Giải tích số phạm kỳ anh

TH VIN I IIC TIIUY SN 519.4 Ph 104 A GII T ( Sweep, method J / -I n p u^ t , n , A , ? / 1h m 1/n X ằ= l, 2, ,n-l K ~ i r ~ = +Êi^i mi = n, = (2 -M )/5 ; > - 2)/S; = 2/i/5 i c, * a i / ( a 0h - > 1, cond(A) = ( e n ) Qua nhng vớ d trờn, ta thy quỏ trỡnh gii s mt bi toỏn, cú th ny sinh nhiu m toỏn lý thuyt khụng quan tõm v khụng gii quyt c Nh vy, cn phi cú m t khoa hc riờng, chuyờn nghiờn cu vic gii s cỏc bi toỏn - ú chớnh l toỏn hc tớnh toỏn Đ3 Quan h gia toỏn tớnh v tin hc gii s mt bi toỏn thc t, ngi ta phi ln lt thc hin cỏc cụng on ca quỏ trỡnh mụ phng s sau: Xõy dng mụ hỡnh toỏn hc ca bi toỏn thc t Phõn tớch mụ hỡnh: Tớnh tng thớch gia mụ hỡnh vi hin tng thc t v n tn ti (v cú th nht) ca li gii Phng hng tớnh toỏn Ri rc hoỏ mụ hỡnh: Ngi ta thng dựng cỏc phng phỏp sai phõn phn t hu hn v.v quy bi toỏn liờn tc v bi toỏn vi s n hu hn Xõy dng thut toỏn cụng on ny, ngi ta cũn chỳ ý n cỏc : phc tap ca thuõt toỏn, tớnh hi t, n nh ca phng phỏp gii bi toỏn Ci t v khai thỏc tin hc Gia toỏn tớnh v tin hc cú mi liờn h m t thit v s tỏc ụng qua li Do vic tng tc tớnh toỏn ciia mỏy gp nhiu khú khn v k thut, hn na lai ũi hi chi phớ ln, nờn tớnh toỏn nhanh ngi ta thiờn v ci tin cỏc phng phỏp gii bi toỏn T ú xut hin phộp bin i nhanh Fourier, cỏc thut toỏn song song v.v Cựng vi s i cựa cỏc siờu mỏy tớnh: Mỏy tớnh song song, mỏy tớnh vector v.v , xut hin nhiu phng phỏp song song Hin ta c chng kin xu th song song hoỏ ang din t t c cỏc lnh vc ca Gii tớch tit kim b nh mỏy tớnh, ngi ta ó xut nhng phng phỏp hu hiu x lý h ln, tha: nh k thut nộn ma trn, k thut tin x lý m a trn V V Đ4 Mt S khỏi nim c bỏn ca Gii tớch hm 4.1 K hụn g gian m etric Hm s d a mi cp phn t {x,y} ca X vo ]R'} c goi l khong cỏch (hay metric) nu vi mi x , y , z X ta cú: V d Cho h phng trỡnh i s tuyn tớnh: Ax = b, ú A l ma trn vuụng cp n X n; b l vector n tc, cú th gii h (2.1) theo quy tc Cramer: _ ( 1) - chiu v detrỡ / Ve nguyờn / _ -X X l= A ( 2.2 ) = n ' ú A = detA, cũn Aj l nh thc ca ma trõn, nhn c t A bng cỏch thav ct th i bng ct b e tỡm nghim theo (2.2), ta phi tớnh (n + 1) nh thc Mi nh thc cú n! s hng Mi s hng cú n tha s, vy tớnh mi s hang phi thc hiờn (n ) phộp nhõn Nh vy, riờng s phộp nhõn phi thc hin (2.2) ó l n\(n + 1)(?1 ) Gi s n = 20 (trong thc t, ụi ta phi giihờ cho n = O(103)), v mỏy tớnh cựa ta thc hin c 105 phộp nhõn mt giõy Kh dú thc hiờn ht cỏc phộp nhõn theo (2.2) cng phi mt X 108 nm! V d u Xột h (2.1) vi ma trn A = diag(0.1,0.1, , 0.1) v n 100 Khi ú detrỡ = ~ 100 ~ , v theo quan im lý thuvt thỡ ma trõn A rt suy bin Thc hon ton khụng phi nh vv, A ~ ỡ = 10.E, ú E l ma trn n v Trong toỏn hc tớnh toỏn, ngi ta (lựng