Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu, đồng thời khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.. A.?[r]
(1) Baøi 02
CỰC TRỊ CỦA HAØM SỐ
Giả sử hàm số y= f x( ) xác định liên tục khoảng (a b; ) (a
- ¥ , b cú th l +Ơ ) v x0ẻ (a b; ).
1 Định lí 1
Nếu tờn tại số h cho f x( )<f x( )0 vi moi xẻ (x0- h x; 0+h) v xạ x0 thì
ta nói hàm số f x( ) đạt cực đại tại điểm x0. Khi đó:
x0 gọi điểm cực đại hàm số f x( )
f x( )0 gọi giá trị cực đại hàm số f x( )
Nếu tồn tại số h cho f x( )>f x( )0 với moi xẻ (x0- h x; 0+h) v xạ x0 thỡ
ta nói hàm sớ f x( ) đạt cực tiểu tại điểm x0. Khi đó:
x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f x( )
f x( )0 gọi giá trị cực tiểu hàm số f x( )
Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số điểm cực trị phải điểm tập xác định K
Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị (hay cực
trị).
2 Chú ý
Giá trị cực đại (cực tiểu) f x( )0 hàm số f nói chung khơng phải giá trị
lớn (giá trị nhỏ nhất) hàm số f tập xác định K mà f x( )0 là
giá trị lớn (giá trị nhỏ nhất) hàm số f khoảng (a b Ì, ) K (a b, ) chứa x0
Nếu f x¢( ) khơng đổi dấu tập xác định K hàm số f hàm số f khơng có cực trị
Nếu x0 điểm cực trị hàm số f người ta nói hàm số f đạt
cực trị điểm x0 điểm có tọa độ (x f x0; ( )0 ) gọi điểm cực trị của
(2)3 Định lý 2
● ( )
( )
0
0
'
''
f x
x f x
ìï =
ù ắắđ
ớù <
ùợ điểm cực đại f x( ) .
● ( )
( )
0
0
'
''
f x
x f x
ìï =
ï ắắđ
ớù >
ùợ l im cc tiểu f x( ) .
4 Phương trình đường thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số bậc ba y=f x( )=ax3+bx2+ +cx d y mx n= + ,
mx n+ dư thức phép chia f x( ) cho f x'( ).
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu Cho hàm số f x( ) xác định, liên tục có đạo hàm khoảng (a b; ) Mệnh đề sau sai?
A Nếu f x( ) đồng biến (a b; ) hàm số khơng có cực trị (a b; )
B Nếu f x( ) nghịch biến (a b; ) hàm số khơng có cực trị (a b; )
C Nếu f x( ) đạt cực trị điểm x0Ỵ (a b; ) tiếp tuyến đồ thị hàm số
tại điểm M x f x( 0; ( )0) song song trùng với trục hoành.
D Nếu f x( ) đạt cực đại x0Ỵ (a b; ) f x( ) đồng biến (a x; 0) và
nghịch biến (x b0; ).
Lời giải Các Mệnh đề A, B, C theo định nghĩa SGK.
Xét mệnh đề D Vì mệnh đề chưa rõ ngồi x0Ỵ (a b; ) cực đại của
( )
f x cịn có cực trị khác hay khơng Nếu có thêm điểm cực đại (hoặc cực tiểu khác) tính đơn điệu hàm bị thay đổi theo
Có thể xét ví dụ khác: Xét hàm f x( )=x4- 2x2, hàm số đạt cực đại
( )
0 2;
x = Î - , hàm số không đồng biến (- 2;0) không nghịch biến (0;2 ) Chọn D
Câu Cho khoảng (a b; ) chứa điểm x0, hàm số f x( ) có đạo hàm khoảng
(a b; ) (có thể trừ điểm x0) Mệnh đề sau đúng?
A Nếu f x( ) đạo hàm x0 f x( ) khơng đạt cực trị x0
B Nếu f x ='( )0 0 f x( ) đạt cực trị điểm x0
C Nếu f x ='( )0 0 f x =''( )0 0 f x( ) không đạt cực trị điểm x0
D Nếu f x ='( )0 0 f x ¹''( )0 0 f x( ) đạt cực trị điểm x0
Lời giải Chọn D theo định lí SGK Các mệnh đề sau sai vì:
Mệnh đề A sai, ví dụ hàm y= x khơng có đạo hàm x =0 đạt cực tiểu x =0
(3)Mệnh đề C sai, ví dụ hàm y x= có ( )
( )
' 0
'' 0
f f
ìï =
ïí
ï =
ïỵ x =0 điểm cực tiểu
của hàm số
Câu Phát biểu sau đúng?
A Nếu f x'( ) đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x0 f x( ) liên
tục x0 hàm số y= f x( ) đạt cực đại điểm x0.
B Hàm số y= f x( ) đạt cực trị x0 x0 nghiệm của
( )
'
f x =
C Nếu f x ='( )0 0 f x =''( )0 0 x0 khơng điểm cực trị hàm số
( ) y=f x .
D Nếu f x ='( )0 0 f x >''( )0 0 hàm số đạt cực đại x0.
Lời giải Chọn A theo lý thuyết SGK Các mệnh đề sau sai vì:
Mệnh đề B thiếu điều kiện f x'( ) đổi dấu qua x0.
Mệnh đề C sai, ví dụ hàm y x= có ( )
( )
' 0
'' 0
f f
ìï =
ïí
ï =
ïỵ x =0 điểm cực tiểu
của hàm số
Mệnh đề D sai Sửa lại cho ''Nếu f x ='( )0 0 f x >''( )0 0 hàm số
đạt cực tiểu x0''.
Câu Cho hàm số y= f x( ) liên tục khoảng (a b; ) x0 điểm
khoảng Khẳng định sau đúng?
A Nếu f x'( ) x0 x0 điểm cực trị hàm số
B Nếu dấu f x'( ) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 x0 là
điểm cực đại đồ thị hàm số
C Nếu dấu f x'( ) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 x0
điểm cực tiểu hàm số
D Nếu dấu f x'( ) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 x0 là
điểm cực tiểu đồ thị hàm số
Lời giải Mệnh đề A sai (phải thêm điều kiện f x'( ) đổi dấu qua x0)
Mệnh đề B sai Sửa lại cho ''Nếu dấu f x'( ) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 x0 điểm cực đại hàm số''
Mệnh đề C đúng, từ hiểu rõ D sai (Phân biệt điểm cực tiểu của
hàm số điểm cực tiểu đồ thị hàm số) Chọn C.
Câu Giả sử hàm số y=f x( ) có đạo hàm cấp hai khoảng (x0- h x; 0+h), với h>0. Khẳng định sau sai?
A Nếu f x ='( )0 0 f x >''( )0 0 x0 điểm cực tiểu hàm số
B Nếu f x ='( )0 0 f x <''( )0 0 x0 điểm cực đại hàm số
C Nếu f x ='( )0 0 f x =''( )0 0 x0 khơng điểm cực trị hàm số
D Nếu f x ='( )0 0 f x =''( )0 0 chưa kết luận x0 có điểm cực trị
của hàm số
Lời giải Chọn C.
Câu (ĐỀ MINH HỌA 2016 - 2017) Giá trị cực đại yCD hàm số 3 2
(4)A y =CD 4 B y =CD 1. C y =CD 0 D y =-CD
Lời giải Ta có
2
' 3
1
x y
y x
x y
é =- Þ =
ê
= - = Û ê = Þ =
ë
Do giá trị cực đại hàm số y =CD 4 Chọn A.
Câu Tìm điểm cực trị x0 hàm số y=x3- 5x2+3x+1.
A x =-0
1
x
=- B x =0
10
x =
C x =0 0
10
x
=- D x =0 3
1
x =
Lời giải Ta có
2
3
' 10 3; ' 10 1
3
x
y x x y x x
x
é = ê ê
= - + = Û - + = Û
ê = ê
ë Chọn D.
Câu Tìm điểm cực đại x0 hàm số y=x3- 3x+1
A x =-0 B x =0 C x =0 D x =0
Lời giải Ta có
( ) ( )
( )
2 1
' 3 ; '
1 1
x y
y x x y
x y
é =- ® - =
ê
= - = - = Û ê
= ®
=-ê ë
Vậy hàm số đạt cực đại x=- 1 Chọn A.
Câu Tìm điểm cực trị đồ thị hàm số y x= 3- 3x2
A (0;0) (1; 2- ) B (0;0) (2;4)
C (0;0) (2; 4- ) D (0;0) (- 2; 4- )
Lời giải Ta có ( )
2 0
' ; '
2
x y
y x x x x y
x y
é = ® = ê
= - = - = Û ê = ®
=-ë Chọn C.
Câu 10 Biết hàm số y x= 3+4x2- 3x+7 đạt cực tiểu xCT Mệnh đề
nào sau đúng?
A CT
1
x =
B x =-CT 3 C CT
1
x
=- D x =CT 1
Lời giải Ta có
2
3
' 3; '
3
x
y x x y
x
é =-ê ê
= + - = Û
ê = ê ë
Vẽ bảng biến thiên, ta kết luận CT
1
x =
Chọn A
Câu 11 Gọi yCD, yCT giá trị cực đại giá trị cực tiểu hàm số 3
y x= - x Mệnh đề sau đúng?
A yCT =2yCD B CT CD
3
y = y
C yCT=yCD D yCT =- yCD.
Lời giải Ta có
( ) ( )
2 1
' 3; '
1
x y
y x y
x y
é = ®
=-ê
= - = Û ê
=- ® - =
ê
ë Do yCT =- yCD Chọn
D.
Câu 12 Gọi y y1, 2 giá trị cực đại giá trị cực tiểu hàm số 3 9 4
y x= - x - x+ Tính P=y y1 .2
A P =- 302 B P =- 82 C P =- 207 D P =25
Lời giải Ta có
( ) ( )
2 3 23
' 9; '
1
x y
y x x y
x y
é = ®
=-ê
= - - = Û ê
=- ® - =
(5)Suy P=y y1 2=9 23(- )=- 207 Chọn C.
