Hằng đẳng thức và ứng dụng trong giải toán

1 Hằng đẳng thức ứng dụng giải toán Tạ Dung MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Trong chương I thuộc chương trình Đại số lớp “Phép nhân phép chia đa thức”, học sinh giới thiệu kiến thức đẳng thức đáng nhớ biết vận dụng kiến thức học vào giải toán Tuy nhiên, nhiều học sinh chưa hiểu phương pháp vận dụng gặp nhiều khó khăn việc giải toán liên quan đến đẳng thức Việc hình thành khả vận dụng bảy đẳng thức đáng nhớ mở rộng chúng làm tiền đề cho học sinh học tốt môn đại số tạo tảng để học tập kiến thức Bên cạnh đó, lí chủ quan khách quan nên việc học sinh nắm hiểu sâu kiến thức để vận dụng đẳng thức vào giải tập toán liên quan như: Phân tích đa thức thành nhân tử, tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức, đặc biệt chứng minh chia hết… chưa trọng nhiều Các đẳng thức đáng nhớ giúp cho phương pháp tính nhanh, phép biến đổi để rút gọn biểu thức, hay sử dụng chúng để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ mà cho ta ứng dụng độc đáo giải phương trình, hệ phương trình chứng minh bất đẳng thức Đây dạng toán khó, thường gặp kỳ thi học sinh giỏi thi vào lớp 10 Bên cạnh nhiều phương pháp giải phương pháp đặt ẩn phụ, đưa phương trình tích, dùng bất đẳng thức, qui phương trình bậc hai nhiều toán giải cách ngắn gọn biết sử dụng đẳng thức Tuy nhiên, ứng dụng đẳng thức tập sách giáo khoa dừng lại mức độ đơn giản Hơn nữa, theo hiểu biết cá nhân em tài liệu tham khảo giới thiệu cho giáo viên học sinh phương pháp biến đổi để ứng dụng đẳng thức vào giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức Tạ Dung Việc nghiên cứu ứng dụng bảy đẳng thức đáng nhớ mở rộng chúng thu hút quan tâm giáo viên toán trung học sở học sinh yêu thích môn toán Nhiều giáo viên phổ thông nghiên cứu đẳng thức vận dụng giải toán thể qua sáng kiến kinh nghiệm họ (xem [3, 4, 5]) Với mong muốn giúp học sinh yêu thích môn toán, bạn sinh viên muốn tìm hiểu đẳng thức ứng dụng nó, để thân em hiểu sâu sắc kiến thức toán phổ thông phục vụ cho công việc tương lai, em mạnh dạn chọn đề tài “Hằng đẳng thức ứng dụng giải toán” cho khóa luận tốt nghiệp Mục tiêu khóa luận Trình bày kiến thức bảy đẳng thức đáng nhớ số đẳng thức mở rộng, ứng dụng chúng vào giải toán sơ cấp Đồng thời đề xuất số tập có lời giải lời giải nhằm khắc sâu kiến thức đẳng thức ứng dụng chúng giải toán Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu bảy đẳng thức đáng nhớ số đẳng thức mở rộng - Nghiên cứu số dạng toán biểu thức, phép chia hết chia có dư, số phương, giải phương trình hệ phương trình, toán đẳng thức bất đẳng thức Phương pháp nghiên cứu • Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc nghiên cứu tài liệu, giáo trình, sách giáo khoa có liên quan đến đẳng thức, cách giải toán thông qua việc sử dụng đẳng thức, hệ thống hóa kiến thức • Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu tham khảo tài liệu, giáo trình từ rút kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu • Phương pháp lấy ý kiến: Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hướng dẫn, giảng viên khác để hoàn thiện mặt nội dung hình thức khóa luận