Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 46

Bé V¨n Phßng Tø B¶o nµy ®ðîc xem nhð Ên kiÕm chØ trao vµo tay ai cã ®ñ tµi ®øc xøng ®¸ng lµm truyÒn nh©n nhÊt, vµ ngðêi ®ã trong ®êi còng chØ ®ðîc phÐp dïng bé V¨n Phßng Tø B¶o viÕt mét [r]

1 (TTT2 sè 44)

Yếu cẵu cựa ệÒ kừ nộy rÊt râ rộng : “hởy ệiỊn thếm cịc dÊu phĐp tÝnh ệĨ ệđĩc kạt quờ lộ 2006”, nghỵa lộ sỳ khềng ệđĩc sỏ dông cịc dÊu ngoẳc RÊt tiạc, chử cã hai bỰn khềng lỰc ệÒ vộ ệđa ệđĩc ệịp ịn ệóng sau : 98 76 5432 10 2006

Ngồi ra, bốn bạn khác (trong nhóm lạc đề) có số đáp án

Sau số đáp án khác : 654 21 2006 ; 654 10 2006 ;

9 654 2006 ;

0 345 2006 ; 345 2006

Cịc bỰn ệđĩc thđẻng kừ thi nộy lộ NguyÔn ậục Viỷt, 9C, THCS Liến Bờo, TX Vỵnh Yến, Vỵnh Phóc ; ậinh Thỡ Phđểng Thờo, 7A2, THCS Vò Họu, Bừnh Giang ; Trđểng Thộnh Cềng, 9/3, THCS Lế Quý ậền, TP Hời Dđểng, Hời Dđểng ; Lđu TuÊn Anh, mứ lộ Miến, xãm 11, Nghi Trung, Nghi Léc, Nghỷ An ; Vò Thỡ Bờo Ngảc, 7A, THCS Kiạn Quèc, Kiạn Thôy, Hời Phưng

Anh Compa Dùng chữ số từ đến

ệÓ lẺp cịc sè cã chọ sè khịc Hởy tÝnh tững cựa tÊt cờ cịc sè lẺp ệđĩc

Thịi nhẺt phđĩng (THCS Cam Nghỵa, Cam Ranh, Khịnh Hưa)

Kết thi THẾ GIỚI QUANH TA

Cịc cị nhẹn vộ tẺp thÓ xuÊt sớc nhÊt ệđĩc trao tẳng phÈm kừ nộy lộ Lế Minh Hoộng, 7A6, THCS Lđểng Khịnh Thiỷn, Kiạn

An, Hời Phưng; Lế ChÝ Tội, 7G, THCS ậẳng Thai Mai, TP Vinh, Nghỷ An ; Lế Quèc Anh, 4B, TH ậềng NgỰc B, Tõ Liếm, Hộ Néi;PhỰm Xuẹn ậục, xãm 7, thền Do Nghỵa, Nghỵa An, Ninh Giang, Hời Dđểng;Vò Vẽn Pho, 12 Vẽn, THPT chuyến Thịi Bừnh, Thịi Bừnh; Vò Thu Hộ, 7A1, THCS Hai Bộ Trđng, TX Phóc Yến, Vỵnh Phóc ; Ngun Huỷ Anh, 42 Lế Q ậền, Si Hoa, TP Bớc Ninh, Bớc Ninh ; NguyÔn ậừnh Thi, 9B, THCS Trẵn Quèc Toờn, TP Tuy Hưa, Phó Yến ; Lế Hoộng Vẽn, 37/1 hĨm A1, Hoộng Diỷu, Vỵnh Nguyến, Nha Trang,Khịnh Hưa ;Cỉ Thỡ i Lế, 7/4, THCS Lế Vẽn Thiếm, TX Hộ Tỵnh,Hộ Tỵnh;TẺp thÓ lắp 8A6, THCS thỡ trÊn Thắi Bừnh, Cộ Mau ; TẺp thÓ trđêng THCS bịn cềng Xuẹn Diỷu, Can Léc, Hộ Tỵnh ; TẺp thÓ trđêng THCS Trđng Vđểng, Mế Linh, Vỵnh Phóc

2 ẻ ngđêi ham thÝch giời toịn thừ viỷc thÊy thÝch thó, tẹm ệớc vắi mét lêi giời, mét bội toịn nộo ệã lộ ệiÒu hạt sục hiÓn nhiến Bẻi ệèi vắi thừ giời xong mét bội toịn mắi lộ “bđắc 1”, sù “sung sđắng”, ệđêng dÉn ệạn nhọng thÝch thó, tẹm ệớc nỪm chự yạu ẻ cịc bđắc tiạp theo, ệã lộ từm nhọng cịch giời khịc cho bội toịn, nhẺn xĐt ệđĩc đu nhđĩc ệiÓm cựa tõng cịch giời hay cịc khÝa cỰnh khai thịc, ụng dơng cựa chóng, ệẳt vộ giời quyạt nhọng bội toịn mắi, nhọng vÊn ệÒ mắi cã liến quan

TỰo ệđĩc thãi quen tiạp cẺn bội toịn nhđ vẺy thừ cã thÓ bỰn còng sỳ trẻ thộnh ngđêi giái toịn vộ ham thÝch giời toịn

Sau tốn hình học phẳng đôi điều tâm đắc từ tốn

Bội toịn Cho tam giịc ABC néi tiạp ệđêng trưn ậđêng trưn 1 tiạp xóc vắi AB, BC vộ lẵn lđĩt tỰi P, Q, R Gải K lộ tẹm ệđêng trưn néi tiạp tam giịc ABC Chụng minh rỪng

Chøng minh

Tõ h×nh vẽ ta thấy

thì RK phải qua điểm

Gi s ờng thng RK cớt ệđêng trưn tỰi ệiÓm thụ hai lộ E, suy ậẹy lộ mét hđắng chụng minh cựa bội toịn

Gải M, N lẵn lđĩt lộ trung ệiÓm cựa cịc cung Suy KchÝnh lộ giao ệiÓm cựa AM, CN (cịc phẹn giịc cựa cịc gãc

)

Vẽ tiếp tuyến chung 1(tạiR), cắt BC D Ta có DQ DR tam giácRDC,BDRđồng dạng có chung góc

D vµ (g.g) Suy

RQlà phân giác R, Q,M thẳng hàng

Tđểng tù ta cã RP lộ phẹn giịc cựa vộR, P, N thỬng hộng

Dễ thấy tam giác BQR, MCR đồng

d¹ng (g.g), suy (1)

Ta cã :

suy tam gi¸c MCK cân

tạiM MK MC (2) Ta lại cã BP BQ (3) Tõ (1), (2), (3) suy

Mặt khác, ABR AMR (hai góc nội tiếp

BP BR MK MR KCM CKM 2

ACB BAC CKM KCA KAC

;

2

ACB BAC KCM KCB BCM

BQ BR MC MR ARB

BRC

RC DC QC RB DR QB

;

DR DC DQ DC DQ DC QC DB DR DB DQ DB DQ QB

RBD RBC CRD

,

BAC ACB

,

BC AB

AE CE

ABC

ARK CRK

ARK CRK

3 cïng ch¾n mét cung) hay

suy tam giác BPR,MKRng dng

(E trung điểm ) (đpcm)

Lðu ý Ta cịn chứng minh R, Q, M thẳng hàng tam giác MCK cân M theo cách khác đơn giản :

QthuộcRMhayR, Q, M thẳng hàng ;

Suy tam giác MCK cân M

1) Thấy c tm quan trảng cựa viỷc vỳ thếm tiạp tuyạn chung vắi hai ệđêng trưn vộ 1tỰi R, cớt BCtỰiD

2) TÝch lịy ệđĩc mét phđểng phịp chụng minh ba ệiĨm thỬng hộng, sỏ dông tÝnh chÊt cựa ệđêng trưn (ba ệiĨm R, Q, M)

3) Phán đốn P, K, Q thẳng hàng ba điểm R, P,N ;R,Q, M; A,K,M;C,K,Nđều thẳng hàng Nếu điều ta thấy K trung điểm PQ vàBKvng góc với PQ

Giờ sỏ phẹn giịc cựa cớt PQtỰiH, nạu chụng minh ệđĩc H trỉng vắi K thừ ệăng thêi suy ệđĩc P, K, Q thỬng hộng vộ ậẹy chÝnh lộ hđắng chụng minh thụ hai cựa bội toịn

Tụ giịc ABCRnéi tiạp ờng trn nn

(tam giác

BPQ cân A)

tụ giịc QCRHnéi tiạp ệđêng trưn

(R, Q,M thẳng hàng, theo cách 1)

CHlà phân giác cña

Tđểng tù, AH lộ phẹn giịc cựa

Suy H lộ tẹm ệđêng trưn néi tiạp tam giịc ABC hay H K

bội toịn ệờo cựa bội toịn ban ệẵu : “Cho tam giịc ABC néi tiạp ệđêng trưn ậđêng trưn 1 tiạp xóc vắi AB,BCvộ lẵn lđĩt tỰi P,Q,R Chụng minh rỪng giao ệiÓm cựa phẹn giịc cựa vộ PQlộ tẹm ệđêng trưn néi tiạp tam giịc ABC”

Theo tềi, ệẹy lộ mét bội toịn rÊt lÝ thó vừ nã cã nhiỊu cịch giời ; tững hĩp ệđĩc nhiÒu kiạn thục chđểng trừnh THCS ; qua bội toịn ta cã thÓ rÌn luyỷn kỵ nẽng vỳ ệđêng phơ, ệỊ cẺp ệạn nhiỊu bội toịn phơ hoẳc thay ệữi ệđĩc kạt luẺn cựa bội toịn ệÓ cã bội toịn mắi vộ bội toịn nộy cưn lộ “anh em” vắi bội toịn thịch ệÊu thụ ba mđểi sịu ệÊy ! Cịc bỰn tiạp tôc cho ý kiạn nhĐ !

ARC

ARK CRK

BAC

ACB

o o

90

2 90

2 2

ABC

HCQ MAC

ABC BAC ACB

o

90

2

HCQ HRQ HRC QRC ABC MRC

o

180

CRH HQC

o

180

CRH HQC

ARH CRH BQP BQH

o o

180 90

2

ARC ABC ARC ABC

ARK CRK

ARC

s® s® s®

2

s® s® s®

2

NA MC NB MB MKC

MN MCN MCK QRB QRC

RQD QRD QBR QRB QRC DRC ARK CRK

ABC AE CE

NRB PRB KRM ERM

AN BN EM BN BE EM BE EN BM CM AN EN EM CM

,

4

(TTT2 sè 44) Lêi giời lẵn nộy ệở quến mét bđắc

cùng quan trọng toán cực trị sử dụng bất đẳng thức, xác định điều kiện xảy đẳng thức

Ta thấy P 42 (1) (2) đồng thời trở thành đẳng thức

Hệ vô nghiệm nên bất đẳng thức P 42 trở thành đẳng thức

Lời giải

XÐt hiÖu 3(x2 y2 z2) (x y z)2 2(x2 y2 z2) 2(xy xz yz)

(x y)2 (y z)2 (z x)2 (*) Tõ (*) suy :

(x y z)2 3(x2 y2 z2) 27

x y z (1) (đẳng thức xảy x y z 3)

Còng tõ (*) suy :

2(xy xz yz) 2(x2 y2 z2) xy xz yz x2 y2 z2 27 (2) (đẳng thức xảy x y z 3)

Tõ (1) vµ (2) suy :

x y z xy xz yz 36 (đẳng thức xảy x y z 3)

VậyP đạt giá trị lớn 36

Cịc bỰn ệđĩc thđẻng kừ nộy : Ngun MỰnh Quẹn, 13A, tẺp thĨ Lế Hăng Phong, TX Hộ ậềng, Hộ Tẹy ; ậẳng Thỡ Hộ Giang, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh ; Phan Thỡ Trộ Giang, 9B, THCS BC Xuẹn Diỷu, Can Léc, Hộ Tỵnh ; Lế Duy Tỉng, 9E, THCS Chu Vẽn An, Eakar, ậớk Lớk

Anh kÝnh lóp

2 2

3 27

x y z x y z x y z

MỘT THOÁNG BỐI RỐI

Bội toịn sau ệẹy thuéc néi dung chđểng trừnh Hừnh hảc :

Bội toịn Cho tam giịcABCcã gãc AbỪng 60o, ệđêng cao AH Biạt CH a vộ BH 2a Hởy tÝnh AH theo a Mét sè hảc sinh ệở cã lêi giời nhđ sau : Lêi giời ậẳt AH x > Theo cềng thục tÝnh diỷn tÝch tam giịc ta cã :

2SABC AH BC AB ACsinA

VẺy ệé dội ệđêng cao AHlộ : hoẳc

ậảc xong lêi giời trến, tềi ệở thoịng bèi rèi vắi kạt quờ từm ệđĩc : Phời chẽng ệé dội AH lỰi cã hai giị trỡ khịc ?