Câu 13 Tính khoảng cách d hai điểm cực trị đồ thị hàm số ( ) ( )2
1
= +
-y x x .
A d =2 B d =2 C d =4 D d =5
Lời giải Ta có ( ) ( ) ( ) ( )
2
'= - + +1 - =3 -
y x x x x x ;
0
'
2
x y
y
x y
é = ® = ê
= Û ê = ® =ë
Khi đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A(0;4) B(2;0) Suy raAB=2 5 Chọn A.
Câu 14 Cho hàm số ( ) ( )
2 3
=
-f x x
Giá trị cực đại hàm số f x'( ) bằng:
A - B
1
2 C D 9.
Lời giải Ta có f x( )=x4- 6x2+ ắắ9 đf x'( )=4x3- 12x Tớnh f x''( )=12x2- 12; ''f x( )= Û0 x= ±1
Vẽ bảng biến thiên, ta thấy f x'( ) đạt cực đại x=- 1, giá trị cực đại
( )
'
f - = .
Chọn C.
Nhận xét Rất nhiều học sinh đọc đề khơng kỹ tìm giá trị cực đại hàm số ( )
f x dẫn tới chọn đáp án D.
Câu 15 Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm
số y=- 2x3+3x2+1
A y x= - B y x= +1 C y=- +x D y=- -x
Lời giải Ta có
2
6 ;
1
x y
y x x y
x y
é = Þ =
ờ
Â=- + Â= = ị =
ë
Suy đồ thị hàm số hai điểm cực trị A(0;1) B(1;2)
Khi đó, đường thẳng qua hai điểm cực trị đường thẳng AB có phương trình y x= +1. Chọn B.
Cách Lấy y chia cho y', ta
1 1
3
y ổỗx ửữy x
= ỗỗố - ÷÷ø + +
Suy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị phần dư phép chia, y x= +1
Câu 16 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm giá trị thực tham số m để đường thẳng d y: =(2m- 1)x+ +3 m vng góc với đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y x= 3- 3x2+1
A
1
m=-B
3
m=
C
1
m=
D
3
m=
Lời giải Xét hàm y x= 3- 3x2+1, có
( ) ( )
2 0
3
2
x y
y x x y
x y
é = ® =
ê
Â= - ắắđ Â= ờ
= đ
=-ê ë
Suy A(0;1 ,) B(2; 3- ) hai điểm cực trị đồ thị hàm số Suy đường thẳng AB có VTCP AB =(2; 4- )ắắđ
uuur
VTPT n =AB (2;1 )
uuur
Đường thẳng d y: =(2m- 1)x+ +3 m có VTCP nd=(2m- 1; - )
(6)Ycbt ( )
3
2 1
4
AB d
n n m m
Û uuur uur= Û - - = Û =
Chọn D.
Câu 17 Cho hàm số y=- x4+2x2+3 Mệnh đề sau đúng?
A Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại khơng có điểm cực tiểu
B Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu khơng có điểm cực đại
C Đồ thị hàm số có 1 điểm cực đại điểm cực tiểu
D Đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu điểm cực đại
Lời giải Ta có
( )
3
0
' 4 ; '
1
x
y x x x x y x
x
é = ê ê
=- + =- - = Û ê=
ê =-ë
Vẽ phát họa bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có điểm cực tiểu điểm cực đại Chọn D.
Cách Ta có
1
0
a
ab b
ỡ
=-ùù ắắđ < ắắđ
ớù =
ïỵ đồ thị hàm số có ba điểm cực trị.
Vì a=- <1 nên đồ thị có dạng chữ M Từ suy đồ thị hàm số có điểm
cực tiểu điểm cực đại
Câu 18 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Đường
cong hình bên đồ thị hàm số
4
y ax= +bx +c với a b c, , số thực Mệnh đề ?
A Phương trình y¢=0 vơ nghiệm tập số thực
B Phương trình y¢=0 có nghiệm thực
C Phương trình y¢=0 có hai nghiệm thực phân biệt
D Phương trình y¢=0 có ba nghiệm thực phân biệt
Lời giải Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số có ba im cc tr ắắđ
phng trỡnh yÂ=0 cú ba nghiệm thực phân biệt với a b c, , số thực Chọn D.
Câu 19 Tính diện tích S tam giác có ba đỉnh ba điểm cực trị đồ thị hàm số f x( )=x4- 2x2+3
A S =2 B S =1 C S =4 D
1.
S =
Lời giải Ta có
( ) ( ) ( )
( )
3 0
' 4 '
1
x f
f x x x f x
x f
é = ® =
ê
= - ¾¾® = Û ê
= ± ® ± =
ê ë
Suy đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A(0;3 , 1;2 , ) B( ) C -( 1;2)
Gọi H trung điểm
(0;2)
H BC
AH BC
ỡùù ắắđớù
^
ïỵ Khi
1 . 1.
2
S= BC AH=
Chọn B.
(7)Hỏi hàm số y= f x( ) có điểm cực trị?
A 2. B 1. C 3. D 0.
Lời giải Nhận thấy y' đổi dấu qua x =- x =2 nên hàm số có điểm cực trị (x =1 điểm cực trị y' khơng đổi dấu qua x =1)
Chọn A.
Câu 21 Cho hàm số y= f x( ) xác định, liên tục ¡ có bảng biến thiên sau:
x - ¥ - 1 0 1
+¥
'
y - 0 + P - 0 +
y +¥
+¥
-
- - Khẳng định sau đúng?
A Hàm số có ba giá trị cực trị. B Hàm số có ba điểm cực trị C Hàm số có hai điểm cực trị.
D Hàm số đạt cực đại điểm x =1
Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số, ta có nhận xét sau:
Hàm số có ba điểm cực trị, gồm điểm x=- 1,x=1,x=0 đạo hàm y¢ đổi dấu qua điểm
Hàm số đạt cực đại x =0, đạt cực tiểu x = ±1
Chọn B (đáp án A sai hàm số có hai giá trị cực trị y =-CD CT
y =- Nói đến đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là
(0; , ) ( 1;4 , 1; ) ( ) A - B - C - )
Câu 22 Cho hàm số y=f x( ) liên tục x0 có bảng biến thiên sau:
Mệnh đề sau đúng?
A Hàm số có hai điểm cực đại, điểm cực tiểu. B Hàm số có điểm cực đại, khơng có điểm cực tiểu. C Hàm số có điểm cực đại, hai điểm cực tiểu. D Hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu.
Lời giải ● Tại x=x2 hàm số y= f x( ) không xác định nên không đạt cực trị
tại điểm
● Tại x=x1 dễ thấy hàm số đạt cực đại điểm này.
● Tại x=x0, hàm số đạo hàm x0 liên tục x0 hàm số
vẫn đạt cực trị x0 theo bảng biến thiên cực tiểu.
(8)Câu 23 Cho hàm số y= f x( ) xác định liên tục ¡ \ x{ }1 , có bảng biến
thiên sau:
Khẳng định sau đúng?
A Hàm số cho có điểm cực tiểu khơng có điểm cực đại. B Hàm số cho khơng có cực trị.
C Hàm số cho có điểm cực đại điểm cực tiểu. D Hàm số cho có điểm cực đại khơng có điểm cực tiểu Lời giải Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy
f x¢( ) đổi dấu từ " "+ sang " "- qua điểm x1 x1 hàm số
( )
f x không xác định nên x1 điểm cực đại
f x¢( ) đổi dấu từ " "- sang " "+ qua điểm x2 suy x2 điểm cực
tiểu hàm số Chọn A.
Câu 24* Cho hàm số y=f x( ) có bảng biến thiên sau:
Hàm số y= f x( ) có điểm cực trị ?
A 5 B 3 C 4 D 2
Lời giải Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số y= f x( ) cắt trục hoành điểm đồ thị hàm số y= f x( ) có hai điểm cực trị suy đồ thị hàm số y= f x( ) có 3 điểm cực trị Chọn B.
Câu 25 Cho hàm số y= f x( ) liên tục ¡ có đồ thị hình bên Hỏi hàm số có điểm cực trị?
A B 1.
C D 2.
Lời giải Dễ nhận thấy hàm số có điểm cực trị điểm cực tiểu x =1
Xét hàm số f x( ) khoảng
1 1; 2
ổ ửữ
ỗ- ữ
ỗ ữ
ỗố ứ, ta cú f x( )<f( )0 với mọi
1;0 0;1
2
xẻ -ỗổỗốỗ ổ ửữứ ốữữẩỗỗỗ ứữữữ
Suy x =0 điểm cực đại hàm số Vậy hàm số có điểm cực trị Chọn D.
y x
'
y- ¥ - 1 +¥
5 +¥
1 - ¥
+
(9)Câu 26 Hàm số y=f x( ) liên tục ¡ có đồ thị hình bên Hỏi hàm số có điểm cực trị?
A 3
B 2
C 1
D 0 x
y
O
Lời giải Dễ nhận thấy đồ thị hàm số có hai điểm cực trị đối xứng qua
Oy
Vấn đề nằm chỗ điểm có đồ thị gấp khúc có phải điểm cực trị đồ thị hàm số hay không? Câu trả lời có (tương tự lời giải thích câu 25)
Vậy hàm số cho có điểm cực trị, gồm điểm cực tiểu điểm cực đại
Chọn A.
Câu 27 Cho hàm số y= f x( ) liên tục ¡ có đồ thị hình bên Hỏi hàm số có điểm cực trị?
A B 3. C 4. D 5.
Lời giải Chọn D.
Câu 28 Cho hàm số y= f x( ) liên tục ¡ có đồ thị hình bên Hỏi hàm số có điểm cực trị?
A B 3. C 4. D 5.
Lời giải Chọn D.
Câu 29 (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 –
2017) Cho hàm số y=f x( ) xác định, liên tục đoạn [- 2;2] có đồ thị đường cong hình vẽ bên Hàm số f x( ) đạt cực đại điểm ?
