Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 36

Han-ton lµm theo vµ lËp tøc c¸nh cöa kÐt ®· bËt më... TrÇn Anh Dòng (THPT chuyªn L­¬ng ThÕ Vinh, §ång Nai)..[r]

1 l KÕt qu¶ :

ĐƯỜNG ĐI NHANH NHẤT lKì :

BÁNH CHƯNG GÓI VỤNG(TTT2 sè 34)

Một khu đất trống hình chữ nhật ABCD có chiều dài km chiều rộng km, bao gồm đồng cỏ rộng km bãi cát rộng km, ngăn cách đường thẳng EF song song với cạnh BC (hình vẽ) Một kị binh xuất phát từ địa điểm A để đến địa điểm C Biết bãi cát ngựa chậm nửa đồng cỏ Hỏi người kị binh phải chọn đường để khoảng thời gian ngắn ?

Nguyễn Xuân Quý (K53-D, khoa Toỏn-Tin, trng HSP H Ni)

lBài toán quy vỊ : Tø gi¸c ABCD cã c¸c

cạnh AB, BC, CD, DA chia thành ba phần cặp điểm M N, P Q, K E, S R Các đoạn thẳng ME, NK, PR, QS cắt bốn điểm nằm tứ giác I, J, H, G Hi SIJHGcú ỳng bng SABCDkhụng ?

l Bạn Hoàng Quèc Kh¸nh, 9B, THCS

Vĩnh Yên, Vĩnh Yên, Vĩnh Phúcđã phát toán mở rộng toán “Đo đất - chia ruộng”, mục Compa Vui Tính, TTT2 số 22 Theo kết toán này, cặp điểm I G, J

1

và H chia đoạn thẳng ME, NK thành ba phần (*) SIJHG 

SMNKE SABCDvà An nói

lTa chứng minh (*) Thật :

ABD cã M AB, R AD, (tõ gi¶ thiÕt) Suy MR // BD vµ

Ta cịng dƠ dàng chứng minh PE // BD Suy MR // PE vµ

 IMR IEP



Tương tự ta có suy MI IG

GE

Tương tự ta có NJ JH HK Vậy (*) chứng minh

l Một số bạn lầm tưởng kết (*)

hiển nhiên Bạn Hoàng Quốc Khánhvà bạn sau nhận phần thưởng kì :

Lưu Ngọc Đức, 8D, THCS Nguyễn Hiền, Nam Trực, Nam Định; Chu Thành Trung, 9A4, THCS thị trấn Diêm Điền, Thái Thụy, Thái Bình ; Trương Thành Công, 8/3, THCS Lê Quý Đôn, TP Hải Dương, Hải Dương; Trần Thị Phương Thanh, 93, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh

Anh Compa

EG 1, ME 3

IM MR IM 1.

IE PE 2  ME 3 MR

PE 2

PE BD 3

MR BD 3 AR AM AD AB 3 

9

2

Với dạng tốn, có bạn thực cơng việc thống kê thử tìm thêm phương pháp chứng minh khác chưa ? Cơng việc tìm tịi đơi thành cơng thú vị bạn !

Ví dụ, khơng khó khăn để phát : “Nếu hai tam giác có chung đường trung tuyến có chung trọng tâm” (*) Nhưng chắn có nhiều bạn khơng nghĩ đến việc sử dụng tính chất để chứng minh ba điểm thẳng hàng Sau số toán minh họa

Bài tốn :Cho tam giác nhọn ABC có H, G, O trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp Chứng minh : H, G, O thng hng

Lời giải :

Kẻ đường kÝnh AD cđa (O) ngo¹i tiÕp

ABC, H trực tâm ABC nên ta có BH // DC (cùng vuông góc với AC) BD // HC (cùng vuông góc với AB) Suy

BDCH hình bình hành

Gi M l giao im ca BC DH, suy M trung điểm BC DH

 ABC vµ AHD có chung đường trung tuyến AM hai tam giác có chung trọng tâm G (theo tính chất (*))

Ta lại có O trung điểm AD nên HO trung tuyến AHD, suy G thuộc HO H, G, O thẳng hàng

Nhận xét : Ta chứng minh kết cho ABC dễ thấy HG 2OG Đường thẳng qua H, G, O gọi đường thẳng Ơ-le

Bi toỏn : Cho hai đường trịn đồng tâm O có bán kính R r (R > r) A M hai điểm thuộc đường tròn nhỏ, A di động M cố định Qua M vẽ dây BC đường trịn lớn, vng góc với AM Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh : M, O, G thẳng hàng

Lêi gi¶i :

Gọi D giao điểm khác M BC với (O, r)

3

Vẽ OH vng góc với BC (H thuộc BC), ta có H trung điểm BC DM, suy AH trung tuyến hai tam giác ABC ADM  G trọng tâm hai tam giác (theo tính chất (*)) Mặt khác, A, M, D thuộc (O, r) mà MA vng góc với MD nên AD đường kính (O, r), suy O trung điểm AD MO trung tuyến ADM  G thuộc MO M, O, G thẳng hàng

Nhận xét : Từ chứng minh trên, ta suy điểm G cố định, ta có tốn : “Cho hai đường trịn đồng tâm Qua M vẽ dây BC đường trịn lớn, vng góc với AM Chứng minh trọng tâm G tam giác ABC điểm cố định.” (đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9, quận Tân Bình, TP Hồ Chí Minh, năm học 2004-2005)

Bài toán : Cho tam giác ABC, M điểm nằm tam giác Lần lượt vẽ hình bình hành MBDC, MAED Chứng minh : điểm M di động đường thẳng ME ln qua điểm cố định

Lêi gi¶i :

Gọi N giao điểm BC DM, tứ giác MBDC hình bình hành nên N trung điểm BC DM  ABC AMD có chung đường trung tuyến AN

 hai tam giác có chung trọng tâm

(theo tính chất (*)), ta gọi trọng tâm G (c nh) ;

Mặt khác, gọi P giao điểm AD EM, tứ giác MAED hình bình hành nên P trung điểm AD

VËy G thuéc MP, suy G thuéc ME 

khi điểm M di động đường thẳng ME qua điểm G cố định, trọng tâm ca ABC

Các bạn biết toán khác chứng minh ba điểm thẳng hàng sư dơng tÝnh chÊt (*) kh«ng ?

Thi giải tốn qua thư

Các bạn thưởng kì này Nguyễn Việt Anh, 9D, trường Hà Nội -Amsterdam, Hà Nội; Lê Thị Tuyết Mai, 7A1; Ngô Hải Hà, 9A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc ; Võ Ngọc Đức, 9A1, THCS Nhơn Hậu, An Nhơn, Bình Định ; Trần Đức Thiện, 9G, THCS thị trấn Kì Anh, Kì Anh ; Phạm Lê Ngọc, 8A, THCS Vượng Lộc, Can Lộc, Hà Tĩnh ;

Hoàng Văn Sáng, 9A1, phân hiệu học sinh giỏi Thanh Nê, Kiến Xương, Thái Bình ; Nguyễn Ngô Minh Thắng, 9/1, THCS Nguyễn Khuyến, Đà Nẵng ; Lê Thị Nguyệt, 9A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên ; Hoàng Thị Thu Hiền, 8E, THCS Lê Mao, TP Vinh ; Hồ Phúc Lộc, 9A, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An ;

4

Một kết chưa thoả đáng !

Một sơ suất nhỏ ?

l Kì :

l Kết : (TTT2 sè 34)

1) Dùng bất đẳng thức để đánh giá biểu thức, từ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức cách làm tương đối phổ biến hữu hiệu Tuy nhiên, với phương pháp đặc biệt lưu ý đến điều kiện xảy đẳng thức bất đẳng thức Đối với bất đẳng thức , đẳng thức xảy ra, chỗ “sơ suất chết người” lời giải toán

2) Lời giải :

Dễ dàng chứng minh MD ME h (đường cao tam giác ABC)

Ta cã suy

(công thức đường cao tam giác đều) Hạ EH DM H, ta có

Đẳng thức xảy MD ME hay M trung điểm cạnh BC

Vậy giá trị lớn SMDElà , đạt M trung điểm BC

3) Xin tun dương bạn sau có nhận xét xác lời giải đúng, ngắn gọn : Nguyễn Thị Thu Hà, 9A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Ngọc Huy, 7A1, THCS Trần Văn Ơn, Hồng Bàng, Hải Phòng ; Nguyễn Xuân Thiện, 9A1, phân hiệu học sinh giỏi Thanh Nê, Kiến Xương, Thái Bình; Mai Trung Nghĩa, 9B, THCS Lê Hữu Lập, Hậu Lộc ; Trần Anh Ngọc, đội II, Liên Lộc, Hậu Lộc, Thanh Hóa; Nguyễn Anh Tú, 8B, THCS Lí Nhật Quang, Đơ Lương, Nghệ An; Võ Xuân Minh, 81, THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hịa

Anh KÝnh Lóp

ABC

3 S 16

ABC

3 S 16



MDE

2

2

1

S MD EH MD ME

2

3 (MD ME) h ha

4 16 16

   



     

 o

EMH 60 EH ME

2

    

 o  o

DME 180 DAE 60

EH MD ME MD

2

  

Bài tốn :Tìm m để phương trình sau có tổng bình phương nghiệm nhỏ : x2(m 1)x 1 0

Lêi gi¶i (cđa mét häc sinh):

Điều kiện để phương trình có nghiệm :

 0 (m 1)24 0 (m 3)(m 1) 0 (*) Khi đó, tổng bình phương nghiệm :

x12x22(x1x2)22x1x2(m 1)22 (theo định lí Vi-ét) Ta có (m 1)22  2 nên tổng bình phương nghiệm đạt giá trị nhỏ 2, m 1 0 m  1

Giá trị m  1 không thỏa mãn (*) nên không tồn giá trị m để tổng bình phương nghiệm đạt giá trị nhỏ

Theo tôi, kết chưa thỏa đáng Còn ý kiến bạn no ?

trần văn hinh(THCS Nam Giang, Nam Trực, Nam Định)

m

m

5

l KÕt qu¶ :

v Kì :

(TTT2 sè 34)

HÌNH NAỉO TIEP THEO ?

