Bài toán thác triển trong giải tích clifford và các ứng dụng trong công nghệ

53 Chương 4:Định lý thác triển Hartogs trong giải tích Clifford phụ thuộc tham số ..... Mở Đầu Các định lý thác triển đối với hàm giải tích không những đạt được những tính hoàn chỉnh và

Mục lục

Mục lục 1

Lời cam đoan 4

Lời cảm ơn 5

Mở Đầu 6

Chương 1:Định lý thác triển Hartogs đối với hàm giải tích nhiều biến phức 8

1.1 Hàm nhiều biến phức 8

1.1.1 Không gian n 8

1.1.2 Một số miền đơn giản trong không gian n 8

1.1.3 Hàm chỉnh hình 11

1.1.4 Tính chất của hàm chỉnh hình 13

1.2 Định lý Hartogs về thác triển 17

1.2.1 Định lý 1 (Hartogs) 17

1.2.2 Định lý 2 19

1.2.3 Định lý 3 20

Chương 2:Đại số Clifford phụ thuộc tham số 21

2.1 Đại số Clifford 21

2.1.1 Số Phức 21

2.1.2 Đại số Clifford 22

2.1.2.1 Định nghĩa đại số Clifford An 22

2.1.2.2 Một số tính chất củaAn 23

2.1.2.3 Số chiều của đại số Clifford An 24

2.1.2.4 An là một không gian Metric 24

2.1.2.5 Một số tính chất khác của đại số An 25

2.2 Đại số Clifford phụ thuộc tham số 28

2.2.1 Định nghĩa 28

2.2.2 Cơ sở và số chiều 29

2.2.3 Một số tính chất của đại số Clifford phụ thuộc tham số 30

2.2.4 Mở rộng đại số Clifford 31

2.2.5 Đại số Clifford bậc cao 32

Chương 3:Giải tích Clifford 34

3.1 Giải tích Clifford 34

3.1.1 Toán tử Cauchy – Riemann 34

3.1.2 Hàm chính quy 34

3.1.3 Khái niệm hàm chỉnh hình và hàm chính quy suy rộng 36

3.1.3.1 Tổng quát 36

3.1.3.2 Cấu trúc mối quan hệ hàm 38

3.1.3.3 Định nghĩa 1 39

3.1.4 Công thức Cauchy – Pompeiu 41

3.1.4.1 Công thức tích phân Gauss 41

3.1.4.2 Công thức tích phân Green 43

3.1.4.3 Công thức Cauchy – Pompeiu cho toán tử Cauchy-Rieman 44

3.1.4.4 Công thức tích phân Cauchy cho hàm chính quy 46

3.2 Giải tích Clifford mở rộng 46

3.2.1 Toán tử Cauchy – Riemann trong A n(2, j, ij) 46

3.2.2 Toán tử Cauchy – Riemann 48

3.2.3 Toán tử Cauchy – Rieman trong đại số Clifford bậc cao 50

3.3 Giải tích Clifford trong A (2,n  j, ij) 52

3.3.1 Công thức Cauchy – Pompeiu 53

Chương 4:Định lý thác triển Hartogs trong giải tích Clifford phụ thuộc tham số 57

4.1 Đại số Clifford A (4,1,0)2 57

4.1.1 Định nghĩa A (4,1,0)2 57

4.1.2 Cơ sở của A (4,1,0)2 57

4.2 Giải tích clifford phụ thuộc tham số A (4,1,0)2 57

4.2.1 Định nghĩa 1 57

4.2.2 Định nghĩa 2 58

4.2.3 Định nghĩa 3 58

4.2.4 Tính chất 59

4.2.5 Định lý 1 65

4.2.6 Định lý 2 65

Tài liệu tham khảo 67

Phụ lục 68

Phụ lục 1 68

Phụ lục 2 71

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu độc lập của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của thầy giáo GS.TSKH Lê Hùng Sơn Tất cả các nguồn tài liệu tham khảo đã được công bố đầy đủ Nội dung của luận văn là trung thực , kết quả đạt được là hoàn toàn mới

Tác giả luận văn

Dương Thị Hồng Nhung

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo hướng dẫn – GS.TSKH.Lê Hùng Sơn Người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo, định hướng và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành và có kết quả như luận văn này Thái độ nghiêm túc trong công việc, cũng như sự nhiệt tình trong giảng dạy của Thầy đã giúp tôi có thêm động lực để hoàn thành luận văn trong thời gian vô cùng khó khăn Đồng thời tôi cũng xin cảm ơn chân thành đến các thành viên, bài giảng trong các xê – mi – na:

+ Xê – mi – na “Đại số và giải tích Clifford ” dưới sự chủ trì của Thầy W.Tutschke

+ Xê – mi – na “Giải tích phức và phương trình vi phân” dưới sự chủ trì của GS.TSKH Lê Hùng Sơn

Tôi xin trân trọng cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, Viện Đào tạo Sau Đại học, các thầy cô Viện Toán Tin Ứng dụng Đại Học Bách Khoa Hà Nội, những người đã dạy dỗ và tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành luận văn này

Cuối cùng, Tôi muốn bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới bố, mẹ, anh, chị, chồng và đặc biệt là con trai tôi, những người luôn ở bên để động viên

và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi

Tác giả

Dương Thị Hồng Nhung

Mở Đầu

Các định lý thác triển đối với hàm giải tích không những đạt được những tính hoàn chỉnh và đẹp đẽ về mặt cấu trúc mà còn được ứng dụng khá rộng rãi trong các lĩnh vực của toán học cũng như kỹ thuật Chúng ta

đã biết đến những ứng dụng của định lý thác triển Hartogs đối với hàm giải tích một biến phức và hàm nhiều biến phức như các bài toán ứng dụng trong dự báo thời tiết, thiên tai, trong thủy lợi,… Ngày nay, những vấn đề này lại càng được quan tâm hơn nữa, chính vì vậy mà những ứng dụng của

nó lại càng quan trọng Ta đã biết đến hàm nhận giá trị trong không gian phức có những tính chất vô cùng quan trọng và thỏa mãn định lý thác triển, thì đối với hàm nhận giá trị trong đại số Clifford, cũng như đại số Clifford phụ thuộc tham số cũng có những tính chất tương tự, đồng thời thỏa mãn một số định lý thác triển Việc nghiên cứu đại số Clifford, đại số Clifford phụ thuộc tham số là vô cùng bức thiết bởi những tính chất và cấu trúc đẹp

đẽ của nó

Dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Lê Hùng Sơn, Tôi đã nhận thấy

tầm quan trọng của định lý thác triển và nghiên cứu đề tài: ”Bài toán thác

triển trong giải tích Clifford và các ứng dụng trong công nghệ” Nội dung

của luận văn gồm 4 chương:

Chương 1: Định lý thác triển Hartogs đối với hàm giải tích nhiều biến phức

Chương 2: Đại số Clifford phụ thuộc tham số

Chương 3: Giải tích Clifford

Chương 4: Định lý thác triển đối với hàm giải tích nhận giá trị trong giải tích Clifford phụ thuộc tham số

Trong phạm vi của luận văn này, Tôi đã nghiên cứu và nhận thấy hàm nhận chỉnh hình nhận giá trị trong đại số Clifford phụ thuộc tham số

2

A (4,1,0) cũng thỏa mãn định lý thác triển Hartogs

Do luận văn được hoàn thành trong điều kiện còn hạn chế về kiến thức cũng như thời gian nên không tránh khỏi những thiếu sót, vì vậy, Tôi mong nhận được những nhận xét và đóng góp từ các thầy cô và bạn bè để luận văn ngày một hoàn chỉnh Tôi cũng hy vọng có cơ hội nghiên cứu sâu hơn đề tài này và đặc biệt có thêm kết quả ứng dụng

Ta đưa vào trong đó cấu trúc phức bằng cách đặt: z xixn

Với  1,n Và ký hiệu lại :xn y z xiy ,  1, n

Khi đó không gian mà điểm đó là những bộ n số phức (hữu hạn)

1 2

z(z , z , , z )n {z }v gọi là không gian phức n chiều n

Có thể xem, với n tùy ý, không gian n là tích n mặt phẳng phức

Ta hiểu miền là tập mở liên thông Trong đó tính mở của tập hợp nghĩa là tập chứa cùng với mỗi điểm, mỗi lân cận nào đó, còn tính liên thông của tập mở nghĩa là có thể nối mỗi cặp điểm ' ''

z , z của nó bởi đường

z( ) : I n

t

I[0,1] là đoạn của trục thực z( )t là hàm liên tục, z(0)z' , z(1)z",  t Itùy ý

  

n

n

b Đa tròn (hay đa trụ)

Đa tròn (hay đa trụ) bán kính r tâm a n

  