A x =- B x =-
C x =1 D x =2
x
2
-2
y
1
O
-1
-2
-4
Lời giải Chọn B.
Câu 30 Hỏi hàm số y=3x2 có tất điểm cực trị?
A Có hai điểm cực trị. B Có điểm cực trị. C Khơng có điểm cực trị. D Có vơ số điểm cực trị.
Lời giải Hàm số xác định R có đạo hàm
2
' ,
3
y x
x
(10)Ta có
' 0,
'
' 0,
y x
y
y x
ộ > " >
ờ ắắđ
ê < " <
ë đổi dấu qua x =0.
Vậy x =0 điểm cực tiểu hàm số Chọn B.
Câu 31 Hỏi hàm số
3
3
y=x - x+
có tất điểm cực trị?
A Khơng có điểm cực trị. B Có điểm cực trị. C Có hai điểm cực trị. D Có ba điểm cực trị. Lời giải TXĐ: D= ¡
Ta có
3
3
3 1, 3,
'
3 1, 3,
x x x x x
y y
x x x x x
ì ì
ï - + ³ ù - >
ù ù
=ớù ắắđ =ớù
- - + < - - <
ï ï
ỵ ỵ Suy y' 0= Û x=1.
Lập bảng biến thiên ta thấy y' đổi dấu qua x =1 Vậy hàm số có điểm cực trị Chọn B.
Câu 32 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số
3 3 6
y=x - mx + mx m+ có hai điểm cực trị.
A mẻ (0;2) B mẻ - Ơ( ;0) (ẩ 8;+Ơ )
C mẻ - Ơ( ;0) (ẩ 2;+Ơ ) D mỴ (0;8)
Lời giải Ta có ( )
2
' 6 2
y = x - mx+ m= x - mx+ m
Để hàm số có hai điểm cực trị Û x2- 2mx+2m=0 có hai nghiệm phân biệt
2
'
2
m
m m
m
é < ê
Û D = - > Û ê >
ë Chọn C.
Câu 33 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số
3 2017
3
m
y= x +x + +x
có cc tr
A mẻ - Ơ( ;1] B mẻ - Ơ( ;0) (ẩ 0;1)
C mẻ - Ơ( ;0) (ẩ 0;1] D mẻ - Ơ( ;1)
Li giải Nếu m=0 y x= 2+ +x 2017: Hàm bậc hai ln có cực trị Khi m¹ 0, ta có y'=mx2+2x+1
Để hàm số có cực trị phương trình mx2+2x+ =1 có hai nghiệm
phân biệt
0
0
'
m
m m
ì ¹ ïï
Û íï D = - > Û ¹ < ïỵ
Hợp hai trường hợp ta m<1 Chọn D.
Nhận xét Sai lầm thường gặp không xét trường hợp m=0 dẫn đến chọn đáp án B
Câu 34 Biết hàm số ( ) ( )
3 3
y= x a+ + +x b - x có hai điểm cực trị Mệnh
đề sau đúng?
A ab>0 B ab<0 C ab³ D ab£0
Lời giải Ta có ( ) ( )
2 2
' 3 ,
y= x a+ + x b+ - x " Ỵ ¡x .
Có ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
' 0
y= Û x a+ + +x b - x = Û x + a b x a+ + +b = ( )*
Để hàm số cho đạt cực đại, cực tiểu ( )* có hai nghiệm phân biệt
( )2 ( 2)
' a b a b ab
Û D = + - + > Û >
Chọn A.
Câu 35 Tìm giá trị tham số m để hàm số y=(m- 3)x3- 2mx2+3 khơng có cực trị
(11)Lời giải ● Nếu m=3 y=- 6x2+3 Đây Parabol nên ln có cực trị
● Nếu m¹ 3, ta có y' 3= (m- 3)x2- 4mx
Để hàm số có khơng có cực trị y =' có nghiệm kép vô nghiệm
2
' 4m m
Û D = £ Û = Chọn C
Câu 36 Cho hàm số ( ) ( )
3 2
1 3 2 2 3 1 4
3
= - + + + +
-y x m x m m x
Tìm giá trị thực tham số m để hàm số có hai điểm cực trị x =3 x =5
A m=0 B m=1 C m=2 D m=3
Lời giải Ta có ( ) ( )
2
'= - +2 + +3 +1
y x m x m m
Yêu cầu tốn Û y' 0= có hai nghiệm x=3 x=5
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
9 3 2 2 6 4 0
2
2 12 16
25 2
ìï - + + + + = ìï - + =
ïï ï
Û íï Û íï Û =
- + =
- + + + + =
ï ïỵ
ïỵ
m m m m m
m
m m
m m m
Chọn C.
Câu 37 Cho hàm số y=2x3+bx2+ +cx Biết M(1; 6- ) điểm cực tiểu đồ thị hàm số Tìm tọa độ điểm cực đại N đồ thị hàm số
A N(2;21 ) B N -( 2;21 ) C N -( 2;11 ) D N(2;6 ) Lời giải Đạo hàm y¢=6x2+2bx c+ y¢¢=12x+2b
Điểm M(1; 6- ) điểm cực tiểu
( ) ( )
( )
1 2 6
3
1
12
2 12
1
y b c
b
y b c
c b
y
ì ¢
ï = ìï +
=-ï ï
ï ï ì =ï
ï ï ï
Û íï =- Û íï + =- Û íï =-ï
ï ù ợ
ù ÂÂ > ùùợ + > ùợ
Khi y= f x( )=2x3+3x2- 12x+1
Ta có
( ) ( ) ( )
( )
2 21
6 12;
2
f x
f x x x f x
x f
ìï - =
é = ï
ê
 = + -  = Û ờ =- ắắđớù ÂÂ
- <
ë ïỵ
Suy N -( 2;21) điểm cực đại đồ thị hàm số Chọn B
Câu 38 Cho hàm số y ax= 3+bx2+ +cx d Biết M(0;2), N(2; 2- ) điểm cực trị đồ thị hàm số Tính giá trị hàm số x =-2
A y -( 2)=2 B y -( 2)=22 C y -( 2)=6 D y -( 2)=- 18
Lời giải Ta có y¢=3ax2+2bx c+
Vì M(0;2 , ) N(2; 2- ) điểm cực trị đồ thị hàm số nên ( )
( )
0 0
;
12
2
y c
a b c
y
ì ¢
ï = ì =ï
ï Û ï
í í
ï ¢ = ïï + + =
ï ỵ
ỵ ( )1
( ) ( )
0 2
8 2
2
y d
a b c d
y
ìï = ì =ï
ï Û ï
í í
ï =- ïï + + +
=-ï ỵ
ỵ ( )2
Giải hệ ( )1 ( )2 , ta
( )
3
1
3 2 18
0
a b
y x x y
c d
ì = ïï ùù
=-ùù ắắđ = - + ắắđ -
=-íï = ïï ï =
ïïỵ Chọn D.
Câu 39 Biết hàm số y ax= 3+bx2+cx (a¹ 0) nhận x =- điểm cực trị Mệnh đề sau đúng?
(12)Lời giải Ta có y' 3= ax2+2bx c+
Hàm số nhận x =- điểm cực trị nên suy y -' 1( )=0
3a 2b c 3a c 2b
Û - + = Û + = Chọn C.
Câu 40 Cho hàm số ( ) ( )
3
2
1
3
x
y= - m+ x + m - x+
với m tham số thực Tìm tất giá trị m để hàm số đạt cực trị x =-
A m=0 B m=- C m=0, m=-2 D m=0, m=2
Lời giải Ta có y'=x2- 2(m+1)x m+ 2-
u cầu tốn Û y' 0= có hai nghiệm phân biệt x1¹ x2=-
( ) ( )
( )
2
2
'
0
2
'
m m m
m
m m
y m m
ìïD = + - - > ìï + >
ïï ï
Û íï Û íï Û =
+ =
- = + =
ï ïỵ
ïỵ Chọn A.
Câu 41 Biết hàm số y=3x3- mx2+mx- có điểm cực trị x =-1 1.
Tìm điểm cực trị lại x2 hàm số.
A
1
x =
B
1
x =
C
1
x
=- D x2=- 2m-
Lời giải Ta có y' 9= x2- 2mx m+
Để hàm số có hai điểm cực trị Û y' 0= có hai nghiệm phân biệt
2
'
9
m
m m
m
é < ê Û D = - > Û ê >
ë ( )*
Theo giả thiết: y' 1( )- = Û0 3+ m= Û0 m=- (thỏa mãn ( )* )
Với m=-
2
1
' 3; ' 1
3
x
y x x y
x
é =-ê ê
= + - = Û
ê = ê
ë Chọn B.
Câu 42 Cho hàm số ( )
3 3 3 1 3 5
y x= - mx + m- x- m +
với m tham số thực Tìm tất giá trị m để hàm số đạt cực đại x =1
A m=0, m=2 B m=2 C m=1 D m=0
Lời giải Thử đáp án.
● Kiểm tra m=0 hàm số có đạt cực đại x =1 khơng
Và tính x=1- (cho x =0.9) x=1+ (cho x =1.1)
Vậy y' đổi dấu từ âm sang dương qua giỏ tr x= ắắ1 đ =x l im cc tiu
0
m
ắắđ = loi ắắđ ỏp ỏn A hoc D sai.
Tương tự kiểm tra m=2
(13)
Ta thấy y' đổi dấu từ dương sang õm qua giỏ tr x= ắắ1 đ =x l im cc i
2
m
ắắđ = tha ắắđ ỏp ỏn B chớnh xỏc Chọn B.
