Xác định góc giữa hai đưởng thẳng và mặt phẳng - giữa hai mặt phẳng

Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tỉ số lượng giác... DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng..[r]

KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1) Góc hai đường thẳng

Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin tỉ số lượng giác

Phương pháp 2: Sử dụng tích vơ hướng: u v hai vectơ phương hai đường thẳng a b góc  hai đường thẳng xác định công thức

 

cos cos ,

u v u v

u v

 

   

 

2) Góc đường thẳng mặt phẳng:

Muốn xác định góc đường thẳnga

 

P ta tìm hình chiếu vng góc a a

 

P

Khi đó,



a P,

 







a a, '



3) Góc hai mặt phẳng:

Phương pháp 1: Dựng hai đường thẳng a, b vng góc với hai mặt phẳng

 



 



Khi đó, góc

 



 





   

 , 





 

a b, Tính góc

 

a b, Phương pháp 2:

Xác định giao tuyến c hai mặt phẳng

 



 



Dựng hai đường thẳng a, blần lượt nằm hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến c điểm c Khi đó:



   

 , 





 

a b,

a

a'

P

c b

a

β

φ α

XÁC ĐỊNH GÓC

GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG - ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG - HAI MẶT PHẲNG

Cách khác: Ta xác định mặt phẳng phụ

 

 vng góc với giao tuyến c mà

   

   a,

   

   b Suy



   

 , 





 

a b,

4) Sử dụng phương pháp tọa độ khơng gian:

Chọn hệ trục thích hợp cụ thể hóa tọa độ điểm

a) Giả sử đường thẳng a blần lượt có vectơ phương ,a b 

Khi đó:













cos , ,

a b

a b a b

a b

 

   

b) Giả sử đường thẳng a có vectơ phương a

 

P có vectơ pháp tuyến n

Khi đó:





 







 



sin , ,

a n

a P a P

a n

 

   

c) Giả sử mặt phẳng

 



 

 có vectơ pháp tuyến ,a b 

Khi đó:





   







   



cos , ,

a b a b

     

   

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a 3, SA vng góc với mặt phẳng đáy, SAa (minh họa hình vẽ) Góc đường thẳng SCvà mặt phẳng



ABCD



bằng:

A. 30 B. 45 C. 60 D. 90

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính góc đường thẳng mặt phẳng. 2 HƯỚNG GIẢI:

B1: Xác định hình chiếu SCtrên mặt phẳng



ABCD



B2: Tính góc SCvà hình chiếu Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau:

Lời giải Chọn A

Ta có: SA



ABCD



nên AClà hình chiếu SCtrên mặt phẳng



ABC



Do đó:



SC ABCD,











SC AC,



SCA

Xét hình vng ABCD ta có: ACa

Xét SAC vng A, ta có: tan  30 o

6

SA a

SCA SCA

AC a

    

Bài tập tương tự phát triển:

Câu 17.1: Cho hình thoi ABCD cạnh a điểm S nằm ngồi mặt phẳng chứa hình thoi cho

SAa vng góc với



ABC



Tính góc SD BC

A. 60 B. 90 C. 45 D. 30

Lời giải Chọn C

Ta có: AD/ /BC



SD BC,







SD AD,



ADS450

Câu 17.2: Cho hình chóp S ABCD có đáyABCD hình bình hành với BC2 ,a SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA3a (minh họa hình vẽ) Góc hai đường thẳng SD BC nằm khoảng nào?

C

A D

B

S

C

A D

B

S

A.



20 ;30 



. B.



30 ; 40 



. C.



40 ;50 



. D.



