Hằng đẳng thức và ứng dụng trong giải toán

Tuy nhiên, nhiều học sinh chưa hiểu được phương pháp vận dụng vàgặp nhiều khó khăn trong việc giải các bài toán liên quan đến hằng đẳng thức.Việc hình thành được khả năng vận dụng được b

Hằng đẳng thức và ứng dụng trong giải toán

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Trong chương I thuộc chương trình Đại số lớp 8 “Phép nhân và phépchia các đa thức”, học sinh đã được giới thiệu các kiến thức cơ bản về cáchằng đẳng thức đáng nhớ và biết vận dụng các kiến thức đã học vào giảitoán Tuy nhiên, nhiều học sinh chưa hiểu được phương pháp vận dụng vàgặp nhiều khó khăn trong việc giải các bài toán liên quan đến hằng đẳng thức.Việc hình thành được khả năng vận dụng được bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

và mở rộng của chúng sẽ làm tiền đề cho học sinh học tốt môn đại số và tạonền tảng để học tập các kiến thức tiếp theo Bên cạnh đó, vì các lí do chủ quan

và khách quan nên việc học sinh nắm chắc và hiểu sâu kiến thức để vận dụnghằng đẳng thức vào giải các bài tập toán liên quan như: Phân tích đa thứcthành nhân tử, tính giá trị của biểu thức, rút gọn biểu thức, và đặc biệt làchứng minh chia hết… còn chưa được chú trọng nhiều

Các hằng đẳng thức đáng nhớ không những giúp cho chúng ta mộtphương pháp tính nhanh, một phép biến đổi để rút gọn một biểu thức, hay sửdụng chúng để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất mà nó còn cho ta một ứng dụnghết sức độc đáo đó là giải phương trình, hệ phương trình và chứng minh bấtđẳng thức Đây là các dạng toán cơ bản và khó, thường gặp trong kỳ thi họcsinh giỏi và thi vào lớp 10 Bên cạnh nhiều phương pháp giải như phươngpháp đặt ẩn phụ, đưa về phương trình tích, dùng bất đẳng thức, qui về phươngtrình bậc hai thì khá nhiều bài toán sẽ được giải quyết một cách ngắn gọn nếubiết sử dụng các hằng đẳng thức Tuy nhiên, ứng dụng của các hằng đẳngthức trên đối với các bài tập trong sách giáo khoa cũng chỉ dừng lại ở mức độđơn giản Hơn nữa, theo hiểu biết của cá nhân em thì hiện nay rất ít tài liệutham khảo giới thiệu cho giáo viên và học sinh các phương pháp biến đổi đểứng dụng hằng đẳng thức vào giải phương trình, hệ phương trình, chứng minhbất đẳng thức

Việc nghiên cứu các ứng dụng của bảy hằng đẳng thức đáng nhớ và mởrộng của chúng đã và đang thu hút được sự quan tâm của giáo viên toán trunghọc cơ sở và học sinh yêu thích môn toán Nhiều giáo viên phổ thông đãnghiên cứu về hằng đẳng thức và vận dụng nó trong giải toán thể hiện qua cácsáng kiến kinh nghiệm của họ (xem [3, 4, 5])

Với mong muốn giúp các học sinh yêu thích môn toán, những bạn sinhviên muốn tìm hiểu về các hằng đẳng thức và ứng dụng của nó, và hơn nữa đểbản thân em hiểu sâu sắc hơn các kiến thức toán phổ thông phục vụ cho công

việc trong tương lai, em mạnh dạn chọn đề tài “Hằng đẳng thức và ứng dụng trong giải toán” cho khóa luận tốt nghiệp của mình.

