Đang tải... (xem toàn văn)
Lý thuyết số mũ Lyapunov có lịch sử lâu đời và được biết đến là một công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân. Cụ thể số mũ Lyapunov đo tốc độ tách nhau của các nghiệm xuất phát gần nhau của phương trình vi phân và khi số mũ là âm thì các nghiệm này hội tụ tới nhau khi thời gian tiến ra vô cùng.
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– HÀ LAN ANH TÍNH LIÊN TỤC CỦA SỐ MŨ LYAPUNOV CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHƠNG ƠTƠNƠM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– HÀ LAN ANH TÍNH LIÊN TỤC CỦA SỐ MŨ LYAPUNOV CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHƠNG ƠTƠNƠM Chun ngành: Giải Tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TSKH Đoàn Thái Sơn THÁI NGUYÊN - 2019 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu khoa học độc lập riêng thân hướng dẫn khoa học PGS TSKH Đoàn Thái Sơn Các nội dung nghiên cứu, kết luận văn trung thực chưa công bố hình thức trước Ngồi ra, luận văn tơi có sử dụng số kết tác giả khác có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu phát gian lận xin chịu trách nhiệm nội dung luận văn Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2019 Tác giả Hà Lan Anh Xác nhận khoa chuyên môn Xác nhận người hướng dẫn PGS TSKH Đồn Thái Sơn i Lời cảm ơn Trong q trình học tập nghiên cứu để hoàn thành luận văn tơi nhận giúp đỡ nhiệt tình người hướng dẫn, PGS TSKH Đồn Thái Sơn Tơi muốn gửi lời cảm ơn mơn Giải tích, Khoa Toán, tạo điều kiện thuận lợi, hướng dẫn, phản biện để tơi hồn thành tốt luận văn Do thời gian có hạn, thân tác giả cịn hạn chế nên luận văn có thiếu sót Tác giả mong muốn nhận ý kiến phản hồi, đóng góp xây dựng thầy cô, bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2019 Tác giả Hà Lan Anh ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Lời mở đầu 1 Số mũ đặc trưng Lyapunov lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.1 Định nghĩa số tính chất số mũ đặc trưng Lyapunov 1.2 Số mũ Lyapunov cho nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng ơtơnơm Sự biến đổi số mũ đặc trưng theo thay đổi nhỏ hệ số 12 2.1 Ví dụ không liên tục số mũ Lyapunov 13 2.2 Tách tích phân tính liên tục số mũ Lyapunov 17 Kết luận Tài liệu tham khảo i ii iii Lời mở đầu Lý thuyết số mũ Lyapunov có lịch sử lâu đời biết đến công cụ quan trọng việc nghiên cứu tính ổn định phương trình vi phân Cụ thể số mũ Lyapunov đo tốc độ tách nghiệm xuất phát gần phương trình vi phân số mũ âm nghiệm hội tụ tới thời gian tiến vơ Trong thực tế, có nhiều hệ phương trình mà ta khơng biết cách xác trường véc tơ câu hỏi đặt số mũ Lyapunov thay đổi trường véc tơ hệ thay đổi nhỏ Từ câu hỏi này, luận văn mong muốn trình bầy cách có hệ thống vấn đề tình liên tục số mũ Lyapunov Để làm điều này, luận văn tập trung vào: - Giới thiệu sơ lược số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân khơng ơtơnơm - Ví dụ tính khơng liên tục số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân tuyến tính khơng ơtơnơm - Độc lập tuyến tính, liên tục số mũ Lyapunov Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS TSKH Đồn Thái Sơn, người thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn thầy giáo khoa Tốn-Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho q trình học tập nghiên cứu để hồn thành luận văn Do điều kiện thời gian lực cịn hạn chế nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót, mong thầy, bạn góp ý bổ sung Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! Chương Số mũ đặc trưng Lyapunov lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính Trong chương này, giới thiệu số mũ đặc trưng Lyapunov số tính chất 1.1 Định nghĩa số tính chất số mũ đặc trưng Lyapunov Cho hàm có giá trị phức f (t) xác định khoảng [t0 , ∞) Định nghĩa 1.1 Một số (hoặc ký hiệu ±∞) định nghĩa X [f ] = lim sup t→∞ ln|f (t)| , t (1.1) gọi số mũ đặc trưng Lyapunov hàm số f (t) Quy ước: X [0] = −∞ Đôi số mũ đặc trưng Lyapunov ta gọi tắt số mũ đặc trưng hay số mũ Lyapunov Sau đưa số ví dụ số mũ Lyapunov số hàm số khác Ví dụ 1.2 (i) X [tm ] = 0, X [c = 0] = 0, X exp t cos (ii) X exp −t cos t t = = −1, X [exp(±t sin t)] = 1, (iii) X [tt ] = ∞, X [t−1 ] = −∞ Từ Định nghĩa trên, ta có tính chất sau: X [f ] = X [|f |], X [cf ] = X [f ], c = 0, X [eαt ] = α, Nếu |f (t)| ≤ |F (t)| cho t ≥ a, X [f ] ≤ X [F ] Bổ đề cho ta hiểu xác tăng hàm số có số mũ đặc trưng hữu hạn Bổ đề 1.3 Số mũ đặc trưng X [f ] = α hữu hạn với ε > 0, hai điều kiện sau thỏa mãn: limt→∞ |f (t)| = 0, exp(α + ε)t (1.2) limt→∞ |f (t)| = ∞ exp(α − ε)t (1.3) Chứng minh *Điều kiện cần: Giả sử X [f ] = lim sup ln|f (t)| = α t→∞ t (1.4) Theo (1.4), cố định ε > bất kỳ, tồn T > cho với t > T , ta có bất đẳng thức ε ln|f (t)| < α + t Nhân t vào hai vế lấy mũ ta được, |f (t)| < exp α + ε t Hơn nữa, ta có limt→∞ |f (t)| ≤ limt→∞ exp(−ε/2)t = exp(α + ε/2)texp((ε/2)t) Từ ta (1.2) Từ (1.4), cho dãy tk → ∞, k → ∞, tồn n > cho với k > N ta có ln|f (tk )| > (α − ε/2)tk Lấy mũ hai vế ta |f (tk )| > exp(α − ε/2)tk Do đó, ta có limt→∞ |f (tk )| = limt→∞ exp(α − ε)tk |f (tk )| exp(ε/2)tk exp(α − ε/2)tk ≥ limk→∞ exp(ε/2)tk = ∞ Từ ta thu (1.3) *Điều kiện đủ: Từ (1.2) cho t đủ lớn, ta có bất đẳng thức |f (t)| < exp(α + ε)t, ta có X [|f (t)|] ≤X [eα+ ] =α + Vì > tùy ý nên ta có, X [f ] ≤ α Bây giờ, từ (1.3) cho dãy tk → ∞, k → ∞ Do đó, với k đủ lớn ta có bất đẳng thức |f (tk )| > exp(α − ε)tk Ví dụ 2.9 Cho hệ x˙1 = 0, x˙2 = (sin ln t + cos ln t)x2 có ma trận X(t) = {x1 (t), x2 (t)} = et sin ln t Do đó, X [x1 ] = 0, X [x2 ] = Ta suy x2 (t) x1 (t) : = et sin ln t−s sin ln s x2 (s) x1 (s) Cho t = exp2mπ, s = exp(2m − l)π, 2m ≥ l ≥ 1, ta thấy với giá trị t s vế phải ln 1, (2.10) khơng thỏa mãn Hệ 2.10 Tính tách tích phân bất biến qua phép biến đổi Lyapunov Chứng minh Cho hệ tách tích phân (2.8) Dùng phép biến đổi Lyapunov y = L(t)x, ta thu y˙ = B(t)y Ta cần chứng minh hệ tách tích phân Xét sở Y (t) = {L(t)x1 (t), L(t)x2 (t), , L(t)xn (t)}, x1 (t), , xn (t), nghiệm (2.8) thỏa mãn (2.13) Cho số K ≥ cho L(t) ≤ K, L−1 (t) ≤ K với t ∈ R+ Ta có bất đẳng thức L−1 Lx ≤ L−1 21 Lx ≤ K Lx Do Lx ≥ x , Lx ≤ L K x Vậy L(t)xi+1 (t) L(s)xi (s) xi+1 (t) xi (s) d ≥ ≥ ea(t−x) L(s)xi+1 (s) L(t)xi (t) K xi+1 (s) xi (t) K Định nghĩa 2.11 Hệ X(t) gọi hệ chuẩn X(t) có tổng số mũ đặc trưng nhỏ số hệ Hệ 2.12 Cho hệ đường chéo x˙ = diag [a1 (t), , an (t)]x tách tích phân a1 (t), , an (t) tách tích phân Để chứng minh Định lý Bylov sau, ta cần kết sau Định lý 2.13 Cho hệ tuyến tính x˙ = A(t)x, x ∈ Cn , A ∈ C[t0 ; ∞) có ma trận X(t) = {Xn1 (t), , Xnr (t)}, n1 + n2 + + nr = n, (2.14) thỏa mãn inf t G(X) = p > G(Xn1 )G(Xn2 ) G(Xnr ) (2.15) Khi tồn phép biến đổi Lyapunov thu gọn hệ thành hệ y˙ = diag [Bn1 (t), , Bnr (t)]y ≡ B(t)y, Bn1 (t), , Bnr (t) ma trận thực 22 (2.16) Hệ 2.14 Điều kiện cần đủ để hệ x˙ = A(t)x, x ∈ Cn , A ∈ C[t0 ; ∞) thu gọn hệ đường chéo hệ có ma trận X(t) thỏa mãn G(X) x1 (t) xn (t) ≥ ρ > 0, t ≥ t0 (2.17) Định lý 2.15 Một hệ tách tích phân thu gọn hệ đường chéo Chứng minh Cho hệ nghiệm x1 (t), , xn (t) hệ (2.8) thỏa mãn bất đẳng thức (2.13) Đặt pi (t) = d ln xi (t) dt Do đó, t xi (t) = xi (s) exp pi (τ )dτ, i = 1, , n (2.18) Từ điều kiện (2.13), ta có t (p(i+1) (τ ) − pi (τ ))dτ ≥ a(t − s) + ln d (2.19) s Do đó, hệ p( 1), , pn (t) hệ tách tích phân Theo Hệ 2.14, hệ tuyến tính rút gọn thành đường chéo phép biến đổi Lyapunov có sở X(t) = {x1 (t), , xn (t)}, thỏa mãn điều kiện x1 (t) G(X) x2 (t) xn (t) ≥ ρ > với t ∈ R+ , G(X) định thức Gram nghiệm x1 (t), , xn (t) x1 G(X) x2 xn = sin2 β1 sin2 βn−1 ≥ ρ > 0, 23 (2.20) βk = ✁(Lk , xk+1 ), k = 1, , n − Lk không gian tuyến tính k chiều sinh nghiệm x1 (t), x2 (t), , xk (t) Hơn nữa, ta thấy với x ∈ Lk , bất đẳng thức x(t) ≤ Bk e x(s) t s pk (τ )dτ , t ≥ s ≥ 0, (2.21) thỏa mãn Ta chứng minh quy nạp Với k = 1, Định lý Bylov (2.21) hiển nhiên Giả sử với k = 1, 2, , m, bất