ngun Anh hoµng (THCS Ngun Du, QuËn 1, TP Hå ChÝ Minh)

14 33

2 a

14 33

2 a

2 2 o

2 2

2 2

2 2 2

4 2

2

3 sin60

3

3

2

2

12 ( )(4 )

7

7 33 33

2

14 33

ax a x a x ax a x a x

ax a x a x a x a x a x x a x a

x a x a

x a

Đáp số Nhðng để tới kết này, có nhiều cách lập luận khác

BỰn Ngun Họu ậẽng, 8B, THCS Yến Trđêng, Yến ậỡnh, Thanh Hãa cho rỪng : Tững cựa ề vẹy quanh ề ẻ giọa, khịc mộu vắi ề kia, gÊp lẵn ề ẻ giọa

BỰnNguyÔn Thỡ Thịi Hộ, mứ lộ Hoộng Thỡ Thđêng, giịo viến tữ Mịc Lế, trđêng CậSP Nghỷ An, Nghỷ An cho rỪng : Tững cịc ề

trớng bỪng tững cịc ề xanh vộ bỪng 21 BỰn Vò Thỡ Bờo Ngảc, 7A, THCS Kiạn Quèc, Kiạn Thôy, Hời Phưng lỰi cho rỪng : Nạu xĐt cịc ề mộu theo chiÒu tõ trến xuèng dđắi vộ tõ trịi qua phời thừ cịc sè giờm dẵn ệển vỡ : - - vộ - - ; nạu xĐt tõ trến xuèng dđắi vộ tõ phời qua trịi thừ cịc sè giờm dẵn ệển vỡ : - 6, - vộ -

Xin tẳng thđẻng cho cịc bỰn ậẽng,Hộ,Ngảc

5 (TTT2 sè 44)

BỰn chản tiạp lộ ệỡa danh nộo cịc ệỡa danh sau ệẹy : Vộng Danh ; Bừnh ậỡnh ; Hđểng Giang ; Kừ Lõa

Ngoội cịch gỏi bội dù thi vÒ tỰp chÝ, cịc bỰn hởy gải ệạn sè 19001548 vộ lộm theo chử dÉn hoẳc nhớn tin ệạn sè 8109theo mÉu 3T IQ2 X Y, ệã X lộ ệịp ịn cựa bỰn (cịc chọ cịi viạt liÒn nhau, khềng dÊu) ; Ylộ sè ngđêi cã ệịp ịn ệóng

6

| | | | | |

Giá trị tuyệt đối nội dung khó nhiều học sinh Để vận dụng tốt kiến thức giá trị tuyệt đối giải toán cần phải nắm biết vận dụng linh hoạt định nghĩa tính chất

Trong viết này, muốn trao đổi với bạn việc vận dụng bất đẳng thức |a| |b| |a b| để giải toán

Ta lðu ý bất đẳng thức trở thành đẳng thức ab

1

VÝ dơ Cho biĨu thøc (víi xy 0) :

a) Rót gän biĨu thøc A ; b) T×m x, y biÕt

Lêi gi¶i

a) Víixy ta cã :

Suy

b) Ta cã

|x| |y| x y

VÝ dơ 2.Rót gän biĨu thøc :

Lời giải.Vì suy x2 y2 x2 y2 (x y)(x y)

VËy :

VÝ dô 3.Giời phđểng trừnh : 4012

Lêi giời.Phđểng trừnh tđểng ệđểng vắi :

(x2 2006x 2005)( x2 2006x 2007) (x 1)(x 2005)(x 1)(x 2007)

1 x hc 2005 x 2007

VÝ dơ Từm m ệÓ hỷ phđểng trừnh sau cã nghiỷm nhÊt :

2

2

2006 2005 2006 2007

2006 2005 2006 2007

x x x x

x x x x

2 2006 2005 2006 2007

x x x x

2

B x x

2 2

2 2 2 2

2 2

V×

0

x x y x x y x x y x x y y x x y x x y x

2 ;

x y x y x y x y x x y

2 2

B x x y x x y

x y x y

(víi x y)

2 3

x y x y A

2 2

2

x y x y x y

A xy xy

x y x y x y

2

2 ( )

( )

2

x y xy x y

2

x y xy x y xy

3

x y A

2 2

x y x y x y

A xy xy

1 0

2 x y x y x y

7 Lời giải.+Điều kiện cần :Giả sử hệ có nghiệm (x0, y0)

Thay nghiƯm nµy vµo hƯ, ta cã :

(2 x0, y0) còng lộ nghiỷm cựa hỷ Vừ hỷ phđểng trừnh cã nghiỷm nhÊt suy x0 x0, y0 y0 x0 y0 Thayx y vộo hỷ ta tÝnh ệđĩc m + ậiÒu kiỷn ệự : Vắi m 8, hỷ phđểng

trình trở thành (*)

suy

Mặt kh¸c ta cã :

tđểng tù, suy

Đẳng thức xảy

Khi ú h (*) tr thành

x y Suy hỷ ệở cho sè nghiỷm + Kạt luẺn : Khềng tăn tỰi m ệÓ hỷ phđểng trừnh ệở cho cã nghiỷm nhÊt

3

VÝ dơ Cho c¸c sè thùc a, b, c Chøng minh r»ng

Lêi gi¶i.Ta cã

Ví dụ Tìm giá trị nhỏ biĨu thøc

Lêi gi¶i Ta cã

Mặt khác, Vậy D(x) đạt giá trị nhỏ x 4a

Bài tập tự giải

Bi Gii phđểng trừnh :

Bội 2.Từma,bệÓ hỷ phđểng trừnh sau cã nghiỷm nhÊt :

Bài Chứng minh bt ng thc :

Bài Biết đa thức f(x) ax2 bx c tháa m·n f(x) víi mäi x [ ; 1] Chøng minh r»ng

Bội Từm giị trỡ nhá nhÊt cựa biÓu thục vắi m lộ sè thùc cho trđắc

1 99 ,

x n x n x n

3

a b c

2 2 1.

a b b a b b a b

2

2

x y a x y b

3 1 ( 1)( 1).

x x x x x

15 ,a

(4 ) 15

D a a

25

15 15

x a a x x a

a x a a

3x 9a 4a x 25a 5x x 4a

( )

D x x a x a

4 x 4a x a

( ) 2 3

D x x a x a x a

3

a b c a d c

1 1

2 2

a b a c a c a d

1 1

2 2

a b a c a c a d a b a c a d

3

a b c a d c

a b a c a d

3

5

x y

x y

( 3)(5 )

( 3)(5 )

x x x

y y y

3 5 16

x y x y

5

y y

3 5

3 ;

x x x x

x x

3 5 16

x y x y

3

5

x y

x y

0

0

2

2

x y m

x y m

0

0

5

suy

3

x y m

x y m

0

0

3

5

x y m

x y m

3

5

x y m

8

ThS NGUYÔN V¡N NHO (NXBGD)

Bớt ệẵu tõ nẽm 1979, vộo mẫi mỉa thu, ậỰi hảc Maryland lỰi tữ chục mét cuéc thi dộnh cho hảc sinh Trung hảc (University of Maryland mathematics competition), cuéc thi nộy dộnh cho hảc sinh néi hỰt Columbia (nđắc Mỵ), vộ cho tÊt cờ cịc thÝ sinh muèn ệđĩc nhẺn vộo ậỰi hảc Maryland ậã còng lộ cể héi cho hảc sinh giái dộnh lÊy hảc bững Edgar Krahn Scholar, quủ hảc bững mang tến nhộ Toịn hảc hiỷn ệỰi xuÊt sớc ngđêi Estonia (1894 - 1961) Quủ hảc bững nộy ngđêi vĩ gãa cựa ềng ta (Dorothee Krahn) thộnh lẺp tõ nẽm 1983 Cuéc thi găm hai vưng : Vưng găm cịc bội tđểng ệèi dÔ ệèi vắi hảc sinh giái Mét sè hảc sinh vđĩt qua vưng sỳ ệđĩc tham gia vưng 2, vắi bội thi khã hển Trong sè nộy, chóng tềi giắi thiỷu cẹu trớc nghiỷm tuyÓn chản 25 cẹu cựa vưng nẽm 1999 (thêi gian lộm bội 75 phót, khềng ệđĩc sỏ dơng mịy tÝnh)

1 (C©u 1)

Hai cha cã cỉng ngộy sinh nhẺt lộ ngộy 20 thịng 10 Vộo ngộy nộy nẽm (1999), cha ệđĩc 42 tuữi vộ ệđĩc 11 tuữi Hái vộo sinh nhẺt nẽm nộo thừ tuữi cha bỪng ệóng hai lẵn tuữi ?

A 2009 ; B 2011 ; C 2013 ; D 2017 ; E 2019

2 (C©u 2)

Mét cềng nhẹn lộm viỷc 10 ngộy Ngộy thụ nhÊt, ềng ệđĩc lỵnh 2$, ngộy thụ hai ệđĩc lỵnh 4$, ngộy thụ ba ệđĩc lỵnh 8$, Nhđ vẺy, cụ ngộy sau ềng ệđĩc lỵnh

gÊp ệềi ngộy trđắc Hái tiÒn cềng cựa ngđêi cềng nhẹn ệã 10 ngộy ?

A 1023 ; B 1999 ; C 2000 ; D 2046 ; E 2048

3 (C©u 3)

HÃy tìm số nguyên N bé cho |N 9| <

A ; B ; C ; D 11 ; E 12 (Câu 4)

Nếu 3x 4y 10 2x 7y 11 th× x b»ng

A ; B ; C 1/2 ; D ; E (C©u 5)

Trong mét cuéc thi, vỡt Donald cã thĨ ẽn chiạc bịnh pizza phót, cưn vỡt Goofy thừ cã thÓ ẽn chiạc bịnh pizza Hái cờ ẽn ệđĩc mÊy chiạc bịnh pizza mét giê ?

A ; B 96 ; C 130 ; D 216 ; E 250 (C©u 6)

Trong túi, có 37 viên cẩm thạch gồm bốn màu đỏ, xanh da trời, xanh đen, vàng Số viên màu đỏ nhiều số viên màu xanh da trời 3, nhiều số viên màu xanh đen ; số viên màu vàng nhiều số viên màu xanh đen Hỏi túi có viên cẩm thạch màu xanh da trời ?

A ; B ; C ; D 11 ; E 12 (C©u 8)

Giờ sỏ sè nguyến dđểng Nchia hạt cho 21 vộ Hái cã Ýt nhÊt bao nhiếu sè nguyến dđểng mộ Nchia hạt cho chóng ? A ; B ; C ; D ; E

GIỚI THIỆU CUỘC THI TOÁN CỦA ĐẠI HỌC MARYLAND

9

CUỘC THI TOÁN QUỐC GIA IRAN

Bài 1.(1996)Không tính tổng quát, giả sử AB > AC (nếu AB AC C B vàB C) ta thÊy :

ậđêng trưn ệđêng kÝnh II’ ệi qua cịc ệiÓm B, C (cịc phẹn giịc vộ ngoội cựa mét gãc vuềng gãc vắi nhau) ;

A,I,I’thỬng hộng, nỪm trến ệđêng phẹn giịc cựa nến C’ ệèi xụng vắi C ; B ệèi xụng vắi B qua II’, suy B’, C’ còng thuéc ệđêng trn ờng kính II ;

Các bạn chøng minh :

suy O,I,H nỪm trến ệđêng trưn qua ba ệiÓm B, C, C’, chÝnh lộ ệđêng trưn ệđêng kÝnh II’

VẺy tịm ệiÓm B, C, H, O, I, I’, B’, C’ cỉng nỪm trến ệđêng trn ờng kính II

Bài 2.(1997)Ta có hàm giảm f: với x, y +

f(x y) f(f(x) f(y)) f(f(x f(y)) f(y f(x))) Nhð vËy, nÕu thay y b»ng x th× ta cã : f(2x) f(2f(x)) f(2f(x f(x))) ; (1)

TiÕp tôc thay x b»ng f(x) ta l¹i cã : f(2f(x)) f(2f(f(x))) f(2f(f(x) f(f(x)))) (2)

Trõ theo tõng vÕ cđa (2) vµ (1) ta cã : f(2f(f(x))) f(2x)

f(2f(f(x) f(f(x)))) f(2f(x f(x))) + Nếu f(f(x)) > xthìf(2f(f(x))) < f(2x) f hàm giảm f(2f(f(x))) f(2x) <

f(2f(f(x) f(f(x)))) f(2f(x f(x))) < 2f(f(x) f(f(x))) 2f(x f(x)) > f(x) f(f(x)) x f(x) <

f(f(x)) < x, mẹu thuÉn vắi trđêng hĩp ệang xĐt ;

+ Nạu f(f(x)) < x thừ tđểng tù nhđ trến, còng dÉn ệạn ệiÒu mẹu thuÉn (f(f(x)) > x)