2 Mục tiêu khóa luận

Trình bày các kiến thức về bảy hằng đẳng thức đáng nhớ và một số hằngđẳng thức mở rộng, ứng dụng của chúng vào giải toán sơ cấp Đồng thời đềxuất một số bài tập có lời giải và không có lời giải nhằm khắc sâu hơn kiếnthức về hằng đẳng thức và ứng dụng của chúng trong giải toán

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu bảy hằng đẳng thức đáng nhớ và một số hằng đẳng thức

mở rộng

- Nghiên cứu một số dạng toán về biểu thức, phép chia hết và chia có

dư, số chính phương, giải phương trình và hệ phương trình, các bài toán vềđẳng thức và bất đẳng thức

4 Phương pháp nghiên cứu

 Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáotrình, sách giáo khoa có liên quan đến hằng đẳng thức, cách giải các bài toánthông qua việc sử dụng hằng đẳng thức, hệ thống hóa các kiến thức

 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu tham khảotài liệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu

 Phương pháp lấy ý kiến: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướngdẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình thức của khóaluận

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

 Đối tượng: Các hằng đẳng thức đáng nhớ và mở rộng

 Phạm vi: Các dạng toán về hằng đẳng thức và ứng dụng của chúngtrong giải toán sơ cấp

6 Ý nghĩa khoa học và ý nghĩa thực tiễn

Khoá luận đã hệ thống lại một cách cơ bản những khiến thức về hằngđẳng thức đồng đưa ra một số dạng toán cơ bản liên quan đến vận dụng hằngđẳng

Khoá luận có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành toán,giáo viên toán trung học cơ sở và học sinh yêu thích môn toán

7 Bố cục của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận dự kiếnđược chia thành ba chương

Chương 1: Các hằng đẳng thức

Chương 2: Vận dụng hằng đẳng thức vào giải toán

Chương 3: Bài tập

CHƯƠNG I CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC

Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức về bảy hằng đẳng thức đáng nhớ và một số hằng đẳng thức mở rộng kèm theo chứng minh Bên cạnh đó, chúng tôi cũng giới thiệu thêm về mối liên hệ giữa tam giác Pascal

và các hằng đẳng thức.

1.1 Tam giác Pascal và hằng đẳng thức

Pascal viết về tam giác số thông qua một quyển sách có tên là “Luận lítrong tam giác số học” Nhưng Pascal không phải là người đầu tiên nghiêncứu tam giác này mặc dù công bố công trình nghiên cứu của ông gây ngạcnhiên cho mọi người thời ấy Trước đây vào thế kỷ thứ 10, một nhà toán họcngười Ấn Độ nhận thấy các con số này hữu ích cho việc đại diện cho số kếthợp các âm thanh ngắn và dài trong thơmet Các tam giác này cũng xuất hiệntrong những bài viết của Omar Khayyam, nhà thiên văn học ở thế kỷ 17, nhàthơ, nhà triết học và là nhà toán học hiện đại ở Iran ( xem [6])

Tam giác số Pascal được thiết lập như sau:

Chúng ta dùng tam giác Pascal để khai triển các biếu thức (a b )n như sau:

C Từ đó suy ra công thức để xây

dựng tam giác Pascal là: k k k

hàng 5 1 5 2

5

ôthứ0

ôthứ1

ôthứ2

ôthứ3

ôthứ4

ôthứ5

Công thức tổng quát của k

n C

+) Ở những phép cộng trong dấu ngoặc thì phá ra hoàn toàn là thế

+) Còn nếu là dấu trừ thì dấu cộng đầu tiên rồi đến dấu trừ cứ thế đan xen nhau

+) Các biến: lũy thừa của a giảm dần, lũy thừa của b tăng dần.

Từ tam giác Pascal bằng phương pháp qui nạp ta chứng minh đượcđịnh lí về nhị thức Newton

Định lí về nhị thức Newton

0

( )n n k n k k

n k



+) Số các số hạng của công thức là n 1

+) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhịthức là:

trong khai triển (a b )n )

+) Các hệ số của nhị thức cách đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau

1.2 Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.

