Bài giảng số 4: Hàm số liên tục và các ứng dụng

Bài giảng đôc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – Vũ Thanh Hà.. BÀI GIẢNG SỐ 04: HÀM SỐ LIÊN TỤC I.. Chứng minh rằng phương trình.. Chứng minh rằng phương tr[r]

Bài giảng đôc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – Vũ Thanh Hà

BÀI GIẢNG SỐ 04: HÀM SỐ LIÊN TỤC I Tóm tắt lý thuyết

- Hàm số y f x( ) liên tục xx0 thuộc miền xác định thoả mãn hai điều kiện sau:

+)

0 lim ( ) ( )

xx f x  f x

+)

0

0 lim ( ) lim ( ) ( )

x x x x

f x f x f x

 

 

 

- Nếu hàm số y f x( ) liên tục đoạn [a, b] thỏa mãn điều kiện f a f b ( ) ( ) 0 tồn tại số c( , )a b cho f c ( )

II Các dạng tập

Dạng 1: Xét tính liên tục hàm số điểm

Kiểu 1: Cho hàm số:

2

( ), ( )

( ),

f x x x

f x

f x x x

 

 

 

Phương pháp:

Để xét tính liên tục xác định giá trị tham số để hàm số liên tục điểm x0, ta làm sau:

Bước 1: Tính giới hạn

0

1 lim ( ) lim ( )

xx f x xx f x L

Bước 2: Tính f x( )0  f x2( 0)

Bước 3: Đánh giá giải phương trình f x2( 0)L, từ đưa kết luận

Ví dụ 1: Xét tính liên tục hàm số

2 cos cos

0 ( )

3

0

x x

khi x x

f x

khi x 



 

  

 

 

tại x =

Giải:

Hàm số xác định với xR

Ta có:

+) 2 2

0 0

3 2sin sin

cos os2 2 2

lim ( ) lim lim

x x x

x x

x c x

f x

x x

  



 

0 0

3 3

sin sin sin sin

3

2 2 2

2 lim lim lim lim

3

2 2

x x x x

x x x x

x x x x

   

  3.1.1

2

 

Bài giảng đôc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – Vũ Thanh Hà

Vì

3 lim ( ) (0)

2

x f x  f  nên hàm số lien tục x =

Ví dụ 2: Xét tính liên tục hàm số sau x0 =

2

1

( ) 1

1 x

khi x

f x x

x a x  

 

 

  

 Giải:

Hàm số xác định với xR

Ta có:

2

1 1

1

lim ( ) lim lim( 1)

(1)

x x x

x

f x x

x

f a

  



   

  

Vậy ta +) Nếu

1

lim ( ) (1) 1

x f x  f    a a hàm số liên tục x0 = +) Nếu

1

lim ( ) (1)

x f x  f a hàm số gián đoạn x0 =

Kiểu 2: Cho hàm số

2

( ), ( )

( ),

f x x x

f x

f x x x

 

 

 

Để xét tính liên tục xác định giá trị tham số để hàm số liên tục điểm x0, ta làm sau:

Bước 1: Tính f(x0) = f2(x0) Bước 2: ( Liên tục trái) Tính:

0

1

lim ( ) lim ( )

xx f x xx f x L

Đánh giá giải phương trình L1  f x2( 0) kết luận liên tục trái Bước 3: ( Liên tục phải ) Tính

0

2

lim ( ) lim ( )

x x x x

f x f x L

 

 

 

Đánh giá giải phương trình L2  f x2( 0)kết luận liên tục phải Bước 4: Đánh giá giải phương trình L1 L2 kết luận

Ví dụ 2: Xét tính liên tục

a)

2

2

0 ( )

1

x khi x

f x

x khi x

 

 

 



tại x =

b)

2

3

( )

3

x

khi x

f x x

x x  

 

 

  



x =

Giải:

Bài giảng đôc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – Vũ Thanh Hà

Ta có:

2

0

lim ( ) lim

x  f x x x

 

0

lim ( ) lim ( 1)

x  f x x x

   

Vì

0

lim ( ) lim ( )

x x

f x f x

 

 

    nên không tồn lim ( )

x f x Vậy hàm số không lien tục x =

b) Hàm số xác định với xR

Ta có:

2

3 3

9 (3 )(3 )

lim ( ) lim lim lim ( )

3

x x x x

x x x

f x x

x x

   

   

  

      

 

3

lim ( ) lim ( )

x  f x x   x   Vì

3

lim ( ) lim ( )

x x

f x f x

 