Suy f(f(x)) x, ®pcm

Bài (1997) Ta gọi đa giác đa giác xanh (đỏ) có tất

ệửnh cỉng mộu xanh (ệá) ; tđểng tù ệèi vắi ệoỰn thỬng vắi hai ệiÓm mót cỉng mộu

Giờ sỏ ngđĩc lỰi, ệỊu khềng tăn tỰi ệoỰn thỬng ệá cã ệé dội ệển vỡ vộ tam giịc xanh bỪng ABC (1)

Kí hiệu a, b, c độ dài ba cạnh ABCvà a có giá trị nhỏ Giả sử tồn tạiXY đoạn thẳng đỏ có độ dài a

Khi ệã theo (1), cịc ệđêng trưn ệển vỡ cã tẹm lộ X, Y chử chụa cịc ệiÓm mộu xanh

Gải Z lộ ệiÓm cho XYZ ABC Khi ệã, ệđêng trưn ệển vỡ tẹm Z chử chụa cịc ệiÓm mộu ệá, vừ nạu tăn tỰi trến ệđêng trưn tẹm Z mét ệiÓm Z’ mộu xanh thừ luền xịc ệỡnh ệđĩc trến cịc ệđêng trưn ệển vỡ tẹm X,Y cịc ệiÓm X’,Y’ tđểng ụng ệÓ tam giịc X’Y’Z’ XYZ ABC mộ X’Y’Z’ lộ tam giịc xanh, mẹu thuÉn vắi (1) Nhđ vẺy trến ệđêng trưn ệển vỡ tẹm Z chớc chớn cã hai ệiÓm mộu ệá cã khoờng cịch bỪng mét ệển vỡ, mẹu thuÉn vắi (1) VẺy khềng tăn tỰi ệoỰn thỬng ệá XYcã ệé dội a (2) Theo thiạt, cịc ệiÓm trến mẳt phỬng ệđĩc tề bẻi cờ hai mộu xanh vộ ệá, chản mét ệiÓm R mộu ệá Suy ệđêng trưn (T) cã tẹm R vộ bịn kÝnh a găm toộn cịc ệiÓm mộu xanh Khi ệã, tăn tỰi hai ệiÓmDvộE(cỉng mộu xanh) trến (T) cho DE a Vừ a b vộ a c nến tăn tỰi ệiÓm F nỪm ngoội (T) cho DEF

ABC, theo (1) thừ ệiÓm Fphời cã mộu ệá Nhđ vẺy, nạu ta quay DE quanh R, thừ ệiÓm F sỳ vỰch nến mét ệđêng trưn bịn kÝnh lắn hển a, cịc ệiÓm trến ệđêng trưn nộy ệÒu mộu ệá, trến ệđêng trưn nộy luền tăn tỰi hai ệiÓm mộu ệá cã khoờng cịch a, mẹu thuÉn vắi (2) Suy thiạt (1) lộ sai, ta cã ệpcm

o

120

10

Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 chun Tốn, TP Hồ Chí Minh, năm học 2006-2007

(Đề đăng TTT2 số 45)

Cõu 1.x2 2mx m2 m (1) Điều kiện để (1) có nghiệm x1,x2là ’ m (2) Theo hệ thức Vi-ét suy

(x1 x2)2 2x1x2 m(m 1) m hoẳc m 1, ệÒu tháa mởn (2) Cẹu Giời cịc phđểng trừnh sau : a) ậẳt y x2 x thừ phđểng trừnh ệở

cho trë thµnh

Giời phđểng trừnh nộy ta cã y hoẳc ệÒu tháa mởn y vộ y

Tõ ệã tÝnh nghiỷm x cựa phđểng trừnh b) ậiỊu kiỷn ệĨ cịc phẹn thục cã nghỵa lộ x ậẳt

Suy

Phđểng trừnh trẻ thộnh (5 y)y y2 5y y hoẳc y Lẵn lđĩt thay cịc giị trỡ cựa y ệÓ từm cịc giị trỡ cựa x, ta cã nghiỷm lộ x {1 ; 2}

Câu Vì x > ; y > x3 y3 x y nên xy > ; x y > vµ y3 > y3, suy x y x3 y3>x3 y3 (x y)(x2 xy y2)

1 > x2 xy y2 >x2 y2 x2 y2 < Câu 4.Giả sử N có dạng

Theo đề ta có :

nhð vËy, an (6 24, viÕt nhí 2) ;

an 1 (4 18, viÕt 8, nhí 1) ; an 2 (8 33, viÕt 3, nhí 3) ; an 3 (3 15, viÕt 5, nhí 1) ; an 4 (5 21, viÕt 1, nhí 2) ; an 5 (1 6, viÕt 6)

Vậy số cần tìm 153846 Câu

a) XÐt (O) ta cã XÐt (O1) ta l¹i cã

(ABlà tiếp tuyến với (O1) A)

Suy AE // BF (1) Tđểng tù, ta cã AF// BE (2) Tõ (1), (2) suy AEBFlộ hừnh bừnh hộnh b) Tõ a) suy khềng ệữi, mộ CchỰy trến cung lắn ABcựa (O) thừF chỰy trến cung nhá AB cựa (O) nến E chỰy trến cung chụa gãc chớn dẹy AB, ệèi xụng vắi cung nhá ABcựa (O) qua AB

C©u

Ta cã AH HCnên AC AH; BK KC nênBC BK

Mặt khác, theo giả thiết ta có AH BC ; BK ACsuy AC AH BC BK AC

AC AH BC BKhay C H K tam giác ABC vuông cân t¹i C

o o

45 ; 90

ABC BAC ACB AEB AFB EAB ABF

ACF ACE EAB

;

ACF ABF

1

1

6

n n

a a a a a a

1 6n

a a a

5

5

1

x x

y x x

x x

5 .

x y x

x

1,

y

3 2

1

y y

2 2

11

ĐỀ THI TUYỂN SINH VAØO LỚP 10, THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ, TRƯỜNG ĐH NGOẠI NGỮ, ĐH QUỐC GIA HAØ NỘI

Năm học : 2006-2007 - Thời gian : 150 phút

C©u (2,0 ®iĨm) Cho biĨu thøc :

a) Tìm điều kiện x để biểu thức P có nghĩa rút gọn biểu thức P

b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức nhận giá trị nguyên

Cẹu (2,0 ệiÓm) a) Giời phđểng trừnh :

x4 4x3 2x2 4x b) Giời hỷ phng trnh :

Câu 3.(2,0 điểm)

Trong mt phỬng tảa ệé Oxycho parabol (P) cã phđểng trừnh Gải (d) lộ ệđêng thỬng ệi qua ệiÓm I(0 ; 2) vộ cã hỷ sè gãc k a) Viạt phđểng trừnh ệđêng thỬng (d) Chụng minh rỪng ệđêng thỬng (d) luền cớt parabol (P) tỰi hai ệiÓm phẹn biỷt A vộBkhi k thay ệữi

b) Gäi H, K theo thứ tự hình chiếu vuông góc A B lên trục hoành Chứng minh tam giác IHK vuông I

Câu (3,0 điểm)

Cho ệđêng trưn tẹm O, bịn kÝnh RvộAB lộ ệđêng kÝnh cè ệỡnh cựa ệđêng trưn (O) ậđêng thỬng d lộ tiạp tuyạn cựa ệđêng trưn (O) tỰi B MN lộ ệđêng kÝnh thay ệữi cựa ệđêng trưn (O) cho MN khềng vuềng gãc vắi AB vộ M A, M B Cịc ệđêng thỬng AM vộ AN cớt ệđêng thỬng d tđểng ụng tỰi CvộD Gải Ilộ trung ệiÓm cựa ệoỰn thỬngCD,Hlộ giao ệiÓm cựa AIvộMN Khi MN thay ệữi, chụng minh rỪng :

a) Tích AM AC khơng đổi

b) Bèn ệiÓm C, M, N, D cỉng thuéc mét ệđêng trưn

c) ậiÓm H luền thuéc mét ệđêng trưn cè ệỡnh

d) Tẹm J cựa ệđêng trưn ngoỰi tiạp tam giịc HIB luền thuéc mét ờng thng cố nh

Câu (1,0 điểm)

Cho hai sè dđểng x,ytháa mởn ệiÒu kiỷn x y Hởy từm giị trỡ nhá nhÊt cựa biÓu thục : A 2 2

xy x y

2

2

x y

2

2

3

2

x xy y x xy Q P x

1

1 :

1 1

x x

P

12

THI GIẢI TOÁN QUA THƯ

Bội 1(44).Cho sè tù nhiến cã ba chọ sè Mẫi lẵn ệđĩc phĐp biạn ệữi sè ệở cho bẻi mét hai cịch sau :

1 Lấy chữ số (hoặc chữ số cuối cùng) đặt vào hai chữ số lại

2 ậờo ngđĩc sè ệở cho

Hái nạu biạn ệữi nhđ thạ 2005 lẵn thừ tõ sè ban ệẵu lộ 123 ta cã thÓ nhẺn ệđĩc sè 312 khềng ?

Lêi gi¶i

Thùc chÊt cựa hai cịch biạn ệữi trến ệÒu lộ viỷc ệữi chẫ hai ba chọ sè mộ thềi Vừ vẺy, ta cã thÓ chia sè cã ba chọ sè ệđĩc viạt bẻi ệóng ba chọ sè ; ; thộnh hai nhãm mộ sau mẫi lẵn biạn ệữi thừ sè thuéc nhãm nộy sỳ chuyÓn thộnh sè thuéc nhãm vộ ngđĩc lỰi, ệã lộ nhãm {123 ; 231 ; 312} vộ nhãm {132 ; 213 ; 321}

Ta thÊy, hai sè 123 vộ 312 thuéc cỉng mét nhãm nến tõ sè ban ệẵu lộ 123, ệÓ cã thÓ nhẺn ệđĩc sè 312 thừ nhÊt thiạt phời qua mét sè chơn lẵn biạn ệữi Suy ra, vắi 2005 lẵn biạn ệữi thừ tõ sè ban ệẵu lộ 123 ta khềng thÓ nhẺn ệđĩc sè 312

NhẺn xĐt NhiÒu bỰn lẺp luẺn cưn chđa chẳt chỳ Trong sè khị nhiÒu lêi giời gỏi vÒ tưa soỰn, cịc bỰn cã lêi giời ngớn gản vộ chÝnh xịc lộ : NguyÔn Huy Linh, 9B, THCS Yến Bịi, Yến ậỡnh, Thanh Hãa ; Huúnh Dđểng, tữ 5, thỡ trÊn ậềng Hđng, ậềng Hđng, Thịi Bừnh ; ậẳng Thỉy Linh, 9A8, THCS Trẵn Phó, 95 Ngun ậục Cờnh ; ậộo Thu Thựy, 7A, THCS Kiạn Quèc, Kiạn Thôy, Hời Phưng ; Phỉng Mai Linh, 7A4, THCS Trẵn ậẽng Ninh, TP Nam nh, Nam

Định ; Nguyễn Ngọc Trung, 9A1, THCS L©m Thao, L©m Thao, Phó Thä ; Nguyễn Minh Châu, 9A5, THCS Nguyễn Đăng Đạo, TP Bắc Ninh, Bắc Ninh

Nguyễn anh quân Bài 2(44) Cho x, y, z số thực thuộc khoảng (0 ; 1) vµ tháa m·n :

xyz (1 x)(1 y)(1 z)

Chøng minh r»ng

Lêi gi¶i

Tõ gi¶ thiÕt xyz (1 x)(1 y)(1 z), khai triÓn ta cã

xyz (x y z) (xy yz zx) xyz suy

2xyz (x y z) (xy yz zx) (1) Cũng từ xyz (1 x)(1 y)(1 z), đóx,y,z số thực thuộc (0 ; 1) suy

(theo bất đẳng thức Cô-si)

6xyz xy yz zx (2) Tõ (1) vµ (2) suy

3 3(x y z) 3(xy yz zx) 6xyz xy yz zx

0 3(x y z) 2(xy yz zx) Céng cờ hai vạ cựa bÊt ệỬng thục trến vắix2 y2 z2 ta nhẺn ệđĩc

1 1

x y z

1 1 1 1

1 3

3

x y z

x y z

3

1 1 3

x y z

1 1

1 1

x y z

2 2

4

13 x2 y2 z2 (x y z)2 3(x y z)

BÊt ệỬng thục ệở ệđĩc chụng minh ậỬng thục xờy vộ chử

NhẺn xĐt.Bội toịn bÊt ệỬng thục trến lộ bội toịn hay, ệưi hái ngđêi giời phời cã cịc kỵ nẽng thềng minh, sớc sờo Cịc bỰn sau cã lêi giời tèt : NguyÔn Ngảc Trung, 9A1, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả ; Ngun Cềng Dđểng, 8D ; NguyÔn MỰnh Quẹn, 8C, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc ; Trẵn Vị Trung, 9A9, THCS Phỉng ChÝ Kiến, TP Nam ậỡnh, Nam ậỡnh; Hoộng Minh LẺp, 8E, THCS Quang Trung, Kiạn Xđểng, Thịi Bừnh ; Dđểng ậục nh, 8G, THCS Thanh Long, Thanh Chđểng ; Trẵn Ngảc Khịnh, 8D, THCS ậẳng Thai Mai, TP Vinh, Nghỷ An ; Trẵn ậục Khềi, 7B, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, c Th, H Tnh

