Câu khoảng cách của hình học không gian (thuần túy) trong đề thi THPTQG dù không là một câu khó nhưng để có thể nhìn được chân đường cao hoặc đoạn vuông góc chung đối với học sin[r]
(1)Câu khoảng cách đề thi THPTQG
Câu khoảng cách hình học khơng gian (thuần túy) đề thi THPTQG dù không câu khó để nhìn chân đường cao đoạn vng góc chung học sinh trung bình yếu khơng phải dễ Bài viết mong muốn giúp em tự tin với câu này, dù điểm 8,9,10 khó lấy, điểm với em hồn tồn (Bài viết có tham khảo nhiều nguồn khác nên khó lịng trích dẫn nguồn xin chân thành cám ơn tác giả, nguồn tài liệu tham khảo để viết này)
I) Ý tưởng: Ta có hình chóp: S ABC việc tính thể tích khối chóp
này thực dễ dàng (đường cao hạ từ S xuống mặt đáy (ABC)),
ta cần tính khoảng cách từ C đến (SAB) tức tìm chiều cao CE Vì thể
hình chóp khơng thay đổi dù ta có xem điểm ( , , , )S A B C đỉnh
vì ta biết diện tích ∆SAB khoảng cách cần tìm
SAB
V CE
S∆
= Có thể gọi dùng thể tích lần
Chú ý: Khi áp dụng phương pháp ta cần nhớ cơng thức tính diện tích tam giác:
( )( )( )
ABC
S∆ = p p−a p−b p−c với plà nửa chu vi a b c, , kích thước cạnh II) Ví dụ minh họa:
VD1: (A-2013) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng A ,ABC=30O; SBC tam giác đều cạnh a mặt bên SBC vng góc với mặt đáy Tính theo a thể tích khối chóp S ABC kho ảng cách từ
C đến (SAB )
Lời giải
Gọi E trung điểm BC SE ⊥(ABC)
2
a
SE=
Ta có 3;
2
a a
(2)của khối chóp là:
3
1 3
3 2 2 16 S ABC
a a a a
V = =
Để tính khoảng cách từ C đến (SAB) ta cần tính diện tích ∆SAB
Ta có
2 2
2
3
;
2 2
a a a
AB= SB=a SA= SE +EA = + =a
, Áp dụng công thức Heron ta được:
2
3 39
2 ( )( - )( - );
2 16
SAB
a
a a
S∆ p p SA p SB p AB p a
+ +
= − = =
Vậy ( ;( )) 39
13 S ABC
SAB
V a
d C SAB
S∆
= =
Nhận xét: Với cách tính khâu tính diện tích ta dùng máy tính hầu hết đều đẹp So với cách tính
bằng tọa độ hóa cách tình đơn giản nhiều tính tốn trình bày khó khâu tính diện tích (nhưng máy tính đảm nhận), so với cách lùi E để tính (đương nhiên phải kẻ thêm đường phụ ) với học sinh trung bình yếu có thể nói lựa chọ tốt
VD2: (B-2013) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác
đều nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD kho ảng cách từ A đến (SCD )
Lời giải
Gọi E trung điểm AB SE⊥(ABC),
2
a
SE=
Vì thể tích khối chóp cần tính
3
1 3
3
S ABCD
a a
V = a =
Ta cần tính khoảng cách từ A đến (SCD), ta quan sát khối chóp S ACD tích
2
1 3
3 2 12
S ACD
a a
(3)Ta có ; 2 2 2
CD=a SD=SC= SE +DE = SE +DA +AE =a , Áp dụng công thức Heron ta được:
2
2
( )( - )( - );
2
SCD
a a a
S∆ = p p−CD p SD p SC p= + + = a
Vì ( ;( )) 21
7 S ACD
SCD
V
d a SCD a
S∆
= =
VD3: (A-2014) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a
2
a
SD= , hình chiếu vng
góc S lên mặt phẳng (ABCD trùng v) ới trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp
S ABCD khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBD ) Lời giải
Gọi E trung điểm AB SE⊥(ABC), dùng định lý Pitago ta tính được: SE=a
Từ
1 S ABCD
V = a
