BÀI TẬP VỀ TÍNH GÓC, KHOẢNG CÁCH Bài 1: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a 3 1 Tính góc giữa các mặt bên và đáy, góc giữa các cạnh bên và mặt đáy.. O là tâ[r]
(1)QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN A- KIẾN THỨC CƠ BẢN ST T Định nghĩa, định lí, tính chất - Quy tắc ba điểm: AB BC AC ; MB MA AB AB AD AC - Quy tắc hình bình hành: - Quy tắc hình hộp: AB AD AA ' AC ' - Ba vectơ gọi là đồng phẳng giá chúng cùng song song với mặt phẳng Chứng minh các đẳng thức vectơ, tính toán, thu gọn biểu thức, Chứng minh ba vectơ đồng phẳng Phân tích vectơ theo các - Hai vectơ a, b không cùng thì phương vectơ khác c : !( x ; y ) : c xa yb với vectơ a, b, c không đồng phẳng thì với - Ba vectơ u : !( x ; y ; z ) : u xa yb zc vectơ hai vectơ u, v : ( u, v ) = BAC , Góc u AB, v AC Áp dụng u v u v c os( u , v) u, v : Tích vô hướng Vectơ a 0 là phương đường Tính góc hai vectơ, hai đường thẳng Chứng minh vuông góc u v u.v 0 Tính góc hai vectơ, hai thẳng d giá nó song song trùng đường thẳng minh vuông góc: Nếu với d Chứng Góc hai đường thẳng a và b u , v là hai vectơ không gian là góc hai đường thẳng a’ và phương hai đường thẳng a b’ cùng qua điểm bất kì song và b thì a b u.v 0 song với a và b a // c, a ┴ b → c ┴ b Hai đường thẳng vuông góc góc chúng 90o Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng Chứng minh hai đường thẳng (∝) d vuông góc với đường thẳng vuông góc Chứng minh đường thẳng nằm (∝) d (∝);a (∝) d a vuông góc với mặt phẳng d a; d b d (a, b) Sự liên quan quan hệ vuông góc và Chứng minh song song quan hệ song song: Định lí ba đường vuông góc: a (α), b Chứng minh vuông góc (α), b không vuông góc với (α), b’ là hình chiếu b trên (∝): a b a b ' Góc hai mặt phẳng là góc hai Xác định góc hai mặt đường thẳng vuông góc với hai mp phẳng đó Hai mp gọi là vuông góc góc Chứng minh hai mặt phẳng chúng 90o vuông góc Điều kiện đủ để hai mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông (2) góc với mặt phẳng Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình chóp đều, chóp cụt B – BÀI TẬP VỀ CHỨNG MINH VUÔNG GÓC Bài 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh AD (BCD) Gọi AE, BF là hai đường cao tam giác ABC; H, K là trực tâm tam giác ABC và BDC Chứng minh rằng: a) (ADE) (ABC); (BFK) (ABC); b) HK (ABC) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi H, I và K là hình chiếu vuông góc điểm A trên các cạnh SB, SC và SD a) Chứng minh BC (SAB), CD (SAD) và BD (SAC) b) A, H, I, K đồng phẳng c) Chứng minh HK AI Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh rằng: Bài 4: Cho hình lăng a) Mặt phẳng (AB’C’D) vuông góc với mặt phẳng (BCD’A’) trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D ', b) A’B vuông góc với mp(AB’C’D) cạnh đáy a, các c) AC’ vuông góc với A’B cạnh bên a d là đường thẳng qua A và song song với BD (P) qua d và C’ Tính diện tích thiết diện lăng trụ cắt (P) Bµi 5: Cho h×nh vu«ng ABCD, Gäi S lµ ®iÓm kh«ng gian cho SAB lµ tam gi¸c và mp (SAB) vuông góc với mp( ABCD) a) Chøng minh r»ng mp(SAB) mp(SAD) vµ mp(SAB) mp(SBC) b) Gäi H vµ I lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB vµ BC CM: (SHC) (SDI) Bµi 6: Cho h×nh chãp S.ABC cã SA = SB = SC = a, gãc ASB = 90 0, gãc BSC = 600, gãc ASC = 1200 Gäi H lµ trung ®iÓm cña c¹nh AC Chøng minh SI (ABC) Bài 7: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi H là trực tâm tam giác ABC biết A’H vuông góc với (ABC) Chứng minh tứ giác BCC’B’ là hình chữ nhật Bài 8: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O tới (ABC) Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SA (ABCD) Gọi I, K là hai SI SK SB SD Chứng minh: BD SC và điểm lấy trên hai cạnh SB và SD cho IK (SAC) (3) Bài 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác và (SAD) (ABCD) Gọi M, P là trung điểm SB, DC Chứng minh AM BP (4) C BÀI TẬP VỀ TÍNH GÓC, KHOẢNG CÁCH Bài 1: Cho hình chóp tứ giác S ABCD cạnh đáy a, cạnh bên a 1) Tính góc các mặt bên và đáy, góc các cạnh bên và mặt