Bài :Đáp án: hình C

Số trục đối xứng tăng dần, phải chọn hình C hình có trục đối xứng

Bài :Đáp án: hình D

Bạn Lê Thị Việt Hà, 8G, THCS Nguyễn TrÃi, Nghi Xuân, Hà Tĩnhgiải sau :

Bài hai khó, Nghĩ mÃi Được

Hiểu quy luật Các hình thống

u i xng tâm” Đáp án loại dần

ChØ D ë l¹i

Ngoài bạn Việt Hà, bạn sau nhận phần thưởng kì :

Trương Thành Cơng, 8/3, THCS Lê Quý Đôn, TP Hải Dương, Hải Dương;

Nguyễn Mạnh Hào, 6A1, THCS Hai Bà Trưng, TX Phóc Yªn, VÜnh Phóc;

Nhóm T2N, 8C, THCS Bạch Liêu, n Thành, Nghệ An ; Nhóm Lị xo, 8B, THCS thị trấn Cao Thượng, Tân Yên, Bắc Giang

Nguyễn Đăng Quang

6

BT ĐẲNG THỨC CÓ NHIỀU ỨNG DỤNG

Ngay số đầu tiên, TTT2 giới thiệu bất đẳng thức với cách chứng minh có sử dụng bất đẳng thức (*) x, y số dương

Đó bất đẳng thức :

(a, b, c : độ dài ba cạnh tam giác) Bất đẳng thức (*) chứng minh dễ dàng nhiều cách (đẳng thức xảy x  y) Đặc biệt, cịn sử dụng để chứng minh nhiều bất đẳng thức khác Các bạn theo dõi toán sau :

Bài toán :Cho số dương x, y, z, t thỏa mãn x y z t 1

Chøng minh r»ng :

Lời giải : áp dụng liên tiếp bất đẳng thức (*) ta có

Suy

Đẳng thức xảy x y z t

Bài toán :Cho số dương x, y thỏa mãn x y 1

Chøng minh r»ng :

Lời giải :Theo bất đẳng thức (*) ta có

Suy

Đẳng thức xảy 2xy x2y2

xy 

Bài toán :Cho số dương a, b, c, d Chứng minh :

Lời giải :Theo bất đẳng thức (*) ta có

Suy

4

(a b c d)

a b c d

    

  

a c b d c a d b a b b c c d d a       

4

(b d)

a b c d

 

  

b d d b (b d). 1

b c d a     b c d a   

4

(a c) ;

a b c d

 

  

a c c a (a c). 1

a b c d     a b c d   

a c b d c a d b a b b c c d d a       

1

2

1 8.

xy x y  

2 2

2 2

1 2

xy x y 2xy x y

4

2

2xy x y (x y)

   

 

  

  

2

1 8.

xy x y  

1 1 1 16

x y z t   

4 4. 16.

x y z t x y z t

   

    

1 1 1 1

x y z t   x y   z t 

1 1 16 x y z t   

1 1 1 1,

a b c a b c       a b c a b c  

1 4 ,

x y x y  

7

Đẳng thức xảy :

Bài toán : Cho số dương x, y, z Chứng minh :

Lời giải :Vẫn áp dụng bất đẳng thức (*) “tinh vi” chút ta có

tương tự, ta có

Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x y z (đề nghị bạn tự kiểm tra)

Bài toán (đề thi vào lớp 10 chuyên Toán, ĐH Vinh - 2002):Cho số dương a, b, c thỏa mãn abc ab bc ca

Chøng minh r»ng :

Lêi gi¶i :Ta cã (*) Suy

dễ dàng kiểm tra đẳng thức không xảy bất đẳng thức trên, ta có :

tương tự, ta có

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, kết hợp với giả thiết abc ab bc ca hay suy iu phi chng minh

Bài tập áp dông :

Bài : Cho n số nguyên dương Chứng minh :

Bµi : Tìm giá trị nhỏ với

Bi : Cho hai số dương a, b có tổng Tìm giá trị lớn Bài 4(TTT2 số 4):Một tam giác có diện tích S độ dài ba cạnh a, b, c Gọi ha, hb, hc độ dài đường cao tương ứng với cạnh a, b, c

Chøng minh r»ng :

Bài (đề thi vào lớp 10, THPT chuyên Lê Hồng Phong, TP Hồ Chí Minh - 1992): Một tam giác có độ dài ba cạnh a, b, c p nửa chu vi Chứng minh :

Khi đẳng thức xảy tam giác có đặc điểm ?

1 1 2 1 .

p a p b p c      a b c   a b b c c a

1 1 a b c

h h h h h h   4S

a b

Q

1 2a 2b

 

 

1

0 x

2

 

1

P

x 2x

  

1 1.

n n 2    3n 1 

1 1 1, a b c  

1 1 ;

2a 3b c 32a 32b 16c

1 1

3a b 2c 32a 16b 32c

  

 

  

 

1 1 3 ;

a 2b 3c 16a 32b 32c    

1 1 3 ,

a 2b 3c 16a 32b 32c

   

 

1 1 1 1

16 a c  32 b c  16a 32b 32c 

1 1. 1

a 2b 3c a c 2b 2c       

1 1 1. . x y x y 

    

  

1 1 3

a 2b 3c 2a 3b c 3a b 2c 16        

1 ;

y 3z z 2x y y 2z x

1 .

z 3x x 2y z z 2x y

 

    

 

    

1

x 3y y 2z x 2x 4y 2z

1 ;

x 3y y 2z x x 2y z

 

    

  

    

1 1 .

x 2y z y 2z x z 2x y

  

     

1 1

x 3y y 3z z 3x     

a b c d a c

b c d a   b d.

 

     

8 Bµi 1.(Problem 7, 1965) Tìm phần dư phép chia đa thøc x x3x9x27

x81x243cho x 1 vµ cho x21 Bài 2.(Problem 8, 1965)Với giá trị thực b tồn số thực x thỏa mÃn : x2bx 1 x2x b 0 ?

Bµi 3.(Problem 9, 1965)

Chứng minh với số thực dương x, y, z khơng đồng thời nhau, ta có : (x y)(y z)(z x) > 8xyz

Bµi 4.(Problem 1, 1966)Tìm giá trị lớn nhỏ biĨu thøc

Bµi 5.(Problem 10, 1966)

Cho 100 người có chiều cao đơi khác nhau, xếp thành 10 hàng ngang 10 hàng dọc Gọi X người thấp số 10 người mà người số người cao hàng ngang ; Y người cao số 10 người mà người số người thấp hàng dọc Hãy so sánh chiều cao X Y

Bµi 6.(Problem 11 (a), 1966)

Cho 52 số nguyên Chứng minh ta tìm hai số có tổng hiệu lµ béi cđa 100

4 2

x x

f(x)

(x 1)

ThS Nguyễn Văn Nho(NXBGD)

Cuộc thi Olympic toán học nước Anh

(Tip theo kỡ trc)

Kì tòa soạn xin giới thiệu tiếp số thi năm 1965, 1966

1 Đo trí thông minh

Bài :Nếu bạn tìm số số 101, 110, 111, 1000 số dãy năm số, đặt vị trí dấu “?”, soạn tin nhắn trả lời theo mẫu 3T2 IQ B1 số đúngrồi gửi đến số 986

Ví dụ :Nếu bạn thấy số 101 số đặt vị trí dấu “?”, soạn tin nhắn 3T2 IQ B1 101gi n s 986

Bài :Nếu bạn tìm số số 25625, 36500, 49375, 64250 lµ sè tiÕp

theo dãy năm số, đặt vị trí dấu “?”, soạn tin nhắn trả lời theo mẫu 3T2 IQ B2 tên hìnhrồi gửi đến số 986

Ví dụ : Nếu bạn thấy số 25625 số đặt vị trí dấu “?”, soạn tin nhắn 3T2 IQ B2 25625gửi n s 986

2 Không văn

Bạn tìm từ thích hợp để sửa lại câu thơ “Bánh đa nem trộn thật giòn”cho thật chuẩn soạn tin nhắn trả lời theo mẫu 3T2 V đáp ánrồi gửi đến số 986

9

CUỘC THI OLYMPIC TOÁN HỌC CỦA NƯỚC ANH

Bài 1.(Problem 2, 1965, cải biên)

Gi 4R bán kính mặt hồ hình trịn, có tâm O Gọi (C) đường trịn tâm O, bán kính 0,95R Ban đầu, Hà bơi đến đường tròn (C) bơi quanh (C) nhìn thấy Thiệp bờ hồ cho vị trí Hà, điểm O vị trí Thiệp thẳng hàng theo thứ tự Điều thực được, chu vi đường tròn (C) bé chu vi hồ vận tốc Hà vận tốc Thiệp Lúc này, Hà tiếp tục bơi thẳng đến bờ hồ theo hướng ngược lại với vị trí Thiệp, Hà phải thời gian

(đơn vị thời gian) Khi đó, muốn bắt kịp Hà, Thiệp phải chạy hết nửa chu vi bờ hồ với tốc độ 4v, phải thời gian

Sau đến bờ, chạy nhanh Thiệp nên Hà hồn tồn chạy

Bµi (Problem 3, 1965)

Các bạn tiến hành kiểm tra trực tiếp sử dụng định lí Phécma nhỏ Kết cho số nguyên tố p

Bµi (Problem 5, 1965)

Ta cã n(n 1)(n 2)(n 3) 1

n46n311n26n 1 (n23n 1)2, số phương với n 

Bài (Problem 6, 1965, cải biên)

Trc tiờn, chứng tỏ

 số nguyên Từ suy phần thập phân số

thùc lµ sè 

Mặt khác, ta có < < nên phải tồn số n đủ lớn < 0,001

Suy ®iỊu ph¶i chøng minh

n

(2 2)

n

(2 2)

n

(2 2)

n

(2 2)

n

(2 2)

n

(2 2)

2 (3,14)4R R R

t (3,14) (3,05) t

4v v v

   

1 4R 0,95R R

t (3,05)

v v



 

1

4

Ví dụ :Nếu đáp án bạn “nướng”

thì bạn nhắn tin 3T2 V NUONG gửi đến số 986

3 Vào thăm vườn Anh

Bạn tìm từ hàng ngang thứ hai từ xuống soạn tin nhắn trả lời theo mẫu 3T2 VA đáp ánrồi gửi đến số 986

Ví dụ :Nếu đáp án bạn “lake”thì soạn tin 3T2 VA LAKEgửi đến số 986

4 Rừng Cười

Hãy giải đáp câu “Con đào đất âm thầm năm ?” soạn tin nhắn trả lời theo mẫu 3T2 RC đáp án gửi đến số 986

Ví dụ :Nếu đáp án bạn “gà”thì soạn tin 3T2 RC GAgửi đến số 986

- Giải c bit :

Số máy 0912455401. - Giải khuyến khÝch :

1 Số máy 0915092265; 2 Số máy 0989440833; 3 Số máy 0989362848. Đề nghị bạn trúng thưởng hãy gửi tin nhắn từ số máy trên về số máy 0903436757với nội dung :

“họ tên địa đầy đủ bạn”để Tòa soạn kịp thời trao phần thưởng.

