Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 132

VÝ dô 2.. Phð¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn Bµi 1. Hái n¨m nay Nam bao nhiªu tuæi. TÝnh vËn tèc cña tµu thñy khi nðíc yªn lÆng.. Theo cét däc, quy luËt nµy còng ®ðîc thÓ hiÖn tð¬ng tù. §iÒn s[r]

2 Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc

Gi¶i

* NÕu x 2y th× A * NÕu x 2y

Đặt

Dấu (1) x¶y

DÊu “ ” ë (2) x¶y VËy MaxA

MinA

VÝ dơ 2.Cho x, y kh¸c tháa m·n (x y)xy x2 y2 xy Tìm giá trị lớn biểu thøc

Gi¶i

Tõ gi¶ thiÕt suy

Đặt Ta có

Vậy MaxA 16

Vớ d Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn x2 y2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức

Gi¶i

* NÕu x th× P * NÕu x

với Đặt ta có 3t2 2t 2k 12kt Suy 2(18k2 3k 1) (3t 6k)2

(3k 1)(6k 1) Do P

Vậy MinP chẳng hạn

3 13 x 13 13 y 13 k k P k y t x 2 y

2(1 ) 2(1 6t) x

P ,

1 2t 3t

y y

1

x x

2

22(x 6xy)2

P

x 2xy 3y

x y

2 2

3y (3t 2t 1) x y(3t 1) 0

4

1 t (t 1)(3t 1)

t 3xy2 1.t

x y xy

2

2

3 2

(x y) xy x y 1 3xy .

xy

x y x y xy

2

3 3

1 (x y)(x xy y ) A

x y x y

3

1

A

x y

7 14

x ; y

5 5 14 x y 2 14

x ; y

5 x y A (1) 14 (t 2)(5t 14) 1

A (2) 2

2 2

5t 4t 28 x t y t 0.

4

2

x 2y 1 A

t

x y

2

x 2y

A

x y

DÙNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH BÌNH PHƯƠNG để tìm giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ biểu thức NguyƠn Anh TuÊn

3 MaxP ch¼ng hạn

Ví dụ 4.Tìm giá trị lớn biểu thức Giải

ĐKXĐ x

Ta cã (1)

Điều kiện A 2x Do

(1) (A 2x 3)2 x2 4x A2 2A 44 (5x 2A 8)2 VËy MaxA

VÝ dô 5.Từm nghiỷm nguyến dđểng x, y cựa phđểng trừnh x2 y2 13(x y) (1) Giời

Ta cã (1) x2 13x y2 13y

(2y 13)2 338 (*)

Vừ y lộ sè nguyến dđểng nến tõ (1) suy y {1; 2; 3}

Vắi y thừ phđểng trừnh (1) trẻ thộnh

x2 13x 14 phđểng trừnh nộy khềng cã nghiỷm nguyến

Vắi y thừ phđểng trừnh (1) trẻ thộnh x2 13x 30 x hoẳc x 10

Vắi y thừ phđểng trừnh (1) trẻ thộnh

x2 13x 48 phđểng trừnh nộy nghiỷm VẺy phđểng trừnh cã cịc nghiỷm nguyến (x, y) lộ (3; 2); (10; 2)

Bài tập

Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức

a) b)

c) d)

Bµi Cho x, y thỏa mÃn x2 y2 xy Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức A x2 3xy 2y2

Bµi 3.Cho x, y tháa mÃn x2 y2 x2y xy2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Bài Cho x, y thỏa mÃn 2x2 y2 xy Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc A x2 y2

Bài 5.Tìm giá trị nhỏ A giá trÞ lín nhÊt cđa B

a) b)

Bội 6.Từm nghiỷm nguyến cựa phđểng trừnh a) 7(x2 xy y2) 39(x y);

b) 5(x2 xy y2) 7(x 2y); c) 2x6 y2 2x3y 320 0; d) x3 y3 3xy 3;

e) x3 y3 xy 25; g) x3 y3 2y2 3y 1; h) x2 (x y)2 (x 9)2

2 B 2x 4x x

2 3x

A 2x x ;

2 A x y 2 3y 4xy D x y 2 2

x xy y

C ;

x xy y

22x

B ;

x x

2 2x 4x

A ;

x 2x

2

4y 52y 169 x 13 0

4

6

3 x

5 A

2

A 2x x 4x

2

A 2x x 4x

4

ÔN TẬP CHƯƠNG III ĐẠI SỐ 8

DỰng Phđểng trừnh bẺc nhÊt mét Èn Bội 1.Cho phđểng trừnh

Hởy cho biạt x cã lộ nghiỷm cựa phđểng trừnh trến khềng

Bội 2.Cho hai phđểng trừnh 4x vộ 4x 5|a 2| cã nghiỷm chung Từm a Bội Cho phđểng trừnh

(m2 2)(m2 3)x 4(m4 4) a) Giời phđểng trừnh m

b) Từm giị trỡ nguyến cựa m ệÓ phđểng trừnh cã nghiỷm nguyến

DỰng Phđểng trừnh ệđa ệđĩc vÒ dỰng ax b (a 0)

Bội 4.Cho cịc biÓu thục A (3x 1)(2x 4) 2x vộ B x2 2x Từm x cho A 6B Bội 5.Giời phđểng trừnh

Bội 6.Giời vộ biỷn luẺn phđểng trừnh

DỰng Phđểng trừnh tÝch Bội 7.Giời phđểng trừnh

a) (2x 9)(x2 6) (2x 9)(4x 2) b) (x 1)2(x 2) (x 1)2(x 2) 24 Bội 8.Giời phđểng trừnh

(x 1)(x 4)(x 6)(x 9) 216 Bội Cho phđểng trừnh

[x3 (x 5)3 (5 2x)3][(m 1)x2011 20112011] Từm m ệÓ phđểng trừnh trến cã nghiỷm phẹn biỷt ệã cã mét nghiỷm bỪng 2011

DỰng Phđểng trừnh chụa Èn ẻ mÉu thục Bội 10 Gii phng trnh

a)

Bài 11.Tính giá trÞ cđa biĨu thøc

P x5 6x4 6x3 6x2 6x 9, ệã x lộ nghiỷm cựa phđểng trừnh

DỰng Giời bội toịn bỪng cịch lẺp phđểng trừnh Bội 12.Nẽm tuữi bè gÊp 10 lẵn tuữi Nam Bè tÝnh rỪng sau 24 nẽm nọa tuữi bè chử cưn gÊp hai lẵn tuữi Nam Hái nẽm Nam bao nhiếu tuữi Bội 13.Mét vẺn ệéng viến A chỰy tõ chẹn ệăi ệạn ệửnh ệăi cịch km vắi vẺn tèc 10 km/h răi chỰy xuèng dèc vắi vẺn tèc 15 km/h VẺn ệéng viến B còng chỰy tõ chẹn ệăi lến ệửnh ệăi theo cỉng lé trừnh vắi vẺn tèc 12 km/h Biạt rỪng B chỰy sau A 15 Hái B gẳp A tõ ệửnh ệăi chỰy xuèng thừ cịch ệửnh ệăi bao nhiếu ki-lề-mĐt Bội 14.Mét tộu thựy chỰy trến mét khóc sềng dội 80 km cờ ệi vộ vÒ hạt h 20 TÝnh vẺn tèc cựa tộu thựy nđắc yến lẳng Biạt rỪng vẺn tèc cựa dưng nđắc lộ km/h

DỰng Mét sè dỰng phđểng trừnh khịc Bội 15 Giời phđểng trừnh

4x2 2y2 2z2 4xy 2yz 6y 10z 34 Bội 16 Chụng minh phđểng trừnh sau nghiỷm x10 x8 x4 x3 2x2 x

Bội 17 Giời phđểng trừnh (x 6)4 (x 8)4 16

2

2

x 2x x 8x 20

x x

x 4x x 6x 12.

x x

2 2

2 2

1

b)

(x 5)(x 4) (x 4)(x 3)

1 1.

(x 3)(x 2) (x 2)(x 1)

2 2

4y 12y 9 4y 4y 12y

2 x 4m x x 4m

b)

m m m 1

2 2

2

(m 2) (x 3) (x 3)

a) 1 1 1

100.101 101.102 102

100 (m 1) 2(m 1) 4(m 1) 2x 2x 2x 2x

4021 4020 4019 4018

12 11 10 2011

x x x x 2011 2012x .

2011 2012

Đinh Văn Đông

5

trđểng cềng thộnh(sđu tẵm)

(TTT2 sè 130) NhËn xÐt Quy lt cđa k× không khó, tất

cc bn ều chn ệóng hừnh cẵn ghĐp lộ hừnh G Mét sè bỰn chử ệđĩc quy luẺt chi tiạt nhđng thiạu lẺp luẺn khịi quịt hoẳc lẺp luẺn khềng râ rộng

Quy luật Quan sát bảng gồm 3 ô (hình chữ nhật), ô gồm có ô hình vu«ng

Theo hộng ngang, ề ẻ cét ệẵu (tÝnh tõ trịi) lến Nạu ề vuềng tđểng ụng chử ề cã hừnh thừ hừnh ệã ệđĩc giọ lỰi hừnh chọ nhẺt ẻ cét Nạu cờ ề vuềng ệÒu cã hừnh (gièng nhau) thừ ề vuềng tđểng ụng hừnh chọ nhẺt ẻ cét ệđĩc thay bỪng hừnh khịc nã (hai hừnh trưn ệđĩc thay bỪng hừnh tam giịc vộ ngđĩc lỰi) Theo cét dảc, quy luẺt nộy còng ệđĩc thÓ hiỷn tđểng tù Theo quy luẺt chung ệã, hừnh ệđĩc chản ệÓ ghĐp vộo ề trèng lộ hừnh G

Cịc bỰn ệđĩc thđẻng kừ nộy lộ: MÉn Thỡ Phđểng Chđ, 7A2; NguyÔn Phđểng Thờo, 8A, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh; Tề Minh Ngảc, 9A1, THCS Yến LỰc, Yến LỰc, Vỵnh Phóc;Vâ Thỡ Hăng Liỷu, 8B, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh; NguyÔn Danh Lẹn, 7/2, THCS NguyÔn Khuyạn, CÈm Lỷ, ậộ Nơng

Ngoội ra, cịc bỰn sau còng ệđĩc tuyến dđểng: Cao Minh Nguyỷt, 6C, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; ậẳng Cềng Toịn, 8A; Ngề Minh Thu, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh;NguyÔn Họu Nguyến, 8B, THCS Trẵn Hđng ậỰo, TP Quờng Ngởi, Quờng Ngởi; Nhãm bỰn Trẵn Quèc Bờo, Thịi Xuẹn BÒn, PhỰm Sủ Huúnh, 9C, THCS Hoộng Xun Hn, c Th, H Tnh

nguyn Xuân Bình GHÉP HÌNH TRỊN VỚI TAM GIÁC

HÌNH - SỐ NÀO?