Đối tượng phạm vi nghiên cứu Tạ Dung • Đối tượng: Các đẳng thức đáng nhớ mở rộng • Phạm vi: Các dạng toán đẳng thức ứng dụng chúng giải toán sơ cấp Ý nghĩa khoa học ý nghĩa thực tiễn Khoá luận hệ thống lại cách khiến thức đẳng thức đồng đưa số dạng toán liên quan đến vận dụng đẳng Khoá luận dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán, giáo viên toán trung học sở học sinh yêu thích môn toán Bố cục khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận dự kiến chia thành ba chương Chương 1: Các đẳng thức Chương 2: Vận dụng đẳng thức vào giải toán Chương 3: Bài tập Tạ Dung CHƯƠNG I CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC Trong chương này, trình bày kiến thức bảy đẳng thức đáng nhớ số đẳng thức mở rộng kèm theo chứng minh Bên cạnh đó, giới thiệu thêm mối liên hệ tam giác Pascal đẳng thức 1.1 Tam giác Pascal đẳng thức Pascal viết tam giác số thông qua sách có tên “Luận lí tam giác số học” Nhưng Pascal người nghiên cứu tam giác công bố công trình nghiên cứu ông gây ngạc nhiên cho người thời Trước vào kỷ thứ 10, nhà toán học người Ấn Độ nhận thấy số hữu ích cho việc đại diện cho số kết hợp âm ngắn dài thơmet Các tam giác xuất viết Omar Khayyam, nhà thiên văn học kỷ 17, nhà thơ, nhà triết học nhà toán học đại Iran ( xem [6]) Tam giác số Pascal thiết lập sau: +) Dòng thứ gồm số +) Dòng thứ hai gồm hai số +) Với N > , dòng thứ N gồm N số, số thứ số thứ N 1, số khác tổng hai số đứng kề dòng thứ N − từ trái qua phải 1 1 Tạ Dung 6 Chúng ta dùng tam giác Pascal để khai triển biếu thức (a + b) n sau: 1 1 1 ( a + b) = (a + b)1 = a + b 10 (a + b) = a + 2ab + b 10 (a + b)3 = a + 3a 2b + 3ab + b3 (a + b) = a + 4a 3b + 6a 2b + 4ab3 + b (a + b)5 = a + 5a 4b + 10a 3b + 10a 2b3 + 5ab + b5 Chúng ta dùng tam giác Pascal để khai triển biếu thức (a − b) n sau: 1 1 1 ( a − b) = 1 10 (a − b)1 = a − b (a − b) = a − 2ab + b 10 (a − b)3 = a3 − 3a 2b + 3ab − b3 (a − b) = a − 4a 3b + 6a 2b − 4ab3 + b (a − b)5 = a − 5a 4b + 10a 3b − 10a 2b3 + 5ab − b5 Chúng ta đánh số hàng tam giác Pascal theo thứ tự bắt đầu hàng số 0, tiếp đến hàng số 1, hàng số 2,…… Còn hàng xếp thứ tự số bắt đầu số thứ 0, tiếp đến số thứ 1, số thứ 2,………… Gọi số thứ k hàng thứ n Cnk Từ suy công thức để xây (1 < k < n) dựng tam giác Pascal là: Cnk−−11 + Cnk−1 = Cnk hàng hàng 1 hàng hàng hàng Tạ Dung 1 C41 C42 hàng 5 C52 10 ô ô ô ô ô ô thứ thứ thứ thứ thứ thứ k Công thức tổng quát Cnk là: Cn = Ví dụ: C5 = n! k !( n − k ) ! 5! 1.2.3.4.5 = = 10 2!( − ) ! 1.2.1.2.3 Có thể thấy tam giác Pascal có liên quan mật thiết đến đẳng thức cụ thể là: 1) (a + b) = a + 2ab + b 2) (a − b) = a − 2ab + b 3) a − b = (a − b)(a + b) 4) (a + b)3 = a + 3a 2b + 3ab + b3 5) (a − b)3 = a − 3a 2b + 3ab − b3 6) a + b3 = (a + b)(a − ab + b ) 7) a − b3 = (a − b)(a + ab + b ) Trong đẳng thức 1, 2, 4, 5, ta thấy: +) Ở phép cộng dấu ngoặc phá hoàn toàn +) Còn dấu trừ dấu cộng đến dấu trừ đan xen +) Các biến: lũy thừa a giảm dần, lũy thừa b tăng dần Từ tam giác Pascal phương pháp qui nạp ta chứng minh định lí nhị thức Newton Định lí nhị thức Newton n (a + b) n = ∑ Cnk a n−k b k k =0 +) Số số hạng công thức n + Tạ Dung +) Tổng