Xác định góc giữa hai đưởng thẳng và mặt phẳng - giữa hai mặt phẳng

Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tỉ số lượng giác... DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng..[r]

KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1) Góc hai đường thẳng

Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin tỉ số lượng giác

Phương pháp 2: Sử dụng tích vơ hướng: u v hai vectơ phương hai đường thẳng a b góc  hai đường thẳng xác định công thức

 

cos cos ,

u v u v

u v

 

   

 

2) Góc đường thẳng mặt phẳng:

Muốn xác định góc đường thẳnga  P ta tìm hình chiếu vng góc a a  P

Khi đó, a P, a a, ' 3) Góc hai mặt phẳng:

Phương pháp 1: Dựng hai đường thẳng a, b vng góc với hai mặt phẳng    

Khi đó, góc         ,   a b, Tính góc  a b, Phương pháp 2:

Xác định giao tuyến c hai mặt phẳng    

Dựng hai đường thẳng a, blần lượt nằm hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến c điểm c Khi đó:     ,   a b,

a

a'

P

c b

a

β

φ α

XÁC ĐỊNH GÓC

GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG - ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG - HAI MẶT PHẲNG

Cách khác: Ta xác định mặt phẳng phụ   vng góc với giao tuyến c mà       a,       b Suy     ,   a b,

4) Sử dụng phương pháp tọa độ khơng gian:

Chọn hệ trục thích hợp cụ thể hóa tọa độ điểm

a) Giả sử đường thẳng a blần lượt có vectơ phương ,a b 

Khi đó:  

cos , ,

a b

a b a b

a b

 

   

b) Giả sử đường thẳng a có vectơ phương a  P có vectơ pháp tuyến n

Khi đó:    

sin , ,

a n

a P a P

a n

 

   

c) Giả sử mặt phẳng     có vectơ pháp tuyến ,a b 

Khi đó:        

cos , ,

a b a b

     

   

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a 3, SA vng góc với mặt phẳng đáy, SAa (minh họa hình vẽ) Góc đường thẳng SCvà mặt phẳng

ABCDbằng:

A. 30 B. 45 C. 60 D. 90

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính góc đường thẳng mặt phẳng. 2 HƯỚNG GIẢI:

B1: Xác định hình chiếu SCtrên mặt phẳng ABCD

B2: Tính góc SCvà hình chiếu Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau:

Lời giải Chọn A

Ta có: SAABCDnên AClà hình chiếu SCtrên mặt phẳng ABC Do đó: SC ABCD, SC AC, SCA

Xét hình vng ABCD ta có: ACa

Xét SAC vng A, ta có: tan  30 o

6

SA a

SCA SCA

AC a

    

Bài tập tương tự phát triển:

Câu 17.1: Cho hình thoi ABCD cạnh a điểm S nằm ngồi mặt phẳng chứa hình thoi cho

SAa vng góc với ABC Tính góc SD BC

A. 60 B. 90 C. 45 D. 30

Lời giải Chọn C

Ta có: AD/ /BCSD BC, SD AD, ADS450

Câu 17.2: Cho hình chóp S ABCD có đáyABCD hình bình hành với BC2 ,a SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA3a (minh họa hình vẽ) Góc hai đường thẳng SD BC nằm khoảng nào?

C

A D

B

S

C

A D

B

S

A. 20 ;30 . B. 30 ; 40 . C. 40 ;50 . D. 50 ;60 . Lời giải

Chọn D

Ta có: BC/ /ADSD BC, SD AD, SDA ( Do SAD vuông Anên SDA90o)

Xét SAD vuông A, ta có: tan 3  arctan3 56

2 2

o

SA a

SDA SDA

AD a

     

Câu 17.3: Cho tứ diện ABCD có ACBD2 a Gọi M N, trung điểm BC AD, Biết

MN a Tính góc AC BD

A.45 B. 300 C. 600 D. 900

Lời giải Chọn C

Gọi I trung điểm AB Ta có IM INa Áp dụng định lý cosin cho IMN ta có:

 2 2 

cos 120

2

IM IN MN a a a

MIN MIN

IM IN a a

   

     

a a

a

2a 2a

N

M I

B D

C A

Vì IM / /AC IN, / /BDAC BD, IM IN, 18001200 600

Câu 17.4: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp BCD Gọi M trung điểm CD Tính cosin góc AC BM

A.