Bài 1.Trong dãy hình sau, chọn hình không theo quy luật

6 Lêi giải.Nối OA cắt BC H

Theo tính chất tiạp tuyạn cựa ệđêng trưn, ta cã AH BC (1) vộ AD.AE AB2 AH.AO

DAH OAE (c.g.c) Do t giỏc DHOE ni tip (2)

Cách 1.Vì nên tø gi¸c MDOE

néi tiÕp

Kạt hĩp vắi (2) suy cịc ệiÓm M, D, H, O, E cỉng thuéc ệđêng trưn ệđêng kÝnh MO, gải lộ ệđêng trưn (O1) (3)

Suy MH AO Vừ qua H chử cã mét ệđêng thỬng vuềng gãc vắi AO nến kạt hĩp vắi (1) suy M, B, C thỬng hộng (ệpcm)

Cịch 2.Gải giao ệiÓm cựa HB vắi ệđêng trưn (O1) lộ Mo(Mo khịc H)

Vừ nến MoO lộ ệđêng kÝnh cựa (O1), hay M trỉng Mo

Vậy H, B, M thẳng hàng (đpcm)

Cịch 3.Giờ sỏ tiạp tuyạn tỰi D cựa (O) cớt BC tỰi M1 Vừ nến tụ giịc M1DHO néi tiạp Kạt hĩp vắi (2) suy cịc ệiÓm M1, D, H, O, E nỪm trến ệđêng trưn ệđêng kÝnh OM1

Do hay M1E tiếp tuyến (O) E

VẺy M1 trỉng M nến M, B, C thỬng hộng (ệpcm) Cịch Qua O kĨ ệđêng thỬng d vuềng gãc vắi DE tỰi K Giờ sỏ d cớt BC tỰi M2

Tõ (2) suy

Do (cùng phụ với góc nhau) Vậy tứ giác M2DHO nội tiếp

Mộ nến cịc ệiÓm M2, D, H, O, E nỪm trến ệđêng trưn ệđêng kÝnh OM2

Suy M2D DO, M2E EO nên M2D M2E tiếp tuyến (O)

Vậy M2 trùng M nên M, B, C thẳng hàng (đpcm) Cách 5.Giả sử MB cắt (O) điểm C1 kh¸c B Ta cã ME2 MB.MC1 (4)

Ta thÊy cịc ệiÓm A, B, C, O, K nỪm trến ệđêng trưn ệđêng kÝnh AO ậđêng trưn nộy cớt (O) tỰi B vộ C

Giờ sỏ MB cớt ệđêng trưn ệđêng kÝnh AO tỰi ệiÓm C2 khịc B

Ta cã ME2 MK.MO MB.MC2 (5)

Tõ (4) vµ (5) suy MB.MC1 MB.MC2nªn C1 C2 C, hay M, B, C thẳng hàng (đpcm)

o

M HO 90

2

DHM DOM

DHA OED ODE o

1

M EO 90 o

1

M DO M HO 90

o o

M HO 90

o MDO MEO 90 AHD AEO

AD AO AH AE

CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG trong tốn

Trong kừ thi vộo lắp 10 THPT Hộ Néi nẽm hảc 2013 - 2014 cã mét cẹu hừnh hảc tđểng ệèi khã, khềng nhiÒu thÝ sinh giời ệđĩc Thùc tạ, ệẹy lộ bội toịn chụng minh ba ệiĨm thỬng hộng Chóng tềi xin trừnh bộy mét sè cịch giời cho cẹu nộy ậỊ bội Tõ mét ệiĨm A ẻ ngoội ệđêng trưn (O) kĨ hai tiạp tuyạn AB, AC vộ cịt tuyạn ADE tắi (O) (D nỪm giọa A vộ E; DE khềng lộ ệđêng kÝnh) Cịc tiạp tuyạn tỰi D vộ E cựa (O) cớt tỰi M Chụng minh M thuéc mét ệđêng thỬng cè ệỡnh cịt tuyạn ADE thay ệữi

NhẺn xĐt.Cho mét vội vỡ trÝ cựa cịt tuyạn, ta nhẺn thÊy M thuéc ệđêng thỬng BC cè ệỡnh Bội toịn trẻ thộnh chụng minh ba ệiÓm M, B, C thỬng hộng Sau ệẹy lộ mét số cch chng minh

phạm liên

7 Câu (4 điểm)

a) Thực phÐp tÝnh

b) Chøng minh r»ng

C©u (4 điểm)Tìm x biết a)

b) (x 7)x (x 7)x 11

Câu 3.(4 điểm)Cho Chứng minh a)

b)

Câu 4.(6 điểm)

Cho tam gi¸c ABC cã ,

Phẹn giịc cựa cớt cỰnh BC tỰi D ậđêng thỬng qua A vộ vuềng gãc vắi AD cớt tia BC tỰi E Gải M lộ trung ệiÓm cựa DE Chụng minh rỪng: a) Tam giịc ACM lộ tam giịc cẹn;

b)

c) Chu vi tam giác ABC độ dài đoạn thẳng BE

Câu 5.(2 điểm)

Tỡm cỏc s cú ba chữ số, biết số chia hết cho 18 chữ số tỉ lệ với ba số 1,

AD AE

AB ;

2

BAC

o ABC 35 o

BAC 75 2

2

b a b a.

a

a c

2 2

a c a ;

b

b c

a c c b

1

x 3,2 ;

3 5

2 98 100

1 1 1 .

50

7 7 7

12 10 2

2

2 25 49

A

(2 3) (125.7) 14

ẹỀ THI HOẽC SINH GIỎI LễÙP CẤP HUYỆN Thời gian làm bài:120 phút (khơng kể thời gian giao đề)

MÃ ĐỀ: RDKTH010

30.1.2002 Tạp chí Tốn Tuổi thơ thành lập.

Các năm 2003, 2006, 2010 Bằng khen Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo.

Năm 2006 Bằng khen Thủ tướng Chính phủ Năm 2011 Huân chương Lao động hạng Ba

Tạp chí vừa Bộ trưởng Bộ Giáo dục Đào tạo công nhận đơn vị xuất sắc ngành.

TTT TẠP CHÍ TỐN TUỔI THƠ

ĐƠN VỊ XUẤT SAÉC

8 a) Hđắng dÉn

ậỊ thi cị nhẹn găm phẵn vắi tững ệiĨm lộ 120 Phẵn A găm 12 cẹu hái, thÝ sinh ệiÒn cẹu trờ lêi vộo phẵn ệđĩc cung cÊp vộ chử dỉng chọ sè thẺp phẹn

Vắi cịc bội tẺp mộ cẵn nhiỊu cẹu hái, ệiĨm ệđĩc cho chử tÊt cờ cịc cẹu hái ệđĩc trờ lêi chÝnh xịc, ệiÓm tõng phẵn khềng ệđĩc tÝnh Mẫi cẹu hái trờ lêi ệóng ệđĩc tÝnh ệiĨm ThÝ sinh khềng bỡ trõ ệiÓm nạu trờ lêi sai

Phẵn B găm bội toịn cẵn cã cẹu trờ lêi chi tiạt ệÓ ệđĩc ệiÓm tèi ệa Mẫi bội toịn ệđĩc 20 ệiÓm vộ cã ệiÓm thộnh phẵn cho nhọng lẺp lun úng

b) Đề

Phn A.Trong phn nộy cã 12 cẹu hái Hởy ệiÒn cẹu trờ lêi vộo phẵn cuèi cựa mẫi cẹu hái Mẫi cẹu trờ lêi ệóng ệđĩc ệiĨm

1 Hởy xịc ệỡnh giị trỡ lắn nhÊt cựa hiỷu hai sè nguyến dđểng mộ tững cựa chóng lộ 2034 vộ tÝch cựa chóng lộ béi cựa 2034

2.Hừnh vỳ dđắi ệẹy biÓu diÔn mét nỏa ệđêng trưn nỪm trến mét hừnh vuềng vộ tiạp xóc vắi hai cỰnh cựa mét tam giịc ệÒu cã cỰnh ệịy trỉng vắi mét cỰnh cựa hừnh vuềng Nạu chiÒu dội mẫi cỰnh cựa tam giịc ệÒu lộ 12 cm thừ bịn kÝnh cựa ệđêng trưn lộ bao nhiếu cm?

3 Nạu giờm chọ sè hộng trẽm cựa mét sè chÝnh phđểng cã chọ sè ệi ệển vỡ ệăng thêi tẽng chọ sè hộng ệển vỡ cựa sè ệã thếm ệển vỡ thừ ta còng ệđĩc mét sè chÝnh phđểng cã chọ sè Từm sè chÝnh phđểng ệã

4.Diện tích tam giác ABC cm2 Gọi M trung điểm cạnh BC Phân giác MAB cắt BM N Diện tích tam giác ABN cm2?

8 DTH(Giíi thiƯu) ĐỀ THI OLYMPIC

TỐN QUỐC TẾ ĐÀI LOAN (TAIMC 2012)

9 5.Cã mét lẫ hững kÝch thđắc ẻ trến mét bục tđêng Ngđêi ta ghĐp kÝn lẫ hững nộy bỪng cịc viến gỰch kÝch thđắc 1 cã mộu ệá, hoẳc mộu trớng, hoẳc mộu xanh Biạt rỪng mẫi cịch ghĐp khềng cã hai viến gỰch nộo cỉng mộu cã cỰnh chung Hái cã bao nhiếu cịch ghĐp nhđ trến?

6.Cã bao nhiếu đắc sè cựa sè 19 28 37 46 55 64 73 82 91 lộ sè chÝnh phđểng? Tõ cịc chọ sè 0, vộ cã thÓ viạt ệđĩc bao nhiếu sè nguyến dđểng khềng lắn hển 20112012? 8.Hừnh vỳ dđắi ệẹy biĨu diƠn ệiĨm A, B, C vộ D trến mét ệđêng trưn ậiÓm E lộ ệiÓm nỪm trến tia ệèi cựa tia AB vộ AD lộ tia phẹn giịc cựa CAE ậiÓm F nỪm trến ệoỰn AC cho DF vuềng gãc vắi AC Nạu BA AF cm, hởy tÝnh ệé dội ệoỰn AC theo cm

9 Cịc sè nguyến a, b, c vộ d khềng nhÊt thiạt phẹn biỷt ệđĩc chản ngÉu nhiến, ệéc lẺp cịc sè tù nhiến tõ ệạn 2012 TÝnh xịc suÊt ệÓ cã ad bc lộ sè chơn

10 Cho 24 ệiĨm cịch ệỊu trến mét ệđêng trưn Cã bao nhiếu tam giịc ệÒu cã Ýt nhÊt hai ệửnh lộ hai 24 ệiÓm ệở cho?

11.Hừnh vỳ sau biĨu diƠn mét hừnh quỰt trưn OAB bỪng mét phẵn sịu hừnh trưn vộ mét ệđêng trưn tiạp xóc vắi OA, OB vộ cung trưn AB TÝnh tử sè diỷn tÝch cựa hừnh quỰt OAB vộ diỷn tÝch hừnh trưn

12 Mét bộn cê kÝch cì 8 ề vuềng ệđĩc treo trến tđêng nhđ mét tÊm bia vộ cã phi tiếu ệđĩc phãng vộo bộn cê Hái cã bao nhiếu kạt quờ khịc ệĨ mẫi mét phi tiếu tróng vộo cịc hừnh vuềng khịc cho bÊt kừ sè hừnh vuềng nộy cã Ýt nhÊt mét ệiÓm chung?