mt c trng khỏc, goi l s iu kin cond(A) ca A kim tra tớnh suy bin ca nú Nu cond(A) cng ln thỡ ma trn A cng gn suy bin Trong vớ d ny cond(A) = , v A c coi l ma trn iu kin - tt (well conditioned) V d u Hờ (2.1) vi ma trõn Hilbert thng gp oi toỏn xp xớ trung bỡnh phng bng a thc i s Ma trn A kh nghch v V' = (rtij), ú Tuy nhiờn, cho n vic gii h ny cũn l mt thỏch thc i vi nhng ngi lm ng dng e thy c khú khn vic gii s h (2.1) vi ma trn Hilbert, ta xột trng hp n gin n Ta cú h: ( //Z \l/3 1/2 1/ể 1/3 1/4 1/3 i/ 1/4 l/ i X 11/6 i'3 13/12 47/60 (2.3) Nghim ỳng ca ( ) l X * = ( 1, 1, 1) T Nu thay 1/3 ~ 0,333 v tỡm nghim theo nhng phng phỏp s t t nht, ta nhn c X ~ ( , 090 ; , 4880 ; , 491 ) T Kt qu hon ton khụng chớnh xỏc Nguyờn nhõn l m a trn Hilbert r t iu kin xu: Khi n > > cond(rỡ) = (en ) Qua nhng vớ d trờn, ta thy quỏ trỡnh gii s mt bi toỏn, cú the ny sinh nhiu m toỏn lý thuyt khụng quan tõm v khụng gii quyt c Nh vy, cn phi cú mt khoa hc riờng, chuyờn nghiờn cu vic gii s cỏc bi toỏn - ú chớnh l toỏn hoc tớnh toỏn Đ3 Quan h gia toỏn tớnh v tin hc gii s mt bi toỏn thc t, ngi ta phi ln lt thc hin cỏc cụng on ca quỏ trỡnh mụ phng s sau: Xõy dng mụ hỡnh toỏn hc ca bi toỏn thc t Phõn tớch mụ hỡnh: Tớnh tng thớch gia mụ hỡnh vi hin tng thc t v n tn ti (v cú th nht) ca li gii Phng hng tớnh toỏn Ri rac hoỏ mụ hỡnh: Ngi ta thng dựng cỏc phng phỏp sai phõn phn t hu hn v.v quy bi toỏn liờn tc v bi toỏn vi s n hu hn Xõy dng thut toỏn, cụng on ny, ngi ta cũn chỳ ý n cỏc : phc ca thut toỏn, tớnh hi t, n nh ca phng phỏp gii bi toỏn Ci t v khai thỏc tin hc Gia toỏn tớnh v tin hc cú mi liờn h m t thit v s tỏc ng qua li Do vic tng tc tớnh toỏn ca mỏy gp nhiu khú khn v k thut, hn na li ũi hi chi phớ ln, nờn tớnh toỏn nhanh ngi ta thiờn v ci tin cỏc phng phỏp gii bi toỏn T ú xut hin phộp bin i nhanh Fourier, cỏc thut toỏn song song v.v Cựng vi s i ca cỏc siờu mỏy tớnh: Mỏy tớnh song song, m ỏy tớnh vector v.v , xut hin nhiu phng phỏp song song Hin ta c chng kin xu th song song hoỏ ang din t t c cỏc lnh vc ca Gii tớch tit kim b nh mỏy tớnh, ngi ta ó xut nhng phng phỏp hu hiu x lý h ln, tha: nh k thut nộn ma trn, k thut tin x lý ma trn V V Đ4 Mt S khỏi niờm c bỏn ca Gii tớch hm 4.1 K h ụ n g gian m etric Hm so d a mi cp phn t {x,y} cta X vo IR'} c goi l khong cỏch (hay metric) nu vi mi x , y t z e X ta cú: bng ch s h phng trỡnh stt Ax = b cú ma trn A - ba ng chộo 2) Kho sỏt tớnh n nh ca lsp: Ui,j+1 ~ Uio = gi T (i = , n ) Uoj 1^nj\ '11\ j _ ô+!,j = 2h ( nh = l,j ij ( = ,n - ; j = , rn ) 1) 0,m); 'IIèT r 3) Chng minh rng lsp ~ 2U j + 'U j U - I j U j + U i + ] , j = j -m ,j+ ỡ Uio = g\o)\ = unj =0 ( = , n) = (j = 0, m); n/ớ = mr = T 