Giải tích số nguyễn thị vinh

TR NG I H C TH Y L I GI I TCH S [Ti li u gi ng d y b c i h c] Nguy n Th Vinh H N I 2010 CH NG 1: M U 1.1 GI I TCH S L Gè 1.2 S KHC BI T GI A TON H C L THUY T V TON H C TNH TON4 1.3 CC B C GI I M T BI TON C A GI I TCH S 1.4 THU T TON V PH C T P 1.4.1 Thu t toỏn 1.4.2 ph c t p thu t toỏn 1.5 S X P X V SAI S 10 1.5.1 S x p x , sai s t i v sai s tuong i 10 1.5.2 Cỏch vi t s x p x 11 1.5.3 Qui trũn s v sai s qui trũn 11 1.5.4 Cỏc cụng th c tớnh sai s 12 1.6 BI T P CH NG 13 CH NG 2: GI I H PH NG TRèNH TUY N TNH 14 2.1 PH NG PHP KH GAUSS - JORDAN 14 2.1.1 Thu t toỏn 14 2.1.2 u, nh c i m c a ph ng phỏp 14 2.1.3 Cỏc vớ d 14 2.1.4 S kh i v ch ng trỡnh 16 2.1.5 ỏnh giỏ ph c t p th i gian 17 2.1.6 ng d ng ph ng phỏp kh Gauss vo vi c tớnh nh th c 17 2.2 GI I H PTTT D NG BA NG CHẫO 18 2.2.1 t v n 18 2.2.2 p d ng ph ng phỏp kh GaussJordan: 18 2.2.3 Ph ng phỏp truy u i (n n th ng) gi i h ba ng chộo 19 2.3 PH NG PHP L P SEIDEL 21 2.3.1 Thu t toỏn 21 2.3.2 i u ki n h i t v ỏnh giỏ sai s c a ph ng phỏp 21 2.3.3 Vớ d 22 2.3.4 S kh i v ch ng trỡnh 24 2.3.5 S d ng Solver EXCEL gi i h PTTT 26 2.4 TNH MA TR N NGH CH O 26 2.4.1 ng d ng ph ng phỏp Gauss tớnh ma tr n ngh ch o 26 2.4.2 Tớnh ma tr n ngh ch o A1 b ng ph ng phỏp l p Newton 27 2.4.3 S d ng hm MINVERSE EXCEL tỡm A-1 29 2.5 BI T P CH NG 31 CH NG 3: PHẫP N I SUY V NG CONG PH H P 32 3.1 KHI QUT V BI TON N I SUY 32 3.1.1 t v n 32 3.1.2 a th c n i suy 32 3.1.3 S Horner tớnh giỏ tr c a a th c 33 3.2 A TH C N I SUY LAGRANGE 33 3.2.1 L p cụng th c 33 3.2.2 Vớ d : Tỡm giỏ tr g n ỳng c a f(2,6) t b ng s li u 34 1 3.2.3 Sai s : Ng i ta ó ch ng minh r ng n u hm f(x) kh vi liờn t c n c p N+1 trờn o n [a,b] ch a t t c cỏc m c n i suy xk, k = 0, , N thỡ sai s c a n i suy Lagrange l 34 3.2.4 S kh i v ch ng trỡnh 35 3.3 A TH C N I SUY NEWTON V I B C CCH U 36 3.3.1 B ng sai phõn h u h n 36 B ng sai phõn h u h n 36 3.3.2 a th c n i suy Newton ti n 37 3.3.3 a th c n i suy Newton lựi 38 3.3.4 Cụng th c n i suy Newton v i m c quan sỏt b t k 41 3.4 N I SUY SPLINE 43 3.4.1 t v n 43 3.4.2 Bi toỏn 43 3.4.3 Xõy d ng cụng th c 43 3.4.4 Cỏc b c gi i bi toỏn n i suy Spline b c ba 45 3.4.5 Vớ d 45 3.4.6 Ch ng trỡnh tớnh 45 3.5 PH NG PHP BèNH PH NG Bẫ NH T LM KH P D LI U 46 3.5.1 t v n : 46 3.5.2 L p cụng th c 47 3.5.3 Cỏc vớ d : 47 3.5.4 Cỏc b c gi i v