Phẵn B Trờ lêi cẹu hái dđắi ệẹy vộ trừnh bộy cịch giời chi tiạt cựa bỰn khoờng trèng sau mẫi cẹu hái Mẫi cẹu hái cã ệiÓm tèi ệa lộ 20 1.Từm phẵn nguyến cựa M biạt

2.Cho m vộ n lộ hai số nguyn dng thỏa mn

Tìm giá trị lín nhÊt cã thĨ cđa sè n

3.Cho tam giịc ABC cã A 90o vộ B 20o Cịc ệiÓm E vộ F lẵn lđĩt nỪm trến cịc cỰnh AC vộ AB cho ABE 10o vộ ACF 30o TÝnh

CFE

2

n 8m n 60( n n)

10 C©u 1.a) x b)

C©u 2.a) 231 810 168 231 230 232 230(2 22) 7.230, chia hÕt cho (®pcm) b) 812013 (92)2013 94026 104026 Suy ®pcm C©u a) Ta cã

b) Giờ sỏ 2013 sè nguyến dđểng a1, a2, , a2013tháa mởn

khơng có hai số Khi

mâu thuẫn với giả thiết

Vy có nhÊt sè 2013 sè nguyến dđểng ệở cho bng

Câu Vì BE DE nên tån t¹i tia Ex n»m gãc BED cho

Suy Mà hai góc vị trí so le nên AB // Ex (1)

Vì tia Ex nằm góc BED nên Mà

Do ú Ex // DC (vì hai góc vị trí so le trong) (2) Từ (1) (2) suy AB // CD (đpcm)

o

EDC 40 nªn xED EDC

o o o

xED BED BEx 90 50 40 ABE BEx

o BEx 50

o BED 90

1

1 1006 1007,

2

1 2013

1 1

a a a 2013

1 2013

1 1007

a a a

1 1 1

3A

2 5 152 155

1 153 A 51 .

2 155 310 310

5

x ;

4

Năm học: 2013 - 2014

THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU QUN TP H CH MINH

(Đề đăng trªn TTT2 sè 131)

Ra sè ệẵu tiến nẽm 2000, ệạn tỰp chÝ Toịn Tuữi thể ệở bđắc sang tuữi thụ 15 Vắi sù céng tịc nhiỷt từnh cựa cịc céng tịc viến, tỰp chÝ ngộy cộng phong phó vỊ néi dung vộ hừnh thục ậĨ néi dung cịc bội viạt ngộy cộng gẵn gòi vắi bỰn ệảc ẻ mải miÒn Tữ quèc, TỰp chÝ Toịn Tuữi thể trẹn trảng mêi cịc thẵy cề giịo, cịc nhộ quờn lÝ giịo dôc, cịc céng tịc viến viạt bội cho cịc chuyến môc sau:

- Gãc Olympic - Trđêng Olympic - Toịn quanh ta

- §Õn víi tiÕng H¸n

- Hảc VẺt lÝ bỪng tiạng Anh - Hảc Toịn bỪng tiạng Anh - ậÒ thi cịc nđắc

- Nhọng ệđêng cong toịn hảc - BỰn muèn du hc

- Thám tử Sêlôccôc - Bong bóng chìm - Mĩ thuật với Tuổi thơ - Kết nèi 3T

- Th¬

TTT

MỜI CÁC BẠN VIẾT BAØI

11 Câu I.Tìm số tự nhiên A biết ba mệnh đề sau có hai mệnh đề mệnh đề sai:

a) A 51 lộ sè chÝnh phđểng

b) Chọ sè tẺn cỉng bến phời cựa A lộ sè c) A 38 lộ sè chÝnh phng

Câu II.Đặt Chứng minh

là số nguyên

Cẹu III.Từm nghiỷm nguyến cựa phđểng trừnh x2 3y2 2xy 2x 10y

Câu IV.Cho sáu điểm phân biệt thuộc hình chữ nhật có độ dài cạnh cm, cm (các điểm nằm bên nằm cạnh) Chứng minh tồn hai điểm sáu điểm mà khoảng cách chúng không cm

Câu V.Cho số thực x, y, z thỏa mÃn

Tính giá trị biểu thức

P x2006 y2007 z2008 Cẹu VI.Giời hỷ phđểng trừnh

C©u VII.Cho a, b, c vµ ab bc ca abc Chøng minh

Cẹu VIII.Cho nỏa ệđêng trưn (C) tẹm O, ệđêng kÝnh AB Gải C lộ mét ệiÓm trến nỏa ệđêng trưn (C) vộ D lộ ệiÓm chÝnh giọa cựa cung AC Gải E lộ hừnh chiạu vuềng gãc cựa D trến ệđêng thỬng BC vộ F lộ giao ệiÓm cựa AE vắi nỏa ệđêng trưn (C) Tia BF cớt DE tỰi M

a) Chứng minh hai tam giác MDF, MBD đồng dạng

b) Chøng minh M trung điểm đoạn DE

2 2

a b c a b c

a bc b ca c ab

1

2 x

x y

2 y 1

x y

2 2

2 2

1 1

x y z

x y z

5 264 3a

(a 3)

3

a 3

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9

TRƯỜNG THCS TRƯNG VƯƠNG, QUẬN HOAØN KIẾM, HAỉ NI Năm học: 2013 - 2014

Thi gian làm bài:120 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐĨN ĐỌC

Nhằm khuyến khích, động viên phong trào học tốn giải tốn tạp chí Tốn Tuổi thơ bạn học sinh nữ, từ tháng năm 2014, Tòa soạn mở chuyên mục mới: Cuộc thi dành cho nữ sinh Mời bạn nữ đón đọc thể lệ thi tham dự giải

12

Bài 1(130) Tìm chữ số hàng chục hàng đơn vị số

A 51000 151000 251000 20251000 Lời giải.Ta thấy a số tự nhiên có tận ak(k *) số có tận Do a500là số có tận

Giả sử a500 10n (n ) Khi

a1000 (10n 5)2 100n(n 1) 25, lµ sè cã hai ch÷ sè tËn cïng b»ng 25

Nhð tất số hạng A có tận cựng bng 25

Số số hạng A

Vì tổng số hạng liên tiếp A có hai chữ số tận 00 nên tổng 200 số hạng đầu A có hai ch÷ sè tËn cïng b»ng 00

Tỉng cđa sè h¹ng ci cđa A cã tËn cïng b»ng 75

Do A số có hai chữ số tận 75 Vậy A có chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị

Nhận xét Đây toán dễ nên có nhiều bạn gửi giải cho đáp số Tuy nhiên hầu hết bạn đða nhận xét tất số hạng A có tận 25 mà khơng có lí giải chứng minh chặt chẽ

Cịc bỰn sau ệẹy cã bội giời tèt: NguyÔn Minh Hiạu, NguyÔn Vẽn Liếm, 6A, THCS ậục Lý, Lý Nhẹn, Hộ Nam; Vâ Kim Ngẹn, Phỉng Nguyỷt Linh, ậẫ TuÊn Dòng, 6D, THPT Chuyến Hộ Néi -Amsterdam,Hộ Néi;Trẵn Trung Hiạu, 6A1, THCS vộ THPT Hai Bộ Trđng, TX Phóc Yến, Vỵnh Phóc; Trẵn Thanh Hời, 6A7, THCS Chu Vẽn An, Ngề QuyÒn, Hời Phưng; Lế Huy Hoộng, 6E2, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; Vâ Trẵn ậẽng MỰnh, 6B, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh

ngun anh dịng

Bµi 2(130) Cho tam giác ABC cân A có a) HÃy nêu cách vẽ điểm D cạnh AB điểm E cạnh AC cho DE vuông góc với AC DE DB

b) Vẽ BH vuông gãc víi AC (H thuéc AC) Chøng minh BH EC

Lời giải.a) Cách dựng - Kẻ BH AC (H AC)

- Kẻ tia phân giác góc ABH cắt AC E - Kẻ ED AC (D AB)

Các điểm E, D thỏa mÃn điều kiện to¸n

Thật vậy, DE AC, BH AC nên DE // BH Do ú

Mà nên

Suy tam giác DEB cân D nên DB DE b) Ta cã

KỴ EF BC (F BC) EF cắt BH điểm O Ta thấy BCE nhọn nên trực tâm O tam giác nằm B H

Ta thấy FBE vuông cân F nên FB FE KÕt hỵp víi (cïng phơ víi ), suy

FBO FEC (g.c.g) Do BO EC

Mà BH BO nên BH EC (đpcm)

Nhn xt.Tất cờ cịc lêi giời gỏi vỊ Tưa soỰn ệỊu ệóng Cịc bỰn sau cã lêi giời gản hển cờ: KhuÊt Bờo Chẹu, 7A, THCS ThỰch ThÊt, ThỰch ThÊt, Hộ Néi; NguyÔn ThuẺn Hđng, 7B8, THCS Chu Vẽn An;NguyÔn Phđểng Hoa, 7A1, THCS Hăng Bộng, Ngề Qun, Hời Phưng; Phan Phó Dịng, 7A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả;Trẵn Tiạn HẺu, 7D, THCS Bớc Lý; Trẵn Duy Long, 7D, THCS Nhẹn HẺu, Lý Nhẹn, Hộ Nam

hå quang vinh C

FBO FEC

o o o

180 A 90 A 45

2

EBC ABC ABE DEB EBA EBH EBA

DEB EBH

o

A 90

13

Bội 3(130) XĐt xem mẫi trđêng hĩp sau cã phời lộ mét phẹn hoỰch cựa tẺp hĩp * cịc sè nguyến dđểng:

a) [{n: n 5}, {n: n 5}]

b) [{n: n 5}, {0}, {1, 2, 3, 4, 5}] c) [{n: n2 11}, {n: n2 11}]

Lời giải a) Khơng Vì thuộc tập hợp * nhðng không thuộc vào tập tập hợp b) Khơng Vì tập hợp {0} khơng tập hợp tập hợp *

c) Đúng Vì hai tập giao rỗng hợp chúng *

NhẺn xĐt.ậẹy lộ bội toịn dÔ, lộ khịi niỷm mẻ ệẵu cựa lÝ thuyạt tẺp hĩp ệở ệđĩc nhớc ệạn ẻ cịc sè trđắc Tuy nhiến cã Ýt bỰn gỏi bội ệạn tưa soỰn Cịc bỰn sau ệẹy cã lêi giời tèt: NguyÔn Phong Nhở, 8D, THCS Bớc Lý, Lý Nhẹn, Hộ Nam; Tõ Anh Dòng, 7A15, THCS Giờng Vâ, Ba ậừnh; Vò Minh Hiạu, 7D, THPT Chuyến Hộ Néi -Amsterdam, Hộ Néi; PhỰm ậẫ Nguyỷt Anh, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh; NguyÔn ThuẺn Hđng, 7B8, THCS Chu Vẽn An, Ng Quyền, Hi Phng

TRịNH HOàI DƯƠNG

Bi 4(130) Gii h phng trnh

Lời giải.Điều kiện ab

Từ điều kiện ta thấy a b 0: khơng thỏa mãn (2) Do a b

áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có

Tõ ệã, kạt hĩp vắi ệiỊu kiỷn ta ệđĩc

Thư vµo (1) tháa m·n

VẺy nghiỷm cựa hỷ phđểng trừnh ệở cho lộ NhẺn xĐt.Bội toịn cã cịch giời khịc nhđ sau: Tõ phđểng trừnh (1), ta cã thÓ chụng minh ệđĩc a b Tõ ệã thay vộo (2) răi bừnh phng hai v ta c