+) Bình phương của một tổng: Bình phương một tổng bằng bình phương sốthứ nhất cộng hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng số thứ hai bìnhphương:

a b 2 a2 2ab b 2

+) Bình phương của một hiệu: Bình phương một hiệu bằng bình phương sốthứ nhất trừ hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng số thứ hai bìnhphương:

a b 2 a2  2ab b 2

+) Hiệu hai bình phương: Hiệu hai bình phương bằng tổng của số thứ nhất và

số thứ hai nhân với hiệu của số thứ nhất và số thứ hai:

2 2

a  b  a b a b +) Lập phương của một tổng: Lập phương của một tổng bằng lập phương của

số thứ nhất, cộng ba lần số thứ nhất bình phương nhân với số thứ hai, cộng balần số thứ nhất nhân số thứ hai bình phương, cộng số thứ hai lập phương:

a b 3 a3 3a b2 3ab2 b3

+) Lập phương của một hiệu: Lập phương của một hiệu bằng lập phương của

số thứ nhất, trừ ba lần số thứ nhất bình phương nhân với số thứ hai, cộng balần số thứ nhất nhân số thứ hai bình phương, trừ số thứ hai lập phương:

a b 3 a3  3a b2 3ab2  b3

+) Tổng hai lập phương: Tổng hai lập phương bằng tổng của số thứ nhất và sốthứ hai, nhân với bình phương số thứ nhất trừ tích số thứ nhất và số thứhai cộng bình phương số thứ hai:

a b  a b a  ab b+) Hiệu hai lập phương: Hiệu hai lập phương bằng hiệu số thứ nhất và số thứhai, nhân với bình phương số thứ nhất cộng tích số thứ nhất và số thứhai cộng bình phương số thứ hai:

x xy  y x  y với x, y là các số thực không âm

4) Từ hằng đẳng thức: a3b3 a b a   2  ab b 2

Đặt a x b,  y ta được:

    x 3  y 3  x  y x   xy  y x x  y y với x, y là các sốthực không âm.

2 2 2 2 ( )2 2 2 2

a b  ab ab a b  ab a b hay a2 b2 (a b )2  2ab

9) Từ hai hằng đẳng thức a b 2 a2 2ab b 2 và a b 2 a2  2ab b 2,trừ vế với vế ta được: (a b )2  a b 2 4ab hay (a b )2 a b 2 4ab

10) Từ hằng đẳng thức a b 2 a2 2ab b 2, ta thêm  a2 b2 vào hai vế

ta được: (a b )2  (a2 b2) 2 ab

11) Từ hằng đẳng thức a b 2 a2  2ab b 2 ta thêm  a2 b2 vào hai vế

ta được: (a b )2  (a2 b2)2ab

12) Từ hằng đẳng thức: a b 3 a3 b3 3 (ab a b ) ta thêm  a3 b3 vàohai vế ta được: (a b )3  (a3 b3) 3 ( ab a b )

13) Từ hằng đẳng thức: a b 3 a3 b3 3 (ab a b ) ta thêm  a3  b3 vàohai vế ta được: a b 3  a3  b3 3 (ab a b )

1.3 Một số hằng đẳng thức mở rộng

(1) a b c  2 a2 b2 c2 2ab2ac2bc

n C

n k



 Khi đó:

Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp.

Với n 1 thì 1.2 2 đẳng thức đúng

Giả sử với n k 1 ta có

( 1)( 2)1.2 2.3 3.4 4.5 ( 1)

CHƯƠNG II VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI TOÁN

Trong chương này, chúng tôi trình bày việc vận dụng hằng đẳng thức vào giải các dạng toán như: Phân tích đa thức thành nhân tử, tính giá trị của biểu thức, rút gọn biểu thức và đặc biệt là chứng minh chia hết, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phương trình, hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức.

