Đang tải... (xem toàn văn)
Rất thú vị là ta tìm được cách chứng minh định lý này một cách xây dựng, tức là tìm ra được biểu thức tường minh của đa thức P(x) mà không cần phải giải hệ phương trình hệ số bất định nê[r]
(1)4 Công thức nội suy Lagrange 4.1 Các ví dụ mở đầu
Ví dụ Tìm tất đa thức P(x) thoả mãn điều kiện: P(1) = 1, P(2) = 2, P(3) =
Lời giải Rõ ràng P Q hai đa thức thoả mãn điều kiện đề P(x) – Q(x) điểm 1, 2, từ đó, ta có P(x) – Q(x) = (x-1)(x-2)(x-3)H(x) Ngược lại, P(x) đa thức thoả mãn điều kiện đề đa thức Q(x) = P(x) + (x-1)(x-2)(x-3)H(x) thoả mãn điều kiện đề với H(x) Từ thấy có vô số đa thức thoả mãn điều kiện đề
Ta đặt câu hỏi: Trong đa thức thoả mãn điều kiện đề bài, tìm đa thức có bậc nhỏ Rõ ràng đa thức số, bậc Ta thử tìm bậc bậc
Giả sử P(x) = ax2 + bx + c đa thức thoả mãn điều kiện đề Khi P(1) = suy a + b + c =
P(2) = suy 4a + 2b + c = P(3) = suy 9a + 3b + c =
Giải hệ ra, ta nghiệm (a, b, c) = (1/2, -1/2, 1), ta P(x) = (1/2)x2 – (1/2)x + đa thức bậc nhỏ thoả mãn điều kiện Và theo lý luận trên, nghiệm toán có dạng
Q(x) = P(x) + (x-1)(x-2)(x-3)H(x) với H(x) đa thức tuỳ ý
Ví dụ 2. Tìm đa thức bậc nhỏ thoả mãn điều kiện P(-2) = 0, P(-1) = 1, P(0) = 1, P(1) = 2, P(2) =
Lời giải. Từ ý tưởng phương pháp hệ số bất định hệ phương trình bậc Ta thấy chắn chắn tồn đa thức bậc không thoả mãn điều kiện đề Xét P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Từ điều kiện đề suy hệ
16a – 8b + 4c – 2d + e = a – b + c – d + e = e =
a + b + c + d + e = 16a + 8b + 4c + 2d + e =
(2)Từ ví dụ cụ thể nêu trên, ta dự đốn với n+1 số phân biệt (a0, a1, , an) n+1 số b0, b1, , bn tồn đa thức P(x) bậc không vượt n thoả mãn điều kiện
P(ai) = bi với i=0, 1, 2, , n (*)
Ngoài ra, tất đa thức Q(x) thoả mãn (*) phải có dạng Q(x) = P(x) + (x-a0)(x-a1) (x-an)H(x) với H(x) đa thức nên nghiệm khác (*) có bậc n+1
Vì ta đề xuất định lý sau:
Định lý Cho n+1 số thực phân biệt (a0, a1, , an) n+1 số (b0, b1, , bn) Khi tồn đa thức P(x) có bậc khơng vượt q n thoả mãn điều kiện P(ai) = bi với i=0, 1, 2, , n
Sự chứng minh dễ dàng theo lý luận Tuy nhiên, việc chứng minh tồn cho trường hợp tổng qt khơng đơn giản, điều tương đương với việc chứng minh hệ phương trình n+1 phương trình, n+1 ẩn số có nghiệm (duy nhất) Rất thú vị ta tìm cách chứng minh định lý cách xây dựng, tức tìm biểu thức tường minh đa thức P(x) mà khơng cần phải giải hệ phương trình hệ số bất định nêu
Ý tưởng chứng minh sau Ta tìm đa thức P0(x), P1(x) …, Pn(x) bận n thoả mãn điều kiện sau
Pi(aj) = ij, Trong
¿
1i=j
0i≠ j
¿δij= {
¿
Khi đa thức P(x)=∑
i=0 n
biPi(x) thoả mãn điều kiện P(aj)=∑
i=0 n
biPi(aj)=∑
i=0 n
biδij=bj
Vấn đề lại tìm đa thức Pi(x) Vì Pi(aj) = với j i nên Pi(x) = Ci(x-a0)…(x-ai-1)(x-ai+1)…(x-an)
Vì Pi(ai) = nên
Ci=
(ai−a0) (ai− −1)(ai− ai+1) (ai− an)
(3)Pi(x)= (x − a0) .(x − −1)(x − ai+1) .(x − an) (ai−a0) (ai− ai −1)(ai−ai+1) (ai− an)(**) đa thức thoả mãn hệ điều kiện Pi(aj) = ij