ch ng trỡnh 49 3.6 BI T P CH NG 50 CH NG 4: TNH O HM V TCH PHN XC NH 51 4.1 TNH G N NG O HM 51 4.1.1 X p x giỏ tr o hm d a vo b ng sai phõn 51 4.1.2 X p x o hm b ng cụng th c n i suy 52 4.2 TNH G N NG TCH PHN XC NH 55 4.2.1 L p cụng th c chung s d ng a th c n i suy Newton ti n 55 4.2.2 Quy t c lm t ng chớnh xỏc c a vi c tớnh tớch phõn 59 4.3 BI T P CH NG 61 CH NG 5: GI I PH NG TRèNH f(x) = 62 5.1 TV N 62 5.1.1 Bi toỏn 62 5.1.2 Cỏc b c gi i 62 5.1.3 Tỏch nghi m 62 5.2 CC PH NG PHP KI N TON NGHI M 63 5.2.1 Ph ng phỏp chia ụi 63 5.2.2 Ph ng phỏp l p n 64 5.2.3 Ph ng phỏp dõy cung 65 5.2.4 Ph ng phỏp ti p n (Newton) 67 5.3 GI I H PH NG TRèNH PHI TUY N 69 5.3.1 L p cụng th c: 69 Cho h phi n 69 5.3.2 Cỏc b c gi i h phi n b ng ph ng phỏp l p Newton-Raphson 70 5.3.3 S kh i v ch ng trỡnh 73 5.4 PH NG PHP L P SEIDEL 74 5.5 S d ng Solver EXCEL gi i h ph ng trỡnh phi n 76 5.6 BI T P CH NG 77 CH NG 6: CC PH NG PHP S GI I PH NG TRINH 78 VI PHN 78 6.1 TV N 78 6.1.1 Bi toỏn Cauchy (bi toỏn giỏ tr u) 78 6.1.2 Bi toỏn biờn hai i m n tớnh i v i PTVP c p hai: 79 6.1.3 Cỏc ph ng phỏp s gi i bi toỏn Cauchy 79 6.2 CC PH NG PHP S GI I BI TON CAUCHY 79 6.2.1 Ph ng phỏp Euler 79 6.2.2 Ph ng phỏp Euler c i ti n 81 6.2.3 Ph ng phỏp Runge-Kutta 83 6.2.4 Gi i bi toỏn Cauchy c a h PTVP c p m t 86 6.3 PH NG PHP SAI PHN GI I BI TON BIấN TUY N TNH 87 6.3.1 Xột bi toỏn biờn hai i m n tớnh i v i PTVP c p hai: 87 6.3.2 Vớ d : Tỡm hm y(x) trờn [0; 1] v i b c h = 0,1 l nghi m c a 6.3.3 S kh i 89 6.4 BI T P CH NG 90 CH NG 1: M U 1.1 GI I TCH S L Gè Gi i tớch s (Numerical Analysis) hay cũn g i l Ph ng phỏp s (Numerical Methods) hay Ph ng phỏp tớnh (Calculating Methods) l m t khoa h c nghiờn c u cỏc l i gi i s c a cỏc bi toỏn c a toỏn h c Ba nhi m v chớnh c a gi i tớch s l: X p x hm s : Thay m t hm cú d ng ph c t p b ng m t hm ho c nhi a hm cú d ng n gi n h n Cỏc bi toỏn th ng g p l n i suy v x p x hm Gi i g n ỳng cỏc ph ng trỡnh: Bao g m cỏc ph ng trỡnh i s v siờu vi t, cỏc h ph ng trỡnh i s n tớnh v phi n, gi i cỏc ph ng trỡnh v h ph ng trỡnh vi phõn th ng v vi phõn o hm riờng, Gi i cỏc bi toỏn t i u Tuy nhiờn cỏc giỏo trỡnh Gi i tớch s , ng i ta ch c p n hai nhi m v u, cũn nhi m v th ba dnh cho cỏc giỏo trỡnh v Qui ho ch toỏn h c hay T i u hoỏ An approximate answer to the right problem is worth a great deal more than a precise