[r]
(1)GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Trong đề tham khảo Bộ GD lần lần 2, đề thi thử sở giáo dục, trường phổthông năm 2020 thường có tốn liên quan đến GTLN-GTNN hàm số chứa dấu trị tuyệt đối Để giải dạng toán em cần ghi nhớ toán tổng quát sau:
Bài toán tổng quát: Cho hàm số y= f x( ) Tìm GTLN-GTNN hàm sốtrên đoạn [ ]a b;
Phương pháp chung:
Bước 1: Tìm [ ] ( ) [ ] ( )
; ;
max ;
a b
a b f x = p f x =q Bước 2: Xét khảnăng
• Nếu [ ] ( )
[ ] ( ) { }
; ;
min
max max ;
a b
a b
f x p q
f x p q
=
≤ ⇒
=
• Nếu q>0 [ ]
( ) [ ] ( )
; ;
min max
a b
a b
f x q
f x p
=
⇒
=
• Nếu p<0 [ ]
( ) [ ] ( )
; ;
min
max
a b
a b
f x p p
f x q q
= = −
⇒
= = −
Chú ý cơng thức tính nhanh:
[ ];
max ( )
2
a b
p q p q
f x = + + − ;
[ ]
≤
= + − −
>
;
0,nÕu
min ( )
,nÕu
2
a b
p q
f x p q p q
p q
Tùy theo toán cụ thể mà ta áp dụng cho hợp lý Sau áp dụng cho dạng thường gặp
Dạng 1: Tìm tham số để [ ] ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
; ;
min max
a b
a b
f x k k
f x k k
≤ ≥
≤ ≥
(2)
Ví dụ mẫu 1: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị nhỏ
nhất hàm số
| |
y= x − x −m đoạn [ 1; 2]− Tổng tất phần tử S
bằng
A −2 B 7 C 14 D 3
Lời giải
Chọn B
Xét ( )
2
f x =x − x −m đoạn [ 1; 2]− có ( )
[ ]
[ ]
[ ]
3
1 1;
4 0 1;
1 1;
x
f x x x x
x
= ∈ −
′ = − = ⇔ = ∈ − = − ∈ −
Khi f ( )0 = −m f; ( )± = − −1 m 1; f ( )2 = − +m
Suy ra: [ ] ( )
1;2
max f x m
− = − + min[−1;2] f x( )= − −m
• Nếu (− −1 m)(8−m)≤ ⇔ − ≤ ≤0 m
[ 1;2] ( ) f x
− = , không thỏa mãn đề
• Nếu − − > ⇔ < −m m
[ 1;2]
miny m m
− = − − = − −
Khi − − = ⇔ = −m m 3(t m/ )
Nếu− + < ⇔m m>8
[ 1;2]
miny m m
− = − + = − ; m− = ⇔ =8 m 10(t m/ )
Vậy tổng tất phần tử
Ví dụ mẫu 2: Gọi S tập hợp giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số
2
2
x mx m
y
x
− +
=
− đoạn [−1;1] Tính tổng tất phần tử S
A
3
− B 5 C 5
3 D −1
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số ( ) 2
2
x mx m
f x
x
− + =
− [−1;1] có ( ) ( )2
4
2
f x
x
′ = −
(3)( ) 0 [ ]
4 1;1
x f x
x
= ′ = ⇔
= ∉ −
; ( ) ( ) ( )
1
1 ; ; 1
3
f − = − −m f = −m f = − −m
Suy ra: [ ] ( )
1;1
max f x m
− = − min[−1;1] f x( )= − −m
• Nếu −m(− − ≤ ⇔ − ≤ ≤m 1) m 0;
[ 1;1] { } { }
maxy m ; m m 1; m
− = − − − = + −
Có hai khảnăng 3
3
m m
m m
= − = −
⇒
= + =
, khơng thỏa mãn • Nếu f ( )0 = − < ⇔ >m m Khi
[ 1;1]
max y m m
− = − − = +
( )
1 /
m m t m
⇒ + = ⇔ =
• Nếu − − >m ⇔ < −m Khi
[ 1;1] ( ) ( ) max f x f
−
= = ⇔m= −3
Vậy có hai giá trị thỏa mãn m1 = −3,m2 =2 Do tổng tất phần tử S −1
Ví dụ mẫu 3: Cho hàm số
y= x −x − +x m với m∈ Có tất số nguyên m
để
[1;3]
miny<3 ?