Đặt ẩn phụ

Suy vµ

Cịc bỰn sau cã lêi giời ngớn gản cho bội toịn nộy: MÉn Bị TuÊn, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh; Vâ Thỡ Hăng Liỷu, Nghiếm Thỡ Ngảc nh, NguyÔn Lỷ Giang, Lế Thỡ Thu Uyến, 8B, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh; NguyÔn Vẽn Sển, 9B, THCS ChÝnh Lý; NguyÔn Thỡ Ngảc nh, Trẵn Thỡ Phđểng Loan, 9B, THCS Chẹn Lý; Lế Phđểng Thờo, 9C; Trẵn Thỡ Thu Phđểng, 9A, THCS Nam Cao, Lý Nhẹn, Hộ Nam; Hoộng Thỡ Thờo HiỊn, Ngun Trung Hiạu, 9C, THCS ậẳng Thai Mai, TP Vinh, Ngh An

hoàng trọng hảo

Bài 5(130) Cho a, b số thực thỏa mÃn a b ab

Chứng minh

Lời giải.Vì nªn a2 a 0,

b2 b Ta có

Tng tự Suy

Đẳng thức x¶y a b

Nhận xét Đây tốn bất đẳng thức khơng khó nên có nhiều bạn tham gia giải Hầu hết bạn giải đúng, số bạn biến đổi dài Sau số bạn có lời giải tốt ngắn gọn:Trần Quốc Lập, Phan Phú Dũng, 7A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Thị Thảo Nguyên, 6B; Phan Hà Trang, 9B; Đặng

2 2

1(a b) 2

2 . (a b) (a b) 2

2 a 2b

a a b b (a b) ab

2

2 a2

b b (a b) ab

2

2 b b2

(a b) (a b)b b (a b) ab

2 2 b 2

a a a b ab b

1

a, b

2

2 2 5

a a b b

a, b

a t

2

t 3t 24 2 a

t (t 0),

a

4

2a 3a2 24

a a 3

(a; b) ( 6; 6)

3 ab ab 6 b 6

(2) 6

a a a a

b 3b 6b 6 ;

3 (ab 3) a ab 3(ab 3)

6

a

a

2

1 (1) ab a b

b

14 Xuẹn Huy, 9C, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh; Ngun Hăng Qc Khịnh, Hoộng Thỡ Thờo HiỊn, Ngun Trung Hiạu, 9C, THCS ậẳng Thai Mai, TP Vinh; Trẵn Danh Nhẹn, 9C, THCS BỰch Liếu, Yến Thộnh, Nghỷ An;MÉn Bị TuÊn, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh; Chu Mai Anh, Hoộng Thỡ Minh Anh, Ngun Thỡ Tó Linh, 9A1, THCS Yến LỰc, Yến LỰc; Hộ Họu Linh, 9A, THCS LẺp ThỰch, LẺp ThỰch, Vỵnh Phóc; Ngun Phđểng Thờo, 9A, THCS Nam Cao, Lý Nhẹn, Hộ Nam

Cao văn dũng

Bi 6(130).Cho hnh vung ABCD có cnh bỪng M, N, P, Q lộ cịc ệiÓm tđểng ụng thuéc cỰnh AB, BC, CD, DA cho chu vi tam giịc BMN bỪng vộ MP // AD, NQ // AB TÝnh khoờng giị trỡ cựa chu vi tam gic DPQ

Lời giải Đặt BM x, BN y, a DP x, b DQ y vµ gọi p chu vi tam giác DPQ

Vỡ chu vi BMN nên theo định lí Pytago, ta có

+ áp dụng bất đẳng thức suy

Do Vậy

V× a b (x y) nªn

+ Ta thÊy x2 y2 (x y)2nªn Suy 2(x y)

Ta chøng minh

Tõ gi¶ thiÕt suy

(1 x y)2 x2 y2hay Do

Vậy (2) 4(a2 b2) 4(a b)2 8ab 4(a b)2 4(a b)2 9: (1) Từ (1) (2) suy

VËy

NhËn xÐt.Ta thÊy

Bài toán khó nên khơng có bạn giải đáp số

Ngun Minh Hµ

TTT2 sè 131, trang 14, cét 1, ệảc lỰi tến ệóng cựa hảc sinh ệđĩc khen lộ: Trẵn Vẽn ậé, 8C, THCS Phó Phóc; NguyÔn Bỉi Nam Trđêng, 8D, THCS Bớc Lý BỰn NguyÔn Bỉi Nam Trđêng cịng ệđĩc khen mơc Cịc bỰn ệđĩc thđẻng kừ nộy (trang 5)

DPQ 1

S ab

2

3

2 p

2

3 1

p (x; y) (0; ), ( ; 0)

2 2

3

p

2 ab (1 x)(1 y)

2

1

x y xy

2 2

x y x y

2

a b (2)

2

1

x y a b (1)

2

2

x y x y

2

p a b a b (a b)(1 )

2

2

p x y

2

a b

2

x y 2

2 1

1 (1 )(x y)

2 x y

x y

2

2 2

x y (x y) ,

2 2

15

Vui vỳ mét tam giịc ABC vuềng cẹn tỰi A vộ hai ệđêng phẹn giịc BD, CE LÊy ệiÓm I bÊt kừ trến ệoỰn thỬng DE Vui khỬng ệỡnh cã thÓ tÝnh ệđĩc diỷn tÝch tam giịc IBC theo diỷn tÝch hai tam giịc IAB vộ IAC

Theo bạn, Vui nói hay sai?

PhỰm TuÊn Khời (29/67 ậđêng Giịp Bịt, Hoộng Mai, Hộ Néi)

Cịch dùng.- Dùng ệđêng trưn tẹm B bịn kÝnh BA - Dùng ệđêng trưn tẹm C bịn kÝnh CA

Gải D lộ giao ệiÓm khịc A cựa hai ệđêng trưn trến - Dùng ệđêng thỬng AD cớt ệđêng trưn (O) tỰi E - Dùng ệđêng trưn tẹm B bịn kÝnh BE cớt AD tỰi ệiÓm H (khịc E)

Ta ệđĩc H lộ trùc tẹm tam giịc ABC

Chụng minh.Ta thÊy BC lộ ệđêng trung trùc cựa AD nến BC AD

Mà BH BE nên H, E đối xứng qua BC Từ H trực tâm tam giác ABC

NhẺn xĐt.Cã Ýt bỰn biạt giời bội toịn dùng hừnh BỰn NguyÔn Thỡ Hđểng Quúnh, 8A, THCS Tam Dđểng, Tam Dđểng, Vỵnh Phóc ệđĩc thđẻng kừ nộy

anh com pa

DIỆN TÍCH TAM GIÁC

BA LẦN DÙNG COMPA VÀ MỘT LẦN DÙNG THƯỚC THẲNG

(TTT2 sè 130)

Danh sách bạn giải kì 57:

Ngun Danh Lẹn, 7/2, THCS NguyÔn Khuyạn, CÈm Lỷ, ậộ Nơng; NguyÔn ThuẺn Hđng, 7B8, THCS Chu Vẽn An, Ngề QuyÒn, Hời Phưng; ậẫ ậềng Dđểng, 6A, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; Vị Quang Phong, 7A1 , THCS Hộn Thuyến, Lđểng Tội, Bớc Ninh.

Lª tó

THẾ CỜ

Trắng trước chiếu hết sau nước

LÊ THANH TÚ

16

ỉa xuẹn Êm ịp ệở vÒ Sịng hềm ệã, thịm tỏ Sếlềccềc ệang chuÈn bỡ ệi thẽm mét ngđêi bỰn cị thừ chuềng ệiỷn thoỰi reo vang.

- Al«, thám tử Sêlôccôc nghe đây!

- Cho t! Rất xin lỗi đầu xuân mà đã làm phiền ngài Nhà tơi vừa bị mất trộm Một đồ kỉ niệm quý giá bị mất Xin ngài làm ơn tới giúp.

Mẳc dỉ ệở hứn bỰn nhđng thÊy ngđêi phô nọ gải ệiỷn vắi thịi ệé rÊt khÈn khoờn nến thịm tỏ vui vĨ nhẺn lêi:

- ậđĩc thềi Chỡ nãi ệỡa chử ệi, tềi sỳ tắi. Mét lóc sau, thịm tỏ ệở ệạn nểi Chộ! Mét biỷt thù khang trang! Vđên cẹy xung quanh còng thẺt Ên tđĩng! Thịm tỏ bÊm chuềng. Mét phô trung niến mẻ cỏa.

- Chộo thịm tỏ! Tềi lộ ngđêi võa gải cho ngội ệÊy Ự Mêi ngội vộo!

Răi ngđêi phơ kĨ:

- Tềi lộ Lisa ChiÒu hềm qua, tềi ệi chểi cỉng mÊy ngđêi bỰn Răi chóng tềi cỉng ệi ẽn tèi Khoờng 21 giê, tềi vÒ ệạn nhộ thừ phịt hiỷn ệă ệỰc ngẽn kĐo tự bỡ mÊt - Tềi rÊt tiạc Cã bỡ mÊt nhiÒu khềng chỡ? - TiÒn thừ khềng nhiÒu lớm nhđng thụ tềi tiạc nhÊt lộ cịi trẹm cội ệẵu bỪng ệị quý. ậã lộ kử vẺt thiếng liếng cựa mứ ti.

- Chị có nghi không?

- Hiỷn nhộ tềi cã ngđêi gióp viỷc vộ 1 ệụa chịu Cờ ba ệÒu rÊt tèt nến tềi khềng biạt phời nghi nọa

- Hôm qua khỏi nhà, chị có khóa tủ kh«ng?

- Cã chø nhðng nãi thùc víi ngài 3

CAI TRAM QUY

bieỏn mất Ngun Hµ Linh

17

ngđêi gióp viỷc ệỊu cã chừa.

- Tềi sỳ gẳp tõng ngđêi ệĨ xem cã phịt hiỷn ra ệiỊu gừ khềng.

Sau ệã, thịm tỏ ệở gẳp cờ ngđêi ậẵu tiến lộ cề Laura, chịu cựa chự.

- Hôm qua, lúc bà Lisa vắng, làm gì, đâu?

- Tềi vộo rõng hịi nÊm cỉng bỰn bÌ, sau ệã chóng tềi nÊu ẽn tèi ẻ nhộ mét ngđêi trong nhãm Nhọng cẹy nÊm võa hịi, tđểi ngon, ệự mộu sớc ẽn ngon tuyỷt, thịm tỏ Ự. Hềm nộo rờnh ềng còng nến vộo rõng hịi nÊm ệi.

Tiạp theo, thịm tỏ gẳp ềng Han - ngđêi gióp viỷc.

- Hôm qua, bà chủ vắng nhà, ông làm gì?

- Tha t! Tụi a mỏy hút bụi tới tiệm sửa chữa gọi thợ đến sửa máy cắt cỏ Tơi cịn cầm hóa đơn

Ngđêi cuèi cỉng thịm tỏ gẳp lộ Mika, ệẵu bạp Bộ nãi:

- H«m qua, nhân bà chủ vắng, không ăn ở nhà, tranh thủ nghỉ ngơi làm tóc.

phỏnh Sáng để hỏi

Sau cuéc trư chuyỷn vắi ngđêi, thịm tỏ Sếlềccềc ệở nãi mèi nghi ngê cựa mừnh vắi bộ Lisa Bộ Lisa ệở gẳp riếng ngđêi ệã vộ kạt quờ cuèi cỉng lộ ệở từm lỰi ệđĩc kử vẺt thiếng liếng cựa mừnh

* Theo cịc bỰn thừ thịm tỏ Sếlềccềc ệở nghi ngê ai? Cẽn cụ vội ệẹu mộ ềng nghi ngờ ngời ó?