Ta cần tính khoảng cách từ A đến (SBD) ta quan sát hình chóp S ADB tích 1 3 2a a = 6a nên ta tìm diện tích tam giác ∆SBD toán
giải
Ta có 2; ;
2
a
BD=a SD= SB= a Áp dụng công thức Heron
ta được:
3
2 3
2
( )( )( );
2
SBD
a
a a
S∆ p p SB p SD p BD p a
+ +
= − − − = =
Vậy
2
2
3
3 6
( ;( ))
3
4 S ABD
SDB
a
V a
d A SBD
a S∆
(4)VD4: (B-2014) Cho khối lăng trụ ABC A B C có ' ' ' đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc
'
A lên (ABC trung ) điểm cạnh AB , góc đường thẳng A C m' ặt đáy 60o Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C kho ' ' ' ảng cách từ Bđến (ACC A ' ')
Lời giải
Gọi E trung điểm AB, A E' ⊥(ABC), 60o ( ' ;( )) '
A C ABC A CE
= =
Ta có
2
a
CE = (đường cao tam giác đều)
vì ' tan 600
2
a
A E= CE=
2
' ' '
3 3
2
ABC A B C
a a a
V
⇒ = =
Ta cần tính khoảng cách từ B đến (ACC A' ') tức từ B đến (AA'C), ta quan sát khối chóp A ABC'
tích
2
'
1 3
3
A ABC
a a a
V = = ta cần tìm diện tích ∆A AC' (để dùng thể tích lần)
Ta có
2
3 10
; ' ; '
2 2 cos60o
a a CE
AC =a AA = + a = A C= =a
Áp dụng công thức Heron ta được:
2 '
10
3 39
2 ( ' )( - ' )( - );
2
A AC
a
a a
S∆ p p A A p A C p AC p a
+ +
= − = =
Vậy ( ) ( ) '
'
3 13
;( ' ') ;( ' )
13 A ABC
A AC
V
d B ACC A d B A AC a
S∆
= = =
Qua bốn VD ta thấy việc áp dụng cách Thể tích lần tỏ hiệu khơng cần suy nghĩ
(5)III) Các ví dụ khác áp dụng cách tính Thể tích lần :
VD1: (A-2012) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABC ) điểm H thuộc AB cho HA=2HB Góc đường SC mặt phẳng (ABC b) ằng
60o
Tính theo a thể tích khối chóp S ABC kho ảng cách giữ hai đường thẳng SA BC Lời giải
Ta có 60O (;( ))
SC ABC SCH
= = mà
2
3
6
a a a
CH = + =
nên ta tan 60 21
o a
SH = CH =
Do thể tích khối chóp là:
2
1 21
3 12
S ABC
a a a
V = =
Dựng hình bình hành ABCD (điều tự nhiên cách tìm khoảng cách hai đường chéo nhau), d SA BC( ; )=d B SAD( ;( )) Ta quan sát khối chóp S ABD khối chóp tích với thể tích khối chóp S ABC tức
3
7 12 S ABD
a
V = để tính d B SAD( ;( )) ta cần tính diện tích ∆SAD
Ta có ; 2
3
a
AD=a SA= SH +AH = ,
2
2 2 2 cos120 19
9
o a
DH = AD +AH − ADAH = 10
a
SD=
Áp dụng công thức Heron ta được:
2 10
6
3
( )( - )( - );
2
SAD
a a
a
S∆ p p SA p SD p AD p a
+ +
= − = =
Vậy ( ;( )) 42 S ABD
SAD
V a
d B SAD
S∆
= =
VD2: (D-2008) Cho lăng trụ đứng ABC A B C có ' ' ' đáy tam giác vuông, AB=BC =a, cạnh bên
'
(6)Lời giải
Theo giải thiết ∆ABC vng cân B
vì thể tích khối lăng trụ là: ' ' '
1
2
2
ABC A B C
V =a a = a
Gọi D trung điểm BB'
( ; ' ) ( ' ;( )) ( ;( )) ( ;( ))
d AM B C =d B C ADM =d C ADM =d B ADM
Ta quan sát khối chóp D ABM khối chóp tích
3
1 2
3 2 24
D ABM
a a a
V = a = nên để tính khoảng cách từ B đến (ADM) ta cần tính diện tích ∆ADM
Ta có:
2 2 2
2
2
; ;AM
2 2 2 2
a a a a a a a
AD= +a = DM = + = = a + =
Do diện tích
6
14
2 2
( )( - )( - );
2
AMD
a a a
S∆ p p AM p MD p AD p a
+ +
= − = =
Vậy ( ; ' ) ( ;( ))
7 D ABM
ADM
V a
d AM B C d B ADM
S∆
= = =
Nhận xét:Nếu biết cách linh hoạt ở phương pháp toán khoảng cách trở nên dễ có
thể có nhiều lời giải hay!