đẳng thức G(x1 , , xk ) = sin2 β1 sin2 βk−1 ≥ ρ > 0, 2 x1 xk (2.22) đúng, với x ∈ Lk bất đẳng thức x(t) ≤ Bk exp x(s) t pk (τ )dτ, (2.23) s Ta cần chứng minh kết với k = m + Ta chứng minh phản chứng Giả sử (2.22) sai Khi đó, tồn dãy ti → ∞ với i → ∞ nghiệm xi (ti ) ∈ Lm thỏa mãn βm (ti ) = ✁{xi (ti ), xm+1 (ti )} →i→∞ Khơng tính tổng qt, ta giả sử xi (ti ) = xm+1 (ti ) = Khi xm+1 (ti ) − xi (ti ) → i → ∞ 24 (2.24) với T > 0, xm+1 (ti + T ) − xi (ti + T ) → i → ∞ (2.25) Từ (2.23) (2.18), ta có xm+1 (ti + T ) − xi (ti + T ) ≥ xm+1 (ti + T ) − xi (ti + T ) ti +T ≥ exp ti +T pm+1 (τ )dτ − Bm exp ti ti +T = exp pm (τ )dτ ti pm+1 (τ )dτ ti +T − Bm exp ti pm (τ ) − pm+1 (τ )dτ ti Bm −aT e > ≥ eλT − d Bất đẳng thức cuối thỏa mãn với T > đủ lớn Bất đẳng thức vừa thu mâu thuẫn với điều kiện (2.25) Do đó, bất đẳng thức (2.22) với k = m + Tiếp theo ta chứng minh bất đẳng thức (2.23) với k = m + Cho x ∈ Lm+1 , x = Ta có x(t) = C1 x (t) + C2 xm+1 (t), x(s) (2.26) x ∈ Lm x (s) = xm+1 (s) = 1, với C1 C2 không đồng thời Tương tự ta có < ρ ≤ ✁(x (s), xm+1 (s)) ≤ π/2 (2.27) Giả sử, |C1 | ≤ C, |C2 | ≤ C với C số không phụ thuộc vào x ∈ 25 Lm+1 s ≥ Khi x(t) x(s) t ≤ CBm exp t pm (τ )dτ + C exp s pm+1 (τ )dτ s t ≤ t (pm − pm+1 )dτ pm+1 (τ )dτ C + CBm exp exp s ≤ C 1+ < s t Bm −a(t−s) e d Bm 1+ d pm+1 dτ exp s t pm+1 τ dτ exp s Khi ta có điều phải chứng minh Hệ 2.16 Nếu hệ tách tích phân với nghiệm x ∈ Lk với Lk siêu khơng gian tuyến tính sinh nghiệm x1 (t), , xk (t) từ (2.13) thỏa mãn x(t) ≤ x(s) Bk e t s pk (τ )dτ , (2.28) Bk tách s Hệ 2.17 Một hệ tách tích phân rút gọn thành hệ đường chéo z˙ = diag [p1 (t), , pn (t)]z = P (t)z, với pi = d ln xi , i = 1, , n, dt đường chéo tách tích phân Chứng minh Lấy môt sở độc lập tuyến tính X(t) = {x1 (t), , xn (t)}, 26 (2.29) xây dựng ma trận Lyapunov L(t) phép biến đổi hệ đường chéo L(t) = x2 xn x1 , , , x1 x2 xn Khi X(t) = L(t) diag [ x1 (t) , , xn (t) ] (2.30) Xét sở Z(t) hệ (2.29) cho X(t) = L(t)Z(t); theo (2.30), ta có Z(t) = diag [ x1 (t) , , xn (t) ] Tương tự ˙ −1 = diag P (t) ≡ ZZ d d ln x1 , , ln xn dt dt Từ ta có điều phải chứng minh Tiếp theo, chúng tơi trình bày lại Định lý Millionshchikov [8] bỏ qua chứng minh Định lý 2.18 [Định lý Millionshchikov] Hai mệnh đề sau tương đương: Hệ x˙ = A(t)x thỏa mãn điều kiện (2.13) tách tích phân Với ε > 0, tồn δ > cho supt∈R+ Q(t) < δ, với nghiệm y(t) hệ (2.9) tồn nghiệm x(t) hệ x˙ = A(t)x cho sup ✁(x(t), y(t)) < ε, t∈R+ với góc hai vecto x y lấy giá trị tuyệt đối 27 Giả sử r(t) hàm khả tích đoạn tập số thực không âm hàm véc-tơ x(t) thỏa t x(t) = O(exp r(t)dt), or t ||x(t)|| ≤ Dexp