Cơ học kết cấu: Các phương pháp tính

Trong phaàn naøy cuûa taøi lieäu seõ trình baøy caùc phöông phaùp tính aùp duïng cho cô hoïc keát caáu taøu bay, taøu thuûy vaø oâ toâ.. Taøi lieäu ñaày ñuû veà phöông phaùp tính duøng[r]

CHƯƠNG 6

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Trong phần tài liệu trình bày phương pháp tính áp dụng cho học kết cấu tàu bay, tàu thủy ô tô Tài liệu đầy đủ phương pháp tính dùng học kết cấu, bao gồm phương tính dùng phương pháp phần tử hữu hạn tìm thấy đầy đủ tài liệu tham khảo ghi cuối sách

1 Phương pháp Rayleigh-Ritz

Phương pháp Ritz hay Rayleigh-Ritz, viết tắt R-R, phương pháp tính nằm khuôn khổ phép biến phân Tiền đề phương pháp phiếm hàm tương đương

bài toán xác định dạng I = F( u, u

x x

∫

x, …,x )dx Phương pháp

Rayleigh_Ritz tìm cách thay biến u phiếm hàm I nghiệm gần dạng hàm xấp xỉ, ví dụ:

u =

∑

(6.1)

= N i

i if

a

1

Hàm fi, i =1,2, , N phải thoả mãn điều kiện biên toán Phiếm hàm I chứa u thường tìm dạng:

I = F( u, u

x x

∫

x, , x )dx (6.2)

trong ký hiệu ux = ∂u / ∂x Các điều kiện biên có dạng:

u(x1) = u(x2) = 0; (6.3)

Hàm xấp xỉ u liên tục đến bậc N-1 thỏa mãn điều kiện biên Và hàm fi phải thỏa mãn điều kiện:

Đưa (6.1 ) vào (6.2), sau lấy đạo hàm theo cho phiếm hàm I, nhận hệ phương trình đại số chứa ẩn số ai:

∂I / ∂ai = 0, i=1,2, ,n

Sau thay gía trị giải từ hệ phương trình cuối cùng, nhận hàm xấp xỉ lập cho u, tính theo (6.1)

Ví dụ 1: Xác định độ võng dầm liên tục

B

A

L

z

x

q

Hình Độ võng dầm w(x) = u(x) =

∑

∞ a

=1 n

n fn (a)

trong fi (x) - hàm sở, cịn - hệ số cần xác định Trong trường hợp cụ thể điều kiện biên có dạng:

tại x =0: w(0) = 0; w’(0) ≠

taïi x = L: w(L) = 0; w’(L) ≠ (b)

Để thoả mãn điều kiện (b) hàm fi (x) mang dạng: fn(x) = sin n x

L

π , n=1,2, (c)

Độ võng tính theo cơng thức: w(x) =

∑

∞ a

=1 n

n sin n x L

π (d)

Từ tính đối xứng phương trình độ võng, cần giữ lại hệ số có số lẻ 1, 3, Hàm là:

w(x) =

∑

∞ a =1 n

n sin n x L

π ; n=1,3,5, (e)

Phiếm hàm I cho dầm bị uốn đơn thuần, tổng biến dạng công ngoại lực tác động lên dầm:

I ≡Π = U - W, từ lý thuyết dầm liên tục chương trước, dầm bị uốn tính sau:

U =

0 L

∫

EJ [w’’(x)]2dx (f)

U =

0 L

∫

EJ [ -

L x n L n a n n π π sin ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∑

∞ =

]2dx (g)

coøn W = q.w(x)dx = a

0 L

∫

L

∫ ∑

∞= n

n sin n x L

π dx , n=1,3,5, (h)

I =

∫

∑

∫∑

∞

= ∞ = − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − L L n n n n dx L x n a dx L x n L n a EJ

0

2 sin sin

1 π π π (i)

Hệ số xác định sau lấy đạo hàm F theo

(

)

∫

∫ ∑

⎟ − = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − ∞ = L L n n n dx L x n q dx L x L k L x n L n a EJ a W U 2 sin sin

sin π π π π

π ∂

∂ (j)

Trong khoảng không gian - L họ hàm ( sin n x L

π ) có tính trực giao:

0 L

∫

sin(mπx/L).sin (nπx/L)dx = L/

⎧ ⎨

⎩ m n n m

≠ =

Do hàm (j) có dạng:

(

)

2 = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − π π ∂ ∂ k L q a L L k EJ a W U k k Từ đó: 5 π k EJ qL

ak = (k)

Biểu thức độ võng dầm w(x) sau thay ak vào biểu thức đầu:

L x i i EJ qL x w i π π sin ) ( 5

∑

∞ =

= i=1,3,5, (l)

Tại vị trí dầm x = L/2 giá trị hàm xấp xỉ sau: w(L/2) =

EJ qL4

5

4

π ≈ 0,013071 qL

4 / EJ, sử dụng hệ số a w(L/2) = EJ qL4 5 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

π ≈ 0,0130172 qL

4 / EJ, sử dụng a

1 a2 Lời giải “chính xác” theo phương pháp giải tích đưa kết là: w(L/2) =

EJ qL4

384

Moment uốn tính theo cơng thức:

M(x) = EJ.w’’(x) (m)

Tại x = L/2 giá trị momen tính sau: M(L/2) = -

2 sin 3 π π i i qL i

∑

∞ =

, i=1,3,5, (n) Ví dụ 2: Ổn định dầm nhịp

Với dầm chịu lực nén T, biến dạng là:

dx Tw U L

∫

= '

1 (a)

Hàm chuyển vị tìm dạng:

w(x) = a

n= ∞

∑

n fn(x) (b)

Thay w vào (a) nhận được:

∫ ∑

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ∞ = L n n dx L L n L n a T U cos

1 π π (c)

Tổng dầm tính cơng thức:

∫

∑

∑

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − = Π ∞ = ∞ = L n n n n dx L x n L n a T L x n L n a EI W U 2 cos sin

1 π π π π (d)

Tiến hành đạo hàm Π theo ak,chúng ta nhận hệ phương trình:

∫

=

Π L

k

a 20 ∂ ∂ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −

∑

∞ = L x k L k L x n L n a EI n n π π π π sin sin 2

- N dx

L x k L k L x n L n a n n ⎭ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∑

∞ = π π π π cos cos

= (e)

Nhờ tính trực giao hệ hàm

L x kπ

cos vaø

L x kπ

sin , k =1,2, 3, đoạn

(0, L):

∫

=

L dx L x k L x n cos

cos π π neáu k≠ n

=

2

L neáu k = n;

0

2

= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢

⎢ ⎣ ⎡

− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

Π

T L k EI a

ak k

π ∂

∂ (f)

Phương trình trên, với ak ≠ 0, biểu thức dấu ngoặc vng phải khơng, viết:

2 2

L EI k

T = π (g)

Chúng ta quan tâm đến giá trị nhỏ T, vượt qua giá trị dầm chuyển sang giai đoạn ổn định Trong công thức cuối thấy, T đạt nhỏ cho trường hợp k =1, biểu thức lực Euler có dạng:

2

L EI

TE =π (h)

Kết phù hợp với kết tính chương trước Ví dụ 3: Tìm độ võng ứng lực bị uốn

Trường hợp tổng quát, chuyển vị theo hướng 0z tìm dạng:

(x,y) (a)

n n

n f

a y

x u y x

w

∑

∞ =

= =

1

) , ( ) , (

Để áp dụng phương pháp R-R cần thiết tìm phiếm hàm cho phương trình chuyển vị tác động lực Phiếm hàm tốn cụ thể hàm tổng lượng Từ lý thuyết đàn hồi biết, biến dạng thể công thức:

U =

2

∫∫∫

V (σxεx + σyεy + σzεz + τxyγxy + τxzγxz + τyzγyz)dxdydz (b)

Với vật liệu trực hướng, γxz = γyz = 0; σz = 0; phương trình U thành phần sau:

U =

2

∫∫∫

V (σxεx + σyεy + τxyγxy)dxdydz (c)

Với C ≡ nhận phương trình Laplace

Với C = -2Gθ, G= E/2(1-ν), θ - góc xoắn, phương trình Poisson miêu tả momen xoắn trục tiết diện bất kỳ, dài hữu hạn