 

   nên hàm số liên tục x =

Dạng 2: Xét tính liên tục hàm số khoảng Phương pháp:

Để xét tính liên tục xác định giá trị tham số để hàm số liên tục khoảng, ta làm theo bước sau:

Bước 1: Xét tính liên tục hàm số khoảng đơn Bước 2: Xét tính liên tục hàm số điểm giao Bước 3: Kết luận

Ví dụ 3: Chứng tỏ hàm số sau liên tục R

cos

( )

0

x khi x

f x x

khi x 

 

 

 



Giải:

Hàm số f(x) liên tục với x 0

Xét tính liên tục hàm số điểm x =

Ta có: x c os 12 x c os 12 x

x  x 

2 os

x x c x

x

   

Vì

0

lim lim( )

x x x  x  nên lim os

x x c x

 



 

 

Mặt khác f(0) = Do

0

lim ( ) (0)

x f x  f  hàm số liên tục điểm x = Vậy hàm số liên tục toàn trục số thực R

Bài giảng đôc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – Vũ Thanh Hà

2

1 ( )

ax 1

x x x

f x

khi x

  

 

 



Giải:

Hàm số xác định với xR

 Khi x < 1, ta có f(x) = x2 + x nên hàm số liên tục với x <  Khi x > 1, ta có f(x) = ax + nên hàm số liên tục với x >  Ta xét tính liên tục hàm số điểm x0 =

Ta có:

 

 

2

1

1

lim ( ) lim

lim ( ) lim ax 1

(1)

x x

x x

f x x x

f x a

f a

 

 

 

 

  

   

  Do đó:

Nếu

1

lim ( ) lim ( ) (1)

x x

f x f x f a a

 

 

       hàm số liên tục x0 = Nếu

1

lim ( ) lim ( )

x f x x f x a  a hàm số gián đoạn x0 = Vậy: Nếu a = hàm số liên tục toàn trục số

Nếu a 1, hàm số liên tục ;1  1; gián đoạn x0 =

Dạng 3: Điều kiện để hàm số liên tục điểm khoảng

Ví dụ 5:

Cho hàm số:

2

3 , 1

( )

,

x x

x x

f x

a x

  

 

  

 



a) Tìm a để f(x) liên tục trái điểm x =1 b) Tìm a để f(x) liên tục phải điểm x =1 c) Tìm a để f(x) liên tục R

Giải:

Ta có:

2, ( ) ,

2 ,

x x

f x a x

x x

 

   

   

a) f(x) liên tục trái điểm x =  

1

lim ( ) (1) lim

x f x f x x a a

      

b) f(x) liên tục phải điểm x =  

1

lim ( ) (1) lim

x x

f x f x a a

 

 

       

c) Hàm số liên tục R trước hết phải có

1

lim ( ) lim ( ) 1

x x

f x f x

 

 

Bài giảng đôc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – Vũ Thanh Hà

Vậy không tồn a để hàm số liên tục R

Ví dụ 6: Tìm a để hàm số sau liên tục x =

1

0 ( )

4

0

x x

khi x x

f x

x

a khi x

x

   

 

  



  

 



Giải:

Hàm số xác định với xR

Ta có:

+)

0

4

lim lim

2

x x

x

a a

x

 

 



 

    



 

+)

 

0 0

1 2

lim ( ) lim lim lim

1

1

x x x x

x x x

f x

x x x x x x

   

   

    

    

     

+) f(0) = a +

Để hàm số lien tục x =

0

lim ( ) lim ( ) (0)

x x

f x f x f

 

 

  a   2 a 3 Vậy với a  3 hàm số lien tục x =

Dạng 4: Ứng dụng tính liên tục chứng minh phương trình có nghiệm

Ví dụ 7: Chứng minh phương trình

cos sin

x xx x  có nghiệm thuộc khoảng 0;

Giải:

Hàm số

( ) cos sin

f x x xx x liên tục đoạn 0;

2 (0) ( ) f

f  



   f(0) ( )f  0

Theo hệ định lý giá trị trung gian hàm số liên tục tồn số thực

0; 

c  cho f(c) =

Vậy c nghiệm phương trình cho

Ví dụ 8: Khơng dùng máy tính chứng minh phương trình sau có nghiệm phân biệt:

3

x  x 

Giải:

Hàm số f(x) = x3 – 3x + liên tục R Ta có: f(- 2) = -1, f(0) = 1, f(1) = -1, f(2) = Suy