Nguyễn Minh Đức Bài 3(44).Cho f(x) x2 x

Giời phđểng trừnh [f(x)]2 f(x) x (*) Lêi giời.Ta cã :

(*) [f(x)]2 f(x) x

(x2 x 8)2 (x2 x 8) x (x2 x 8)2 x2

(x2 x x)(x2 x x) ((x2 2x 1) 9)(x2 8)

((x 1)2 9)(x2 8)

(x 4)(x 2)(x )(x ) Do ệã phđểng trừnh (*) cã nghiỷm :

x { ; ; ; 4}

NhẺn xĐt ậẹy lộ bội toịn giời phđểng trừnh bỪng cịch phẹn tÝch thộnh nhẹn tỏ Bội toịn nộy khị ệển giờn vừ chử dỉng ba lẵn hỪng ệỬng thục a2 b2 (a b)(a b) Tuy nhiến trđêng hĩp tững quịt, cịc bỰn cã thÓ thÊy phđểng trừnh ệở cho cã dỰng f[f(x)] x, ệã f(x) ax2 bx c Khi ệã cịc bỰn cã thĨ ệđa phđểng trừnh vỊ dỰng tÝch bỪng phĐp biạn ệữi sau :

f[f(x)] x

a[f(x)2 x2] b[f(x) x] f(x) x [f(x) x][af(x) ax b 1]

[ax2 (b 1)x c][a2x2 a(b 1)x ac b 1] Bội toịn trến lộ trđêng hĩp ệẳc biỷt a 1, b 1, c

Hoan nghếnh cịc bỰn sau ệẹy ệở tham gia giời bội vộ cã lêi giời ệóng : Ngun Tiạn Phđểng, 7B, THCS thỡ trÊn Sềng Thao, CÈm Khế, Phó Thả ; Ngun Thỡ Phđểng Anh; Ngun Ngảc nh; Ngề Vẽn Hoộng ; Trẵn Minh Huy ; NguyÔn Ngảc Vinh, 7A1, THCS Trđng Vđểng, Mế Linh, Vỵnh Phóc ; Vị Thỡ Bờo Ngảc, 7A, THCS Kiạn Qc, Kiạn Thơy, Hời Phưng ; NguyÔn Thỡ Vẹn Anh ; ậẳng Ngảc Anh Tn ; Ngun Quang Vị, 7B, THCS Bừnh An, Can Léc, Hộ Tỵnh ;Mai Thanh TrÝ Quang, 7A, THCS Hời Vỵnh, Hời Lẽng, Quờng Trỡ ; NguyÔn Vẽn Thờo, 7A5, THCS thỡ trÊn Phđắc An, Krềng Pẽk, ậớk Lớk

Ngun Minh §øc

2

2

1 1

1

2

x y z x y z x y z

2

3

( ) ( )

2 4 3

2 4

14 Bội 4(44).Cho ba ệđêng trưn (O1), (O2), (O3) cỉng ệi qua ệiÓm O Cịc ệiÓm A1,A2, A3 theo thụ tù thuéc cịc ệđêng trưn (O1), (O2), (O3) cho OA1,OA2, OA3 theo thụ tù song song vắi O2O3, O3O1, O1O2 Chụng minh rỪng O,A1, A2, A3 cỉng thuéc mét ệđêng trn

Lời giải

Gọi H trực tâm cña O1O2O3, ta cã O1H O2O3 ;O2H O3O1 ; O3H O1O2

Từ đó, với ý

OA1 // O2O3 ; OA2 // O3O1 ; OA3 // O1O2 O1H OA1 ; O2H OA2 ;O3H OA3 Nhđ vẺy O, A1 cỉng thuéc ệđêng trưn tẹm O1 ; ệđêng thỬng O1H ệi qua tẹm O1 lỰi vuềng gãc vắi OA1 nến ệđêng thỬng O1Hlộ ệđêng trung trùc cựa ệoỰn OA1, suy HO HA1

Tđểng tù, ta cã HO HA2 ; HO HA3 Suy HO HA1 HA2 HA3

O, A1, A2, A3cïng thuéc (H, HO) NhËn xÐt 1) Không khó nhng lạ, toán số toán

chng minh bốn ệiÓm cỉng thuéc mét ệđêng trưn bỪng ệỡnh nghỵa Vừ vẺy mẳc dỉ khềng khã nhđng chử cã 17 bỰn tham gia giời bội TÊt cờ cịc bỰn ệÒu giời ệóng nhđng mét sè bỰn cã lêi giời quị dội, mét sè bỰn lỰi cã lêi giời quị vớn tớt

2) BỰn Hoộng Minh LẺp, 8E, THCS Quang Trung, Kiạn Xđểng, Thịi Bừnh ệở nhẺn xĐt chÝnh xịc rỪng : bội toịn chử ệóng khiO1,O2, O3khềng thỬng hộng

3) Mét sè bỰn cã lêi giời tèt lộ PhỰm Quang Thỡnh, 8H, THCS Hỉng Vđểng, TP Tuy Hưa, Phó Yến;Lế Hăng Thóy, 9A, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; Huúnh Dđểng, tữ 5, thỡ trÊn ậềng Hđng, ậềng Hđng, Thịi Bừnh ; Vâ Quèc Phưng, 9B, THCS BC Xuẹn Diỷu, Can Léc, Hộ Tỵnh ; Dđểng ậục nh, 8G, THCS Thanh Long, Thanh Chđểng, Nghỷ An

NguyÔn Minh Hộ Bội 5(44) Giờ sỏ M lộ mét ệiÓm bÊt kừ tam giịc ABC Qua M kĨ cịc ệđêng thỬngDE,IJ,FGlẵn lđĩt song song vắi BC, CA, AB (trong ệã G, J BC ; E, F CA ; D, I AB) Chụng minh rỪng :

Lêi gi¶i

2

AIMF BGMD CEMJ ABC

15 Ta nhËn thÊy MDI JGM(g.g) suy

Tứ giác BGMDlà hình bình hành, suy

; (1) Chụng minh tđểng tù ta cã

(2) (3) Từ (1), (2), (3) áp dụng bất đẳng thức quen thuộc xy yz zx x2 y2 z2, ta có

Suy 3(SBGMD SCEMJ SAIMF) 2(SMDI SMEF SJGM SBGMD SCEMJ SAIMF)

3(SBGMD SCEMJ SAIMF) 2SABC SBGMD SCEMJ SAIMF SABC (đpcm)

Đẳng thức xảy Mlà trọng tâm ABC

Nhn xột Có nhiều bạn giải tốn này, sau bạn có lời giải gọn : Nguyễn Minh Hiếu, 8A11, THCS Giảng Võ, Ba Đình, Hà Nội ; Chu Thị Thu Hằng, 9A, THCS Yên Phong, Yên Phong ; Nguyễn Minh Châu, 9A5, THCS Nguyễn Đăng Đạo, TP Bắc Ninh, Bắc Ninh ; Nguyễn Hữu Thanh, 8A3;Hà Quyết Thắng, 9A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ;

2

2( )

BGMD CEMJ AIMF MDI JGM MEF JGM MDI MEF MDI MEF JGM

S S S S S

S S S S

S S S

2

AIMF MDI MEF

S S S

2 ;

CEMJ MEF JGM

S S S

2

MDI

BGMD MDI JGM JGM

S S S S

S

1

2 BGMD BGM JGM JGM

S S BG DM IM

S S GJ GJ MJ

;

MDI JGM

S DM IM

GJ MJ S

NguyÔn Minh Chẹu, 9A5, THCS NguyÔn ậẽng ậỰo, TP Bớc Ninh, Bớc Ninh ; Dđểng ậục nh, 8G, THCS Thanh Long, Thanh Chđểng, Nghỷ An; Mai Thanh ChÝ Quang, 7A, THCS Hời Vỵnh, Hời Lẽng, Quờng Trỡ ; Hoộng Minh LẺp, 8E, THCS Quang Trung, Kiạn Xđểng,Thịi Bừnh; NguyÔn Ngảc Trung, 9A1, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao ; NguyÔn Tiạn Phđểng, 7B, THCS thỡ trÊn Sềng Thao, CÈm Khế, Phó Thả ; NguyÔn Huy Linh, 9B, THCS Yến Bịi, Yến ậỡnh, Thanh Hãa ; PhỰm Quang Thỡnh, 8H, THCS Hỉng Vđểng, TP Tuy Hưa, Phó Yến ; Vâ Quèc Phưng, 9B, THCS bịn cềng Xuẹn Diỷu, Can Léc, Hộ Tỵnh ; NguyÔn Minh Hiạu, 8A11, THCS Giờng Vâ, Ba ậừnh, Hộ Néi ; NguyÔn Cềng Dđểng, 8D ; NguyÔn MỰnh Quẹn, 8C, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc

Ngun ậẽng Thanh, 9B, THCS Yến LỰc, Yến LỰc ; NguyÔn Cềng Thộnh, 9D, THCS Vỵnh Yến, TX Vỵnh Yến, Vỵnh Phóc ; Lế Anh Cềng, 9C, THCS Lế Họu LẺp, HẺu Léc, Thanh Hãa ; NguyÔn Thỡ Loan, 9D, THCS Lý NhẺt Quang, ậề Lđểng, Nghỷ An; Mai Thanh TrÝ Quang, 7A, THCS Hời Vỵnh, Hời Lẽng, Quờng Trỡ ; ậoộn Cềng Khịnh, 9A, THCS Quạ Xuẹn, Quạ Sển, Quờng Nam

16

Trong mét chuyạn du lỡch tắi Viỷt Nam, thịm tỏ Sế-Lèc-Cèc ệạn thẽm Tưa soỰn Toịn Tuữi thể vộ chóc mõng TỰp chÝ võa ệđĩc ệãn nhẺn BỪng khen cựa Thự tđắng ChÝnh phự Hềm Êy Sế-Lèc-Cèc ệđĩc cỉng gẳp vắi cịc céng tịc viến quen thuéc TÊt nhiến lộ Sế-Lèc-Cèc khềng biạt lộ

Mải ngđêi rÊt vui vĨ ệãn tiạp thịm tỏ Theo lỳ bừnh thđêng thừ lởnh ệỰo tỰp chÝ sỳ giắi thiỷu vắi Sế-Lèc-Cèc tõng ngđêi mét, nhđng ềng lỰi tđểi cđêi nãi vắi thịm tỏ :

- NhiỊu vơ ịn tđẻng nhđ bạ tớc mộ ngội cưn từm ệđĩc nến viỷc tù từm lộ cuéc hộn huyến hềm tềi sỳ ệÓ ngội tù khịm phị Chử xin giắi thiỷu rỪng : ngoội tềi lộ thịm tỏ ệở biạt răi thừ ngăi trđắc ngội cã mét chuyến gia hừnh hảc, mét chuyến gia sè hảc vộ ệỰi sè, mét ngđêi phô trịch chuyến môc “Khềng chử lộ Vẽn” vộ mét hảa sỵ

Sế-Lèc-Cèc còng vui vĨ khềng kĐm : - RÊt thó vỡ lóc nộo tềi cịng cã thÓ ệẳt mừnh trđắc nhọng thỏ thịch Xin hái thẽm ngđêi bỰn gịi nhÊt hềm nhĐ ! Chỡ cã nhắ vưng trưn chÝn ệiÓm ệđĩc mang tến nhộ toịn hảc nộo khềng ?

Ngđêi phô mửm cđêi :

- Thða ngài vịng trũn Ta-lột !

- Cảm ơn chị

Thám tử nhìn sang niên trẻ :

- Cưn bội toịn mộu ệđĩc phịt biÓu thạ nộo chớc cẺu còng biạt chụ ?

Ngđêi nin hn h :

- Tất nhiên biết : Chỉ cần dùng bốn màu pha tất màu !

Cã ngđêi cđêi vang Thịm tỏ chẺm rởi :

- Đúng Tòa soạn có cộng tác viên tuyệt vời Ai tâm huyết với công việc cđa m×nh

Mét ngđêi cao to nhừn Sế-Lèc-Cèc st tõ nởy tắi giê, ệét ngét hái :

- Tềi rÊt Ên tđĩng vắi vơ ngội gióp Vị Minh từm mẺt khÈu mịy tÝnh cựa Bớc ậỰi Bộng

Thám tử nheo mắt :

- Ti anh lỰi Ên tđĩng ?

- Rất đơn giản số tạp chí có đăng tơi nên ý

Thịm tỏ phị lến cđêi :

- Anh khoe khéo ! Cịn anh bạn chða nói câu từ tới giờ, anh khám phá ?