số mũ a b số hạng luôn số mũ nhị thức là: k + (n − k ) = n +) Số hạng tổng quát nhị thức Tk +1 = Cnk a n −k b k (Đó số hạng thứ k +1 khai triển (a + b) n ) +) Các hệ số nhị thức cách hai số hạng đầu, cuối 1.2 Bảy đẳng thức đáng nhớ +) Bình phương tổng: Bình phương tổng bình phương số thứ cộng hai lần tích số thứ số thứ hai cộng số thứ hai bình phương: ( a + b) = a + 2ab + b +) Bình phương hiệu: Bình phương hiệu bình phương số thứ trừ hai lần tích số thứ số thứ hai cộng số thứ hai bình phương: ( a − b) = a − 2ab + b +) Hiệu hai bình phương: Hiệu hai bình phương tổng số thứ số thứ hai nhân với hiệu số thứ số thứ hai: a − b2 = ( a − b ) ( a + b ) +) Lập phương tổng: Lập phương tổng lập phương số thứ nhất, cộng ba lần số thứ bình phương nhân với số thứ hai, cộng ba lần số thứ nhân số thứ hai bình phương, cộng số thứ hai lập phương: ( a + b) = a + 3a 2b + 3ab + b3 +) Lập phương hiệu: Lập phương hiệu lập phương số thứ nhất, trừ ba lần số thứ bình phương nhân với số thứ hai, cộng ba lần số thứ nhân số thứ hai bình phương, trừ số thứ hai lập phương: ( a − b) Tạ Dung = a − 3a 2b + 3ab − b +) Tổng hai lập phương: Tổng hai lập phương tổng số thứ số thứ hai, nhân với bình phương số thứ trừ tích số thứ số thứ hai cộng bình phương số thứ hai: a + b3 = ( a + b ) ( a − ab + b ) +) Hiệu hai lập phương: Hiệu hai lập phương hiệu số thứ số thứ hai, nhân với bình phương số thứ cộng tích số thứ số thứ hai cộng bình phương số thứ hai: a − b3 = ( a − b ) ( a + ab + b ) Chú ý: +) Hai số có bình phương chúng đối ngược lại hai số đối nhau, có bình phương nhau: ( a − b) = ( b − a) +) Ngoài ta viết: ( a + b ) = a + b3 + 3ab(a + b) (a − b)3 = a − b3 − 3ab ( a − b ) Hệ quả: 1) Từ đẳng thức ( a + b ) = a + 2ab + b Đặt a = x ,b = y ta được: x + xy + y = ( x+ y ) với x, y số thực không âm 2) Từ đẳng thức ( a − b ) = a − 2ab + b Đặt a = x , b = ta được: x − x +1 = ( ) x −1 với x số thực không âm 2 3) Từ đẳng thức: a − b = ( a + b ) ( a − b ) Đặt a = x , b = y ta được: x− y= ( x) −( y) =( 2 x− y )( x+ y ) với x, y số thực không âm 3 2 4) Từ đẳng thức: a + b = ( a + b ) ( a − ab + b ) Đặt a = x , b = y ta được: Tạ Dung 10 ( x) +( y) =( 3 x+ y )(x− ) xy + y = x x + y y với x, y số thực không âm 3 2 5) Từ đẳng thức: a − b = ( a − b ) ( a + ab + b ) Đặt a = 1, b = y ta được: − ( ) = (1− y ) (1+ y ) y + y = − y y với y số thực không âm 6) Với a, b số thực không âm a b + b a = a 2b + b 2a = ab ( a+ b ) 7) Với a số thực không âm a + a = a + a = a ( a + 1) 8) Từ đẳng thức ( a + b ) = a + 2ab + b ta thêm vào hai vế −2ab ta được: a + b + 2ab − 2ab = (a + b) − 2ab = a + b hay a + b = (a + b) − 2ab 9) Từ hai đẳng thức ( a + b ) = a + 2ab + b ( a − b ) = a − 2ab + b , 2 trừ vế với vế ta được: (a + b) − ( a − b ) = 4ab hay (a + b) = ( a − b ) + 4ab 2 2 10) Từ đẳng thức ( a + b ) = a + 2ab + b , ta thêm − ( a + b ) vào hai vế 2 2 ta được: (a + b) − (a + b ) = 2ab 2 11) Từ đẳng thức ( a − b ) = a − 2ab + b ta thêm − ( a + b ) vào hai vế 2 2 ta được: (a − b) − (a + b ) = −2ab 3 12) Từ đẳng thức: ( a + b ) = a + b3 + 3ab(a + b) ta thêm − ( a + b ) vào 3 3 hai vế ta được: (a + b) − ( a + b ) = 3ab(a + b) 