VD3: (THTT- 452) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc của S lên mặt phẳng đáy I thuộc AB cho BI =2AI Góc mặt bên (SCD m) ặt đáy
60o
Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD kho ảng cách AD SC Lời giải
Gọi E∈CD CE: =2ED, dễ dàng chứng minh 60O ((SCD);(ABCD))
SEI
(7)tan 60 o
SI = EI =a Vì thể tích
3
1
3
3
S ABCD
a
V = a a =
Ta thấy AD/ /BC d AD SC( ; )=d AD SBC( ;( ))=d D SBC( ;( )),
ta quan sát khối chóp S BCD tích
2
1
3
S BCD
a a
V = a =
vì để tìm khoảng cách d D SBC( ;( )) ta cần tìm diện tích ∆SBC
Ta có: ( )
2
2
2 2
2 31 10
; ;
3 3
a a a
BC=a SB= + a = SC= SI +CB +BI =
Do diện tích
31 10
31
3
( )( - )( - );
2
SBC
a a
a
S∆ p p SB p SC p BC p a
+ +
= − = =
Vậy ( ; ) ( ;( )) 93
31 S BCD
SBC
V
d AD SC d D SBC a
S∆
= = =
IV) Vận dụng phương pháp vào đề thi đề thi thử 2015:
Chúng ta cần hốn triệt tư tưởng sau: Khi tính diện tích tam giác (phục vụ cho cách tính thể tích lần) viết cố gắng dùng công thức Heron với mục tiêu giảm nhẹ kiến thức cần nhớ (điều cần thiết với em trung bình yếu) Vì có tính nhanh tam giác đặc biệt (vng, cân, đều…) Bạn đọc tính theo nhiều hướng khác đích đến cuối trịn điểm câu hình này!