Câu 43 Cho hàm số ( )
3 2
1 4 5
3
y= x - mx +m - x+
với m tham số thực Tìm tất giá trị m để hàm số đạt cực tiểu điểm x =-
A m=1 B m=-3 C m=1, m=-3 D - £3 m£1
Lời giải Ta có ( )
2
'
y =x - mx+ m -
Vì x =- điểm cực tiểu hàm số
( )
'
3
m
y m m
m
é = ê
ắắđ - = + - =
=-ë
Thử lại ta thấy có giá trị m=- thỏa mãn y' đổi dấu từ '' ''- sang '' ''+ qua
x =- Chọn B
Câu 44 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số
3
4 12
y= x +mx - x đạt cực tiểu điểm x =-2.
A m=- B m=2 C m=9 D Không có m
Lời giải Đạo hàm f x'( )=12x2+2mx- 12 f x''( )=24x+2m
Riêng hàm bậc ba, yêu cầu toán tương đương với
( ) ( )
'
''
f f
ìï - =
ïí
ï - > ïỵ
12.4 12
48 24
m m
m m
ì - - = ì =
ï ï
ï ï
« íï « íï
- + > >
ï ï
ỵ î : vô nghiệm Chọn D.
Cách trắc nghiệm Thay ngược đáp án lâu cách tự luận.
Câu 45 Tìm tất giá trị thực tham số a để hàm số y ax= 3- ax2+1
có điểm cực tiểu
2
x =
A a=0 B a>0 C a=2 D a<0
Lời giải ● Nếu a=0 y=1: Hàm nên khơng có cực trị
● Với a¹ 0, ta có
( )
2
0
' 3 ; '
3
x
y ax ax ax x y
x
é = ê ê
= - = - = Û
ê =
a> ắắ0 đy' i du t '' ''- sang '' ''+ qua
2
x = ắắđ
hm s t cc
tiểu điểm
2
x =
Do a>0 thỏa mãn
▪ a< ¾¾0 ®y' đổi dấu từ '' ''+ sang '' ''- qua
2
x = ắắđ
hm số đạt cực
đại điểm
2
x =
Do a<0 khơng thỏa mãn
(14)Nhận xét Nếu dùng
2 0
3
0
y
y
ì ỉư
ï ÷
ï ỗÂ ữ= ù ỗ ữỗ ù ố ứ ùùớ
ï ỉư
ủ đđố ứ> ủ ố ứứ ủ ốộ ự
ïïỵ mà bổ sung thêm điều kiện a=/ 0 được,
tức giải hệ
2
2 0
0
3
a
y
y
ìïï ïï ïï
ï ỉư
ủủ đố ứứ= ợ ố ứố ủ ộ ự ủủ
ï ỉư
ï ÷
ủ đđốố ứ> ủ ốộ ựứ ù
=/
ïï Như vậy, gặp hàm y ax= 3+bx2+cd d+
mà chưa chắn hệ số a=/ cần xét hai trường hợp a=0 a=/ (giải hệ tương tự trên)
Câu 46 Gọi x x1, là hai điểm cực trị hàm số
( )
3 3 3 1
y x= - mx + m - x m- +m
Tìm giá trị tham số m để
2
1 2
x +x - x x =
A m=0 B
9
m= ±
C
1
m= ±
D m= ±2
Lời giải Ta có ( ) ( )
2 2
' 3
y = x - mx+ m- = ëéêx - mx+ m- ùúû
Do D =' m2- m2+ = >1 0, " Ỵ ¡m nên hàm số ln có hai điểm cực trị x x1, 2.
Theo định lí Viet, ta có
1 2
2
x x m
x x m
ì + =
ïï
íï =
-ïỵ .
u cầu tốn ( ) ( )
2 2
1 31 7
x x x x m m m m
Û + - = Û - - = Û = Û = ±
Chọn D.
Câu 47 Gọi x x1, hai điểm cực trị hàm số
3
4
y= x +mx - x Tìm các
giá trị thực tham số m để x1+4x2=0
A
9
m= ±
B
3
m= ±
C m=0 D
1
m= ±
Lời giải Ta có y' 12= x2+2mx-
Do D =' m2+36 0,> " Ỵ ¡m nên hàm số ln có hai điểm cực trị x x1, 2.
Theo Viet, ta có
1
1
6
m
x x
x x
ìïï + =-ïïï
íï
ï
=-ïïïỵ Mà x1+4x2=0.
Suy
1
2
1
2 ,
2 81
9 18 .
1 18 4
4
m
x m x
m
m m m
x x
ìïï =- =
ï ỉ ử
ùù -ỗ ữữ =- = =
ớ ỗỗ ữ
ù ố ứ
ï
=-ïïïỵ Chọn A.
Câu 48 Cho hàm số y=x3- 3x2- 9x m+ Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số
A y=- 8x m+ B y=-8x m+ - 3 C y=- 8x m+ +3 D y=- 8x m- +3
Lời giải Ta có
2
' 9; '
3 27
x y m
y x x y
x y m
é =- Þ = +
ê
= - - = Û ê = Þ =- +
ë
(15)Suy đường thẳng qua hai điểm A B, có phương trình y=- 8x m+ -
Chọn B.
Câu 49 Cho hàm số ( ) ( )
3
1
2 2017
3
y= x - m+ x + m+ x+
với m tham số thực Tìm tất giá trị m để x =1 hoành độ trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số
A m=- B m¹ -
C
3
m=- D Không tồn giá trị m
Lời giải Đạo hàm ( ) ( )
2
' 2 ; '
2
x
y x m x m y
x m
é = ê
= - + + + = Û ê = +
ë
Để hàm số có hai điểm cực trị x x1, 2 2m+ ¹3 1Û m¹ -1 ( )*
Gọi A x y( 1; 1) B x y( 2; 2) hai điểm cực trị đồ thị hàm số.
Khi theo định lí Viet, ta có x1+x2=2m+4
u cầu tốn
2 1 1
2
m+ m
Û = Û
=-: không thỏa mãn ( )* Chọn D
Nhận xét Qua khảo sát 99% học sinh chọn đáp án A, lý quên điều kiện để có hai cực trị Tơi cố tình giá trị m giá trị loại
Nếu gặp tốn khơng nghiệm đẹp ta giải sau: ''x0
hồnh độ trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba y ax= 3+bx2+ +cx d y¢=0 có hai nghiệm phân biệt (D >0 ) y x¢¢( )0 =0''
Câu 50 Tìm tất giá trị thực tham số m để khoảng cách từ điểm (0;3)
M đến đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số
3 3 1
y x= + mx+
A m=1,m=- B m=- C m=3,m=- D Không tồn tại
m
Lời giải Ta có y' 3= x2+3 ; ' 0m y = Û x2=- m
Để hàm số có hai điểm cực trị Û y' 0= có hai nghiệm phân biệt Û m<0 ( )* Thực phép chia y cho y' ta phần dư 2mx+1, nên đường thẳng
:y 2mx
D = + đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số.
Yêu cầu toán
[ ]
2
2
, 1
5
4
d M m m
m
Û D = = Û = Û = ±
+ .
Đối chiếu điều kiện ( )* , ta chọn m=- 1 Chọn B.
Câu 51 Cho hàm số y=2x3+3(m- 1)x2+6(m- 2)x- với m tham số thực Tìm tất giá trị m để hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu nằm khoảng (- 2;3)
A mỴ -( 1;3) (È 3;4) B mỴ ( )1;3
C mỴ (3;4) D mỴ -( 1;4)
Lời giải Ta có
( ) ( )
2
' 6 ; '
2
x
y x m x m y
x m
é =-ê
= + - + - = Û ê =
-ë
Để hàm số có hai cực trị Û y' 0= có hai nghiệm phân biệt
2
(16)● Nếu - < -1 mÛ m<3, ycbt
1
2 3
3 ì >-ïï
Û - <- < - < Û íï < Û - < < ïỵ
m
m m
m .
● Nếu 2- m<- Û1 m>3, ycbt
3
2 3
4 ì > ïï
Û - < - <- < Û íï < Û < < ïỵ
m
m m
m
Vậy mỴ -( 1;3) (È 3;4) Chọn A
Câu 52 Cho hàm số y x= 3+6x2+3(m+2)x m- - với m tham số thực Tìm tất giá trị m để hàm số có hai điểm cực trị x x1, 2 thỏa mãn
1<- <1
x x .
A m>1 B m<1 C m>- D m<-
Lời giải Ta có ( ) ( )
2
' 12 3
y = x + x+ m+ = éêëx + x+ m+ ùúû
Yêu cầu tốn Û y' 0= có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn x1<- <1 x2
( )
' 1
y m
Û - < Û < Chọn B
Nhận xét Nhắc lại kiến thức lớp ''phương trình ax2+bx c+ =0 có hai nghiệm phân biệt x x x1, 2( 1<x2) thỏa mãn x1<x0<x2Û af x( )0 <0''
Câu 53 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [- 2017;2018]
để hàm số ( )
3
1
2
= - + +
y x mx m x
có hai điểm cực trị nằm khoảng (0;+¥).
A 2015 B 2016 C 2018 D 4035
Lời giải Ta có: y'=x2- 2mx m+ +2
Yêu cầu toán Û y' 0= có hai nghiệm dương phân biệt
( )( )
2
1
1
1
' 2
0 2
2
0
m m
m m m
S x x m m m
m
P x x m
ì
ì ï + - > ìé
ï D = - - > ï ï >
ï ï ï ê
ï ï
ï ï ï ê
Û íï = + > Û íï > Û í ëï <- Û >
ï ï ï
ï = > ï + > ïïỵ >
ï ï
ỵ ỵ
[ ] { }
& 2017;2018 3;4;5; 2018
mỴ mẻ - m
ắắ ắắ ắắ ắđ =Â ắắđ
có 2016 giá trị Chọn B.
Câu 54 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số
3 3 3 1
= - + +
y x x mx có điểm cực trị nhỏ 2.