50 ;60 



. Lời giải

Chọn D

Ta có: BC/ /AD



SD BC,







SD AD,



SDA ( Do SAD vuông Anên SDA90o)

Xét SAD vuông A, ta có: tan 3  arctan3 56

2 2

o

SA a

SDA SDA

AD a

     

Câu 17.3: Cho tứ diện ABCD có ACBD2 a Gọi M N, trung điểm BC AD, Biết

MN a Tính góc AC BD

A.45 B. 300 C. 600 D. 900

Lời giải Chọn C

Gọi I trung điểm AB Ta có IM INa Áp dụng định lý cosin cho IMN ta có:

 2 2 

cos 120

2

IM IN MN a a a

MIN MIN

IM IN a a

   

     

a a

a

2a 2a

N

M I

B D

C A

Vì IM / /AC IN, / /BD



AC BD,







IM IN,



18001200 600

Câu 17.4: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp BCD Gọi M trung điểm CD Tính cosin góc AC BM

A.

4 B.

3

6 C.

3

2 D.

2 Lời giải

Chọn B















cos , cos ,

3

AC CM CB

AC BM

AC BM AC BM

a AC BM a             

2 2

0

2 2

cos120 cos120

2 4 2 3

4

3 3

2 2

a a

a a

a a a

AC CM AC CB

a a a a

            

Câu 17.5: Cho hình chóp .S ABCDcó đáy ABCD hình chữ nhật với AB2a, BCa Các cạnh bên hình chóp a Khi đó, góc hai đường thẳng AB SC bằng:

A. 45 B. 30 C. 60 D. 90

Lời giải Chọn A

Ta có: AB CD// nên



AB SC,







CD SC,



SCD

Gọi M trung điểm CD Tam giác SCM vng M có SCa 2, CM a nên tam giác vuông cân M nên SCD45 Vậy



AB SC,



45

Câu 17.6: Cho tứ diện ABCD Gọi M , N, I trung điểm BC, AD AC Cho AB2 ,a

2

CD a MNa Tính góc  



AB CD,



A.135 B. 60 C. 90 D. 45

Chọn D

Theo tính chất đường trung bình tam giác:

1

/ / ;

2 / / ;

2

IN CD IN CD a

IM AB IM AB a



 

  

  

 



AB CD,





IM IN,





   Áp dụng định lý cosin ta có:

2 2

0

2

cos 45

2 2

IM IN MN

IM IN

      

Câu 17.7: Cho hình chóp S ABCD có đáyABCD hình chữ nhật với ABa AD, a 3,SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA2a (minh họa hình vẽ) Góc hai đường thẳng SC BD nằm khoảng nào?

A.



30 ; 40 



. B.



40 ;50 



. C.



50 ; 60 



. D.



60 ;70 



. Lời giải

Chọn D

a 2a

2a a

M I

N

B D

C A

Gọi OACBD M trung điểm SA

Xét hình chữ nhật ABCD, ta có:

2 2 3 2

2 2

BD AB AD a a a

OBOA      a

Xét MAB vuông A, ta có: MB AB2MA2  a2a2 a Xét MAO vng A, ta có: MO AO2MA2  a2a2 a

Xét MBO, ta có:  

2 2 2

2

cos 69

2 2

o

OB OM BM a a a

MOB MOB

OB OM a a

   

    

Ta có: SC/ /MO



SC BD,







MO BD,



MOB69o ( Do MOB90o) Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ

Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với A



0; 0;0 ,



B a



; 0;0 ,



C a a



; 3;0 ,

 

D 0;a 3; 0





0;0;



S a

Ta có: SC



a a; 3; 2 a



SCcó vectơ phương u



1; 3; 





; 3; 0



BD a a BD



có vectơ phương v 



1; 3;



Suy ra:













2 1

cos , , 69

2 2.2 2

o

u v

SC BD SC BD

u v

    

   

Câu 17.8: Cho hình chóp S ABC có ABC SBC tam giác nằm hai mặt phẳng vuông góc với Góc đường thẳng SA



ABC



A. 45 B. 75 C. 60 D. 30

Lời giải Chọn A

Theo giả thiết ta có



ABC

 

 SBC



Trong mặt phẳng



SBC



kẻ SH BC SH 



ABC



nên AHlà hình chiếu SA



ABC



Do đó,



SA ABC,











SA AH,



SAH

Giả sử ABa

Ta có: SBC ABC tam giác nên H trung điểm BC

a AH SH

Xét tam giác vuông SHA ta có tanSAH SH

AH

  SAH 45

Vậy



SA ABC,







45

Câu 17.9: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy,

SAa (minh họa hình vẽ) Góc đường thẳng SCvà mặt phẳng



SAB



bằng:

A. 30. B. 45 C. 60. D. 90.

Lời giải Chọn A

H S

C A

B

Ta có: BC SA BC



SAB



BC AB

 

 

  

nên SBlà hình chiếu SCtrên mặt phẳng



SAB



Do đó:



SC SAB,











SC SB,



BSC

Xét SAB vng A, ta có: 2





2

2

SB SA AB  a a a

Xét SBC vuông B, ta có: tan  30

3

o

BC a

BSC BSC

SB a

    

Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ

Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với A



0; 0;0 ,



B a



;0; ,



C a a



; ;0



S



0; 0;a 2



Ta có:



SAB



:y 0 vectơ pháp tuyến



SAB



j



0;1;0





; ; 2



SC a a a SC



có vectơ phương u



1;1;



Suy ra:





















1

sin , , 30

2

o

j u

SC SAB SC SAB

j u

   

   

Câu 17.10:Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy,

SAa (minh họa hình vẽ) Góc đường thẳng SDvà mặt phẳng



SAB



bằng:

A. 30. B. 45 C. 60. D. 90. Lời giải

Chọn A

Ta có: AD



SAB



nên SAlà hình chiếu SDtrên mặt phẳng



SAB



Do đó:



SD SAB,











SD SA,



 ASD

Xét SAD vuông A, ta có: tan  30

3

o

AD a

ASD ASD

SA a

    

Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ

Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với A



0; 0;0 ,



B a



;0; ,



D



0; ; 0a



S



0; 0;a 3



Ta có:



SAB



:y 0 vectơ pháp tuyến



SAB



j



0;1;0





0; ; 3



SD a a SD



có vectơ phương u



0;1;



Suy ra: sin



,









,







30

2

o

j u

SD SAB SD SAB

j u

   

   

Câu 17.11:Cho hình chóp S ABC có SA



ABC



, SAa, ABC cạnh a Tính góc SB



ABC



A. 30 o B. 60 C. 45 D. 90

Lời giải Chọn C

Ta có SA



ABC



AB hình chiếu SBtrên mặt phẳng













, 45

ABC  ASB SD AD 

Câu 17.12:Cho hình chóp S ABC có SA



ABC



, SAa, ABC cạnh a Gọi  góc SC

và mặt phẳng



SAB



Khi đó, tan

A

5 B

5

3 C.

1

2 D

Lời giải Chọn A

Gọi I trung điểm AB Ta có: CI AB CI



SAB



CI SA

 

 

  

A C

B S

a

a a

I

A C

B S

SI

 hình chiếu SC mặt phẳng



SAB







SC SAB,











SC SI,



CSI 

2 2

2

3

3

tan tan

5

a

CI CI

CSI

SI SA AI a

a



     

  

    

Câu 17.13:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với



ABCD



cà

SAa Tính sin góc tạo AC mặt phẳng



SBC



A.

3 B.

1

6 C.

1

7 D.

3 Lời giải

Chọn D

Kẻ AH SBBC AH AH 



SBC



AH

 hình chiếu AClên mặt phẳng



SBC







AC SBC,











AC HC,



ACH

Tam giác SABvuông 6

7

SA AB a a a

AH

SB a

   

Vì AHCvng sin

AH

H ACH

AC

  

Câu 17.14:Cho hình chóp S ABCD có cạnh đá a 2, cạnh bên 2a (minh họa hình vẽ) Góc cạnh bên mặt đáy bằng:

A. 30. B. 45 C. 60. D. 90.

Lời giải Chọn C

Ta có: góc cạnh bên mặt đáy góc SD



ABCD



Gọi OACBD Vì S ABCD hình chóp nên SO



ABCD



OD

 hình chiếu SDtrên



ABCD



Do đó:



SD ABCD,











SD OD,



SDO

Xét hình vng ABCD ta có: 2

2 2

BD AB a

OD   a

Xét SOD vng O, ta có: cos  60

2

o

OD a

SDO SDO

SD a

    

Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ

Gọi OACBD Vì S ABCD hình chóp nên SO



ABCD



Ta có: ACBDAB 2a SO SD2OD2  4a2a2 a 3.

Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ với O



0; 0; ,



C a



;0; ,



D



0; ; 0a



S



0;0;a 3



Ta có:



ABCD



:z 0



ABCD



có vectơ pháp tuyến k



0; 0;1





0; ; 3



SD a a SD



có vectơ phương u



0;1;



Suy ra: sin



,









,







60

2

o

k u

SD ABCD SD ABCD

k u

   

   

Câu 17.15:Cho hình chóp S ABCD có đáyABCD hình thang vng Avà B với

2 2 ;

AD AB BC a SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA2a (minh họa hình vẽ) Góc đường thẳng SD mặt phẳng



SAC



bằng:

A. 30. B. 45 C. 60. D. 90.

Lời giải Chọn A

Gọi M trung điểm AD Ta có: ACM DCM vuông cân M    45o 45o 90o

ACD ACM DCM CD AC

        mà CDSAnên CD



SAC



SC

 hình chiếu SDtrên mặt phẳng



SAC



Do đó:



SD SAC,











SD SC,



CSD

Xét ACD vng cân C, ta có: ACCDa

Xét SAC vng A, ta có: SC SA2AC2  4a22a2 a

Xét SCD vuông C, ta có: tan  30

6

o

CD a

CSD CSD

SC a

    

Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ

Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với A



0; 0;0 ,



B a



;0;0 ,



C a a



; ; ,



D



0; ; 0a



S



0; 0; 2a



Ta có: SD



0; ; 2a  a



SDcó vectơ phương u



0;1; 















2

0;0;

, ; ;

; ;

AS a

AS AC a a

AC a a

                



SAC



 có vectơ pháp tuyến n 



1;1;0



Suy ra:





















1

sin , , 30

2

o

u n

SD SAC SD SAC

u n

   

   

Câu 17.16:Cho hình chóp tứ giác S ABCD cạnh đáy a SASBSC SDa Khi đó, cosin góc hai mặt phẳng



SAB





SAD



A.

4 B.

1

3 C.

3

2 D

1 

Lời giải

Chọn B

Gọi I trung điểm SA

Do tam giác SAD SAB nên BI SA





SAB

 

, SAD







BI DI,



DI SA       

Áp dụng định lý cosin cho tam giác BID ta có:







2

2

2 2

3

2

2

cos

2 3

2

2

a a a

IB ID BD

BID IB ID a a                    

Vậy cos







 

,





SAB SAD 

Câu 17.17:Cho tam giácABC vuông cân A có ABa, đường thẳng d vng góc với



ABC



tại điểm A ta lấy điểm Dsao cho DBCđều Khi đó, góc hai mặt phẳng



ABC





DBC



nằm khoảng nào?

A.



40 ;50 o o



B.



50 ; 60 o o



C.



60 ;70 o o



D.



70 ;80 o o



Lời giải

Chọn B

Gọi M trung điểm BC

Ta có: BC DM BC



DMA



BC DA        Mặt khác:



 









 





 





 





,





,





ABD DBC BC

DMA BC

ABC DBC AM DM DMA

DMA ABC AM

DMA DBC DM

                

Ta có: 2

2 2

BC AB a

AM    ,

2

BC a

DM  

Xét ADM vuông A, ta có: cos  arccos 54

3 o. AM AMD AMD DM      Cách khác:

Gọi góc hai mặt phẳng



ABC



và



DBC



Theo cơng thức diện tích hình chiếu đa giác Ta có:SABC SDBC.cos

Mà:

2

1 3

.sin 60 2

2 2

DBC

a

S  DB DC  a a 

Mặt khác:

2

ABC

S  AB AC a

o

3

cos arccos 54

3 ABC DBC S S           a a

a M

Câu 17.18:Cho hình chóp S ABCD có cạnh 2a, cạnh bên a (minh họa hình vẽ) Góc mặt bên mặt đáy bằng:

A. 30. B. 45 C. 60. D. 90.

Lời giải Chọn B

Ta có: góc mặt bên mặt đáy góc



SCD





ABCD



Gọi OACBD Vì S ABCD hình chóp nên SO



ABCD



Gọi M trung điểm CD Ta có:



CD SM CD



SOM



CD OM

  



Do đó:







 





 





 





 

















, ,

CD SOM

SCD ABCD CD

SCD ABCD SM OM SMO

SOM SCD SM

SOM ABCD OM

 

  



  

  



 

 

Xét hình vng ABCD ta có: OM a 2 2

2 2

BD AB a

OD   a

Xét SOD vng O, ta có: SO SD2OD2 



a 3

 

2 a 2



2 a Xét SOM vuông O, ta có: tanSMO SO a SMO 45 o

OM a

    

Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ

Gọi OACBD Vì S ABCD hình chóp nên SO



ABCD



Ta có: ACBDAB 22a SO SD2OD2  3a22a2 a

Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ với O



0; 0; ,



C a



2; 0; ,

 

D 0;a 2;0



S



0; 0;a



Ta có:



ABCD



:z 0



ABCD



có vectơ pháp tuyến k



0; 0;1







: 2

2

x y z

SCD x y z a

a

a a       



SCD



 có vectơ pháp tuyến n



1;1;



Suy ra:







 











 





2

cos , , 45

2

o

k n

SCD ABCD SCD ABCD

k n

   

   

Câu 17.19:Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a 2, SA vng góc với mặt phẳng đáy,

SAa (minh họa hình vẽ) Góc hai mặt phẳng



SBD





ABCD



bằng:

A. 30. B. 45 C. 60. D. 90.

Lời giải Chọn C

Gọi OACBD Ta có:



BD SA BD



SAC



BD AC

  



Do đó:







 





 





 





 





,





,





BD SAC

SBD ABCD BD

SBD ABCD SO AC SOA

SAC SBD SO

SAC ABCD AC

 

  



  

  



 

 

Xét hình vng ABCD ta có: 2

2 2

AC AB a

OA   a

Xét SAO vng A, ta có: tanSOA SA a 3 SOA 60 o

OA a

    

Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ

Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với A



0; 0;0 ,



B a



2; 0; ,

 

D 0;a 2; 0



S



0; 0;a 3



Ta có:



ABCD



:z 0



ABCD



có vectơ pháp tuyến k



0; 0;1







: 3

2

x y z

SBD x y z a

a a a      



SBD



 có vectơ pháp tuyến n



3; 3;



Suy ra:







 











 





1

cos , , 60

2

o

k n

SBD ABCD SBD ABCD

k n

   

   

Câu 17.20:Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật với , 3

a

AB a AD ,SA vng góc với

mặt phẳng đáy, SAa (minh họa hình vẽ) Góc hai mặt phẳng



SBD





ABCD



bằng:

A. 30. B. 45 C. 60. D. 90. Lời giải

Chọn B

Vẽ AM BD M Ta có:



BDBDSAAM BD



SAM



Do đó:







 





 





 





 







,



,



.

BD SAM

SBD ABCD BD

SBD ABCD SM AM SMA

SAM SBD SM

SAM ABCD AM

 

  



  

  



 

 

Xét ABD vng A, ta có: 2 12 2 12 32 12

4 AM a

AM  AB  AD  a  a a  

Xét SAM vuông A, ta có: tanSMA SA a SMA 45 o

AM a

    

Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ

Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với



0; 0;0 ,





2 ; 0; ,



0;2 3;

a

A B a D 

 

S



0;0;a



Ta có:



ABCD



:z 0



ABCD



có vectơ pháp tuyến k



0; 0;1







: 2

2

3

x y z

SBD x y z a

a a a      



SBD



 có vectơ pháp tuyến n



1; 3;



Suy ra: cos







 

,











 

,





45

o

k n

SBD ABCD SBD ABCD

k n

   

   