Bài tập 1: (Chuyên Nguyễn Quang Chiêu- Đồng Tháp) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A ,AB=3a,BC =5a; mặt phẳng (SAC vng góc v) ới mặt phẳng (ABC Bi) ết SA=2 3a
30O
(8)Gọi E chân đường vng góc kẻ từ S xuống BC, dễ thấy SE⊥(ABC) Do sin 30O
SE =SA =a
hơn 2 4
AC = BC −AB = a Vậy thể tích . 3 41 3
3
S ABC
V = a a a= a
Để tính khoảng cách từ A đến (SBC) ta cần tính diện tích ∆SBC
Ta có: 5 ; 2 2 21
BC = a SB= SE +BE = SE +BA + AE = a
2 2
SC= SE +EC = a , diện tích ∆SBC là:
2
5 21
( )( - )( - ); 21
2 SBC
a a a
S∆ = p p−SB p SC p BC p= + + = a
Vậy ( ;( )) 7 S ABC
SBC
V
d A SBC a
S∆
= =
Bài tập 2: (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam) Cho hình lăng trụ ABC A B C có ' ' '
3; ; 30O
AC=a BC = a ACB= Cạnh bên hợp với mặt đáy góc 60o Mặt phẳng ( 'A BC)⊥(ABC)
Điểm H∈BC BC: =3BH mặt phẳng ( 'A AH)⊥(ABC) Tính theo a thể tích khối lăng trụ
' ' '
ABC A B C khoảng cách từ B đến ( 'A AC )
Lời giải
Ta có
( ' ) ( )
( ' ) ( ) ' ( )
( ' ) ( ' ) '
A AH ABC
A BC ABC A H ABC
A AH A BC A H
⊥
⊥ ⇒ ⊥
∩ =
khí góc cạnh bên 'A A mặt đáy (ABC) A AH' tức ' 60o
A AH =
Ta lại có: 2 2 . .cos30o
AH = CH +CA − CH CA =a
do A H' = AH.tan 600 =a Thể tích khối lăng trụ là:
3
' ' '
1
3 sin 30
2
ABC A B C
a
V =a a a =
(9)Ta quan sát khối chóp A ABC' khối chóp có thể tích là:
3 ' ' ' '
1
3
A ABC ABC A B C
a
V = V = nên để tính khoảng cách từ B đến ( 'A AC) ta cần tìm diện tích ∆A AC'
Ta có: ( )2
0
3; ' ;A'C (2 )
cos60
AH
AC=a A A= = a = a + a =a , diện tích ∆A AC' là:
2 '
3
( ' )( - ' )( - );
2 A AC
a a a
S∆ = p p−A A p A C p AC p= + + =a
Vậy '
'
3 3
( ;( ' ))
4 A ABC
A AC
V
d B A AC a
S∆
= =
Bài tập 3: (Chuyên ĐH Vinh lần 3) Cho hình hộp ABCD A B C D có ' ' ' ' đáy ABCD hình thoi cạnh a ,
120o
BCD= ; '
2
a
A A= Hình chiếu vng góc A lên m' ặt phẳng (ABCD trùng v) ới giao điểm AC BD Tính theo a thể tích khối hộp ABCD A B C D kho ' ' ' ' ảng cách từ D ' đến mặt phẳng
(ABB A ' ')
Lời giải
Gọi E = AC∩BD; ta có A E' ⊥(ABCD) A E' = A A' −AE2 =2 3a Do thể tích khối hộp
là:
' ' ' '
1
' 3
2
ABCD A B C D
V = A E AC BD= a a a= a
Ta có d D( ';(ABB A' '))=d C ABB A( ;( ' ')) ,
ta quan sát khối chóp A ABC' , khối chóp tích là:
3 ' ' ' ' '
1
6
A ABC ABCD A B C D
a
V = V = ta cần tính diện tích ∆A AB'
Ta có: ; ' ; ' ' 2 51
2
a a
(10)2 ' 51 195 2 ( ' )( - ' )( - ); A AB a a a a
S∆ p p A A p A B p AB p
+ + = − = =
Vậy '
'
3 195
( ';( ' ')) ( ;( ' '))
65 A ABC
A AB
V a
d D ABB A d C ABB A
S∆
= = =
Bài tập : (Chuyên Lam Sơn) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật tâm I , có
;
AB=a BC=a Gọi H trung điểm AI Biết SH ⊥(ABCD) , tam giác ∆SAC vuông S Tính
theo a thể tích khối chóp S ABCD kho ảng cách từ C đến (SBD ) Lời giải
Ta có