3 13) Từ đẳng thức: ( a − b ) = a − b + 3ab(a − b) ta thêm − ( a − b ) vào 3 hai vế ta được: ( a − b ) − ( a − b ) = 3ab(a − b) 1.3 Một số đẳng thức mở rộng (1) ( a + b + c ) = a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc Tạ Dung 61 ⇔ ( y − 1) + ( y + 1)  − 2( y − 1) ( y + 1) = 16 ⇔ ( y + ) − 2( y − 1) = 16 ⇔ 4( y + 1) − 2( y − 1) = 16 ⇔ 2( y + 1) − ( y − 1) = ⇔ 2( y + y + 1) − ( y − y + 1) = ⇔ y4 + y2 + − y4 + y2 − = ⇔ y4 + y2 − = ⇔ ( y − 1)( y + 7) = 0(*) Vì y + > 0∀y nên: (*) ⇔ y − = ⇔ ( x + ) − = x + =  x = −3 ⇔ ( x + 3)( x + 5) = ⇔  ⇔ x + =  x = −5 Vậy tập nghiệm phương trình là: S = { −3; −5} Bài toán 3.22 Giải phương trình: ( x − x − 6)3 = ( x + x − 3)3 − (3 x + 3)3 (*) 2 Nhận xét: Ta thấy ( x + x − 3) − (3x + 3) = x + x − − x − = x − x − Do ta vận dụng đẳng thức để đưa phương trình cho phương trình tích Giải Ta có: (*) ⇔ ( x + x − 3) − (3 x + 3)  = ( x + x − 3) − (3 x + 3) 3 ⇔ ( x + x − 3) − (3 x + 3)  − ( x + x − 3) − (3 x + 3)3  = ⇔ − 3( x + x − 3)(3x + 3)( x − x − 6) =  x2 + 2x − =  ⇔ 3 x + =  x − x − = Giải ba phương trình tập nghiệm phương trình là: S = { ±1; − 2; ± 3} Tạ Dung 62 Bài toán 3.23 Giải phương trình: (2 x + x + 8)3 = ( x − x + 2)3 + ( x + x + 6) (*) 2 Nhận xét: Ta thấy x + x + = ( x − x + 2) + ( x + x + 6) nên ta vận dụng đẳng thức để biến đổi phương trình phương trình tích Giải (*) ⇔ ( x − x + 2) + ( x + x + 6)  = ( x − x + 2)3 + ( x + x + 6) 3 ⇔ ( x − 3x + 2) + ( x + x + 6)  − ( x − x + 2) + ( x + x + 6)  = ⇔ 3( x − 3x + ) ( x + x + ) ( x + x + 8) =  x − 3x + =  ⇔  x2 + 5x + =  x2 + x + =  Giải ba phương trình tập nghiệm phương trình là: S = { 1; ± 2; − 3} Bài toán 3.24 Giải hệ phương trình: 3  ( x + 1) = y + xy  3  ( y − 1) = x + x y Giải Cộng hai PT hệ vế với vế ta được: (x + 1) + (y − 1) = (x + 1) + (y − 1) = [ ( x + 1) + ( y − 1) ] 3 3 (x + y) 3 ⇔ [ ( x + 1) + ( y − 1) ] − ( x + 1)3 + ( y − 1)3 = ⇔ ( x + 1) ( y − 1) ( x + y ) = (theo đẳng thức (1) ) TH 1: x + = ⇔ x = − thay vào hệ ta được: y3 - 3y2 = ⇔ y = 0; y =3 TH 2: y - = ⇔ y = thay vào hệ ta được: x3 + 3x2 = ⇔ x = 0; x = - TH 3: x + y = ⇔ x = - y thay vào hệ ta được: (x + 1)3 = 2x3 Tạ Dung 63 ⇔ x+ = 2x ⇔x = −1 ⇒ y= −1 −1 Tóm lại: Hệ cho có nghiệm là: (x; y) = (-1; 0) ; (-1; 3); (0; 1); (-3; 1); ( −1 ;3 −1 ) −1 Bài toán 3.25 Giải phương trình ( x – ) – ( x − 3) = ( x + 1) 3 Giải ( 3x − ) – ( x − ) = ( x + 1) 3 => ( 3x − ) – ( x − 3) – ( x + 1) = 3 => ( 3x − ) + ( − x + 3) + ( −2 x − 1) = 3 Ta có x − − x + − x − = Áp dụng nhận xét ta có: ( 3x − ) + ( − x + 3) + ( −2 x − 1) = ( x − ) ( − x + 3) ( −2 x − 1) = 3 Suy phương trình cho có nghiệm: x = ;x =3 ;x = − Bài toán 3.26 Giải hệ phương trình:  xy ( x + y ) + = ( x + y )   x + y + xy = Giải 2 Ta có: xy ( x + y ) + = ( x + y ) ⇔ xy ( x + y ) + = ( x + y ) + xy ⇔ ( x + y − 2)( xy − 1) = Hệ phương trình tương đương với: x2 + y2 =  xy =    x + y + xy =  x + y + xy = x2 + y2 = ( x + y ) − xy = ⇔ +) Giải:  x + y + xy =   x + y = − xy Tạ Dung 64 (3 − xy ) − xy =  x y − xy + = ⇔ ⇔  x + y = − xy  x + y = − xy   xy =   xy =   x + y = − xy   x + y = −4 ⇔ ⇔   xy =   xy =     x + y = − xy   x + y =  xy =  xy = ⇔ ⇔ x = y =  