GIẢI TÍCH hàm

Lời nói đầu Lý thuyết giải tích hàm đẹp đẽ chìa khoá để hiểu đợc môn học khác giải tích toán học Đối tợng giải tích hàm cổ điển không gian toán tử tuyến tính liên tục Các kết tảng giải tích hàm nguyên lý giải tích hàm bao gồm định lý Hahn-Banach, nguyên lý bị chặn Banach-Steinhauss, nguyên lý ánh xạ mở định lý đồ thị đóng Giáo trình trình bày kiến thức giải tích hàm Chơng I trình bày kiến thức không gian mêtric Các chơng II III trình bày ngắn gọn không gian định chuẩn, không gian Banach lý thuyết toán tử tuyến tính liên tục Chơng IV trình bày nguyên lý giải tích hàm Chơng V trình bày tôpô yếu, toán tử liên hợp toán tử compăc Cuối chơng VI trình bày lý thuyết không gian Hilbert toán tử tuyến tính liên tục không gian Hilbert Sau chơng có tập nhằm củng cố nâng cao nội dung kiến thức đ trình bày Để hiểu đợc giáo trình này, bạn đọc cần có số kiến thức tối thiểu không gian tôpô đại số tuyến tính Chúng hy vọng giáo trình giúp bạn đọc trang bị đợc kiến thức cần thiết giải tích hàm Các tác giả Chơng I Không gian mêtric 1.1 Sự hội tụ Định nghĩa 1.1 Không gian mêtric cặp (X, ), X tập hợp, hàm số xác định X ì X ( : X ì X R) thoả m n điều kiện: 1) (x, y) ≥ (∀x, y ∈ X), ρ(x, y) = ⇐⇒ x = y; 2) ρ(x, y) = ρ(y, x) (∀x, y ∈ X); 3) ρ(x, z) ρ(x, y) + (y, z) (x, y, z X); Các điều kiện 1), 2), 3) đợc gọi tơng ứng tiên đề đồng nhất, đối xứng, tam giác;(x, y) khoảng cách điểm x, y Ví dụ 1.1 Cho X = {a1, , an} R2 Ta xác định mêtric X nh sau: (ai, aj ) độ dài đoạn [ai, aj ] (i, j = 1, , n) (nh− vËy ρ(ai, ai) = 0, i = 1, , n) Với mêtric , X không gian mêtric Ví dụ 1.2 Tập số thực R tập số phức C không gian mêtric víi: (x, y ∈ R hc C) ρ(x, y) = |x y| Ví dụ 1.3 Không gian Ơclit Rk không gian mêtric với: k |i i| (x, y) = 1/2 i=1 (x = (ξ1, , ξk ), y = (η1, , ηk ) ∈ Rk ) Thật vậy, hiển nhiên thoả m n tiên đề 1), 2) Ta kiểm tra tiên đề 3) LÊy x = (ξ1, , ξk ) ∈ Rk , y = (η1, , ηk ) ∈ Rk vµ z = (ζ1, , ζk ) ∈ Rk , ta cã: k ρ2(x, z) = k |ξi − ζi|2 |ξi − ηi| + |ηi − ζi| i=1 i=1 ¸p dơng bất đẳng thức Côsi, ta có: k k |i ηi|2 |ξi − ηi||ηi − ζi| i=1 1/2 i=1 k |ηi − ζi|2 1/2 i=1 V× vËy, k |ξi − ηi| ρ (x, z) 1/2 k |ηi − ζi| + i=1 1/2 i=1 = [ρ(x, y) + ρ(y, z)]2 VÝ dơ 1.4 C[a, b] lµ tập hàm thực liên tục [a, b] Ta có C[a, b] không gian mêtric với: (x, y) = sup |x(t) − y(t)| (x, y ∈ C[a, b]) a t b Giả sử (X, ) không gian mêtric, M X Khi đó, hàm số M = |M ìM mêtric M Định nghĩa 1.2 Không gian mêtric (M, M ) đợc gọi không gian không gian mêtric (X, ); M đợc gọi mêtric cảm sinh M Định nghĩa 1.3 D y {xn } n=1 không gian mêtric (X, ) đợc gọi hội tơ ®Õn xo ∈ X, nÕu lim ρ(xn, xo) = Khi ®ã, ta viÕt n→∞ lim xn = xo xn