A 21 B 22 C 4 D 20
Lời giải
Chọn A
Xét hàm số ( ) [ ]
; 1;3
f x =x −x − +x m x∈
Ta có ( )
3
f′ x = x − x− =
[ ] [ ]
1 1;3
1 1;3
x
x
= ∈
⇔ = − ∉
Ta có f ( )1 = −m 1,f ( )3 = +m 15
Suy
[ ]1;3 ( ) [ ]1;3 ( )
min f x = −m 1; max f x = +m 15
• Nếu (m−1)(m+15)≤ ⇔ − ≤ ≤0 15 m 1;
[ ]1;3
miny= <0 Trường hợp có 17 số nguyên thỏa mãn
• Nếu m− > ⇔ >1 m 1;
[ ]1;3
(4)• Nếu m+15< ⇔ < −0 m 15;
[ ]1;3
miny= m+15 < ⇒ − −3 m 15< ⇒ − < < −3 18 m 15 Trường hợp có số nguyên thỏa mãn
Vậy có tất 21 số nguyên thỏa mãn Bài tập tự luyện:
Câu ( Chuyên BN lần 2) Có giá trị tham sốmđể giá trị lớn hàm số ( )
4
f x = x + x −m đoạn [− −4; 2] 2020 ?
A B C D
Câu Gọi S tập hợp giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số
2
3
x mx m
y
x
+ +
=
+ đoạn [−2; 2] Gọi T tổng tất phần tử S Tính T
A T =4 B T = −5 C T =1 D T = −4
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số ( )
3
x mx m
f x
x
+ + =
+ , hàm sốluôn xác định tập xét ( )
( )
2
6
x x
f x
x
+
′ = =
+
2
6
6
x
x x
x
=
⇒ + = ⇔
= −
Ta có: f ( )− = +2 m ; f ( )0 =m ; ( )2
f = +m
Với ( ) ( ) 3
x mx m
g x f x
x
+ +
= =
+ Ta có max[−2;2]g x( )=max{ f ( ) ( )−2 ; f } Xét m m( +4)≤ ⇔ − ≤ ≤0 m 5
4
m m
m m
− = = −
⇔
+ = =
(loại)
Xét với m>0 Ta có
[ 2;2] ( ) ( )
maxg x f m m m
− = − = + = + = ⇒ =
Xét với m< −4, ta có
[ 2;2] ( ) ( )
maxg x f m m m
− = = = − = ⇒ = −
(5)Câu Cho S tập hợp tất giá trị thực tham số m cho giá trị lớn
hàm số ( )
2
f x = − +x x +m + đoạn [ ]0; Tổng tất phần tử S
bằng
A 7 B 17 C −3 D −7
Lời giải
Chọn A
Xét hàm số ( )
2
g x = − +x x +m [ ]0;
Ta có ( ) ( )
[ ] [ ]
[ ]
3
0 0;
' 4 ' 0;
1 0;
x
g x x x g x x
x
= ∈
= − + ⇒ = ⇔ = ∈
= − ∉
Ta có ( ) ( ) ( ) [ ] ( )
[ ] ( )
0;2 0;2
max 1
0 1; 1 1;
max
f x m
f m f m f m
f x m
= + +
= + = + + = − + ⇒
= − +
+) Nếu
[ ]0;2 ( )
1
max 1
1
m
f x m m
m m
+ + =
= + + ⇒ ⇔ =
+ ≥ −
+) Nếu
[ ]0;2 ( )
8
max
8
m
f x m m
m m
− + =
= − + ⇒ ⇔ =
− ≥ +
Vậy tổng giá trị m
Câu Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số
3
y= x − x+ +m thỏa
mãn
[min−2; 2]y=5 Tổng tất phần tử S A 47
4
− B −10 C 31
4
−
D 9
4
Lời giải
Chọn A
Xét hàm số ( )
3
g x =x − x+ +m đoạn [−2; 2], có: ( ) 3
(6)( )
[ 2;2] ( ) ( )
3
max max , , 12
2
g x g g g m
−
= − = +
;
( )
[ 2;2] ( ) ( )