KÕt qu¶

Hướng dẫn giải đề kì trước

(Kì thi học sinh giỏi lớp 9, 2003 - 2004, tỉnh Phú Thọ)

(TTT2 sè 35)

10

Bài :a) Vì p số nguyên tố lớn nên p số lẻ, không chia hết cho Do :

lp 2k 1 (k , k > 1) suy A (p 1)(p 1) 2k(2k 2) 4k(k 1) A 8 ; lp 3h 1 (h , h > 1) suy A 3 VËy A (p 1)(p 1) 24

b) Ta có xy 2x 3y 1 0 y(x 3) 2x 1 (*) Vì x 3 khơng nghiệm phương trình (*)  Vì y số nguyên nên (x 3), suy x 3 nhận giá trị 1 ; 5 Từ ta xác định hai nghiệm nguyên dương (x ; y) phương trình cho : (4 ; 7) (8 ; 3) Bài :Ta có a3b3c33abc  (a b c)[(a b)2(b c)2(c a)2] 0

a b c 0 (do a, b, c đôi khác nhau) Suy

Mặt khác

Vậy

Bài :a) 3|x| 2ax 3a 1 (1) + NÕu x 0 th× (1) 3x 2ax 3a 1 x(2a 3) 3a 1 (2)

Víi a   , ta cã (2) v« nghiƯm ;

Víi a   , nghiƯm cđa (2) lµ x1 vµ x1sÏ lµ nghiƯm cđa (1) nÕu 0 + NÕu x 0 th× (1)  3x 2ax 3a 1 x(2a 3) 3a 1 (3)

Víi a  , ta cã (2) v« nghiƯm ;

Víi a  , nghiƯm cđa (2) lµ x2 vµ x2sÏ lµ nghiƯm cđa (1) nÕu 0 + Nh­ vËy, (1) cã nghiƯm nhÊt vµ chØ hc

(Xem tiÕp trang 15)

2

1 3a 3a (3a 1)2 3

x x 0 a hc a hc a

2a 2a 3  4a 9 2

           

  

1

x

x

    

2

x

x

    

3a 2a 3

3a 2a 3

3

3a 2a 3

3a 2a 3

3

b c c a a b a b c 9.

a b c b c c a a b

  

      

     

  

bc[(a b) (c a)] ca(c a) ab(a b) (a b)(b c)(c a).

abc abc

           

 

b c c a a b bc(b c) ca(c a) ab(a b)

a b c abc

           2 3

(a b c )(a b c) 2(a b c ) 3abc 9abc .

(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)

        

 

     

a b c a(c a)(a b) b(b c)(a b) c(b c)(c a) b c c a a b        (a b)(b c)(c a)      

1

2x

y

x 3 x

  

11

ĐỀ THI TUYỂN SINH VAØO LỚP 10, NĂM HỌC 2005-2006 Trường THPT khiếu Trần Phú, Hải Phòng

Thêi gian : 150 phút Bài :(2,0 điểm)

Cho biểu thøc

1 Tìm điều kiện x, y để P xác định Rút gọn P Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình P 2 Bài :(2,0 điểm)

Cho phương trình : (x m 2)[x22(m 2)x 4m 8] 0 (1) Giải phương trình (1) m 2

2 Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm dương v mt nghim õm

Bài :(2,0 điểm)

1 Cho hệ phương trình :

Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn y2x Cho a, b, c > Chứng minh rng :

Đẳng thức xảy ? Bài :(2,0 điểm)

Cho đường tròn tâm O ®­êng kÝnh AB 2R vµ C lµ mét ®iĨm thc đường tròn (C A ; C B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C, kẻ tia Ax tiếp xúc với đường tròn (O) Gọi M điểm cung nhỏ AC Tia BC cắt Ax Q, tia AM cắt BC N

1 Chứng minh tam giác BAN MCN cân Khi MB MQ, tÝnh BC theo R

Bµi :(2,0 điểm)

1 Gọi S(n) tổng tất ước số lẻ lớn số tự nhiên 1, 2, 3, , 2n(n 0) Chøng minh r»ng : S(n) 

2 Cho ABC Một đường thẳng (d) quay quanh điểm A cho B C nằm phía (d) Gọi B1, C1tương ứng hình chiếu vng góc B C (d) M điểm thuộc (d) cho M B nằm hai phía AC AM.B1C1k > cho trước Chứng minh (d) thay đổi, M thuộc đường thẳng cố định

n

4

3

a b c 12.

b 1  c 1  a 1 

mx y

x y m

   

    

2 2

x y x y

P

(x y)(1 y) (x y)(1 x) (1 x)(1 y)

  

12

l KÕt qu¶ :

THI GIẢI TỐN QUA THƯ

Bài 1(34) : Tìm tất số nguyên dương n cho 2n 153 bình phương số ngun

Lêi gi¶i (cđa bạn Nguyễn Ngô Minh Thắng, 9/1, THCS Nguyễn Khuyến, TP Đà Nẵng) : * Nếu n 2k (k ) th× 2n22k 1

2.4k2(3 1)kchia dư Suy 2n153 chia dư  2n153 không số phương với n lẻ (vì số phương chia cho cho số dư 1)

* Nếu n 2k (k ) Đặt 2n153 m2 (khơng tính tổng qt giả sử m ) Khi m222k153

(m 2k)(m 2k) 153 3.3.17 (*) Ta thÊy m 2k> ; m 2k> vµ m 2k> > m 2knªn tõ (*) suy :

1) m  2k  vµ m  2k 153, lóc nµy 2k76, không xảy ;

2) Hoặc m 2k 3 vµ m  2k  51, lóc nµy 2k24, không xảy ;

3) Hoặc m  2k 9 vµ m  2k  17, lóc nµy 2k4 suy k 2 n 4

Thư lại ta thấy n giá trị thỏa mÃn điều kiện

Nhn xột :Hoan nghênh bạn lớp 8C, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An tham gia giải sôi với nhiều cách giải khác Cũng xin nêu tên số bạn có lời giải tốt : Nguyễn Việt Anh, 9D, Trường Hà Nội - Amsterdam, Hà Nội; Lê Thị Tuyết Mai, 7A1, THCS Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Hà Thị Thanh Huyền, 9A1, THCS Lâm Thao, Phú Thọ; La Hồng Qn, 7B, THCS Nguyễn Chích, Đơng Sơn, Thanh Hóa; Nguyễn Đức Cơng, 9D, THCS Lý Nhật Quang, ụ Lng ;

Nguyễn Thị Trang, 9G, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh ; Ngô Minh Đức, 8A, THCS Sơn Hải, Quỳnh Lưu, Nghệ An ; Võ Ngọc Đức, 9A1, THCS Nhơn Hậu, An Nhơn, Bình Định

Nguyễn Văn Mạnh

Bi 2(34) : Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc 1 Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức

Lêi giải : Ta có 2P

Vậy giá trị nhỏ P 3, xảy chØ a b c 1

Nhận xét :1) Lời giải sử dụng bất đẳng thức Cô-si Sử dụng bất đẳng thức quen biết 3(a2 b2c2) (a  b  c)2và

(a, b, c dương) với biến đổi

cïng sÏ cho mét lêi gi¶i kh¸c

2) Các bạn nêu số kết mở rộng tốn Ví dụ :

- Bạn Lê Thị Nguyệt, 9A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên chứng minh biểu thøc :

2n 2n 2n 2n 2n 2n

n n

b c a c a b

a b

   

 

2n 2n 2n n

a b c

Q

c

 

 

2 2 2 2

b c a 2a c a b 2b

a b

     

 

2 2

a b c 2c

P

c

  

 

1 1

(a b c)

a b c

 

     

 

2 2

4 4 4

3

c a a b 2(a b c)

b b c c

4 b c a 2(a b c)

2(a b c)

Suy P a b c abc

                          

2 2 2 2

a b b c b c c a

c c a a a a b b

   

             

   

2 2 2

b c a c a b

a b

   

 

2 2

a b c

P

c

 

13

có giá trị nhỏ lµ (n )

- Bạn Hồng Thị Thu Hiền, 8E, THCS Lê Mao, TP Vinh, Nghệ Anchứng minh được, với n số dương a1, a2, ., an thỏa mãn a1.a2 an1 biểu thức

có giá trị nhỏ n(n  2), S a12a22 an2

3) Các bạn sau có lời giải ngắn gọn mở rộng : Ngô Hải Hà, Nguyễn Kim Hùng, 9A1, THCS Yên Lạc, Vĩnh Phúc ; Hoàng Văn Sáng, 9A1, phân hiệu học sinh giỏi Kiến Xương ; Ngô Thị Diệp, 6A, THCS Thái Thịnh, Thái Thụy, Thái Bình ; Phạm Thị Hương, 8E, THCS Sơn Hải, Quỳnh Lưu, Nghệ An ; Trần Đức Thiện, 9G, THCS thị trấn Kì Anh, Hà Tĩnh;