xo; xo đợc gọi giới hạn cña d y n→∞ {xn} NhËn xÐt 1.1 D y hội tụ không gian mêtric có giới hạn nhÊt ThËt vËy, gi¶ sư lim xn = a, lim xn = b Khi ®ã, n→∞ n→∞ ρ(a, b) ρ(a, xn) + ρ(xn, b) (∀n) ⇒ ρ(a, b) lim ρ(a, xn) + lim ρ(xn, b) n→∞ n→∞ ⇒ ρ(a, b) = ⇒ a = b NhËn xÐt 1.2 NÕu limn→∞ xn = a vµ limn→∞ yn = b, th× lim ρ(xn, yn) = ρ(a, b) n→∞ ThËt vËy, víi mäi n, ta cã : ρ(a, b) ρ(a, xn) + ρ(xn, yn) + ρ(yn, b) ⇒ ρ(a, b) − ρ(xn, yn) ρ(a, xn) + ρ(yn, b) T−¬ng tù, ta cã: ρ(xn, yn) − ρ(a, b) ρ(a, xn) + ρ(yn, b) |ρ(xn, yn) − ρ(a, b)| ρ(a, xn) + ρ(yn, b) V× vËy, Bëi v× lim ρ(a, xn) = 0, vµ lim ρ(yn , b) = 0, ta suy đợc n điều cần chứng minh n Ví dụ 1.5 Trong không gian R C, ta có: lim xn = xo ⇐⇒ lim |xn − xo| = n n Đó hội tụ giải tÝch cỉ ®iĨn (n) (n) VÝ dơ 1.6 Trong Rk , gi¶ sư xn = (ξ1 , , ξk ) (n = 1, 2, ) vµ (o) (o) xo = (ξ1 , , ξk ) Khi ®ã, k |ξi(n) − ξi(o)|2)1/2 = lim xn = xo ⇐⇒ lim ( n→∞ n→∞ (n) ⇐⇒ lim ξi n→∞ i=1 (o) = ξi (i = 1, , k) V× thÕ, sù héi tụ Rk hội tụ theo tọa độ Ví dơ 1.7 Trong kh«ng gian C[a, b], lim xn = xo d y hàm n xn(t) hội tụ đến hàm xo(t) [a, b] Thật vậy, lim xn = xo ⇐⇒ lim ρ(xn, xo) = n→∞ n→∞ ⇐⇒ (∀ > 0, ∃no, ∀n ≥ no : ρ(xn, xo) < ) ⇐⇒ (∀ > 0, ∃no, ∀n ≥ no, ∀t ∈ [a, b] : |xn(t) − xo(t)| < ) 1.2 Tập mở, tập đóng ánh xạ liên tục Giả sử (X, ) không gian mêtric, xo ∈ X, r > S(xo, r) = {x ∈ X : (x, xo) < r} đợc gọi hình cầu mở tâm xo , bán kính r b) Tập S[xo, r] = {x ∈ X : ρ(x, xo ) r} đợc gọi hình cầu đóng tâm xo, bán kính r Định nghĩa 1.5 Giả sử A tập không gian mêtric (X, ) Điểm xo đợc gọi điểm A, tồn hình cầu S(xo, r) A Định nghĩa 1.6 Tập G đợc gọi mở điểm G Định nghĩa 1.4 a) Tập điểm Tập A đợc gọi đóng G\A mở Nhận xét 1.3 Hình cầu mở tập mở ThËt vËy, LÊy x ∈ S(xo , r), ta cã: ρ(xo, x) < r VËy r − ρ(xo, x) > LÊy < δ < r − ρ(xo, x), nÕu u ∈ S(x, δ), th× ρ(xo, u) ρ(xo, x) + ρ(x, u) < ρ(xo, x) + δ < r ⇒ u ∈ S(xo, r) ⇒ S(x, δ) ⊂ S(xo, r) Định lý 1.1 Họ tập mở đợc xây dựng theo định nghĩa 1.6 sinh tôpô không gian mêtric X Chứng minh a) Hiển nhiên, X mở b) Giả sử U1, U2 më, ta chøng minh U1 ∩ U2 më ThËt vËy, x ∈ U1 ∩ U2 ⇒ x ∈ Ui (i = 1, 2) ⇒ ∃ri > : S(x, ri) Ui (i = 1, 2) Đặt r = min(r1, r2), ta cã: S(x, r) ⊂ Ui (i = 1, 2) ⇒ S(x, r) ⊂ U1 ∩ U2 ⇒ U1 U2 mở c) Giả sử {Ut}tT họ tËp më X Ta chøng minh Ut më ThËt vËy, x ∈ U ⇒ ∃to ∈ T : x Uto tồn hình cầu S(x, r) Uto ⇒ S(x, r) ⊂ U ⇒ U më V× vậy, họ tập mở xây dựng theo định nghĩa 1.6 sinh tôpô X Nhận xét 1.4 Tập A không gian mêtric X mở ⇐⇒ ∀x ∈ A, ∃ l©n cËn U cđa x : U A Định lý 1.2 Giả sử F tập không gian mêtric X Khi đó, F ®ãng ⇐⇒ ∀ {xn} ⊂ F : lim xn = xo ∈ X ⇒ xo ∈ F U= t∈T n Chứng minh a) Giả sử F đóng Phản chứng: {xn} ⊂ F, lim