Bé Minh tồ tẹt Bé nói mà chẳng tin

Thi! Minh ng dẺy ệi em!” ậÌn trang trÝ báng tay ệđĩc?

TÊt cờ cịc bỰn ệÒu cã cẹu trờ lêi ệóng: bãng ệÌn nhÊp nhịy trang trÝ cẹy thềng lộ loỰi bãng ệÌn LED, táa rÊt Ýt nhiỷt, ệã bĐ Minh khềng thÓ bỡ báng tay ệđĩc.

Phẵn thđẻng ệđĩc trao cho: Nghiếm Vẽn Long, 9D, THCS Vỵnh Yến, Vỵnh Yến, Vỵnh Phóc; Lế Phđểng Thờo, 9C, THCS Nam Cao, Lý Nhẹn, Hộ Nam; Hoộng ậam; Cao MỰnh Cđêng, 7A, THCS Cao Xuẹn Huy, DiÔn Chẹu; Lế ậừnh MỰnh, 7C, THCS Lế Mao,

TP Vinh, NghÖ An.

Thám tử Sêlôccôc

19 c) i) Since distance speed time

So total distance X (4.0 1) (4.0 1) 8.0 km ii) Using Pythagoras’ Theorem

distance by

(The distance can also be obtained by drawing a scale diagram of the distances moved by X and Y as shown below

in a direction of N 45oE

Note:Velocity is a vector quantity, the direction must be included change in displacement 5.7

iii) Velocity 2.8 km/h

time 1.00 1.00

2

Y (4.0) (4.0) 5.7 km

Physics Terms

direction hđắng

resultant force lùc hĩp thộnh, hĩp lùc circular motion chuyÓn ệéng trưn towards the centre hđắng tẹm change in velocity thay ệữi vẺn tèc the speed is constant tèc ệé khềng ệữi the force remains the same lùc giọ nguyến

initial vertical velocity vận tốc thẳng đứng ban đầu average rate of heat tỉ suất trung bình tăng nhiệt

velocity vËn tèc

vector quantity ệỰi lđĩng vĐc tể scalar quantity ệỰi lđĩng hđắng

speed tốc độ

scale diagram biểu đồ theo tỉ lệ

change in displacement dịch chuyển khoảng cách

N 45oE 45o theo hđắng ậềng Bớc

the direction must be included phời găm cờ hđắng

Vò Kim Thựy (Tiạp theo kừ trđắc) Solution

a) A vector quantity includes direction whereas a scalar quantity has no associated direction

20

đông ba (Hà Nội) Sðu tầm Bạn thay

chọ cịi bẻi mét chọ sè cho ệđĩc phĐp tÝnh ệóng, biạt rỪng cịc chọ cịi khịc biÓu thỡ cịc chọ sè khịc Lêi giời cẵn ghi râ lẺp luẺn

Đánh số cột từ phải qua trái ởcột 1, ta thấy N chẵn

Vì N chẵn nên cột 2, N T O N T O nên N O

Tõ cét ta cã 2O 10 nên 2O 10 N Kết hợp với cột suy E lỴ

Tõ cét suy nÕu 2E 10 N E O: vô lí

Vậy 2E N (cột 1) Vì E lẻ nên E {1; 3} + Xét E Khi đó, từ cột suy N Từ cột 3: 2O 12 suy O

Tõ cét 2: N T O suy T

Tõ cét 5: A khác 0, 1, O A 10 nên A vµ X

Tõ cét suy 2Z E nªn Z + XÐt E

Tõ cét suy N

Tõ cét 3: 2O 10 N nªn O Tõ cét suy A vµ X Tõ cét 2: N T O nªn T

Tõ cột 4: 2Z E nên Z 1: vô lí Z A Tóm lại ta có kết sau

NhẺn xĐt.Cịc bỰn sau cã lêi giời ệóng, lẺp luẺn ngớn gản, chẳt chỳ: ậẳng Duy ậan, 7D, THCS Vỵnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc; Ngun Thỡ Phđểng, 8C, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh;Phan Vẽn ậỰt, 8C; ậẳng Xuẹn Huy, 9C, THCS Hoộng Xuẹn Hởn, ậục Thả, Hộ Tỵnh; Vị Thỡ Thu HiỊn, 8A, THCS ThỰch ậăng, Thanh Thy, Phú Th

Hoàng nguyên linh (TTT2 số 130)

1, 9, 5, 6, 2, 14

Kh«ng khó khăn lắm, bạn thấy số thiÕu lµ 1, 9, 5, 6, 2, 14

Nhđng sè nộo ệiÒn vộo ề nộo cho hĩp lềgic lộ viỷc bỰn cẵn từm Nẽm suÊt quộ cho nẽm bỰn từm cịch ệiỊn ệóng vộ gỏi lêi giời vÒ tưa soỰn sắm nhÊt BỰn nộo từm ệđĩc hai cịch vộ gỏi lêi giời sắm nhÊt sỳ nhẺn ệđĩc phẵn thđẻng 000 000 ệăng (cịch giời chử xoay hừnh ệi mộ cã thừ khềng ệđĩc tÝnh lộ lêi giời khịc)

21 Lêi gi¶i.Ta cã x6 x5 x4 x3 x2 x

(x3 x 1)(x3 x2 1)

Đặt a u v, u3 v3 1,

Do ệã a3 (u v)3 u3 v3 3uv(u v) a nến a lộ nghiỷm cựa phđểng trừnh (1) Ta cã x3 x x3 x (a3 a 1) (x a)(x2 ax a2 1)

Vừ x2 ax a2 nến phđểng trừnh (1) cã nghiỷm nhÊt

x a

Đặt 3b s t;

s3 t3 25; st 1, vộ t Do ệã (3b 1)3 (s t)3 s3 t3 3st(s t) 25 3(3b 1) nến b lộ nghiỷm cựa phđểng trừnh (2)

Ta cã x3 x2 x3 x2 (b3 b2 1) (x b)(x2 (b 1)x b2 b) XĐt phđểng trừnh x2 (b 1)x b2 b (3)

Phđểng trừnh (3) cã (b 1)(1 3b) (vừ ) nến phđểng trừnh (3) nghiỷm Do ệã phđểng trừnh (2) cã nghiỷm nhÊt x b

VẺy phđểng trừnh ệở cho chử cã hai nghiỷm ,

NhẺn xĐt.Cã vâ sỵ nhẺn lêi thịch ệÊu trẺn ệÊu nộy Tuy nhiến chử cã vâ sỵ MÉn Bị TuÊn, 9A, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh cã lêi giời ệóng Cịc vâ sỵ khịc mắi chử phđểng trừnh ệở cho cã hai nghiỷm nhđ trến mộ khềng chử phđểng trừnh chử cã hai nghiỷm ệã Vâ sỵ MÉn Bị TuÊn xụng ệịng ệẽng quang trẺn ệÊu nộy

NguyÔn Ngäc h©n

3

1 25 25

b 69 69

3 2 2

3 1 31 31 31 a

2 6

1

b ( s t)

3

5 s

2

3 25 325

s 69; t 69

2 2

3

1 25 25

b 69 69

3 2 2

2

2 a 3a

x ax a x

2

1 uv

3

3 1 31 1 31

u ; v

2 6

3 1 31 1 31 a

2 6

3

x x (1) x x (2)

Ngđêi thịch ệÊu:GS TSKH Vò ậừnh Hưa, GV ậỰi hảc Sđ phỰm Hộ Néi

Bội toịn thịch ệÊu:Cã ngđêi chung mét khoờn tiÒn tiạt kiỷm ệùng mét tự sớt Hái tự sớt cẵn Ýt nhÊt bao nhiếu ữ khãa vộ mẫi ữ khãa cã Ýt nhÊt bao nhiếu chừa cho tự sớt chử mẻ ệđĩc cã Ýt nhÊt hai ngđêi cỉng mẻ?

XuÊt xø: S¸ng t¸c

Thêi hỰn:Trđắc ngộy 08.4.2014 theo dÊu bđu ệiỷn

TRẬN ĐẤU THỨ MỘT TRĂM MƯỜI HAI (TTT2 sè 130)

22 Phđểng phịp ệỰi lđĩng ệển biạn trư chểi ậỰi lđĩng ệển biạnlộ mét ệỰi lđĩng luền thay ệữi, nhđng chử theo mét chiÒu, tục lộ tẽng lến hay giờm xuèng (ệển ệiỷu) Nạu ệỰi lđĩng lộ ệển ệiỷu giờm vộ bỡ chẳn trến tẺp họu hỰn, thừ sau mét sè bđắc, ta ệi ệạn giị trỡ nhá nhÊt

Phđểng phịp ệỰi lđĩng ệển biạn ệđĩc sỏ dông réng rởi giời toịn nhđ phđểng trừnh nghiỷm nguyến, qui nỰp Phđểng phịp ệỰi lđĩng ệển biạn còng lộ mét cềng cô ệớc lùc giời toịn trư chểi

Bài (Vô địch Kiev, 1974)

Cịc sè 1, 2, , 1974 ệđĩc viạt trến bờng Ngđêi chểi ệđĩc phĐp thay hai sè bÊt kừ bẻi mét sè khịc bỪng tững hoẳc bỪng hiỷu cựa cịc sè ệã Hởy chử rỪng, sau 1973 lẵn thùc hiỷn phĐp toịn ệã, sè cưn lỰi trến bờng khềng thÓ bỪng

Giời Lóc ệẵu trến bờng cã 987 sè lĨ lộ 1, 3, , 1973 Mẫi lẵn thay ệữi, sè cịc sè lĨ hoẳc giọ nguyến (khi hai sè ệđĩc chản cỉng chơn thừ tững vộ hiỷu cựa chóng cịng lộ sè chơn; hai sè ệđĩc chản cã mét sè chơn vộ mét sè lĨ thừ tững vộ hiỷu cựa chóng lộ lĨ) hoẳc giờm ệi 2(khi chản cờ hai sè cỉng lĨ thừ thay thạ bỪng tững hoẳc hiỷu cựa chóng lộ mét sè chơn) Do ệã sè cịc sè lĨ cưn lỰi trến bờng sau mẫi lẵn thùc hiỷn luền luền lộ lĨ Vừ mẫi lẵn chểi ta thay hai sè bỪng mét sè nến sau mẫi lẵnsè lđĩng cịc sè giờm ệi mét ệển vỡ(ệển biạn) VẺy sau 1973 lẵn thùc hiỷn, sè cuèi cỉng cưn lỰi phời lộ sè lĨ, tục lộ sè ệã khềng thÓ bỪng Bội 10 (Về ệỡch Nga, 1971, lắp 10)

Trến ệđêng trưn ta ệẳt n sè Nạu cịc sè a, b, c vộ d lộ sè kÒ tháa mởn (a d)(b c) (1) thừ ệữi chẫ hai sè b vộ c Chụng minh rỪng sau mét sè bđắc, trến ệđêng trưn khềng cưn bé tụ nộo tháa mởn (1)

Giải.Sau lần thực ta đổi chỗ hai số, số khác giữ nguyên

Khi đổi chỗ b c tứ a, b, c, d chuyển thành a, c, b, d

V× (a d)(b c) nªn ab cd ac bd Suy ab bc cd ac cb bd

Tổng tích số liên tiếp cạnh sau phép đổi chỗ tăng thực sự: Phép biến đổi thực hữu hạn lần, tức sau hữu hạn lần, khơng cịn tứ liên tiếp cịn có tính chất (1) Bài 11 (Vô địch vùng Balcan, 2003)

Cã mét bao ệùng 150 viến bi ệen vộ 75 viến bi trớng Mét ngđêi bèc tõ bao mét cịch ngÉu nhiến mẫi lẵn viến bi Nạu bèc ệđĩc mét viến bi ệen vộ mét viến bi trớng, bá lỰi viến bi trớng vộo bao vộ bá viến bi ệen ngoội bao Nạu bèc ệđĩc hai viến cỉng mộu, cÊt ệi cờ hai răi bá vộo bao mét viến bi ệen (giờ sỏ sè bi ệen ẻ ngoội bao ệự nhiÒu) Quị trừnh ệđĩc lẳp lỰi cho ệạn cưn ệóng mét viến bi bao, lÝ tỰi sao? Viến bi ệã mộu gừ?

