Đang tải... (xem toàn văn)
- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số. Bài tập áp dụng:[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ: ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TỐN
Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a0) (*)
Có hai nghiệm
2 b x
a
;
2 b x
a
Suy ra:
2
2
b b b b
x x
a a a
2
1 2 2
( )( )
4 4
b b b ac c
x x
a a a a
Vậy đặt : - Tổng nghiệm S : S =
b x x
a
- Tích nghiệm P : P =
c x x
a
Như ta thấy hai nghiệm phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với hệ số a, b, c Đây nội dung Định lí VI-ÉT, sau ta tìm hiểu số ứng dụng định lí giải tốn
I NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :
1 Dạng đặc biệt:
Xét phương trình (*) ta thấy :
a) Nếu cho x = ta có (*) a.12 + b.1 + c = a + b + c = 0
Như vây phương trình có nghiệm x 1 nghiệm lại
c x
a
b) Nếu cho x = ta có (*) a.( 1)2 + b( 1) + c = a b + c =
Như phương trình có nghiệm x 1 nghiệm lại
2
c x
a
Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm phương trình sau:
1) 2x2 5x 3 0
(1) 2) 3x28x11 0 (2)
Ta thấy :
Phương trình (1) có dạng a b + c = nên có nghiệm x 1
3 x
Phương trình (2) có dạng a + b + c = nên có nghiệm x 1
11 x
Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm phương trình sau:
1 35x2 37x 2 0
7x2500x 507 0
3 x2 49x 50 0
4321x221x 4300 0
(2)Vídụ: a) Phương trình x2 2px 5 0 Có nghiệm 2, tìm p nghiệm
thứ hai
b) Phương trình x25x q 0 có nghiệm 5, tìm q nghiệm thứ
hai
c) Cho phương trình : x2 7x q 0, biết hiệu nghiệm 11 Tìm q và
hai nghiệm phương trình
d) Tìm q hai nghiệm phương trình : x2 qx50 0 , biết phương trình
có nghiệm có nghiệm lần nghiệm
Bài giải:
a) Thay x 1 v phương trình ban đ ầu ta đ ợc :
1 4
4
p p
T x x 1 suy
1
5 x
x
b) Thay x 1 v phương trình ban đ ầu ta đ ợc
25 25 q q50
T x x 1 50 suy
1
50 50 10
x x
c) Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1 x2 11 theo
VI-ÉT ta có x1x2 7, ta giải hệ sau:
1
1 2
11
7
x x x
x x x
Suy q x x 18
d) Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x12x2 theo VI-ÉT
ta có x x 1 50 Suy
2 2
2
2
5
2 50
5 x
x x
x
Với x 2 th ì x 1 10
Với x 2 th ì x 1 10
II LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1 Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x x1;
(3)Theo hệ thức VI-ÉT ta có
1
1
5 S x x P x x
x x1; 2là nghiệm phương trình có
dạng:
2 0 5 6 0
x Sx P x x
Bài tập áp dụng:
1 x1 = vµ x2 = -3 x1 = 3a vµ x2 = a
3 x1 = 36 vµ x2 = -104 x1 = 1 vµ x2 = 1
2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước:
V
í dụ: Cho phương trình : x2 3x 2 0
có nghiệm phân biệt x x1; Khơng giải
phương trình trên, lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn :
1 y x
x
2
2
1 y x
x
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
1
1 2 1 2
1 2
1 1
( ) ( )
2 x x
S y y x x x x x x
x x x x x x
1 2 1
1 2
1 1
( )( ) 1 1
2
P y y x x x x
x x x x
Vậy phương trình cần lập có dạng: y2 Sy P 0
hay
2 9
0 9 2
y y y y
Bài tập áp dụng:
1/ Cho phương trình 3x2 5x 6 0
có nghiệm phân biệt x x1; Khơng giải
phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm 1
1 y x
x
2
1
1 y x
x
(Đáp số:
2 0
6 y y
(4)2/ Cho phương trình : x2 5x 1 0
có nghiệm x x1; Hãy lập phương trình bậc
có ẩn y thoả mãn y1 x14 y2 x24 (có nghiệm luỹ thừa bậc nghiệm
của phương trình cho)
(Đáp số : y2 727y 1 0)
3/ Cho phương trình bậc hai: x2 2x m2 0
có nghiệm x x1; Hãy lập phương
trình bậc hai có nghiệm y y1; cho :
a) y1 x1 y2 x2 b) y1 2x11 y2 2x2 1
(Đáp số a) y2 4y 3 m2 0 b) y2 2y (4m2 3) 0 )
III TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Nếu hai số có Tổng S Tích P hai số hai nghiệm phương trình :
2
0
x Sx P (điều kiện để có hai số S2 4P ) Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = tích P = ab =
Vì a + b = ab = n ên a, b nghiệm phương trình : x23x 0
giải phương trình ta x 1 x 2
Vậy a = b =
nếu a = b =
Bài tập áp dụng: Tìm số a b biết Tổng S Tích P S = P =
2 S = P =
3 S = P = 20 S = 2x P = x2 y2
Bài tập nâng cao: Tìm số a b biết a + b = a2 + b2 = 41 a b = ab = 36
3 a2 + b2 = 61 v ab = 30
Hướng dẫn: 1) Theo đề biết tổng hai số a b , để áp dụng hệ
thức VI- ÉT cần tìm tích a v b
T
2
2 2 2 81
9 81 81 20
2 a b a b a b a ab b ab
Suy : a, b nghiệm phương trình có dạng :
1
2
4 20
5 x x x
x
(5)nếu a = b =
2) Đã biết tích: ab = 36 cần tìm tổng : a + b
Cách 1: Đ ặt c = b ta có : a + c = a.c = 36
Suy a,c nghiệm phương trình :
1
2
4 36
9 x x x
x
Do a = c = nên b =
nếu a = c = 4 nên b = 4
Cách 2: Từ a b 2 a b 2 4ab a b 2 a b 24ab169
2 132 13
13 a b a b
a b
*) Với a b 13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình :
1
2
4 13 36
9 x
x x
x
Vậy a =4 b = 9
*) Với a b 13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình :
1
2
4 13 36
9 x
x x
x
Vậy a = b =
3) Đã biết ab = 30, cần tìm a + b:
T ừ: a2 + b2 = 61 a b 2 a2b22ab61 2.30 121 11
11 11 a b a b
*) Nếu a b 11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình:
1
2
5 11 30
6 x
x x
x
Vậy a =5 b = 6 ; a =6 b = 5
*) Nếu a b 11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình :
1
2
5 11 30
6 x
x x
x
Vậy a = b = ; a = b =
IV TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM
Đối toán dạng điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng nghiệm S tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị biểu thức
(6)Ví dụ a) x12x22 (x122x x1 2x22) 2 x x1 (x1x2)2 2x x1
b)
2
3 2
1 2 1 2 2
x x x x x x x x x x x x x x
c)
2
4 2 2 2 2 2
1 ( )1 ( )2 2 ( 2) 2 2
x x x x x x x x x x x x x x
d)
1
1 2
1 x x x x x x
Ví dụ x1 x2 ?
Ta biết x1 x22 x1x22 4x x1 x1 x2 x1x22 4x x1
Từ biểu thức biến đổi biến đổi biểu thức sau: x12 x22 ( x1 x2 x1x2=…….)
2 x13 x23 ( =
2
1 1 2 2
x x x x x x x x x x x x
=…… )
3 x14 x24 ( =
2 2
1 2
x x x x =…… )
4 x16x26 ( =
2 3 2 2
1 2 1 2
( )x ( )x x x x x x x
= …… ) Bài tập áp dụng
5 x16 x26
5
1
x x 7 x17 x27 8 1 2 1
1
x x
2 Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : x2 8x 15 0
Khơng giải phương trình, tính
1 x12 x22 (34) 2
1 x x
8 15
3
1
2
x x x x
34 15
2
1
x x (46)
b) Cho phương trình : 8x2 72x 64 0
Khơng giải phương trình, tính:
1
1 x x
9
x12 x22 (65)
c) Cho phương trình : x214x29 0
Khơng giải phương trình, tính:
1
1 x x
14 29
x12 x22 (138)
d) Cho phương trình : 2x2 3x 1 0
Khơng giải phương trình, tính:
1
1
x x (3) 2
1
1
1 x x
x x
(7)3 x12 x22 (1)
1
2 1
x x
x x
5
e) Cho phương trình x2 4 3x 8 0
có nghiệm x1 ; x2 , khơng giải phương
trình, tính
2
1 2
3
1 2
6 10 Q
5
x x x x
x x x x
HD:
2 2
1 2 2
3 2
1 2 1 2 1 2 1 2
6 10 6( ) 6.(4 3) 2.8 17 Q
5 5 2 5.8 (4 3) 2.8 80
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
V TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ
Để làm toán loại này, ta làm theo bước sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a 0)
- Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v P = x1 x2 theo tham số
- Dùng quy tắc cộng để tính tham số theo x1 x2 Từ đưa hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2.
Ví dụ : Cho phương trình : m1x2 2mx m 0 có nghiệm x x1; 2 Lập hệ
thức liên hệ x x1; 2 cho chúng không phụ thuộc vào m.
Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì :
2
1
1
4 ' ( 1)( 4)
5 m m
m m
m m
m m m
Theo hệ th ức VI- ÉT ta có :
1 2
1 2
2
2 (1)
1
4
(2)
1
m
x x x x
m m
m
x x x x
m m
(8)1
1
2
2
1 x x m
m x x (3)
Rút m từ (2) ta có :
1
1
3
1
1 x x m
m x x (4)
Đồng vế (3) (4) ta có:
2 2
1 2
2
2 3
2 x x x x x x x x
x x x x
Ví dụ 2: Gọi x x1; nghiệm phương trình :
1
m x mx m Chứng
minh biểu thức A3x1x22x x1 2 8 không phụ thuộc giá trị m.
Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì :
2
1
1
4 ' ( 1)( 4)
5 m m
m m
m m
m m m
Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó :
1
1
2
1 m x x
m m x x
m
thay v A ta c ó:
2
2 8( 1)
3 8
1 1
m m m m m
A x x x x
m m m m
Vậy A = với m 1 m
Do biểu thức A không phụ thuộc vào
m
Nhận xét:
- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm
- Sau dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đồng vế ta biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số
Bài tập áp dụng:
1 Cho phương trình : x2 m2x2m1 0 có nghiệm x x1; 2 Hãy lập hệ thức
(9)Hướng dẫn: Dễ thấy m22 2 m1 m2 4m 8 m 22 4
do phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có
1
1
1 2
2(1)
1
(2)
2 m x x x x m
x x
x x m m
Từ (1) (2) ta có:
1
1 2
1
2
2 x x
x x x x x x
2 Cho phương trình : x24m1x2m 4 0.
Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 cho chúng không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn: Dễ thấy (4m1)2 4.2(m 4) 16 m233 0 phương trình cho
ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức VI- ÉT ta có
1 2
1 2
(4 1) ( ) 1(1) 2( 4) 16(2)
x x m m x x
x x m m x x
Từ (1) (2) ta có:
1 2 2
(x x ) 2x x 16 2x x (x x ) 17
VI.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO
Đối với toán dạng này, ta làm sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a 0)
- Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn tham số)
- Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm
Ví dụ 1: Cho phương trình : mx2 6m1x9m 3 0
Tìm giá trị tham số m để nghiệmx1 x2 thoả mãn hệ thức :
1 2
x x x x
(10)
0 0
' 9 27 ' 1 ' 21 9( 3)
m m m m
m m m m m
m m m
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:
1
1
6( 1)
9( 3) m x x
m m x x
m
v t gi ả thi ết: x1x2 x x1 Suy
ra:
6( 1) 9( 3)
6( 1) 9( 3) 6 27 21
m m
m m m m m m
m m
(thoả mãn điều kiện xác định )
Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức :
1 2
x x x x
Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 2m1x m 2 2 0.
Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : 3x x1 5x1x2 7
Bài giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm x1&x2 :
2
' (2m 1) 4(m 2)
2
4m 4m 4m
7
4
m m
Theo hệ thức VI-ÉT ta có:
1
2
2
x x m
x x m
từ giả thiết 3x x1 2 5x1x2 7
Suy
2
2
2
3( 2) 5(2 1) 10
2( ) 10 4
( )
m m
m m
m TM
m m
m KTM
Vậy với m = phương trình có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức :
1 2
3x x x x 7
Bài tập áp dụng
(11)Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1 2x2 0
2 Cho phương trình : x2m1x5m 0
Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức: 4x13x2 1
3 Cho phương trình : 3x2 3m 2x 3m1 0
Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 5x2 6
Hướng dẫn cách giải:
Đối với tập dạng ta thấy có điều khác biệt so với tập Ví dụ ví dụ chỗ
+ Trong ví dụ biểu thức nghiệm chứa sẵn tổng nghiệm x1x2 tích
nghiệm x x1 2nên ta vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m.
+ Còn tập biểu thức nghiệm lại khơng cho sẵn vậy, vấn đề đặt làm để từ biểu thức cho biến đổi biểu thức có chứa tổng nghiệm x1x2 tích nghiệm x x1 2rồi từ vận dụng tương tự
cách làm trình bày Ví dụ ví dụ
BT1: - ĐKX Đ:
16 &
15 m m
-Theo VI-ÉT:
1
1
( 4) (1)
m x x
m m x x
m
- Từ x1 2x2 0 Suy ra:
1 2
1 2
1
3
2( ) 2( )
x x x
x x x x
x x x
(2)
- Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình sau:
2
1
127 128 1; 128 m m m m
BT2: - ĐKXĐ: m2 22m25 0 m11 96;m11 96
- Theo VI-ÉT:
1
1
1 (1)
x x m
x x m
- Từ : 4x13x2 1 Suy ra:
1
1 2
2
2
1 2
1 3( )
1 3( ) 4( ) 4( )
7( ) 12( )
x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
(2)
- Thế (1) vào (2) ta có phương trình :
0 12 ( 1)
1 m m m
m
(thoả mãn ĐKXĐ)
BT3: - Vì (3m 2)24.3(3m1) 9 m224m16 (3 m4)20 với số thực m nên
(12)- -Theo VI-ÉT:
1
1
3 (1) (3 1)
3 m x x
m x x
- Từ giả thiết: 3x1 5x2 6 Suy ra:
1
1 2
2
2
1 2
8 5( )
64 5( ) 3( ) 3( )
64 15( ) 12( ) 36
x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
(2)
- Thế (1) vào (2) ta phương trình:
0 (45 96) 32
15 m
m m
m
(thoả mãn )
VII XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Cho phương trình: ax2 bx c 0
(a 0) Hãy tìm điều kiện để phương
trình có nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm ….