r(t)dt, D số Khi ta nói tăng hàm x(t) khơng lớn r ký hiệu x ≺ r Định lý 2.19 Cho hàm p1 (t) p2 (t) tách theo nghĩa: p2 (t) − p1 (t) ≥ a > 0, t ∈ R+ (2.31) Khi đó, với ε > 0(0 < ε < a/2) tồn δ > cho hệ x˙ = diag [p1 (t), p2 (t)]x + Q(t)x = [P (t) + Q(t)]x, (2.32) với supt∈R+ Q(t) < δ có tính chất sau: Nêu nghiệm x(t) thỏa x(t) ≺ p2 − ε x(t) ≺ p1 + ε Hơn nữa, tồn số Dε (không phụ thuộc vào x(t)) cho t x(t) ≤ x(0) Dε exp (p1 (τ ) + ε)dτ, (2.33) với t ≥ Chứng minh Bằng việc biến đổi tham số, nghiệm x(t) hệ (2.32) thỏa mãn phương trình tích phân t x(t) = exp t P (τ )dτ x(0) + t exp − P (τ )dτ Q(s)x(s)ds 28 Các phần tử phương trình tích phân có dạng t x1 (t) = exp s t p1 dτ x1 (0) + exp − p1 dτ [Q(s)x(s)]1 ds , (2.34) t x2 (t) = exp t s p2 dτ x2 (0) + exp − p2 dτ [Q(s)x(s)]2 ds Nếu ε > 0, < ε < a/2 chọn hàm r(t) cho p1 (t) + ε ≤ r(t) ≤ p2 (t) − ε, t ∈ R+ (2.35) Ta xét nghiệm x(t) thỏa mãn hệ (2.34) Khi ta có, s exp − s p2 dτ [Q(s)x(s)]2 ≤ δD exp − s p2 dτ rdτ exp ≤ δDeεs Tích phân ∞ e− s p2 dτ [Q(s)x(s)]2 ds, hội tụ, ta phải đặt tập −x2 (0) giá trị tích phân Vì x2 (t) = −e t ∞ e− p2 dτ s p2 dτ [Q(s)x(s)]2 ds t Giả sử v(t, s) , Z(t, s) = w(t, s) với v(t, s) = exp t s p1 τ dτ 0 w(t, s) = ,s ≤ t (2.36) ,s > t -exp 0 t s p2 τ dτ ,s ≤ t (2.37) ,s > t 29 Ta cho x(0) = (x1 (0), 0), hệ (2.34) viết dạng x(t) = e ∞ t p1 dτ x(0) + Z(t, s)Q(s)x(s)ds (2.38) Cho B (r) họ hàm vecto x(t) R+ , thỏa mãn t x(t) ≤ D exp r(u)du, với D số Rõ ràng B (r) khơng gian tuyến tính với r1 (t) < r2 (t), t ∈ R+ , ta có B (r1 ) ⊆ B (r2 ) (2.39) Giả sử x r = sup x(t) e− t rdτ (2.40) t∈R+ Không gian B (r) đẳng cự với không gian hàm vectơ bị chặn liên tục: t − y(t) = x(t) exp r(τ )dτ Ta viết phương trình (2.38) dạng x(t) = ξ(t) + Jx(t) (2.41) Bằng định nghĩa ma trận Z(t, s) bất đằng thức với r(t) (trong (2.35)), với t, s ∈ R+ , ta có bất đẳng thức t Z(t, s) ≤ exp r(u)du − ε|t − s| s Thật vậy, với t ≥ s, ta có t Z(t, s) = exp t p1 dτ ≤ exp s r(u)du − ε(t − s) s 30 Với t ≤ s, ta t s Z(t, s) = exp −p2 dτ p2 dτ = exp s t s ≤ exp (−r(−u) − ε)du t t r(u)du − ε|t − s| = exp s Hơn nữa, ∞ Jx(t) − Jy(t) ≤ Z(t, s) Q(t, s) x(s) − y(s) ds ≤e t t rdτ eε|t−s| x − y r δds ≤e t rdτ 2δ ε x−y Với δ < ε/2, ta suy Jx − Jy ≤ θ x − y r , θ < (2.42) Mặt khác ta có t ξ(t) = x(0) exp p1 (τ )dτ ; với ξ ∈ B (r) ξ r = x(0) = ξ(0) (2.43) Thật vậy, t ξ(t) exp − r(u)du ≤ x(0) , dấu xảy t = Theo nguyên lý ánh xạ co, phương trình x = ξ + Jx có nghiệm x B (r) Ta có x0 = ξ, xk = ξ + Jxk−1 31 (2.44) Do đó, ∞ (xi+1 − xi ) x = limk→∞ xk = ξ + i=0 Khi ta có x = (I + J + J + + J k + )ξ Từ ta thu x r ≤ ξ , q−θ x(t) ≤ x(0) e 1−θ t