xn = xo n→∞ nh−ng xo ∈ / F Ta cã: X\F më ⇒ ∃S(xo, ) ⊂ X\F lim ρ(xn, xo) = ⇒ ρ(xn, xo) < n→∞ víi n ®đ lín ⇒ xn ∈ S(xo, ) víi n ®đ lín ⇒ xn ∈ X\F xn / F với n đủ lớn (mâu thuẫn với {xn} F ) b) Ngợc lại, giả sư víi mäi {xn } ⊂ F : lim xn = xo ⇒ xo ∈ n→∞ F Ph¶n chøng: F không tập đóng Khi đó, X\F không mở xo X\F không điểm X\F ∀n, ∃xn ∈ S(xo, 1/n) : xn ∈ F Nh− vậy, {xn} d y phần tử F hội tụ đến xo / F (vì (xo, xn) < 1/n) Mâu thuẫn với giả thiết Với tập A X , ký hiệu A bao đóng A Định lý 1.3 Giả sử A tập không gian mêtric X Khi đó, x A ⇐⇒ ∃{xn} ⊂ A : lim xn = x n→∞ Chøng minh a) ∃{xn} ⊂ A : lim xn = x x A (định lý 1.2) n b) Ngợc lại, ta ý rằng: x A ⇐⇒ ∀U − l©n cËn cđa x : U ∩ A = ∅ Gi¶ sư x ∈ A ⇒ ∀n, S(x, 1/n) ∩ A = ∅ ⇒ ∃xn ∈ S(x, 1/n) ∩ A ⇒ {xn} ⊂ A, lim xn = x n Hệ 1.3.1 Giả sử A tập không gian mêtric X Khi đó, A trù mËt X ⇐⇒ ∀x ∈ X, ∃{xn} ⊂ A cho lim xn = x n→∞ ´ dông §Þnh lý 1.3 víi A = X Chøng minh Ap Giả sử (X, X ) (Y, Y ) không gian mêtric Định nghĩa 1.7 Anh xạ f : X Y đợc gọi liên tục t¹i xo ∈ X, nÕu : ∀ > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ X : ρX (xo, x) < δ ⇒ ρY (f (x), f (xo)) < NhËn xét 1.5 f : X Y liên tục x ⇐⇒ ∀{xn} ⊂ X, lim xn = x ⇒ lim f (xn) = f (x) n n Định nghĩa 1.8 Anh xạ f : X Y đợc gọi liên tục đều, > 0, > cho ∀x1, x2 ∈ X, ρX (x1, x2) < δ ⇒ ρY (f (x1), f (x2)) < Rõ ràng f liên tục f liên tục Định nghĩa 1.9 Anh xạ f : X Y đợc gọi đẳng cự, x1, x2 ∈ X, ρY (f (x1), f (x2)) = ρX (x1, x2) X Y đợc gọi đẳng cự với tồn phép đẳng cự f từ X lên Y Định nghĩa 1.10 Nhận xét 1.6 a) f : X Y đẳng cự f liên tục b) Hai không gian mêtric đẳng cự đồng phôi với 1.3 Không gian mêtric đầy đủ Giả sử (X, ) không gian mêtric Định nghĩa 1.11 D y {xn} X đợc gọi d y Côsi d y bản, lim n→∞,m→∞ ρ(xn, xm) = 0, tøc lµ: ∀ > 0, ∃no, ∀n ≥ no, m ≥ no : ρ(xn, xm) < NhËn xÐt 1.7 Mäi d y héi tô X d y Côsi Thật vậy, lim xn = xo ⇒ ∀ > 0, ∃no, ∀n ≥ no : ρ(xn, xo) < /2 ⇒ ∀n ≥ no, m ≥ no : ρ(xn, xm) ρ(xn, xo) + ρ(xm, xo) < /2 + /2 = NhËn xÐt 1.8 D y Côsi không hội tụ Chẳng hạn, Q n không gian mêtric với mêtric: (x, y) = |x − y| (x, y ∈ Q) Ta cã xn = (1 + 1/n)n (n = 1, 2, ) d y Cô si Q, nhng không hội tơ Q, bëi v× lim xn = e ∈ R, nh−ng e ∈ / Q (sè n→∞ e kh«ng số hữu tỉ) Định nghĩa 1.12 Không gian mêtric X đợc gọi đầy đủ d y Côsi X hội tụ Ví dụ 1.8 R C không gian mêtric đầy đủ Ví dụ 1.9 Không gian số hữu tỉ Q không gian mêtric đầy đủ Ví dụ 1.10 Rk không gian mêtric đầy đủ (n) (n) Thật vËy, gi¶ sư xn = (ξ1 , , ξk ) (n = 1, 2, ) d y Côsi Rk Khi ®ã, lim n→∞,m→∞ ρ(xn, xm) = 0, tøc lµ k |ξi(n) − ξi(m)|2 lim n→∞,m→∞ i=1 1/2 =0 ⇐⇒ (n) lim n→∞,m→∞ (m) |ξi − ξi | = (i = 1, , k) (n) VËy, {i } d y Côsi