Bài giảng đôc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – Vũ Thanh Hà

 f(0).f(1) = -1 < 0, phương trình có nghiệm thuộc (0; 1)  f(1).f(2) = -6 < 0, phương trình có nghiệm thuộc (1; 2) Vậy phương trình có nghiệm phân biệt

Ví dụ 9: Chứng minh phương trình: 3sinx + 4cosx + mx – = có nghiệm với m

Giải:

Xét hàm số f x ( ) 3sinx  4cosx  mx – Dễ thấy hàm số liên tục R Ta có f(0)2

Nếu m 0 ta có f( 2) 3sin( 4) cos( 4) 32 42

m m m

           

Suy f(0) (f 4)

m

  Vậy theo tính chất hàm liên tục tồn nghiệm thuộc khoảng

(0; )

m

 ( 4; 0)

m



Nếu m = thay trực tiếp vào phương trình ta có: 3sinx +4cosx = Dễ thấy 3242 22 nên phương trình có nghiệm

Vậy phương trình ln có nghiệm với m

III Luyện tập

Trên lớp

Bài 1. Xét tính liên tục

2

2

4

1

( ) 1

1

x x

x

f x x

x

  

  

 

   



Tại x = -1

ĐS: hàm số liên tục x = -1

Bài 2. Tìm a để hàm số sau liên tục x =

3

3 2

( 2)

( )

1

( 2)

x

x x

f x

ax x

  

 

 

 

  

 

ĐS: a =

Bài 3. Tìm m để 2

1

1

( ) 1

1 x

if x

f x x

m if x

 

 

  

 



Liên tục ( 0; )

ĐS:

2

m  

Bài giảng đôc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – Vũ Thanh Hà

0 5

   x

x có nghiệm

HD: Tính f(-2), f(-1), f(0), f(2) Bài 5. Chứng minh phương trình

1

x   x có nghiệm nghiệm âm lớn -1 HD: Chứng minh tồn điểm c   1; 0sao cho f(c) = Khi số c nghiệm âm lớn -1 phương trình cho

Bài 6. Chứng minh phương trình (m2 + m + 1)x4 + 2x – = ln có nghiệm với m

HD: Tính f(0) = -2, f(1) =

2

2

1

2

m m m   

 

Về nhà

Bài 1. Xét tính liên tục

2

2

3

( ) 3

5

x x

x

f x x

x

  

 

 

 



Trên tập xác định

ĐS: Hàm số ko liên tục

Bài 2. Tìm m để

2

2

2

( )

2

x x

khi x

f x x

m khi x

  

 

 

 



liên tục x =

ĐS: m = Bài 3. Chứng minh phương trình:

a x5  x3 70 ln có nghiệm c x3  x6 120 có nghiệm dương

d x4  x3 10 có nghiệm (- 1; 3) không? HD: a) Chứng minh f(0).f(2) <

b) Chứng minh phương trình có nghiệm c 0;1sao cho f(c) = Khi số c nghiệm nghiệm dương phương trình

c) Có

Bài 4. Tìm m để hàm số f(x) =

1 cos

0 sin

4

0

x

khi x x

x

m khi x

x

 

 

 



  

  

liên tục x =

ĐS: m  4

Bài giảng đôc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – Vũ Thanh Hà

a) f(x) =           x x x x

tại x0 =

ĐS: Hs liên tục x =

b) f(x) =

          x x x sin x cos

x0 =

ĐS: hàm số không liên tục x0 =

c) f(x) =            x x x x sin

tại x0 =

HD: hàm số liên tục x0 =

 

1 1

sin( ) sin

lim ( ) lim lim

x x x

x x f x x x                  

sin( ) os os sin

lim

x

x c c x

x                        1

sin( ) sin

lim lim x x x x x x                     

  = f(1)

Bài 6. Tìm m để hàm số sau liên tục x0=

a) f(x) =

               x x x m x x x x

ĐS: a) m  3

Bài 7. Xét tính liên tục hàm số sau R

a)

1

sin x

khi x

f ( x ) x

khi x        

b)

1

sin x

khi x | x |

f ( x )

khi x        

ĐS: a) liên tục b) không liên tục

Bài 8. Tìm m để hàm số

33 2 2

2 2 x khi x x

f ( x )

mx khi x

             

Bài giảng đôc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân – Vũ Thanh Hà

ĐS: m =

Bài 9. Không giải phương trình, chứng minh phương trình sau ln có nghiệm

a) cosx + mcos2x = 0, b) m(x – 1)3(x + 2) + (2x + 3) = HD:

a) Xét vế trái khoảng ;3 4

 

 

 

 