Ngđêi ệộn ềng nộy nhá nhứ :

- Tơi khâm phục ơng

Lª ViÖt Ngäc Minh

17

(TTT2 sè 44)

Lẵn nộy tÊt cờ cịc “thịm tỏ Tuữi Hăng” ệỊu cã cẹu trờ lêi ệóng Quan sịt cịc sè bỡ cớt tê lỡch, ta dÔ dộng từm nhọng chọ cịi tđểng ụng bờng chọ cịi tiạng Anh GhĐp lỰi ta sỳ ệđĩc cịi tến Fuiji - tến ngđêi ệở lÊy chiạc ệăng hă cựa thịm tỏ Sế-Lèc-Cèc

Nhð không thám tử Sê-Lốc-Cốc thông minh, nhanh nhạy mà đông đảo bạn đọc TTT cừ suy luận, phán đoán quan sát

Phẵn thđẻng ệđĩc trao cho nẽm bỰn sau : NguyÔn Thỡ Phđĩng, 8C, THCS BÝch Sển, Viỷt Yến, Bớc Giang;Trẵn Phđểng Thờo, 46, tữ 7, p ậăng Tiạn, TX Hưa Bừnh, Hưa Bừnh ; Khững Quèc Hđng,

8A2, THCS GiÊy Phong Ch©u, Phï Ninh, Phú Thọ; Nguyễn Hải Triều, 8G, THCS Thị trấn Cẩm Xuyên, Hà Tĩnh

Thm t S-Lốc-Cốc Ngi trc ềng tềi phời tranh thự “chiếm

ngđìng” chụ ! NhiỊu vơ ịn ềng giời quyạt ệứp nhđ chụng minh mét bÊt ệỬng thục bỪng mét phđểng phịp ệéc ệịo khềng ngê tắi

Sế-Lèc-Cèc lÊy cẳp cựa mừnh nẽm cuèn sịch vộ lÊy bót ghi vộo trang ệẵu - ậẹy lộ cuèn sịch ghi lỰi cịc vô ịn mộ tềi khịm phị ệở ệđĩc ệẽng trến tỰp chÝ tõ thịng nẽm 2003 tắi giê Xin tẳng tõng bỰn mét ậõng ngỰc nhiến tềi viạt ệóng tến cịc bỰn vộ trao ệóng cho tõng ngđêi mét

Mải ngđêi cẵm cuèn sịch mộ mừnh ệđĩc tẳng vộ trẵm tră :

- ThẺt ệóng lộ Sế-Lèc-Cèc ! Thịm tỏ nến ệẽng kÝ tham gia chđểng trừnh “Ai lộ ?” trến VTV3 cựa ậội TruyÒn hừnh Viỷt Nam !

Thịm tỏ lỰi cđêi vang :

- Đây vụ án dễ c¸c vơ

án mà tơi gặp

18 Tiạp cẺn vắi bội toịn thịch ệÊu thụ hai mđểi bờy (TTT2 sè 35) cựa tịc Huúnh TÊn Chẹu thềng qua lêi giời trến TTT2 sè 37, tềi cã mét vội nhẺn xĐt nhá sau ệẹy

Bội toịn Cho ba sè dđểng a, b, c thỏa mn a b c

Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc :

Trong lêi gi¶i có sử dụng chứng minh

kết Ta cã

thể chứng minh cách sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cô-si, đơn giản so với cách TS Nguyễn Minh Đức nêu :

Bội toịn cịng cã thĨ mẻ réng vắi a, b, c, m,nlộ cịc sè dđểng tháa mởn a b c k Khi ệã ta cã

và “hình nhð” bất đẳng thức cịn tiếp tục mở rộng

Trong lêi giời trến TTT2 sè 37 cưn sỏ dông mét bÊt ệỬng thục ệẳc biỷt, ệã lộ bÊt ệỬng thục Min-cèp-xki Tềi từm ệđĩc khị nhiÒu ụng dông cựa bÊt ệỬng thục nộy, xin giắi thiỷu vắi cc bn bi ton :

1) Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc

trong ệã a,b, c,d, e,flộ cịc sè dđểng tháa mởnabcdef

2) Cho ba sè dđểng x, y, z tháa mởn x y z Chụng minh rỪng :

Rất mong bạn tiếp tục mở rộng tốn có viết hấp dẫn bất đẳng thức Min-cốp-xki Hẹn gặp lại bạn

2 2

2 2

1 1 82.

x y z

x y z

2 2 2 2,

S a b c d e f

2

4m

nk

2 m m m

na nb nc

b c c a a b

3

3

1 1

1 1

3

3

( )( )( )

3 3.

2

b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b

1 1

2

b c c a a b

2 2

S a b c

b c c a a b

PhỰm vẽn dđểng (lắp 12C4, THPT Lý Thđêng Kiỷt, Thựy Nguyến, Hời Phưng)

TRẬN ĐẤU THỨ BA MƯƠI SÁU

19

TRẬN ĐẤU

THỨ BA MƯƠI TÁM

(TTT2 sè 44)

Bội toịn nộy khềng quị khã, nhiến chử cã vâ sỵ bđắc lến sộn ệÊu, ệã lộ NguyÔn Xuẹn Thiỷn, xãm 3, Nam Cao, Kiạn Xđểng ; Hoộng Minh LẺp, 8E, THCS Quang Trung ; Huúnh Dđểng, tữ 5, thỡ trÊn ậềng Hđng, ậềng Hđng, Thịi Bừnh;Trẵn Vò Trung, 9A5, THCS Phỉng ChÝ Kiến, TP Nam ậỡnh, Nam ậỡnh Cờ vâ sỵ ệỊu cho lêi giời ệóng Tuy nhiến vừ vâ sỵ NguyÔn Xuẹn Thiỷn cho tắi hai lêi giời vộ trừnh bộy gản gộng nhÊt nến lộ ngđêi ệẽng quang trẺn ệÊu nộy Xin giắi thiỷu vắi bỰn ệảc lêi giời cựa vâ sỵ Thiỷn (cã sỏa chọa)

Trđắc hạt xin giắi thiỷu hai bữ ệÒ

Bữ ệÒ Cho tam giịc ABC ậđêng thỬngdkhềng ệi qua A,B,C vộ theo thụ tù cớt cịc ệđêng thỬng BC, CA, AB tỰi M, N,

P Ta cã

Bữ ệÒ AB lộ mét dẹy cựa ệđêng trưn (O) ậđêng trưn (I) tiạp xóc vắi ệoỰn ABtỰi Kvộ tiạp xóc vắi (O) tỰi T Khi ệã KT ệi qua trung ệiÓm cựa cung AB (khềng chụa T) cựa (O)

Bữ ệÒ chÝnh lộ ệỡnh lÝ nữi tiạng Mế-nế-la-uýt mộ phđểng phịp chụng minh nã cã rÊt nhiÒu tội liỷu toịn sể cÊp

Bữ ệÒ ệở ệđĩc giắi thiỷu vộ chụng minh bội “ậỡnh lÝ Lyness mẻ réng vộ cịc hỷ quờ” (TTT2 sè 42, 43)

Trở lại lời giải toán thách đấu

1

MB NC PA

MC NA PB V× AB AC nên EF, MT cắt BC ĐặtK EF BC ; K’ MT BC

áp dụng bổ đề cho ABC ba điểm thẳng hàng K, F, E ta có

(1) (v×EA FA)

áp dụng bổ đề 2ta có TE, TFtheo thứ tự phân giác góc ATB, ATC suy

(v×EA FA) (2)

Tõ (1), (2) suy (3)

Mặt khác, dễ thấy M trung điểm cung BC(chứa T) TK phân giác

TBC (4)

Từ (3), (4) suy K K’ Điều có nghĩa BC, EF, MT đồng quy

Ngun Minh Hµ

K B TB K C TC

KB TB KC TC EB TB

EB TB EA TA

FC TC FC TC FA TA

1

KB FC EA KB EB KC FA EB KC FC

Ngđêi thịch ệÊu Lế Viạt ằn, 11A12, THPT Phan ậẽng Lđu, Phó Vang, Thõa Thiến - Huạ

Bội toịn thịch ệÊu Cho tụ giịc lăi ABCD vộI, J lẵn lđĩt lộ trung ệiÓm cựa hai ệđêng chĐo AC vộBD

ậẳtE AJ BI, F CJ DI Gải H vộKlẵn lđĩt lộ trung ệiÓm cựa hai cỰnh AB vộCD Chụng minh rỪng EF// HK

XuÊt xø S¸ng t¸c

20 Phđểng phịp sỏ dông tÝnh chÊt cựa ệđêng trưn

Trến mét ệđêng trưn, chớn thừ phẹn giịc cựa ệi qua trung ệiÓm Icựa Nhđ vẺy, nạu mét ệiÓm M nỪm trến phẹn giịc cựa thừ A, M, I thỬng hộng Cịc bỰn cã thÓ tham khờo bội viạt ẻ chuyến môc “Hảc ?” sè nộy

Nhìn chung, điều kiện cho phép, ta sử dụng triệt để tính chất hình để chứng minh ba điểm thẳng hàng

5 Phđểng phịp sỏ dông hai tia trỉng hoẳc hai tia ệèi

Nếu hai tia MA, MBtrùng đối ba điểm M, A, B thẳng hàng

+ Hai tia MA, MB trïng nÕu chóng cïng n»m vỊ mét phÝa cđa tia MCvà tạo với tiaMC góc

+ Hai tia MA, MB ệèi nạu chóng nỪm vỊ hai phÝa cựa mét ệđêng thỬng d ệi qua M vộ tỰo vắi d cịc gãc bỪng

VÝ dô Cho ệđêng trưn tẹm O ệđêng kÝnh AB Trến (O) lÊy ệiÓm D bÊt kừ (khịc A ;B) LÊy ệiÓm CbÊt kừ ệoỰn AB, kĨ CH vuềng gãc vắi AD (H thuéc AD) Phẹn giịc cựa cớt (O) tỰi E vộ cớt CHtỰiF ậđêng thỬng DF cớt (O) tỰi N Chụng minh rỪng N, C, E thỬng hng

Lời giải

HthuộcAD; CthuộcAB; phân giác AE cắt HC F nên F thuộc đoạn HCvà đoạn AE Mặt khác, DNđi qua Fnên C, E thc cïng mét phÝa cđa DN

Vì thế, để chứng minh N, C, E thẳng hàng, ta cần chứng minh tia NCtrùng với tia

NE hay ThËt vËy :

Vừ ABlộ ệđêng kÝnh nến HC // BD (cng vung góc vi AD) suy

Mặt khác, (cùng chắn )

suy hay

ANCF tứ giác nội tiếp

hay (1)

Ta lại có (doAElà phân giác

của (2)

do ch¾n (3)

Tõ (1), (2), (3) suy

Bội toịn ệở ệđĩc chụng minh

VÝ dô Cho tam giịc ABC, ệđêng trưn bộng tiạp gãc A tiạp xóc vắi tia ABtỰi N, kĨ ệđêng kÝnh NM Trến tia ệèi cựa tia

DNC DNE

;

DE EAD DNE

) ;

DAB

EAB EAD

DNC EAB FNC FAC

ACF ANF ACH AND

AD AND ABD

ACH ABD

DNC DNE DAB

BAD BAC BC

BAC

BC BAC

CHỨNG MINH

BA ứIEĂM THAÚNG HAửNG (Tiạp theo kừ trđắc)

21 AB, lÊy ®iÓm K cho AK BN

Chøng minh r»ng K, C, M thẳng hàng Lời giải

GiI,J ln lđĩt lộ tẹm cựa cịc ệđêng trưn bộng tiạp cịc gãc A, B cựa tam giịc ABC; ệđêng trưn tẹm Itiạp xóc vắi cịc tia BC, AClẵn lđĩt tỰi P,H; ệđêng trưn tẹm Jtiạp xóc vắi cịc tia BC,BAlẵn lđĩt tỰi Q,K’ Ta cã

CA CB AB CA CP PB AB CA CH NB AB AH NB AB AN NB AB AB NB NB AB 2NB, nhđ vẺy CA CB AB 2NB; tđểng tù ta cã CA CB AB 2AK’

Suy NB AK’ AK AK’ K’ K Ta lại có hai tam giác ICP JCQ đồng dạng (g.g) suy mặt khác hai góc so le (bởi JK IMcùng vng góc với AB) Suy hai tam giácCIMvàCJKđồng dạng

DÔ thÊy M,K nỪm vÒ hai phÝa cựa ệđêng thỬngIJ suy K, C, M thỬng hộng

6 Phđểng phịp sỏ dông ệỡnh lÝ Mế-nế-la-uýt

ậỡnh lÝ Mế-nế-la-uýt lộ mét ệỡnh lÝ nữi tiạng mộ phđểng phịp chụng minh nã ệđĩc ệÒ cẺp ệạn nhiÒu tội liỷu toịn sể cÊp, ệđĩc phịt biÓu dđắi dỰng bội toịn sau : “Cho tam giịc ABCvộ ba ệiÓm A’,B’,C’lẵn lđĩt nỪm trến cịc ệđêng thỬng BC,CA, AB cho chóng ệỊu nỪm trến phẵn kĐo dội cựa cờ ba cỰnh tam giịc hoẳc chử mét ba ệiÓm ệã nỪm trến phẵn kĐo dội cựa cỰnh tđểng ụng mộ thềi ậiÒu kiỷn cẵn vộ ệự ệĨ A’,B’,C’thỬng hộng lộ ” VÝ dơ Cho ba ệđêng trưn cã bịn kÝnh ệềi mét khịc vộ ẻ ngoội Chụng minh rỪng giao ệiÓm cựa cịc tiạp tuyạn chung ngoội cựa tõng cẳp ệđêng trưn cỉng nỪm trến mét ệđêng thỬng

Lêi gi¶i

Gải ba ệđêng trưn lộ (O1 ; r1), (O2 ; r2), (O3 ; r3) ; giao ệiÓm cựa hai tiạp tuyạn chung ngoội cựa (O1 ;r1) vộ (O2 ; r2) lộ C ; cựa (O1 ; r1) vộ (O3 ;r3) lộ B ; cựa (O3 ; r3) vộ (O2 ; r2) lộ A

(Xem tiÕp trang 25)

1

AB CA BC B C A B C A

ICM JCK CIM CJK

;

22 Hộm sè lộ mét khịi niỷm trung tẹm cựa giời tÝch toịn hảc TÝnh chÊt cựa hộm sè bẺc nhÊt mét biạn sè ệở ệđĩc ệÒ cẺp rÊt sắm thềng qua nhọng bội toịn tử lỷ thuẺn, tử lỷ nghỡch Trong bội nộy, ta sỳ khai thịc mét sè tÝnh chÊt ệăng biạn, nghỡch biạn cựa hộm sè f(x) ax b, trến mét ệoỰn [ , ] cho trđắc ệÓ giời mét sè bội toịn chụng minh bÊt ệỬng thục nhiÒu biạn

TÝnh chÊt Nạu hộm sè f(x) ax b cãf( ) vộ f( ) thừ f(x) vắi mải x [ , ] Ngđĩc lỰi, nạu f( ) vộ f( ) thừf(x) vắi mải x [ , ]

Tính chất thấy tõ trùc quan h×nh häc

Ta theo dâi mét số toán sau : Bài toán Cho ba số thực không âm x,y,zthỏa mÃn x y z Chøng minh r»ng x2 y2 z2 xyz

Chụng minh Ta viạt lỰi bÊt ệỬng thục trến dđắi dỰng (y z)2 2yz x2 xyz

(3 x)2 2yz x2 xyz 6x x2 2yz x2 xyz yz(x 2) 2x2 6x

Bây ta đặt w yz coi vế trái bất đẳng thức hàm số bậc w:

f(w) (x 2)w (2x2 6x 5) Theo bất đẳng thức Cơ-si ta có

w yz

Suy Theo tÝnh chÊt 1,

f(0) vµ f(w)

ThËt vËy :

VẺy bÊt ệỬng thục ệđĩc chụng minh (ệỬng thục xờy x y z 1)

Bài toán Cho ba số thực không âm x,y,zthỏa m·n x y z Chøng minh r»ng 4(x3 y3 z3) 15xyz

Chứng minh.áp dụng đẳng thức a3 b3 (a b)3 3ab(a b), ta có 4(x3 y3 z3) 15xyz

Đặtw yz coi vế trái bất đẳng thức hàm số bậc w :

2

27

( ) 3

4

f w x w x x

2

27 3 3 3 0

4 x yz x x

3

27 3 (1 ) 0

4 x yz x x

3 3

3

15

4

15

( ) ( )

4

x y z xyz

y z yz y z x xyz

2

2

2

2

3

(0) ;

2

(3 ) ( 2)(3 ) 2 6 5

4

1 ( 1) ( 2)

f x x x

x x

f x x x

x x

2

(3 ) 0

4x

f

2

(3 ) w 4x

2 (3

)

2

y z x

Phạm Văn Thuận, Triệu Văn Hng (ĐHKHTN, ĐHQG Hà Néi)

23 Tđểng tù bội toịn 1ta cã

Theo tính chất 1, phép chứng minh hồn tất f(0) f(w0) (trong

) ThËt vËy :

Qua bội toịn ta thÊy cã mét nhđĩc ệiÓm cựa phđểng phịp sỏ dông hộm bẺc nhÊt lộ ệềi gẳp khã khẽn viỷc xịc ệỡnh giị trỡ cựa cịc biạn ệÓ bÊt ệỬng thục trẻ thộnh ệỬng thục Tuy nhiến, nhiỊu trđêng hĩp, ta khềng cẵn chó ý ệạn ệiỊu nộy

TÝnh chÊt Cho f(x) ax b lµ hµm sè bËc nhÊt, víi mäi x [ , ] ta lu«n cã

min{f( ) ; f( )} f(x) max{f( ) ; f( )} TÝnh chÊt nộy còng tđêng minh mt trực quan hnh hc

Bài toán (Titu Andrescu, Mathematical Olympiad Challenge).Chøng minh r»ng nÕu a, b, c, d [0 ; 1] th×

1 a b c d (1 a)(1 b)(1 c)(1 d) Chứng minh Khơng tính tổng qt, ta coi biểu thức vế phải bất đẳng thức hàm bậc với biến số a

Theo tÝnh chÊt 2, giị trỡ nhá nhÊt cựa f(a) ệỰt ệđĩc tỰi mét hai ệiĨm mót cựa khoờng xịc ệỡnh [0 ; 1]

NÕu a th× f(1) b c d > ; NÕu a th×

f(0) b c d (1 b)(1 c)(1 d) Lặp lại trình trên, coi f(0) hàm số bậc g(b)

Cuèi cïng ta cã nÕu a b c d vế phải Suy ®iỊu ph¶i chøng minh

Cịc tÝnh chÊt trùc quan cựa hộm sè bẺc nhÊt trến ệẹy ệở gióp chóng ta giời ệđĩc mét sè bội toịn tđểng ệèi khã RÊt mong cịc bỰn tiạp tơc phịt triĨn, mẻ réng phỰm vi ụng dông cựa nhọng tÝnh chÊt nộy

Sau ệẹy lộ mét sè bội tẺp ịp dông Bội tẺp Cho x, y, z lộ cịc sè thùc dđểng tháa mởn x y z Chụng minh rỪng :

a) 5(x2 y2 z2) 6(x3 y3 z3) ; (Mihai Piticari, Dan Popescu, Old & New Inequalities) b)

(Sefket Arslanagic, CRUX MATHS) c) 7(xy yz zx) 9xyz;

(BMO 1979) d)

(USAMO 1979) e)

(IMO 1984) Bµi tËp Chøng minh r»ng nÕu a,b,c (0 ; 1) th× abc (1 a)(1 b)(1 c)

Bµi tËp Cho sè thùc x, y, z, t [0 ; 1] Chøng minh r»ng

x(1 y) y(1 z) z(1 t) t(1 x) Bội tẺp Chụng minh rỪng nạu a,b,c lộ ba sè dđểng thừ

2(a3 b3 c3) 3abc (a b c)(a2 b2 c2)

7

2

27

xy yz zx xyz

3 3 6 ;

4

x y z xyz

1 1 27 ;

1 xy yz zx

2

2

2

(27 12)(1 )

( ) 3

16

16 ( ) (3 1)

x x

f w x x

f w x x

2

(0) 3 3( ) ;

4

f x x x

2 (1 )4x

w

2

(1 )

0

4x

24 Sịch Bội tẺp Toịn tẺp 1, chđểng ậa giịc cã bội toịn 6b (trang 126)nhđ sau :

Bội toịn Chụng minh rỪng hừnh n-giịc cã tÊt cờ ệđêng chĐo

Lêi giời(trang 134).Tõ mẫi ệửnh cựa n-giịc (lăi) vỳ ệđĩc n ệoỰn thỬng nèi ệửnh ệã vắi n ệửnh cưn lỰi cựa ệa giịc, ệã cã hai ệoỰn thỬng trỉng vắi hai cỰnh cựa ệa giịc VẺy tõ mẫi ệửnh cựa n-giịc vỳ ệđĩc n ệđêng chĐo Hừnh n-giịc cã n ệửnh nến vỳ ệđĩc n(n 1) ệđêng chĐo, ệã mẫi ệđêng chĐo ệđĩc tÝnh hai lẵn VẺy hừnh n-giịc cã tÊt cờ ệđêng chĐo

Tõ cềng thục trến ta nhẺn rỪng, nạu cho sè cỰnh cựa mét ệa giịc thừ sỳ biạt ệđĩc sè ệđêng chĐo cựa ệa giịc ệã Ngđĩc lỰi, nạu cho sè ệđêng chĐo cựa mét ệa giịc thừ sỳ biạt c số cnh ca

Chẳng hạn :

+ Mét ệa giịc 10 cỰnh cã sè ệđêng chĐo lộ

+ Nạu ệa giịc cã sè ệđêng chĐo lộ 35 thừ sè cỰnh lộ bao nhiếu ? Ta cã

n 10 hoẳc n Vừ n nguyến dđểng suy n 10, ệa giịc ệã cã 10 cỰnh + Nạu ệa giịc cã sè ệđêng chĐo lộ 36 thừ sè cỰnh lộ bao nhiếu ? Giời phđểng trừnh nghiỷm nguyến dđểng nhđ trến ta ệđĩc kạt quờ nghiỷm, nghỵa lộ khềng tăn tỰi ệa giịc cã sè ệđêng chĐo ệóng lộ 36

ậạn ệẹy ta lỰi cã nhẺn xĐt : khềng phời bÊt kừ mét sè nguyến dđểng nộo còng lộ sè ệđêng chĐo cựa mét ệa giịc

+ Mét cẹu hái ệẳt lộ cã tăn tỰi ệa giịc cã sè cỰnh bỪng sè ệđêng chĐo khềng ?

Trờ lêi cẹu hái nộy bỪng cịch giời phđểng trừnh nghiỷm nguyến dđểng ta thu ệđĩc kạt quờ n VẺy ệa giịc nhÊt cã sè canh bỪng sè ệđêng chĐo chÝnh lộ ngò giịc

+ Tđểng tù nhđ vẺy, cịc bỰn còng sỳ trờ lêi ệđĩc nhọng cẹu hái nhđ cã tăn tỰi hay khềng ệa giịc cã sè ệđêng chĐo lắn gÊp k lẵn sè cỰnh, hay lộ từm sè cỰnh cựa mét ệa giịc biạt sè ệđêng chĐo nỪm mét khoờng xịc ệỡnh VÝ dô :

Cho ta sỳ tÝnh ệđĩc n:

28 < n2 3n < 54

Bội toịn xịc ệỡnh sè ệđêng chĐo cựa mét ệa giịc cưn ệđĩc ịp dông mét sè bội toịn thùc tạ cuéc sèng VÝ dô :

Mét cuéc héi nghỡ găm 20 ngđêi ngăi xung quanh mét chiạc bộn ThẺt từnh cê, nhọng ngđêi khềng biạt ệÒu khềng ngăi cỰnh Hái cã tÊt cờ bao nhiếu cẳp khềng biạt ?

Khã hển, cịc bỰn thỏ lộm bội toịn : Cho ệa giịc n cỰnh (n > 3) Cã bao nhiếu tam giịc cã ba cỰnh lộ ba ệđêng chĐo cựa ệa giịc ?

2 2

11 15

2 2

11 15 7 9 8.

2 2

n

n n n

( 3)

14 27,

2

n n

( 3) ,

n n n

2

2 3 70 17

2

n n n

( 3) 35

n n

10(10 3) 35

( 3)

n n

( 3)

n n

TỪ MỘT BÀI TỐN

TRONG SÁCH BÀI TẬP TỐN 8

TRONG SÁCH BÀI TẬP TOÁN 8

25 (TiÕp theo trang 21)

Ta có O1 ; O2 ; C thẳng hàng, sử dụng tam giác đồng dạng suy

Tđểng tù ta cã Suy

Theo định lí Mê-nê-la-t ta có ba điểm A, B, C thẳng hàng (đpcm)

VÝ dô 9.Cho tam giịc ABC vuềng tỰi A, ệđêng cao AH Trến cịc cỰnh ABvộAClẵn lđĩt dùng cịc hừnh vuềng ABEF vộ ACGI nỪm ngoội tam giịc BG cớt AH tỰi O Chụng minh rỪng C, O, E thỬng hộng

Lêi gi¶i

Gäi D giao điểm CO AB ; K giao điểm BO AC ; M giao điểm củaEB vàGC Đặt AC b vàAB c

Ta có hai tam giác ABC CAH đồng dạng suy

AC BH =AB AH ; AB CH =AC AH áp dụng định lí Xê-va vào tam giác ABC vớiBK, AH, CD ta có

(*) áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác BMG với điểm C, O, E với ý (*) ta có

suy C,O,Ethẳng hàng Bài tập áp dụng

Bi Tõ mét ệiÓm Aẻ ngoội ệđêng trưn (O), vỳ hai tiạp tuyạn AB, AC Dùng ệđêng trưn (O’) qua A, tiạp xóc vắi BC tỰi C, cớt (O) tỰi M Gải I lộ trung ệiÓm cựa AC Chụng minh rỪng B, M, I thỬng hộng

Bội Cho tam giịc nhản ABC, cịc ệđêng cao AA1, BB1, CC1 Gải I, K, P, Q lẵn lđĩt lộ hừnh chiạu vuềng gãc cựa A1 lến cịc ệoỰn AB, AC, BB1, CC1 Chụng minh rỪng I, K, P,Q thỬng hộng

Bội Cho tam giịc ABC néi tiạp ệđêng trưn (O) Tõ mét ệiÓm P trến cung BC khềng chụa A, kĨ PK, PL, PM vuềng gãc vắi BC, CA, AB Chụng minh rỪng M, K, L thỬng hộng

Bội Cho tam giịc ABC Tõ A, hỰ cịc ệđêng thỬng vuềng gãc AH, AK tắi cịc ệđêng phẹn giịc vộ phẹn giịc ngoội cựa gãc B ; hỰ cịc ệđêng thỬng vuềng gãc AI, AJ tắi cịc ệđêng phẹn giịc vộ phẹn giịc ngoội cựa gãc C Chụng minh rỪng H, K,I,J thỬng hộng

Bội Cho tụ giịc ABCD ngoỰi tiạp ệđêng trưn (O) Gải I, K lẵn lđĩt lộ trung ệiÓm cựa AC, BD Chụng minh rỪng I,O,K thỬng hộng

2

( ) 1,

BD b c c

BO GC ME BD GC b c OG CM EB GC c c

BD c c c b

1

BD AH AC BD c DA AH AB DA b

1

BD AB CH BD AB CH DA CG HB DA AC HB

1

BD AK CH DA KC HB

1 3

2 1

CO AO BO r r r CO AO BO r r r

2 3

3 ; 1

AO r BO r AO r BO r

1 2 ;

CO r CO r CHỨNG MINH

Solution E20 Letx be a given number xdivides gives remainder 3, so we can put

x 7k (k ) (1) or x (6k 3) k

On the other hand, x divides gives remainder 1, while the sum in the brackets is divisible by 3, so k divides gives remainder

or k 3t (t ) (2) From (1) and (2)

x 7(3t 1) 21t 10

It’s easy to conclude now that x leaves remainder 10 when divided by 21

NhËn xÐt Cã nhiÒu bạn gửi lần này,

trong ó TTT c biỷt hoan nghếnh tẺp thÓ hảc sinh trđêng THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc ệở tham gia rÊt tÝch cùc Cịc bỰn cẵn chó ý khềng chử néi dung toịn, mộ cưn cờ ngọ phịp tiạng Anh, vÝ dô nhđ sau Let thừ ệéng tõ khềng chia (Let x BE , khềng phời Let x is ) hay dỉng giắi tõ ON (mộ khềng phời IN) On the other hand, Nhọng mÉu cẹu nhđ vẺy ệở cã cịc sè bịo trđắc

Xin khen thđẻng cịc bỰn : Huúnh Dđểng, tữ 5, thỡ trÊn ậềng Hđng, ậềng Hđng, Thịi Bừnh; Khững Hoộng Trang, 7D, THCS Lp Thch, Lp Thch, Vnh Phúc

TS Ngô ánh TuyÕt

26

Problem E22 (Dam Huy Dong, Van Giang district, Hung Yen province) On three cards, you write three numbers ; 32 on the first, 97 on the second, and another two-digit number on the third You arrange the three cards to make all possible six digit numbers whose sum of digits is 3535350, determine the number written on the third card

If the sum of possible all six-digit numbers formed by putting consecutively the three numbers on the cards is 3535350, what is the number written on the third card ?

irreducible : tèi gi¶n (tính từ) consecutively : liên tiếp (trạng từ) right-angled triangle :tam giác vuông

27

(TTT2 sè 44)

NƯỚC QUANH TA

Nạu hiĨu ệóng nghỵa cựa tõ cẹu vộ lđu ý ệạn luẺt ẽn vẵn cựa thể lôc bịt thừ cịc em sỳ sỏa ệóng bội thể BỰn NHN (Vỵnh Phóc) ệở khềng hiĨu nghỵa tõ dẺp dỊnhvộ mớc lẫi chÝnh tờ viạt “RẺp rÒnh bđắm ệẺu trến tõng cịnh lan” DẺp dÒnh cã nghỵa lộ ệđa ệÈy lến xuèng nhỡp nhộng trến mẳt nđắc DẺp dÒnh thay bỪng tõ rung rinhmắi ệóng Bội thể cã thĨ sỏa nhđ sau :

Suối chảy róc ráchtrên non Rì rào lá, véo von chim rừng

Rộn ràng khúc hát tng bừng

Rung rinh bđắm lđĩn trến tõng cịnh lan Ve kếu rờhÌ sang

Hảc sinh trư chuyỷn rẹm ran trến ệđêng Rẵm rẺpbé ệéi diÔu hộnh

Chim hót ríu rít lành sáng xuân Rộn rà trống giục đầu thôn

Cnh cy rng rc cn bởo vÒ Ri rửnđắc chờy chẺm ghế Khi buăn rẵu rỵ ự ế mẳt mộy

Rđng rđng nđắc mớt chy ri

Lửa hồng rừng rực đun nồi bánh chng Tiếng chuông điện thoại reng reng Ráo riết chuẩn bị đẩy nhanh tiến trình

Nm bn c nhn quộ kừ nộy : NguyÔn BÝch Diỷp, 6A, THCS ThỰch ThÊt, ThỰch ThÊt, Hộ Tẹy ; Ngun Thỡ KiỊu Oanh, 6A, THCS Lđểng Khịnh Thiỷn, An Lởo,Hời Phưng;Trẵn Thỡ Nhđ , xãm 10, Trung Léc, Can Léc, Hộ Tỵnh ; Hộ Tiạn Cđêng, 8A, THCS Dẹn téc Néi tró, thỡ trÊn Mđêng XĐn, Kú Sển, Nghỷ An; NguyÔn Khịnh Quúnh, 212D, Ngề Gia Tù, An Nhển, TT Bừnh ậỡnh, Bừnh ậỡnh

Phó B×nh

Ngoội cịch gỏi bội dù thi vÒ tỰp chÝ, cịc bỰn hởy từm tõ thÝch hĩp ệÓ thay thạ tõ “nđắc ngảt”trong cẹu “Nđắc ngảt phô thuéc tuẵn trẽng”, bỪng cịch gải ệạn sè 19001548 vộ lộm theo hđắng dÉn hoẳc nhớn tin ệạn sè 8109theo mÉu 3T V2 X Y, ệã Xlộ ệịp ịn cựa bỰn (cịc chọ cịi viạt liÒn nhau, khềng cã dÊu) ; Y lộ sè ngđêi cã ệịp ịn ệóng Chóc mõng bỰn Ngun Thỡ Hđểng, 9B, THCS CÈm Bừnh, CÈm Thựy, Thanh Hãa (sè ệiỷn thoỰi 037876850) ệở tróng thđẻng cuéc thi trến TTT2 sè 44

Nđắc mỰch ta dỉng thđêng xuyến Nđắc ngẵm chử thÊy ẻ miÒn cỏa sềng

Nđắc mịy gẹy hỰi cẹy trăng

Nđắc mđa ệôc khềng chõng Nđắc triÒu tinh khiạt trỉng

Nđắc khoịng tỉ ệảng chử dỉng tđắi cẹy Nđắc lò qua mịy dỉng

Nđắc biÓn tiếu chuÈn ệãng chai ệớt hộng Nđắc ngảt phô thuéc tuẵn trẽng

Nđắc ệị dỉng khớp xãm lộng tõ lẹu Nđắc cÊt tử lỷ khoịng cao

Nđắc thời ngẵu ệôc, dăi dộo phỉ sa Nđắc lĩ dỉng ệÓ pha trộ

Nđắc ao cụng nhơn nhđ lộ mẳt gđểng Nđắc sềng ề nhiÔm mềi trđêng

Nđắc sềi phôc vô phđêng ệềng dẹn Nđắc phÌn hụng bĨ dỉng dẵn

Nđắc cụng kho chụa muèi ẽn dăi dộo Nđắc giạng thđêng ẻ vỉng cao

28 Trần Đăng Khoa :

Cờm ển chịu ệở quan tẹm ệạn cuéc thi rÊt thộnh cềng nộy “ậỰo” lộ mét hai truyỷn ngớn ệẳc sớc cỉng giộnh ệđĩc giời nhÊt cuéc thi viạt vÒ “Thẵy giịo vộ nhộ trđêng”, Bé Giịo dôc vộ ậộo tỰo, Nhộ xuÊt bờn Giịo dôc vộ Héi Nhộ vẽn Viỷt Nam ệăng tữ chục

Cẹu chuyỷn ệđa chóng ta trẻ vỊ nhọng nẽm thịng xa xđa BỪng nhọng nĐt chÊm phị chớt lảc, tịc NguyÔn Lam Hăng ệở “gẽm” ệđĩc vộo trÝ nhắ ngđêi ệảc mét hừnh tđĩng nhẹn vẺt ậã lộ cô ậẫ ậỰi, mét ềng ệă giộu lưng nhẹn ịi, luền yếu thđểng ngđêi vộ tẺn tôy vắi hảc trư ậèi vắi ềng, dỰy hảc khềng phời chử lộ viỷc giờng bội, luyỷn chọ, mộ lắn lao hển lộ phời luyỷn cho hảc trư cã ệđĩc mét cèt cịch vắi ệẵy ệự Tẹm, NhÉn, TrÝ, Lùc Viạt truyỷn ngớn nộy, mét thỏ thịch ệèi vắi tịc lộ phời tỰo dùng ệđĩc khềng khÝ cữ xđa vắi ngền ngọ cựa ngđêi thêi Êy ậã lộ mét thịch thục khềng nhá ệèi vắi mét tịc cưn rÊt trĨ vÒ tuữi ệêi vộ tuữi nghÒ Nãi nhđ nhộ vẽn Ma Vẽn Khịng, mét thộnh viến Héi ệăng Giịm khờo, thừ truyỷn ệở ệỰt ệạn ệé hoộn bÝch xĐt trến gãc ệé cựa thĨ loỰi truyỷn ngớn

Tuy nhiến, ệóng nhđ ềng chịu nãi, nhớc ệạn cịc ềng ệă, ngđêi ta thđêng

hừnh dung ệã lộ nhọng ngđêi dỰy chọ Nho cho cịc thạ hỷ hảc trư Trong ệã cã viỷc luyỷn chọ, lộm viạt cho ệứp Cưn Thđ phịp lộ mét nghỷ thuẺt chử dộnh cho nhọng ngđêi ệở quị thềng thỰo chọ nghỵa, cã thÓ biạn chọ Thịnh hiÒn thộnh nghỷ thuẺt héi hảa ậiÒu nộy khềng phời ềng ệă nộo cịng cã thĨ lộm ệđĩc

Truyỷn ngớn, vắi mét lđĩng chọ Ýt, nến cịc từnh tiạt lỰi phời chẳt chỳ Mẻ ệẵu truyỷn, tịc ệđa chi tiạt ềng ệă giọ nhộ bé Vẽn Phưng Tụ Bờo giị ậã lộ bịu vẺt vua ệẳc ẹn ban cho tõ xa xđa Bé Vẽn Phưng Tụ Bờo nộy ệđĩc xem nhđ Ên kiạm chử trao vộo tay cã ệự tội ệục xụng ệịng lộm truyÒn nhẹn nhÊt, vộ ngđêi ệã ệêi còng chử ệđĩc phĐp dỉng bé Vẽn Phưng Tụ Bờo viạt mét lẵn nhÊt vắi mét nghi lÔ cùc kừ long trảng Ngđêi ệảc chê ệĩi ềng ệă sỳ truyÒn lỰi Bé Vẽn Phưng Tụ Bờo cho cẺu hảc trư tội giái yếu dÊu nhÊt cựa mừnh ngộy cẺu ệẽng quang Nhđng răi tịc lỰi bá lỏng, nến chi tiạt ệở ệđĩc “Đm” sơn nộy hãa vu vể Thếm nọa, bội thể ệđa vộo phẵn kạt truyỷn còng cưn lựng cựng, bẻi vẵn lỷch vộ niếm sai Chụng tá tịc chđa nớm ệđĩc niếm luẺt cựa thÓ thể viạt theo lèi luẺt ậđêng Tuy nhiến, khềng phời vừ sù khiạm khuyạt Êy mộ truyỷn mÊt ệi giị trỡ

Chó Khoa ểi ! Nhộ xuÊt bờn Giịo dôc lỰi võa tữ chục thộnh cềng cuéc thi truyỷn ngớn vÒ ệÒ tội nhộ giịo vộ nhộ trđêng Qua ệội phịt thanh, chịu ệở ệđĩc nghe truyỷn ngớn “ậỰo” - mét truyỷn ệoỰt giời cao nhÊt Chịu rÊt thÝch truyỷn ệã nhđng ềng chịu bờo : “Cịc ềng ệă xđa khềng dỰy thđ phịp ệẹu Thđ phịp chử dộnh cho nhọng ngđêi khĐo tay thềi Cưn cịc ềng ệă thđêng chử dỰy “Tam tù kinh” Chó thÊy ềng chịu nãi ệóng khềng Ự ?