Nguyễn Ngô Minh Thắng, 9/1, THCS Nguyễn Khuyến, TP Đà Nẵng ; Phan Tấn Huân, 9E, THCS Lương Thế Vinh, TP Tuy Hòa, Phú Yên; Phạm Minh Quân, 82, THCS Nguyn Du, Phan Thit, Bỡnh Thun

Trần Hữu Nam

Bài 3(34) : Chứng minh khơng có số hai số sau : p 1 p 1 số phương với p tích 2005 số nguyên tố

Lêi gi¶i :Tõ giả thiết, suy p chia hết cho nh­ng kh«ng chia hÕt cho

Ta cịn biết, số phương chia cho dư

Như vậy, p 3 suy p 1 chia cho dư p 1 khơng số phương ;

Vì p 2 khơng chia hết cho suy p chia cho dư p 1 chia cho dư nên p 1 khơng số phương

Nhận xét : Nhiều bạn giải nhiều cách phát toán với p tích n số nguyên tố (n > 1) Các bạn tiêu biểu :

NguyÔn Thị ThủyB, 9A1; Lê Thị Tuyết Mai;

Nguyễn Thị Lợi, 7A1, THCS Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Đậu Phi Lựcvà Hồ Hữu Quân, 8C,

THCS H Xuõn Hng, Qunh Lưu ; Phạm Thị Quỳnh Mai, 9E, THCS thị trấn Quỳ Hợp, Quỳ Hợp, Nghệ An ; Phạm Lê Ngọc, 8A, THCS Vượng Lộc, Can Lộc ; Nguyễn Anh Vũ, 8B, THCS thị trấn Kì Anh, Kì Anh, Hà Tĩnh; Nguyễn Quang Chẩn, 9A, THCS Yên Phong, Bắc Ninh; Nguyễn Huy Linh, 8B, THCS Yên Bái, Yên Định, Thanh Hóa; Võ Ngọc Đức, 9A1, THCS Nhơn Hậu, An Nhơn, Bình Định ; Phạm Thị Vân, 8/1, THCS Đồng Sơn, Đồng Hới, Quảng Bình ; Võ Xuân Minh, 81, THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hịa

Ngun Anh Qu©n

Bài 4(34) :AB CD hai đường kính vng góc với đường trịn tâm O, bán kính R M điểm thuộc (O ; R) Tìm giá trị lớn P MA.MB.MC.MD Lời giải :Ta phải xét bốn trường hợp :

Trường hợp : M thuộc nhỏ Gọi H, K hình chiếu M OA, OB

Ta thÊy : P MA.MB.MC.MD 

2S(MAB).2S(MCD) (v× )

AB.MH.CD.MK 4R2.MH.MK

4R2.MH.OH (v× MK OH)

(định lí Py-ta-go) 2R4 Vậy P 2R4 Đẳng thức xảy

MH OH M trung điểm nhỏ Tương tự trường hợp 1ta có P 2R4 trường hợp lại :



AC

2 OM

4R

 

2 2 MH OH

4R

2

 

  o

AMB CMD 90  

AC

2 2

1 n

1 n

S 2a S 2a S 2a

P

a a a

  

14 Trường hợp :M thuộc nhỏ ;

Trường hợp :M thuộc nhỏ ;

Trường hợp :M thuộc nhỏ

Tóm lại, với điểm M thuộc (O, R) ta có P 2R4, đẳng thức xảy M trung điểm cung nhỏ , , , Khi P đạt giá trị lớn 2R4

Nhận xét :Khơng có bạn có lời giải hoàn chỉnh (xét đủ bốn trường hợp) Các bạn có lời giải tương đối tốt : Hồ Phúc Lộc, 9A, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An ; Nguyễn Ngô Minh Thắng, 9/1, THCS Nguyễn Khuyến, TP Đà Nẵng ;

Nguyễn Văn Hùng, 9D5, THCS Chu Văn An, Ngơ Quyền, Hải Phịng; Phan Thị Tú Anh, 9A, THCS Vnh Tng, Vnh Phỳc ;

Trần Đức Thiện, 9G, THCS thị trấn Kì Anh, Kì Anh, Hà Tĩnh

Ngun Minh Hµ

Bài 5(34) : Trong mặt phẳng cho đường tròn (O) hai điểm A, B cố định nằm đường trịn Tìm quỹ tích điểm M cho đoạn thẳng AM có điểm chung thứ hai C (khác A) với đường tròn (O) AM MC CB (1)

Lêi gi¶i :

Theo giả thiết điểm M khơng nằm đường tròn (O) cho đoạn thẳng AM cắt (O) điểm C thỏa mãn điều kiện (1) Điều có nghĩa điểm M phải thỏa mãn điều kiện cần đủ sau :

AC CM MC CB, (2) C thuộc đoạn AM C nằm đường tròn (O)

Nhưng (2) xảy CA CB, nghĩa điểm M thỏa mãn (1) đoạn thẳng AM cắt (O) điểm C cách A B đó, C hai giao điểm C1, C2 đường kính C1C2 đường trịn (O) vng góc với dây cung AB Từ ta đến kết luận :

Quỹ tích điểm M mặt phẳng thỏa mãn điều kiện toán hai tia C1x1, C2x2là tia đối hai tia C1A C2A, C1C2là đường kính (O) vng góc với AB Ngồi ra, hai đường thẳng AC1và AC2chứa hai tia quỹ tích C1x1 C2x2vng góc với điểm A

Nhận xét :1) Có vài bạn sử dụng cách trình bày gộp hai phần thuận đảo tốn quỹ tích (như trên) để lời giải gọn gàng đảm bảo tính chặt chẽ lập luận Tuy nhiên bạn cịn q lạm dụng kí hiệu “” để điều kiện cần đủ lời giải

2) Một số bạn viết “Quỹ tích điểm M nằm hai tia C1x1và C2x2”là thiếu xác chuẩn mực việc sử dụng ngơn từ, chứng minh hai phần thuận, đảo câu viết khơng thể việc chứng minh phần đảo

3) Ngoài ra, số bạn xét trường hợp điểm M nằm đường trịn, để sót hai tia C1x1và C2x2

4) Các bạn sau có lời giải gọn gàng : Nguyễn Việt Anh, 9D, trường Hà Nội - Amsterdam, Hà Nội ;

Hoàng Văn Sáng ; Nguyễn Xuân Thiện, 9A1, phân hiệu học sinh giỏi Thanh Nê, Kiến Xương, Thái Bình ; Nguyễn Huy Hồng, 8C, THCS Lí Nhật Quang, Đơ Lương ; Hoàng Thị Thu Hiền, 8E, THCS Lê Mao, TP Vinh, Nghệ An ; Trần Xuân Nguyên Trực; Nguyễn Thị Hạnh Thúy, 8B, THCS thị trấn Kì Anh, Kì Anh, Hà Tĩnh ;

Đàm Thị Thùy Linh, 9A3, THCS Chu Mạnh Trinh, Văn Giang, Hưng Yên ; Đoàn Thu Hồng, 9/2, THCS Lê Quý Đôn, TP Hải Dương, Hi Dng

Nguyễn Đăng Phất

DA



BD



CB



AC



DA



BD



15

b) Tõ ®iỊu kiƯn |f(x)| 1, víi mäi x [1, 1], ta cã :

|f(0) f(1)| 2 (a b)24 ; |f(0) f(1)| (a b)24

Mặt khác 4a23b22(a b)22(a b)2b22(a b)22(a b)216

Vậy 4a23b2đạt giá trị lớn 16, : (a ; b ; c) nhận giá trị

(2 ; ; 1) hc (2 ; ; 1)

Bài :Lấy điểm C thuộc đoạn OA cho OC m (C cố định) Vẽ đường tròn ngoại tiếp ABO v

trung trực AB, cắt M Đường thẳng qua trọng tâm G

ABO vuông góc với AB cắt OM N Ta có MAC  MBO (c.g.c) suy MO MC ;

không đổi M cố định (là giao điểm đường trung trực OC cung OC chứa góc )

Gọi I trung điểm AB Xét OMI, N thuộc OM G thuộc OI Vì G trọng tâm ABO nên ; NG // MI (vì vu«ng gãc víi AB) suy

N cố định Vậy đường

thẳng qua trọng tâm G ABO vng góc với AB qua điểm N cố định (đpcm) Bài :Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC A1, B1, C1lần lượt trung điểm cạnh BC, CA, AB

Ta có AA1maR OA1(đẳng thức xảy AB AC) ; BB1mbR OB1(đẳng thức xảy AB AC) ;

CC1mcR OC1(đẳng thức xảy AB AC)

Suy (1)

Ta cã ; (2)

(3) Thay (2), (3) vào (1) biến đổi ta :

Đẳng thức xảy ABC tam giác

a b c a b c

m m m R r

h  h  h  r

1 1 a b c

OA OB OC 1

h h h

   

1 1

1 1 1

a b c a b c

OA OB OC

2S 2S 2S

2S a OA b OB c OC OA OB OC 2S

h h h h h h

 

                

 

a b c a b c

2S 2S 2S 2S 1 1

2S (a b c)r a b c

r h h h h h h r

             

a b c 1

a b c a b c a b c

m m m R 1 OA OB OC

h  h  h  h h h     h  h  h  OM OG

ON  OI 

OG OI 3

    

OMB CMA OMC BMA AOB   

16 Vò Béi Tun (Hµ

Sau chiến tranh giới lần thứ hai bùng nổ, Han-ton quan tình báo Anh gài vào làm Tổng lục quân Đức Trẻ trung, nhanh nhẹn, thông minh, lại đào tạo bài bản nên Han-ton nhanh chóng chiếm được lịng tin tướng Mắc Tướng Mắc phong quân hàm trung tá cho Han-ton, cử anh làm tham mưu chính và cho phép tự vào nhà riêng mình.

Nhờ có lần vào phịng làm việc tướng Mắc nên Han-ton đã

biết vị trí két vàng đựng tài liệu quân tuyệt mật Chiếc két này đặt đằng sau tranh sơn dầu khổ lớn Tuy nhiên, mật mã mở két Han-ton chưa tìm ra được.