hệ vô nghiệm x + y =  x + y = −4  xy = x = ⇔ +) Giải:   x + y + xy = y =1 Bài toán 3.27 Giải hệ phương trình: 2 xy + y + = y y + + x  2 4 x + y = Giải Ta có: xy + y + = y y + + x ⇔ (2 x − y + 3)( y − 1) = Hệ phương trình tương đương với: 2 x = y + y =1   2 4 x + y = 4 x + y =  x =1  y =1  y =1 ⇔ +) Giải:  2   x = −1 4 x + y =    y =  x =    y =1 2 x = y + 4 x = y + ⇔ ⇔  +) Giải:  2 x + y =  x = 4 x + y =      y = −2 Tạ Dung 65 x =1  x = −1 Đáp số:   y =1  y =1  x =   y = −2 Bài toán 3.28 Giải hệ phương trình:  x + y + xy =  2  x y + 4( x + y ) = Giải Trừ phương trình thứ cho phương trình thứ ta thu x + y + x y − xy − 4( x + y ) + = ⇔ ( x + y − 2) = ( xy − 1) ⇔ x + y − = ± ( xy − 1) Hệ phương trình cho tương đương với   x + y = −2 − 14   x + y − xy =   x + y = xy +    2 x + y + xy = x y + xy − =   xy = −3 − 14   ⇔ ⇔ ⇔   x + y + xy =   x + y = − xy   x + y = −2 + 14    2    x + y + xy =   x y − xy + =   xy = −3 + 14 Bài toán 3.29 Giải hệ phương trình  xy + = 2( x + y )  2  x + y − xy = Giải xy + = 2( x + y ) ⇔ xy − 2( x + y ) + = −1 Thay vào phương trình ta thu x + y + xy ( xy − 2( x + y ) + 2) = ⇔ ( x + y ) + x y − xy ( x + y ) = ⇔ ( x + y − xy ) = ⇔ x + y − xy = ±1 Hệ phương trình tương đương với Tạ Dung 66   x + y − xy =  x + y =   x =  xy + = 2( x + y )  xy =  ⇔ ⇔ ⇔   x + y − xy = −1  x + y =  y =     xy + = 2( x + y )   xy = Bài toán 3.30 Giải hệ phương trình  x2 + y2 =  ( x + y ) = x Giải Hệ phương trính cho tương đương với ( x + y ) + ( x − y ) − ( x + y )( x − y ) =  2( x + y) = ( x + y ) + ( x − y ) Đặt x + y = u , x − y = v đưa hệ phương trình u + v − uv = (ví dụ 2.39 phần 2.7.3)  2u = u + v 3.2 Bài tập lời giải Bài 1: Tính giá trị biểu thức: x − y ( x − y )2 + xy x− y ] − A=( ): [ x− y x+ y x− y Bài 2: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Hãy tính giá trị biểu thức: A=a (b + 1) ( c + 1) (a +b a2 + Bài 3: Tính giá trị biểu thức: + 1) ( c + 1) b2 + +c (b + 1) ( a + 1) c2 + − 2(1 − − + + ) 14 − Bài 4: Tính giá trị biểu thức M = (12 − 3) A = 2632 + 74.263 + 37 632 − 47 B= 2152 − 1052 Tạ Dung 67 C = ( + 1) ( 32 + 1) ( 34 + 1) ( 38 + 1) ( 316 + 1) ( 332 + 1) D = ( 502 + 482 + 46 + … + 2 ) – ( 49 + 47 + … + 12 ) Bài 5: a) Cho x = −2 Tính giá trị biểu thức: A = ( x − 1) – x ( x + 1) ( x − 1) + ( x − 1) ( x + x + 1) b) Cho x – y = Tính giá trị biểu thức B = x ( x + ) + y ( y − ) – xy + 65 2 3 c) Cho x + y = a, x + y = b Tính x + y theo a b Bài 6: Rút gọn: B= 2a + 19 − 2a + + 2a + − 2a + Bài 7: Rút gọn biểu thức: a A = ( x + ) – ( x + ) ( x – ) ( x + ) 2 2 b B = ( x − xy + y ) ( x − y ) ( x + y ) ( x + xy + y ) c C = ( x + 3) – ( x + 3) ( x + ) + ( x + ) 2 d D = ( a + b + c ) + ( a − b − c ) + ( b – c − a ) + ( c – a − b 2 Bài 8: Rút gọn biểu thức: 2 a) ( x − a ) ( x + a ) – ( x +a ) ( x – ax + a ) b) ( a + b + c ) + ( a − b – c ) + ( b – c – a ) + ( c − a – b ) 3 c) ( x – y – 1) – ( x – y + 1) + ( x – y ) 3 Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất: P ( x ) = ( x − ) ( x − 1) ( x − ) ( x − ) + 2002 Bài 10: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x + x + b) B = x – x + c) C = ( x − 3) + ( x + 1) 2 2 d) D = x − x + y – y + Tạ Dung ) 68 Bài 11: Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A = − x + x − b) B = −3 x + x + 2 c) C = − x + xy − y + x + 10 y − Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất: P = 2006 − x − y − xy + x Bài 13: Tìm GTLN biểu thức: a) A = − x + x + b) B = − x + x 2 c) C = −3 x – xy – x – y + y + d) D = − x + 16 x + 12 x + Bài 14: Tìm GTNN biểu thức : a) A = x – 3x + b) B = ( x – 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) c) C = x + x – x + 2 d) D = x + y – xy – x – y + 12 Bài 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 3 3 a) ( a + b ) ( a – b ) – ( a – b ) ( a + b ) 6 b) x – y c) x ( y + z ) + y ( x + z ) + z ( x + y ) – xyz 2 d) x8 + x + 3 e) x – 3x + x – – y Bài 16: Phân tích đa thức ( x + y + z) – ( x + y − z ) − ( x − y + z ) − ( − x + y + z ) thành nhân tử 3 Bài 17: Cho số tự nhiên a b Chứng minh : a) Nếu a + b chia hết cho a b chia hết cho b) Nếu a + b chia hết cho a b chia hết cho Bài 18: Chứng minh số lẻ n n − 10n + chia hết cho 384 Tạ Dung 69 Bài 19: Chứng minh số sau số phương { { + (n∈ N) B = 11 155 n n Bài 20: Chứng minh số sau không số phương a) A=222….2224 (có 50 chữ số 2) b) B=444 ….444 (có 100 chữ số 4) Bài 21: Chứng minh số sau số phương a)1156 b)11115556 14 43 14 43 c)111 111555 556 n n−1 Bài 22: Chứng minh a) 270 + 370 M 13 b)1719 + 1917 M 18 / 37 c) 3663 − 1M7 3663 − 1M Bài 23: Các số sau số phương không a) A = 19947+7 b) B=1444 (99 số 4) Bài 24: Tổng số sau có phương không S = 12 + 22 + 32 + + 562 Bài 25: Các số sau bình phương số 123 { a)A = 99 9900 025 n n { 123 b) 99 98000 01 n n Bài 26: Cho P = ( a + 1) ( a − ) ( a + ) ( a + ) + 36 a) Chứng minh a số nguyên P có giá trị số phương b) Tìm a để P = Chứng minh P = a − 6a + 5a + 12a + số phương Bài 27: Cho P = a − 4a − 2a + 12a + a) Chứng minh a số nguyên P số phương Tạ Dung 70 b) Tìm giá trị nhỏ P + 1974 Bài 28: Cho a số nguyên Chứng minh biểu thức sau có gia trị số phương 2 a) A = ( a + a + 1) ( a + 5a + 1) + 4a 2 b) B = ( a + 3a + ) ( a + 3a + ) + 2 c) C = ( a + 4a + 1) ( a + 4a + ) + d) D = ( a + ) ( a + ) ( a + ) ( a + ) + Bài 29: Tìm số nguyên x cho biểu thức sau có giá trị số phương a) A = x − x − 25 b) B = x + x + c) C = x + x + 13 d) D = x ( x − 1) ( x − ) ( x − ) e) E = x +8 x + 17 x + x + f) F = x − x + 14 x + x − 14 2 g) G = ( x −6 x − 1) ( x − x + ) + 15 h) H = ( x + ) ( x + 3) ( x + ) ( x + ) + Bài 30: Tìm số tự nhên a cho thêm 51 bớt 38 ta số phương Bài 31: Chứng minh : a) a + b3 = ( a + b ) – 3ab ( a + b ) 2 2 b) ( a + b ) ( c + d ) = ( ac + bd ) + ( ad – bc ) 2 c) 2000 + 20032 + 2005 + 2006 = 20012 + 2002 + 2004 + 2006 Bài 32: Chứng minh : a) Nếu a + b + c = a + b3 + c3 = 3abc b) Nếu a – b – c = ( 5a – 3b + 4c ) ( 5a – 3b – 4c ) = ( 3a − 5b ) Bài 33: Chứng minh đẳng thức: Tạ Dung 71 a) ( a + b + c ) − a −b3 – c = ( a + b ) ( a + c ) ( b + c ) b) ( a − b ) + ( 2ab ) = ( a + b ) 2 Bài 34: Cho a + b + c = p Chứng minh : 2 a) a – b – c + 2bc = ( p − b ) ( p − c ) b) p + ( p – a ) + ( p – b ) + ( p – c ) = a + b + c 2 2 Bài 35: Giải phương trình sau: a) 27x3 = (2x + 5)3 + (x - 5)3 b) (2x2 + 4x - 7)3 = (x2 - x - 3)3 - (4 - 5x - x2 )3 c) x + 5x + + x + 2x − = x + x − Bài 36: Tìm n thoả mãn: n + n + 27 + n − n + 27 = Bài 37: Giải phương trình: ( x + 3) ( x + ) ( x − ) ( x − ) = 180 Bài 38: Tìm x, y 2 a) ( x + ) ( x – x + ) – x ( x + ) = 15 2 b) ( x − ) – ( x − 3) ( x + x + ) + ( x + 1) = 15 2 c) x – x + y + y + = Bài 39: Giải phương trình sau x + + x2 = x + x2 + x 4x =4 x b) x + + x+3 c) x + = + x + x d) x + = x − x − e) x x − x + + x + = x + x + 2 f) ( x – ) – ( x – 3) ( x + x + ) + ( x + 1) = 15 a) g) x – 50 x = 2 h) x – ( x – x + 1) – = i) x – x = Tạ Dung 72 k) 27 x – 27 x + x – = Bài 40: Giải hệ phương trình sau:  x − x y + y = ( x − y ) a)   x + y =  ( x − y + 1) − ( y − x + 1) = b)  3x − y = Bài 41: Giải hệ phương trình  x + y + x + y = xy  2( y + 1) = x + y + Tạ Dung 73 KẾT LUẬN Khóa luận “Hằng đẳng thức ứng dụng giải toán” hệ thống kiến thức bảy đẳng thức đáng nhớ số đẳng thức khác kèm theo chứng minh cách chi tiết Khóa luận đưa số ứng dụng đẳng thức giải số toán sơ cấp, cụ thể: • Bài toán biểu thức • Bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức • Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử • Bài toán phép chia hết chia có dư • Bài toán số phương • Bài toán đẳng thức, bất đẳng thức • Bài toán giải phương trình, hệ phương trình Bên cạnh đó, khóa luận đưa hệ thống ví dụ (42 ví dụ) tập minh họa (30 tập có lời giải 41 tập lời giải) cho ứng dụng đẳng thức Tạ Dung 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân (Chủ biên), Toán 8, NXB Giáo Dục Việt Nam [2] Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân (Chủ biên), Toán 9, NXBGiáo Dục Việt Nam [3] Dương Ngọc Hà (2009-2010), SKKN –Sử dụng đẳng thức để giải phương trình [4] Trần Nam Huân (2011-2012),SKKN -Vận dụng đẳng thức vào giải toán lớp [5] Nguyễn Văn Nam (2010), SKKN – Sử dụng đẳng thức rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai [6] Một số trang web: www.MATHVN.com, www.doko.vn, http://trithuc.forumotion.net/ Tạ Dung www.123.doc, ii MỤC LỤC Bìa phụ ……………………………………………………………………… i MỤC LỤC ………………………………………………………………… ii Tạ Dung [...]... 1) 2 Vậy A là số chính phương 2.5 Bài toán đẳng thức, bất đẳng thức Bài toán chứng minh đẳng thức và xây dựng bất đẳng thức từ các hằng đẳng thức là một dạng toán hay và khó trong chương trình toán trung học cơ sở; thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi và đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông 2.5.1 Chứng minh đẳng thức Cách làm : Để chứng minh hằng đẳng thức ta có nhiều cách để biến đổi: +... VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI TOÁN Trong chương này, chúng tôi trình bày việc vận dụng hằng đẳng thức vào giải các dạng toán như: Phân tích đa thức thành nhân tử, tính giá trị của biểu thức, rút gọn biểu thức và đặc biệt là chứng minh chia hết, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức 2.1 Một số bài toán về biểu thức 2.1.1 Tính giá trị của biểu thức. .. Vận dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử Tạ Dung 28 Phân tích đa thức thành nhân tử là một trong dạng toán cơ bản của chương trình lớp 8 trung học cơ sở Đây là một dạng toán hay và tương đối khó, đòi hỏi học sinh