3
min , ,
2
g x g g g m
−
= − = −
Nếu
m− ≥ hay
4
m≥
[ 2; 2]
1 21
min
4
y m m
− = − = ⇔ = (thỏa mãn)
Nếu m+12≤0 hay m≤ −12
[min−2; 2]y= − −m 12= ⇔ = −5 m 17 (thỏa mãn) Nếu 12
4
m
− < <
[min−2; 2]y=0 (khơng thỏa mãn) Ta có: 17;21
4
S = −
Vậy tổng phần tử S
47
− Câu Có tất số thực m để hàm số
3 12
y= x − x − x +m có giá trị nhỏ
trên đoạn [−3; 2] 10
A 4 B 1 C 2 D 3
Hướng dẫn giải
Chọn C
Suy ( )
[ 32;243] { }
min f t 32 m; 243 m
−
= − + +
Nếu (243+m)(− +32 m)≤0 suy a
[ 32;243] [ 32;243( )]
miny f t
− = − = , không thỏa mãn
Yêu cầu toán [ 32;243]
miny 10
− = suy điều kiện cần (243+m)(− +32 m)>0
TH1:
[ 32;243]
32 32 10 32 10 42
m y m m m
−
> ⇒ = − + = ⇔ − = ⇔ =
TH2:
[ 32;243]
243 10 243 243 253
m y m m m
−
< − ⇒ = = + = − − ⇔ = −
Vậy có giá trị tham số m thỏa yêu cầu Câu Cho hàm số ( ) 2
2
x mx m
f x
x
− +
=
− Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m
để [ 1;1]
max ( )f x
− ≤ Tổng tất phần tử S
A −11 B 9 C −5 D −1
Lời giải
(7)Xét hàm số ( ) 2
2
x mx m
g x x − + = − ( ) ( ) 2 4 x x x g x x x = − ′ ⇒ = = ⇒ = −
Khi x= ⇒0 g( )0 = −m
Ta có ( )1 1( 1)
3
g − = − m− = − −m ; ( )1 1
m
g = + = − −m
−
Mà 1
3
m m m
− − < − − < − Suy
[ ]1;1 ( ) { }
1
, , ,
3
max f x max m m m max m m
−
= + + = +
Trường hợp 1: { }
1
0;1; 2;3;
1
6
m m m
m m m + ≥ ≥ − ⇔ ⇒ ∈ + ≤ − ≤ ≤
Trường hợp 2: { }
1
5; 4; 3; 2;
5
5
m m m
m m
m
+ < < −
⇔ ⇒ ∈ − − − − − ≤ − ≤ ≤ Suy tổng phần tử S −5
Dạng 2: Tìm tham số để
[ ]; ( ) [ ]; ( ) ( )
.min max ,
a b f x a b f x k k
α ±β ≤ ≥ .
Ví dụ mẫu 1: Cho hàm số
3
y=x − x m+ Gọi S tập hợp tất giá trị tham số
thực m cho
[ 0;2 ] [ 0;2 ]
ma
min y + x y =6 Số phần tử S
A 0 B 6 C 1 D 2
Lời giải
Chọn D
Xét hàm số [ ]
3 , 0;
y=x − x+m x∈
'
3
1( ) x y x x l = = − = ⇔ = −
Ta có: y( )0 =m y; ( )1 = −m 2;y( )2 = +m
Suy ra: [ ] [ ]
0;2 0;2
miny= −m 2; maxy= +m TH 1: (m+2)(m−2)≤ ⇒ − ≤ ≤0 m
[ 0;2 ]
min y
⇒ = , { }
[ 0;2 ]
2 max y = m−2;m+
[ 0;2 ] [ 0;2 ]
0
min ,
2
max m
y y m
m
+ − =
⇒ + = ⇔ + = ⇔ = ±
(8)TH 2: m− > ⇔ >2 m
[ 0;2 ]
min y m m
⇒ = − = − ,
[ 0;2 ]
2 max y = +2 m = +m
[ 0;2 ] [ 0;2 ]
min y max y m m m 3( /t m)
⇒ + = ⇔ − + + = ⇔ =
TH 3: 2+ < ⇔ < −m m
[ 0;2 ]
min y m m;
⇒ = + = − − ( )
[ 0;2 ]
2
m xa y = − +m = − − +m = −2 m