Ta lập bảng xét dấu sau:
Dấu nghiệm x1 x2 Sx1x2 P x x Điều kiện chung
trái dấu P < ; P <
cùng dấu, P > ; P >
cùng dương, + + S > P > ; P > ; S >
cùng âm S < 0 P > 0 0 ; P > ; S <
0 Ví dụ: Xác định tham số m cho phương trình:
2
2x 3m1 x m m 0 có nghiệm trái dấu.
Để phương trình có nghiệm trái dấu
2
2
(3 1) 4.2.( 6)
0 ( 7)
2
6
0 ( 3)( 2)
2
m m m
m m
m m m
P P P m m
Vậy với 2m3 phương trình có nghi ệm trái dấu Bài tập tham khảo:
1 mx2 2m2x3m 2 0 có nghiệm dấu.
(13)3.m1x22x m 0 có nghiệm khơng âm.
VIII TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM
Áp dụng tính chất sau bất đẳng thức: trường hợp ta ln phân tích được:
A m C
k B
(trong A, B biểu thức không âm ; m, k số)
(*)
Thì ta thấy : C m (v ì A 0) minC m A0
C k (v ìB 0) maxC k B0
Ví dụ 1: Cho phương trình : x2 2m1x m 0
Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm m để :
2
1
A x x x x có giá trị nhỏ nhất.
Bài giải: Theo VI-ÉT:
1
1
(2 1)
x x m
x x m
Theo đ ề b ài :
2
2
1 2
A x x x x x x x x
2
2
2
2 12 (2 3) 8
m m
m m
m
Suy ra: minA8 2m 0 hay m
Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 mx m 1 0
Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ giá
trị lớn biểu thức sau:
1
2
1 2
2
2
x x B
x x x x
Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT :
1
1
x x m x x m
(14)
1 2
2 2 2
1 2
2 3 2( 1)
2 ( ) 2
x x x x m m
B
x x x x x x m m
Cách 1: Thêm bớt để đưa dạng phần (*) hướng dẫn Ta biến đổi B sau:
2
2
2
2 1
1
2
m m m m
B
m m
Vì
2
2
2
1
1 0
2 m m B m
Vậy max B=1 m = 1
Với cách thêm bớt khác ta lại có:
2 2 2
2 2
1 1
2 4 2 1
2 2
2 2 2
m m m m m m m
B
m m m
Vì
2 2
2 0
2 2 m m B m Vậy 2
B m
Cách 2: Đưa giải phương trình bậc với ẩn m B tham số, ta tìm điều kiện cho tham số B để phương trình cho ln có nghiệm với m.
2
2
2 2
m
B Bm m B
m
(Với m ẩn, B tham số) (**)
Ta có: 1 B B(2 1) 2 B2B
Để phương trình (**) ln có nghiệm với m
hay 2B2B 1 2B2 B 1 2B1 B1 0
1
2 2
1 1
1
2 1
2 1 B B B B B B B B B
Vậy: max B=1 m = 1
min
2
B m Bài tập áp dụng
1 Cho phương trình : x24m1x2m 4 0.Tìm m để biểu thức
22
(15)2 Cho phương trình x2 2(m1)x 3 m0 Tìm m cho nghiệm x x1; thỏa mãn
điều kiệnx12x22 10
3 Cho phương trình : x2 2(m 4)x m 2 0 xác định m để phương trình có
nghiệm x x1; 2thỏa mãn
a) A x 1x2 3x x1 đạt giá trị lớn
b) B x 12x22 x x1 đạt giá trị nhỏ
4 Cho phương trình : x2 (m1)x m 2m 0 Với giá trị m, biểu thức
2
1
Cx x dạt giá trị nhỏ nhất.
5 Cho phương trình x2 (m1)x m 0 Xác định m để biểu thức Ex12x22 đạt giá