R (o) đủ, cho nªn ∃ξi (ξ1(o), , ξk(o)), : lim ξi(n) n→∞ (i = 1, , k) Vì R đầy (o) = i (i = 1, , k) Đặt xo = ta cã lim xn = xo , bëi v× sù héi tụ Rk hội tụ theo toạ độ n Ví dụ 1.11 C[a, b] không gian mêtric đầy đủ Thật vậy, giả sử {xn } d y Cô si C[a, b] Khi đó, > 0, ∃no, ∀n ≥ no, m ≥ no : ρ(xn, xm) < ⇒ sup |xn(t) − xm(t)| < (∀n ≥ no, m ≥ no) a t b ⇒ |xn(t) − xm(t)| < (∀t ∈ [a, b], ∀n ≥ no, m no) (1.1) với t cố định thuộc [a, b], {xn(t)} d y Côsi R lim xn(t) = xo(t)(t ∈ [a, b]) n→∞ Nh− vËy, ta đợc hàm xo xác định [a, b] Hàm số xo liên tục [a, b] lim xn = xo C[a, b] n→∞ ThËt vËy, (1.1) ta cố định n no cho m → ∞ : |xn(t) − xo(t)| (∀t ∈ [a, b], n no) (1.2) Do d y hàm {xn (.)} hội tụ đến xo(.) [a, b] Hơn nữa, hàm xn (.) liên tục [a, b], cho nªn xo(.) liªn tơc trªn [a, b] Tõ (1.2) suy ra: sup |xn(t) − xo(t)| a t b 10 , Khi đó, A Định lý 6.16 Giả sử A toán tử dơng không gian Hilbert X Khi ®ã, |(Ax, y)| (Ax, x)(Ay, y) (∀x, y X) (6.31) Chứng minh Đặt [x, y] = (Ax, y) Khi đó, [x, y] dạng song tuyến tính đối xứng dơng X áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz, ta nhận đợc: |[x, y]|2 [x, x].[y, y] (6.31) Hệ 6.16.1 Giả sử A toán tử dơng không gian Hilbert X Khi ®ã, ||Ax||2 ||A||.(Ax, x) (∀x ∈ X) (6.32) Chøng minh LÊy y = Ax Tõ (6.31) suy ra: ||Ax||4 (Ax, x)(A(Ax), Ax) (Ax, x).||A||.||Ax||2 =⇒ (6.32) Hệ 6.16.2 Giả sử A toán tử dơng kh«ng gian Hilbert X, d y { xn } ⊂ X tháa m n (Axn, xn) → Khi ®ã, Axn → Chøng minh Tõ (6.32) suy ra: ||Axn||2 ||A||.(Axn, xn) V× vËy, (Axn , xn ) → kÐo theo Axn → 6.4.3 To¸n tư chiÕu 183 Giả sử X không gian Hilbert, M không gian đóng X Theo định lý 6.4, mäi vect¬ x ∈ X cã thĨ biĨu diƠn dứơi dạng: x = u + v (u M, v M ) (6.33) u đợc gọi hình chiếu (trực giao ) x lên không gian đóng M Xét ánh xạ P ứng với x X với hình chiếu u x lên M Ta cã P : X → X víi R(P ) = M Hiển nhiên, P ánh xạ Định nghĩa 6.18 Vectơ tuyến tính Định nghĩa 6.19 ánh xạ P đợc gọi toán tử chiếu, hay phép chiếu (trực giao ) không gian X lên không gian ®ãng M cđa X NhËn xÐt 6.15 a) P liên tục ||P || = Thật vậy, (6.33) ta cã u ⊥ v, cho nªn: ||x||2 = ||u||2 + ||v||2 =⇒ ||P x||2 = ||u||2 ||x||2 = P liên tục ||P || Mặt khác, nÕu u ∈ M, th× P u = u =⇒ ||P || = sup ||P u|| ≥ sup u∈X,||u||=1 ||P u|| u∈M,||u||=1 = ||u|| = sup u∈M,||u||=1 V× vËy, ||P || = b) I P toán tử chiếu lên không gian đóng M Thật vËy, tõ (6.38) ta cã: v = x − u = x − P x = (I − P )x 184 Ví dụ 6.8 Giả sử X không gian Hilbert khả li, dim X = { e1, e2, } sở trực chuẩn đếm đợc X Ta xác định toán tử Pn : X → X nh− sau: n Pnx = (x, ei)ei i=1 Khi đó, Pn toán tử chiếu lên không gian n chiều gây nên e1, , en Hiển nhiên là: P1 Pn = I, cã nghÜa lµ Pi+1 − Pi toán tử dơng (i = 1, , n − 1) Ta cã: ∞ (x, ei)ei = x ( ∀x ∈ X) lim Pnx = n→∞ i=1 =⇒ D y to¸n tư { Pn } héi tơ đơn giản đến I Với n = m, chẳng hạn n = m + p (p nguyên dơng), ta có: ||Pnem+1 − Pmem+1|| = ||Pnem+1|| = ||em+1|| = =⇒ ||Pn − Pm|| = (∀n = m) =⇒ D y { Pn } không hội tụ theo chuẩn đến I Định lý 6.17 Giả sử P toán tử tuyến tính liên tục không gian Hilbert X Khi đó, P toán tử chiếu P = P , P = P đồng thời, P toán tử chiếu lên không gian đóng M = R(P ) Chứng minh 185 a) Điều kiện cần Giả sử P toán tử chiếu lên không gian đóng M Ta chøng minh P = P ∗ , P = P ? LÊy x, y bÊt kú thuéc X Gi¶ sư: x = u + v, y = z + w (u, z ∈ M; v, w ∈ M ⊥) =⇒ (P x, y) = (u, z + w) = (u, z) = (u + v, z) = (x, P y) =⇒ P ∗ = P Víi mäi x ∈ X, ta cã: P 2x = P (P x) = P u = u = P x =⇒ P = P b) Điều kiện đủ Giả sử P = P ∗, P = P Tr−íc hÕt ta chøng minh kh«ng gian tuyÕn tÝnh M = R(P ) X đóng ? Khi ®ã, tån t¹i d y { un } ⊂ M héi tơ ®Õn u Do LÊy u ∈ M un ∈ R(P ), nªn un = P vn(vn ∈ X) =⇒ un = P = P 2vn = P (P vn) = P un =⇒ u = P u(n → ∞) =⇒ u ∈ R(P ) = M =⇒ M đóng Mặt khác, toán tử tuyến tính liên tục Q = I − P cịng tháa m n c¸c ®iỊu kiƯn Q = Q∗ , Q2 = Q? ThËt vËy, Q∗ = I − P ∗ = I − P = Q; Q2 = (I − P )2 = I − 2P + P = I − 2P + P = Q Do đó, theo chứng minh N = R(Q) không gian đóng X Víi mäi x, y ∈ X, ta cã: (P x, Qy) = (QP x, y) = ((I − P )P x, y) = ((P − P 2)x, y) = ((P − P )x, y) = 186 (6.34) Bëi x, y chạy khắp X, P x, Qy chạy khắp M, N (tơng ứng), từ (6.34) suy M N Hơn nữa, với x ∈ X, x = P x + (I − P )x = P x + Qx (P x ∈ M, Qx ∈ N ) Do ®ã, X = M N P, Q toán tử chiếu lên M, N (tơng ứng) Định lý 6.18 Giả sử M1, M2 không gian đóng không gian Hilbert X, P1 P2 toán tử chiếu lên M1 M2 (tơng ứng) Khi đó, mệnh đề sau tơng đơng: (i) M1 M2; (ii) P1P2 = họăc P2P1 = 0; (iii) P1 + P2 toán tử chiếu đồng thời, P1 + P2 toán tử chiếu lên M1 M2 Chứng minh (i) =⇒ (ii) : Gi¶ sư M1 ⊥ M2.LÊy x ∈ X Do P1x ∈ M1, nªn P1x cã hình chiếu M2, tức P2 P1x = =⇒ P2P1 = =⇒ P1P2 = P1∗P2∗ = (P2P1)∗ = (ii) =⇒ (i) : Gi¶ sư P2P1 = LÊy u ∈ M1, v ∈ M2 Khi ®ã: u = P1u, v = P2v =⇒ (u, v) = (P1u, P2v) = (P2P1u, v) = (0, v) = =⇒ M1 ⊥ M2 (ii) =⇒ (iii) : Giả sử P2P1 = Khi đó: P1P2 = P1P2 = (P2P1)∗ = =⇒ (P1 + P2)2 = P12 + P1P2 + P2P1 + P22 = P12 + P22 = P1 + P2 187 (6.35) HiĨn nhiªn P1 + P2 toán tử tự liên hợp Vì vậy, P1 + P2 toán tử chiếu (iii) = (ii) : Giả sử P1 + P2 toán tử chiếu Khi ®ã, (6.35) ®óng Do ®ã, P1P2 + P2P1 = (6.36) Nhân P1 bên trái với hai vế (6.36), ta nhận đợc: P1P2 + P1P2P1 = (6.37) Nhân P1 bên phải với hai vế (6.37), ta nhận ®−ỵc: P1P2P1 = =⇒ P2P1 = (do (6.37)), tức (ii) Bây ta giả sử có ba điều kiện (i), (ii) (iii), chẳng hạn M1 M2 đặt M := M1 M2 Gọi P toán tử chiếu lên M Khi ®ã, víi mäi x ∈ X, ta cã: x = P x + (I − P )x Bëi v× P x ∈ M, cho nªn: P x = u + v (u ∈ M1, v ∈ M2) =⇒ x = u + v + (I − P )x V× v ⊥ M1 vµ (I − P ) x ⊥ M1 , nªn v + (I − P )x ⊥ M1 Do đó, u hình chiếu x lên M1, tức u = P1x Tơng tự, ta có v = P2x V× vËy, P x = P1x + P2x (∀x ∈ X) 188 =⇒ P = P1 + P2, tức P1 + P2 toán tử chiếu lên M1 M2 Định lý 6.19 Giả sử M1, M2 không gian đóng không gian Hilbert X, P1 P2 toán tử chiếu lên M1 M2 (tơng ứng) Khi đó, mệnh đề sau tơng đơng: )M1 M2; )P1P2 = P1, họăc P2P1 = P1; )P1 P2, tức P2 P1 toán tử dơng; )P2 P1 toán tử chiếu Đồng thời, P2 P1 toán tử chiếu lên M1 M1 phần bù trực giao cña M1 M2 Chøng minh α) =⇒ β) : Gi¶ sư M1 ⊂ M2 Ký hiƯu M := M1 M2 Gọi P toán tử chiếu X lên M Do M ⊥ M1, M2 = M ⊕ M1, theo ®Þnh lý 6.18, ta cã: P1P = 0, P2 = P + P1 =⇒ P1P2 = P1(P + P1) = P1P + P12 = P1 =⇒ P1 = P1∗ = (P1P2)∗ = P2P1 β) =⇒ γ) : Gi¶ sư P1P2 = P1 Khi ®ã, víi mäi x ∈ X, (P1x, x) = (P12x, x) = (P1x, P1x) = ||P1x||2 = ||P1P2x||2 ||P1||2.||P2x||2 = ||P2x||2 = (P2x, x) =⇒ P1 P2 γ) =⇒ α) : Gi¶ sư P1 P2 LÊy x ∈ M1, ta cã P1x = x, vµ ||x||2 = ||P1x||2 ||P2x||2 189 ||x||2 =⇒ ||x||2 = ||P2x||2 =⇒ Q2x = 0, ®ã Q2 := I − P2 toán tử chiếu lên M2 = x M2 =⇒ M1 ⊂ M2 α) =⇒ δ) : Dïng ký hiÖu nh− chøng minh α) =⇒ β), ta cã P = P2 P1 toán tử chiếu lên M = M2 M1 δ) =⇒ β): Gi¶ sư P = P2 P1 toán tử chiếu Do P1 + P = P2 toán tử chiếu, theo định lý 6.18, ta cã: P1P = V× vËy, P1P2 = P1(P1 + P ) = P12 + P1P = P1 6.4.4 Toán tử đẳng cự toán tử unita Giả sử X, Y không gian Hilbert Định nghÜa 6.20 To¸n tư tun tÝnh V : X → Y đợc gọi đẳng cự, nếu: ||V x|| = ||x|| (x X) Định nghĩa 6.21 Toán tử tuyến tính U : X Y đợc gọi Unita, U ánh xạ lên, U ánh xạ đẳng cự, tức là: ||Ux|| = ||x|| (x X) Ví dụ 6.9 Giả sử X, Y không gian Hilbert khả li, { e1, e2, } vµ { f1 , f2, } sở trực chuẩn X Y (tơng ứng) Ta xác định ánh xạ V : X → Y nh− sau: ∞ ∞ ξnen −→ V x = x= n=1 nfn+1 n=1 Khi đó, V toán tử đẳng cự, ||V x||2 = |n|2 = ||x||2 n=1 190 V toán tử Unita, V không ánh xạ lên (phần tử f1 Y không ảnh phần tử X ) Định lý 6.20 Giả sử X, Y không gian Hilbert, V : X Y toán tử tuyến tính Khi đó, mệnh đề sau tơng đơng: (i) V toán tử đẳng cự ; (ii) V liên tục V V = IX , IX toán tử đồng X ; (iii) V bảo toàn tích vô hớng, tức (V x1, V x2) = (x1, x2) (∀x1, x2 ∈ X) (6.38) Chøng minh (i) = (ii) : Giả sử V toán tử ®¼ng cù Khi ®ã, víi mäi x ∈ X, (V ∗V x, x) = (V x, V x) = ||V x||2 = ||x||2 = (x, x) = (IX x, x) Bởi V V IX toán tử dơng, V V = IX (ii) = (iii) : Giả sử V liên tục V V = IX Khi ®ã ∀x1, x2 ∈ X, (V x1, V x2) = (V ∗V x1, x2) = (IX