phải tư duy và vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đã học Trong bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, ta sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ và một số hằng đẳng thức. .. gọn biểu thức Bài toán rút gọn biểu thức thường xuất hiện trong các đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông Một số bài toán thì trong biểu thức cần rút gọn đã chứa sẵn các hằng đẳng thức Tuy nhiên, một số bài toán khác thì hằng đẳng thức chỉ xuất hiện sau khi qui đồng mẫu, thêm hoặc bớt, hoặc nhân với biểu thức liên hợp Một số hằng đẳng thức thường được sử dụng trong các bài toán rút gọn biểu thức là:... bài toán về biểu thức 2.1.1 Tính giá trị của biểu thức Trong thực tế, học sinh thường gặp những bài toán tính giá trị của một biểu thức rất cồng kềnh và phức tạp Tuy nhiên, nhờ sử dụng các hằng đẳng thức ta có thể đưa các biểu thức đó về các biểu thức đơn giản và dễ tính toán Để tính giá trị của biểu thức, chúng ta thường sử dụng một số hằng đẳng thức như: a 2 − b2 = ( a − b ) ( a + b ) ( a + b + c)... ta có thể sử dụng một số hằng đẳng thức khác hoặc đặc biệt hóa hằng đẳng thức tuỳ theo yêu cầu của bài toán Ví dụ 2.1: Tính giá trị của các biểu thức sau: a) A = 12 – 2 2 + 32 – 4 2 + … – 2004 2 + 20052 2 4 8 16 32 64 b) B = ( 2 + 1) ( 2 + 1) ( 2 + 1) ( 2 + 1) ( 2 + 1) ( 2 + 1) – 2 Nhận xét: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức: a 2 − b2 = ( a − b ) ( a + b ) Giải a) Ta có:... thể sử dụng một số hằng đẳng thức khác tuỳ theo độ phức tạp của biểu thức cần rút gọn Một lưu ý khác khi giải bài toán rút gọn biểu thức là ta cần quan tâm đến điều kiện xác định của biểu thức đã cho Tạ Dung 24  x −2 x + 2  (1− x) − Ví dụ 2.6: Rút gọn biểu thức P =  ÷ x − 1 2 x + 2 x + 1   2 trong đó x là số thực dương khác 1 Nhận xét: Trong biểu thức đã cho, ta có thể nhận ra các hằng đẳng thức. .. − z 3 = 3 ( x + y ) ( xy + yz + xz + z 2 ) = 3 ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) 2.3 Bài toán chia hết và chia có dư Để giải các bài toán về phép chia hết và phép chia có dư thì một trong những công cụ hữu hiệu là vận dụng hằng đẳng thức và phân tích đa thức thành nhân tử, Kiến thức sử dụng : +) Với mọi số nguyên a, b và số tự nhiên n : a n − b n chia hết cho a – b ( a ≠ b ) Tạ Dung 30 a 2 n +1 + b 2 n... nhất của biểu thức A là - 7 khi x = 2 Ví dụ 2.10: Cho a, b là hai số không âm a + b = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a 3 + b3 + ab Nhận xét: Áp dụng hằng đẳng thức a 3 + b3 = ( a + b ) − 3ab ( a + b ) 3 Giải Từ hằng đẳng thức a 3 + b3 = ( a + b ) − 3ab ( a + b ) , ta có 3 3 A = (a + b) − 3ab(a + b) + ab Do a + b = 1 nên A = 1 − 2ab 2 1  a+b  Áp dụng bất đẳng thức ab ≤  ÷ và từ giả thiết... 232 + 1) – 2 64 Sử dụng hằng đẳng trên sau năm lần, ta được: B = ( 264 – 1) – 264 Vậy B = −1 Ví dụ 2.2: Cho x, y,z là các số thực khác không thoả mãn Tính giá trị của biểu thức P = 1 1 1 + + = 0 x y z xy yz xz + + z 2 x2 y2 Nhận xét: Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng hằng đẳng thức: ( a + b + c) 3 = a 3 + b3 + c 3 + 3 ( a + b ) ( b + c ) ( a + c ) Giải Từ hằng đẳng thức ( a + b + c )