Thấy tướng Mắc tuổi cao, trí nhớ kém nên Han-ton suy đoán định mật mã phải ghi lại dễ thấy

17

Vụ trộm chiếc vòng kim cương l KÕt qu¶ : (TTT2 sè 34)

rượu, lần cốc rượu có pha thuốc ngủ.

Tướng Mắc ngủ sau Han-ton vội vào phịng làm việc ơng ta. Lúc sáng.

Han-ton nhanh chóng lục sốt sách vở, sổ tay bàn khơng tìm mật mã két vàng Anh ý đến số giấy tờ ngăn kéo tủ cũng không thấy ông Mắc ghi lại mật mã

Han-ton biết chắn mật mã gồm chữ số vịng quay mở két có 6 số Làm có thời gian để mị mẫm tất số có chữ số được ?

Đúng lúc băn khoăn Han-ton chợt để ý đến đồng hồ treo tường. Quái lạ ! Anh lục lọi phòng lâu rồi mà kim đồng hồ 27 phút Thì đồng hồ chết Trong đầu Han-ton lóe lên ý nghĩ : Hay mật mã chính số đồng hồ ? 27 phút 16 giây số gồm 5 chữ số 12716 Không, mật mã gồm chữ số ! Hay thêm số 0 vào trước số ? Như có con số 012716 Han-ton mừng quýnh, thử mở tiếc, cánh cửa két vàng đứng im

Bỗng, Han-ton sực nhớ đến thám tử Sê-Lốc-Cốc, anh quay số điện thoại gọi ngay Sau nghe Han-ton kể lại mọi chuyện, thám tử Sê-Lốc-Cốc dẫn cho anh cách mở két Han-ton làm theo và cánh cửa két bật mở Anh đã chụp nhiều tài liệu tối mật quân sự. * Đố bạn biết, thám tử Sê-Lốc-Cốc đã đoán số mật mã két vàng ?

Tất bạn tham gia gửi bài dự thi lần có câu trả lời đúng Tên trộm Uyn-xơ. Hắn để lộ gian dối mình qua lời khai sơ hở : Xem Tivi khi toàn thành phố điện

Phần thưởng kì trao cho năm bạn có làm ngắn gọn, mạch lạc trình bày đẹp :

Nguyễn Thị Minh Phương, 8C, THCS Thành Nhân, Ninh Giang,

Hải Dương; Nguyễn Thị Lan Anh, 169 Tiểu khu Tân Sơn, TT Bút Sơn, Hong Húa, Thanh Húa ;

Đặng Nguyễn Lan Trâm, mẹ là Trần Thị Oanh, giáo viên TH thị trấn Cẩm Xuyên, Hà Tĩnh ; Nguyễn Thị Như Ngọc, 9/3, THCS Lª Hång Phong, HuÕ, Thõa Thiªn -HuÕ ; Nguyễn Thế Duy, 6A11, THCS Nguyễn Đình Chiểu, Phan ThiÕt, B×nh Thn.

18

Một phương pháp hay

Trong bµi :

“So sánh giá trị biểu thức với số”, TTT2 số 32, tác giả Trần Văn Hinh có đưa ba bất đẳng thức :

(1) (2) (3) Tác giả đưa ba cách chứng minh bất đẳng thức (1) nhận xét rằng, cách thứ hai không áp dụng để chứng minh bất đẳng thức (2) (3)

Tơi tìm cách phủ định nhận xét thành công Trước hết ta nhắc lại cách thứ hai để chứng minh bất đẳng thức (1) viết :

Ta cã

Cách giải sử dụng phương pháp quen thuộc : phân tích số hạng liên tiếp tổng thành hiệu hai số mà số trừ hiệu đứng trước số bị trừ hiệu kế tiếp, số hạng triệt tiêu lẫn :

Để tính tổng F f(1) f(2)  f(n), ta cần xác định g(k) mà f(k) g(k 1) g(k) Khi F g(0) g(1) g(1) g(2) 

g(n 1) g(n) g(0) g(n)

Ta hồn tồn chứng minh bất đẳng thức (2) (3) theo phương pháp Sau xin đưa chứng minh ba bất đẳng thức tổng quát (1), (2) (3)

lVới a, n số nguyên dương

a 1, ta cã :

(1) (2) (3) Chứng minh (1) :Đặt

DÔ thÊy g(k 1) g(k)  suy :

S1g(0) g(n)

Chứng minh (2) :Đặt

Dễ thấy g(k 1) g(k)  suy : S2g(0) g(n) < g(0)

Chứng minh (3) :Đặt

D thy g(k 1) g(k)  (k nguyên dương không nhỏ thua 2), suy :

S3g(1) g(n) < g(1) 

Phương pháp sử dụng số dạng tính tổng khác, đề nghị bạn tìm hiểu thêm

2

1 (a 1)

k

k 1, a



k

ka k

g(k)

a (a 1)

  



a (a 1)

k

k , a

k

(k 1)a k

g(k)

a (a 1)

  

 n

1 1

a a (a 1) a

      k , a k g(k)

a (a 1)

  12 23 34 n 1n 2

S

a a a a  (a 1)

     

 22 33 nn a 2

S ;

a a a a (a 1)

       1 12 13 1n

S ;

a a a a a

       127 1 128 128    

1 1 1 1

1

2 4 64 128

        

1 1 1 1

2 16 32 64 128

      

2

1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2

2 100 101

1 99 100 1.

4 3 3  3 3 

2 100 101

1 100 101 ; 33 3  3 3 4

2

1 1 1 1 1;

2 2 2 2 2 2 2 

19

TRẬN ĐẤU THỨ HAI MƯƠI SÁU

TRẬN ĐẤU THỨ HAI MƯƠI TÁM

lNgười thách đấu :Nguyễn Minh Hà, ĐHSP Hà Nội

lBài toán thách đấu :Cho tam giác ABC nhọn điểm O nằm tam giác,

cho OA, OB, OC đôi khác Các điểm X, Y, Z theo thứ tự trung điểm cung đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC, COA, AOB Chứng minh : Các điểm O, X, Y, Z thuộc đường tròn

lXuất xứ :Sáng tác lThời hạn nhận thách đấu :Trước ngày 15 - 03 - 2006

  

BOC, COA, AOB

Đây toán thuộc loại quen thuộc với nhiều học sinh, tính tốn khơng khó khăn Có khoảng 50 bạn gửi lời giải tới tòa soạn, tất giải theo hướng giải Điểm khác lời giải chọn tham số hay nhiều, tham số phải tính tốn lời giải gọn gàng Có hai bạn trẻ tuổi hơn, đứng tên giải, đạt yêu cầu Đó hai võ sĩ đăng quang trận đấu : Phạm Lê Ngọcvà Thái Bảo Toàn, 8A, THCS Vượng Lộc, Can Lộc, Hà Tĩnh Xin giới thiệu với bạn đọc giải :

Vì p, q hai nghiệm phân biệt phương trình x4ax3bx2ax 1 0 nên theo định lí Bơ-du ta có x4ax3bx2ax 1 (x p)(x q).f(x), f(x) tam thức bậc hai Suy x4ax3bx2ax (x2(p q)x 3).f(x)

Đặt n  p q vµ viÕt f(x) x2mx  Ta có x4ax3bx2ax

Đồng hệ số ta nhận :

T phng trỡnh th nht v phương trình thứ ba phương trình suy thay vào phương trình thứ hai ta

Từ suy 9a248b 160 (đpcm)

nguyễn minh đức

2

10 3a 10

b mn

3 16

   

a 3a

m , n

4

 

10 n

m n a ; mn b ; 3m a

3

     

4 10 n

x (m n)x mn x 3m x

3

   

         

   

2

(x nx 3) x mx

 

      

 

1

20

VỊ TRÍ GIAO ĐIỂM

CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ

Ngồi việc xét tương giao đường thẳng parabol (xem TTT2 số 23), cịn xét vị trí giao điểm chúng mặt phẳng tạo độ

1 VÞ trÝ giao điểm hai đường thẳng (D) : y ax + b vµ (D’) : y a’x + b’

l(D) (D) cắt a a l (D) (D) cắt điểm trªn

trơc tung b b’

l (D) (D) cắt điểm

trục hoµnh ax b a’x b’ 0

lTọa độ giao điểm (D) (D’) :

(*) Từ ta xác định giao điểm (D) (D’) nằm bên phải hay bên trái trục tung ; bên hay bên trục hoành Vị trí giao điểm đường thẳng (D) : y f(x) parabol (P) : y g(x)

l Hoành độ giao điểm (D) (P)

nghiệm phương trình bậc hai f(x) g(x) Vậy (D) (P) cắt  phương trình có nghiệm   0

l Việc xét vị trí tương đối giao điểm

của (D) (P) trục tung việc xét dấu nghiệm phương trình f(x) g(x)

l Ta xét vị trí tương đối

giao điểm (D) (P) trục hoành

3 Mét sè vÝ dô minh häa VÝ dô :Cho hai đường thẳng

(D) : y 12x m ; (D’) : y 3x m 3 Xác định m để giao điểm (D) (D’) thỏa mãn điều kiện sau :

1) N»m trªn trơc tung ;

2) Nằm trục hồnh ; 3) Nằm bên trái trục tung ; 4) Nằm phía trục hồnh ; 5) Nằm góc phần tư thứ hai Lời giải : Trước hết, ta thấy (D) (D’) cắt với m

1) Giao điểm (D) (D) nằm trục tung m m 3 m 1

2) Giao ®iĨm cđa (D) (D) nằm trục hoành

Vậy với (D) cắt (D) điểm nằm trục hoành

3) Giao điểm (D) (D’) nằm bên trái trục tung  hoành độ giao điểm hai đường thẳng nhận giá trị âm

4) Giao điểm (D) (D’) nằm bên trục hoành tung độ giao điểm hai đường thẳng nhận giá trị dương

5) Ta thÊy giao ®iĨm (D) (D) nằm góc phần tư thứ hai

m thỏa mÃn hai điều kiện c) vµ d) ab' a'b 12(m 3) 3(5 m)

y

a a' 12

21

15m 21 m

15

   

   

 

     

b' b m m

x m

a a'   12

     

 

8 ; 15

 

 

 

7 m

5

 

7 m

12x m 5

3x m x .