2
SE= AC=a
2
2
2
a a
SH = a − =
, thể tích S ABCD
3
1
3 2
S ABCD
a a
V = a a =
Ta quan sát khối chóp S BCD khối chóp tích
3
1
2
S BCD S ABCD
a
V = V = nên ta cần tính diện tích ∆SBD
Ta có:
2
2 3
2 ; ;
2 2
a a a
BD= a SB= HB +SH = + =
2
2 10
2 2
a a a
SD= HD +SH = + =
do diện tích ∆SBD là:
2 10 15 2 ( )( - )( - ); SBD a a a a
S∆ p p SB p SD p BD p
+ + = − = =
Vậy ( ;( )) 15
15 S BCD
SBD
V a
d C SBD
S∆
(11)Bài toán 5: (THTT-455) Cho hình lăng trụ ABC A B C có ' ' ' đáy tam giác cạnh a , hình chiếu vng góc A lên m' ặt đáy (ABC trùng v) ới tâm O ∆ABC, góc (ABB A m' ') ặt đáy 60o Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A B C kho ' ' ' ảng cách hai đường thẳng AB CC '
Lời giải
Gọi D E; trung điểm AB BC; Dễ thấy 60O (( ' ');( )) '
ABB A ABC A DO
= =
' tan 60
2
o a
A O= DO= nên thể tích lăng trụ ABC A B C ' ' ' là:
2
' ' '
3
2
ABC A B C
a a a
V = =
Ta có: d AB CC( ; ')=d CC( ';( 'A AB))=d C A AB( ;( ' )) ,
ta quan sát khối chóp A ABC' khối chóp tích là:
3 ' ' ' '
1
3 24
A ABC ABC A B C
a
V = V = nên nhiệm vụ cuối ta tính diện tích ∆A AB'
Ta có: ; ' ' ' 2 21
6
a
AB=a A A= A B= A O +AO = nên diện tích ∆A AB' là:
2 '
21 21
3
6
( ' )( - ' )( - );
2
A AB
a a
a
a
S∆ p p A A p A B p AB p
+ +
= − = =
Vậy ( ) ( ) '
'
3
; ' ;( ' )
4 A ABC
A AB
V a
d AB CC d C A AB
S∆
= = =
Bài toán 6: (Chuyên Võ Nguyên Giáp) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang cân (BC/ /AD ) Biết đường cao SH =a với H trung điểm AD ,AB=BC =CD=a AD; =2a Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD kho ảng cách hai đường thẳng SB AD
(12)Thể tích khối chóp S ABCD là:
1 3
3 2
S ABCD ABCD
V = SH S = a a = a
Ta có d SB AD( ; )=d AD SBC( ;( ))=d A SBC( ;( )),
ta quan sát khối chóp S ABC khối chóp tích là:
3
1 1 3
3 2 12
S ABC ABC
a a
V = SH S∆ = a a=
(đường cao hạ từ A xuống BC
2
a
) , nên ta cần tính diện tích tam giác ∆SBC
Ta có: BC=a SC; =SB= BH2+SH2 =a 2, diện tích ∆SBC là:
2
( )( - )( - );
2
SBC
a a a a
S∆ = p p−SB p SC p BC p= + + =
Vậy ( ; ) ( ;( )) 21
7 S ABC
SBC
V a
d SB AD d A SBC
S∆
= = =
Kết luận: Còn rất nhiều đề thi thử thức giải phương pháp này, thiết nghĩ
có giải 1000 tốn (cùng loại) khơng giải 10 mà nắm vững phương pháp Người viết mong bạn đọc sử dụng phương pháp đến mức điêu luyện để bí q (khơng nhìn ra chân đường cao hay đường phụ cần vẽ) sử dụng Phương pháp có nhược điểm tính tốn nhiều (nhưng nhiệm vụ máy tính ☺) dễ xảy sai số ảnh hưởng kết quả, vậy một lời
khuyên cho phương pháp là: Luyện tập phương pháp với khoảng 10 bài, tính tốn thật tập trung
kiểm tra lại phép toán lần trước chấm bút hết
V) Bài tập đề nghị :
1) (Chuyên Vĩnh Phúc) Cho hình chóp S ABC có AB =AC ;BC=a BAC =120O Gọi I trung
