Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 44

Taïp chí Toaùn Tuoåi thô vaø ñoäi nguõ caùc taùc giaû cuûa caû ba baäc hoïc mong muoán boä saùch "OÂn kieán thöùc - Luyeän kó naêng" seõ trôû thaønh ngöôøi baïn ñoàng haønh c[r]

44

"ÔN KIẾN THỨC - LUYỆN KĨ NĂNG" CHỈ CẦN CHĂM LÀ SẼ GIỎI ! "ƠN KIẾN THỨC - LUYEỨC - LUYEỨC - LUYỆC - LUYEN KĨÄN KĨN K NAĨ NAĨ ÊNG"

CHÚC MỪNG TOÁN TUỔI THƠ 1

1 l KÕt qu¶ : (TTT2 sè 42)

l Kì :

- Phân tích :Giả sử dựng điểm M trªn cung lín

AB cho MA  3MB áp dụng tính chất tia phân giác tam giác, ta có cách dựng điểm M Thật vậy, dựng phân giác cắt dây cung

AB cung nhỏ AB điểm N, P Suy Plà trung điểm cung nhỏ AB Nh­ vËy N,

Pcố định Mchính giao điểm PNvới đường tròn - Cách dựng :Dựng điểm

Plà trung điểm cung nhỏ

ABvà điểm Ntrên dây cung

ABsao cho NA3NB(chia ụi liờn tip) PNct cung ln

ABcủa đường tròn M,

điểm cần dựng (MA3MB) Luôn dựng điểm M thỏa mãn toán (đề nghị bạn tự thực phần chứng minh biện luận)

Nhận xét.Đa số bạn dựng điểm M theo cách biết với dây cung ABbất kì đường trịn, ta xác định điểm M thuộc đường tròn cho MA  3MB Khi tốn có hai nghiệm hình

Ngồi bạn cịn có hai cách dựng khác :

+ Lần lượt dựng điểm K

nằm đoạn ABvà điểm

K nằm đoạn AB cho KA= 3KBvµ K’A= 3K’B

M giao điểm đường trịn đường kính KK’và cung lớn AB(MK, MK’lần lượt phân giác phân giác ngoi ca )

+ Lấy điểm M0bất kì trªn cung lín AB, dùng

Trªn Ox lÊy

điểm Evà Oylấy điểm

Fsao cho OF3OE; Dựng vỊ phÝa cung lín

AB, M lµ giao

điểm Azvà cung lớn AB Các bạn thưởng kì Đinh Xn Lộc, 8A, THCS Ngơ Đồng, Giao Thy,

Nam Định ; Lê Văn Tuấn, 8C, THCS Lê Thánh Tông, Thọ Xuân, Thanh Hóa ;

Hoàng Minh Lập, 8E, THCS Quang Trung, Kiến Xương,

Thái Bình ; Nguyễn Minh Hiếu, 8A11, THCS Giảng Võ, Ba Đình, Hà Nội ; Nguyễn Khánh Linh, số 82, ®­êng Ngun Kh¾c Nhu, TP B¾c Giang, B¾c Giang

Anh Compa

  ;

BAz OFE

  0 ;

xOy AM B



AMB

 3

NA MA NB MB

,

AMB

Trên bảng viết 10 chữ số 0, 1, 2, , 9, xếp theo thứ tự tăng dần giảm dần Hãy điền thêm dấu phép tính để kết 2006

2

Xuất phát từ toán bt ng thc :

Bài toán 1.Cho hai số không âm a, bthỏa mÃn ab1 Chứng minh

Lời gi¶i.Chó ý tíi mét tÝnh chÊt cđa lịy thõa bËc hai : với x, y không âm

xyx2y2, ta có hai cách giải sau

Cách 1.Ta cã :

Với a, bkhông âm, bất đẳng thức Đẳng thức xảy

Cách áp dụng bất đẳng thức

Bu-nhi-a-cèp-ski ta có :

lĐây toán không khã MỈt

khác, gợi mở để học sinh tự khái quát dần lên theo hướng khác Điều bổ ích cho việc rèn luyện lực tư duy, thói quen khám phá niềm say mê học tập sáng tạo học sinh

- Gợi mở thứ nhất.Từ cách 2, ta hoàn toàn có sở nghĩ đến việc thay đổi điều kiện ab1 tốn 1thành abn

để tìm kết luận tương ứng !

Làm tương tự cách ta chứng minh bất đẳng thức a b n Từ

     

     

2

(1 ) (1 1)( )

( ) 2

a b a b

a b a b

  

2

a b

    

      

    

      

2

2

2 ( ) ( 2)

2 2

2

2 ( )

a b a b

a b ab ab

ab ab a b

a ab b a b

 

a b

nguyễn trường tuyn (THCS Hưng Thịnh, Bình Giang, Hải Dương) REỉN LUYỆN KHẢ NAấNG

KHÁI QUÁT HÓA

Câu đố kì trước cho biết trước chữ hàng dọc nên có nhiều bạn tham gia Phần lớn bạn đưa đáp án Ngoài giải với ô chữ vẽ đẹp, vần thơ hay, tranh ngộ nghĩnh, Hồng Hà nhận nhiều ý kiến khen ngợi, động viên yêu mến bạn Hồng Hà cảm động xin hứa cố gắng nhiều để Hồng Hà người bạn thân tất cỏc bn

Các hàng ngang theo thứ tự từ trªn

xuống : đầm, sơng, rạch(có thể điền rãnh), kênh, mương, ao, ngòi Hồng Hà xin tặng quà cho 20 bạn xuất sắc : Phạm Thị Vân Nga, 8C, THCS Chu Văn An, Chí Linh ; Phạm Xn Đức, xóm 7, thơn Do Nghĩa, Nghĩa An, Ninh Giang, Hải Dương; Nguyễn Thị Hạnh, 9B, THCS n Phong, n Phong, Bắc Ninh;

Ngun ThÞ Mai Anh, 6C, THCS Dệt, Việt Trì, Phú Thọ; Đỗ Quỳnh Trang, 9C, THCS Tản Đà, Ba Vì ; Kiều Hồng Quân, 7C, THCS Thạch Thất, Thạch Thất, Hà Tây ;

3

ta có toán :

Bài toán Cho hai số không âm a, b

tháa m·n a  b  n (víi n  , n  1) Chøng minh

- Gợi mở thứ hai Bây giờ, lµ hai sè a, b mµ lµ ba sè a, b, c th×

bài tốn 1sẽ biến đổi ?

Víi a  b  c 1, theo cách (lời giải

bài toán 1) ta cã :

NÕu cho a  b  c  n th× cuèi cïng ta chøng minh :

Bài toán 3.Cho ba số không âm a, b, c

tháa m·n abc n(víi n , n 1) Chøng minh

- Gợi mở thứ ba Đến đây, hầu hết bạn tự nhận toán tổng quát, bao trùm tất kt qu trờn :

Bài toán 4.Cho msố không ©m a1, a2,

a3, , amtháa m·n a1a2a3 amn

(m, nlà số tự nhiên không nhỏ h¬n 1) Chøng minh

- Gợi mở thứ tư.Liệu tốn 1có cịn điều khác để bàn đến hay khơng ?

Đối với số bạn câu chuyện xung quanh toán 1chưa thể dừng lại Ví dụ, bạn xét xem tốn sau liên quan đến tốn 1như nào, có tiếp tục mở rộng hay không đề nghị bạn giải chúng, xem tập

Bµi toán 5.Cho số không âm a, b, c

thỏa mÃn abc1 Chứng minh :

Bài toán 6.Cho số không âm a, b, c, d

thỏa mÃn abcd1 Chứng minh :

Bài toán Cho a, b, c thỏa mÃn ba cạnh tam gi¸c cã chu vi b»ng Chøng minh :

        2

a b c b c a c a b

        

   2

a b c b c d c d a

d a b

       2 ;

a b b c c d d a

     

a b b c c a

   

1 m

a a a mn

  

a b c n

         

   

   

2

(1 1 ) (1 1)( )

( )

3

a b c a b c

a b c

a b c

 

a b n

Lương Xuân Huy, 9A, THCS Tiên Lữ, Tiên Lữ ; Trần Anh Tuấn, số nhà 168, đường Nguyễn Huệ, P Hiến Nam, TX Hưng Yên ;

Nguyễn Thị Thúy Liên, mẹ Nguyễn Thị Hoa, giáo viên Vật Lý, THTP Khoái Châu, Khoái Châu, Hưng Yên ; Đỗ Thị Phương, 8A, THCS Thân Nhân Trung, Việt Yên, Bắc Giang ; Đinh Thị Hạnh, bố Đinh Ngọc Cường, Đài Điện thoại An Dương, Hải Phòng; Lê Thị Mai Phương, bố Lê Sỹ ứng, số nhà 01, đường 30/4, tiểu khu 4, thị trấn Hà Trung ; Hoàng Thị Vân Anh, 7B, THCS Lê Hữu Lập, Hậu Lộc, Thanh Hóa;

Ngun Minh Uyên, số nhà 51, tổ 24, P Phan Thiết, TX Tuyªn Quang, Tuyªn

Quang ; Lê Thị Hồng Nhung, xóm 6, Thụy Quỳnh, Thái Thụy, Thái Bình; Ngơ Thị Mai Hạnh, 7A1, THCS Hai Bà Trưng, TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc ; Nguyễn Thị Ngọc Anh, mẹ Hoàng Thị Minh Châu, Bưu điện thị xã Hồng Lĩnh, Hà Tĩnh ; Hà Thị Thanh Bình, 87, THCS Nguyễn Chí Diểu, TP Huế, Thừa Thiên - Huế ; Nguyễn Đăng Bảo Hanh, 7/11, THCS Trưng Vương, TP Đà Nẵng, Đà Nẵng; Trần Thị Tường Vân, 8/7, THCS Thị Trấn, Vĩnh Thuận, Kiên Giang

Chúc mừng bạn Nguyễn Thị Xuân, 9A, THCS Thạch Hòa, Thạch Thất, Hà Tây (số điện thoại 0984849611) trúng thưởng

4

l Kết : (TTT2 sè 42)

l Kì :

l Lời giải nêu tưởng chừng đúng,

nhiên mắc sai lầm xử lí bất đẳng thức HKAM, dẫn đến kết luận sai giá trị lớn đoạn HK Đẳng thức khơng thể xảy HK đường kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác AHMK, suy vuông Điều trái với giả thiết ABCnhọn

lLời giải đúng.Bốn điểmA, H, M, Kcùng

thuộc đường trịn đường kính AMnên ta có  MBCvà MHKđồng dạng

mà MHMBHKBC Đẳng thức xảy Htrùng với B, lúc

và AMlà đường kính (O) Vậy đoạn HK có độ dài lớn

BC, M điểm đối xứng Aqua O

l Các bạn thưởng kì Nguyễn

Hoµng HiƯp, 127B, tiểu khu 3, thị trấn Neo, Yên Dũng, Bắc Giang ; Nguyễn Hoàng Bảo, 8A, THCS Nguyễn Tự Tân, Bình Sơn,

Qung Ngói ; Nguyn Duy Cng, 9A, THCS Võ Thị Sáu, TP Hải Dương, Hải Dương ; Trần Anh Ngọc, Đội 2, Liên Lộc, Hậu Lộc, Thanh Hóa ; Lê Duy Tùng, 9E, THCS Chu Văn An, Eakar, Đắk Lắk

Anh kÝnh lóp  90o

ABM  BC MB ,

HK MH

       ;   MBC MAC MHK MCB MAB MKH 

HAK

NHƯ TH CHA C SAO ?