[ 0;2 ] [ 0;2 ]
min y max y m m m 3( /t m)
⇒ + = ⇔ − − + − = ⇔ = −
Vậy có số ngun thỏa mãn
Ví dụ mẫu 2: (Sở Phú Thọ 2020) Cho hàm số ( )
2
f x =x − x +m (m tham số thực) Gọi
S tập hợp tất giá trị nguyên m thuộc đoạn [−20; 20] cho
[ ]0;2 ( ) [ ]0;2 ( )
max f x <3 f x Tổng phần tử S
A 63 B 51 C 195 D 23
Lời giải
Chọn A
Xét hàm số ( )
2
f x =x − x +m đoạn [ ]0;
Ta có: ( )
4
f′ x = x − x ; ( ) 4 0
x
f x x x
x
=
′ = ⇔ − = ⇔
=
( )1 1; ( )2 8; ( )0
f = −m f = +m f =m
[ ]0;2 ( ) [ ]0;2 ( )
max f x = +m 8; f x = −m
+) Nếu m− ≥ ⇔ ≥1 m
[ ]0;2 ( )
max f x = +m 8,
[ ]0;2 ( )
min f x = −m Khi đó:
[ ]0;2 ( ) [ ]0;2 ( ) ( )
11
max
2
f x < f x ⇔ + <m m− ⇔ >m
+) Nếu m+ ≤ ⇔ ≤ −8 m
[ ]0;2 ( )
max f x = −1 m,
[ ]0;2 ( )
min f x = − −m
Khi đó: [ ] ( ) [ ] ( ) ( )
0;2 0;2
25
max
2
f x < f x ⇔ − < − − ⇔ < −m m m
+) Nếu (m−1)(m+ < ⇔ − < <8) m
[ ]0;2 ( ) { } { } [ ]0;2 ( )
max f x =max m+8 ,m−1 =max m+8,1−m >0; f x =0 Khi đó, khơng thỏa điều kiện
[ ]0;2 ( ) [ ]0;2 ( )
max f x <3 f x
Do đó:
25 11
2
m
m
< − >
kết hợp với m∈ −[ 20; 20] ta có 20; 25 11; 20
2
m∈ − − ∪
(9)Mà m∈ ⇒ = −z S { 20; 19; 18; ; 13; 6; 7; , 20− − − }
Tổng phần tử S 10 11 12+ + + + + + =63
Ví dụ mẫu 3: Cho hàm số ( )
1
+
= =
−
x m y f x
x Tính tổng giá trị tham số mđể
[ ]2;3 ( ) [ ]2;3 ( )
max f x −min f x =2
A −4 B −2 C −1 D −3
Lờigiải Chọn A
Hàm số ( )
1
+
= =
−
x m y f x
x xác định liên tục đoạn [ ]2;3
Với m= −2, hàm số trở thành
[ ]2;3 ( ) [ ]2;3 ( )
2 max
= ⇒ = =
y f x f x (không thỏa)
Với m≠ −2, ta có
( )2
2
m y
x
− − ′ =
−
Khi hàm sốln đồng biến nghịch biến [ ]2;3 Suy [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( )
[ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( )
2;3 2;3
2;3 2;3
max ;
max ;
f x f f x f
f x f f x f
= =
= =
Do đó: [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )
2;3 2;3
6
max
2
m m
f x − f x = f − f = + − +m = +
Theo giả thiết [ ] ( ) [ ] ( )
2;3 2;3
2
max 2
6
m m
f x f x
m
= +
− = ⇔ = ⇔
= −
Vậy tổng giá trị tham số mthỏa mãn yêu cầu toán là: −4
Bài tập tự luyện
Câu 1.Cho hàm số
2 ,
f x x x m (m tham số thực) Gọi S tập hợp tất
giá trị nguyên m∈ −[ 10;10] cho
[ ]1;2 ( ) [ ]1;2 ( )
max f x +min f x ≥10 Số phần S
(10)Lời giải Xét hàm số
2