đáy 2) Tính khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC) O là tâm ABCD 3) Tính khoảng cách và x¸c định ®o¹n vu«ng gãc chung cña SA vµ BC Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông A, B BiÕt AD = 2BC = 2a, AB = a SA vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABCD), SA = a 1) Chøng minh c¸c mÆt bªn cña h×nh chãp lµ c¸c tam gi¸c vu«ng 2) Tính góc SC và đáy (ABCD) 3) Trên AB lấy điểm M cho AM = x, (0 < x< a) Xác định và tính diện tích thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mp(P) ®i qua M vµ (P) vu«ng gãc víi AB Bài 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có góc cạnh bên BB’ và mặt đáy (ABC) b»ng 600 H×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®iÓm B’ lªn mp(ABC) trïng víi träng t©m cña tam gi¸c ABC TÝnh B’G vµ diÖn tÝch tam gi¸c ABC, biÕt BB’ = a, tam gi¸c ABC vu«ng t¹i o C và góc BAC 60 ĐS: B 'G a 27 a ; S ABC 312 Bài 4: (ĐH-KB-2002) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M, N, P là trung điểm BB’, CD, A’D’ Tính khoảng cách hai đường thẳng A’B, B’D và tính góc hai đường thẳng MP và C’N ĐS: d = a/ α=90o Bài 5: (ĐH-KB-2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a và (SAB) vuông góc với đáy Gọi M, N là trung điểm AB, BC Tìm cosin góc hai đường thẳng SM và DN ĐS: / Bài 6: (ĐH-KA-2003) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tìm số đo góc tạo hai mặt phẳng (BA’C) và (D’AC) ĐS: 600 Bài 7: (ĐH-KA-2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy là tam giác vuông A có AB = a, AC = a Hình chiếu vuông góc đỉnh A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh BC Tính cosin góc hai đường thẳng AA’ và B’C’ ĐS: ¼ Bài 8: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc Gọi α, β, γ là góc OA, OB, OC và mp (ABC) Chứng minh sin2 α + sin2 β + sin2 γ = Bài 9: (ĐH-KD-2002) Cho tứ diện ABCD có AD (ABC) AC = AD = 4cm, 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cánh từ A đến mp (BCD) ĐS: 34 17 AB = Bài 10: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông C Biết AB = 2a, góc CAB = 600, đoạn SA = h và SA vuông góc với (P) Tìm h cho góc hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) 60o ĐS: h = a /2 (5) D BÀI TẬP VỀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN Bài 1: Tính thể tích khối tứ diện cạnh a, khối chóp tứ giác có tất các cạnh a Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a SA vuông góc với đáy và SA = a Gọi B’, D’ là hình chiếu A trên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a Bài 3: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ cạnh đáy a, góc BC’ và (ABC) 60o Tính thể tích lăng trụ và thể tích khối tứ diện A’BB’C Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm các cạnh BB’ và DD’ Tính thể tích khối chóp AA’ECF biết thể tích hình hộp Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính thể tích khối tứ diện AB’CD’ Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, SA = SB, góc SC và đáy 45 o Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = a , SA = a và SA là đường cao chóp Gọi M, N là trung điểm AD và SC, I là giao điểm BM và AC Tính thể tích khối tứ diện ANIB Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A, B và AB = BC = a, AD = 2a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA = a Gọi H là hình chiếu A trên SB Tính thể tích khối chóp SHCD và khoảng cách từ H đến mp(SCD) Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, (SAB) vuông góc với đáy và tam giác SCD cạnh a, góc hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) α Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và α Bài 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy a, góc cạnh bên và đáy β Tính tan góc hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo β và thể tích hình chóp theo β và a Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình tho cạnh a, góc ABC 120 o Cạnh SA vuông góc với mp(ABCD) và SA = a Gọi C’ là trung điểm cạnh SC Mặt phẳng (P) qua AC’ và song song với BD cắt các