Bài toán.Cho x, y, zthỏa mÃn x2y2z227 Tìm giá trị lớn biểu thøc Pxyzxyyzzx

Một bạn học sinh làm sau : Lời giải.Với x, y, zta có :

(xy)20 ; (yz)20 ; (zx)20

suy x2y22xy; y2z22yz; z2x22zx

2(x2y2z2) 2(xyyzzx) 27 xyyzzx; (1) (x1)20 ; (y1)20 ; (z1)20

suy x21 2x; y21 2y; z21 2z

(x2y2z2) 3 2(xyz) 15 xyz (2) Céng theo tõng vÕ cña (1) ; (2) suy P 42 Vậy giá trị lớn Plà 42

Bài làm cẩn thận, bị điểm Các bạn có biết kh«ng ?

Nguyễn minh đức (Lớp 9/4, THCS Nguyễn Du, TX Tam Kì, Quảng Nam)

5

l KÕt qu¶ : (TTT2 sè 42)

v Kì :

Cã qu¸ nhiỊu c¸ch giải Sau số cách

Cỏch 1.Cỏc số ghi phía hình số hình chữ nhật có cạnh khơng vượt q hai lần độ dài cạnh hình vng nhỏ Do kết cần tìm

Cách 2.Nếu ghép thêm ba hình vng nhỏ cách hợp lí ta có số hình Do kết

Cách 3.Nếu lấy số hình trừ số hình vng hình ta có kết dãy số cách ; ; Do kết nhận hình cuối phải Từ suy số cần điền vào dấu chấm hỏi

Các bạn giải xuất sắc cách suy luận khác thưởng kì : Trần Thị Hằng, số nhà 40/18, phường Trung Sơn, TX Tam Điệp, Ninh Bình; Lê Thị Thu Huyền, 8/3, THCS Lê Quý Đôn, TP Hải Dương, Hải Dương; Cát Xuân Anh, 9C, THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bình, Bắc Ninh

Nguyễn Đăng Quang Điền số vào dấu chấm hỏi để hợp lơgic ?

Ngồi cách gửi dự thi tạp chí, bạn gọi đến số 19001548và làm theo dẫn nhắn tin đến số 8109theo mẫu

3T IQ2 X Y, Xlà đáp án bạn ;

Ylà số người có đáp án

Chúc mừngbạn Nguyễn Văn Quý, 8B, THCS Thái Hịa, Thái Thụy, Thái Bình (số điện thoại 036720665) trúng thưởng

cuéc thi trªn TTT2 sè 42

6

ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TRONG VIỆC TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC

u u u u u u u u u u u u u u u u u u

Có nhiều tốn tưởng chừng khơng liên quan đến hệ phương trình, biết đưa hệ phương trình lời giải trở nên ngắn gọn đơn giản Trong số có tốn tính giá trị biểu thức

VÝ dơ 1.Tính giá trị biểu thức :

Lời giải

Đặt

Suy a> ; b> ; ab> ; Ta có hệ phương trình

Trõ theo tõng vÕ (1) cho (2) suy (v× ab> 0) VËy :

Nhận xét.Trong lời giải trên, dựa vào mối liên hệ hai thức để tính hiệu chúng Tương tự, bạn theo dõi tiếp ví dụ sau õy

Ví dụ 2(TTT2 số 19, tác giả Nguyễn Văn Lạc).Tính giá trị biểu thức :

Lời giải.Đặt

(a, b, c, d, ab, cdu dng) Suy :

a2b210 Ta có hệ phương trình

Cộng theo vế (1) (2) suy (vì ab> 0) ; (3) Tương tự với c, dta có hệ phương trình

Trõ theo tõng vÕ (4) cho (5) suy (v× cd> 0) (6) Tõ (3) vµ (6) suy

VÝ dơ 3.TÝnh giá trị biểu thức :

Lời giải

36 847 36 847.

27 27

C

     1  7. 

B a b c d   c d 1

 2   

(c d) ( 1)

2 10 (4)

2 (5)

c d

cd

  

 

 



a b

   

2

(a b )  8 ( 1)     



 



2 10 (1)

2 (2)

a b

ab

 25 17 7   ( 1)  1; ab

 5 17 7 d

 5 17 ;  5 17 ;

c b

 5 17 ; a

      

     

5 17 17

5 17 17

B

 

12 23 ; 12 23

 2 0.

A

     

2 2 2 2

a ab b a b

2 24 (1)

2 22 (2)

a b

ab   

 



     

2 12 23 12 23 24.

a b

 12223 144 23 11  ab

 12 23 ;  12 23

a b

 12 23 12 23

A

7

Đặt suy

Ta cú h phương trình

Céng theo tõng vÕ (1) vµ (2) suy (ab)312 5(ab) C35C 12 0 (C3)(C23C4) 0 C3.

Vậy : C3

Ví dụ 4.Tính giá trị biểu thức :

Lời giải.Đặt suy a> ; b> ;

Ta có hệ phương trình

Cộng theo vế (1) (2) suy Giải phương trình trùng phương

ta (lấy nghiệm dương) Mời bạn tiếp tục trao đổi cựng chỳng

tôi Sau tập vận dụng

Bài tập.Tính giá trị biểu thøc :

                                   3 4 4

1) 1 2

2 ;

2) 35 69 35 69 12 ;

3) 7 10 19

10 19 ;

4) 17 12 ;

17 12

5) 6

a a

   

VËy : D 13 (v× a b > 0)

  

2 2 13 5

D

     

( ’ 14 65 ( 13 5) )

    

    

4

4

( ) 4( ) 14 65

4 14 65

a b a b

D D

3 2

4

4 4( ) (1)

16 65 (2)

a b a b ab a b

a b                                4

3 2

2 2

(8 65) 16(8 65)

64 16 65 65 128 16 65 1;

4

4 [( ) ] 4( )

ab

a b a b ab

ab a b ab a b a b

  

4 16 65 ;

a b

48 65 8  65

b

48 65 8  65 ;

a

    

   

4

8 65 65

8 65 65

D

  

 

 

 3

3 ( ) 5( ) (1)

12 (2)

ab a b a b

a b

336847 5 ; 3 12.

27

ab a b

36 847 ; 36 847

27 27

a b

(Tiếp theo bìa 3)

Hàng :BÃi biển Cửa Lò thuộc tỉnh

Hng :Khu du lịch Ghềnh Đá đĩa thuộc tỉnh

Hàng :Thành phố có di tích cố UNESCO cơng nhận di sản văn hóa giới

Hµng :Hang Pắc Bó thuộc tỉnh

Hàng :Tỉnh có vùng vịnh UNESCO công nhận di sản thiên nhiên giới

Hàng :ải Chi Lăng thuộc tỉnh

Hng 10 :Huyn o Trng Sa thuộc tỉnh

Hàng 11 :Vườn quốc gia Cúc Phương thuộc tỉnh

Hàng 12 :Tỉnh cực Nam đất nước Ngồi cách gửi Cơng ty Bản đồ - Tranh ảnh Giáo khoa, bạn gọi đến số 19001548 làm theo dẫn nhắn tin đến số 8109 theo mẫu 3T TG2 X Y, Xlà đáp án bạn cho cột dọc (các chữ viết liền nhau, khơng có dấu) ; Ylà số người có đáp án

Chúc mừng bạn Nguyễn Trọng Hưng, 7A, THCS Thành Nhân, Ninh Giang, Hải Dương (số điện thoại

8

ThS.NGUN V¡N NHO (NXBGD)

Olympic Tốn Châu Thái Bình Dương, gọi tắt APMO (Asian Pacific Mathematics Olympiad) tổ chức lần vào năm 1989 với bốn nước tham gia, úc, Hồng Cơng, Ca-na-đa Sin-ga-po Từ đến 17 năm trôi qua, thi ngày thu hút nhiều đất nước có hải phận thuộc Thái Bình Dương (Pacific-Rim) Năm 1998, có đến 22 nước tham gia, có nhiều nước thuộc châu Mĩ La tinh châu Phi Giống thi mang tính quốc tế khác, APMO nhằm vào mục đích :

a) Khám phá tài tốn học, khích lệ phong trào học tập nghiên cứu tốn học quốc gia thuộc vùng Pacific-Rim b) Duy trì, phát triển mối quan hệ hữu nghị hợp tác quốc tế học sinh giáo viên thuộc nước khu vực Pacific-Rim

c) Tạo hội trao đổi thông tin thực tiễn giáo dục chương trình hành nước Thái Bình Dương

Các học sinh giỏi Tốn Việt Nam bắt đầu tham gia thi APMO lần vào năm 1996, nhằm vào kì thi lần thứ tám, với tổng số 14 nước tham gia Có thể nói, từ lần tham gia này, Việt Nam gây tiếng vang giới : điểm trung bình đạt 33.90, xếp hạng Những năm tiếp theo, tính đến bây giờ, đội tuyển Việt Nam chưa chiếm lại vị trí hạng nhất, ln

giữ vị trí nhì ba tổng số nước tham gia ngày tăng

Cũng nhiều thi khác dành cho THPT, có mức độ vừa, mà trình độ giỏi THCS nước ta giải Đặc biệt, toán năm đầu thi thường dễ so với năm sau Trong số này, tuyển chọn để giới thiệu phù hợp cho bạn THCS Hi vọng ngày tương lai, số bạn có người thành viên đội Việt Nam tham dự APMO

Bµi 1.(APMO, 1989)

Chứng minh phương trình 5n2  36a218b26c2(4 ẩn) khơng có nghiệm ngun, ngoại trừ nghiệm abcn0

Bài 2.(APMO, 1991)

Hai đường tròn (C) (C) tiếp xúc với đường thẳng ABtại B HÃy cách dựng tất đường tròn qua A tiếp xúc với hai đường tròn (C) (C)

Bài 3.(APMO, 1996)

Cho tứ giác ABCDcó ABBCCDDA Gọi MNvà PQlà đoạn thẳng song song vuông góc với BD khoảng cách chúng lµ , víi M AD,

NDC, PABvµ QBC

Chứng minh chu vi lục giác

AMNCQPkhông phụ thuộc vào vị trí

MN v PQ, miễn khoảng cách d chúng không đổi

2

BD d  gIèI THIỴU CC THI

9

CUỘC THI OLYMPIC TOÁN QUỐC GIA AI-LEN

Bµi 1.(Problem 3, 1990)

Giả sử pa3b3(ab)(a2abb2) Vì a, blà số nguyên dương nên ta cú

a2 ab b2> 1, mà p nguyên tố suy

ab1 ab1 p3b23b1 4p12b212b4 3(2b1)21

Như có nghĩa 4pchia cho thương (2b1)2và dư Ta có đpcm

Bµi (Problem 1, 1991)

lVíi m3, ta cã (n1)2n2(n1)2

 3n2  2, chia cho dư 2, không số phương (số phương chia cho dư ; 1) Do m 3

lVíi m4, ta cã (n 1)2 (n2)2

4n24n 6, chia cho dư 2, không số phương (số phương chia cho dư ; 1) Do m 4

lVíi m5, ta cã (n 2)2 (n2)2

5n210 số phương n22 bội 5, khơng n22 chia cho dư ; ; Do m 5

lVíi m6, ta cã (n 2)2 (n3)2

6n26n19 6n(n1) 19, chia dư 3, khơng số phương Do m 6

lVíi m11, ta cã (n5)2 (n5)2

 11n2  110  11(n2  10) số phương n2 10 bội 11 Kiểm tra với n 10 ; 12 ; 21 ; 23 ta nhận thấy giá trị 23 thỏa mãn

Từ ta có ví dụ thỏa mãn u cầu đề 182192 282772

Bài (Problem 3, 1991) Ta chứng minh quy nạp Trước hết, số số chấp nhận

Gi¶ sử N3 số chấp nhận được,

ú ta có a1,

a2, , aNlà số nguyên dương đôi khác khác Ta có :

và dễ thấy 2, 2a1, 2a2, , 2aNlà số nguyên dương đôi khác khác nên N  số chấp nhận Theo ngun lí quy nạp ta có số nguyên dương N3 số chấp nhận