answer to the wrong problem. (John W Turkey 1915-2000) 1.2 S KHC BI T GI A TON H C L THUY T V TON H C TNH TON TON H C L THUY T TON H C TNH TON Ch ng minh s t n t i nghi m T c h i t c a nghi m Kh o sỏt dỏng i u c a nghi m S n nh c a thu t toỏn M t s tớnh ch t nh tớnh c a nghi m Th i gian tớnh toỏn trờn mỏy v dung l ng b nh c n s d ng Vớ d 1: Tớnh tớch phõn I n = x n e x 1dx (n 1) Tớch phõn t ng ph n ta c I n = x n e x n x n 1e x 1dx = - nI n -1 (1.1) 1 I1 = xe x 1dx = x e x - e x -1dx = e-1 0,36787 0 V y ta cú th tớnh tớch phõn trờn v ý r ng In v i m i n Trờn th c t khụng ph i nh v y! Cụng th c trờn cho k t qu khụng chớnh xỏc, n = I9 =0,068480 < dự ta t ng chớnh xỏc c a e-1 d n bao nhiờu i n a! Nguyờn nhõn l sai s ban u m c ph i tớnh e-1 b khu ch i lờn sau m i l n tớnh kh c phuc, ta bi n i cụng th c (1.1) In-1 = n-1 (1 In) v ý r ng I n x n dx = (1 + n) -1 lim I n = 0 n Gi s ta c n tớnh I19 v cho I20 thỡ sai s m c ph i l 20 < 1/21 Khi ú I19 1/20 v i sai s 19 < 1/21 x 1/20 , , v n I9 0,091623 Vớ d 2: Gi i h ph ng trỡnh i s n tớnh AX = b (1.2) v i A l ma tr n vuụng c p n khụng suy bi n (detA 0), b l vộc t c t n thnh ph n Do v y cú th gi i theo qui t c Cramer: (1.3) xi = i / , i = 1, , n tớnh nghi m theo (1.3), ta ph i tớnh (n+1) nh th c c p n M i nh th c cú n! s h ng, m i s h ng cú n th a s , ú ph i th c hi n n-1 phộp nhõn V y riờng s phộp nhõn ph i th c hi n ó l (n+1) n! (n-1) Gi s n = 20, v mỏy tớnh th c hi n c 5000 phộp nhõn giõy thỡ th c hi n s phộp nhõn trờn ph i m t 300 000 000 n m! Vớ d 3: Xột h (1.2) v i 0,1 0,1 A= , n = 100 0 0,1 Khi ú detA = 10-100 Theo quan i m lớ thuy t thi A b suy bi n nờn khụng gi i c Tuy nhiờn ta cú th nh m A-1 = 10 E, v i E l ma tr n n v c p n v d dng tớnh c nghi m c a h b ng ph ng phỏp ma tr n ngh ch o! K t lu n: Trong quỏ trỡnh gi i cỏc bi toỏn, cú th n y sinh nhi u v n m toỏn h c lớ thuy t khụng quan tõm ho c khụng gi i quy t c V y c n cú m t khoa h c riờng chuyờn nghiờn c u cỏc ph ng phỏp s gi i cỏc bi toỏn ú l khoa h c tớnh toỏn m gi i tớch s l m t mụn h c 1.3 CC B C GI I M T BI TON C A GI I TCH S gi i quy t m t bi toỏn, ng i ta ph i th c hi n quỏ trỡnh mụ ph ng sau õy: Xõy d ng mụ hỡnh toỏn h c c a bi toỏn th c t Phõn tớch mụ hỡnh: tớnh t ng thớch c a mụ hỡnh v i bi toỏn th c t , s t n t i nghi m c a bi toỏn R i r c hoỏ mụ hỡnh: dựng cỏc ph ng phỏp