4 B.

3

6 C.

3

2 D.

2 Lời giải

Chọn B

    

cos , cos ,

3

AC CM CB

AC BM

AC BM AC BM

a AC BM a             

2 2

0

2 2

cos120 cos120

2 4 2 3

4

3 3

2 2

a a

a a

a a a

AC CM AC CB

a a a a

            

Câu 17.5: Cho hình chóp .S ABCDcó đáy ABCD hình chữ nhật với AB2a, BCa Các cạnh bên hình chóp a Khi đó, góc hai đường thẳng AB SC bằng:

A. 45 B. 30 C. 60 D. 90

Lời giải Chọn A

Ta có: AB CD// nên AB SC, CD SC, SCD

Gọi M trung điểm CD Tam giác SCM vng M có SCa 2, CM a nên tam giác vuông cân M nên SCD45 Vậy AB SC, 45

Câu 17.6: Cho tứ diện ABCD Gọi M , N, I trung điểm BC, AD AC Cho AB2 ,a

2

CD a MNa Tính góc  AB CD, 

A.135 B. 60 C. 90 D. 45

Chọn D

Theo tính chất đường trung bình tam giác:

1

/ / ;

2 / / ;

2

IN CD IN CD a

IM AB IM AB a



 

  

  

  AB CD,  IM IN, 



   Áp dụng định lý cosin ta có:

2 2

0

2

cos 45

2 2

IM IN MN

IM IN

      

Câu 17.7: Cho hình chóp S ABCD có đáyABCD hình chữ nhật với ABa AD, a 3,SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA2a (minh họa hình vẽ) Góc hai đường thẳng SC BD nằm khoảng nào?

A. 30 ; 40 . B. 40 ;50 . C. 50 ; 60 . D. 60 ;70 . Lời giải

Chọn D

a 2a

2a a

M I

N

B D

C A

Gọi OACBD M trung điểm SA

Xét hình chữ nhật ABCD, ta có:

2 2 3 2

2 2

BD AB AD a a a

OBOA      a

Xét MAB vuông A, ta có: MB AB2MA2  a2a2 a Xét MAO vng A, ta có: MO AO2MA2  a2a2 a

Xét MBO, ta có:  

2 2 2

2

cos 69

2 2

o

OB OM BM a a a

MOB MOB

OB OM a a

   

    

Ta có: SC/ /MOSC BD, MO BD, MOB69o ( Do MOB90o) Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ

Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với A0; 0;0 , B a ; 0;0 , C a a ; 3;0 , D 0;a 3; 0 0;0; 

S a

Ta có: SCa a; 3; 2 aSCcó vectơ phương u1; 3;  

 ; 3; 0

BD a a BD



có vectơ phương v  1; 3; 

Suy ra:  

2 1

cos , , 69

2 2.2 2

o

u v

SC BD SC BD

u v

    

   

Câu 17.8: Cho hình chóp S ABC có ABC SBC tam giác nằm hai mặt phẳng vuông góc với Góc đường thẳng SA ABC

A. 45 B. 75 C. 60 D. 30

Lời giải Chọn A

Theo giả thiết ta có ABC  SBC

Trong mặt phẳng SBC kẻ SH BC SH ABC nên AHlà hình chiếu SA ABC Do đó, SA ABC, SA AH, SAH