1-l-e = khụng n nh 185 ^ \ = ,n - ; j = ,m - ) C hng X P H N G T R èN H T C H P H N Đ1 Phõn loai phng trỡnh tớch phõn tuyn tớnh Cho A l toỏn t tuyn tớnh, liờn tc a khụng gian tuyn tớnh nh chun X vo 11ể Ta gi phng trỡnh: Ax = f (1.1) ú / X cho trc., l phng trỡnh loi I Tip theo, phng trỡnh loi II cú dng: X A A / + ( / ', tham s A cú th xột trờn trng thc M hoc trng phc Fredholm nu (Ax)(t.) = c ) A l toỏn t tớch phõn K(t.,*)x(s)d*, Ja ú hm hai bin K ( t , s ) goi l nhõn ca, toỏn t tớch phõn A l toỏn t Volterra, nu (Ax)(t) = 1K (t, s).r(.s) = (Vj > 1) By gi ta tỡm nghim gn ỳng di dng n X = / + y ^ C i Do ch cú n tham s t C i, ,c nờn trng hp tng quỏt, ta ch cú th ũi hi lng khụng khp L x n f trc giao vi n vector (j = l , n ) , tc l: ( Lxn - f , j ) = Ta (j =T~n) (4.2) C.ể: n = (L x n = - A ( Af , >j) 4- c4(v>ú Vj) i= t /3 j:=(A(pi,j)\ j j:=(Af , (pj ) v Ơ>>)] ta cú th vit li h (4.2) di dng: Cớ'trỡ' - A/i,-j = 7j, =1 (j=I7n) (4.3) Nu nh thc, A(A) ca h (4.3) khỏc khụng, ta tỡm c C v ú tỡm c Ê Gi s nhõn K ( t , s ) thuc L 2([a, b] X [a, b)) Khi ú theo nh lý Fubini, K ( , s ) L2[a,.b] vi hu khp mi [a, )], v ú V.S [a, 6] K ( t , s ) = kn(s) K ( t , s ) L 2[a, b] vi hu khp mi s [a, 6], phng phỏp nhõn suy bin, v ú, phng phỏp Bubnov - Galerkin hi t Vớ d Tỡm vector riờlg v giỏ tr riờng ca toỏn t tớch phõn {Ax)(t ) = K ( t , s)x(s)ds, ú I3:=t(l t ) ( l 2t) Nghim x cú dng x A + Bt{ t) + Ct( t)( 2ớ) A L x = x AAa?3 = + JB[...]... {xn } c X hi t n phn t x Ê X (ký hiu: x n x) nu d(xn,x) 0(n oo) Anh x a khụng gian metric X vo khụng gian metric Y liờn tuc ti im X X khi v ch khi mi dóy x n * X suy ra A ( x n) * A(x) Dóy {Xn} l dóy Cauchy, hay dóy c bn, nu: Ve > 0 3N(e) Vn, m > N(e) d(xn, x m) < Ê Khụng gian metric X l thuc X * y , nu mi dóy c bn hi t n mt phn t no ú Anh x A a khụng gian metric (X, d) vo trong nú c goi l ỏnh x co... khụng th trỏnh khi trong mi quỏ trỡnh thc nghiờm Vỡ trong quỏ trỡnh thc nghim, cỏc yu t nh: Th trng, tõm lý ngi trc tip quan trc, chớnh xỏc hn ch ca cỏc thit b o, tỏc ng ngu nhiờn ca mụi trng xung quanh v.v cú th nh hng n kt qu quan trc Do ú xut hin sai s ngu nhiờn Trong tng trng hp c th, sai s ngu nhiờn cú th ỏnh giỏ c khi bit phõn phi xỏc sut ca nú Gi s i lng a c o n ln vi cỏc giỏ tr ai, ,an trong... chuyen tvr doan| t Tl ny qua doan khõc * 3) De V( e [0 ^ ; |f^ | = ^ S = 1 nờn 1 MOI gim dn| khi i thay dụi tvr 0 dờn n /2 sau do lai tang do tinh chat dụi xvrng cựa p 29 4) Ngoi oan [0,n] ip(t) tng r t nhanh T 4 tớnh cht ca >(t) ta rỳt ra hai kt lun sau: a) Phn d R(x) r t ln ngoi on [cr0,x n, do ú dựng cụng thc ni suy thc hin phộp ngoi suy s mc phi sai s ln b) Phộp ni suy cú chớnh xỏc cao i vi cỏc on