15

      

 

    

   



b' b ab' a'b

x ; y

a a' a a'

 

 

21



Ví dụ (đề thi tuyển sinh vào lớp 10, THPT chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định, 2004-2005):

Cho c¸c ®­êng th¼ng (d1) : y 2x 2 ; (d2) : y  x 2 ; (d3) : y mx

1) Tìm tọa độ giao điểm A, B, C theo thứ tự (d1) với (d2), (d1) với trục honh, (d2) vi trc honh

2) Tìm tất giá trị m cho (d3) cắt hai tia AB AC

Lời giải :

1) Ta tìm A(0 ; 2) cách áp dụng (*) giải hệ phương trình

Tương tự, ta xác định B(1 ; 0) C(2 ; 0)

2) Trước hết ta thấy đường thẳng qua AB d1và đường thẳng qua AC d2; tia AB nằm phía bên trái trục tung cịn tia AC nằm phía bên phải trục tung

Vậy (d3) cắt hai tia AB AC

 hoành độ giao điểm (d1) (d3) nhận giá trị âm cịn hồnh độ giao điểm (d2) (d3) nhận giá trị dương

 (theo (*))  1 < m <

VÝ dô : Cho parabol (P) : y x2và đường thẳng (D) có hệ số góc a, qua ®iĨm M(1 ; 2)

1) Chøng minh r»ng víi giá trị a, (D) cắt (P) hai điểm A, B phân biệt

2) Xỏc nh a để A, B nằm hai phía trục tung

Lêi gi¶i :

1) Từ giả thiết suy phương trình đường thẳng d : y ax a 2

Vậy phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) : x2ax a 2

x2ax a 2 0 V×  a24a 8 (a 2)24 > với a nên (P) (d) cắt hai điểm phân biệt (A B)

2) A vµ B n»m vỊ hai phÝa cđa trơc tung

phương trình x2ax  a 2 0 có hai nghiệm trái dấu a 2 < a <

4 Bµi tËp vËn dơng

Bài :Cho đường thẳng (d1) : y 3x 1 ; (d2) : y  2x 1 ; (d3) : y mx 1

1) Tìm tọa độ giao điểm A, B, C theo thứ tự (d1) với (d2), (d1) với trục hoành, (d2) với trục hoành

2) Tìm tất giá trị m cho (d3) cắt hai tia AB AC

Bµi :Cho parabol (P) : y x22mx 1 vµ ®­êng th¼ng (D) : y 3mx m22

Xác định m để (P) cắt (d) hai điểm thỏa mãn điều kiện sau :

1) N»m vỊ hai phÝa cđa trơc tung ; 2) Cïng n»m bên trái trục tung ; 3) Một điểm nằm điểm nằm bên phải trục tung

2 0

m

2 0

m

 

  

 

 

y 2x y x ;



    

21 m 15

22

KẾT QUẢ Kè THệÙ MệễỉI HAI (TTT2 số 34) Bài 1.Tìm nghiệm ngun phương

tr×nh :

Nguyễn Đình Thế (THCS Ninh Xá, TX Bắc Ninh, Bắc Ninh)

Bài 2.Cho hai đa thức P(x) x3ax2bx c ;

Q(x) x410x340x2125x P(9) 1) TÝnh a, b, c vµ biÕt ;

2) Với a, b, c tìm trên, tìm thương số dư phép chia đa thức

Q(x) cho x 11

3) Chứng tỏ đa thức R(x) P(x) Q(x) số chẵn với số nguyên x

Lờ Nguyn Bích Nga (Lớp 10NN, THPT Lương Văn Chánh, Phú Yên)

Bài 3.Cho dãy {un} xác định : u1 ; u23 ; un3un1khi n chẵn un4un12un2khi n l

1) Lập quy trình bấm phím liên tục tÝnh un 2) TÝnh u10; u11; u12; u14; u15

Tạ Minh Hiếu (THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc)

3 407 561

P( ) ; P( )

4  64 125

1 39 P( )

2 

P( ) x y  x y  7920

l Kỡ naứy :

giải toán máy tính ®iƯn tư casio

THỬ TÀI

Bài Mode thống kê : Tính điểm trung bình, độ lệch tiêu chuẩn phương sai lớp :

Líp 7A :10 16

14 11

6

( )

( )

( )

( ) ( )

§ỉi sang 7B :

Lớp 7B :Thao tác tương tự, ta tính ;

§ỉi sang 7C :

Lớp 7C :Thao tác tương tự, ta tớnh c ;

Điểm trung bình lớp nh­ nhau,

nh­ng nªn : Líp 7B

học nhất, sau đến 7C 7A ; lớp 7A nhiều người “giỏi trội”

Bµi 2.Ta cã :

NhËn thÊy x8chØ cã ë sè h¹ng thứ tư thứ năm khai triển Vậy :

Tính máy giấy :

5

a 378 378 378

54010152 142884 7717186558368.  

  

3

9 9.8.7 9.8.7.6

a 3C C 378

1.2.3 1.2.3.4

    

1 2 3 3

9 9

4 5 9

9 9

1 C (x x ) C (x x ) C (x x ) C (x x ) C (x x ) C (x x )

      

      

3 9

( x x 1) (1 (x x ))      2

7B 7C 7A     

1,652446221 ;

2,730578512 442 605

 

    

X 8,181818182 11   

 CLR SHIFT 1,619100863 ;

2,621487603 376 605

 

    

X 8,181818182 11    

1 CLR SHIFT

3 453 605 

/ ab c 3,748760331    x 1,936171565    S-VAR SHIFT AC X 11  

/

ab c

23

Tổng chữ số cđa a5lµ 72.

Bµi 3.S154185 ; S165008 ; S198113 ; S209380

Giả sử tồn số tự nhiên k cho 3(n2n)  m3 Vì n số tự nhiên nên 3(n2n) 7 chia dư Vậy m 3k 1 m3 chia dư Nhưng 3n23n 7 chia dư dư 4, vơ lí Vậy khơng có số hạng dãy lập phương số tự nhiên

Bài 4.Vì x22y22377 nên x2là lẻ x lẻ, x 2k 1

Suy x2 2y2 4k2  4k   2y2

2377 hay 2k2  2k  y2  1188 Vậy y2 chẵn Vậy 2y2chia dư 2, mà 2377 chia dư Do x2chia dư Khi 2y2 chia hết y chia hết cho Vậy y ; ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 Dùng máy kiểm tra đáp số :

x 35 ; y 24 Bµi 5.Chia 17 cho 23 :

LÇn :17 23 (0.739130434) (d­ 17, viÕt : 0,739130434)

LÇn :17 23 (739130434.8) 23 739130434 23 (18) (d­ 18, viÕt :

0,739130434)

LÇn :18 23 (782608695.7) 23 782608695 23 (15) (d­ 15, viÕt :

0,739130434782608695)

LÇn :15 23 (652173913.) 23 652173913 23 (1) (d­ 1, viÕt :

0,739130434782608695652173913)

LÇn :1 23 (043478260.87) 23 43478260 23 (20) (d­ 20, viÕt : 0,7391304347826086956521739130 43478260)

LÇn :20 23 (869565217.4) 23 869565217 23 (9) (d­ 9, viÕt :

0,7391304347826086956521739130 4347826086956521)

Làm tương tự, ta đến đáp số :

1,(56097) ;

0,(7391304347826086956521) ;

1,(1724137931034482758620689655) ;

1,(8085106382978723404255319148 936170212765957446) ;

1,(2753623188405797101449) ;

1,(0224719101123595505617977528 0898876404494382) ;

0,(9484536082474226804123711340 20618556701030927835051546391752577 3195876288659793814432989609072164) Các bạn giải kì : Nguyễn Mạnh Hưng, 10A1, THPT Lý Thái Tổ, Từ Sơn, Bắc Ninh ; Nguyễn Thành Hải, 10 Toán, THPT chuyên Bắc Giang, Bắc Giang ; Trần Lê Lưu Phương ; Nguyễn Ngọc Hạnh Châu, 91, THCS Nguyễn Tri Phương, TP Huế, Thừa Thiên - Huế ; Trần Thế Dũng, 10/1, THPT thị trấn Nghèn ; Đinh Văn Học, 9C, THCS Sơn Lộc, Can Lộc, Hà Tĩnh ; Mai Trung Nghĩa, 9B, THCS Lê Hữu Lập, Hậu Lộc, Thanh Hóa ; Phạm Ngọc Dương, 8B, THCS Liên Hòa, Kim Thành, Hải Dương;

Huúnh Tấn May, 9A1, THCS Nguyễn Đình Chiểu, Bình Thuận, Phan Thiết ; Hoàng Minh Thắng, 10A1, THPT Phan Bội Châu, TP Vinh, NghÖ An

Tạ Duy Phượng

24

Từ năm 1975, tờ Tạp chÝ To¸n häc

(Mathematics Magazine)của Mỹ bắt đầu xuất chuyên mục có tên gọi tiếng Anh “Proofs without words” (PWW)mà tạm dịch “Chứng minh khơng cần dùng từ” Bạn đọc suy đoán chuyên mục nhằm giới thiệu chứng minh định lí cách sử dụng tính chất hình học

Thực ra, phương pháp chứng minh định lí dựa vào tính chất hình học nhà tốn học cổ đại sử dụng Đó nhà toán học cổ Trung Hoa, nhà toán học cổ ả rập

(thế kỷ 10)cho đến nhà toán học thời kì Phục hưng ý Trong Tốn

(NXBGD, 2003), dễ dàng tìm thấy cách chứng minh định lí Py-ta-go mà nhà tốn học cổ sử dụng từ khoảng 2000 năm trước Cơng ngun