f x x x m, hàm số liên tục đoạn 1;
Ta có:
4 0, 1;
f x x x x hàm số f x đồng biến đoạn 1; ,
do [ ] ( ) [ ] ( )
1;2 1;2
max f x = +m 8; f x = −m
TH 1: m− ≥ ⇒ ≤ ≤1 m 10
[ ]1;2 ( ) [ ]1;2 ( )
max f x = +m 8; f x = −m
Khi đó:
[ ]1;2 ( ) [ ]1;2 ( ) { }
3
max 10 10 2;3; 4; 10
2
f x + f x ≥ ⇔ + + − ≥m m ⇒ ≥ ⇒ ∈m m ,
⇒ trường hợp có số nguyên
TH 2: m+ ≤ ⇒ − ≤ ≤ −8 10 m
[ ]1;2 ( ) [ ]1;2 ( )
max f x = − +m 1; f x = − −m
Khi đó:
[ ]1;2 ( ) [ ]1;2 ( ) { }
17
max 10 10 10 10;
2
f x + f x ≥ ⇔ − + − − ≥m m ⇒ − ≤ ≤m − ⇒ ∈ −m −
⇒ trường hợp có số nguyên
TH 3: − < <8 m 1,
[ ]1;2 ( ) [ ]1;2 ( )
7
1
2
min 0; max ;
7
8
2
m khi m
f x f x
m khi m
− − + − < ≤
= =
−
+ < <
Do m số nguyên nên:
[ ]1;2 ( ) [ ]1;2 ( )
1 10,
max 10
8 10,
m khi m
f x f x
m khi m
− + ≥ − < ≤ −
+ ≥ ⇔
+ ≥ − < <
;
⇒ không tồn m thỏa mãn
Vậy số phần tử tập S 11
Câu Cho hàm số
2 ,
f x x x m (m tham số thực) Biết
[ ]1;2 ( ) [ ]1;2 ( )
max f x = p; f x =q S tập hợp tất giá trị nguyên m∈ −[ 10;10] cho
bộ ba sốp q, ,19 độ dài ba cạnh tam giác Số phần tử tập S
A 5. B 10. C 4. D 21.
Lời giải Xét hàm số
2
(11)Ta có:
4 0, 1;
f x x x x hàm số f x đồng biến đoạn 1; ,
do [ ] ( ) [ ] ( )
1;2 1;2
max f x = +m 8; f x = −m 1, suy q< <p 19;∀ ∈ −m [ 10;10]
Hay YCBT 19
,
p q
p q
+ >
⇔ >
TH 1: m− > ⇒ < ≤1 m 10, p= +m 8; q= −m
Yêu cầu toán ⇔ + >p q 19⇔ + + − >m m 19⇒ > ⇒ ∈m m {7;8;9;10},
⇒ trường hợp có số nguyên
TH 2: m+ < ⇒ − ≤ < −8 10 m p= − +m 1;q= − −m
Yêu cầu toán ⇔ + >p q 19⇔ − + − − >m m 19⇒m< −13
⇒ trường hợp không tồn m∈ −[ 10;10] thỏa mãn
TH 3: − < <8 m 1, q=0; ⇒ khơng thỏa mãn YCBT
Vậy số phần tử tập S
Câu Cho hàm số ( )
2
f x =x −x + − −x m (m tham số thực) Gọi 𝑆𝑆 tập hợp tất
giá trị 𝑚𝑚 cho
[ ]0;3 ( ) [ ]0;3 ( )
max f x +min f x =16 Tổng phần tử 𝑆𝑆
A 3 B 17 C 34 D 31
Lời giải
Chọn B
Xét hàm số ( )
2
f x =x −x + − −x m , đoạn [ ]0;3
ta có ( )
3 0,
f′ x = x − x+ > ∀ ∈x
Ta có f ( )0 = − −m 2; f ( )3 = − +m 19
Trường hợp 1: ( )( ) [ ]
[ ] { }
0;3 0;3
min ( )
2 19 19
max ( ) max , 19
f x
m m m
f x m m
=
+ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇒
= + −
(12)[ ] [ ]
0;3 0;3
17
max ( ) 2, 19
2
17
max ( ) 19 , -2 m<
2
f x m m
f x m
= + ≤ ≤
⇒
= − ≤
Vậy
[ ]0;3 ( ) [ ]0;3 ( )
max f x +min f x =16
17
2 16, 19