r(u)du (2.45) Trong r(t) thỏa mãn bất đẳng thức sau p1 (t) + ε ≤ r(t) ≤ p2 (t) − ε, t ∈ R+ Điều cho ta thấy nghiệm hệ (2.32) có tăng ≺ p2 − ε thỏa mãn bất đẳng thức thức (2.45) với r(t) = p1 (t) + ε Vì vậy, bất đẳng thức (2.33) 32 Kết luận Trong luận văn chứng tơi trình bày tổng quan số kết sau: Giới thiệu số mũ đặc trưng Lyapunov cho phương trình vi phân khơng ơtơnơm số tính chất bản; Chỉ số ví dụ tính khơng liên tục số mũ Lyapunov; Chỉ độc lập tuyến tính điều kiện đủ cho tính liên tục số mũ Lyapunov; Trình bày lại kết Perron sở lý thuyết ổn định số mũ Lyapunov i Tài liệu tham khảo [1] A M Lyapunov (1956), General problem of the stability of motion, Collected works, vol 2, Izdat Akad Nauk SSSR, Moscow (Russian) [2] B F.Bylov, R È.Vinograd, D M.Grobman, and V V Nemyckii (1966), "Nauka", The theory of Lyapunov exponents and its applications to problem of stability, Moscow (Russian) [3] L Ya Andrianova (1995), Introduction to Linear Systems of Differential Equations [4] Nguyen Dinh Cong (2005), On generic bounded linear cocycles have simple Lyapunov spectrum, Ergodic Theory and Dynamical Systems, 25, 1775-1797 [5] Nguyen Dinh Cong and Doan Thai Son (2007), An open set of unbounded cocycles have simple Lyapunov spectrum and no exponential separation, Stochastic and Dynamics, 7, 335-355 [6] Peter Kloeden and Martin Rasmussen (2011), Nonautonomous Dynamiacal Systems, AMS [7] V M Millionshchikov (1968), A criterion for a small change of directions of solutions of a linear system of differential equations under small perturbations of the coefficients of the system, Mat Zametki 4, no 2, 173-180; English transl in Math Notes ii [8] V V Nemytskii and V V Stepanov (1966), Qualitative theory of differential equations, GITTL, Moscow and Leningrad, (1949); English transl., Princeton Univ Press, Princeton, NJ [9] Yu N Bibikov (1981), A general course of ordinary differential equations, Leningrad Univ., Leningrad (Russian) iii ... số mũ đặc trưng Lyapunov cho phương trình vi phân khơng ơtơnơm số tính chất bản; Chỉ số ví dụ tính khơng liên tục số mũ Lyapunov; Chỉ độc lập tuyến tính điều kiện đủ cho tính liên tục số mũ Lyapunov; ... đầu 1 Số mũ đặc trưng Lyapunov lý thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tính 1.1 Định nghĩa số tính chất số mũ đặc trưng Lyapunov 1.2 Số mũ Lyapunov cho nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính. .. ơtơnơm - Ví dụ tính khơng liên tục số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân tuyến tính khơng ơtơnơm - Độc lập tuyến tính, liên tục số mũ Lyapunov Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày