Tiết 41: Nguyên Hàm

Tất cả các nguyên hàm của một hàm f cho trước còn được gọi là tích phân bất định của f và được ký hiệu bằng dấu tích phân không có các cận.. Dấu do Leibniz dùng để kí hiệu tích ph[r]

Cho hàm số

KIỂM TRA KIẾN THỨC CU

2 1

( ) ( )

cos 2

f x x k

x





  

Tìm một hàm số F(x) cho F '(x)  f x( )

Đáp án:

( ) tan

F x  x

Vì : '( ) (tan ) ' 12 ( )

cos

F x x f x

x

  

Là một nguyên hàm của

( ) tan

F x  x

2 1 ( ) cos f x x 

( ) tan

F x  x

2 1

'( ) (tan ) ' ( )

cos

F x x f x

x

I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT:

1 Nguyên hàm:

a Định nghĩa: (SGK)

Cho hàm số y=f(x) xác định K Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) K F’(x)=f(x) với mọi x  K

Ví dụ 1:

Tóm tắt: F’(x)=f(x)

Thì: F(x) là nguyên hàm của f(x)

Hãy tìm thêm nguyên hàm khác hàm số

I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT:

1 Nguyên hàm:

Tổng quát:

F(x) một nguyên hàm f(x)

I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT:

1 Nguyên hàm: b Định lí 1: (SGK)

I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT:

1 Nguyên hàm: c Định lí 2: (SGK)

Nếu F(x) một nguyên hàm f(x) K nguyên hàm f(x) K có dạng F(x) + C, với C mợt số

Họ tất nguyên hàm f(x) K Kí hiệu:

f (x)dxF x( )  C C  

Ví dụ 2: 2

cos

xdx xdx

 

 

2

x  C

Ví dụ 3: HOẠT ĐỘNG NHÓM:

Tìm nguyên hàm sau

N1) Với x  (-  ; +  ), N2) Với t  ( ; +  ),

2

3x dx

 1

dt t



( ) ( ) ; ( ) ( )

f t dt F t  C f u du F u  C

  

Chú ý:

N3) Với s  (-  ; +  ),

sin sds



Ví dụ 4:

Tìm mợt ngun hàm F(x) biết F(1) = 4.f x( ) 2x

2

x  C

2xdx 



Ta có :

Gi¶i

Vậy : F x( ) x2  3

3

C

 

(1) 4

F   1 C 4

2 (x)

F x C

Trong công thức

f (x)dxF x( )  C C  

Có nhận xét mối quan hệ f(x)dx F(x)?

Chú ý : Biểu thức f(x)dx vi phân F(x), dF(x) = F’(x)dx = f(x)dx

Khi ta viết: dF x( ) F x( )  C

Ví dụ 5:

2

( )

d x x  C



(cos ) cos

d x  x C

I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT:

2 Tính chất của nguyên hàm

'( ) ( )

f x dx  f x  C



Ví dụ 6 (cosx dx)  ( sin )x dx cos x C a Tính chất 1:

b Tính chất 2:

Ví dụ 7

     0

k k k 

 f x dx = f x dx

2 1

2 2 ln

dx dx x C

x  x  

 

Với x  ( ; +  ),

c Tính chất 3:            

 

I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT:

2 Tính chất của nguyên hàm Ví dụ 8

2

5

3ex dx x         1

3 e dxx 5 dx x            5 5

3ex C C 3ex C

x x

      

2

5

3e dxx dx x

  

Giải:

Tìm họ nguyên hàm hàm số: f x( ) 3ex 52 , x \ 0 

x

CỦNG CỚ, DẶN DÒ:

F(x) nguyên hàm f(x) F’(x)= f(x)

Họ nguyên hàm hàm số f(x) f x dx F x( )  ( )C

Tính chất 1: f x dx'( ) f x( )C

Tính chất 2:

Tính chất 3:

Tính chất 3:

 

( ) ( )

kf x dx k f x dx k 

 

[ ( )f x g x dx( )]  f x dx( )  g x dx( )

  

Tìm ph ơng án đúng Câu 2: 2 3sin cos x dx x         

sin 3x  tan x C  cos x  tan x C

A B

3 cos x  tan x  C  3 cos x  2 tan x  C

C D

B

01s 02s 03s 04s 05s 06s 07s 08s 09s 10s 11s 12s 13s 14s 15s

HẾT GIỜ

(Thêi gian 15 gi©y)

) 7x 7 ln 7x

a  dx  C ) 7 7

ln 7

x x

b  dx  C

1 ) 7x 7x

c dx  C

 

 ) 7 7

1

x x

d dx C x



 





B i 2à : Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) =

CC

01s 02s 03s 04s 05s 06s 07s 08s 09s 10s 11s 12s 15s 13s 14s

HẾT GIỜ

(Thêi gian 15 gi©y)

CC

( ) x 3

f x e 

(

) F x) ex

a   x  b) F x( )  ex 3x

)

) F x( ex

c   d) F x( ) ex 3x 6

  

Bài F(x) là một nguyên hàm của hàm số Biết F(0) = Tìm F(x)?

CC

01s 02s 03s 04s 05s 06s 07s 08s 09s 10s 11s 12s 15s 13s 14s

HẾT GIỜ

(Thêi gian 15 gi©y)

Sắp xếp mảnh ghép sau để mệnh đề đúng.



4

3

x

dx



C

4

x



4 x 3dx x 4  C

Trò chơi

ĐÁP ÁN

Nguyên hàm có ý nghĩa quan trọng chúng dùng để tính tốn tích phân Mà tích phân lại giúp giải nhiều tốn thực tế Ví dụ tính diên tích cánh cổng hình parabol, tính thể tích trống…

Tất nguyên hàm hàm f cho trước gọi là tích phân bất định f ký hiệu dấu tích phân khơng có cận

Dấu Leibniz dùng để kí hiệu tích phân, chữ S kéo dài theo lối cổ, chữ đầu chữ sum - tính tổng