2.1 Một số bài toán về biểu thức

2.1.1 Tính giá trị của biểu thức

Trong thực tế, học sinh thường gặp những bài toán tính giá trị của mộtbiểu thức rất cồng kềnh và phức tạp Tuy nhiên, nhờ sử dụng các hằng đẳngthức ta có thể đưa các biểu thức đó về các biểu thức đơn giản và dễ tính toán

Để tính giá trị của biểu thức, chúng ta thường sử dụng một số hằng đẳng thứcnhư:

Ví dụ 2.3: Cho a b c, , là các số thực thoả mãn abc0,a3 b3 c3 3abc.

Tính giá trị của biểu thức A = 1 a 1 b 1 c



Nhận xét: Quan sát và biến đổi biểu thức sử dụng hằng đẳng thức:

1

1

x x

b) Tìm giá trị của a để Q dương.

Nhận xét: Sau khi qui đồng mẫu thức, ta có thể rút gọn biểu thức bằng cách



Vì 3 a 0 (a0) nên Q 0 a  2 0  a4

2.1.3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là một dạng toán khó trongchương trình toán trung học cơ sở và thường xuất hiện trong các đề thi họcsinh giỏi và đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông Rất nhiều bài toán dạngnày được giải quyết bằng cách sử dụng hằng đẳng thức đưa về các biểu thứcchứa các hạng tử dạng x 2n Ta cũng lưu ý rằng x2n  0 n

+) Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần chứng minh A c với

c là một hằng số nào đó Sau đó, ta đi tìm điều kiện để dấu “ ” xảy ra rồi kết

luận: Giá trị nhỏ nhất của A là c.

+) Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần chứng minh A c với

c là một hằng số nào đó Sau đó, ta đi tìm điều kiện để dấu “ ” xảy ra rồi kết

luận: Giá trị lớn nhất của A là c.

Ví dụ 2.9: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi

2

b x

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là - 7 khi x 2

Ví dụ 2.10: Cho a b, là hai số không âm a b 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

Phân tích đa thức thành nhân tử là một trong dạng toán cơ bản củachương trình lớp 8 trung học cơ sở Đây là một dạng toán hay và tương đốikhó, đòi hỏi học sinh phải tư duy và vận dụng một cách linh hoạt các kiếnthức đã học Trong bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, ta sử dụng bảyhằng đẳng thức đáng nhớ và một số hằng đẳng thức mở rộng khác, như:

Ví dụ 2.13: Phân tích đa thức x y z  3 – x3 – y3 – z3 thành nhân tử.

Nhận xét: Ta có thể biến đổi đa thức trên bằng cách áp dụng hằng đẳng thức

2.3 Bài toán chia hết và chia có dư

Để giải các bài toán về phép chia hết và phép chia có dư thì một trongnhững công cụ hữu hiệu là vận dụng hằng đẳng thức và phân tích đa thứcthành nhân tử,

Kiến thức sử dụng :

+) Với mọi số nguyên a b, và số tự nhiên n:

a  b chia hết cho a b a b–   

Ví dụ 2.15: Chứng minh rằng 4n 32  25 chia hết cho 8 với mọi số

nguyên n.

Nhận xét: Ta có 8 chia hết 8  8.A chia hết 8 nếu A nhận giá trị nguyên

Ta cũng có thể sử dụng tích chất: tích hai số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 8

Thật vậy: Giả sử 2 ,2n n 2 là hai số chẵn liên tiếp

Ta nhắc lại khái niệm và một số tính chất cơ bản về số chính phương:

- Số chính phương là bình phương của số tự nhiên

- Số chính phương không tận cùng bởi các số 2, 3, 7, 8

- Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4

- Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9

- Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25

- Số chính phương chia hết cho23 thì chia hết cho 24

- Số chính phương chia 3 chỉ có thể dư 0 hoặc dư 1

- Số chính phương chia 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1

Vậy tích của 4 số nguyên liên tiếp cộng 1 là số chính phương

Ví dụ 2.19: Chứng minh rằng số sau là số chính phương.