Bµi (Problem 2, 1992)

Gọi p(m) tích chữ số số nguyên dương mvà Rklà số lập kchữ số

Giả sử tồn số nguyên dương n p(n) Rk, ú k>

lTrong số nkhông có chữ số chẵn

p(n) Rk, số lẻ (tËn cïng b»ng 1) ;

lTrong sè nkh«ng thĨ có chữ số

p(n) Rk, không chia hÕt cho ;

lTrong sè nkh«ng thĨ có chữ số

9 vỡ nu điều p(n) Rk, chia hết cho 9, suy kphải bội 3, điều có nghĩa Rkphải bội 111   37, tức Rkchia hết cho số nguyên tố 37, mâu thuẫn với giả thiết Rklà tích thừa số có chữ số

l Do số n có chữ

sè vµ 7, suy Rklµ mét lịy thõa Mặt khác, dễ kiểm tra thấy R6chia hết cho R1, R2, , R5 không chia hết cho

Suy nÕu Rkchia hÕt cho kphải bội klà bội 3, không xảy

Vậy ta có đpcm

1

1 1 2a 2a 2aN

    

1

1 1 1 1

1

2 2 a a aN

 

        

 

1

1 1

1 ,

N

a a a

   

1 1

1

2   

10

Hướng dẫn giải đề kì trước :

Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 (vòng 2),

Khối THPT chuyên, Đại học Sư phạm Hà Nội, năm học 2006-2007 (§Ị đăng TTT2 số 43)

Câu 1.Ta có (3x4)(x1)(6x7)26 (6x8)(6x6)(6x7)272

Đặt 6x7 t, phương trình trở thành (t1)(t1)t272 t4t272 0 (t29)(t28) 0 t29 0 t 3

Từ 6x7  3

C©u 2.Ta cã (y1)4y4(x1)2x2 2y44y36y24y1 2x22x1 y42y33y22yx2x

(y2y)22(y2y) 1 x2x 1 (y2y1)2x2x1 (1)

Víi mäi x0 ta cã :

x2< x2x1 x22x1 (2) Do đó, x; ythì từ (1) ; (2) suy

x2< (y2y1)2(x1)2 x< y2y1 x1 y2y1 x1 (y2y1)2(x1)2

x2x1 x22x1 x0 y0 Vậy cặp số nguyên không âm (x; y) thỏa mãn phng trỡnh l (0 ; 0)

Câu 3.Từ giả thiÕt ta cã

suy x1, x2là hai nghiệm phương trình

x22axb20

Trước hết ta chứng minh : Nếu zvà zlà số phương Thật : giả sử với p, qvà p, qnguyên

tố Suy , p2chia hết cho q2 Vì p, qnguyên tố nên

pchia hÕt cho qq1 zp2

V× suy

x1x2l s chớnh phng

Mặt khác, suy

ra số nguyên không âm Như ta có

(với k số nguyên không âm)

k2< n2k21 k22k1 (k1)2 k < nk1 nk1

k21 n2(k1)2k22k 1 VËy x1x2

C©u

1) Ta cã

EMBNlà tứ giác nội tiếp

2) Gọi I giao điểm AB O1O2

(ABO1O2ti Il trung điểm AB) Dễ thấy O1ABđều, có cạnh cm

    

  

o o

180 180

MBN MBA NBA EMN ENM

MEN MBN MEN

     

    

    ; 

MBA EMN NBA ENM

2

0

k b n bk

    ’   

 n2 1 m  n2 1 k2 b

2 2 1

m  ’ a b b n 

m  ’

1,2 ;

x    a ’  a

 

 b x x1 2  a bn



  

1 x x2

x x

n





  

1 2

x x

a n

b x x

2

p z

q 

p z

q 

z

 

 

 

1

2

2

x x a

x x b

2 ; 5.

3

x  x 

11

Từ ta có độ dài cạnh AO1O2 3) Vì EMBN tứ giác nội tiếp nên theo định lí Ptụ-lờ-mờ ta cú

EMBMENBMEBMN (1) Mặt khác, hai tam gi¸c BMN ; AO1O2

đồng dạng

Suy

BN: BM: MNAO2: AO1: O1O2

(2) Tõ (1) vµ (2) suy

(3)

Dựng BHBN, xét BHEvuông H, ta có

suy BE2BH Mặt khác,

BHBN2r24 cm suy BE8 cm (4) Tõ (3) vµ (4) suy

4) Vẽ tia Atlà tia đối tia AO1 Nếu ba điểm A, B, Ethẳng hàng ta có

suy

MNhay (d) phân giác

Câu Đặt T {0 ; ; 9}, ta nhËn thÊy

T cã tÝnh chÊt : NÕu u ; v Tvà u > v

uvE{3 ; ; 9}

Giả sử a1, a2, , a700 tất 700 số nguyên dương đôi khác nhau, số không lớn 2006 X Xét tập hợp :

Y{(u; ai) | uT, aiX, i{1 ; ; ; 700}} V× Tcã phần tử ; Xcó 700 phần tử nên Y

có 2100 phần tử Với phần tử (u; ai) Y

ta đặt tương ứng với tổng uai

Vì u 9 ai2006 nên uai  2015, tổng u  ai nhận nhiều 2015 giá trị khác Do tồn hai phần tử khác (u; ai) (v; aj) Ysao cho uaivaj

NÕu uvth× aiajsuy (u; ai) (v; aj), trái với giả thiết ;

Nếu u> vthì ajaiuvE; Nếu u< vthì aiajvuE

Vậy tập hợp X tìm hai phÇn tư x, y cho x  y thc tËp hỵp

E{3 ; ; 9}

1 2.

O AO

 

tAN NAO 

 1  2   1 2

MO A NO A MAO NAO

      ,

MBE EMN ENM NBE

2EM EN 4( 3 15) cm

 

sin sin sin30  o

BH BEH BMN

BE



  15

2

2

EM EN EB

 2 :1: 15

2

  2 1 12 .

2

BNM AO O AO B

  1 2 11 ;

2

BMN AO O AO B

1 2 15 cm

O O 

 

1

1 cm 1 cm ;

2

1 15

4 cm

4

AI O I

O I

     

12

l KÕt :

THI GII TON QUA TH

Bài 1(42).Có số tự nhiên ncó chữ số, tháa m·n : lµ ­íc cđa n ; lµ ­íc cđa n1 ; lµ ­íc cđa n2 ; ước n3 ?

Lời giải.Ta thấy số thỏa mÃn tính chất ­íc cđa ; lµ ­íc cđa 1 ; lµ ­íc cđa 2 ; lµ ước

Mặt khác, BCNN(2 ; ; ; 5) 60 suy

n60k2 (víi k)

Vì ncó chữ số suy 10460k2 < 105 166 < k1666 knhËn 1666 166 1500 gi¸ trÞ

Vậy có 1500 số tự nhiên nthỏa mãn điều kiện đề

Nhận xét.Các bạn nhận xét rằng, từ giả thiết ta nhận n2 chia hết cho ; ; ; 5, từ suy

n có dạng 60k  Có nhiều bạn giải tốt cịn khơng bạn mắc phải sai lầm đáng tiếc lựa chọn cách giải phức tạp Các bạn có lời giải tốt Nguyễn Xuân Thiện, xóm 3, Nam Cao, Kiến Xương, Thái Bình; Nguyễn Anh Tuấn, 7B, THCS Hồng Quang, Ân Thi,

Hưng Yên; Phùng Mạnh Linh, 7A4, THCS Trần Đăng Ninh, TP Nam Định, Nam Định;

T Th Hi Yến, 6A, THCS Nhữ Bá Sỹ, Hoằng Hóa, Thanh Hóa ; Phạm Quỳnh Anh, 6/1, THCS Lê Quý Đôn, TP Hải Dương, Hải Dương ; Nguyễn Ngọc Long, 8A, THCS huyện Thuận Thành, Thuận Thành, Bắc Ninh; Nguyễn Trà Giang, 8C5, THCS Chu Văn An, Ngơ Quyền, Hải Phịng ; Trần Thị Tú Tâm, 8A, THCS BC Xuân Diệu, Can Lộc ; Nguyễn Trà Giang, 7B, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Hồng Văn Đơng, 6D, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương ; Bạch Nguyễn Trà My, 7C, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An ; Trần Thị Thanh Hương, 7A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao ; Nguyễn Quốc Hùng, 7E, THCS Văn Lang, Việt Trì, Phú Th ;

Trần Minh Huy; Lê Thanh Nga, 6A1, THCS

Trưng Vương, Mê Linh, Vĩnh Phúc ;

Nguyễn Minh Công, 7A11, THCS Giảng Võ, Ba Đình, Hà Néi

Nguyễn anh quân Bài 2(42).Cho ba số dương a, b, c Chứng minh

Lêi gi¶i (cđa bạn Nguyễn Ngọc Trung, 9A1, THCS Lâm Thao, Phú Thọ)

Đặt

ỏp dng bt ng thc quen thuộc : với x, y, zlà số thực, ta có

(xyz)23(xyyzzx), suy ra

Đặt Theo bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta lại có

(1 a)(1 b)(1 c) 1 (abc)  (abbcca) abc1 3t3t2t3 (1 t)3 (2)

Tõ (1) vµ (2) suy

t  abc

   

  



  

2 3

(1 )(1 )(1 )

3 (1)

(1 )(1 )(1 )

P

abc a b c

abc a b c

                                  

2 3 1

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 3( (1 ) (1 ) (1 ))

(1 )(1 )(1 )

3((1 )(1 )(1 ) 1)

(1 )(1 )(1 )

P

ab b c bc c a

ca a b

c a a b b c

abc a b c

a b c abc

abc a b c

1 1

(1 ) (1 ) (1 )

P

a b b c c a

   

  

3abc(13 3abc) 



1 1

(1 ) (1 ) (1 )

a b b c c a 

   

 

2

3 3

3 3

(1 ) (1 )

P

13

Vậy bất đẳng thức chứng minh (đẳng thức xảy abc)

Nhận xét.Đây tốn bất đẳng thức hay khó Chỉ có bạn giải Ngồi bạn Trung, bạn sau có lời giải : Mạc Thị Thu Huệ, 7A, THCS Đồng Quế, Lập Thạch, Vĩnh Phúc; Nguyễn Doãn Tiến Đạt, 9C, THCS Phan Bội Châu, Tứ Kỳ, Hải Dương ; Hồ Hữu Quân, 9C, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An ; Trịnh Thị Thủy Tiên, 8H, THCS Trần Phú, TP Quảng Ngãi, Quảng Ngãi ; Phạm Hằng Nga, 9C, THCS Thị Trấn Kỳ Anh ;

Phan Lê Vũ, 9A, THCS Chu Văn An, Hương Khê, Hà Tĩnh ; Lê Duy Tùng, 9E, THCS Chu Văn An, EaKar, Đắk Lắk

Nguyễn Minh Đức Bài 3(42).Chứng minh rằng, phương trình x2ax b có nghiệm nghiệm thỏa mãn

Lời giải Giả sử phương trình có nghiệm x0, suy

(1) áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski cho hai số (a; b) (x0; 1) ta có

suy (theo (1)) (2)

Ta l¹i cã (3)

Tõ (2) vµ (3) suy

Nhận xét 1) Với cách giải tương tự ta

cũng chứng minh : “Nếu x0là nghiệm phương trình xnan1xn1 a1x  a0  (n số nguyờn dng) thỡ

2) Các bạn lời giải tốt Trần Thị Nga, 8A, THCS Tiên Du, Tiên Du, Bắc Ninh ; Nguyễn Hoàng Hiệp, số 127B, tiểu khu 3, thị trấn Neo, Yên Dũng, Bắc Giang;