Biên của đa tròn là tập tất cả các điểm có ít nhất một tọa độ z thuộc biên của hình tròn thứ , thành phần của U , còn các tọa độ zcòn lại (  ) thay đổi tùy ý trong hình tròn đóng Biên này được phân thành n tập:

;  {z:|z -a |=r , =1, }    n gọi là khung của đa tròn

Ví dụ: Mô tả chi tiết hơn song tròn bán kính 1, tâm tại gốc tọa độ

c Các miền đa tròn(hay đa trụ)

Là tích của n miền phẳng DD1D2  Dn(Đa tròn là trường hợp riêng của các miền như vậy)

Nếu D là đơn liên thì D đồng phôi với hình cầu

Biên  Dcủa miền đa tròn D được phân thành ntập 2n 1 chiều

      n gọi là khung của miền đa tròn D

d Miền Rây nác (miền n-tròn)

Miền Rây nác tâm a nđược định nghĩa là miền có tính chất với mỗi điểm 0 0

z {z } của miền, miền chứa cả điểm tùy ý

Nếu điểm z0 đã thuộc nó thì mọi điểm z mà z z0 ,( 1, )n

Còn | zn a | | zn  0n a |n thì gọi là miền Hartogs đầy đủ

Các miền Hartogs với mặt phẳng đối xứng {z =0}n có thể minh họa trong không gian 2n 1 chiều Nếu dùng biến đổi: n  n1  được xác định bởi công thức: z(z){z , ,z1 n1,|z |}n

Ta ký hiệu: z(z , z , , z1 2 n1) là hình chiếu của z trong không gian n1

và qua D hình chiếu của D trong n1 (tức tập các điểm ,z,'zD) Khi đó miền Hartogs đầy đủ chứa cùng với một điểm 0 0

Giả sử f khả vi tại điểm z D theo nghĩa giải tích thực 2n- khả vi nghĩa

Tức là:

được gọi là khả vi tại điểm đó theo nghĩa giải tích phức ( n

- khả vi ) nếu

nó khả vi tại đó theo nghĩa 2n

và tại điểm này: 0

tại mỗi điểm của lân cận nào

đó của điểm 0

z  n

được gọi là chỉnh hình tại điểm z Hàm chỉnh hình 0

tại mọi điểm của tập mở  n

được gọi là chỉnh hình trên tập 

lập thành một vành Ký hiệu: (D)H

biến riêng biệt trong miền D n

thì nó khả vi trong D (theo nghĩa 2n) theo tập hợp các biến (chỉnh hình theo định nghĩa 1.2)

1.1.4 Tính chất của hàm chỉnh hình

Để thay cho tính chỉnh hình ta xét điều kiện tổng quát hơn:

(A) Hàm f liên tục trong miền D n

theo tập hợp các biến và tại mỗi điểm z0Dchỉnh hình theo mỗi tọa độ

Tính chất 1.1: Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện (A) trong đa tròn đóng

 : Khung đa tròn, tức là tích các vòng tròn biên  {|-a |=r } 

z, U trong không gian n1(z , , z1 n1)

Hàm f  f('z, z )n chỉnh hình theo zntrong hình tròn {|zn a | r}n  Do đó theo công thức tích phân Côsi

1 ('z,z )(z)

Tính chất 1.2: Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện (A) trong đa tròn đóng U thì

tại mỗi thời điểm zU nó được biểu diễn bởi chuỗi lũy thừa kép :

f c (1.4) Với các hệ số

Nếu hàm f thỏa mãn đk (A) trong đa tròn đóng U thì tại mỗi điểm

zU, nó có các đạo hàm riêng mọi cấp liên tục theo tập hợp biến

Tính chất 1.5

Nếu hàm f chỉnh hình tại điểm a , được khai triển thành chuỗi lũy thừa (dạng trong tính chất 1.2) thì các hệ số của chuỗi lũy thừa này được xác định theo công thức Taylor

1

z a 1

Nếu hàm f chỉnh hình trong đa tròn đóng U {|z -a |<r }    và

theo mỗi biến zthì nó chỉnh hình trong D

Chứng minh: Không giảm tổng quát, ta chỉ cần chứng minh tính chỉnh hình

của hàm f tại điểm z0D tùy ý và đồng thời ta cũng có thể xem

0

z 0 Như vậy, giả sử f chỉnh hình theo mỗi biến trong đa tròn U(0, R)