Giời Mẫi lẵn lÊy hai viến nhđng bá vộo mét viến nến sè lđĩng bi bao giờm ệi mét viến (ệển biạn) Sau mét lẵn, sè bi trớng bao hoẳc giọ nguyến (khi lÊy mét viến trớng mét viến ệen hoẳc cờ hai viến bi ệÒu ệen) hoẳc giờm ệi (khi lÊy hai viến trớng) Do lóc ệẵu cã 75 viến bi trớng vộ sè cịc viến bi trớng cưn lỰi bao sau mẫi lẵn thùc hiỷn luền luền lộ lĨ (bÊt biạn) nến sau 224 lẵn thùc hiỷn, ta cưn ệóng mét viến bi trớng bao

Bài 12 (Vô địch Nga, 1961)

Cịc sè thùc ệđĩc viạt vộo cịc ề mét bờng chọ nhẺt m n Mẫi lẵn chểi ta cã thÓ ệữi dÊu tÊt cờ cịc phẵn tỏ mét hộng hoẳc mét cét Chụng minh rỪng sau mét sè lẵn, ta cã thÓ lộm cho tững cựa cịc sè mẫi hộng vộ mẫi cét lộ khềng ẹm

Giời Giờ sỏ S lộ tững cựa tÊt cờ mn sè bờng Sau mét lẵn thùc hiỷn, mẫi sè ệđĩc giọ

PHƯƠNG PHÁP ĐẠI LƯỢNG ĐƠN BIẾN

trong tốn trị chơi

PhỰm Vẽn ậỰo (GV THCS An Dđểng, Hời Phưng) PGS TS TỰ Duy Phđĩng(Viỷn Toịn hảc)

23 nguyến hoẳc ệữi dÊu Nhđ vẺy cã tÊt cờ tèi ệa 2mn bờng nến S chử cã thÓ nhẺn tèi ệa 2mn giị trỡ Giờ sỏ mét bờng tăn tỰi mét hộng (hoẳc mét cét) cã tững cịc sè lộ ẹm ậữi dÊu cịc sè hộng (hoẳc cét) ệã thừ tững cịc sè bờng tẽng lến thẺt sù: Quị trừnh nộy sỳ dõng lỰi sau mét sè lẵn thùc hiỷn ệữi dÊu Khi ệã ta cã bờng mộ tững cịc sè trến mẫi hộng vộ mẫi cét ệÒu dđểng Kỵ thuẺt ệăng dđ kạt hĩp vắi bÊt biạn Kỵ thuẺt ệăng dđ rÊt họu hiỷu giời toịn trư chểi Bội 13.(Về ệỡch Moscow, 1971, lắp 10, vưng 1) Mét ệèng găm tử que diếm Hai ngđêi chểi trư chểi sau ệẹy Mẫi bđắc ngđêi chểi cã thÓ lÊy tõ ệèng diếm pn que, ệã p lộ sè nguyến tè Ngđêi nộo lÊy que diếm cuèi cỉng thừ ngđêi ệã thớng Hái lộ ngđêi chiạn thớng?

Giời.Ta thÊy tũ chia cho dđ Lẵn ệẵu, ngđêi chểi thụ nhÊt sỳ lÊy 22 que diếm thừ sè que diếm cưn lỰi chia hạt cho Mẫi lẵn tiạp theo, cụ ngđêi thụ hai lÊy sè que diếm lộ pn, lộ sè khềng chia hạt cho (do p lộ sè nguyến tè) thừ ẻ lẵn tiạp theo, ngđêi thụ nhÊt lÊy sè que diếm bỪng r, vắi r lộ sè dđ chia pn cho (lộ mét cịc sè 20, 2, 3, 4, 5) Sè que diếm cưn lỰi cho ngđêi thụ hai luền lộ béi sè cựa VẺy nạu sỏ dông theo chiạn lđĩc trến thừ ngđêi thụ nhÊt bao giê còng thớng Bội 14.(Trư chểi Bachet - Bachet’s games) ậẵu tiến, cã n quẹn cê ệam trến bộn cê (n 0) TỰi mẫi bđắc ệi, ngđêi chểi lÊy tèi thiÓu mét quẹn vộ tèi ệa k quẹn cê tõ bộn cê (k lộ sè cho trđắc vộ k n) Ngđêi chiạn thớng lộ ngđêi lÊy quẹn cê cuèi cỉng Hái n phời bỪng bao nhiếu ệÓ ngđêi chểi thụ nhÊt cã thÓ dộnh chiạn thớng? Tđểng tù, n phời bỪng bao nhiếu ệÓ ngđêi chểi thụ hai cã thÓ thớng?

Giời Nạu k thừ n lĨ ngđêi chểi thụ nhÊt thớng vộ n chơn thừ ngđêi chểi thụ hai thớng

XÐt k n Suy n

Vắi n thừ k vộ ngđêi thụ hai thớng (ngđêi thụ nhÊt lÊy hoẳc quẹn cê, ngđêi thụ hai lÊy sè quẹn cê cưn lỰi)

Víi n k k

Vi k thừ ngđêi thụ nhÊt thớng nạu lẵn ệẵu ngđêi nộy lÊy mét quẹn cê (cưn lỰi quẹn cê, tđểng tù trđêng hĩp n 3)

Vắi k thừ ngđêi thụ hai thớng

Tõ phẹn tÝch trến ta ệi ệạn kạt luẺn rỪng: Nạu n khềng lộ béi cựa k thừ ngđêi thụ nhÊt thớng,

ngđĩc lỰi ngđêi thụ hai sỳ thớng Bội tẺp

Bội 15.(Annual Maritine Mathematics Competition - Thi toịn hộng nẽm miÒn duyến hời Canada, 2001) A vộ B tiạn hộnh chểi vắi 2001 hỰt ệẺu A ệi trđắc vộ luẹn phiến Mét nđắc ệilộ mét lẵn lÊy khái ệèng hỰt ệẺu 1, hay hỰt Ngđêi nộo ệi nđắc cuèi (hạt ệẺu ệèng), ngđêi Êy thớng VẺy ngđêi nộo cã chiạn thuẺt ệÓ luền thớng vộ chiạn thuẺt ệã

Bội 16.(Về ệỡch Moscow 1969, lắp 7, vưng 2) Hai ngđêi chểi trư chểi sau ệẹy Mẫi ngđêi chểi tỉy theo cịch chản cựa mừnh lẵn lđĩt gỰch sè tõ dởy sè 1, 2, 3, …, 100, 101 Sau 11 lđĩt (ngđêi thụ nhÊt lđĩt, ngđêi thụ hai lđĩt), chử cưn lỰi sè Sau ệã ngđêi thụ hai phời trờ cho ngđêi thụ nhÊt sè ệiĨm bỪng ệóng hiỷu giọa hai sè cưn lỰi Chụng minh rỪng ngđêi thụ nhÊt luền luền nhẺn ệđĩc tèi thiĨu 55 ệiĨm, khềng phơ thuéc vộo ngđêi chểi thụ hai

Bài 17.(Vô địch Nga, 1996 - 1997, lớp 7)

Trến bờng ệen ệđĩc viạt cịc sè tõ ệạn 1000 Hai ngđêi chểi lẵn lđĩt mẫi ngđêi xãa mét sè trến bờng Trư chểi kạt thóc chử cưn lỰi hai sè Ngđêi thụ nhÊt thớng nạu tững hai sè cưn lỰi chia hạt cho 3, ngđĩc lỰi thừ ngđêi thụ hai thớng Hái cã chiạn lđĩc ệÓ luền thớng?

Bội 18 (Về ệỡch Moscow, 2001, lắp 7, vưng 2) Trến mẳt phỬng cho 1968 ệiÓm lộ cịc ệửnh cựa mét ệa giịc ệÒu Hai ngđêi chểi lẵn lđĩt nèi hai ệửnh cựa ệa giịc ệÒu bẻi cịc ệoỰn thỬng theo qui tớc sau: Khềng ệđĩc nèi hai ệiÓm mộ mét cịc ệiÓm Êy ệở ệđĩc nèi vắi ệiÓm khịc, vộ khềng ệđĩc cớt cịc ệoỰn ệở kĨ Ngđêi thua lộ ngđêi khềng thÓ lộm bđắc tiạp theo Hái lộm thạ nộo ệÓ thớng vộ lộ ngđêi thớng trư chểi nộy? Bội 19.(Về ệỡch Liến Xề, 1978, lắp 8)

Mét quẹn cê ệam ệụng ẻ gãc bộn cê găm n n ề vuềng Hai ngđêi chểi lẵn lđĩt ệÈy quẹn cê sang ề bến cỰnh (cã cỰnh liÒn kÒ vắi ề mộ quẹn cê ệang ệụng) Khềng ệđĩc phĐp trẻ lỰi ề mộ quẹn cê ệở ệi qua Ngđêi nộo khềng cưn nđắc ệi thừ ngđêi Êy thua 1) Chụng minh rỪng nạu n chơn thừ ngđêi chểi thụ nhÊt thớng, cưn nạu n lĨ thừ ngđêi chểi thụ hai thớng 2) Ai lộ ngđêi chiạn thớng, nạu lóc ệẵu quẹn cê khềng ẻ vỡ trÝ gãc bộn cê, mộ ẻ ề bến cỰnh gãc bộn cê?

24 Part A: Each correct answer is worth points We put 2, 0, 1, into an adding machine, as shown

What is the result in the box with the question mark?

(A) (B) (C) (D) (E) Nathalie wanted to build the same cube as Diana had (see the picture)

Diana’s cube Nathalie’s cube However, Nathalie ran out of small cubes and built only the part of the cube, as you can see in the picture How many more small cubes did Nathalie need to complete her cube?

(A) (B) (C) (D) (E)

3 The diagram is a scale rerpresentation of the distance between Mara’s house and the house of her friend Bunica One half, one quarter and one eighth of the distance are marked on the diagram What is the real distance between the two houses?

