Trong tiếng Việt có nhiều từ láy vần N chúng “tụ tập” “đông đúc” thơ Tuy nhiên, có lẽ “đơng vui” nên chúng đứng nhầm chỗ hết Các bạn sửa lại ?

Nói non lƠ phÐp nhĐ nhµng

Nấu nướng tính cách vội vàng hỏng Năng nổ đâu phải điều hay

Niềm nở mong mỏi No nê hoạt động tiến lên

Nịnh nọt ý chí khơng bền tâm Nấn ná tiếp đón ân cần

Nãi có ăn tuyệt vời Nứt nẻ trẩy hội chơi

Nao núng biển cả, chân trời mênh mông Nơm nớp ăn uống xong

Nụ nc ch i, cha xong cha v

Nỗi niềm ruộng hạn mùa hè Nông lo sợ, tai nghe mắt nhìn

Phan Th Linh (Con b Phan Vn Lí, thơn Giai, Sơn Hà, Hương Sơn, Hà Tĩnh) Sườnninh lu tht m

Hành muối chua, củ trắng mà thích ghê Thịt xào hành tâymiễn chê

Nem tai trộn thínhmà mê lịng người Chân giị hầm măngtuyệt vời

Chim quaylạ mn người ưng Lạc rang rắc nộmthơm lừng

B¸nh ch­ng luéc kÜch­a tõng quên Những bạn giải kì : Vũ Ngọc Tiến, 8B, THCS Nguyễn Chích, Đông Sơn, Thanh Hóa; Vũ Thị Thu Hà, 6C, THCS thị trấn Quỳnh Côi, Quỳnh Phụ, Thái Bình ; Phan Thị Minh Tâm, 12B2, THPT bán công Việt Trì, Phú Thọ

28

Trần Đăng Khoa :

Khip ! Em làm anh đến hoa mắt Toàn câu hỏi hóc búa Để trả lời câu hỏi em, có lẽ phải viết sách Mà có người viết Đó nhà phê bình nghiên cứu Nguyễn Đăng Mạnh Ơng có sách hay : Nhà văn- Tư tưởng phong cách

Thực tình, làm thơ, viết văn, anh chẳng có ý thức đâu Thích viết Đơn giản thơi em Chỉ có điều, viết viết nghĩ, khơng a dua bắt chước Viết theo cách nghĩ mình, lại kể giọng thành độc đáo, nghĩa khơng giống với Chỉ có giọng điệu riêng thành Cịn chạy theo người này, người khác, hay bắt chước theo đó, mn năm chẳng thành Điều khơng phải văn chương mà âm nhạc Xem MTV, mở

chương trình mình, xem ca sĩ mình, ca sĩ trẻ, bước lên sân khấu, thấy có quen quen, xem Chán Các bạn mê ca sĩ đó, cố bắt chước, lặp lại từ màu tóc, quần áo, động tác, cách nhả hơi, láy chữ Nghĩa tự biến thành rối, hay photocopy Thế cịn chán

Anh chúc em thành bút độc đáo Cám ơn em quý anh Khoa Cần đọc nhiều để tham khảo Nhưng viết phải quên tất Đừng học theo lão Khoa Lão chẳng đinh Em thử tâm niệm Anh tin em có trang viết độc đáo Độc đáo chẳng giống

Anh Khoa ¬i !

Em đọc anh chi nhiều Em thấy anh độc đáo Như cô giáo em bảo, anh bút ln có phong cách riêng Vậy anh có ý thức rèn luyện để có bút pháp riêng không ? Cách học anh ? Làm để có giọng điệu riêng ? Bày cho em Em học theo cách anh

29 l KÕt qu¶ :

Ơ chữ : ĐỊA LÍ(TTT2 sè 36)

WHAT IS IT ?

Kì :

CệễỉI TRONG VệễỉN ANH Vào thăm Vườn Anh kì hẳn

các bạn nhận điều : cần dành nhiều thời gian quan tâm cho mơn Địa lí ! Rất bạn tìm đáp án chữ khái niệm môn học Nhiều bạn nhầm lẫn khái niệm địa lí khái niệm thiên hc

Hàng ngang(từ xuống) : GORGE - §Ìo ; TIDE - Thđy triỊu ; MOUNTAIN - Nói ; LOUGH - Eo biĨn, vÞnh, hå ; DESERT - Sa mạc ; PLATEAU - Cao nguyên ; PAMPAS Đồng hoang ; WHIRLWIND -Giã lèc ; VALLEY - Thung lòng

Hàng dọc : GEOGRAPHY -Địa lí

Ch cú ba bạn đưa đáp án tương đối xác tặng thưởng kì : Phan Thị Thanh Thảo, 8A, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Hồ Xuân Anh Ngọc, 91, THCS Nguyễn Tri Phương, TP Huế, Thừa Thiên - Huế ; Lương Xuân Huy, 9A, THCS Tiên Lữ, Tiên Lữ, Hưng Yên

Chủ Vườn

- What’s worse than a giraffe with a sore throat ?