Nãi chung, “chøng minh b»ng h×nh vÏ”

không chấp nhận nhiều người làm tốn Lí đơn giản khơng biểu diễn trường hợp mà giải thích số hữu hạn trường hợp số trường hợp riêng Trong báo này, muốn đề cập đến hai khía cạnh khác vấn đề : thứ đẹp biễu diễn hình học định lí tốn học thứ hai sở dự đốn tính chất tốn học

lTrên TTT2 số 9, giới

thiệu cách chứng minh định lí Pizza : “Nếu chia bánh Pizza thành tám phần bốn nhát cắt qua điểm nằm bánh cho hai nhát cắt kề tạo với góc 45o tổng

diện tích bốn phần đơi khơng kề nửa diện tích bánh” Bạn đọc quan sát hình cách chứng minh hình học mà tác giả khơng dùng đoạn văn để giải thích (theo tinh thần PWW)

lCó nhiều cách để chứng minh đẳng

thức : 2 3  n  n số nguyên dương Tính chất biểu diễn hình 2và hình 3, nhà tốn học nhỏ tự giải thích dựa vào hai hình

n(n 1), 2

25

lMột bất đẳng thức quen thuộc,

bất đẳng thức Cơ-si : a, b số thực khơng âm

Dưới góc độ hình học, bất đẳng thức Cơ-si biểu diễn hình 4, kể việc cho thấy đẳng thức xảy a b

lTrùc quan có vai trò quan trọng

trong vic khái qt hóa để đến định lí hay tính chất tốn học Ví dụ cho thấy vai trị trực quan việc dự đốn tính chất nhà toán học Hy Lạp cổ đại

Bước :Quan sát nhận xét

Bước :Dự đốn tính chất : 2 3 

(n 1) n (n 1)  3 n2

l Giả sử bạn nhà toán học

Hy Lp c i, bn cú kết luận từ hình

và hình 6dưới :

Hi vọng ví dụ nhỏ mang lại cho nhà toán học nhỏ nhìn góc cạnh khác tốn học Những cơng thức khơ khan toán học mặt vẻ đẹp tự nhiên

a b ab,

2

26

Cuộc thi thành công mong đợi Nhiều cá nhân, tập thể tham gia gửi đề thi, dự thi thường xuyên có chất lượng cao ; nội dung kì thi đạt mục đích phát triển khả sử dụng máy tính để giải vấn đề tốn học thực tế, nâng cao mở rộng kiến thức toán, giúp bạn học toán tin học tốt hn

A Giải Cá nhân

1 Gii nht (3 giải, trị giá triệu đồng/giải) :

Hoàng Minh Thắng, 10A1, THPT Phan Bội Châu, TP Vinh, Nghệ An ; Nguyễn Thành Hải, 10 Toán, THPT Chuyên Bắc Giang, Bắc Giang ; Lưu Khánh Tường, 10A1, THPT Sào Nam, Duy Xuyên, Quảng Nam

2 Giải Nhì (6 giải, trị giá 600.000 đồng/giải) :

Nguyễn Kế Viễn, 10A12, THPT Chí Linh, Hải Dương ; Trần Văn Ngọc Tân, 11/1, THPT Hoàng Diệu, Điện Bàn, Quảng Nam ; Nguyễn Mạnh Hưng, Lớp 10A1THPT Lý Thái Tổ, Từ Sơn, Bắc Ninh;

Lê Hà An, 8B, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An ; Trương Ngọc Sơn, 10T, THPT Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương ; Trần Văn Tuấn, 8A, THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc

3 Giải Ba (9 giải, trị giá 300.000 đồng/giải) :

Nguyễn Vũ Thanh Long, 9/1, THCS Chu Văn An ; Nguyễn Bảo Thiên Thanh, 9/3, THCS Hưng Long ; Nguyễn Ngọc Hạnh Châu, 91, THCS Nguyễn Tri Phương, TP Huế, Thừa Thiên - Huế ;

Đào Thu Quyên, 9A, THCS thị trấn Kì Sơn, Hịa Bình ; Trần Huy Hưng, 10Tin, trường Hà Nội - Amsterdam ; Nguyễn Duy

Hưng, 9H, THCS Lê Quý Đôn, Cầu Giấy, Hà Nội ; Đào Thanh Tùng, 9A, THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bình, Bắc Ninh ; Vũ Quang Sao, 9E, THCS thị trấn Hưng Nhân, Hưng Hà, Thái Bình; Nguyễn Văn Huy, 11A1, THPT Xuân Hòa, TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc

4 Giải Khuyến Khích (12 giải, trị giá 100.000 đồng/giải) :

Trần Ngọc Minh, 9C1, THCS thị trấn Nghèn ; Trần Thế Dũng, 10/1, THPT Nghèn, Can Lộc, Hà Tĩnh ; Lê Thị Lãm Thúy ; Trần Lê Lưu Phương, 9/1, THCS Nguyễn Tri Phương, TP Huế ; Nguyễn Văn Thiên Vũ, 8/3, THCS Phú Mậu, Phú Vang, Thừa Thiên - Huế ; Phạm Ngọc Dương, 8B, THCS Liên Hòa, Kim Thành, Hải Dương ; Nguyễn Thị Huế, 10A1, THPT Xuân Hòa, TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc; Nguyễn Thị Lan Hương, 9D, THCS Trung Sơn, Gio Linh, Quảng Trị; Nguyễn Ngọc Phiên, 7B, THCS Phổ Văn, Đức Phổ, Quảng Ngãi ; Nguyễn Trọng Hùng, 9E, THCS Bắc Sơn, Sầm Sơn, Thanh Hóa ; Hồng Khánh Tờ, 8D, THCS Thân Nhân Trung, Việt Yên, Bắc Giang

B Giải đồng đội

1 TËp thĨ líp 8A8, THCS KÕ Sách, huyện Kế Sách, Sóc Trăng

2 Trng THCS Nguyễn Tri Phương, TP Huế, Thừa Thiên - Huế

3.Trường THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An

Xin chúc mừng cá nhân, tập thể đạt giải Nhân dịp này, xin cảm ơn nhà tài trợ BITEX, tác giả đề thi, bạn tích cực tham gia gửi dự thi Chúc bạn năm đạt nhiều thành công

27

lKÕt qu¶ :

(TTT2 sè 34)

l Kì :

“Ngơn ngữ” nhiều loài vật “tụ tập” thơ Ngơn ngữ lồi Nếu am hiểu “ngơn ngữ” loài vật em sửa chỗ sai thơ NTMP (Hải Dương) viết “Lợn la ăng ẳngnhư gào” sai

Ăng ẳng thay eng éc mô tả tiếng lợn “la gào” Bài thơ sửa sau :

Gà rừng gáy sáng le te

Dê cất tiếng be begọi bầy Đàn lợn ủn ỉnsuốt ngày

Gà chiêm chiếpchạy đầy mặt sân

Cúc cucu gáy nghe gần

Chú sa ụng ngnhiu lần đêm Trên cành chíu chíttiếng chim

NghÐ ọtrâu mẹ gọi tìm nghé Gà mẹ cục tácthật ån

Trong làng gà gáy dồn te te ếch kêu ộp ộpsau hè

Con ve đón hạ ve vegiọng buồn Lợn ụt ịt chuồng Chó m ng ngluụn mm vỡ au

Xuân về, muôn nhà bận rộn với ăn ngon Nhưng thơ có điều chưa ổn Bạn phát sửa lại cho thật ngon không ?

Gà rang chín tới thật ngon

Chim luộc vừa đâu phải chê Giò viên, tôm rán, bóng bì

Cá, rau, đậu, thịt xào tuyệt ngon Bánh đa nem trộn thật giòn Thịt bò quay, hẳn mùi bay xa

Sườn nấu lẩu thơm đậm đà

Hµnh ninh chua, củ trắng mà thích ghê Thịt hầm hành tây miễn chê

Nem tai mui thớnh m mờ lòng người Chân giò nấu măng tuyệt vời Vịt hầm l mún muụn ngi cựng ng

Lạc chiên rắc nộm thơm lừng Bánh chưng tần kĩ chưa quªn

Nguyễn Thị Bích (GV TH Phú Hịa A, Lương Tài, Bắc Ninh)

Cón tËp sđa g©u g©u

Vịt đàn cạp cạpnghểnh đầu gọi Lợn la eng ộcnh go

Đàn ong vỡ tổ bay vào vo vo

Tiếng gà gáy o o

Vo vetiếng muỗi “chuyện trò” bên tai Năm bạn trao giải kì : Nguyễn Thị Nhật Trang, 91, THCS Nguyễn Tri Phương, TP Huế, Thừa Thiên - Hu ;

Nguyễn Thị Thu Hà, 8A2, THCS Giấy Phong Châu, Phong Châu, Phú Thọ; Nguyễn Thị Khánh Hòa, 92, THCS Thị trấn Quán Hàu,

Quảng Ninh, Quảng Bình ; Nguyễn Thảo Ngọc, 6A1, THCS Hai Bà Trưng, TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc; Nguyễn Văn Bình, THCS Cát Minh, Phù Cát, Bình Định

28 Trần Đăng Khoa :

Chỳ rt tic chỏu không gửi thơ cho Nếu đọc thơ cháu, trả lời cháu có khiếu thơ hay không ? Nhưng nghĩ, người mà làm thơ trở thành nhà thơ Một nhà thơ lừng danh giới tiết lộ bí : “Nếu biết để trái tim nói -Thì người trở thành thi sĩ” Nói đơn giản : Thơ tình cảm người Mà tình cảm có

Chú chưa làm thơ lúc mê ngủ Chú thường mơ hai trường hợp Đó lúc đói bụng Nhà

đói Đói bụng mà ngủ thường hay mơ thấy ăn cỗ Cỗ tồn ngon Nhưng có điều lạ, ăn mà chẳng thấy no bụng Bởi ăn mơ Giấc mơ dù đẹp đến đâu thay cho thực khắc nghiệt Trường hợp thứ hai - điều nguy hiểm : Đó buồn tiểu Mình mơ thấy tiểu Rồi lại tưởng thật Khi thấy nóng sực, tỉnh hay “dấm đài” Chuyện này, nói thầm với cháu thơi Cháu phải giữ bí mật Kẻo bạn biết, cười thối mũi : “Ôi dào, tưởng lão Khoa nào, hóa thuở bé, lão bậy bạ !” Thì bảo thằng dốt mà Còn nhà thơ thứ thiệt, họ hay làm thơ lúc mê ngủ Bác Hoàng Cầm, nhà thơ lớn, tiếng ta hay làm thơ lúc ngủ mơ Có tỉnh mà bác cịn mơ Có lần bác Cầm mơ lúc tỉnh, bác thấy có đọc thơ cho nghe Rồi bác chép lại thành thơ tiếng Cháu có khả bác Cầm Nghĩa làm thơ ngủ Chú cầu mong lớn lên, cháu thành nhà thơ tiếng bác Hoàng Cầm

Chó Khoa ¬i !