x1, x2) = (x1, x2) (iii) =⇒ (i) : Gi¶ sư (6.38) ®óng LÊy x1 = x2 = x, tõ (6.38) suy ra: ||V x|| = ||x|| Định lý 6.21 Giả sử X, Y không gian Hilbert, U : X Y toán tử tuyến tính Khi đó, mệnh đề sau tơng đơng: (i) U toán tử Unita; 191 (ii) U phép đẳng cấu X lên Y ; (iii) U liên tục, U ∗U = IX vµ UU ∗ = IY ; (iv) U liên tục U = U Chứng minh (i) = (ii) : Giả sử U toán tử Unita Khi đó, U toán tử đẳng cự từ X lên Y Theo định lý 6.20, U bảo toàn tích vô hớng Vì U bảo toàn chuẩn, nên U ánh xạ - Do đó, U song ánh Vì vậy, U phép đẳng cấu X lên Y (ii) = (iii) : Giả sử U phép đẳng cấu X lên Y Khi đó, U song ánh, bảo toàn tích vô hớng Theo định lý 6.20, U liên tục U ∗U = IX Víi mäi y1, y2 ∈ Y, tån t¹i x1, x2 ∈ X cho Ux1 = y1, U x2 = y2 Do ®ã, (U −1y1, U −1y2) = (U −1U x1, U −1U x2) = (x1, x2) = (Ux1, U x2) = (y1, y2) V× vậy, U toán tử đẳng cự Y lên X, tức U toán tử unita Do ®ã, (U ∗)−1U −1 = (U −1)∗U −1 = IY =⇒ U ∗ = U −1 =⇒ U = (U ∗)−1 =⇒ U U ∗ = IY (iii) = (iv) : Giả sử U liên tục, U ∗U = IX vµ UU ∗ = IY Khi ®ã, U ∗ = U −1 (iv) =⇒ (i) : Giả sử U liên tục, U = U Khi đó, U song ánh, U U = U 1U = IX Theo định lý 6.20, U toán tử dơng đẳng cự Vì vậy, U toán tử Unita 192 Hệ 6.21.1 Giả sử X, Y không gian Hilbert khả li, U toán tử Unita từ X lên Y, Khi đó: ){ e1, e2, } sở trực chuẩn đếm đợc X = { U e1, U e2, } sở trực chuẩn đếm đợc Y ){ f1, f2, } sở trực chuẩn ®Õm ®−ỵc cđa Y =⇒ { U ∗f1, U ∗f2 } sở trực chuẩn đếm đợc X Bài tập 6.1 Giả sử [a, b] đoạn hữu hạn Chứng minh C[a, b] víi tÝch v« h−íng: b x(t)y(t)dt (x, y ∈ C[a, b]) (x, y) = a chØ mét không gian tiền Hilbert, không gian Hilbert X không gian tiền Hilbert, tập M X Gọi [M] không gian đóng X gây nên M Chứng minh rằng: x M =⇒ x ⊥ [M ] ? 6.3 Gi¶ sư M tập không gian Hilbert X, [M ] không gian đóng X gây nên bëi M Chøng minh r»ng: 6.2 Gi¶ sư [M ] = X ⇐⇒ M ⊥ = { } 6.4 Giả sử X không gian Hilbert, M không gian tuyÕn tÝnh cña X Chøng minh r»ng M lµ trï mËt X vµ chØ M = { } 6.5 Giả sử X không gian Hilbert, x0 X Xét phiếm hàm f (x) = (x, x0) Chøng minh r»ng f lµ phiÕm hàm tuyến tính 193 X có chuẩn ||f || = ||x0|| 6.6 Giả sử X, Y không gian Hilbert trªn tr−êng sè phøc C, A : X Y toán tử tuyến tính liên tục Chøng minh r»ng: ¯ ∗ ( ∀λ ∈ C) (λA)∗ = A X không gian Hilbert khả li, { e1, e2, } yếu sở trực chuẩn đếm đợc X Chứng minh en 0, { en } không hội tụ theo chuẩn đến 6.8 Giả sử K(t, s) L2 ([a, b] ì [a, b]), A toán tử tích phân với hạch K(t, s) : 6.7 Giả sử b K(t, s)x(s)ds (x ∈ L2[a, b]) (Ax)(t) = a Chứng minh để A = A, điều kiện cần đủ là: K(t, s) = K(s, t) (hầu khắp nơi hình vuông { a t, s b }) 6.9 Giả sử M không gian đóng không gian Hilbert X, P toán tử chiếu X lên