A mẻ (0;+Ơ) B mẻ - Ơ( ;1)
C mẻ - Ơ( ;0) (ẩ 1;+Ơ) D mẻ (0;1)
Lời giải Ta có y' 3= x2- 6x+3m
u cầu tốn Û y' 0= có hai nghiệm phân biệt x1<x2<2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2
1 2
1
' 9
2
2
2
ì ì
ïD = - > ï <
ï ï
ï ï
ï ï
Û íï - + - < Û íï + <
ï ï
ï - - > ï - + + >
ï ïỵ
ỵ
m m
x x x x
x x x x
x x
1
1
2
0 2.2
ì <
ïï ìï <
ïï ï
Û íï < Û íï > Û < < ï
ï ỵ
ï - + > ïỵ
m
m
m m
m
Chọn D.
Câu 55 Cho hàm số y=2x3- 2( a+1)x2+6a a( +1)x+2 với a tham số thực Gọi x x1, 2 hoành độ điểm cực trị đồ thị hàm số Tính
2
(17)A P= +a B P=a C P= -a D P =1
Lời giải Ta có
( ) ( )
2
2
' 6 ; '
1
x a x
y x a x a a y
x a x
é = = ê
= - + + + = Û ê = + =
ë
Vậy P= x2- x1=(a+ -1) a=1 Chọn D.
Nhận xét Nếu phương trình y =' khơng nghiệm đẹp ta dùng
cơng thức tổng quát
2
P x x
a
- = D
=
Câu 56 Cho hàm số y=2x3+mx2- 12x- 13 với m tham số thực Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cách trục tung
A m=2 B m=- C m=1 D m=0
Lời giải Ta có y' 6= x2+2mx- 12
Do D =' m2+72 0, > " Ỵ ¡m nên hàm số ln có hai điểm cực trị x x1, 2 với x x1,
là hai nghiệm phương trình y =' Theo định lí Viet, ta có
m
x +x
=-Gọi A x y( 1; 1) B x y( 2; 2) hai điểm cực trị đồ thị hàm số.
Yêu cầu toán Û x1= x2 Û x1=- x2 (do x1¹ x2)
1 3 0
m
x x m
Û + = Û - = Û =
Chọn D.
Câu 57 Cho hàm số y=- x3+3mx2- 3m- với m tham số thực Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị đối xứng với qua đường thẳng d x: +8y- 74 0=
A m=1 B m=- C m=- D m=2
Lời giải Ta có
( )
2
' ; '
2
x
y x mx x x m y
x m
é = ê
=- + =- - = Û ê =
ë .
Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị Û m¹ Khi gọi A(0; 3- m- 1) ( )
3
2 ;4
B m m - m
hai điểm cực trị đồ thị hàm số
Suy trung điểm AB điểm ( )
3
;2
I m m- m
-và
(2 ;4 3) 2 1;2( 2)
AB= m m = m m
uuur
Đường thẳng d có vectơ phương u=(8; - )
r
Ycbt
( )
2
8 74
2
I d m m m
m
AB u m
ì
ì Î ï + - - - =
ï ï
ï ï
Û íï Û íï Û =
= - =
ï ï
ỵ ïỵ
uuur r
Chọn D.
Câu 58 Cho hàm số ( ) ( )
3
1
1
3
y= x - m+ x + m+ x
với m>0 tham số thực Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có điểm cực đại thuộc trục hoành
A
1.
m=
B m=1 C
3.
m=
D
4
m=
Lời giải Đạo hàm ( ) ( )
2
' 2 ; '
2
x
y x m x m y
x m
é = ê
= - + + + = Û ê = +
ë
Do m> ắắ0 đ2m+ ạ1 nờn th hm s luụn cú hai im cc tr
Do m> ắắ0 đ2m+ > ắắ1 đ honh im cc i l x =1 nên ( )
CD 1
(18)Yêu cầu toán Û yCD= Û0 m- = Û1 m=1: thỏa mãn Chọn B.
Câu 59 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số ( ) 2 3
f x = x - x - m có giá trị cực trị trái dấu.
A m=- 1, m=0 B m<0, m>-
C - < <1 m D 0£m£1
Lời giải Ta có
( ) ( ) ( )
( )
2 0
' 6 ; '
1 1
x f m
f x x x f x
x f m
é = ®
=-ê
= - = Û ê
= ® =-
-ê ë
Yêu cầu toán Û m m( + < Û - < <1) m 0 Chọn C.
Câu 60 Cho hàm số y x= 3+3x2+mx m+ - với m tham số thực, có đồ thị (Cm) Tìm tất giá trị m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu
nằm hai phía trục hoành
A m<2 B m£3 C m<3 D m£2
Lời giải Đạo hàm y' 3= x2+6x m+ Ta có V'y'= -9 3m
Hàm số có cực đại cực tiểu V'y'> Û0 m<3
Ta có
1 2
' 2
3 3
m m
y=ốổỗỗỗ x+ ữữứửữy+ỗỗỗổố - ữứữửữx+ỗỗỗổố - ÷÷÷ưø
Gọi x x1, 2 hồnh độ hai điểm cực trị
1
2
2
2
3
2
2
3
m m
y x
m m
y x
ì ỉ ỉ
ù ữ ữ
ù =ỗ - ữ +ỗ - ữ
ù ỗỗ ữ ỗỗ ữ
ï è ø è ø
ïïí
ï ỉ ổ
ù =ỗ - ữ +ỗ - ữ
ù ỗ ữữ ỗ ữữ
ù ỗố ứ ỗố ứ
ùùợ
Theo nh lớ Viet, ta có
1
1
2
x x
m x x
ì +
=-ïï ïí
ï =
ïïỵ
Hai điểm cực trị nằm hai phía trục hoành y y <1
( ) ( ) ( )
2
1 2
2
2 1
2
m m
x x x x x x
æ ửữ ổ ửữ
ỗ ỗ
ỗốỗ - ữữứ + + < ỗỗố - ữữứ + + + <
2 3
2 2 1 0 3
3
3
m
m m m
m
ì <
ỉ ổữ ửữ ùù
ỗ ỗ
ỗốỗ - ứ ốữữỗỗ - ữữứ< ớù ạ <
ïỵ : thỏa mãn Chọn C.
Câu 61 Cho hàm số y x 3ax2bx c giả sử A B, hai điểm cực trị đồ thị hàm số Khi đó, điều kiện sau cho biết đường thẳng AB qua gốc tọa độ O?
A c 0 B 9 2 b3a. C ab9c. D a 0.
Lời giải Ta có y' 3= x2+2ax b+
Thực phép chia y cho y', ta
2
1 2
'
3 9
y=ỗốỗỗổx+ a yứửữữữ +ốổỗỗỗ b- a x cửữữữứ + - ab
Suy phương trình đường thẳng AB là:
2
2
3 9
y=ổỗỗỗố b- a x cửữữữứ + - ab
Do AB qua gốc tọa
1
0
9
Oắắđ -c ab= Û ab= c
Chọn C.
(19)A
1
m=-B
1
m=
C m=0 D
2.
m=
Lời giải Ta có y¢=3x2- 6x m-
Để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị Û phương trình y¢=0 có hai nghiệm phân biệt Û D = +¢ 3m> Û0 m>-
Ta có
1
2
3 3
m m
y=yđỗộốốố x- ứự ộữ ỗứứ- ốốố + ứứứữựx+
-ắắđ ng thng i qua hai im cc tr A B
2
: 2
3
m m
y ổỗ ửữx
D =- ỗỗố + ữữứ +
-ng thẳng d x: +4y- 0= có VTPT n =d (1;4 ) r
Đường thẳng
2
: 2
3
m m
y ổỗ ửữx
D =- ỗỗố + ữữứ +
có VTPT
2 2;1
3
m nrD=ổỗỗỗố + ửữữữứ
Ycbt
( ) ( )
0
2
2 2
2
1 4.1
3
cos45 cos , cos ,
2 2
1
3
d
m
d n n
m
D
ổ ữử
ỗ + +ữ
ỗ ữ
ỗố ứ
ơắđ = = D = =
ổ ửữ
ỗ
+ ỗỗố + ÷÷ø+ r r
2
1
1
2
60 264 117 :
3
9
10
m
m
m m m
m
é ê
=-ờ
>-ơắđ + + = ắắắắđ
=-ê =-ê ê
ë thỏa mãn Chọn A.
Câu 63 Cho hàm số ( )
3
1 2 1 3
3
y= x - mx + m- x
với m tham số thực Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số có điểm cực đại cực tiểu nằm phía trục tung
A ( )
1
;1 1;
2
mẻ ổ ửỗỗỗố ứữữữẩ +Ơ
B mẻ (0;2 )
C mẻ - ¥( ;1) (È 1;+¥ ) D
1 ;1
mẻ -ổỗỗỗố ửữữữứ
Li gii Đạo hàm y'=x2- 2mx+2m-
Yêu cầu toán Û phương trình y =' có hai nghiệm x x1, phân biệt
cùng dấu
( )
2
'
2
2
m
m m
m
P m
ì ¹ ï
ì ï
ï D = - - > ï
ï
Û íï Û íï
> = - >
ï ï
ỵ ïỵ
Chọn A.
Câu 64 Cho hàm số y=2x3- 3(m+1)x2+6mx m+ với m tham số thực Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A B, thỏa mãn
2
AB =
A m=0 B m=0, m=2
C m=1 D m=2
Lời giải Ta có
( ) ( )
2
' 6 , ' x
y x m x m y x m x m
x m
é = ê
= - + + = Û - + + = Û ê =
ë
Để hàm số có hai điểm cực trị Û m¹ Tọa độ điểm cực trị ( )
3
1; +3 -
A m m
( )
2
;3
B m m
Suy ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2 1 3 3 1 1 1
(20)-Ycbt ( ) ( ) ( ) ( )
3
6 2
2 2 1 1 2 0 1 1 1 1 0
AB m m ém ù ém ù
Û = Û - + - - = Û ëê - úû- +ëê - - úû=
( )2 ( )4 ( )2 ( )2
1 1 1 :
0
m
m m m m
m
é =
é ùé ù ê
Û êë - - úêûë - + - + = Ûúû - - = Û ê
=
ë thỏa Chọn B
Câu 65 Cho hàm số y x= 3- 3mx2+4m2- với m tham số thực Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A B, cho I(1;0) trung điểm đoạn thẳng AB
A m=0 B m=- C m=1 D m=2
Lời giải Ta có ( )
2
' ; '
2
x
y x mx x x m y
x m
é = ê
= - = - = Û ê =
ë
Đề đồ thị hàm số có hai điểm cực trị Û m¹ Khi tọa độ hai điểm cực trị ( )
2
0;4 -
A m
( )
2
2 ;4 - -
B m m m
Do I(1;0) trung điểm AB nên
2
A B I
A B I
x x x
y y y
ì + =
ïï
íï + = ïỵ
( ) ( )
0 2
1:
4 4
m
m
m m m
ì + =
ïïï
Û íï Û =
- + - - =
ïïỵ thỏa mãn Chọn C.