tớnh toỏn qui bi toỏn liờn t c v bi toỏn v i s n h u h n Xõy d ng thu t toỏn: chỳ ý n ph c t p thu t toỏn, tớnh h i t , tớnh n nh c a thu t toỏn 5 Ci t ch trỡnh ng trỡnh v ch y th , ki m tra k t qu , s a l i v nõng c p ch 1.4 THU T TON V ng PH C T P 1.4.1 Thu t toỏn ĩ Khỏi ni m thu t toỏn Thu t toỏn l m t dóy h u h n cỏc b c, m i b c mụ t chớnh xỏc cỏc phộp toỏn ho c hnh ng c n th c hi n, gi i quy t m t v n N m c tr ng c a thu t toỏn: Input M i thu t toỏn c n cú m t s (cú th b ng khụng) d li u vo (input) ú l cỏc giỏ tr c n a vo thu t toỏn b t u lm vi c Cỏc d li u ny c n c l y t cỏc t p h p giỏ tr c th no ú Output M i thu t toỏn c n cú m t ho c nhi u d li u (output) ú l cỏc giỏ tr cú quan h hon ton xỏc nh v i cỏc d li u vo v l k t qu c a s th c hi n thu t toỏn Tớnh xỏc nh M i b c c a thu t toỏn c n ph i c mụ t m t cỏch chớnh xỏc, ch cú cỏch hi u nh t Tớnh kh thi T t c cỏc phộp toỏn cú m t cỏc b c c a thu t toỏn ph i n gi n Tớnh d ng M i b d li u vo tho cỏc i u ki n c a d li u vo (t c l c l y t t p giỏ tr c a cỏc d li u vo), qua x lớ b ng thu t toỏn ph i d ng sau m t s h u h n b c th c hi n ĩ Cỏc v n liờn quan n thu t toỏn Tớnh ỳng n c a thu t toỏn Khi thu t toỏn c t o chỳng ta c n ph i ch ng minh r ng thu t toỏn c th c hi n s cho ta k t qu ỳng v i m i d li u vo h p l i u ny g i l ch ng minh tớnh ỳng n c a thu t toỏn Cỏc v n n y sinh Khi gi i m t bi toỏn ng i ta cú th xột nhi u thu t toỏn khỏc xem ph c t p c a chỳng sao, dựng ngụn ng l p trỡnh no hay ci t ph n m m no ch y ch ng trỡnh, c u trỳc d li u no phự h p? Cỏc yờu c u c b n gi i m t bi toỏn Hi u ỳng bi toỏn Tỡm ỳng thu t toỏn Khụng nh m l n l p trỡnh D li u quột h t cỏc tr ng h p T c tớnh toỏn nhanh B nh phự h p Ph n m m d s d ng, d nõng c p theo yờu c u 1.4.2 ph c t p thu t toỏn ĩ nh ngh a ph c t p thu t toỏn l m t cụng c o, so sỏnh, l a ch n cỏc thu t toỏn khỏc tỡm thu t toỏn t t nh t cho l i gi i bi toỏn ĩ Hai tiờu chu n ỏnh giỏ ph c t p thu t toỏn ph c t p v th i gian tớnh toỏn ph c t p v ph m vi b nh dựng cho thu t toỏn (dung l ng c a khụng gian nh c n thi t l u tr d li u vo, cỏc k t qu tớnh toỏn trung gian v cỏc k t qu c a thu t toỏn) Chỳng ta s ch quan tõm n th i gian th c hi n thu t toỏn, vỡ v y m t thu t toỏn cú hi u qu c xem l thu t toỏn cú th i gian ch y ớt h n cỏc thu t toỏn khỏc ĩ Cỏch ỏnh giỏ th i gian th c hi n thu t