Giả sử ABa

Ta có: SBC ABC tam giác nên H trung điểm BC

a AH SH

Xét tam giác vuông SHA ta có tanSAH SH

AH

  SAH 45

Vậy SA ABC, 45

Câu 17.9: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy,

SAa (minh họa hình vẽ) Góc đường thẳng SCvà mặt phẳng SABbằng:

A. 30. B. 45 C. 60. D. 90.

Lời giải Chọn A

H S

C A

B

Ta có: BC SA BC SAB

BC AB

 

 

  

nên SBlà hình chiếu SCtrên mặt phẳng SAB

Do đó: SC SAB, SC SB, BSC

Xét SAB vng A, ta có: 2  2

2

SB SA AB  a a a

Xét SBC vuông B, ta có: tan  30

3

o

BC a

BSC BSC

SB a

    

Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ

Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với A0; 0;0 , B a ;0; , C a a ; ;0 S0; 0;a 2 Ta có: SAB:y 0 vectơ pháp tuyến SAB j0;1;0 

 ; ; 2

SC a a a SC



có vectơ phương u1;1; 

Suy ra:    

1

sin , , 30

2

o

j u

SC SAB SC SAB

j u

   

   

Câu 17.10:Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy,

SAa (minh họa hình vẽ) Góc đường thẳng SDvà mặt phẳng SABbằng:

A. 30. B. 45 C. 60. D. 90. Lời giải

Chọn A

Ta có: ADSABnên SAlà hình chiếu SDtrên mặt phẳng SAB

Do đó: SD SAB, SD SA,  ASD

Xét SAD vuông A, ta có: tan  30

3

o

AD a

ASD ASD

SA a

    

Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ

Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với A0; 0;0 , B a ;0; , D0; ; 0a  S0; 0;a 3 Ta có: SAB:y 0 vectơ pháp tuyến SAB j0;1;0 

0; ; 3

SD a a SD



có vectơ phương u0;1;  Suy ra: sin,  ,  30

2

o

j u

SD SAB SD SAB

j u

   

   

Câu 17.11:Cho hình chóp S ABC có SAABC, SAa, ABC cạnh a Tính góc SB

ABC

A. 30 o B. 60 C. 45 D. 90

Lời giải Chọn C

Ta có SAABCAB hình chiếu SBtrên mặt phẳng

   

, 45

ABC  ASB SD AD 

Câu 17.12:Cho hình chóp S ABC có SAABC, SAa, ABC cạnh a Gọi  góc SC

và mặt phẳng SAB Khi đó, tan

A

5 B

5

3 C.

1

2 D

Lời giải Chọn A

Gọi I trung điểm AB Ta có: CI AB CI SAB

CI SA

 

 

  

A C

B S

a

a a

I

A C

B S

SI

 hình chiếu SC mặt phẳng SABSC SAB, SC SI, CSI 

2 2

2

3

3

tan tan

5

a

CI CI

CSI

SI SA AI a

a



     

  

    

Câu 17.13:Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với ABCD cà

SAa Tính sin góc tạo AC mặt phẳngSBC

A.

3 B.

1

6 C.

1

7 D.

3 Lời giải

Chọn D

Kẻ AH SBBC AH AH SBC

AH

 hình chiếu AClên mặt phẳng SBCAC SBC, AC HC, ACH

Tam giác SABvuông 6

7

SA AB a a a

AH

SB a

   

Vì AHCvng sin

AH

H ACH

AC

  

Câu 17.14:Cho hình chóp S ABCD có cạnh đá a 2, cạnh bên 2a (minh họa hình vẽ) Góc cạnh bên mặt đáy bằng:

A. 30. B. 45 C. 60. D. 90.

Lời giải Chọn C

Ta có: góc cạnh bên mặt đáy góc SD ABCD Gọi OACBD Vì S ABCD hình chóp nên SOABCD

OD

 hình chiếu SDtrên ABCD Do đó: SD ABCD, SD OD, SDO

Xét hình vng ABCD ta có: 2

2 2

BD AB a

OD   a

Xét SOD vng O, ta có: cos  60

2

o

OD a

SDO SDO

SD a

    

Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ

Gọi OACBD Vì S ABCD hình chóp nên SOABCD Ta có: ACBDAB 2a SO SD2OD2  4a2a2 a 3.

Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ với O0; 0; , C a ;0; , D0; ; 0a  S0;0;a 3 Ta có: ABCD:z 0 ABCDcó vectơ pháp tuyến k0; 0;1 

0; ; 3

SD a a SD



có vectơ phương u0;1;  Suy ra: sin,  ,  60

2

o

k u

SD ABCD SD ABCD

k u

   

   

Câu 17.15:Cho hình chóp S ABCD có đáyABCD hình thang vng Avà B với

2 2 ;

AD AB BC a SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA2a (minh họa hình vẽ) Góc đường thẳng SD mặt phẳng SACbằng:

A. 30. B. 45 C. 60. D. 90.

Lời giải Chọn A

Gọi M trung điểm AD Ta có: ACM DCM vuông cân M    45o 45o 90o

ACD ACM DCM CD AC

        mà CDSAnên CDSAC

SC

 hình chiếu SDtrên mặt phẳng SAC Do đó: SD SAC, SD SC, CSD

Xét ACD vng cân C, ta có: ACCDa

Xét SAC vng A, ta có: SC SA2AC2  4a22a2 a

Xét SCD vuông C, ta có: tan  30

6

o

CD a

CSD CSD

SC a

    

Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ

Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với A0; 0;0 , B a ;0;0 , C a a ; ; , D0; ; 0a  S0; 0; 2a

Ta có: SD0; ; 2a  aSDcó vectơ phương u0;1;  

 

   

2

0;0;

, ; ;

; ;

AS a

AS AC a a

AC a a

                

SAC

 có vectơ pháp tuyến n  1;1;0 

Suy ra:    

1

sin , , 30

2

o

u n

SD SAC SD SAC

u n

   

   

Câu 17.16:Cho hình chóp tứ giác S ABCD cạnh đáy a SASBSC SDa Khi đó, cosin góc hai mặt phẳng SAB SAD

A.

4 B.

1

3 C.

3

2 D

1 

Lời giải

Chọn B

Gọi I trung điểm SA

Do tam giác SAD SAB nên BI SA SAB , SAD BI DI, 

DI SA       

Áp dụng định lý cosin cho tam giác BID ta có:

  

2

2

2 2

3

2

2

cos

2 3

2

2

a a a

IB ID BD

BID IB ID a a                    

Vậy cos , 

SAB SAD 

Câu 17.17:Cho tam giácABC vuông cân A có ABa, đường thẳng d vng góc với ABC

tại điểm A ta lấy điểm Dsao cho DBCđều Khi đó, góc hai mặt phẳngABC DBCnằm khoảng nào?

A.40 ;50 o o B. 50 ; 60 o o C. 60 ;70 o o D. 70 ;80 o o Lời giải

Chọn B

Gọi M trung điểm BC

Ta có: BC DM BC DMA

BC DA        Mặt khác:                   ,  ,  

ABD DBC BC

DMA BC

ABC DBC AM DM DMA

DMA ABC AM

DMA DBC DM

                

Ta có: 2

2 2

BC AB a

AM    ,

2

BC a

DM  

Xét ADM vuông A, ta có: cos  arccos 54

3 o. AM AMD AMD DM      Cách khác:

Gọi góc hai mặt phẳng ABC vàDBC Theo cơng thức diện tích hình chiếu đa giác Ta có:SABC SDBC.cos

Mà:

2

1 3

.sin 60 2

2 2

DBC

a

S  DB DC  a a 

Mặt khác:

2

ABC

S  AB AC a

o

3

cos arccos 54

3 ABC DBC S S           a a

a M

Câu 17.18:Cho hình chóp S ABCD có cạnh 2a, cạnh bên a (minh họa hình vẽ) Góc mặt bên mặt đáy bằng:

A. 30. B. 45 C. 60. D. 90.

Lời giải Chọn B

Ta có: góc mặt bên mặt đáy góc SCD ABCD

Gọi OACBD Vì S ABCD hình chóp nên SOABCD

Gọi M trung điểm CD Ta có: CD SM CD SOM

CD OM

  



Do đó:

 

   

   

   

   

 



 

, ,

CD SOM

SCD ABCD CD

SCD ABCD SM OM SMO

SOM SCD SM

SOM ABCD OM

 

  



  

  



 

 

Xét hình vng ABCD ta có: OM a 2 2

2 2

BD AB a

OD   a

Xét SOD vng O, ta có: SO SD2OD2  a 3 2 a 22 a Xét SOM vuông O, ta có: tanSMO SO a SMO 45 o

OM a

    

Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ

Gọi OACBD Vì S ABCD hình chóp nên SOABCD

Ta có: ACBDAB 22a SO SD2OD2  3a22a2 a

Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ với O0; 0; , C a 2; 0; , D 0;a 2;0 S0; 0;a Ta có: ABCD:z 0 ABCDcó vectơ pháp tuyến k0; 0;1 

 : 2

2

x y z

SCD x y z a

a

a a       

SCD

 có vectơ pháp tuyến n1;1; 

Suy ra:        

2

cos , , 45

2

o

k n

SCD ABCD SCD ABCD

k n

   

   

Câu 17.19:Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a 2, SA vng góc với mặt phẳng đáy,

SAa (minh họa hình vẽ) Góc hai mặt phẳng SBD ABCDbằng:

A. 30. B. 45 C. 60. D. 90.

Lời giải Chọn C

Gọi OACBD Ta có: BD SA BD SAC

BD AC

  



Do đó:

 

   

   

   

   

,  ,  

BD SAC

SBD ABCD BD

SBD ABCD SO AC SOA

SAC SBD SO

SAC ABCD AC

 

  



  

  



 

 

Xét hình vng ABCD ta có: 2

2 2

AC AB a

OA   a

Xét SAO vng A, ta có: tanSOA SA a 3 SOA 60 o

OA a

    

Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ

Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với A0; 0;0 , B a 2; 0; , D 0;a 2; 0 S0; 0;a 3 Ta có: ABCD:z 0 ABCDcó vectơ pháp tuyến k0; 0;1 

 : 3

2

x y z

SBD x y z a

a a a      

SBD

 có vectơ pháp tuyến n 3; 3; 

Suy ra:        

1

cos , , 60

2

o

k n

SBD ABCD SBD ABCD

k n

   

   

Câu 17.20:Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật với , 3

a

AB a AD ,SA vng góc với

mặt phẳng đáy, SAa (minh họa hình vẽ) Góc hai mặt phẳng SBD ABCD

bằng:

A. 30. B. 45 C. 60. D. 90. Lời giải

Chọn B

Vẽ AM BD M Ta có: BDBDSAAM BDSAM

Do đó:

 

   

   

   

   

 

, ,  .

BD SAM

SBD ABCD BD

SBD ABCD SM AM SMA

SAM SBD SM

SAM ABCD AM

 

  



  

  



 

 

Xét ABD vng A, ta có: 2 12 2 12 32 12

4 AM a

AM  AB  AD  a  a a  

Xét SAM vuông A, ta có: tanSMA SA a SMA 45 o

AM a

    

Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ

Chọn hệ trục Axyz hình vẽ với 0; 0;0 , 2 ; 0; , 0;2 3;

a

A B a D 

 

S0;0;a

Ta có: ABCD:z 0 ABCDcó vectơ pháp tuyến k0; 0;1 

 : 2

2

3

x y z

SBD x y z a

a a a      

SBD

 có vectơ pháp tuyến n1; 3; 

Suy ra: cos  ,    ,  45

o

k n

SBD ABCD SBD ABCD

k n

   

   