Ta sẽ chứng minh nó chỉnh hình trong đa tròn nào đó tâm 0

Ta sẽ chứng minh quy nạp theo số biến Đối với một biến, điều này là hiển nhiên

Giả sử, nó đúng với n1 biến và ký hiệu

3

 R Từ giả thiết ta có, hàm f('z, z )n

liên tục theo 'z trong 'U đối với

znUn {| z | R}n  tùy ý và theo zn trong Un đối với 'z 'U tùy ý

Theo bổ đề Ôsgut, f giới nội, nghĩa là chỉnh hình trong đa tròn nào

thấy V U(0, R) , do đó f chỉnh hình theo 'z trong 'V đối với

znUn {| z | R}n  tùy ý mà hơn nữa nó lại chỉnh hình theo z trong W Theo bổ đề Hartog, từ đó ta suy ra nó chỉnh hình theo z trong đa tròn V

chứa điểm z 0 Như vậy ta có điều phải chứng minh

Định lý 1.2(duy nhất): Nếu hàm f H(D) và mọi đạo hàm của f đều triệt tiêu tại điểm 0

z nào đó,z0 D n

thì f 0trong D Nếu hàm f H(D), f 0 trong lân cận thực của điểm z0 D n

tức là

{z  x iy n,| x x | R, y  y }

thì f 0trong D

đại tại điểm nào đó a D thì f =const trong D

Định lý 1.5(Vâyơstraxơ): Giả sử dãy hàm fH(D) hội tụ đều đến hàm

Định lý 1.6 :Giả sử f chỉnh hình trong lân cận U nào đó của điểm a n

và f(a)0 nhưng f('a, z )n 0 khi đó trong lân cận V nào đó của điểm

này

1(z) z a k  'z z a k   'z (z)

Trong đó 'z0'D , thác triển chỉnh hình được vào toàn miền D 'D Dn

đương cong trơn Hàm

Thật vậy, khi nDn và 'z'D, điểm ('z,n)M do đó f('z, z )n chỉnh hình Suy ra f chỉnh hình đối với 'z trong 'D (znD )n (tính chất hàm chỉnh hình)

Mặt khác: với 'z 'D , hàm f chỉnh hình đối với znDn

Với z thuộc lân cận  0

'z D n , hàm f chỉnh hình theo giả thiết và

f f

i



(công thức tích phân Côsi với hàm một biến zn )

Vậy với z thuộc lân cận này, f  f(z) Suy ra, f  f khắp nơi, mà hơn

nữa f chỉnh hình(theo định lý duy nhất đối với hàm nhiều biến phức)

Mà f H(D) nên f là thác triển giải tích cần tìm của f

Nhận xét: Từ chứng minh trên ta nhận thấy, điều kiện của định lý Hartogs

có thể giảm đi, nếu chỉ đòi hỏi f là hàm:

1.Chỉnh hình trong lân cận tập  0

'z Dn

2.Liên tục theo zn và chỉnh hình theo ' z trên tập 'D D n

Hơn nữa, nếu trong (1.6) ta xét tích phân bội Côsi theo 'D thì vai trò của

'D và Dn có thể thay đổi cho nhau (tương ứng, các biến 'z, zn )

Theo định lý duy nhất, tập mỏng M không thể có điểm trong, nó không đâu trù mật trong D , phần bù trong D của M là liên thông

1.2.2 Định lý 2

Giả sử M là tập mỏng trong miền D n

và hàm f chỉnh hình trong D\ M Nếu f giới nội thì nó thác triển được một cách duy nhất thành hàm f chỉnh hình trong D

(Giới nội địa phương được hiểu là z D  ,  lân cận U z sao cho f giới

bất kỳ aM Không giảm tổng quát, giả sử a 0

Xét hàm  xác định M trong lân cận U0 thỏa mãn điều kiện: ('z,0)0

 trong đó 'z(z , , z1 n1)

Với n 0 đủ nhỏ, hàm ('0, z )n 0 trên đường tròn | z |n  n nên

ta có các số r(r 1,n1) có thể chọn đủ nhỏ, sao cho ('z, z )n 0 với

Hàm thác triển f chỉnh hình trong lân cận tập (' V D )n ('0 D ) n và

theo định lý Hartogs, f chỉnh hình trong đa tròn V 'V Dn

Trong định lý tiếp theo, ta tăng hạn chế buộc cho f bằng cách thác

triển liên tục nó vào D , nhưng đồng thời giảm đòi hỏi cho tập M (giả sử:

1.2.3 Định lý 3

Nếu hàm f liên tục trong miền D n

và chỉnh hình khắp nơi trong D , trừ ra tập M nằm trên mặt trơn 2n1 chiều S , thì nó chỉnh hình

trong toàn D

Chứng minh:

Tương tự như định lý trên, giả sử trong lân cận U của điểm 0M ,

mặt S biểu diễn bởi phương trình y n ('z, x )n trong đó  là hàm thực nhẵn

Vì ('0,0) 0 nên theo tính liên tục:

Chương 2

Đại số Clifford phụ thuộc tham số

2.1 Đại số Clifford

2.1.1 Số Phức

Hoặc ta có thể viết dưới dạng khác:

Q(x) = … - cxk-2 + … và cứ tiếp tục như vậy, ta sẽ giảm bớt bậc của đa thức P(x)

Chú ý rằng: P(x) – Q(x) = cxk-2

(x2+1) Như vậy ta có thể định nghĩa số phức như là lớp thương của đa thức chứa

Và cơ sở của An 1,e , ,e ,e , ,e e e1 n 12 1 2 n

2.1.2.4 An là một không gian Metric

Đại số Clifford An được hiểu như là một không gian Euclid 2n - chiều với vectơ cơ sở:

1,e , ,e ,e , ,e e e1 n 12 1 2 n

Khi đó: aAn

Tức: a  a0 a e1 1  a en na e12 12  a e e e1n 1 2 n

Và được hiểu như: a(a ,a , ,a ,a , ,a0 1 n 12 n1n, ,a1 n) là một điểm trong không gian Euclid 2n chiều

c Phần tử nghịch đảo

Ở đây, Ta xem xét phần tử nghịch đảo cụ thể trong đại số Clifford A2

Ta chứng minh được rằng trong đại số Clifford A2 tồn tại phân tử nghịch đảo trái, phân tử nghịch đảo phải

Đại số Clifford A2có cơ sở :1,e ,e ,e1 2 12

Ta thấy A1 là ma trận đối xứng, det (A)  0 => hệ phương trình trên

có nghiệm => xa=> phân tử nghịch đảo trái

Phân tử nghịch đảo phải

 mâu thuẫn => không  phân tử nghịch trái

Tương tự trong A3 không tồn tại phân tử nghịch đảo phải

Nhận xét: Không phải trong đại số Clifford nào cũng tồn tại phần tử nghịch

xk j ( )

j j p và x xi jx xj i2 ( )ij p (2.1) Với i, j 1, n  và i j hay  kj    

Trong trường hợp  j, ij không phụ thuộc p ta có thể viết lại:

xj = ej i, j = 1, n

xn = en

xij = eij Khi đó aAnp k ,j j   p ,ij p 

Ví dụ:

2

A (3,1,0) có số chiều là 9 và cơ sở của nó là:

A2(kj, 1, 0) với k1 = 2, k2 = 3 có số chiều 6, cơ sở là:

2.2.3 Một số tính chất của đại số Clifford phụ thuộc tham số

Chúng ta sẽ xem xét ví dụ dưới đây để thấy một số tính chất của đại số Clifford phụ thuộc tham số

Ví dụ 1: Trong A2(2, 1, ), phần tử 1 +e12 có nghịch đảo phải và nếu

  1 thì không  nghịch đảo phải

Gọi xa là phân tử nghịch đảo phải của a= (1+e12)

<=> x0 + x0e12 + x1e1 + x2e2 + x12e12 +x1.e1.2x1e1 - x2e1 + x12e1e2 (2

- e2e1) = 1

<=> x0 + x0e12 + x1e1 + x2e2 + x12e12 +2x1e1 - x2e1 + x1e2 +2 - x12e12– x12) = 1

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2

1,e ,e ,e ,e e ,e ,e e ,e e ,e e

2.2.5 Đại số Clifford bậc cao

Đại số An p k ,j  j, ij nếu kj > 2 gọi đại số Clifford bậc cao

Ví dụ 1: Trong A1(4,1) có cơ sở 1, e1, e , e12 13 điều này ngụ ý rằng:

Với  0, 1, ,n: đạo hàm riêng tương ứng với biến x0, x1,…, xn

Hơn nữa, ta có toán tử C – R liên hợp

Định nghĩa: Hàm nhận giá trị trong đại số Clifford u(x) được gọi là chính

quy trái nếu Du = 0 và chính quy phải nếu uD = 0

Ví dụ 1: Cho u = u0 + e1u1 + e2u2 + e12u12 trong 3

u là hàm chính quy trái nếu: Du = 0