điểm cạnh AB , hình chiếu S lên mặt đáy trung điểm H CI , góc SA mặt phẳng đáy
60o
(13)ĐS :
3
3 37 ;
16 37
S ABC
a a
V = d =
2) (Đề minh họa của BGD &ĐT) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuôn B ,
2 ; 30O
AC= a ACB= Hình chiếu vng góc H đỉnh S xuống mặt (ABC trùng v) ới trung điểm AC ;SH =a 2 Tính theo a thể tích khối chóp S ABC kho ảng cách từđiểm C đến (SAB )
ĐS :
3
6 66 ;
6 11
S ABC
a
V = d = a
3) (Chun Hà Tĩnh) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a ; tam giác SAC∆
vuông S nằm mặt phẳng vng góc với đáy, SC =a 3 Tính theo a thể tích khối chóp
S ABCD khoảng cách từ B đến (SAD )
ĐS :
3
3 21 ;
3
S ABCD
a
V = d = a
4) (Chuyên Nguyễn Quang Chiêu- Đồng Tháp lần 1) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh
3
a ; BAD =120o cạnh bên SA⊥(ABCD) Biết số đo góc hai mặt phẳng (SBC )
(ABCD ) 60o Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD kho ảng cách BD SC
ĐS : . 3 3;
4 14
S ABCD
V = a d = a
5) (Chuyên Hưng Yên) Cho lăng trụ đứng ABC A B C có ' ' ' đáy tam giác cân, AB= AC =a ,
120o
BAC= Mặt phẳng (AB C t' ') ạo với đáy góc 60o Tính theo a thể tích lăng trụ ABC A B C ' ' ' và khoảng cách từđường thẳng BC đến mặt phẳng (AB C ' ')
ĐS :
3 ' ' '
3
;
8
ABC A B C
a a
V = d =
6) (Chuyên Lê Hồng Phong) Cho lăng trụ đứng ABC A B C có ' ' ' đáy ABC tam giác cân C , cạnh
6
(14)ĐS : ' ' ' ;3
2 ABC A B C
a
V = a d =
7) ( k2pi.net.vn lần 11) Cho lăng trụ đứng ABC A B C có ' ' ' đáy ABC tam giác vuông cân B ,
' 6;
A C =a AC= a Gọi M trung điểm A C I tâm c' ' ủa mặt bên ABB A Tính theo ' ' a thể
tích lăng trụ ABC A B C kho ' ' ' ảng cách hai đường thẳng IM A C '
8) (B-2011) Cho hình lăng trụ ABCD A B C D có ' ' ' ' đáy ABCD hình chữ nhật, BA=a AD; =a 3 Hình chiếu A lên m' ặt phẳng(ABCD trùng v) ới giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng
(ADD A ' ') (ABCD b) ằng 60o Tính thể tích khối lăng trụ đã cho khoảng cách từ điểm B ' đến mặt phẳng( 'A BD )
ĐS :
3 ' ' ' '
3
;
2
ABCD A B C D
a a
V = d =
9) (A-2011) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông cân, AB=BC =2a Hai mặt phẳng (SAB ) và (SAC vuông v) ới mặt đáy (ABC ; M trung ) điểm AB , mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N Góc (SBC ) (ABC ) 60o Tính theo a thể tích S BCNM kho ảng cách AB SN
ĐS : . 3; 39
13 S BCNM
V =a d = a
10) (Chuyên KHTN-ĐHKHTN) Cho lăng trụ đứng ABCD A B C D có ' ' ' ' đáy hình thoi cạnh a
45o
BAD= , ' 2
2
a
AA = − ,O O l; ' ần lượt tâm ABCD A B C D Tính theo a ' ' ' '
a) Thể tích khối lăng trụ ABCD A B C D ' ' ' '
b) Khoảng cách từ C đến ( 'A BD kho) ảng cách hai đường thẳng AO ' B O '
ĐS : ( ) ( )
3 ' ' ' '
2 2 2
; ;( ' ) ; '; '
2 2
ABCD A B C D
a a a
V = − d C A BD = d AO B O = −