Cháu hay làm thơ Cháu làm nhiều thơ hay Cháu nghĩ đăng báo Nhưng thật lạ cháu làm thơ vào lúc nửa đêm, cháu ngủ say (nghĩa cháu mơ ngủ) Khi đó, cháu cịn mơ chép thơ vào sổ Thế mà tỉnh dậy, cháu quên sành sanh, chẳng nhớ tí Chú cho cháu biết liệu cháu có khiếu thơ khơng ? Chú có hay làm thơ lúc ngủ khơng ?

29 l KÕt qu¶ :

What is it ?(TTT2 số 34)

Kì : ễ chữ :

Nếu dịch Anh - Việt cách đơn thuần, hẳn bạn thấy câu hỏi thật phi lơgic : Cái xuất hai lần khoảnh khắc, lần phút, không lần ngày ?

Hãy nghe bạn Lê Thị Qun, xóm 8, thơn 10, Xuân Quang, Văn Giang, Hưng Yên nói câu hỏi đáp án Vườn Anh kì :

Dịch Tiếng Việt Cũng hiểu câu hỏi Nhưng mà phải ngồi Nghĩ thỏa mãn Nghĩ ngày đến chán Nhưng chẳng Bỗng tự dưng cười khì Nhìn kĩ MOMENTchứ Xuất hin hai ch M

Cũng lại thật tình cờ Một Mtrong MINUTE

Kịt ! Kịt ! Kìa từ DAY

Chẳng thấy Mnào Như câu trả lêi Xin mêi : “It is M”

Đáp án thật thú vị phải không ? Cùng với bạn Quyên, bạn sau tinh ý tìm đáp án trình bày đáp án theo cách

rất đặc biệt : Trần Thị Nguyệt Anh, 82, THCS Nam Hà, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh ; Nhóm Hoa Sữa, 7E, THCS Tiên Cát, Việt Trì, Phú Thọ ; Vũ Thị Kiều Trang, 9A, THCS Trần Hưng Đạo, TP Hải Dương, Hải Dương; Hà Thị Thanh Vân, 95, THCS Nguyễn Tri Phương, TP Huế, Thừa Thiên - Huế Chủ Vườn gửi quà tới bạn qua bưu điện

Chủ Vườn Trên hàng ngang ô chữ từ thuộc địa lí, bạn tìm ?

Nguyễn Thị Minh Thúy (8C, THCS Lí Nhật Quang, Đơ Lương, Nghệ An)

30 Con ? l Kì :

(TTT2 sè 34)

lKÕt qu¶ :

Con biết săn mồi ?

Con làm xiếc, hay ngồi ? Con cưỡi gió, cưỡi mây ? Con ăn cỏ nên hay đồng ?

Con tỉnh giấc rạng đơng ? Con béo ị khơng việc làm ?

Con cày kéo giỏi giang ?

Con chân khỏe chạy nhanh vào ? Con lại hay leo trèo ?

Con gỡ trm đến chạy theo cắn liền ? Con đục khoét liờn miờn ?

Con chậm chạp, hiền tâm ? Con chúa tể sơn lâm ?

Con đào đất âm thầm năm ? Con lấy mật chăm ?

Con táo thường ăn ngày ? Giải mười sáu Nếu có may nhận quà !

TrÇn Anh Ngäc (10A1, THPT HËu Léc 1, HËu Léc, Thanh Hãa)

Th¸nh chØ :

Chăm chút cẩn thận li Nâng niu chu đáo khó bạn

Chăm bón cối tốt tươi

Chăm sớm tối chẳng ngơi tay làm Chăm công việc ham Tập trung cao độ v am mờ nhiu

Chăm lo chẳng kể sớm chiỊu

Canh cánh việc điều chẳng qn Chăm nom sớm tối thường xuyên Bữa ăn, giấc ngủ luụn bờn m gi

Chăm sóc trẻ nhỏ nhµ

Nặng tình thương mến đà lớn khơn Từ thành thị đến nơng thơn

TrÉm mong c¸c bạn phải chăm làm

Ban thng : Dng Thị Thùy Trang, 8/2, THCS Lê Văn Thiêm, TX Hà Tĩnh, Hà Tĩnh ; Nguyễn Thị Hải Hồng, 9D, THCS Qch Xn Kỳ, Hồn Lão, Bố Trạch, Quảng Bình; Phạm Minh Đức, 9A1, THCS Trưng Vương, Mê Linh, Vĩnh Phúc ; Trần Thị Hương Giang, 9B, THCS Dư Hàng Kênh, Lê Chân, Hải Phòng; Phạm Tú Tài, 7B, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An

31 Hỏi : Em có người bạn

“lïn” nhÊt lớp Vì mặc cảm nên bạn chẳng thích chơi với Trông bạn buồn Anh kíu bạn em với !

Hoàng Thị Mỹ (99, THCS Nguyễn Chí Diểu, TP Huế, Thừa Thiên - Huế)

Đáp :

Anh anh kíu ? Khi em thào :

Lựn i ! Chuyện chê đời Nay chê người, khéo mai

người chê ta !

Hỏi : Em phục bạn trai học giỏi lớp em Em muốn kết làm anh trai để tiện việc hỏi chuyện học hành mà không bị bạn bè trêu phải làm ? Theo anh, lấy tình cảm làm động lực để thúc đẩy việc học hành có tốt khơng ?

Thïy Dung (10T, THPT Huỳnh Thúc Kháng, TP Vinh, Nghệ An)

Đáp :

Sợ nhận anh trai Chuyện tiện

phanh giùm ? Kẻo mà học lại tùm lum Động lực dễ khóa cùm

ti xanh Tïy em, anh nãi mỈc anh

Hỏi : Em học lớp 10

nh­ng muốn gửi toán cho chuyên mục Thi giải toán qua thư có không ?

Nguyễn Văn Tiến (10A6, THPT Hoài Ân, Bình Định)

Đáp :

Mục em ! Bài hay chắn tức thời

được đăng Cộng tác viên cần tăng Thêm em cộng tác ?

Hỏi : Khi thi học sinh giỏi mà cần sử dụng toán phụ có phải chứng minh không ? Sao TTT không chứng minh ?

Nguyễn Thị Bích Ngọc (9A2, THCS Phả Li, Chớ Linh, Hi Dng)

Đáp :

Tất nhiên phải

chứng minh Kẻo bị trừ điểm thiƯt m×nh

thì nguy Trên tạp chí tạm lược Mong Ngọc thơng cảm

chËt trang

Hỏi : Bói Kiều có khơng anh ? Lớp em dạo đua bói Kiều quên học

Phạm Minh Đức (9A1, THCS Trưng Vương, Mờ Linh, Vnh Phỳc)

Đáp :

Mi kiu bói đời Có lúc đúng, lúc thời

lại khơng Các em xin cơng Bói quờn c hc

trông chờ ?

Hỏi :Nếu người bạn thân người yêu anh rơi xuống vực thẳm anh cứu cứu người ?

Vâ BÝch H¹nh (8G, THCS Ngun Tr·i, Nghi Xuân, Hà Tĩnh)

Đáp :

Ngi yờu với bạn thân Chắc mải tâm bất thần

bị rơi Nếu cứu người Bạn thân anh cứu,

bạn đời anh theo !

32 1(36) :Let n> 2005 be an integer and let xn2006n2005n Is xan integer ?

2(36) :Find the maximum and minimum value of F  x  y, where x, y are real numbers such that x2y2xy

3(36) :Calculate

4(36) :Let A1B1C1, and A2B2C2be two triangles such that C1 C2, A1B1A2B2, and B1C1 C2A2  B2C2  C1A1 Prove that the two given triangle are congruent

5(36) : Given a square ABCD with sidelength a, find the locus of Msuch that the distances from Mto the lines AB, BC,

CD, and DAsum up to 2a

4 4

4 4

1 1

1 2005

4 4

1 1

2 2006

4 4

       

    

    



       

    

    

T

Bµi 1(36) :Cho sè nguyên n 2005 số thực x thỏa mÃn : 2006n2005nxn Hỏi x số nguyên không ?

nguyễn ngọc (THCS Nhơn Mỹ, An Nhơn, Bình Định)

Bài 2(36) :Biết : x2y2x y Tìm giá trị lớn và

giá trị nhỏ F x y

Hà Khang khôi(TP Hồ Chí Minh)

Bµi 3(36) :Rót gän :

Cao Minh Quang (THPT chuyªn Ngun BØnh Khiªm, VÜnh Long)

4 4

4 4

1 1

1 4 4 2005 4

T

1 1

2 2006

4 4

       

    

    



       

    

    

Bài 4(36) : Giả sử hai tam giác A1B1C1 ; A2B2C2 có A1B1A2B2và cạnh cịn lại thỏa mãn điều kiện : B1C1C2A2B2C2C1A1 Chứng minh : hai tam giác bng

nguyễn Đăng phất(ĐHSP Hà Nội)

1 2

C C ; Bµi 5(36) : Cho

hình vng ABCD có độ dài cạnh a Tìm quỹ tích điểm M cho tổng khoảng cách từ M tới đường thẳng AB, BC, CD, DA bng 2a

Đặng văn biểu (THCS Đông Dư, Gia Lâm, Hà Nội)

CORRESPONDENCE PROBLEM SOLVING COMPETITION