(A) 300 m (B) 400 m (C) 800 m (D) km (E) 700 m

4 Nick is learning to drive on the training ground shown on the figure He knows how to turn right but cannot turn left What is the smallest number of turns he must make in order to get from point A to point B, starting in the direction of the arrow?

(A) (B) (C) (D) (E) 10 5.The total of the ages of Ann, Bob and Chris is 31 years What will the total of their ages be in

International Contest-Game

MATH KANGAROO

Grade 5-6 Year 2013

LTS.Cuéc thi toịn Kangaroo ệđĩc tữ chục hộng nẽm, cã nguăn gèc tõ Phịp nẽm 1991 Mơc ệÝch cựa cc thi lộ gióp hảc sinh thóc ệÈy tđ toịn hảc vộ kÝch thÝch sù quan tẹm ệạn toịn hảc qua nhọng bội toịn vui vĨ, thó vỡ Kừ thi dẵn trẻ nến phữ biạn Nẽm 2011, cã hển sịu triỷu thÝ sinh tõ 46 quèc gia tham dù

TỰi Canada, cuéc thi ệđĩc mẻ réng dẵn tõ nẽm 2006 tỰi nhiÒu thộnh phè, dộnh cho hảc sinh tõ lắp ệạn lắp 12 Cụ lắp thi chung mét ệÒ, bớt ệẵu tõ cẳp lắp - ThÝ sinh cã thÓ ệẽng kÝ tham gia bỪng tiạng Anh hoẳc tiạng Phịp ậÒ thi dđắi ệẹy găm 30 cẹu cã thêi gian lộm bội 75 phót, khềng ệđĩc sỏ dơng mịy tÝnh Cẹu trờ lêi sai bỡ trõ ệiÓm, khềng trờ lêi ệđĩc ệiÓm

25 three years time?

(A) 32 (B) 34 (C) 35 (D) 37 (E) 40 The Gurukans have three little daughters Every daughter has exactly two brothers How many people are there in the family?

(A) (B) (C) (D) (E) 11 7.Michael has to take a pill every 15 minutes He took the first pill at 11:05 At what time did he take the fourth pill?

(A) 11:40 (B) 11:50 (C) 11:55 (D) 12:00 (E) 12:05

8.By drawing two circles, Mike obtained a figure, which consists of three regions (see picture) At most how many regions could he obtain by drawing two squares?

(A) (B) (C) (D) (E) 9.The number 36 has the property that it is divis-ible by the digit in the unit position, because 36 is divisible by The number 38 does not have this property How many numbers between 20 and 30 have this property?

(A) (B) (C) (D) (E) 10.The incorrect equality statement 22 may be made correct by increasing one of the numbers in it by Which number should it be? (A) (B) (C) (D) (E) 22 Part B: Each correct answer is worth points 11 Which of the following pieces covers the largest number of dots in the table?

12 Mary shades various shapes on square sheets of paper, as shown

How many of these shapes have the same perimeter as the sheet of paper itself?

(A) (B) (C) (D) (E) 13.Ann rides her bicycle throughout the afternoon with constant speed At the beginning and at the end of the route, her watch shows the time, as in the diagram:

Which picture shows the position of the minute hand when Ann finishes one third of the ride?

14 Matthew is catching fish If he had caught three times as many as he actually did, he would have 12 more How many fish did he catch? (A) (B) (C) (D) (E) 15 How many different squares of any size can you identify in the picture?

26 Ngộy nay, mét hảc sinh cuèi bẺc THCS cã thÓ giời dÔ dộng cịc phđểng trừnh (PT) bẺc hai Nhđng loội ngđêi ệở trời qua lỡch sỏ hộng ngộn nẽm mắi ệỰt ệđĩc thộnh quờ Êy

1 Giời cịc phđểng trừnh ệỰi sè bỪng hừnh hảc Cịc nhộ toịn hảc cữ ệỰi chử quan tẹm ệạn cịc PT ệỰi sè vắi hỷ sè dđểng Trđêng phịi toịn hảc nhộ toịn hảc Hy LỰp Phythagore sịng lẺp thạ kử VI trđắc Cềng nguyến (CN) ệở giời PT bẺc nhÊt ax bc vộ PT bẺc hai x2 ab bỪng cịch dùng ệoỰn thỬng tử lỷ cho bẻi cịc hừnh sau:

Để giải PT bậc hai tổng quát, họ lập luận cần xét PT bậc hai có dạng x2 ax b2 (1) x2 ax b2 (2) đủ

Ta thÊy (1) x(a x) b2

Dùng ệoỰn AB a Dùng P lộ trung ệiÓm cựa AB Trến ệđêng vuềng gãc vắi AB kĨ tỰi P lÊy ệiÓm E cho PE b ậđêng trưn tẹm E, bịn kÝnh PB cớt ệoỰn PB tỰi Q

Khi QA.QB (AP PQ)(BP PQ) PB2 PQ2 EQ2 PQ2 EP2 b2 Từ x AQ x BQ

Nghiệm PT x2 ax b2 số đối chiều dài đoạn thẳng AQ, BQ

Tđểng tù, ta giời ệđĩc PT (2) vộ x2 ax b2 Viỷc giời PT bẺc ba bỪng hừnh hảc khã hển nhiÒu Nhộ toịn hảc ờRẺp Omar Khayyam (khoờng thạ kử XI sau CN) ệở xĐt cịc PT bẺc ba cã nghiỷm dđểng Tuy nhiến, cịch giời bỪng hừnh hảc cựa ềng hạt sục phục tỰp

2 Viỷc dỉng chọ thay sè vộ cềng thục nghiỷm cựa mét phđểng trừnh ệỰi sè

Nhộ toịn hảc Phịp F ViÌte (1540 - 1603) lộ ngđêi ệẵu tiến dỉng cịc sè nguyến ẹm thay cho cịc hỪng sè Sau ệã, nhộ toịn hảc Anh T Hariot (1560 - 1621) cời tiạn cịch kÝ hiỷu cựa ViÌte vỊ cịc lịy thõa bỪng cịch dỉng a2 thay cho a.a hay a3 thay cho a.a.a vộ cịc chọ cịi nhá thay cho cịc chọ cịi lắn Cịc PT ệỰi sè ệđĩc viạt dđắi dỰng ệển giờn ax b 0, ax2 bx c Nhê vẺy, ngđêi ta biĨu diƠn ệđĩc cềng thục nghiỷm cho cịc PT bẺc nhÊt vộ bẺc hai Khi xĐt PT bẺc ba, khã khẽn bớt ệẵu xuÊt hiỷn Nẽm 1515, S Ferro (1465 - 1526), mét nhộ toịn hảc Italia, ệở từm ệđĩc cịch giời PT x3 mx n (3) bỪng cềng cô ệỰi sè Nẽm 1535, mét nhộ toịn hảc Italia khịc lộ Nicolo cềng bè ệở từm ệđĩc cịch giời PT (3) Tuy nhiến cịc kạt quờ trến khềng ệđĩc chÝnh thục cềng bè cềng khai Cềng lao giời PT bẺc ba cã lỳ nến dộnh cho nhộ toịn hảc Italia G Cardano (1501 - 1576) Trđắc hạt, chia hai vạ PT bẺc ba cho hỷ sè cao nhÊt (nạu cẵn), ta ệđĩc PT cã dỰng x3 ax2 bx c ậẳt , ta ệđĩc PT cã dỰng y3 px q vắi cềng thục nghiỷm cựa nã lộ

Năm 1540, học trò Cardano L Ferrari (1522 - 1565) tìm cách giải PT bậc bốn

2 3

3 q q p q q p

y

2 2

a y x

3

Xung quanh caâu chuyeọn ve

PHNG TRèNH I S Lê Quốc Hán(Khoa Toán, Đại học Vinh)

27 x4 ax3 bx2 cx d (4) cách đa PT dạng

trong ú y tha iu kiện

y3 by2 (ac 4d)y d(a2 4b) c2 (5) Giả sử yolà nghiệm (5) Khi (4) a v

dạng hay

3 Những chân trêi míi

Vừ cịch giời phđểng trừnh bẺc tững quịt ệđĩc

thùc hiỷn dùa vộo viỷc giời mét phđểng trừnh bẺc ba liến kạt, nến vộo khoờng 1750, nhộ toịn hảc Thôy Sỵ L Euler (1707 - 1783) ệở cè gớng quy phĐp giời phđểng trừnh bẺc nẽm tững quịt vỊ cịch thÊt bỰi cịng nhđ nhộ toịn hảc Phịp Lagrane khoờng 30 nẽm sau Vộo cịc nẽm 1802, 1805 vộ 1813, nhộ vẺt lÝ hảc Italia, P Ruiffni (1765 - 1822) ệở ệđa phĐp chụng minh mét kạt quờ mộ bẹy giê ệđĩc xem nhđ mét sù kiỷn ậã lộ khỬng ệỡnh rỪng cịc nghiỷm cựa phđểng trừnh bẺc nẽm hoẳc lắn hển nẽm khềng thÓ biÓu thỡ ệđĩc qua cẽn thục theo cịc hỷ sè cựa phđểng trừnh ệở cho Kạt quờ ệịng lđu ý nộy vÒ sau ệđĩc ệéc lẺp xịc ệỡnh lỰi bẻi nhộ toịn hảc Nauy N Abel (1802 - 1829) Vội nẽm sau, nhộ toịn hảc thiến tội Phịp E Galois (1811 - 1832) ệở từm ệđĩc dÊu hiỷu ệẳc trđng ệÓ mét phđểng trừnh ệỰi sè giời ệđĩc bỪng cẽn thục ềng chđa ệẵy mđêi sịu tuữi (!)

2 x y0 x y0

x x ; x x

2 2

2

2 x y0

x ( x )

2

2 2

ay c 4 a b y y d 0

2 4

2

2

a b y x ay c x y d,

4

2 ax y x

2

LTS.Để phục vụ kì thi Olympic Tốn Tuổi thơ, từ số này, Tòa soạn đăng số toán để bạn đọc theo dõi

Cịc bỰn hảc sinh lắp 6, vộ hởy gỏi bội giời vÒ tưa soỰn nhĐ Mẫi bỰn tham gia giời bội phời giời cờ nẽm bội toịn trến Nẽm bỰn cã bội giời sắm vộ tèt nhÊt sỳ ệđĩc nhẺn quộ ca ta son

ài Cho hai dÃy số, d·y gåm 100 sè: 1, 4, 7, 10, vµ 2, 6, 10, 14, Hái cã bao nhiªu sè trùng hai dÃy số trên?

Bài 2.Có số tự nhiên nằm 93 nguyên tố với 93?

Bi 3.S a có 2014 chữ số mà tổng chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị 10 Biết số gồm chữ số liên tiếp số

a bội số 23 17 Tìm chữ số bên trỏi ca a

Bài 4.Cho hình vẽ sau

H·y tÝnh

Bài Có ba loại tiền nghìn đồng, nghìn đồng nghìn đồng Hỏi có cách chọn tiền để có 100 nghìn đồng?

A B C D E F G H I

Kì 1

28

Từ cột dọc CLOTHES - quần áo, trên mỗi hàng ngang tên loại trang phục quen thuộc Bạn hÃy tìm nhé!