2
17
19 16, m<
2
m m
m
+ = ≤ ≤
⇒
− = ≤
14
m m
= ⇒ =
Trường hợp 2: (m+2)(m−19)>0 19
2
m m
> ⇔ < −
Suy [ ] [ ]
0;3 0;3
1
( )
2
min ( ) max ( ) 19 17 16
33
( )
2
m KTM
f x f x m m m
m KTM
=
+ = + + − = − = ⇔
=
Vậy S={3; 14}
Câu Cho hàm số
2
y= x − x +x +m Tổng tất giá trị tham số m để
[ 1; 2] [ 1; 2]
miny maxy 20
− + − =
A −10 B −4 C 20 D −21
Lời giải
Chọn B
Xét
( )
f x =x − x +x +m trênđoạn [−1; 2]
3
'( ) ; '( ) 0; 1;
2
f x x x x f x x x x
⇒ = − + = ⇔ = = =
Ta có : (0) ; (1) ; 1 ; ( )1 ( )2
2 16
f =m f =m f = +m f − = f = +m
Suy [ ] ( )
[ ] ( ) ( )
1; 1;
max ( )
min ( )
f x f m
f x f f m
− −
= = +
= = =
TH1 : Nếu m≥ ⇒0
4 20
m
m m m
≥
⇔ = + + =
TH2 : Nếu m≤ − ⇒4 ( 4) 12
4 20
m
m
m m
≤ −
⇔ = − − + − =
(13)TH3 : Nếu
[ 1; 2] [ 1; 2] { } { }
4 m miny 0; maxy max m , m max m 4, m
− −
− < < ⇒ = = + = + −
Suy
[ 1; 2] [ 1; 2]
miny maxy 20 20
− + − < < + = không thỏa mãn
Vậy tổng giá trị m −4
Câu Cho hàm số ( )
2
x m f x
x
− =
+ ( m tham số thực ) Gọi Slà tập hợp tất giá trị m cho
[ ]0;2 ( ) [ ]0;2 ( )
max f x +2 f x ≥4 Hỏi đoạn [−30;30] tập S có số
nguyên?
A 53 B 52 C 55 D 54
Lời giải
Chọn A Ta có: ( )
( )2
4 '
2
m f x
x
+ =
+
+ Nếu m= −4 f x( )=2 thỏa mãn
[ ]0;2 ( ) [ ]0;2 ( )
max f x +2 f x ≥4
+ Xét m≠ −4 Ta có ( )0 ; ( )2
2
m m
f = − f = −
* TH1: 0
2
m m
m
− − ≤ ⇔ ≤ ≤
Khi
[ ]0;2 ( )
min f x =0
[ ]0;2 ( )
4 max
4
m
f x = −
[ ]0;2 ( )
max
2
m f x =
Theo giả thiết ta phải có
4
4
12
8
2
m
m
m m
−
≥
≤ −
⇔
≥ ≥
( loại)
• TH2:
+ Xét − < <4 m 0: hàm số f x( ) đồng biến, ( )0 0; ( )2
2
m m
f = − > f = − >
nên
[ ]0;2 ( ) [ ]0;2 ( )
4 12
max 4
4
m m
f x + f x ≥ ⇔ − + − ≥ ⇔ ≤ −m
(14)Vậy 12
m m
− < ≤ − ⇒ = −
+ Xét m< −4: hàm số f x( ) nghịch biến, ( )0 0; ( )2
2
m m
f = − > f = − >
nên
[ ]0;2 ( ) [ ]0;2 ( )
4
max 4
2
m m
f x + f x ≥ ⇔ − + − ≥ ⇔ ≤ −m
Vậy m< −4 + Xét m>4: hàm số f x( ) đồng biến, ( )0 ( )2
2
m m
f = − < f = − < nên
[ ]0;2 ( ) [ ]0;2 ( )
4
max 4
2
m m
f x + f x ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ ≥m
Vậy m≥6 Tóm lại: ; 12 [6; )
5
m∈ −∞ − ∪ +∞
Nên [−30;30], tập Scó 53 số ngun Dạng 3: Tìm tham số để GTLN hàm số y= f x( )+g m( ) đoạn [ ]a b; đạt giá trị nhỏ
Ghi nhớ:
• max{ ; }
α β
α β ≥ + , dấu xảy ⇔ =α β
• α + β ≥ +α β , dấu xảy ⇔α β ≥0