Câu 66 Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số
3 3 2
y=x - mx + có hai điểm cực trị A, B cho A, B M(1; 2- ) thẳng hàng
A m=0 B m= C m=- D m= ±
Lời giải Ta có ( )
2
' ; '
2
x y x mx x x m y
x m
é = ê
= - = - = Û ê =
ë
Hàm số có hai điểm cực trị Û y' 0= có hai nghiệm phân biệt Û 2¹ mÛ m¹ Tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số là: A(0;2) ( )
3 ;2
B m - m Suy MA = -( 1;4)
uuur
, ( )
3
2 1;4
MB= m- - m
uuur
Theo giả thiết A, B M thẳng hàng
( )
( )
3
2 4
1
m
m m
m
é =
- - ê
Û = Û ê
- êë =±
loại
thỏa mãn
Chọn D.
Câu 67 Tìm giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y=- x3+3mx+1 có hai điểm cực trị A, B cho tam giác OAB vuông O, với O gốc tọa độ
A m=- B m=1 C
1
m=
D m=0
Lời giải Ta có ( )
2
' 3
y =- x + m=- x - m
Để hàm số có hai điểm cực trị Û x2- m=0 có hai nghiệm phân biệt Û m>0 Tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số là: A(- m;1 2- m m)
( ;1 )
B m + m m
Yêu cầu toán ( )
3
2
OA OB m m m
Û uur uur= Û + - = Û = thỏa mãn
Chọn C.
Câu 68 Cho hàm số y ax= 4+bx2+c (a¹ 0) Với điều kiện tham
(21)A a b, dấu c B a b, trái dấu c
C b=0 a c, D c=0 a b,
Lời giải Ta có
( )
3
2
0
' 2 ; '
2
x
y ax bx x ax b y b
x
a
é = ê ê
= + = + = Û
ê =-ê ë
Để hàm số có ba điểm cực trị
2
2
b x
a
Û
có hai nghiệm phân biệt khác
0
2
b
ab a
Û - > Û <
Khi a b, trái dấu c Chọn B.
Câu 69 Cho hàm số y ax= 4+bx2+1 (a¹ 0) Với điều kiện tham số a b, hàm số có điểm cực tiểu hai điểm cực đại?
A a<0, b<0 B a<0, b>0 C a>0, b<0 D a>0, b>0
Lời giải Ta có
( )
3
2
0
' 2 ; '
2
x
y ax bx x ax b y b
x
a
é = ê ê
= + = + = Û
ê =-ê ë
Để hàm số có điểm cực tiểu hai điểm cực đại
0 0
0
2
a a
b b
a
ì <
ïï ì <ï
ï ï
Û íï Û íï >
- > ï
ï ỵ
ïỵ .
Chọn B.
Câu 70 Cho hàm số y ax= 4+bx2+1 (a¹ 0) Với điều kiện tham số a b, hàm số có điểm cực trị điểm cực tiểu
A a<0, b£0 B a<0, b>0 C a>0, b<0 D a>0, b³
Lời giải Ta có
( ) ( )
3
2
0
' 2 ; '
*
x
y ax bx x ax b y b
x
a
é = ê ê
= + = + = Û
ê =-ê ë
Để hàm số có điểm cực trị Û *( ) vơ nghiệm có nghiệm kép
0
0
b b
ab a
é = ê Û - £ Û ê >
ë ( )1
Khi đó, để điểm cực trị điểm cực tiểu a>0 ( )2 Từ ( )1 ( )2 , suy a>0,b³ 0 Chọn D.
Câu 71 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số
4 2 2
y=x + mx +m +m có ba điểm cực trị.
A m=0 B m>0 C m<0 D m¹
Lời giải Ta có ( )
3
2
0
' 4 ; ' x
y x mx x x m y
x m
é = ê
= + = + = Û ê
=-ë
Để hàm số có ba điểm cực trị Û y =' có ba nghiệm phân biệt Û - m> Û0 m<0
Chọn C.
Câu 72 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số
( )
4 1 1
y mx= + m+ x + có điểm cực tiểu.
A m>0 B m³ C - < <1 m D m>-
Lời giải TH1 Với a= «0 m=0, y x= 2+1 có đồ thị parabol có bề lõm quay lên nên hàm số có mt im cc tiu
ắắđ m=0 tha món.
(22)ắắđ m>0 tha món.
TH3 Vi a< ô0 m<0, ycbt ab< ắắắ0 a<0đ > ôb m+ > ô1 m>-
ắắđ 1- < <m 0 thỏa mãn.
Hợp trường hợp ta m>- 1 Chọn D.
Nhận xét Bài tốn hỏi hàm số có điểm cực tiểu nên hàm số có điểm cực đại khơng có điểm cực đại Khi tốn hỏi hàm số có cực tiểu khơng có cực đại lúc ta chọn đáp án B
Câu 73 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số
( )
4 1 1 2
y mx= + m- x2+ - m
có điểm cực trị
A mẻ [1;+Ơ) B mẻ - Ơ( ;0]
C mẻ [ ]0;1 D mẻ - Ơ( 0] [ẩ +Ơ1; )
Lời giải ● Nếu m=0 y=- x2+1 hàm bậc hai nên có cực trị
● Khi m¹ 0, ta có
( ) ( )
3
2
0
' 2 ; ' 1
2
x
y mx m x x mx m y m
x
m
é = ê
é ù ê
= + - = êë + - úû = Û
-ê = ê
ë .
Để hàm số có điểm cực trị
1
1 0
0
m m
m m
é ³
- ê
£ Û ê <ë .
Kết hợp hai trường hợp ta
0
m m
é £ ê ê ³
ë Chọn D
Câu 74 Biết đồ thị hàm số y x= 4- 3x2+ax b+ có điểm cực tiểu A(2; 2- ) Tính tổng S= +a b
A S =- 14 B S =14 C S =- 20 D S =34 Lời giải Ta có y' 4= x3- 6x a+ y'' 12= x2-
Do A(2; 2- ) điểm cực tiểu đồ thị hàm số nên
( ) ( )
'
2
y y
ìï =
ù ắắđớù
=-ïỵ
32 12 20
16 12 2 34
a a
a b b
ì - + = ì
=-ï ï
ï ï
Û íï - + + =- Û íï =
ï ï
ỵ ỵ
Thử lại với
4
20
3 20 34
34
a
y x x x
b
ì
=-ùù ắắđ = - - +
ớù =
ïỵ .
Tính đạo hàm lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu x =2 (thỏa)
Vậy
20
14 34
a
S a b
b
ì
=-ùù ắắđ = + =
ớù =
ïỵ Chọn B.
Câu 75 Biết đồ thị hàm số y ax= 4+bx2+c a( ¹ 0) có điểm đại A(0; 3- ) có điểm cực tiểu B - -( 1; 5) Mệnh đề sau đúng?
A
3
a b c
ì =-ïï ïï =-íï ïï
=-ïỵ B
2
a b c
ì = ïï ïï =-íï ïï
=-ïỵ C
2
3
a b c
ì = ïï ïï = íï ïï
=-ïỵ D
2
3
a b c
ì =-ïï ïï = íï ïï =-ïỵ
Lời giải Ta có y' 4= ax3+2bx
Đồ thị có điểm cực đại
( ) ( )
( )
' 0
0; 3
0
y
A c
y
ìï =
ï
- ¾¾®íï ®
(23)
Đồ thị có điểm cực tiểu
( ) ( )
( )
'
1;
5
1
y a b
B
a b c y
ìï - = ì -ï - =
ï ï
- - ắắđớù Û ớù + +
= =- ï
ï ỵ
ỵ ( )2
Giải hệ gồm ( )1 ( )2 , ta
2
a b c
ì = ïï ïï =-íï ïï =-ïỵ
Thử lại với
4
2
4
3
a
b y x x
c
ì = ïï
ïï =- ắắđ = -
-ớù ùù
=-ùợ Tính đạo hàm lập bảng biến thiên ta
thấy hàm số đạt cực đại x =0, đạt cực tiểu x =- 1: thỏa mãn Chọn B.
Câu 76 Cho hàm số ( )
4 2 1 1
y x= - m- m+ x + -m
với m tham số thực Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có điểm cực đại hai điểm cực tiểu, đồng thời khoảng cách hai điểm cực tiểu ngắn
A
1
m=- B
1
m=
C
3
m=
D
3
m=-
Lời giải Ta có
( ) ( )
3 2
2
' 4 ;
0
'
1
y x m m x x x m m
x y
x m m
é ù
= - - + = êë - - + úû
é = ê
= Û ê = ± - +
ê ë
Suy đồ thị có hai điểm cực tiểu ( )
2
CT
1;
A - m- m+ y
( )
2
CT
1;
B m - m+ y
Khi
( )
2 4 1 4 3
2
AB = m - m+ = ờờộỗốỗổỗm- ữữứữử+ ỳỳự
ờ ỳ
ở ỷ Dấu '' ''= xảy
1
m
Û =
Chọn
B.
Câu 77 Cho hàm số y x= 4- 2mx2+2 với m tham số thực Có giá trị nguyên m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A B C, , thỏa mãn
12
OA OBOC = với O gốc tọa độ?