- A centipede with blisters

Hồng Bắc (NXB ĐHSPHN) What can you find

both in a triangle and a pentagon, but not in a square ?

30 l Kì :

(TTT2 sè 36) lKÕt qu¶ :

Sơng đỏ nặng phù sa ?

Sông dịch nghĩa hiểu chín rồng ? Sông quan họ sang sông ? Sông nghe tiếng ngựa lồng lên phi ?

Sụng gỡ tng nh tớ ti ?

Sông nghe thấy lạnh ghê ? Sông tình cảm bề ?

Sông no ấm chẳng chiến tranh ? Sông tên thật biếc xanh ?

Sơng điện sinh thành từ ? Sơng thơm ngát ngất ngây ? Sơng xứ Lạng sớm ngày thuyền qua ?

Sơng có trường ca ? Sơng chia cắt nước ta mt thi ?

Sông tên tỉnh ? Sông tít trời xa xăm ?

Sông muốn gửi nhà băng ?

Sông cháu phải nhắc lòng ? Thảo dân trăm họ giải xong

Gi v Vua Tu v mong chờ quà ! Nguyễn Thu Hòa (4B, TH Lâm Thao, Lương Tài, Bắc Ninh) Võ Thị Hải Sâm (8C, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An) Chú thích : Vua Tếu dựa vào hai hai bạn Hịavà Sâmđể thảo lại

Th¸nh chØ :

Con báo biết săn mồi Con khỉ làm xiếc hay ngồi

Con rng ci giú ci mây Con bò ăn cỏ nên hay đồng

Con gà tỉnh giấc rạng đông Con lợn béo ị nhng khụng vic lm

Con trâu cày kéo giỏi giang

Con ngựa nước đại đàng veo Con sóc lại hay leo trèo

Con chó trộm đến chạy theo cắn liền Con chuột đục khoét liên miên Con rùa chậm chạp hiền tâm

Con hổ chúa tể sơn lâm

Con giun o đất âm thầm năm Con ong làm mật chăm

Con sâu táo thường ăn ngày Thảo dân chăm hăng say

Gửi nhanh làm đúng, thưởng phần quà Ban thưởng : Nguyễn Quang Vũ, 7B, THCS Hoàng Xuân Hãn, thị trấn Đức Thọ, Hà Tĩnh ; Ngô Ngọc Khánh Huyền, 6C, THCS Trần Quốc Toản, TP Tuy Hòa, Phú Yên ; Nguyễn Thị Thảo, số ngõ 330 tổ 20, P Tiền Phong, TP Thái Bình, Thái Bình ; Lê Quỳnh Trang, số ngõ 353, Trần Hưng Đạo, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa; Diệp Thanh Vy, 6G, THCS Nguyễn Viết Xuân, TX An Khê, Gia Lai

Vua Tếu Sơng đỏ nặng phù sa ?

Sơng đỏ nặng phù sa ? Sơng đỏ nặng phù sa ? Sơng đỏ nặng phù sa ? Sơng đỏ nặng phù sa ? Sơng đỏ nặng phù sa ? Sơng đỏ nặng phù sa ? Sơng đỏ nặng phù sa ? Sơng đỏ nặng phù sa ? Sơng đỏ nặng phù sa ? Sơng đỏ nặng phù sa ? Sơng đỏ nặng phù sa ? Sơng đỏ nặng phù sa ? Sơng đỏ nặng phù sa ? Sơng đỏ nặng phù sa ? Sơng đỏ nặng phù sa ? Sơng đỏ nặng phù sa ? Sơng đỏ nặng phù sa ? Sơng đỏ nặng phù sa ? Sơng đỏ nặng phù sa ? Sơng đỏ nặng phù sa ? Sơng đỏ nặng phù sa ? Sơng đỏ nặng phù sa ? Sơng đỏ nặng phù sa ? Sơng đỏ nặng phù sa ? Sơng đỏ nặng phù sa ?

Con ngựa nước đại đàng veo Con ngựa nước đại đàng veo Con ngựa nước đại đàng veo Con ngựa nước đại đàng veo Con ngựa nước đại đàng veo Con ngựa nước đại đàng veo Con ngựa nước đại đàng veo Con ngựa nước đại đàng veo

Hỏi : Tầm tối em học vào ban ngày khơng chữ vào đầu Anh bảo em có nên “ngủ ngày, cày đêm” không ?