Hệ phương trình suy từ phương pháp sai phân hữu hạn áp dụng cho phương trình Laplace phương trình Poisson có dạng:

) (

2 )

(

2 ,

,

, ,

1 − =

Δ + − +

Δ +

− − + −

+

C x

u u u

y u u

ui k ik i k ik ik ik

Phương pháp sai phân hữu hạn thuộc nhóm phương pháp số, chương trình hố Dưới giới thiệu hàm viết C, giải phương trình Poisson theo phương pháp sai phân hữu hạn Chương trình trích thư viện toán người viết (1992)

Giải phương trình Poisson

∇2Φ = Ψ(x,y)

Gọi chương trình:

Poison (int N, double length, double (*Phi)[MAX], double (*Psi)[MAX], int iters );

Với:

N Số đoạn phải chia D length Chiều dài cạnh L

Phi Matraän Φ Psi Matraän Ψ

iters Số lần lặp theo phương pháp Gauss-Seidel MAX Kích cỡ

Phương trình bản:

Φ i-1,j - 2Φ i,j + Φi+1,j Φ i,j-1 - 2Φ i,j + Φ i,j+1

- + - = Ψ i,j , vaø (Δx)2 ( Δy)2

Φ i,j ← (1/4) [Φ i-1,j + Φ i+1,j + Φ i,j-1 + Φ i,j+1 - (Δx)2 Ψ i,j ]

Phương trình vi phân miêu tả uốn có daïng chung:

∇4w = ∂

∂

4

w x +

∂ ∂ ∂

4 2

w x y +

∂ ∂

4

w y =

q

D (*)

hàm w thỏa mãn điều kiện biên: w = ∂2w/∂η2 = dọc cạnh với η- pháp tuyến đến cạnh tấm, D = Et3

12 1( −ν)

E - mođun đàn hồi, t - chiều dầy υ - hệ số Poisson

Nếu ký hiệu u = ∇2w, để giải tốn (*), cần thực hai lần tính sau: ∇2u = q

/* to solve ellipstic equation #include <stdio.h>

#include <stdlib.h> #define IMAX 12 #define JMAX 12 int i,j,N, ITMAX; double length;

double u[JMAX][IMAX], w[JMAX][IMAX], qdD[JMAX][IMAX]; ************************/

void Poison( int N, double length, double ( *Phi)[IMAX], double ( *Psi)[IMAX], int ITMAX )

{

register int iteration; register int i, j; double xsq, fn; fn = (double) N;

xsq = (length/fn) * (length/fn);

for (iteration =1; iteration <= ITMAX; iteration++) for (i=2; i <= N; i++)

for ( j = 2; j <= N; j++)

Phi[i][j] = 0.25*(Phi[i-1][j]+Phi[i+1][j] +Phi[i][j-1] + Phi[i][j+1] - xsq * Psi[i][j] );

return; }

/**************************** main( )

{

double q, t, Sigma, E, D, qD; int nplus1;

printf("\n\tEnter N, ITMAX, q, t, Sigma, length, E:\n");

scanf("%d %d %lf %lf %lf %lf %lf", &N, &ITMAX,&q,&t, &Sigma, &length, &E);

printf(" %d %d %9.5lf %9.5lf %9.5lf %9.5lf %9.5lf\n", N, ITMAX, q, t, Sigma, length, E);

nplus1 = N +1;

D = E*t*t*t / ( 12.0*(1.0 - Sigma*Sigma ) ); qD = q / D;

for ( i =1; i <= nplus1; i++) for ( j =1; j <= nplus1; j++) {

u[i][j] = w[i][j] = 0.0; qdD[i][j] =qD;

}

Poison(N, length, u, qdD, ITMAX); /* solve d2(u)=q/D */ Poison(N, length, w, u, ITMAX); /* solve d2(ww) = u */ printf("\n\t u are:\n");

for (i = 1; i <= nplus1; i++) {

for (j=1; j <= nplus1; j++)

printf("%9.5lf ", u[i][j]); printf("\n"); }

printf("\n\t w are:\n"); for (i=1; i <= nplus1; i++) {

for (j=1; j <= nplus1; j++)

printf("%9.5lf ", w[i][j]); printf("\n"); }

}