A 2 B 1 C 0 D 4
Lời giải Để hàm số có ba điểm cực trị Û ab< Û0 2(- m)< Û0 m>0
Khi dó
( )
3
0
' 4 ; '
x
y x mx x x m y x m
x m
é = ê ê
= - = - = Û ê=
ê ê
=-ë .
Suy tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số là:
(0;2 , ) ( ; 2 , ) ( ; 2 )
A B m m- + C - m m- +
Ycbt ( )
2
12 2 12
OA OBOC= Û éêm+ - m + ựỳ= ắắđ = ắắm đ
ở ỷ có giá trị nguyên
Chọn B.
Câu 78 Cho hàm số y=-x4+2mx2- có đồ thị ( )Cm Tìm tất giá trị
thực tham số m để tất điểm cực trị ( )Cm nằm trục
tọa độ
A m= ±2 B m=2
C m>0 D m=- 2, m>0
Lời giải Ta có
( )
3
2
0
' 4 ; ' x
y x mx x x m y
x m
é = ê
=- + =- - = Û ê =
ë
(24)Tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số là: (0; 4)
A - Ỵ Oy, B(- m m; 2- 4) C( m m -; 4).
Yêu cầu toán
( )
( )
2
,
2
m
B C Ox m
m
é =-ê
Û Î Û - = Û ê
= ê ë
loại thỏa mãn
Chọn B.
Cách áp dụng cơng thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị
0
ab< Û m>
Ycbt
( )
( )
2 4 0 4 16 0 .
2
m
b ac m
m
é =-ờ
ắắđ - = - = ờ
= ê ë
loại thỏa mãn
Cho hàm trùng phương y ax= 4+bx2+c Khi đó:
y có 1 cực trị Û ab³ 0 y có 3 cực trị Û ab<0
>
a : 1 cực tiểu a<0: 1 cực đại a> 0: 1 cực đại, 2 cực tiểu
<0
a : 2 cực đại, 1 cực tiểu
Xét trường hợp cú ba cc tr ắắđ ta cỏc im cc trị
(0; , ) ; , ;
2 4
b b
A c B C
a a a a
ỉ Dư÷ ổ Dửữ
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ- - - ữ ỗ - - ữ
ỗ ữữ ỗ ữữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
● 2
b BC
a
=
-,
4
2 2
16
b b
AB AC
a a
= =
với D =b2- 4ac
● Phương trình qua điểm cực trị:
D =-:
4
BC y
a
3
3
:
2
:
2
b
AB y x c
a
b
AC y x c
a
é ổ- ử
ờ =ỗỗ ữữ +
ờ ỗỗ ÷÷÷
ê è ø
ê
ê æ ử
-ờ =- ỗỗ ữữ +
ờ ỗỗ ữữữ
ờ ố ứ
ở
● Gọi BAC· =a, ln có
3
3
8 cos
8
b a
b a
a= +
- .
● Diện tích tam giác ABC
5
3
32
b S
a
=
-● Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
3 8
b a
R
a b
-=
● Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC
2
3
4 1
8
b r
b a
a
=
ổ ửữ
ỗ ữ
ỗ + - ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗố ứ
Dữ kiện Công thức thỏa ab<0
1) B C Ox, Ỵ b2- 4ac=0
2) BC=m0 am02+2b=0
3) AB=AC=n0 16a n2 20- b4+8ab=0
4) BC=kAB=kAC b k3. 2- 8a k( 2- 4)=0
5) ABOC nội tiếp . 0
4
c
b a
ổ D ữử
ỗ - ữ=
ỗ ữ
ỗố ứ
6) ABOC l hỡnh thoi b2- 2ac=0
- -
-7) Tam giác ABCvuông cân A 8a b+ 3=0
(25)9) Tam giác ABCcó góc BAC· =a 8 3.tan2 0
2
a b+ a=
10) Tam giác ABCcó góc nhọn b a b(8 + 3)>0
11) Tam giác ABCcó diện tích S0 32a S3( )0 2+b5=0
12) Tam giác ABCcó trọng tâm O b2- 6ac=0
14) Tam giác ABCcó trực tâm O b3+8a- 4ac=0
16) Tam giác ABCcó O tâm đường tròn nội tiếp
3 8 4 0
b - a- abc=
17) Tam giác ABCcó O tâm đường trịn ngoại tiếp
3 8 8 0
b - a- abc=
18) Tam giác ABCcó điểm cực trị cách trục hoành
2 8 0
b - ac=
Đồ thị hàm số y ax= 4+bx2+c cắt trục hoành điểm lập thành cấp số
cộng điều kiện
2
0
0
100
ac ab
b ac
ìïï ï > ïï ïï < íï ïï
ï =
ïïïỵ
Câu 79 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số
4 2 1
y x= - mx + có ba điểm cực trị A(0;1), B, C thỏa mãn BC =4.
A m= ±4 B m= C m=4 D m= ±
Lời giải Ta có ( )
3
2
0
' 4 ; ' x
y x mx x x m y
x m
é = ê
= - = - = Û ê =
ë
Để hàm số có ba điểm cực trị Û y =' có ba nghiệm phân biệt Û m>0 Suy tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số là:
(0;1 , ) ( ;1 2)
A B m - m
( )
2
;1
C - m - m
Ycbt: BC= Û4 m= Û4 m= Û2 m=4 (thỏa mãn) Chọn C.
Cách áp dụng cơng thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị
0
ab< Û m>
Ycbt: BC=m0®am02+2b= Û0 1.42+2 2(- m)= Û0 m=4
Câu 80 Cho hàm số y x= 4- 2(m+1)x2+m2 với m tham số thực Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông
A m=- B m=0 C m=1 D m>-
Lời giải Ta có ( ) ( )
3
' 4= - +1 =4 - -
y x m x x x m
;
0 '
1 é = ê
= Û ê = +ëx
y
x m .
Để hàm số có ba điểm cực trị Û y =' có ba nghiệm phân biệt
1
Û m+ > Û m>- .
Suy tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số là:
(0; 2), ( 1; 2 1)
A m B m+ - m
C(- m+ -1; 2m- 1)
Khi ( )
2
1;
AB= m+ - m- - m
uuur
( )
2
1;
= - + -
-uuur
AC m m m
Ycbt
( ) ( ) ( )
( )
4
1
0
m
AB AC m m
m
é =-ê
Û = Û - + + + = Û ê
= ê ë
uuur uuur loại
thỏa mãn Chọn B.
Cách áp dụng cơng thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị
0
(26)>-Ycbt ( )
3
8a b 8.1 ộ2m 1ự m
ắắđ + = Û + -ë + û= Û =
Câu 81 (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Tìm giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y x= 4+2mx2+1 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân
A
1
m=- B m=- C
1
m=
D m=1
Lời giải Ta có
3
2
0
' 4 x
y x mx
x m
é = ê
= + = Û ê
=-ë
Để hàm số có ba điểm cực trị Û - m> Û0 m<0 Khi đó, toạ độ ba điểm cực trị đồ thị hàm số là:
(0;1 , ) ( ; 1 , ) ( ; 1 )
A B - m m- + C - - m m- +
Ycbt
( )
( )
4
0
1
m
AB AC m m
m é = ê Û = Û + = Û ê =-ê ë
uuur uuur loại
thỏa mãn
Chọn B.
Câu 82 Cho hàm số y=3x4+2(m- 2018)x2+2017 với m tham số thực Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 1200
A m=- 2018 B m=- 2017 C m=2017 D m=2018
Lời giải Ta có
( )
3
2
0
12 2018 ;
3 2018
x
y x m x y
x m é = ê ¢= + - ¢= Û ê = -ë
Để hàm số có ba điểm cực trị Û 2018- m> Û0 m<2018 Khi đó, tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số là:
( ) ( ) ( )
2
2018 2018
2018 2018
0;2017 , ; 2017 , ; 2017
3 3
m m
m m
A Bỗỗỗỗổ - - - + ữữử ổữữữCỗỗỗỗ- - - - + ữữửữữữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
Do tam giác ABC cân A nên ycbt Û 3AB2=BC2
( )4 ( ) ( )
3
2018
2018 2018
3 2018 2017
3
m m m m m é - - ù -ê ú Û ê + ú= Û - =- Û = ê ú ë û thỏa mãn Chọn C.
Cách áp dụng cơng thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị
0 2018
ab< Û m<
Áp dụng công thức giải nhanh
3 cos b a b a
a= +
- (với a =·BAC, A điểm cực trị
thuộc Oy), ta ( ) ( )
3
3 3
3
1 8 2 8 3 8
2
b a b a b a b a
b a
+
- = ơắđ- - = + ơắđ
=
-( )3
3 2é m 2018ù 8.3 m 2017
ơắđ ở - ỷ=- ơắđ =
: thỏa mãn
Câu 83 Cho hàm số ( ) ( )
4
1 3 1 2 1
4
y= x - m+ x + m+
với m tham số thực Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm gốc tọa độ
A
2
m=- B
2 m= C
m=- D
1
m=
Lời giải Ta có
( ) ( )
( )
3
2
0
' 3 ; '
2
x
y x m x x x m y
x m é = ê é ù = - + = êë - + úû = Û ê = + ê ë
Để hàm số có ba điểm cực trị ( )
1
2
3
m m
Û + > Û
(27)Khi đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là:
( )
(0;2 1)
A m+
, ( ( ) )
2
2 ;
B - m+ - m- m+
( ( ) )
2
2 ;
C m+ - m- m+
Suy tọa độ trọng tâm tam giác ABC
( ) ( )
2
0;
3
m m m
G æ + + - - + ữử ỗ ữ ỗ ữ =ỗỗ ữữữ ỗố ứ. Ycbt: ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
m
G O m m m
m é ê = ê º Û + + - - + = Û ê ê =-ê ê ë thỏa mãn loại Chọn D.
Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị
1
0
3
ab< Û m
>-Ycbt: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1
6 .2
2
3
m
G O b ac m m
m é ê = ắắđ - = + - + = Û ê ê =-ê ê ë thỏa mãn loại
Câu 84 Cho hàm số ( )
4
9
3 2017
8
y= x + m- x + m+
với m tham số thực Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác
A m=- B m=2 C m=3 D m=2017
Lời giải Ta có
( ) ( ) ( )
' ;
3 *
2
x
y x m x y
x m é = ê ¢ = + - = Û ê = -ê ë
Để hàm số có ba điểm cực trị Û 3( - m)> Û0 m<3 Khi tọa độ ba điểm cực trị đồ thị hàm số là:
( ) ( )2 ( )2
0;4 2017 , ;4 2017 , ;4 2017
3
m m
A m+ Bỗổỗỗ - m+ - - m ổữữữữCỗỗỗ- - m+ - - m ữữửữữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ø è ø
Do dam giác ABC cân A nên yêu cầu toán Û AB2=BC2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
4
4 16 3
4 3
3
3
m
m m m
m m m
m m é = é - - ê- = ê + - = Û - = - Û Û ê ê - = = ë êë loại thỏa mãn Chọn B
Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị
0
ab< Û m<
Ycbt ( )
3
3 24 27 3 27 2.
b a m m
ắắđ =- - =- =
Cõu 85 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Tìm tất giá trị thực của
tham số m để đồ thị hàm số y x= 4- 2mx2 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích nhỏ
A m>0 B m<1 C 0< <m 34 D 0< <m
Lời giải Ta có
( ) ( )
3
2
0
4 4 ;
x
y x mx x x m y
x m é = ê ¢= - = - ¢= Û ê = * ê ë
Để hàm số có ba điểm cực trị Û m>0
Khi tọa độ ba điểm cực trị đồ thị hàm số là: (0;0 ,) ( ; 2) (, ; 2).
A B m m- C - m m
-Tam giác ABC cân A, suy [ ]
2
1
,
2
ABC
SD = d A BC BC= m m m m=
(28)Cách áp dụng công thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị
0
ab< Û m>
Ycbt
5
5
3 1
32
b m m
a
ắắđ - < < ắắđ < <
Cõu 86 Cho hm số y x= 4- mx2+ -m với m tham số thực Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp
A m=- B m=1 C m=2 D m=4
Lời giải Ta có
( )
3
2
0
4 2 ;
2
x
y x mx x x m y
x m
é = ê
¢= - = - ¢= Û ê =
ë
Để hàm số có ba điểm cực trị Û m>0
Khi tọa độ ba điểm cực trị đồ thị hàm số là:
(0; , ) , 2 , ; 2
2 4
m m m m
A m- Bỗỗỗổ - + -m ửữữữữCỗổỗỗ- - + -m ữữữửữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ.
Suy
4
2 16
m m
AB=AC= +
, 2
m BC =
Ta có [ ] [ ]
1 . , . . ,
2 2
AB BC AC
S=pr= BC d A BC ¾¾® + + r= BC d A BC
4 1
.2
2 16 2
m m m m m
Û + + =
Đặt
m
t = >
ta phương trình
( )
2 .
2
t
t t t t
t m
é = ê
+ + = ờ
= ắắđ =
ờ
loại
Chọn
D.
Cách áp dụng cơng thức giải nhanh: Điều kiện để có ba cực trị
0
ab< Û m>
Ycbt
( ) ( )
( )
2
3
2
1
4
4 1 1
8
m m
b
m
b m
a
a
é
= ờ
ắắđ = = ắắđ ờ
ổ ửữ ổ ửữ ờ =
ỗ ữ ç ÷ ë
ç+ - ÷ ç + + ữ
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
loại thỏa mãn
Câu 87 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số
2 1
1
x mx
y x
+
-=
-có cực đại cực tiểu
A m<0 B m=0 C mỴ ¡ D m>0
Lời giải Tập xác định: D= ¡ \ 1{ } Đạo hàm ( )
2
2
2
'
1
x x m
y
x
- - +
=
-Đặt g x( )=x2- 2x m- +1
Để hàm số có cực đại cực tiểu Û g x( )=0 có hai nghiệm phân biệt khác
( )
( )
' 0
0
1
g x m
m m
g
ì >
ï ì >ï
ïï ï
Û íï Û íï ¹ Û >
¹ ï
ï ỵ
ïỵ V
Chọn D.
Câu 88 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số
2 1
x mx
y
x m
+ +
= +
đạt cực đại x =2
A m=- B m=- C m=1 D m=3
Lời giải TXĐ: D=¡ \{- m} Đạo hàm ( )
2
2
2
' x mx m
y
x m
+ +
-=
(29)Hàm số đạt cực đại
( )
2 '
3 m x y m ộ =-ờ = ắắđ = Û ê =-ë
Thử lại với m=- hàm số đạt cực tiểu x =2: khơng thỏa mãn Thử lại với m=- hàm số đạt cực đại x =2: thỏa mãn Chọn B.
Câu 89 Gọi xCD, xCT điểm cực đại, điểm cực tiểu hàm số
sin2
y= x x- đoạn [0;p] Mệnh đề sau đúng?
A CD CT
5
;
6
x =p x = p
B CD CT
5
;
6
x = p x =p
C xCD 6;xCT
p p
= =
D CD CT
2
;
3
x =p x = p
Lời giải Ta có y' 2cos2= x- y''=- 4sin2x
Xét đoạn [0;p], ta có
1
2
1
' cos2
5 x y x x p p é ê = ê = Û = Û ê ê = ê ê ë Do
''
6
y ổ ửỗ =-ỗ ữỗố ứpữữ <
v
5
''
6
y ốỗổỗỗ- pữữứữử=- ỗỗỗổ- ữữữửữữ>
ỗố ứ .
Vậy CD CT
5
;
6
x =p x = p
Chọn C.
Câu 90 Tìm giá trị cực đại yCD hàm số y x= +2cosx khoảng (0;p)
A CD
5 3
6
y = p+
B CD
5 3
6
y = p
- C- yCD
p
= +
D yCD
p
=
-
Lời giải Đạo hàm y' 2sin= - x y''=- 2cosx
Xét khoảng (0;p), ta có
1
' sin
5 x y x x p p é ê = ê = Û = Û ê ê = ê ê ë Do
''
6
y ổ ửỗ =-ỗ ữỗố ứpữữ <
5
''
6
y ỗỗỗố ứổ ửpữữữ=- ỗỗỗổ- ữữữữữử>
ỗố ứ .
Vy giỏ tr cc i ca hàm số
3
6
yæ ửỗ = +ỗ ữỗố ứpữữ p
Chn C.
Câu 91 Biết khoảng (0;2p) hàm số y a= sinx b+ cosx x+ đạt cực trị
tại x
p
=
x p= Tính tổng S= +a b
A S =3 B
3
S = +
C S = 1.+ D S = -Lời giải Đạo hàm y'=acosx b- sinx+1
Hàm số đạt cực trị x
p
=
x p= nên ( )
' ' y y p p ỡ ổ ù ữ ù ỗ =ữ ù ỗ ữ ù ỗố ứ ớù ù = ùùợ
1 1 0 1
3
2
3
a
a b S a b
b a ìïï - + = ỡ =ù ùù ù ớù ắắđ = + = + ï = ï- + = ïỵ
ïïỵ Chọn C.
Câu 92 Hàm số ( ) ( )
2
2 4 2
y= x - - x
(30)A B C D 6.
Lời giải Đạo hàm ( )( ) ( ) ( )( )
2
3
2
' 2.2 4 2
y = x x - - x + x - - - x
(1 2x)2(x2 4 2) éx( x) 6(x2 4)ù 2 2( x)2(x2 4 7)( x2 2x 12 )
= - - êë - - - úû=- - - -
-Phương trình y¢=0có nghiệm đơn nên hàm số có điểm cực trị Chọn B.
Câu 93 Biết hàm số f x( ) có đạo hàm ( ) ( ) ( ) ( )
2
'
f x =x x- x- x- .
Hỏi hàm số f x( ) có điểm cực trị ?
A 4 B 3 C 2 D 1
Lời giải Ta có ( )
0,
'
2,
x x
f x
x x
é = =
ê
= Û ê =ë = Tuy nhiên lại xuất nghiệm
kép x =1(nghiệm kép y' qua nghiệm không đổi dấu) nên hàm số cho có ba điểm cực trị Chọn B.
Câu 94 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục ¡ hàm số y=f x¢( ) có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề sau ?
A Hàm số y=f x( ) đạt cực đại điểm
1
x
=-B Hàm số y= f x( ) đạt cực tiểu điểm
1
x =
C Hàm số y= f x( ) đạt cực tiểu điểm
2
x
=-D Hàm số y= f x( ) đạt cực đại điểm
2
x =- .
x y
-2 -2 -1 O
4
-1
'
f x
Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số y= f x¢( ) , ta có nhận xét sau:
f x¢( ) đổi dấu từ " "- sang " "+ qua điểm x =- suy x =- điểm cực trị điểm cực tiểu hàm số y=f x( )
f x¢( ) khơng đổi dấu qua điểm x=- 1,x=1 suy x=- 1,x=1 không điểm cực trị hàm số y=f x( )
Vậy hàm số cho đạt cực tiểu điểm x =- 2. Chọn C.
Câu 95 Hàm số f x( ) có đạo hàm f x'( ) khoảng K Hình vẽ bên đồ thị hàm số
( )
'
f x khoảng K Hỏi hàm số f x( ) có bao nhiêu điểm cực trị?
A 0
B 1
C 2
D 4
x
2
y
O
-1
'
f x
Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình f x ='( ) có nghiệm đơn (cắt trục hoành điểm) hai nghiệm kép (tiếp xúc với trục hoành hai điểm) nên f x'( ) đổi dấu qua nghiệm đơn Do suy hàm số
( )
f x có cực trị Chọn B.
(31)