Cụ thể
- Bước 1: Tìm
[ ]; ( ) [ ]; ( )
max ;
a b
a b f x f x
α = β =
- Bước 2: Gọi M giá trị lớn y= f x( )+g m( )thì
+)
( ) ( )
{ } ( ) ( ) ( ) ( )
max ; ,
2
M = α +g m β+g m ≥ α +g m + +β g m = α+g m + − −β g m
dấu xảy ⇔α +g m( ) = β +g m( )
+) Áp dụng bất đẳng thức ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
g m g m g m g m
α + + − −β α+ − −β α β−
≥ = ,
(15)- Bước 3: Kết luận
2
M = α β− ( )
g m = − −α β
Ví dụ mẫu 1:Biết giá trị lớn hàm số
2
y= x + x+ −m đoạn [−2;1] đạt
giá trị nhỏ nhất, giá trị tham số m
A 1 B 3 C 4 D 5
Lời giải
Chọn B Đặt ( )
2
f x =x + x
Ta có: f′( )x =2x+2; f′( )x = ⇔ = − ∈ −0 x ( 2;1)
( )2 0; ( )1 3; ( )1
f − = f = f − = −
Do
[ 2;1] ( ) [ 2;1] ( ) max f x 3; f x
−
− = = −
Suy ra:
[ 2;1] { }
5
max max ;
2
m m m m
y m m
−
− + − − + −
= − − ≥ ≥ =
Dấu xảy
( )( )
5
3
5
m m
m
m m
− = −
⇔ ⇒ =
− − ≥
( thỏa mãn)
Ví dụ mẫu 2:Để giá trị lớn hàm số
2
y= x−x − m+ đạt giá trị nhỏ
m
A
2
m= B
3
m= C
3
m= D
2
m= Lời giải
Chọn A
Tập xác định: D=[ ]0;
Đặt
( ) ,
f x = x−x x∈D, ta có
2
1
'( ) ; '( )
2
x
f x f x x
x x
−
= = ⇔ =
−
( )0 0; ( )2 0; ( )1
(16)Suy ra: max max 3{ ; 5}
D
m m
P= y= m− m− ≥ − + −
5 3
2
m m
− + −
≥ =
Dấu xảy
( )( )
3
5 3
m m
m m
− = −
⇔ ⇒
− − ≥
3
m= ( thỏa mãn)
Suy giá trị lớn hàm số nhỏ
2
m=
Bài tập tương tự
Câu Để giá trị lớn hàm số
3
y= x − x+ m− đoạn [ ]0; nhỏ Giá
trị m thuộc khoảng?
A [−1; 0] B ( )0;1 C 2;
D
3 ;
− −
Lời giải
Chọn B
Đặt ( )
3
f x =x − x− + m đoạn [ ]0;
( ) [ ]
[ ]
2 0;
3
1 0;
x
f x x
x
= − ∉ ′ = − = ⇔
= ∈
( )0 , ( )1 , ( )2
f = − + m f = − + m f = + m
nên ta có [ ] { }
0;2
maxy=max 2m−3 ; 2m+1 Ta có:
[ 3;1]
2 3
max
2
m m m m
y
−
+ + − + + −
≥ ≥ =
Dấu m=2
Câu Để giá trị lớn hàm số ( )
12
f x = x − x+ +m đoạn [ ]1;3 đạt nhỏ
Giá trị m
A 23
2 B
7
2 C
23
− D
2
−
Lời giải
(17)Gọi M giá trị lớn hàm số f x( ) [ ]1;3
+) Xét ( )
12
g x =x − x+ +m [ ]1;3
( )
3 12
g x′ = x − ; ( ) 12 ( ) ( )
x n
g x x
x l
=
′ = ⇔ − = ⇔
= −
+) Ta có: ( )1 10
f = m− ; f ( )2 = m−15; f ( )3 = m−8
[ ]1;3 ( ) { }
max max ; 15
x∈ f x M m m
⇒ = = − −
8 15
M m
M m
≥ −
⇒
≥ −
2M m m 15 m 15 m m 15 m
⇒ ≥ − + − = − + − ≥ − + − ≥
7
M
⇒ ≥
Dấu “=” xảy
( )( )
8 15 23
2
8 15
m m
m
m m
− = −
⇔ ⇔ =
− − ≥
Vậy 23
2