29

(TTT2 số 44) Ngoài cách gửi dự thi tạp chí, bạn hÃy cho

biạt tến viạt tớt cựa Tữ chục cịc nđắc xuÊt khÈu dẵu má, bỪng cịch gải ệạn sè 19001548vộ lộm theo hđắng dÉn hoẳc nhớn tin ệạn sè 8109theo mÉu 3T VA2 X Y, ệã X lộ ệịp ịn cựa bỰn (cịc chọ cịi viạt liÒn nhau, khềng cã dÊu) ; Ylộ sè ngđêi cã ệịp ịn ệóng

Chóc mõng bỰn Lế Chiạn Thớng, sè 17 ệđêng Yến Phóc, khèi Tẹn Phóc, P Hđng Phóc, TP Vinh, Nghỷ An (sè ệiỷn thoỰi 0383849642) ệở tróng thđẻng cuéc thi trến TTT2 sè 44

- What is black and white pink all over ?

- An embarrassed zebra

Hồng Bắc (st) (NXB ĐH SPHN)

CƯỜI TRONG VƯỜN ANH

Cét bến trịi lộ tến viạt tớt (tiạng Anh) cựa mét sè tữ chục quèc tạ, cưn cét bến phời lộ tến ệẵy ệự (tiạng Viỷt) cựa nhọng tữ chục ệã BỰn hởy cho biạt tến viạt tớt nộo tđểng ụng vắi tến ệẵy ệự no

Trần Thị Ngọc Trâm (Con bố Trần Duy Hng, Chi cục thuế Cẩm Xuyên, Hà Tĩnh)

K nộy cịc bỰn vộo thẽm Vđên Anh ệở ệđĩc chiếu ệởi mét bọa “tiỷc cị” linh ệừnh, găm cờ cị biÓn, cị sềng vộ cị ẻ ao hă Cịc bỰn ệở rÊt hộo hụng vộ gỏi bội tham gia rÊt ệềng Nẽm bỰn nữi bẺt nhÊt bọa tiỷc nộy sỳ ệđĩc nhẺn quộ cựa Chự Vđên : Lế Thỡ Phđểng, 89, Thềi Họu, P Ngảc TrỰo, TP Thanh Hãa, Thanh Hãa ; NguyÔn CÈm Nhung, 81, THCS Lế Vẽn Thiếm, TX Hộ Tỵnh, Hộ Tỵnh ; Lế Thanh Hộ, 7B,

THCS Trần Hng Đạo, TP Buôn Ma Thuột,Đắk Lắk;Nguyễn Vũ i NhÃ, 9A4, THPT số An Nhơn, Bình Định ; Phạm Kiều Linh, 7A1, THCS Hai Bà Trng, Phúc Yên, Vĩnh Phúc

Tên loài cá (từ xuống): LOACH - cá chạch ; SKATE - cá đuối ; CARP - cá chép ; TUNA - c¸ ngõ ; SAILFISH - c¸ cê ; CATFISH - cá trê ; SALMON - cá hồi ; SCAD - c¸ nơc

Chự Vđên OPEC

30

(TTT2 số 44) Bàn bạc trao đổi iu hay

Bàn quần áo phẳng tức Bàn thua thất bại buồn ghê

Bàn mổ dao kéo, thuốc mê sẵn sàng Bàn cÃi gay gắt tíi cïng

Bộn ệỰp hai chiạc quay vưng trđắc sau Bộn thớng khịn hư reo

Bµn phÝm gõ chữ theo liền Bàn tay cầm bút viÕt tªn

Bộn chời gióp bỰn sịng thếm nơ cđêi Thờo dẹn tháa thÝch vui chểi

Bội hay lộm ệóng vui tđểi nhẺn quộ

Ban thđẻng : Ngun Trung Dịng, sè 28, ngâ 86, Cẹy ệa, ệđêng NguyÔn Sinh Sớc, Vinh, Nghỷ An ; NguyÔn Thỡ Hoội Thể, 6B, THCS Lế Hăng Phong, An Khế, Gia Lai ; NguyÔn ậẽng Nguyến, mứ lộ Trỡnh Thỡ Hoa, giịo viến THCS Tam Anh, Nói Thộnh, Quờng Nam ; Ngun Vẽn Thờo, 7A5, THCS thỡ trÊn Phđắc An, Krềng Pẽk, ậớk Lớk ; Lế Ngảc BÝch, bè Lế Duy Lĩi, ệéi 4, xở Hỉng Sển, ậỰi Tõ,Thịi Nguyến

Vua tạu Ngoội cịch gỏi bội dù thi vÒ tỰp chÝ, cịc bỰn hởy giời ệịp cẹu “Thẵn gừ nhanh ệạn ngì ngộng ?”, bỪng cịch gải ệạn sè 19001548vộ lộm theo chử dÉn hoẳc nhớn tin ệạn sè 8109 theo mÉu 3T RC2 X Y, ệã Xlộ ệịp ịn cựa bỰn, cịc chọ cịi viạt liÒn nhau, khềng cã dÊu ; Y lộ sè ngđêi cã ệịp ịn ệóng

Chóc mõng bỰn Vị Thỡ Nga, 9A, THCS Trẵn Phó, Nềng Cèng, Thanh Hãa (sè ệiỷn thoỰi 037680070) ệở tróng thđẻng cuéc thi trến TTT2 sè 44

Thần huyền ảo khó tin ? Thần vũ khí làm kinh quân thù ?

Thần trồng trät cÇn cï ?

Thẵn gừ ngđìng mé, viạt thđ, ngớm nhừn ? Thẵn gừ vỡ thuèc cụu tinh ?

Thần tài phép anh minh siêu phàm ? Thần nhanh đến ngỡ ngàng ? Thần mt, xin ng l ?

Thần em bé tài hoa ?

Thần truyện cổ lời bà hôm nao ? Thần hiểu rộng, biết cao ? Thần nh có phép màu ?

Nguyễn Hùng Linh (8/4, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hµ TÜnh)

Hái : Cã phời bội gỏi vÒ trđắc thừ ệđĩc khen trđắc khềng ? Nạu thạ thừ em ẻ xa sỳ bỡ “hắ” hạt ?

(9G, THCS Lª Quý Đôn, Hà Lam, Thăng Bình, Quảng Nam) Đáp :

Cịc bội mẻ chÊm mét Ai giời hay nhÊt tục thừ ệđĩc khen

B¹n xa xin chí vội ghen Nhiều lần cố gắng có phen

rinh quộ Hái : Em rÊt thÝch uèng cộ phế, gióp em tửnh tịo hảc hoẳc lộm viỷc Nhđng cã ngđêi nãi : Cộ phế cã hỰi cho sục kháe Theo anh thừ em nến thạ nộo ?

L.H.A (8B, THCS Đức Lạc, Đức Thọ, Hà Tĩnh) Đáp :

Cộ phế kÝch thÝch ngđêi ta Uèng nhiÒu sỳ nghiỷn ệẹm “tiạn tăn” Bẹy giê ệang tuữi lắn khền ThÓ thao tửnh tịo cưn hển

uống nhiều Hỏi :Tiểu muội gái nhðng chuyên “phát hành” trò chơi nghỉ trða Muội nghịch bật đám gái nên

bän chúng toàn trêu muội giới tính Làm anh ?

(7B, THCS Thuận Thành, Bắc Ninh) Đáp :

Con gái tinh nghịch đáng yêu Nhðng không nờn phỏt

quá liều đâu nghe Nữ tính có chút rụt rè Hay toe toe cầm đầu !

Hỏi : Nhà xuất Giáo dục có quản lí việc phát hành sách nhà xuất khác không ? Em thấy có nhiều loại sách nhà xuất khác giá cao quá, không hợp với dân nghèo chúng em Anh trả lời !

Trần Thị Cẩm Lài (9C, THCS Đức Phổ, Quảng NgÃi) Đáp :

Mỗi nhà lo hết khâu Việc nhà khác, đâu nhúng vào Nếu mà giá sách cao Xin em quản lí hầu bao

của Hỏi : Hắn ta viết th nói iu em xin em ảnh làm kỉ niệm Em muốn nói cho biết Em không yêu ! nhng lại ng¹i

Anh gióp em vắi nhĐ ! Trẵn Thỡ Hđểng (9A, THCS Vỵnh Tiạn, Kim Bềi, Hưa Bừnh) ậịp :

Hắn iu em lặng thinh Tội cho hình em

Mỏch vi cụ giáo thử xem Cô bày cách để đem dựng

Hỏi :

Làm thơ em sành Nếu mà so sánh với anh

cũng bng Nhđng em xin ệđĩc hái rỪng Bao giê em ệđĩc gải bỪng

“nhộ thể” ? Trđểng Quèc Thanh (10 Chuyến Tin, THPT chuyến Hộ Tỵnh) ậịp :

Ai ểi ! Chỡu khã ệĩi chê Gian nan rÌn luyỷn, đắc mể

sÏ thµnh Bµi nµo hay gưi cho anh Để anh học cho sành

32 Bội 1(46) Giời hỷ phđểng trừnh

Trần xuõn ỏng (THPT chuyờn Lờ Hng Phong,

Nam Định) Bài 2(46).Choa,blà hai số thực không âm vàP(x) (a2 b2)x2 2(a3 b3)x (a2 b2)2 Chøng minh r»ng P(x) víi mäi x tháa m·n |a b| x a b

Ngun h÷u b»ng (THCS BÕn Thđy, TP Vinh, NghƯ An) Bµi 3(46) Cho tỉng

trong ệã n,p,qlộ sè nguyến dđểng vộ lộ phẹn sè

tối giản Tìm số tự nhiên nhỏ n để q chia hết cho 2006

ệẫ vẽn ệờm (THCS Yến Hưa, Yến Mề, Ninh Bừnh) Bội 4(46) Cho tam giịc ABC ngoỰi tiạp (I) vộ néi tiạp (O) Gải cịc giao ệiÓm cựa AI, BI,CIvắi (O) lẵn lđĩt lộ A1,B1,C1 ; cịc tiạp ệiÓm cựa (I) vắi BC, CA, AB lẵn lđĩt lộ A2, B2, C2 vộS,S1, S2 lẵn lđĩt lộ diỷn tÝch cựa cịc tam giịc ABC,A1B1C1,A2B2C2 Chụng minh rỪng S2 4S1S2

đinh văn sơn (số 11, ngõ 13, Nguyễn Công Trø,

TX Hộ Tỵnh, Hộ Tỵnh) Bội 5(46).Cho tam giịc ABCvuềng tỰi A cãrvộRlẵn lđĩt lộ bịn kÝnh cựa cịc ệđêng trưn néi tiạp vộ ngoỰi tiạp tam giịc ; halộ ệé dội ệđêng cao xuÊt phịt tõ ệửnh A Chụng minh rỪng

Cao minh quang (THPT chuyªn Ngun BØnh Khiªm, VÜnh Long)

(1 2)

a

h r R

p q

1 1 ,

1 p

n n n n q

3

3

3

2

2

2

x x x y

y y y z

z z z x

1(46) Solve the system of equations

2(46).Let a,bbe non-negative real numbers andP(x) (a2 b2)x2 2(a3 b3)x (a2 b2)2 Prove that

P(x)

for all x satisfying |a b| x a b 3(46) Given the sum

wheren,p,q are positive integers and is an irreducible fraction, find the least

natural number n such that q is divisible by 2006

4(46).Let (I) and (O) be the incircle and circumcircle of triangle ABC, respectively Let A1, B1, C1 be the intersections of AI, BI, CI and (O) respectively ; and A2, B2, C2 the points of tangency of (I) with BC, CA, AB, respectively Let S, S1, S2 be the areas of triangles ABC, A1B1C1, A2B2C2 respectively Prove that S2 4S1S2

5(46).LetABCbe a right-angled triangle at A Let r and R be the inradius and circumradius ; let ha be the altitude of the triangle from vertex A

Prove that ha (1 2)r R

p q

1 1 ,

1 p

n n n n q

3

3

3

2

2

2

x x x y

y y y z