Phan Thị Ngọc ánh và Cao Việt Hùng

(9E, THCS Vnh Tđêng, Vỵnh Tđêng, Vỵnh Phóc)

Cịc bỰn ệở gỏi vỊ mét sè cịch ệiỊn tõ vộ cịch nộo cịng ệóng Dđắi ệẹy lộ cịch mộ

Chự Vđên ệđa ra:

Tõ trªn xuèng: CHISEL; SAW; HAMMER; PLYWOOD; LATHE; NAIL; SAWDUST; BEVEL; VARNISH.

Phẵn thđẻng ệđĩc gỏi tắi cịc bỰn sau: Lđểng Tội Khoa, 6A3, THCS Tõ Sển, Tõ Sển; NguyÔn Họu Hoộng, 7A1; NguyÔn Vẽn Huy, 6A2, THCS Yến Phong, Yến Phong, Bớc Ninh; NguyÔn Thu HiỊn, 6A3, THCS Lẹm Thao, Lẹm Thao, Phó Thả; Lế Thỡ Nhđ Quúnh, 7D, THCS Nhọ Bị Sủ, thỡ trÊn Bót Sển, Thanh Hãa.

Chự Vđên

Ơ chữ THỢ MỘC

QUẦN ÁO

Ơ chữ

29 Ngộy nộy, chóng ta biạt lộ sè tử, nghỵa lộ khềng thĨ biĨu diƠn sè nộy dđắi dỰng mét phẹn sè ậã lộ ệiÒu mộ Pythagore chđa nhẺn ệđĩc Mét cịc hảc trư cựa ềng ệở biĨu diƠn sè nộy dđắi dỰng mét phẹn sè cã dỰng vắi x, y lộ cịc sè nguyến dđểng Sau nộy, toịn hảc phịt triÓn hển, ngđêi ta thÊy ệiỊu nộy lộ khềng thĨ thùc hiỷn ệđĩc vộ dẵn hừnh thộnh khịi niỷm sè tử

Cẹu chuyỷn vỊ ngđêi hảc trư cựa Pythagore biĨu diƠn lộ mét phẹn sè trẻ thộnh mét hun thoỰi Anh ta ệở vi phỰm luẺt lỷ mộ Pythagore ệở ệẳt vừ hộnh ệéng cựa mừnh

sềng hđểng (Hộ Néi)

2 x ,

y

2

HẰNG SỐ PYTHAGORE

1,4142

Thỡ xở Lai Chẹu võa ệđĩc nẹng cÊp thộnh thộnh phè, trẻ thộnh thộnh thụ 67 cựa Viỷt Nam vộ thộnh thuéc tửnh thụ 62 ậẹy lộ ệề thỡ loỰi Hiỷn cưn Bớc KỰn, ậớk Nềng, Bừnh Phđắc chđa cã thộnh trùc thuéc tửnh

Sịng 27.12.2013 thềng xe 26 km ệoỰn Néi Bội -Tam Dđểng thuéc dù ịn cao tèc Hộ Néi - Lộo Cai Ngộy 2.1.2014 thềng xe ệđêng cao tèc TP Hă ChÝ Minh - Dẵu Giẹy ệoỰn 20 km ệẵu tiến

Sịng 11.1.2014 thềng xe 21 km cưn lỰi ệđêng mắi Nam ậỡnh - Phự Lý dội 27 km, song song quèc lé 21, nèi vắi cao tèc Hộ Néi - Ninh Bừnh Nhđ vẺy,

ệđêng Hộ Néi - Nam ậỡnh dội 87 km (bỪng ệđêng tộu háa) vộ chử mÊt hển giê xe chỰy vắi tèc ệé cho phĐp 80 - 100 km/h

Tửnh Bừnh Dđểng võa cã thếm thỡ xở: Bạn Cịt vộ Tẹn Uyến tịch tõ huyỷn Bạn Cịt vộ huyỷn Tẹn Uyến

TP Hộ Néi võa quyạt ệỡnh thộnh lẺp quẺn mắi Bớc Tõ Liếm vộ Nam Tõ Liếm trến diỷn tÝch vộ dẹn cđ cựa huyỷn Tõ Liếm trđắc ệẹy

Ngộy 18.1.2014 thềng xe ệđêng cao tèc Hộ Néi - Thi Nguyn di gn 64 km

Vũ Đô Quan

BẠN CÓ BIẾT

BẠN CÓ BIẾT

30

Mồng Một chơi cửa chơi nhà Mồng Hai chơi xóm mồng Ba chơi đình

Mồng Bốn chơi chợ Quả Linh Mồng Năm chợ Trình, mồng Sáu non Côi Qua ngày mồng Bảy nghỉ ngơi

Bđắc sang măng Tịm ệi chểi chĩ ViÒng Chĩ ViÒng mẫi nẽm mắi cã mét phiến Cịi nãn em ội tiền anh mua

và

Bá bá chịu, khềng bá hai mđểi sịu chĩ Ninh

Bỏ tổ bỏ tiên không bỏ chợ ViỊng mång t¸m

Câu ca dao đða phiên chợ tiếng vào lịch sử lối nói xðng: bỏ tổ bỏ tiên Cả hai có nhắc nhở phiên chợ Viềng mồng Tám tháng Giờng

Còn

Ngy một, ngy By ch Lđểng

Hai, Sịu Ninh Cđêng, Nẽm, ChÝn ậềng Biến Căn Chộm Mđêi Bèn lộ phiến

Ba, Tám chợ Đền, thêm chợ Xã Trung Chợ Đình buổi sớm họp đông

Nỏa buữi phe Sịu, bến sềng chĩ Cẵu Giịp Phđểng ậế, sắm chĩ Dẹu

LĨ chĩ Cèc, chơn ẹu ậềng Cđêng

Đây cách truyền đạt thông tin thú vị từ đời sang đời sau, từ xã huyện sang xã huyện khác Bạn biết chợ nói số nói lên điều gì?

Câu hỏi dành cho bạn: Theo bạn, chợ Viềng có đặc biệt? Có chợ Viềng tất cả? Chợ Viềng bán thứ gì?

Vị ngun thµnh

31

Hái: Anh Phã ¬i! Em nghiên cứu mÃi mà cách viết kí hiệu giải cờ Em không hiểu: nÕu Vua cã thĨ di chun « tùy ý em phải trình bày gửi bài?

Hoàng Thị Đức

(8C, THCS Hoàng Xuân HÃn, Đức Thọ, Hà Tĩnh)

Đáp:

Anh bảo kì thủ Giải thích thật rõ ràng Em nhớ xem thật kĩ Để giải đàng hoàng

Hái: Em gỏi ệÒ vộ ệịp ịn thừ ệđĩc ệẽng bịo, cưn bỰn em giời thừ cã ệđĩc khen thđẻng khng anh?

Một bạn không ghi tên

Đáp:

ậỊ em mn nãi mơc nộo In cho bỰn giời ệÓ trao thđẻng quộ

Khi mà báo nêu

Tịc nộo còng vÉn lộ nhđ Ngđêi giời ệđĩc giời bịo trao Gỏi ệÒ nhuẺn bót khịc râ rộng

Hái: Anh Phã ểi! Chóng em khềng lộm ệđĩc nhọng ệỊ thi Giời toịn qua thđ dộnh cho lắp 6, lắp Nhđ vẺy cã phời lộ chóng em dèt quị khềng Ự?

Đinh Thị Hồng Nhung

(7A1, THCS L Danh Phng, Hng H, Thi Bnh)

Đáp:

Cú th l em dốt Có thể anh sai Đề đăng lên Mà học sinh chẳng hiểu Thôi để anh liệu liệu Chế biến lại Nhðng dễ mức ăn Thì vài hơm lại chán

Hái:Anh Phã ểi! Cã phời bội viạt sai chÝnh tờ thừ sỳ khng c chấp nhn?

Mẫn Thị Trà My

(6A2, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh)

Đáp:

Đừng viết sai tả Chữ cha ông Đọc sách, báo, từ điển Nếu thấy phân vân Đừng nhầm âm nhầm dấu Đọc gặp viết ẩu

Sai tả chán òm

32 Bài 1(132) Tìm số nguyên x, y tháa m·n

x4 7y 2014 ậộo huy trđêng (GV THCS LẺp ThỰch, Vỵnh Phóc) Bội 2(132) Cho cịc sè nguyến a, b tháa mởn sè S a2 b2 ab 3(a b) 2013 chia hạt cho Từm sè dđ chia (a b) cho

nguyÔn tiạn lẹm (GV THPT Chuyến ậỰi hảc KHTN Hộ Néi) Bội 3(132).Giời hỷ phđểng trừnh

nguyÔn vẽn xị (GV THPT Yến Phong sè 2, Bớc Ninh) Bội 4(132).Cho a, b vộ c lộ nhọng sè thùc dđểng tháa mởn

Chøng minh r»ng ab bc ca

dđểng ệục lẹm (GV THPT Chuyến ậỰi hảc Sđ phỰm Hộ Néi) Bội 5(132).Ta gải mét bé ba sè (a1, a2, a3) lộ mét vĐc tể KÝ hiỷu u (a1, a2, a3), v (b1, b2, b3) Ta còng gải u, v lộ nhọng vĐc tể Ta ệỡnh nghỵa cịc phĐp céng, trõ giọa hai vĐc tể vộ phĐp nhẹn mét vĐc tể vắi mét sè thùc k bÊt kừ nhđ sau:

u v (a1 b1, a2 b2, a3 b3) u v (a1 b1, a2 b2, a3 b3) ku (ka1, ka2, ka3)

và véc tơ u ( a1, a2, a3)

HÃy thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh u v, u v, ku, u víi u (1, 2, 3), v (3, 2, 1) vµ k

vị kim thựy Bội 6(132).Cho tam giịc ABC nhản cã ệđêng cao AH D lộ mét ệiÓm trến cung nhá BH cựa ệđêng trưn ệđêng kÝnh AB ậđêng thỬng DH cớt ệđêng trưn ệđêng kÝnh AC tỰi ệiÓm E khịc H Gải M, N thụ tù lộ trung ệiĨm BC, DE

TÝnh sè ®o gãc ANM

đỗ quang minh (GV THCS Nguyễn Bá Ngọc, An Xuân, Tuy An, Phú Yên)

2 2

a b c

a b b c c a

5

x 2x 7y 27 y 5x 4y 27

1(132) Find all integers x andysuch that

x4 7y 2014 2(132) Let a and b be integers such that the sum S a2 b2 ab 3(a b) 2013 is divisible by Find the remainder when (a b) divided by

3(132) Solve the following simultaneous equations

4(132) Let a, b, and c be positive real numbers such that

Prove that ab bc ca

5(132).Let the triplet (a1,a2,a3) denote a vector Given the vectors u (a1,a2,a3) and v (b1,b2,b3) The vector addition and subtraction, and multiplication of a vector with a scalar are defined as follows:

u v (a1 b1,a2 b2,a3 b3) u v (a1 b1,a2 b2,a3 b3) ku (ka1,ka2 ,ka3)

We also define the vector uas u ( a1, a2, a3)

Calculateu v,u v,ku, u whereu (1, 2, 3), v (3, 2, 1) and k

6(132) Let ABC be an acute angle triangle with the height AH Let D be a point on the minor arc BH of the circle taking AB as the diameter The line DH intersects the circle taking AC as the diameter at the points A and H Let M and N be the midpoints of BCandDErespectively Find the measure of the angle ANM

2 2

a b c

a b b c c a

5

2 27

5 27

x x y y x y