M Chứng minh P toán tử dơng 6.10 Giả sử M1, M2 không gian đóng không gian Hilbert X đặt: M = M1 ∩ M2, N1 = M1 M, N2 = M2 M Gọi P, P1, P2 toán tử chiếu lên M, M1, M2 (tơng ứng) Chứng minh mệnh đề sau tơng đơng: a) N1 N2; b) P1 P2 = P2 P1; c) P1 P2 toán tử chiếu lên M 194 Tài liệu tham khảo A.N Kolmogorov, X.V Fomin, Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm (Bản dịch tiếng Việt), Nhà xuất Giáo dục, 1971 Phan Đức Chính, Giải tích hàm, Tập I, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, 1978 Đỗ Văn Lu, Tôpô đại cơng, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật,1998 Đỗ Văn Lu, Giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, 1999 Nguyễn Xuân Liêm, Tôpô đại cơng, độ đo tích phân, Nhà xuất Giáo dục, 1994 195 Mục lục Trang Lời nói đầu Chơng 1: Không gian mªtric 1.1 Sù héi tô 1.2 Tập mở, tập đóng ánh xạ liên tục 1.3 Không gian mêtric đầy ®ñ 1.4 Tập compăc 17 1.5 T«p« sinh bëi mªtric 27 1.6 ¸nh xạ co không gian mêtric đầy đủ 28 Bµi tËp 30 Chơng 2: Không gian định chuẩn 33 2.1 Kh«ng gian t«p« tuyÕn tÝnh 33 2.2 Không gian lồi địa phơng 34 2.3 Kh«ng gian định chuẩn 36 2.4 Mét sè vÝ dô 41 2.5 Kh«ng gian Banach 44 Bµi tËp 55 Chơng 3: Toán tử tuyến tính liên tục không gian liên hợp 58 3.1 To¸n tư tun tÝnh 58 3.2 Toán tử tuyến tính liên tục 62 3.3 Không gian liên hợp 70 3.4 Toán tử ngợc phổ 76 3.5 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều 82 3.6 Liên hợp không gian c0 , lp, Lp[0, 1] 88 Bµi tËp 90 196 Ch−¬ng 4: Các nguyên lý giải tích hàm 94 4.1 §Þnh lý Hahn-Banach 94 4.2 Nguyªn lý bị chặn Banach-Steinhauss 102 4.3 Nguyªn lý ánh xạ mở 108 4.4 Định lý ®å thÞ ®ãng 111 Bµi tËp 113 Chơng 5: Tôpô yếu toán tử compắc 116 5.1 Không gian phản xạ toán tử liên hợp 116 5.2 T«p« yÕu 123 5.3 Toán tử compắc 134 5.4 Phỉ cđa to¸n tư comp¾c 143 Bµi tËp 149 Chơng 6: Không gian Hilbert 151 6.1 Kh«ng gian Hilbert 151 6.2 Khai triÓn trùc giao 157 6.3 Kh«ng gian liên hợp 172 6.4 To¸n tư tun tÝnh liªn tơc 176 Bµi tËp 193 Tài liệu tham khảo 195 197 ... Lp[a, b] (p > 0) gồm tất hàm x(t) xác định đo đợc Lebesgue [a, b] thoả m n: b | x(t) |p dt < ∞ a lµ không gian tuyến tính với phép cộng hai hàm số phép nhân hàm số với số Hai hàm số xác định [a, b]... Z) Các hàm số tập Z đợc gọi đồng liên tục x0 S, > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ S : ρ(x, x0) < δ ⇒ |f (x) − f (x0)| < (∀f ∈ Z) Các hàm số Z đợc gọi đồng liên tục S, chúng đồng liên tục điểm S Các hàm số... compăc tơng đối hàm số Z giới nội đồng liên tục S Chứng minh 25 a) Giả sử Z tập compăc tơng đối C(S) Khi đó, Z giới nội C(S) Điều có nghĩa hàm số Z giới nội S Bây ta chứng minh hàm số Z đồng liên