cạnh SB,SD B’, D’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Bài 12: Tính thể tích khối chãp tam giác S.ABC, biết SA = a; SB = 2a, SC = 3a, gãc ASB = 900, gãc BSC = 600, gãc ASC = 1200 (6) BÀI TẬP ÔN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (Tiếp) Bài 13 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân A với AB = AC và góc A 120o, cạnh bên BB’ = a Gọi I là trung điểm CC’ Chứng minh tam giác AB’I vuông A Tính cos góc hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I) ĐS: 30 10 Bài 14 Cho hình chóp S.ABC, có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N là trung điểm các cạnh SB, SC Tính diện tích tam giác AMN biết (AMN) vuông góc với a 10 ĐS: 16 (SBC) Bài 15 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD = a, AA’ = b Gọi M là trung điểm CC’ Xác định tỉ số a/b để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với ĐS: Bài 16 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M là trung điểm AE, N là trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD và tính khoảng cách hai đường thẳng MN và AC a ĐS: Bài 17 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = a, AC = 2ª, AA’ = 2a và góc BAC 1200 Gọi M là trung điểm cạnh CC’ Chứng minh MB vuông góc với MA’ và tinh khoảng cánh từ A đến (A’BM) a ĐS: Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với (ABCD), AB = a, SA = a Gọi H, K là hình chiếu A trên SB, SD Chứng minh SC vuông góc với (AHK) và tính thể tích khối chóp OHAK theo a a3 ĐS: 27 Bài 19 Cho hình hộp ABCD.A’B”C’D’ có tất các cạnh a, các góc BAA’, BAD, a3 DAA’ 60 Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ theo a ĐS: Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, O là tâm đáy SO (ABCD) và M, N là trung điểm SA, CD Góc MN và (ABCD) 600 Tình thể tích khối chóp S.ABCD và cos góc MN và (SBD) ĐS: V = a3 15 ; cosφ = (7) Bài 21 Cho tứ diện ABCD có AB = a, AC = b, AD = c và các góc BAC, CAD, DAB abc 12 ĐS: 600 Tính thể tích khối tứ diện ABCD Bài 22 Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a Gọi SH là đường cao hình chóp Khoảng cách từ trung điểm I SH đến (SBC) b Tính thể tích khối chóp a 3b S.ABCD theo a, b 2 ĐS: a 16b Bài 23 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB và AD Gọi H là giao điểm AN và DM Biết SH vuông góc với (ABCD) và SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách 5a 3 2a 57 hai đường thẳng DM và SC theo a ĐS: V = 24 ; d = 19 Bài 24 Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = a hai mặt phẳng (ADD’A’) và (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ và khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (A’BD) 3a a ĐS: ; Bài 25 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có mặt đáy là tam giác ABC vuông B và AB = a, BC = 2a, AA’ = 3a MÆt ph¼ng (P) ®i qua A vµ vu«ng gãc víi CA’ lÇn lît c¾t c¸c ®o¹n CC’ vµ BB’ t¹i M vµ N TÝnh thÓ tÝch khèi chãp C.A’AB, diÖn tÝch tam gi¸c AMN a 14 ĐS: VC.A’AB = VA’AMN = a3; SAMN = Bài 26 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác và mặt phẳng (SAB) vuông góc với (ABCD) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó a 21 ĐS: R = Bài 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, BC = b, đường cao SA Gọi B’, C’, D’ là hình chiếu vuông góc A trên SB, SC, SD Chứng minh các điểm A, B, C D, B’, C’, D’ cùng thuộc mặt cầu Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu đó Bài 28 Cắt hình nón (N) mặt phẳng qua trục nó, ta tam giác vuông cân có cạnh huyền a Tính diện tích và thể tích hình cầu nội tiếp hình nón Bài 29 Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính chiều cao và a Trên đường tròn tâm O lấy điểm A, trên đường tròn tâm O’ lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO’AB (8) Bài 30 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, góc hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) 600 Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối 7a lăng trụ và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a ĐS: 12 (9)