2.5.1 Chứng minh đẳng thức

Cách làm : Để chứng minh hằng đẳng thức ta có nhiều cách để biến đổi:

+ Biến đổi VT về VP hoặc ngược lại

+ Biến đổi VT và VP cùng bằng một biểu thức

Suy ra điều phải chứng minh.

Chú ý: - Bằng cách khái quát hóa, đặc biệt hóa ví dụ trên ta có thể có đượcnhiều bài toán phức tạp

- Với ba số thực x,y,z tuỳ ý, ta có

Từ đó ta có bài toán sau đây:

Bài toán 1: Cho x, y, z là ba số thực tùy ý Chứng minh rằng

Bài toán 3: Chứng minh rằng:

Từ đó ta có bài toán sau đây:

Bài toán 4: Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta luôn có

(x y z  ) (y z x  ) (z x y  ) (x y z  ) 244 x 6  y6 z6

Từ Bài toán 4 và x y z  6 0 dẫn đến bài toán 5 sau đây:

Bài toán 5: Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z luôn có:

Bài toán 6: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có

Tương tự như trên ta thiết lập được các bài toán tương tự như sau:

Bài toán 7: Chứng minh rằng với mọi x y z, , R thì

Bài toán 10: Cho tam giác ABC với ba cạnh là a, b, c và nửa chu vi p.

Khi giải phương trình, bằng phương pháp nhóm hoặc thêm, bớt vào hai

vế của phương trình ta có thể đưa phương trình về dạng hằng đẳng thức:

x

x

x x x

x x x

x x x

Xét f x y ,  a x 2 by2 cxy e x dy   f (biểu thức bậc hai của x và y)

Khi a, b, c, d, e, f có những mối liên hệ cho trước nào đó chúng ta có thể biến

đổi f x y( , ) thành tích hay tổng các bình phương

Hệ phương trình đã cho tương đương với 2 22 0

5

2 24 15

x y

x y

Thuật toán giải có thể tóm tắt như sau:

Bước 1: Cộng hoặc trừ hai phương trình của hệ

Bước 2: Viết phương trình tu được dưới dạng phương trình bậc 2 của một biến

Bước 3: Biến đổi thành tích nhờ hằng đẳng thức

Ví dụ 2.33: Giải hệ phương trình

2 2 2

x y

Nếu y 0 thay vào phương trình đầu ta có 1 0 , suy ra y 0 và chia cả hai

vế của 2 phương trình cho y 2

Khi đó hệ ban đầu tương đương với

x x

x u

11

a b c

x y

Ta xét bài toán sau:

Giả sử a, b, c là ba số thực thỏa mãn điều kiện abc 1 Chứng minh rằng

11

a ab M

Từ 2 phương trình đầu ta dễ dàng có được xyz 1.

Áp dụng kết quả của bài toán trên vào phương trình thứ 3 ta suy ra x 1 vàthu được hệ sau

31

2 2

Hệ đã cho tương đương với 2 2 1

11

2 33

x y

CHƯƠNG III BÀI TẬP

Trong chương này chúng tôi trình bày các bài tập có lời giải và bài tập không có lời giải nhằm khắc sâu hơn kiến thức về hằng đẳng thức và ứng dụng của chúng trong giải toán.

3.1 Bài tập có lời giải.

Bài tập 3.1 Cho a b c  0 a( 0 ; b0; c )0 tính giá trị biểu thức

Bài tập 3.2 Cho a b c  0 Tính giá trị biểu thức

a b a c

Đặt B =

b

a c a

c b c

c b

a c a

c b b a

c b

a

.1

1

= 1 +   

abc

c ab

c ab

b a c b a b a

1

21

b abc

a abc

3

21

21

2

Vì a b c   0 a3 b3 c3 3abcA 3 + 2.3 9

abc abc

Bài tập 3.3.( Bài 23 – SGK Toán 8 - Tập 1)