Trần Thị Khánh Linh (7/4, THCS Lê Quý Đôn, TP Hải Dương, Hi Dng)

Đáp :

Bệnh em nhiều bạn mắc Nhưng ngủ ngày lôi nhiều Mai vào thi liêu xiêu Hai mắt nhắm tít viết điều

gì ? Hỏi : Ngày x­a anh cã tham gia víi Hoa Häc Trß Anh trả lời thơ chẳng Chánh Văn, mà anh lại bị chuyển xuống làm Toán Tuổi thơ ? Anh thích làm đâu ?

Đặng Đình Hiếu (9B, THCS Phan Bội Châu, Tứ Kỳ, Hải Dương) Đáp :

Chắc lưng anh bị cịng Nên đầu “chuyển xuống”

thong dong dƠ làm Tuổi thơ anh bắt đầu ham Nên thơ xênh xang

hơn nhiều Hỏi : Tại anh lại trả lời thơ mà không trả lời văn ?

Nguyễn Cảnh Hà (6C, THCS Anh Sơn, Nghệ An)

Đáp :

Chánh Văn trả lời thơ Anh Phó lơ mơ mà

Th anh thy d vit “Thờ ơ” sợ người ta

bỏ ! Hỏi : Tại đề Rừng Cười lại khụng nhn c nhun bỳt ?

Thiên thần nhỏ bé (Hậu Lộc, Thanh Hóa) Đáp :

Đề bÊt cø trang nµo Cịng cã nhn bót, lÏ nµo

lại không ? Nếu mà ngóng, trông Ch­a thÊy nhn bót

xin thơng báo ! Hỏi :Một người biết cười người biết khóc sướng ai, hở anh ? Cún Con (Trường Trần Đại Nghĩa, TP Hồ Chí Minh) Đáp :

Khóc - Cười phải biết hai Những cần khóc

ai lại cười ? Nhưng mà sống đời Cười nước mắt người

sướng ! Hỏi : Văn Tốn mơn quan trọng ? Anh nhớ nói thật !

Người yêu Văn (THCS Trần ng Ninh, Nam nh)

Đáp :

Nay Văn nên có Toán Nhưng mà Toán

chớ thiếu Văn Toán gạo tám ta ăn Văn lát thịt thăn

b vo ! Hi :Số TTT2 kì trước, em chị em gửi đáp án, gửi lúc chị em thưởng, cịn em lại khơng Tại anh ?

Mini (14/80 Lý Tù Träng, P.7, TP Tuy Hòa, Phú Yên) Đáp :

Chị mà em lại không Trách anh ăn bất công

chứ ? Đáp án chẳng khác chi Nhưng lời chị viết

hay hn ! Xin em đừng dỗi,

đừng hờn

32

Bài 1(38).Giải phương trình

ngun anh hoµng (THCS Ngun Du, Qn I, TP Hå ChÝ Minh)

2

2 1.

 



x x

x

Bµi 2(38).Cho

trong x, y, zlà số nguyên x> y> z Chứng minh Alà số nguyên dương

ngun tÊn ngäc (THCS Nh¬n Mü, An Nh¬n, Bình Định)

4 4

2 2

( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( )

x y z y z x z x y A

x y y z z x

    



    

Bµi 3(38)

Cho ba số dương a, b, cvà T(x) x2004x20023 Chứng minh : T(a)T(b)T(c) 9(abbcca)

trần xuân đáng (THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định) Bài 4(38) Cho tam giác ABC có BC  cm, ACAB1 cm Gọi Ilà giao điểm đường phân giác tam giác, Hlà chân đường vng góc kẻ từ Iđến BC Tính độ dài HB, HC

NGND vị h÷u bình (Hà Nội) Bài 5(38).Cho tam

giỏc ABC vuụng A, ngoại tiếp đường tròn (I, r) Kẻ đường cao AH ; Gọi M trung điểm BC ; Q giao điểm AH MI; Evà F hình chiếu Atrên IBvà IC Chng minh rng AQEF

vi quốc dũng (ĐHSP Thái Nguyªn)

1(38).Solve the equation 2(38).Let

where x, y, z are integers satisfying x> y > z Prove that x, y, zare positive integers 3(38).Prove that if a, b, c> 0, and T(x) x2004x20023 then

T(a)T(b)T(c) 9(abbcca)

4(38) Given a triangle ABC with BC  cm, and AC  AB  cm ; let I be the intersection of three bisectors of the triangle, and let Hbe the foot of perpendicular from Ito BC Calculate HB, and HC

5(38).Let ABCbe a right-angled triangle with A90o Let (I, r) be the incircle of the triangle Let AHbe an altitude of the triangle, Qbe the intersection of AHand MI, and E, Fbe the projections of Aonto IBand IC Prove that AQEF

4 4

2 2

( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( )

x y z y z x z x y A

x y y z z x

    



    

2

2 1.

 



x x

x