Công thức nội suy Lagrange Cho n+1 số thực phân biệt (a0, a1, , an) n+1 số (b0, b1, , bn) Khi đa thức
P(x)=∑
i=0 n
biPi(x)
là đa thức có bậc không vượt n thoả mãn điều kiện P(ai) = bi với i=0, 1, 2, , n Các đa thức Pi(x) đa thức bậc n định nghĩa (**) 4.3 Ứng dụng công thức nội suy Langrange
Bài toán nội suy toán toán lý thuyết tốn ứng dụng Trong thực tế, khơng thể đo giá trị hàm số điểm, mà đo số điểm Các công thức nội suy cho phép chúng ta, phép đo số điểm, « dựng » lại đa thức xấp xỉ cho hàm số thực tế Công thức nội suy Lagrange, có nhiều ứng dụng vật lý, trắc địa, kinh tế học, khí tượng thuỷ văn, dự đoán dự báo … Tuy nhiên, ta không sâu vấn đề Dưới ta xem xét số ứng dụng công thức nội suy Lagrange tốn phổ thơng
4.4 Các tập có lời giải Bài Rút gọn biểu thức
A= a
2
(a −b)(a− c)+
b2
(b − c)(b − a)+
c2 (c − a)(c − b)
Lời giải Áp dụng công thức nội suy Lagrange cho hàm số P(x) = x2 với điểm a, b, c giá trị tương ứng a2, b2, c2 ta có
P(x)=a
2
(x − b)(x − c) (a −b)(a− c) +
b2(x − a)(x − c) (b −a)(b − c) +
c2(x − a)(x − b) (c − a)(c − b) So sánh hệ số x2 hai vế, ta A =
Bài Cho đa thức P(x) bậc n thoả mãn điều kiện P(k) = k/(k+1) với k=0, 1, 2, …, n Hãy tìm P(n+1)
Lời giải. Theo cơng thức nội suy Lagrange P(x)=∑
k=0
n
k k+1
(4)P(x)=∑
k=0 n
k k+1
(n+1) (n − k+2)(n −k) .(1) k(k −1) 1.(−1) (k − n) −1¿n − kk (n+1)!
(k+1)!(n− k+1)!
¿
−1¿n− kkCnk++21 ¿ ¿ ¿ ¿
∑
k=0
n
k k+1
(n+1) (n − k+2)(n− k+1)(n −k) (1) k(k −1) (−1) (k − n)(n− k+1) =∑k=0
n
¿
Cách 2. Xét đa thức (x+1)P(x) – x có bậc n có n+1 nghiệm x = 0, 1, 2, …, n Do đó, ta có
(x+1)P(x) – x = ax(x-1)(x-2)…(x-n) với a số
Thay x = - 1, ta = a.(-1)(-2)…(-n-1) = a(-1)n+1(n+1)! Suy a = (-1)n+1/(n+1)!.
Từ (n+2)P(n+1) – (n+1) = n!(-1)n+1/(n+1)! = (-1)n+1/(n+1) Suy P(n+1) = ((n+1)2 + (-1)n+1)/(n+2).
Bài Cho tam thức bậc P(x) = ax2 + bx + c thoả mãn điều kiện |P(x)| với | x | Chứng minh |a| + |b| + |c|
Lời giải. Thực phép nội suy điểm -1, 0, 1, ta có
P(x)=P(−1) x(x −1)
(−1−0)(−1−1)+P(0)
(x+1)(x −1) (0+1)(0−1)+P(1)
x(x+1) (1+0)(1+1) Suy
P(x)=P(1)+P(−1)−2P(0)
2 x
2
+P(1)− P(−1)
2 x+P(0)
Từ
a=P(1)+P(−1)−2P(0)
2 , b=
P(1)− P(−1)
2 , c=P(0)
Suy |
¿P(1)∨,∨P(−1)∨¿ ¿
¿ ¿a∨+¿b∨+¿c∨¿|P(1)+P(−1)−2P(0)
2 |+|
P(1)− P(−1)
2 |+¿P(0)∨¿|
P(1)+P(−1)
2 |+|
P(1)− P(−1)
2 |+2∨P(0)∨≤max¿
(5)Bài Rút gọn biểu thức
A= a
4
(a −b)(a− c)+
b4
(b − a)(b − c)+
c4 (c − a)(c − b)
Bài Cho M(y) đa thức bậc n cho M(y) = 2y với y = 1, 2, …, n+1 Hãy tìm M(n+2)
Bài 3. Cho đa thức P(x) = x10 + a
9x9 + … + a1x + a0 Biết P(-1) = P(1), P(-2) = P(2), …, P(-5) = P(5) Chứng minh P(-x) = P(x) với x thuộc R
Bài 4. Cho x0 < x1 < x2 < …< xn số nguyên P(x) đa thức bậc n có hệ số cao Chứng minh tồn i {0, 1, …, n} cho |P(xi)| n!/2n Bài 5. Một tàu với vận tốc không đổi ngang qua đảo Thuyền trưởng lại đo khoảng cách từ tàu đến đảo Vào lúc 12, 14 15 tàu cách đảo khoảng cách tương ứng 7, 11 km Hỏi vào lúc 13 tàu cách đảo km Và lúc 16 giờ, tàu cách đảo km?