Mạc Thị Thu Huệ, 7A, THCS Đồng Quế, Lập Thạch ; Phạm Thị Bích Ngọc, bố Phạm Văn Chiến, phố Me, Hợp Hòa, Tam Dương, Vĩnh Phúc; Đinh Văn Nhật, khu 8, Vũ Yển, Thanh Ba ; Nguyễn Ngọc Trung, 9A1, THCS Lân Thao, Lâm Thao, Phú Thọ;

Vũ Thanh Tú, 9A2, THCS Vũ Hữu, Bình Giang, Hải Dương ; Lê Anh Công, 8C, THCS Lê Hữu Lập, Hậu Lộc ; Hoàng Minh Tuấn, 9G, THCS Trần Mai Ninh, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa; Nguyễn Danh Dũng, 8C, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An;

Phan Long Tri Yên, 7H, THCS Hùng Vương, TP Tuy Hòa, Phú Yên ; Lê Duy Tùng, 9E, THCS Chu Văn An, huyện EaKar, Đắk Lắk

Nguyễn Văn Mạnh Bài 4(42) Cho ABCđều Các điểm M,

N, P theo thứ tự thuộc cạnh BC, CA,

AB BiÕt S(ANP)  S(BMP)  S(CMN) Chøng minh r»ng ANP BPM CMN

Lời giải.Đặt BCCAABa; BMx;

CNy; APz Không tính tổng quát, giả sử x y z

Suy xy0 ; yz0 (1) Theo gi¶ thiÕt : S(BPM) S(CMN)

2 2

0 n 1

x  a   a a 

      

   

2 2 2

0

2

0

1

1 (®pcm)

a b x x a b

x a b

      4 0 2 0 1. 1

x x x

x x

4

2

2 x a b x   

2 2

0

(ax b) (a b x)( 1),

x02  (ax0 b) x04(ax0b) 2

0 0

x ax  b

 2 21

x a b

3

3 2

3

3((1 ) 1)

(1 ) (1 )

3 (do 0).

(1 ) (1 )

t t

t t t t

P P

t t abc abc

  

 

 

   

14

(kÕt qu¶ quen thuéc)

x(yz) a(xy) 0 (2) Tõ (1) vµ (2) suy xyz

 ANP BPM CMN(c.g.c)

Nhận xét.Nhiều bạn tham gia giải giải đúng, số bạn có lời giải dài Các bạn có lời giải tốt : Nguyễn Hồng Hiệp, cố 127B, tiểu khu 3, thị trấn Neo, Yên Dũng, Bắc Giang ; Đinh Văn Nhật, khu 8, Vũ Yển, Thanh Ba, Phú Thọ;

Nguyễn Ngọc Long, 8A, THCS huyện Thuận Thành, Bắc Ninh ; Phạm Quang Thịnh, 8H, THCS Hùng Vương, TP Tuy Hịa,

Phú n; Hồng Thị Hạnh, thơn Trung, xã Tn Chính, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc

Nguyễn Minh Hà Bài 5(42) Chứng minh tứ giác lồi nội tiếp tam giác có cạnh 2006 khơng thể có bốn cạnh lớn 1003

Lời giải Trước hết xin phát biểu chứng minh bổ đề

Bổ đề Cho tam giác XYZ có cạnh a điểm K, Ltheo thứ tự thuộc đoạn XY, XZ Ta có KLa

Chứng minh Có hai trường hợp cần xem xét

Trường hợp Một hai điểm K, L

trùng với ba điểm X, Y, Z Dễ thấy KLa(bạn đọc tự kiểm tra)

Trường hợp 2.Khơng có điểm hai điểm K, L trùng với ba điểm

X, Y, Z

XÐt tam gi¸c KYL, ta cã

(1) XÐt tam gi¸c LYZ, ta cã

(2) Tõ (1) vµ (2) suy KL< YZKL< a Tóm lại, ta có KL a

Đẳng thức xảy K, Ltrùng với hai ba điểm X, Y, Z

Trở lại việc giải toán

Gi s tam giỏc u núi đề

ABC, tứ giác lồi nói đề MNPQ Gọi D, E, F trung điểm BC, CA,

AB Ta thấy AEF, BFD, CDElà tam giác với cạnh 1003 (3)

Vì MNPQnội tiếp tam giác ABCnên ®iĨm M, N, P, Qthc c¸c ®­êng gÊp khóc

EAF, FBD, DCE Theo nguyên lí Đi-rích-lê, tồn hai ®iĨm M, N, P, Qcïng thc mét ba ®­êng gÊp khóc EAF,

FBD, DCE Khơng tính tổng quát, giả sử M, N thuộc EAF áp dụng bổ đề cho AEFvà ý tới (3), ta cú MN1003

Vậy tứ giác MNPQkhông thể có bốn cạnh lớn 1003

Nhn xột 1) Tuy tốn khơng khó, để có lời giải hồn chỉnh, ngắn gọn lại chuyện khơng dễ

2) Các bạn có lời giải tương đối tt :

Nguyễn Thảo Nguyên, xóm 1, xà Hưng ChÝnh, H­ng Nguyªn, NghƯ An; Phan Hå Nam Uyªn, 8/10, THCS Lê Quý Đôn, Thăng Bình, Quảng Nam ; Nguyễn Văn Linh, 7A1, THCS Nguyễn Đăng Đạo, TP Bắc Ninh, Bắc Ninh ; Trần Vũ Trung, 9A9, THCS Phùng Chí Kiên, TP Nam Định,

Nam Định; Nguyễn Việt Dinh, 9A3, THCS L©m Thao, L©m Thao, Phó Thä

Ngun Minh Hµ

   .

YLZ YXL YZL  YZ YL

    .

YKL KXL XYZ LYK   YL KL

2

(a z x) (a x y)

a a

   

 

BP BM CM CN BA BC CB CA

 

 

( ) ( )

( ) ( )

S BPM S CMN S BAC S CBA

15

Thi giải toán qua thư

Các bạn thưởng kì này

Ngun Ngäc Long, 8A, THCS hun Thn Thành, Thuận Thành ; Trần Thị Nga, 8A, THCS Tiên Du, Tiên Du, Bắc Ninh ; Nguyễn Ngọc Trung, 9A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Mạc Thị Thu Huệ, 7A, THCS Đồng Quế, Lập Thạch, Vĩnh Phúc ; Lê Duy Tùng, 9E, THCS Chu Văn An, Eakar, Đắk Lắk ;

Nguyễn Hoàng Hiệp, số 127B, tiểu khu 3, thị trấn Neo, Yên Dũng, Bắc Giang ;

Nguyễn Doãn Tiến Đạt, 9C, THCS Phan Bội Châu, Tứ Kỳ,Hải Dương ; Hồ Hữu Quân, 9C, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu ; Nguyễn Thảo Nguyên, xóm 1, Hưng Chính, Hưng Nguyên, Nghệ An; Phan Hồ Nam Uyên, 8/10, THCS Lê Q Đơn, Thăng Bình,Quảng Nam; Trịnh Thị Thủy Tiên, 8H, THCS Trần Phú, TP Quảng Ngãi,Quảng Ngãi ; Nguyễn Xuân Thiện, xóm 3, Nam Cao, Kiến Xương, Thái Bình

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10, THPT CHUN LÊ Q ĐƠN, TỈNH BÌNH ĐỊNH

Năm học 2006-2007 ; Thời gian : 150 phút

C©u 1.(2 điểm)

Rút gọn biểu thức sau :

a)

b) , (a> 1)

C©u 2.(2 ®iĨm)

Cho đường thẳng (d) có phương trình :

y(m2)x3m1, (m2)

a) Tìm giá trị mđể đường thẳng (d) song song với đường thẳng yx5

b) Tìm m để đường thẳng (d) qua im M(1 ; 2)

Câu 3.(1 điểm)

Cho a, b, c độ dài ba cạnh

tam giác Chứng minh phương trình sau vơ nghim :

c2x2(a2b2c2)xb20. Câu 4.(4 điểm)

Cho hai đường tròn (O) (O) cắt Avà B Một đường thẳng qua Bcắt (O) (O) theo thứ tự Cvà D

a) Chng t gúc CADcú số đo không đổi b) Tiếp tuyến (O) Cv (O) ti D

cắt E Chứng minh r»ng ®iĨm

A, C, D, Ecïng n»m đường tròn

Câu 5.(1 điểm)

Chứng minh r»ng : x8x5x2x1 > víi mäi xR

2 ( 1)

2

a B a

a a

 

 

7 10

16

Holey thám tử lừng danh châu Âu Nghe nói châu ácũng có thám tử tài ba khơng nên Holey muốn có dịp thử tài họ Ơng biết có bốn thám tử châu árất tiếng, Lichan người Trung Quốc, Fuizi người Nhật Bản, Tetu người Hàn Quốc Sê-Lốc-Cốc làm việc Việt Nam - cộng tác viên đặc biệt tạp chí Tốn Tuổi thơ Một lần, Holey định mở thi tài mời thám tử đến tham dự Vốn có “máu” nghề nghiệp nên bốn thám tử mời thu xếp thời gian để đến khách sạn mà Holey đặt sẵn

NguyÔn Quang Anh

17

l Kết : GIẢI MAế (TTT2 số 42) Có lẽ hầu hết bạn dự thi kì

có kiến thức định sử dụng máy vi tính nên phần lớn bạn đưa câu trả lời xác : Hướng suy luận Vũ Minh anh quên điều quan trọng hàng chữ tờ giấy đánh máy vi tính, có nghĩa dấu cách coi kí tự Thám tử Sê-Lốc-Cốc nhớ điều nên nhanh chóng nhắc Vũ Minh nhờ mà anh tìm mật

Phần thưởng kì trao cho năm bạn sau : Kiều Hồng Quân, 7C, THCS Thạch Thất, Thạch Thất, Hà Tây ; Tạ Thị Hải Yến, 6A, THCS Nhữ Bá Sỹ, Hoằng Hóa, Thanh Hóa ; Hồng Khánh Ngọc,

khối II, thị trấn Mường Xán, Kì Sơn, Nghệ An ; Trần Hoàng Liên Thi, 50/3 đường Phan Chu Trinh, TP Huế, Thừa Thiên -Huế; Lê Hoàng Văn, số Trần Phú, Vĩnh Nguyên, Nha Trang, Khánh Hòa

Thám tử Sê-Lốc-Cốc

Sau cỏc t lm quen với nhau, Holey bắt đầu giới thiệu cách thức thi tài, theo : Mỗi người phải bốc thăm Ai bốc tờ giấy hình tam giác bị số ba người lấy đồ, người lấy phải khơn khéo để lại tên hình thức bí ẩn Người bị đồ phải tìm “chìa khóa” để giải mã tên đó, nhằm lấy lại đồ bị

Cả bốn thám tử vui vẻ bốc thăm Kết Sê-Lốc-Cốc bốc tờ giấy hình tam giác Ơng nóng lịng chờ xem bị

Một lúc sau, người trở phòng mình, nhiên, thám tử Sê-Lốc-Cốc phát bị đồng hồ lắc Trên bàn nhỏ góc phịng, người lấy trộm để lại tờ giấy in bảng chữ tiếng Anh tờ lịch bị cắt vài số (xem hình vẽ)

Xem kĩ bảng chữ cái, thám tử thấy : Tương ứng với chữ có số số thứ tự chữ bảng chữ Ngẫm nghĩ lúc, cuối thám tử Sê-Lốc-Cốc đoán người lấy đồng hồ

Tối hơm đó, năm thám tử quây quần bên bàn ăn, Sê-Lốc-Cốc tươi cười nhìn thám tử hỏi :

- Có anh lấy đồng hồ lắc tơi khơng ?

Người ngạc nhiên gật đầu rút từ túi áo đồng hồ thám tử Sê-Lốc-Cốc Các thám tử trầm trồ thán phục tài ba Sê-Lốc-Cốc Riêng Holey lên :

- Bạn đọc tạp chí Tốn Tuổi thơ thật may mắn thám tử tài giỏi Sê-Lốc-Cốc thử tài !

18

Các bạn biết khơng, với hai tốn quỹ tích trình bày kì trước, tơi có mở rộng sâu sắc cho 5(22), mục Giải toán qua thư (TTT2 số 22)

Bài 5(22) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O bán kính Một đường thẳng qua O cắt hai cạnh AB, AC M, N Kí hiệu S(AMN) diện tích tam giác AMN

Chøng minh r»ng

Bài toán mở rộng Cho tam giác ABC Gọi A1, B1, C1 trung điểm

BC, CA, AB ; O lµ mét điểm thuộc m(AB1A1C1), không nằm hai cạnh

AB1, AC1 Một đường thẳng qua O cắt

AB, AClần lượt M, N Tìm giá trị nhỏ lớn S(AMN)

Lời giải Trước hết ta phát biểu (không chứng minh) bổ đề quen thuộc :

Bổ đề.Tam giác ABCcó Ilà trung điểm BC Một đường thẳng qua I cắt đường thẳng AB, AClần lượt M, N Khi ta có : Nếu MBvà NCthì MINI; Nếu Mnằm ngồi đoạn ABthì MI> NI; Nếu Nnằm ngồi đoạn ACthì MI< NI

Trở lại lời giải toán Gọi K, H

lần lượt giao điểm COvà AB, BOvà

AC; EABvà FACđể Olà trung điểm EF(theo tốn kì trước Evà

Flà tồn nhất)

Cỏc trng hp cú thể xảy :

Trường hợp 1.OA1C1:

Khi EB; FH; MKB; NCH Nếu MK; NCthì S(AMN) S(AKC) ; Nếu MB; NHthì S(AMN) S(ABH) ; Nếu M  B ; M  K, áp dụng bổ đề với tam giác ABHcó Olà trung điểm BHthì

OM< ONvµ OK< OC Suy :

(OMK vµ ONC

cã ) S(AMN) < S(AKC) ; (OMB vµ ONH

có ) S(AMN) > S(ABH) Vậy trường hợp :

S(AMN)minS(ABH) S(AEF)

MBE; NHF;

S(AMN)maxS(AKC) MK; NC

Trường hợp 2.OA1B1: Tương tự trường hợp 1, ta có

S(AMN)minS(AKC) S(AEF)

MKE; NCF;

S(AMN)maxS(ABH) MB; NH

(Xem tiÕp trang 22)

 

MOB NOH

( ) 1

( )

S OMB OM OB S ONH ON OH 

 

MOK NOC

( ) 1

( )

S OMK OM OK

S ONC ON OC 

3 ( ) 3.

3 S AMN 

Lê hữu điền khuê (Lớp 12 Toán, THPT Quốc học H, Thõa Thiªn - H)

(Tiếp theo kì trước)

TỪ HAI BÀI TỐN QUỸ TÍCH

TRẬN ĐẤU THỨ BA MƯƠI TƯ

19

TRẬN ĐẤU

THỨ BA MƯƠI SÁU

(TTT2 sè 42)

Có 12 võ sĩ tham gia trận đấu này, có hai võ sĩ trả lời câu hỏi : “Có thể thay số lớn không ?” Rất tiếc hai võ sĩ trả lời câu hỏi lại giải toán theo đường dài dịng, phức tạp Do khơng có võ sĩ đăng quang trận đấu Chúng xin giới thiệu với bạn lời giải gọn gàng tốn :

Vì a, b, clà số thực dương nên ta có :

Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski c(2bc) a(2ca) (bca)2 Chú ý b(2ab) c(2bc) a(2ca)  (bca)2 Từ ta suy

Bëi vËy

Để chứng minh thay số lớn hơn, chứng tỏ rằng, với t , tồn số thực dương a, b, c

tháa m·n (*)

2a ba 2b cb 2c ac t

2

1

1 (3 1)

2c aa 

 

    



 

1 1

2 2a bb   2b cc 

      

 

   



2a ba 2b cb 2c ac 

2a bb 2b cc 2c aa 

( (2 ) 2a bb 2b cc 2c aa b a b

     

    

 

1 2a 2bb 2c 2a 2cb 2c

  

   

2a ba 2b cb 2c ac 2a2ab2c 

1

Thật vậy, ta xét n số nguyên dương,

a1, bn, cn2, ta cã

Nếu lấy số nguyên dương nthỏa mãn

thì (*) Bài tốn giải xong

Ngun Minh §øc

2 1t t n

 



2

2 2

4 2 2

2

t t

n n

n n

t t

    

 

     

 

2

2 2

2 2

1

2 2 2

2

2

2 2

2 1.

2

a b c n

a b b c c a n n n

n n n

n n

n n n

n

    

    

     

 

 

 



lNgười thỏch u Nguyn Bỏ Thun,

10A2Tin, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Néi

l Bài toán thách đấu Cho tam giác

ABC(ABAC), nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn (O) tiÕp xóc víi (O) t¹i T, theo thø tù tiÕp xóc víi AB, ACt¹i

E, F AO’cắt (O) M(M A) Chứng minh BC, EF, MTđồng quy

lXuÊt xø S¸ng t¸c

lThời hạn nhận thách đấu

20

Đối với nhiều bạn học sinh THCS, việc giải toán bất đẳng thức có liên quan đến nghiệm hệ phương trình cịn tỏ lúng túng Các bạn cần phải nắm vững định nghĩa nghiệm phương trình Hãy theo dõi số ví dụ

Ví dụ 1.Cho x1, x2là nghiệm khác phương trình ax2bxc0 ; y1, y2là nghiệm phương trình cy2bya0 Chứng minh :

Lời giải Vì x1 nghiệm khác phương trình ax2  bx  c  0, suy

là nghiệm phương trình cy2bya0

Tương tự ta có nghiệm phương trình cy2bya0

Suy chÝnh lµ hai nghiƯm y1; y2

của phương trình cy2 by a 0 Khơng tính tổng qt, giả sử

ta cã :

VËy :

Lời bình 1) Quan sát hai phương trình cho ta thấy chúng có hệ số liên quan tới Do có khả nghiệm chúng liên quan tới

2) Trong lời giải trên, sử dụng đến định nghĩa nghiệm phương trình mà bạn để ý tới

3) Các bạn thử dùng công thức nghiệm hay hệ thức Vi-ét để chứng minh tốn xem có khơng ?

Ví dụ Gọi x0 nghiệm phương trình bậc hai ax2  bx  c 

Chøng minh r»ng :

Lời giải.Vì x0là nghiệm phương trình

ax2bxc0, suy

                            2

0 0

2

0 0

2

0 0

2

0 0

b c

ax bx c x x

a a

b c b c

x x x

a a a a

b c b c

x x x

a a a a

x M x M M x

  

2

0 0

ax bx c

  x M       

max b c;

M

a a

   

2 2

1 2

x x y y

2

1 2 2

1

1

2x 2x

x x

    

2 2 2 2

1 2 1 2

2

1 2 2

1

( ) ( )

1

x x y y x y x y

x x x x                             2

1 ;

y y

x x

1

1 1;

x x x           

1 1

1 0

c b a

x x x

 

 

       

 

2

1 1 2

1

0 b c

ax bx c x a

x x

   

2 2

1 2

x x y y

21

(®pcm)

Lời bình Lời giải sử dụng đến định nghĩa nghiệm phương trình ; tính chất giá trị tuyệt đối ; làm xuất Mvà bớt vế trái bất đẳng thức

để làm dấu đẳng thức triệt tiêu

Ví dụ Chứng minh rằng, x0 nghiệm phương trình x2bxc0

Lêi gi¶i.Tõ gi¶ thiÕt suy

(áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski cho số b; c; x0; 1)

(đpcm)

(Các bạn xem thêm lời giải 3(42)

trong số này)

Ví dụ Chứng minh rằng, phương trình x4  ax3  bx2  ax   (1) có nghiệm a2(b2)2>

Lời giải.Giả sử xx0là nghiệm phương trình (1), ta kiểm tra x0  nên suy

Đặt ta có phương trình (2)

trở thành y2ayb2 0 phương trình ln có nghiệm y thỏa mãn điều kiện hay y24 (3) Suy y2ayb2

y4(ayb2)2[a2(b2)2](y21) (áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski cho số a; b2 ; y; 1)

y41 < [a2(b2)2](y21) y21 < a2(b2)2

3 y21 < a2(b2)2(theo (3)) a2(b2)2> (đpcm)

Đề nghị bạn làm thêm số tập áp dụng sau :

Bài Chøng minh r»ng, nÕu

thì phương trình bậc hai ax2  bx  c  ln có nghiệm

Bài Chứng minh rằng, phương trình (x y)2 (x  a)2(y b)2= c2(hai ẩn x, y) a b  c

  2b c 4

a a

 0 

0

1 2

y x

x

 0

0 ,

y x x

     

 

      

 

   

        

   

2

0 2

0 0

2

0 2

0

2

0

0

1 0

1 0

1 2 (2)

a

x ax b

x x

x a x b

x x

x a x b

x x

    

4

0 0

x ax bx ax

 x0  b2c21

    

       

4 2

0

2 2 2

0

1 ( )( 1)

1

x b c x

x b c x b c

x04 (bx0c)2(b2c x2)( 021) x02bx0c

 2 2

0

x b c



0 x

 

 

2

0

x M x

 x0  M

 

22 TỪ HAI BAØI TỐN QUỸ TÍCH

(TiÕp theo trang 18)

Trường hợp 3.Omt(AB1A1C1) :

lXÐt MBE; NHF

Nếu ME; NFthì S(AMN) S(AEF) ; Nếu MB; NHthì S(AMN) S(ABH) ; Nếu M  B ; M  E, áp dụng bổ đề với tam giác AEFcó Olà trung điểm EFthì

OM> ONvµ OB> OH Suy :

(OME vµ ONF

cã ) S(AMN) > S(AEF) ; (OMB vµ ONH

cã ) S(AMN) < S(ABH) Suy :

S(AMN)minS(AEF) ME; NF;

S(AMN)maxS(ACK) MK; NC Vậy : Theo tốn kì trước trường hợp 3, ta có

S(AMN)minS(AEF) ME; NF; NÕu Omt(AB1A1) th×

S(AMN)maxS(ABH) MB; NH NÕu Omt(AC1A1) th×

S(AMN)maxS(ACK) MK; NC NÕu OAA1th×

S(AMN)maxS(ABH) S(ACK) (MB; NHhc MK; NC)

KÕt ln

S(AMN)min S(AEF) M E; N F; nÕu O  mt(AB1A1) hc O  A1B1 th×

S(AMN)max  S(ABH) M  B ; N  H ; nÕu O  mt(AC1A1) hc O  A1C1 th×

S(AMN)max  S(ACK) M  K ; N  C ; nÕu OAA1th×

S(AMN)maxS(ABH) S(ACK) (MB; NHhoặc MK; NC)

Bỏ giả thiết O m(AB1A1C1) ta có Bài toán mở rộng Cho tam gi¸c ABC

và điểm O  mt(ABC) Một đường thẳng qua Ocắt AB, AClần lượt M, N Tìm giá trị nhỏ lớn

S(AMN)

Hướng dẫn Với A1, B1, C1 trung điểm BC, CA, AB, có ba trường hợp xảy : Om(AB1A1C1) - toán mở rộng 1; Omt(CA1B1) ; Omt(BA1C1) Lời giải cho hai trường hợp sau hoàn toàn tương tự Ví dụ, xét Omt(BA1C1) :

Với K, Hlần lượt giao điểm COvà

AB, BO AC, trường hợp này, ta xét khả M  B ;

MK; MBvà MK Lời giải tương tự toán mở rộng với ý

OB< OH; OK< OC; OM< ON(v× víi I, E,

Flần lượt trung điểm MN, BH, CKthì

I m(AB1A1C1), EA1C1, F A1B1suy Olần lượt thuộc đoạn MI, BE, OF)

Ta cịn tiếp tục mở rộng toán với tứ giác Để kết thúc, đề nghị bạn giải toán vận dụng sau :

Cho tam giác ABC điểm O mt(ABC) Một đường thẳng qua Ocắt AB,

ACln lt ti M, N Tìm giá trị nhỏ lớn S(AMN) hai trường hợp : Om(AMN) ; Omt(AMN)

 

MOB NOH

( ) 1

( )

S OMB OM OB S ONH ON OH 

 

MOE NOF

( ) 1

( )

S OME OM OE

23

Vấn đề “giới hạn” làm tốn quỹ tích phương pháp thuận đảo (PPTĐ) vấn đề mà quan tâm từ lâu Vì tơi cảm thấy tâm đắc sau đọc báo Vĩnh biệt “giới hạn”của TS Nguyễn Minh Hà đăng TTT2 số 29, 30, 31 Một vấn đề tinh tế lĩnh vực lơgic tốn TS Nguyễn Minh Hà giải thật triệt để, sáng sủa thông qua hai toán cụ thể, đặc biệt sinh động toán Với báo TS Nguyễn Minh Hà, nghĩ vĩnh biệt “giới hạn” vấn đề khơng cần bàn Chính vậy, báo “khơng thể vĩnh biệt giới hạn” nhà giáo Nguyễn Khánh Nguyên xuất TTT2 số 34 thu hút Tôi đọc báo kĩ suy nghĩ nhiều Thơng qua TTT2, tơi có đơi điều muốn trao đổi với nhà giáo Nguyễn Khánh Nguyên

1 Nhà giáo Nguyễn Khánh Ngun phân tích lời giải tốn 1, báo TS Nguyễn Minh Hà để khẳng định rằng, thực chất, lời giải toán này, TS Nguyễn Minh Hà thực thao tác thao tác thao tác “giới hạn” Nhưng TS Nguyễn Minh Hà lại không nghĩ TS Nguyễn Minh Hà quan niệm thao tác mà nhà giáo Nguyễn Khánh Nguyên cho cần phải đặt tên “giới hạn” thật phận phần thuận lời giải tốn quỹ tích PPTĐ Theo tơi, cách quan niệm hồn tồn hợp lí lí sau :

a) Quan niệm phù hợp với đường lối chung việc giải tốn quỹ tích PPTĐ mà thường dạy học sinh - Thuận : Nếu M có tính chất thì M thuộc hình H

- Đảo : Nếu M thuộc hình Hthì M có tính chất

Nếu không vĩnh biệt giới hạn mắc lỗi phản sư phạm trình dạy học sinh làm toán quỹ tích PPTĐ :

Dạy lí thuyết đằng (khơng có thao tỏc

giới hạn), dạy thực hành giải toán nẻo (có thao tác giới hạn)

b) Cỏch quan niệm tránh cho việc đối mặt với ba câu hỏi khơng thể trả lời (hình nhà giáo Nguyễn Khánh Nguyên né tránh việc trả lời ba cõu hi ny)

- Thế thao tác giới hạn ?

- Trong toán quỹ tích giải PPTĐ, mà cần sử dụng thao tác giới hạn ?

- Với toán quỹ tích giải PPTĐ lời giải ta buộc phải sử dụng thao tác giới hạn, thao tác giới hạn bắt đầu ?

c) Cỏch quan niệm giúp tránh sai lầm giải tốn quỹ tích PPTĐ Trong báo mình, TS Nguyễn Minh Hà đưa hai ví dụ (bài tốn 1, 2) để chứng minh rằng, dùng thao tác “giới hạn” giải tốn quỹ tích PPTĐ dễ mắc sai lầm Xin nhấn mạnh thêm rằng, ví dụ kiểu có nhiều tài liệu tốn mà tác giả tài liệu người am hiểu toán sơ cấp

Thưa nhà giáo Nguyễn Khánh Ngun, lí mà phải đeo vào cổ gơng “giới hạn” người có tay nghề cao việc giải toán sơ cấp mắc sai lầm giải tốn quỹ tích PPTĐ

2 Trong trình phát triển nhận thức nhân loại, có nhiều quan niệm thừa nhận sau lại bị phủ nhận Xin nêu ví dụ cụ thể, trước Copernic, nhân loại quan niệm mặt trời quay xung quanh trái đất, sau Copernic, nhân loại lại quan niệm trái đất quay xung quanh mặt trời Vì vậy, khơng thể nói nhà giáo Nguyễn Khánh Ngun, khơng thể vĩnh biệt “giới hạn” khái niệm tồn tại, có đầu

Tóm lại, thưa nhà giáo Nguyễn Khánh Ngun, khơng có lí để không vĩnh biệt “giới hạn”

24

Bí mật số chờ đợi khám phá TTT2 có dịp giới thiệu vẻ đẹp, thú vị số Trong viết xin tiếp tục giới thiệu thêm với bạn nhóm số tự nhiên có tính chất thật đặc biệt

1 ThÝ dơ

Ta dƠ dµng kiĨm tra ®­ỵc r»ng 11423 55647 63538 

23534 31425 75649 130608 Đẳng thức khơng có lạ nhiều số khác có tính chất Tuy nhiên điều đặc biệt xảy ra, đẳng thức với bình phương số :

114232556472635382

2353423142527564927264150982 Nhưng đừng vội tán thưởng, khúc dạo đầu Tước bỏ dần ; ; ; chữ số bên trái số ta thấy điều kì diệu số : 1423 5647 3538 

3534 1425 5649 10608 ; 142325647235382

35342142525649246430982 ; 423 647 538 

534 425 649 1608 ; 423264725382

534242526492886982 ; 23 47 38 34 25 49 108 ; 2324723823422524924182 ; cuèi cïng :

3 7 8 4 5 9 18 ;

327282425292122

Và điều kì diệu chưa dừng lại Hai đẳng thức ta tước bỏ dần ; ; ; chữ số số phía bên phải số : 1142 5564 6353 

2353 3142 7564 13059 ; 114225564263532

23532314227564272622869 ; 114 556 635 

235 314 756 1305 ; 114255626352

235231427562725357 ; 11 55 63 23 31 75 129 ; 1125526322323127527115 ; cuèi cïng :

1 5 6 2 3 7 12 ; 12526222327262

Quả kì diệu phải không bạn !

2 Giải mà bí mật

Thật ra, đa phần tính chất kì lạ tốn học có quy luật

Vào năm 1988, tạp chí “Chúng tơi u tốn học”, học sinh trung học tỉnh Hồ Nam, Trung Quốc ngẫu nhiên tìm thấy hai đẳng thức :

789 945 864 868 787 943 vµ 789294528642868278729432

Nếu bỏ liên tiếp chữ số vị trí hàng trăm, hàng chục tổng số tổng bình phương chúng

Điều có bí mật, có quy luật khơng ? nguyễn thị bình minh (THCS Trần Phú, Hải Phòng)

25

Tạp chí “Chúng tơi u tốn học”đã giải đáp câu hỏi Sự thú vị số gây hấp dẫn cho nhiều người

Đến ta có đẳng thức : 7 8 4 5 9 18 ; 327282425292122 ; 5 6 2 3 7 12 ; 12526222327262

Câu hỏi đặt chữ số khác có tính chất tương tự khơng ? Gọi chữ số vế trái a, b, cvà chữ số vế phải d; e; f ta tìm 15 chữ số thỏa mãn hai đẳng thức abc def; a2b2c2d2e2f2(thứ tự chữ số vế hốn đổi) :

1) 1 1 3 3 0 ; 2) 2 2 4 4 1 ; 3) 3 3 5 5 2 ; 4) 4 4 6 6 3 ; 5) 5 5 7 7 4 ; 6) 6 6 8 8 5 ; 7) 2 1 5 4 0 ; 8) 3 2 6 5 1 ; 9) 4 3 7 6 2 ; 10) 5 4 8 7 3 ; 11) 2 2 6 6 0 ; 12) 3 3 7 7 1 ; 13) 3 1 7 5 0 ; 14) 4 2 8 6 1 ; 15) 2 2 8 5 0

Bây giờ, ta tiếp tục tìm chữ số tiếp theo, gắn vào chữ số tìm để tạo thành số có hai chữ số có tính chất chữ số

Nếu chữ số gắn vào bên trái (hoặc bên phải) chữ số a, b, clần lượt

x, y, z; chữ số gắn vào bên trái (hoặc bên phải) chữ số d, e, flần lượt

z, x, y x  y  2z điều kiện đặt thỏa mãn

Vì x, y, znhận giá trị từ đến 9, nên

ta tìm 48 ba chữ số (x; y; z) thỏa mãn phương trình xy2zlà :

(0 ; ; 1) ; (2 ; ; 1) ; (0 ; ; 2) ; (4 ; ; 2); (0 ; ; 3) ; (6 ; ; 3) ; (0 ; ; 4) ; (8 ; ; 4); (1 ; ; 2) ; (3 ; ; 2) ; (1 ; ; 3) ; (5 ; ; 3); (1 ; ; 4) ; (7 ; ; 4) ; (1 ; ; 5) ; (9 ; ; 5); (2 ; ; 2) ; (2 ; ; 3) ; (4 ; ; 3) ;

(2 ; ; 4) ; (6 ; ; 4) ; (2 ; ; 5) ; (8 ; ; 5); (3 ; ; 3) ; (3 ; ; 4) ; (5 ; ; 4) ;

(3 ; ; 5) ; (7 ; ; 5) ; (3 ; ; 6) ; (9 ; ; 6); (4 ; ; 4) ; (4 ; ; 5) ; (6 ; ; 5) ;

(4 ; ; 6) ; (8 ; ; 6) ;

(5 ; ; 5) ; (5 ; ; 6) ; (7 ; ; 6) ; (5 ; ; 7) ; (9 ; ; 7) ;

(6 ; ; 6) ; (6 ; ; 7) ; (8 ; ; 7) ; (7 ; ; 7) ; (7 ; ; 8) ; (9 ; ; 8) ; (8 ; ; 8) ; (9 ; ; 9)

Với số có hai chữ số tìm được, ta hồn tồn tiếp tục tạo số có ; ; ; chữ số có tính chất cách liên tiếp thực việc ghép chữ số vào bên trái (hoặc bên phải) số đó, chí chèn vào số số vị trí

Với đội ngũ số hùng hậu này, bạn hoàn tồn tự dựng lên nhiều đẳng thức thú vị, cho dù bạn muốn số có chữ số tùy ý Thí dụ, ta phát triển số hai đẳng thức ban đầu : 11423 55647 63538 

23534 31425 75649 130608 ; 114232556472635382

2353423142527564927264150982 để đẳng thức số lớn cách chèn chữ số tương ứng vào chúng :

114523 556947 635738 

235734 314525 756949 ; 114523255694726357382

Solution E18 First, let’s consider the sets consisting of distinct points :

There are ten choices for the first point, nine choices for the second, and eight choices for the third

So the number of sets consisting of distinct points is

Secondly, we can easily observe that there are four sets of collinear points on each of the two longer sides and only one set on each of the two other sides Hence, the total number of such sets is 10

In conclusion, the number of triangles that can be formed using the points shown in the figure is : 120 10 110 (triangles)

Answer : 110 triangles

Nhận xét Bài tốn địi hỏi lập luận nhiều, đa số bạn chưa quen viết tiếng Anh Bạn Dương Kim Ngọc, 8A, THCS thị trấn Trới, Hoành Bồ, Quảng Ninh

lập luận tốt có đáp số đúng, đáng tiếc phần ting Anh cha t yờu cu

TS Ngô ánh TuyÕt (NXBGD)

10 120

  

26 Problem E20

(Propose by Tran Xuan Dan, Thanh Mien district, Hai Duong province)

Given a number whose division by gives remainder 1, division by leaves remainder 3, what is the remainder if it is divided by 21?

ldigit :ch÷ sè (danh tõ)

lnatural numbers :số tự nhiên (danh từ) lreverse :đảo ngược (động từ)

l concyclic :cïng n»m trªn đường

tròn (tính từ)

lremainder :số dư (danh từ) larbitrary :tùy ý (tính từ) lcollinear :thẳng hàng (tÝnh tõ)

Kết thi

THẾ GIỚI QUANH TA

Đáp án câu hỏi kì :

sông lớn ?

ú l h thống sơng Amadơn, có lưu vực rộng giới, nằm lục địa Nam Mĩ với nhiều sông nhánh đan chéo thành mạng lưới sông dày đặc (dài khoảng 6516 km, đứng thứ hai giới chiều dài sau sơng Nin) Sơng có mạng lưới phụ lưu dày đặc với khoảng 500 phụ lưu lớn nhỏ, có khoảng 17 phụ lưu có chiều dài 1500 km Thượng nguồn sông Amdôn sông Ucagali, bắt nguồn từ dãy núi Anđét thuộc lãnh thổ Pêru, đổ biển Đại Tây Dương Lưu vực có diện tích 7000000 km2, chiếm 40% diện tích Nam Mĩ, lớn gấp lần diện tích lưu vực sơng Cơngơ châu Phi

Sơng Amadơn có lịng sơng rộng, Sau hợp lưu với sơng Ucayali lịng sơng rộng từ đến km ; chảy qua miềm đồng lịng sơng rộng 20 km ; khu vực hạ lưu lịng sơng có chỗ rộng đến 80 km

Do khí hậu nóng ẩm ướt quanh năm nên sơng có nhiều nước chế độ nước điều hịa Hàng năm sơng đổ biển lượng nước khổng lồ với lưu lượng trung bình 120000 m3/giây, đồng thời lượng phù sa lớn tới tỉ m3

Hệ thống sông Amadôn chảy qua nước Braxin, Vênêxla, Cơlơmbia, Pêru, Êcuađo, Bơlivia

C¸c cá nhân tập thể xuất sắc trao tặng phẩm kì nàylà Trần Thị Thùy Trang, 8H, THCS Qu¶ng Phó, TP Qu¶ng Ng·i,

Quảng Ngãi; Nguyễn Đình Thi, 8B, THCS Trần Quốc Toản, TP Tuy Hòa, Phú n; Nguyễn Thị Nga, bố Hùng, xóm 6, Đơng Sơn, Đô Lương, Nghệ An; Lê Thị Thảo, 10A5, THPT Gia Lộc, Gia Lộc, Hải Dương ; Nguyễn Thị Kiều Oanh, 7C, THCS Lê Quý Đôn, TX Tuyên Quang, Tuyên Quang; Trần Thị Phương Thảo, 10 Toán, THPT chuyên Lào Cai, Lào Cai; Mẫn Thị ánh Ngọc, 8B, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh ; Lê Xuân Quý, 9A, THCS Nguyễn Hằng Chi, ích Hậu, Can Lộc, Hà Tĩnh; Trần Thị Thanh, khu 18, xã Xuân Lũng, Lâm Thao, Phú Thọ; Lê Minh Hoàng, 7A6, THCS Lương Khánh Thiện, Kiến An ; Phòng Giáo dục huyện Kiến An, Hải Phịng

27

lKÕt qu¶ : XIN NHỜ SỬA NGAY ! (TTT2 sè 42)

l Kì :

Rất nhiều từ láy vần R có mặt thơ này, số từ bị dùng sai số từ bị đặt nhầm chỗ Bạn thay từ bị dùng sai sửa từ nhầm vị trí để thơ hay (nhớ phải thay từ lỏy R)

Suối chảy rúc ríchtrên non

Rầm rầmcây lá, véo von chim rừng

Rì ràokhúc h¸t t­ng bõng

Rịng rãbướm đậu cánh lan Ve kêu rầu rĩhè sang

Häc sinh trß chuyện reng reng đường

Rn rngb i diu hnh

Chim hót róc ráchtrong lành sáng xuân

Rừng rựctrống giục đầu thôn Cành rên rỉkhi b·o vÒ

Rộn rãnước chảy chậm ghê Khi buồn - riết, ủ ê mặt mày

Rung rinhnước mt chy ri

Lửa hồng rắcđun nồi bánh chưng Tiếng chuông điện thoại rưng rưng Ra rảchuẩn bị, ®Èy nhanh tiÕn tr×nh

Vương Trọng Kiên (số 25, tổ 8, Quan Hoa, Cầu Giấy, Hà Nội)

Toàn gửi đến có sai nội dung : Đó bạn PDT (Quảng Ngãi) Bạn viết : “Quảcùtung ném trời ngày xuân” sai Phải viết : “Quả cịn tung ném ngồi trời ngày xn” cịnlà cầu có nhiều dải vải màu dùng để tung, ném làm trò chơi ngày hội số dân tộc miền núi Bài thơ sửa lại sau : Cái cùcịn gọi quay

Đoạt giải vơ địch nhận cúp vàng Tài xế mua canxăng

Cái cặpđựng sách mang tới trường Cưỡi ngựa cần có dây cương

Cái cốnggiúp nước có đường chảy qua Cái cungbắn tên xa

Cái cộtchống đỡ cho nhà thẳng Cái cađựng nước có quai

Con trâu trước càyđi sau Cái cốixay giã giỏi Câu cá phải có cần câuvới mồi

Trọng tài điều khiển còi

Quả còntung ném trời ngày xuân Cái còng tra tay phạm nhân

Muốn định khối lượng dùng cânbiết liền Cái cồng- nhạc cụ Tây Nguyên Dây cápnhiều sợi thép bền bên

Trăm nhát cuốc giật vào Cái cótquây thãc gän gãc buång

Năm bạn thưởng kì :

Nguyễn Trà Giang, 8C5, THCS Chu Văn An, Ngơ Quyền, Hải Phịng ; Nguyễn Trung Dũng, số 28 ngõ 86, Cây Đa, đường Nguyễn Sinh Sắc, TP Vinh, Nghệ An ; Quách Thu Thảo, 106 Lý Chiêu Hoàng, phường Suối Hoa, TP Bắc Ninh,

Bắc Ninh; Nguyễn Thị Phương Lan, 7B, THCS chuyên Lý T Trng, Bỡnh Xuyờn,

Vĩnh Phúc; Trần Thị Ngọc Diệu, mẹ Phạm Thị Dung, số 270/29 ấp Vĩnh Hưng I, Vĩnh Thành, Chợ Lách, An Giang

Phỳ Bình Ngồi cách gửi dự thi tạp chí, bạn tìm từ thích hợp để thay từ “rúc rích” câu “Suối chảy rúc non”, cách gọi đến số 19001548và làm theo hướng dẫn nhắn tin đến số 8109theo mẫu 3T V2 X Y, Xlà đáp án bạn (các chữ viết liền nhau, khơng có dấu) ; Ylà số người có đáp án

28 Trần Đăng Khoa :

Nhng chuyn ngi lờ đôi mách, làm bạn bè hiểu lầm nhau, lại chuyện tốt đẹp ? Căn bệnh có tính tồn cầu có từ lâu Cách 200 năm, nhà văn Đan Mạch tiếng giới An-đéc-xen viết hóm bệnh “bn dưa lê” Đại khái, buổi sáng, chị gà mái vừa nhảy khỏi chuồng bị rụng lơng cánh Chuyện rụng lơng với lũ gà bình thường thơi Thế mà chị ngan rỉ tai chị vịt Rồi chị vịt lại thào với chị ngỗng Cứ rầm rầm rì rì Đến lúc câu chuyện trở lại tai chị gà mái, nhân vật chính, nơi khởi nguồn câu chuyện thành điều kinh khủng Và chị gà mái lại : “Này kinh nhá Có mụ gà mái đánh với tình địch Đánh ác đến mức trụi thùi lụi, chẳng lông ”

“Buôn dưa lê” bệnh chung lồi người, khơng phân biệt giới tính đàn ơng người ta gọi chuyện bàn trà, quán bia Cứ hai anh ngồi với anh thứ ba “hi sinh” Căn bệnh lây sang báo giới Khối anh “buôn dưa lê” chẳng thua chị em Bản thân anh Khoa thành nhân vật chuyện hãi hùng Người viết nhiều cịn bạn Họ khơng xấu không ác ý Tất để vui thụi m

Căn bệnh khó chữa em Và

cng ng ngh n chuyn chữa mồm ln ln rỗi rãi Mồm có phải lúc dùng để ăn đâu Mồm rỗi mà khơng biết dùng để làm việc tất phải “bn” thơi Mà trị “kinh doanh” lại không cần “vốn” nên “kinh doanh” Anh không nghĩ “buôn dưa lê” nhu cầu tất yếu đời sống mà nhu cầu tất yếu mồm Lồi người thơng minh Họ nghĩ cách phịng bệnh “bn dưa lê”, cách tạo “công ăn việc làm” cho mồm Và họ sáng chế kẹo cao su Đấy thứ kẹo có nhai mà khơng nuốt Vậy cần cải tiến nâng cấp kẹo cao su, để loại kẹo có khả gây nghiện Và người ta, trừ lúc ngủ, thức nhai Chỉ có thế, bệnh “bn dưa lê” chấm dứt

29

l KÕt qu¶ : (TTT2 sè 42)

Ơ chữ

l Kì :

Ngồi cách gửi dự thi tạp chí, bạn đốn từ hàng ngang thứ ba từ xuống, cách gọi đến số

19001548và làm theo hướng dẫn nhắn tin đến số 8109

theo mẫu 3T VA2 X Y, Xlà đáp án bạn (các chữ viết liền nhau, khơng có dấu) ; Ylà số người có đáp án

Chúc mừngbạn Trần Bảo Linh, số nhà 54, đường Nguyễn Văn Trỗi, phường Bến Thủy, TP Vinh, Nghệ An (số điện thoại

0982046509) trúng thưởngcuộc thi TTT2 số 42

- How does an elephant get up an oak tree ?

- He stands on an acorn and waits for it to grow

Hång B¾c(st) CƯỜI TRONG VN ANH

Trên hàng ngang ô chữ tên loài cá Bạn tìm không ?

Trần Thị Ngọc Trâm (Bố Trần Duy Hưng, Chi cục thuế Cẩm Xuyên, Hà Tĩnh)

Trong chuyến “thăm Vườn Anh” kì này, hiểu biết bạn nước giới làm cho Chủ Vườn bất ngờ Chỉ với bảy hàng ngang chữ có nhiều quốc gia bạn nhắc tới Hơn nữa, có nhiều bạn cịn đưa thêm thơng tin thủ vị trí địa lí nước

Các từ hàng ngang (từ xuống) : Lát-vi-a ; Bra-xin ; Kª-ni-a ; Nam Phi ; An-ba-ni ; Mi-an-ma ; Đức

Năm bạn xuất sắc nhận quµ

TÊN CÁC NƯỚC

của Chủ Vườn : Nguyễn Thị Hoàng Yến, 9B, THCS Thuận Thành, Thuận Thành,

Bắc Ninh ; Trần Văn Ngọc Hưng, 8/1, THCS Phan Thúc Duyện, Điện Thọ, Điện Bàn, Quảng Nam ; Nguyễn Thị Ngọc

ánh, bố Nguyễn Văn Lực, Phòng khám Trung tâm y tế Sầm Sơn, TX Sầm Sơn,

Thanh Hóa; Nguyễn Thảo Nguyên, xóm 1, Hưng ChÝnh, H­ng Nguyªn, NghƯ An ;

Nguyễn Thùy Linh, 10A1, THPT chuyên Lương Thế Vinh, Biên Hòa, Đồng Nai

30

(TTT2 sè 42) §ång dao ca hát vui chơi

Đồng tiền vất vả thời làm Đồng màu mỡ phù sa §ång Léc lÞch sư ng· ba oai hïng

Đồng lịng khăng khít đến

Đồng nghiệp người có chung nghề Đồng hương người quê

Đồng hồ giấc dễ bề biết Đồng chí giúp tay Đồng ruộng tươi tốt cấy cày lúa rau

Đồng nghĩa tương tự giống Đồng thời khơng trước khơng sau tí

§ång khởi lừng lẫy phong trào Đồng ca tốp vào ngân nga

Đồng niên tuổi mà Đồng dạng - khái niệm ta học hình

Các thảo dân thật thông minh Gửi nhanh, đáp mau rinh quà !

Ban thưởng : Lê Thanh Hà, 501/7/2B Lê Duẩn, TP Buôn Ma Thuột, Đắk Lắk;

Nguyễn Thị Nga, 6B, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An ; Mẫn Thị

ánh Ngọc, 8B, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Vũ Thu Thảo, số nhà 111, khu tập thể đội xe khách, phố Long Xuyên, P Hùng Vương, TX Phú Thọ, Phú Thọ ; Bùi Thị Thu Thủy, 8A1, THCS Lê Thanh Nghị, Gia Lộc, Hải Dương

Vua tÕu l Keát quaỷ :

Thánh : Ngoài cách gửi dù thi vỊ t¹p chÝ,

các bạn giải đáp câu “Bàn cầm bút viết tên ?”, cách gọi đến số

19001548và làm theo dẫn nhắn tin đến số 8109 theo mẫu 3T RC2 X Y, Xlà đáp án bạn, chữ viết liền nhau, khơng có dấu ; Y số người có đáp án

Chúc mừngbạn Nguyễn Ngọc Khánh, 8A1, THCS Quán Hành, Nghi Lộc, Nghệ An (số điện thoại 0915237088) trúng thưởngcuộc thi TTT2 số 42

l Kì :

Bàn gỡ trao i iu hay ?

Bàn quần áo phẳng tức ? Bàn thất bại buồn ghê ?

Bàn dao kéo, thuốc mê sẵn sàng ? Bàn gay gắt tới ?

Bàn hai quay vịng trước sau ? Bn gỡ khỏn gi hũ reo ?

Bàn gõ chữ theo liền ? Bàn cầm bót viÕt tªn ?

Bàn giúp bạn sáng thêm nụ cười ? Nào mời tất ngồi

Bàn giải đố tìm lời giải hay !

Trần Thị Như ý (Đội 4, xóm 4, Nghĩa Tân, Nghĩa Hưng, Nam Định)

BAỉN Gè ?

Hỏi :Em nóng tính cịn nên bạn đặt cho em tên kì quặc “Sư tử Hà Đơng” Em cố sửa tính tật Anh bảo em phi lm õy ?

Cô bé thần thông

(8G, THCS Nguyễn TrÃi, Nghi Xuân, Hà Tĩnh) Đáp :

Danh hiệu Sư tử Hà Đông Chỉ dành cho bậc có chồng mà Bây oan ng em t«i Mai sau vÉn thÕ

chång ngåi co ro

Hái : Anh Phã Gì ¬i ! Nếu chúng em hỏi anh thơ anh nghĩ ?

Lê Thị Việt Hà (8G, THCS Nguyễn TrÃi, Nghi Xuân, Hà Tĩnh) Đáp :

Xin em hỏi cho Để anh liệu mà lo trả lời

Nhng th em ch gõy cười Mải cười anh lại quên người

hái anh

Hỏi :Anh ! Có bạn mến em em lại khơng thích bạn Bạn cố gắng em thấy ghét Nhưng em khơng thể nói cay nghiệt để bạn dứt khoát Anh cứu em với !

Chip - 7889

(Khu Đình Giã, thị trấn Cao Thượng, Tân Yên, Bắc Giang) Đáp :

Anh anh rút cho nhanh Mến người, người lại

đành hanh ghét Thơi mặc người xinh Quay giải hình

cịn ! Hỏi :Tại giải phải giải tờ giấy riêng hở “đại ca” ? Em nghĩ viết chung vào tờ tiết kiệm ?

Ngun Long (28, Đào Duy Từ, Bồng Sơn,

Hoài Nhơn, Bình Định) §¸p :

Anh tính đủ đường Nhưng nhiều thầy chấm

thì lường ? Một tờ gửi tới thầy Một vòng “du lịch” bao ngày,

đệ ! Hỏi : Thưa “sếp” ! Thời buổi Tiếng Anh có quan trọng khơng ? Nếu có tạp chí lại khơng cú

nhiều chuyên mục tiếng Anh ?

Lê Đức Anh (8A, THCS Trưng Vương, Thanh Lâm, Mờ Linh, Vnh Phỳc)

Đáp :

Cng tựy việc, người Nga, Anh, Pháp, Nhật,

nên xơi tiếng Tiếng Anh đưa thật nhiều vào Các bạn mê Toán vẫy chào bọn anh ?

Hỏi :Toán Tuổi thơ dành cho bậc Tiểu học tròn tuổi Toán Tuổi thơ dành cho bậc THCS tuổi Tờ lµ anh ? Tê nµo lµ em ?

Cón

(9/1, THCS Lê Quý Đôn, Hải Dương) Đáp :

Tờ em anh Tờ anh để dành

cho em Trên đời nghĩ kĩ mà xem Ai đời trước gọi em ?

32

Bài 3(44).Cho f(x) x2x8 Giải phương trình [f(x)]2f(x) 8 x

Trần Phương Nam (TP Mỹ Tho, Tiền Giang) Bài 4(44).Cho ba đường tròn (O1), (O2), (O3) qua điểm O Các điểm A1, A2, A3

theo thø tù thuéc đường tròn (O1), (O2), (O3) cho OA1, OA2, OA3theo thø tù song song víi O2O3, O3O1, O1O2 Chøng minh O, A1, A2, A3cùng thuộc đường tròn Nguyễn Minh Hà (ĐHSP Hà Nội) Bài 1(44).Cho số tự nhiªn cã ba

chữ số Mỗi lần phép biến đổi số cho hai cách sau : 1) Lấy chữ số (hoặc chữ số cuối cùng) đặt vào hai chữ số lại

2) Đảo ngược số cho Hỏi biến đổi 2005 lần từ số ban đầu 123 ta nhận số 312 hay không ? Nguyễn Trọng Tuấn (THPT Hùng Vương, Pleiku, Gia Lai)

English version translated by Pham Van Thuan

Bài 5(44).Giả sử Mlà điểm tam giác ABC Qua Mkẻ đường thẳng

DE, IJ, FGlần lượt song song với BC, CA, AB(trong G, JBC; E, FCA; D, IAB)

Chøng minh

Nguyễn Văn Mạnh (Hà Nội)

2

AIMF BGMD CEMJ ABC

S S S  S

1(44) Given a natural three-digit num-ber, we can change the given number in two following possible ways :

1) Take the first digit (or the last digit) and insert it into the other two

2) Reverse the order of the digits After 2005 times of so changing, can we obtain the number 312 from the given number 123 ?

2(44).Let x, y, zbe real numbers in the interval (0 ; 1) such that

xyz(1 x)(1 y)(1 z)

Prove that

3(44).Given f(x) x2x8, solve the equation [f(x)]2f(x) 8 x

4(44) Three circles (O1), (O2), (O3) intersect in one point O Three points A1,

A2, A3 lie on the circles (O1), (O2), (O3) respectively such that OA1, OA2, OA3are parallel to O2O3, O3O1, O1O2 in that order Prove that O, A1, A2, A3 concyclic

5(44) Suppose that M is an arbitrary point in the triangle ABC Through point

M, construct lines DE, IJ, FG such that they are respectively parallel to BC, CA, AB(in which G, JBC; E, FCA; D, I AB) Prove that

AIMF BGMD CEMJ ABC

S S S  S

2 2

4

  

x y z

Bµi 2(44).Cho x, y, zlà số thực thuộc khoảng (0 ; 1) vµ tháa m·n :

xyz(1 x)(1 y)(1 z) Chøng minh r»ng :

Phan TiÕn Thµnh (10T1, THPT NguyÔn Tr·i,

Hải Dương)

2 2

4

  

* Biên tập : Nguyễn Anh Quân, Phan Hương

* Kĩ thuật vi tính : Đỗ Trung Kiên * Mĩ thuật : Tiến Dũng

* Trị - Phát hành : Trịnh Đình Tài, Trịnh Thị Tuyết Trang, Mạc Thanh Huyền

* Địa liên lạc : số 38, ngõ 61, Trần Duy Hưng, Q Cầu Giấy, Hà Nội * ĐT : 04.5567125

* Fax : 04.5567124 * Đường dây nóng : 0903436757

* Website :http://toantuoitho.nxbgd.com.vn E-mail : toantt@ fpt.vn

* Giaáy phép xuất : 31/GPBVHTT ngày 23/1/2003 -Bộ Văn hóa Thông tin

* In : Công ti cổ phần in Sách giáo khoa TP Hà Nội Nộp lưu chiểu tháng 10 năm 2006

CHỊU TRÁCH NHIỆM XUẤT BẢN Chủ tịch HĐQT kiêm Tổng Giám đốc : NGƠ TRẦN ÁI Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập : NGUYỄN QUÝ THAO

BỘ SÁCH "ƠN KIẾN THỨC - LUYỆN KĨ NĂNG" PHÁT HÀNH NHỮNG CUỐN ĐẦU TIÊN

Giá : 3000đ

Những sách sách "Ôn kiến thức - Luyện kĩ năng" phát hành tháng 11 năm 2006 : Hình học 8, Đại số 8, Hình học 9, Đại số

Tác giả sách nhà giáo uy tín chuyên môn giàu kinh nghiệm giảng dạy mơn Tốn bậc THCS : PGS TS Tơn Thân, NGND Vũ Hữu Bình, NGƯT Bùi Văn Tuyên, nhà giáo Vũ Quốc Lương

Mỗi sách gồm chương bám sát chương trình mơn Tốn lớp Mỗi chương chia thành vấn đề trọng tâm với dẫn dắt giảng giải dễ hiểu ví dụ sinh động không trùng lặp với sách giáo khoa Đặc biệt hệ thống lưu ý nhằm nhấn mạnh hướng khai thác sai lầm dễ mắc giải tốn Cuối vấn đề có tập luyện thêm để củng cố kiến thức Cuối chương có tự kiểm tra với hai hình thức trắc nghiệm tự luận để bạn tự đánh giá trình độ nhận thức

Các sách sách viết theo phong cách xuyên suốt qua

lớp Khi bạn quen với sách lớp bạn dễ dàng sử dụng sách lớp

Tạp chí Tốn Tuổi thơ đội ngũ tác giả ba bậc học mong muốn sách "Ôn kiến thức - Luyện kĩ năng" trở thành người bạn đồng hành bạn học sinh suốt năm học phổ thông

Các nhà giáo dạy toán chia sẻ nhiều kinh nghiệm giảng dạy qua sách để nâng cao chất lượng rèn luyện cho học sinh làm cho tiết

dạy thêm lí thú

Đặc biệt, Tạp chí tái "TUYỂN TẬP ĐỀ THI MƠN TỐN TRUNG HỌC CƠ SỞ" phục vụ bạn ơn thi vào lớp 10 THPT, lớp 10 chuyên năm học tới