toỏn - C c a cỏc d li u vo - Ch ng trỡnh d ch chuy n ch ng trỡnh ngu n thnh mó mỏy - Th i gian th c hi n cỏc phộp toỏn c a mỏy tớnh c s d ng ch y ch ng trỡnh Th i gian ch y ch ng trỡnh ph thu c vo r t nhi u nhõn t , nờn ta khụng th bi t c chớnh xỏc th i gian ch y l bao nhiờu n v th i gian chu n(bao nhiờu giõy) Th i gian th c hi n thu t toỏn nh l hm s c a c d li u vo n C c a d li u vo l m t tham s c tr ng cho d li u vo, nú nh h ng quy t nh n th i gian th c hi n ch ng trỡnh C d li u ph thu c vo thu t toỏn c th , th ng l s nguyờn d ng n Ta s d ng hm T(n), ú n l c d li u vo bi u di n th i gian th c hi n m t thu t toỏn Khi ỏnh giỏ th i gian th c hi n b ng ph ng phỏp toỏn h c, chỳng ta s b qua nhõn t ph thu c vo cỏch ci t ch t p trung vo xỏc nh l n c a th i gian th c hi n T(n) Kớ hi u toỏn h c ụ l n c s d ng mụ t l n c a hmT(n) Gi s n > (n Z), T(n),f(n) > Ta vi t T(n) = O(f(n)), n u v ch n u t n t i cỏc h ng s d ng c v n0 cho T(n) c f(n), v i m i n > n0 Ta cú th xem r ng O(f(n)) l c n trờn c a T(n) Thụng th ng th i gian ch y m t thu t toỏn t l v i 1, logn, n, nlogn, nk, ho c an v i a l h ng s ĩ Cỏc quy t c ỏnh giỏ th i gian th c hi n thu t toỏn Chia ph c t p thu t toỏn thnh nhi u o n m m i o n cú ph c t p T1 (n) = O(f1 (n) T (n) + + Tq(n) = O(max(f1(n), ,fq(n))) Tq (n) = O(f q (n) Th t v y vỡ T1(n), ,Tq(n) l ụ l n c a f1(n), , fq(n) t ng ng ú t n t i h ng s c1, , cq, n1, , nq cho T1(n) c1 f1(n) v i m i n > n1 v T2(n) c2 f2(n) v i m i n > n2, t n0 = max(n1,n2, , nq), ú v i m i n > n0, ta cú T1(n) +T2(n) + + Tq(n) (c1+c2+ + cq) max (f1(n),f2(n), , fq(n)) Cỏc loai l nh - Cỏc phộp gỏn, c, in, goto l cõu l nh Cỏc l nh ny c g i l l nh n v cú ph c t p th i gian l T(n) = O(C) = O(1) - N u S1, S2, Sn l cõu l nh thỡ { S1; S2; ; Sn } l cõu l nh h p thnh (cõu l nh ghộp kh i) - N u S, S1, S2, , Sn l cỏc cõu l nh v E1, E2, l bi u th c logic thỡ if (E1) S; else if (E2) S1; else Sn; g i l cõu l nh if - N u S1, S2, Sn l cõu l nh, E l bi u th c cú ki u th t m l cỏc giỏ tr cựng ki u v i E thỡ switch case (constant) { v1: S1; break; v2: S2; break; : Sn; break; default: Sn+1; } l nh ny oc g i l cõu l nh case - N u S l cõu l nh v E l bi u th c logic thỡ while (E) S; l cõu l nh while - N u S l cõu l nh v E l bi u th c logic thỡ S while (E); l cõu l nh while - N u S l cõu l nh, E l bi n ki u th t m c thỡ for (i = E ; i