Phương trình byperbolic và ứng dụng trong Vật lý

Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh Mục lục Mở đầu 2 Chương 1. Kiến thức cơ sở 5 1.1. Khái niệm phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . 5 1.2. Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp hai . . . . . . 7 1.3. Giải phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . 12 1.4. Khái niệm về chuỗi và tích phân Fourier . . . . . . . . . . 16 1.5. Các hệ toạ độ cong trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Chương 2. Phương trình hyperbolic 26 2.1. Đặt bài toán. Định lí duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . 26 2.2. Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng . . . . 29 2.2.1. Phương trình chuyển dịch . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2. Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng 30 2.2.3. Nghiệm của bài toán Cauchy - Công thức D’Alember 31 2.3. Bài toán hỗn hợp đối với phương trình truyền sóng . . . . 34 2.3.1. Các bài toán biên đối với phương trình truyền sóng 34 2.3.2. Sử dụng phương pháp Fouier giải bài toán hỗn hợp 34 Chương 3. Ứng dụng của phương trình hyperbolic trong vật lí 38 3.1. Phương trình dao động của dây . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2. Dao động xoắn của một thanh đồng chất . . . . . . . . . 51 3.3. Sóng âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4. Sóng điện và từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Kết luận 74 Tài liệu tham khảo 75 1 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng là một trong những lĩnh vực mới có khá nhiều ứng dụng trong thực tế cũng như trong toán học và các môn học khác. Đặc biệt phải kể đến mối quan hệ mật thiết giữa lý thuyết phương trình đạo hàm riêng với bộ môn vật lí - một trong những nét đặc thù cơ bản của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng. ” Quá trình nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng thường gặp trong vật lí đã dẫn tới một ngành mới của giải tích - phương trình vật lí toán vào cuối thế kỷ XVIII. Những người đặt nền móng cho ngành khoa học này phải kể đến các nhà toán học: J. D’Alembert, L. Euler, P. Laplace, Các ý tưởng và phương pháp nghiên cứu của các nhà toán học đó khi xem xét các bài toán cụ thể của vật lí toán có ảnh hưởng rất lớn đến sự phát triển lý thuyết tổng quát của phương trình đạo hàm riêng vào cuối thế kỷ XIX ” ([1, tr 12]). ” Khi nghiên cứu các phương trình vật lí toán thường nảy sinh ra các phương pháp, chẳng hạn phương pháp Fourier, phương pháp Riesz ” ([1, tr 13]). ” Tính hữu hiệu của việc áp dụng các phương pháp này vào các vấn đề vật lí đòi hỏi lập luận toán học chặt chẽ. Và để nhận được các phương trình từ các hiện tượng vật lí đòi hỏi phải bỏ qua các yếu tố thứ yếu của hiện tượng, tức là phương trình chỉ mô tả các quy luật vật lí cơ bản (Định luật bảo toàn năng lượng, động lượng, khối lượng, ) bằng cách đó có thể nhận được các phương trình mô tả các hiện tượng vật lí trong điện động lực hoc, thuỷ động học, lý thuyết đàn hồi và các lĩnh vực khác. Việc nghiên cứu các hiện tượng vật lí nhờ các mô hình toán học cho phép nhận biết không chỉ mặt định lượng mà cả bản chất các hiện tượng vật lí” ([1, tr 14]). Ta đã biết mối liên hệ giữa các đại lượng vật lí trong tự nhiên là phức tạp nhưng chúng đều có quy luật và mục đích của con nguời là tìm ra được các mối liên hệ có quy luật đó bằng rất nhiều các phương pháp khác nhau. Và các mối liên hệ giữa các đại lượng thường được thể hiện qua các phương trình toán lí. Cho đến nay người ta phân loại các phương 2 Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh trình toán lí theo học phần phương trình đạo hàm riêng bởi lẽ nó phù hợp với phương pháp giải. Cụ thể có ba phương trình đạo hàm riêng cơ bản: Phương trình hyperbolic, phương trình parabolic, phương trình eliptic. Và mỗi loại phương trình đều có nhiều ứng dụng trong vật lí. ” Phương trình hyperbolic hay còn gọi là phương trrình truyền sóng được thiết lập dựa trên cơ sở nghiên cứu các dao động của dây, màng mỏng, sóng âm, sóng tạo ra do thuỷ chiều, sóng đàn hồi, sóng điện từ trường nó đóng một vai trò hết sức quan trọng trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng” ([3]). Vào năm 1747, J.D’ Alembert đã đưa ra phương trình dao động của dây và nhận được công thức biểu diễn nghiệm tổng quát của nó và đây chính là nền móng cho việc nghiên cứu về phương trình hyperbolic. Qua học phần phương trình đạo hàm riêng đã giúp nắm được một số phương pháp giải phương trình hyperbolic như phương pháp Fourier (phương pháp tách biến), phương pháp năng lượng Tuy nhiên hầu như chúng ta mới chỉ dừng lại ở việc xây dựng phương trình hyperbolic và các bài toán về phương trình hyperbolic mà chưa thành thạo trong việc ứng dụng phương trình hyperbolic vào giải các bài tập vật lí như các bài toán dao động của dây, dao động xoắn của một thanh đồng chất, sóng điện và từ Với mong muốn khai thác nhiều hơn những ứng dụng của phương trình hyperbolic vào việc giải các bài toán vật lí trên cơ sở nắm được điều kiện ban đầu, điều kiện biên, phương pháp giải các phương trình hyperbolic. Tôi chọn đề tài: “ Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí ” cho khóa luận tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của khóa luận là tổng hợp và hệ thống hoá các kiến thức về phương trình đạo hàm riêng, đăc biệt là về phương trình hyperbolic. Đồng thời khoá luận còn tổng hợp, phân tích đưa ra những ví dụ và bài tập nhằm làm rõ những ứng dụng của phương trình hyperbolic trong vật lí. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức liên quan đến phương trình đạo hàm riêng, phương trình hyperbolic và ứng dụng của phương trình hyperbolic trong vật lí. - Phạm vi nghiên cứu: Phương trình hyperbolic và một số ứng dụng của phương trình hyperbolic trong vật lí. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu 3 Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh - Nghiên cứu các kiến thức về phương trình đạo hàm riêng nói chung và phương trình hyperbolic nói riêng. - Nghiên cứu các ứng dụng của phương trình hyperbolic trong vật lí. - Tổng hợp nghiên cứu và đưa ra các ví dụ minh hoạ để làm rõ từng ứng dụng của phương trình hyperbolic trong vật lí. 5. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc các tài liệu, giáo trình liên quan đến phương trình đạo hàm riêng, phương trình hyperbolic và các ứng dụng của phương trình hyperbolic trong vật lí. - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức về vấn đề nghiên cứu một cách khoa học, đầy đủ và chính xác. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn - Ý nghĩa khoa học: Nội dung của khoá luận là tổng hợp các kiến thức có liên quan đến phương trình hyperbolic, hệ thống, phân tích làm rõ các ứng dụng của nó trong vật lí. - Ý nghĩa thực tiễn: Khoá luận góp thêm một tài liệu tham khảo cho các sinh viên chuyên ngành toán, sinh viên kỹ thuật, vật lí và cả các giáo viên có nhu cầu tìm hiểu thêm về phương trình đạo hàm riêng nói chung và phương trình hyperbolic nói riêng. 4 Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng 1.1.1 Khái niệm Một phương trình liên hệ giữa ẩn hàm u(x 1 , x 2 , , x n ), các biến độc lập x i và các đạo hàm riêng của nó được gọi là một phương trình (vi phân) đạo hàm riêng. Nó có dạng F  x, u(x), ∂u ∂x 1 , , ∂u ∂x n , , ∂ k u ∂x 1 k 1 ∂x n k n  = 0. trong đó F là một hàm nào đó của các đối số, x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R n , u(x) = u(x 1 , x 2 , , x n ). Cấp cao nhất của đạo hàm riêng của u có mặt trong phương trình được gọi là cấp của phương trình. Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính nếu nó tuyến tính đối với hàm ẩn và các đạo hàm riêng của nó. Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tựa tuyến tính nếu nó tuyến tính đối với tất cả các đạo hàm riêng cấp cao nhất của hàm ẩn. Ví dụ 1.1. Phương trình: a(x, y) ∂ 2 u ∂x 2 +2b(x, y) ∂ 2 u ∂x∂y +c(x, y) ∂ 2 u ∂y 2 +d(x, y) ∂u ∂x +e(x, y) ∂u ∂y +f(x, y)u = g(x, y). là phương trình đạo hàm riêng tuyến tính. 5 Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh Ví dụ 1.2. Phương trình: a(x, y, u, u x , u y ) ∂ 2 u ∂x 2 + 2b(x, y, u, u x , u y ) ∂ 2 u ∂x∂y + c(x, y, u, u x , u y ) ∂ 2 u ∂y 2 + d(x, y, u, u x , u y ) = 0 là phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính. *Một số kí hiệu . Cho Ω là một miền trong không gian R n và cho 0 ≤ k ≤ +∞. Tập hợp tất cả các hàm có đạo hàm liên tục đến cấp k trong miền Ω kí hiệu là C k (Ω). . D α u(x) = ∂ |α| u ∂x α 1 1 ∂x α 2 2 ∂x α n n , ở đó α = (α 1 , α 2 , , α n ), |α| = α 1 + α 2 + + α n . 1.1.2 Một số phương trình đạo hàm riêng tiêu biểu *Phương trình Laplace Do Laplace đưa ra vào khoảng năm 1780 −∆u = λu. * Phương trình Helmholtz Do Laplace nghiên cứu vào năm 1860 ∆u = n  i=1 u x i x i = 0, x ∈ R n * Phương trình chuyển dịch tuyến tính u t + n  i=1 b i u x i = 0 * Phương trình Liouville Được nghiên cứu vào khoảng năm 1851 u t − n  i=1 (b i u) x i = 0 6 Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh * Phương trình truyền nhiệt Được Fourier công bố vào năm 1810 - 1822 u t = ∆u * Phương trình Schrodinger (1926) iu t + ∆u = 0 * Phương trình truyền sóng Được D’Lembert đưa ra năm 1752 u tt − ∆u = 0 và dạng tổng quát u tt − n  i,j=1 a ij u x i x j + n  i=1 b i u x i = 0 1.2 Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp hai 1.2.1 Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp hai tổng quát Xét trong miền Ω ⊂ R n phương trình tuyến tính cấp hai n  i,j=1 a ij (x) ∂ 2 u ∂x i ∂x j + n  i=1 a i (x) ∂u ∂x i + a(x)u = f(x) (1.1.1) trong đó các hệ số a ij , i, j = 1, , n là các hàm thực. Dùng phép biến đổi, ta đưa phương trình (1.1.1) về dạng chính tắc ∂ 2 v ∂ξ 1 ∂ξ 1 + + ∂ 2 v ∂ξ n + ∂ξ n + − ∂ 2 v ∂ξ n + +1 ∂ξ n + +1 − − ∂ 2 v ∂ξ n + +n − ∂ξ n + +n − + F (ξ, v, ∂v ∂ξ 1 , , ∂v ∂ξ n ) = 0 (1.1.2) trong đó n + , n − , n 0 tương ứng là số các nghiệm thực của phương trình det||a ij (x) − λ(x)δ ij || n i,j=1 = 0 có giá trị dương, âm, bằng không. Đây là dạng chính tắc của phương trình (1.1.1). - Phương trình (1.1.1) được gọi là phương trình ( loại ) elliptic tại điểm x 0 nếu n + = n hoặc n − = n. Phương trình (1.1.1) được gọi là phương trình 7 Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh elliptic trên miền Ω ⊂ R n nếu nó là phương trình elliptic tại mỗi điểm của Ω. - Phương trình (1.1.1) được gọi là phương trình ( loại ) hyperbolic tại điểm x 0 nếu n + = n − 1, n − = 1 hoặc n − = n − 1, n + = 1. Phương trình (1.1.1) được gọi là phương trình hyperbolic trên miền Ω ⊂ R n nếu nó là phương trình hyperbolic tại mỗi điểm của Ω. - Phương trình (1.1.1) được gọi là phương trình ( loại ) parabolic tại điểm x 0 nếu n 0 > 0. Phương trình (1.1.1) được gọi là phương trình parabolic trên miền Ω ⊂ R n nếu nó là phương trình parabolic tại mỗi điểm của Ω. 1.2.2 Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp hai trong trường hợp hai biến Xét phương trình a(x, y) ∂ 2 u ∂x 2 + 2b(x, y) ∂ 2 u ∂x∂y + c(x, y) ∂ 2 u ∂y 2 + F (x, y, u, ∂u ∂x , ∂u ∂y ) = 0. (1.1.3) trong đó a, b, c là các hàm không đồng thời bằng không trong một lân cận U ⊂ R 2 nào đó. Xét phương trình     a −λ b b c −λ     = λ 2 − (a + c)λ + ac −b 2 = 0 - Nếu b 2 −ac > 0 thì phương trình (1.1.3) là phương trình hyperbolic. - Nếu b 2 − ac = 0 thì phương trình (1.1.3) là phương trình parabolic. - Nếu b 2 − ac < 0 thì phương trình (1.1.3) là phương trình eliptic. Nhờ phép đổi biến ξ = ξ(x, y), η = η(x, y) với a  ∂ξ ∂x  2 + 2b ∂ξ ∂x ∂ξ ∂y + c  ∂ξ ∂y  2 = 0, a  ∂η ∂x  2 + 2b ∂η ∂x ∂η ∂y + c  ∂η ∂y  2 = 0 ta đưa phương trình (1.1.3) về dạng chính tắc. Phương trình a(y  ) 2 − 2by  + c = 0, (1.1.4) được gọi là phương trình vi phân đăc trưng đối với phương trình (1.1.3). 8 Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh 1.2.3 Đưa về dạng chính tắc phương trình đạo hàm riêng cấp hai Bổ đề 1.1. ([1]). Nếu z = ϕ(x, y) là một nghiệm của phương trình az 2 x + 2bz x z y + cz 2 y = 0 (1.1.5) thì hệ thức ϕ(x, y) = C, C ∈ R xác định nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thường ady 2 − 2bdxdy + cdx 2 = 0 (1.1.6) Ngược lại, nếu ϕ(x, y) = C là nghiệm tổng quát của phương trình (1.1.5) thì hàm z = ϕ(x, y) là một nghiệm của phương trình (1.1.5) Đường cong tích phân ϕ(x, y) = C được gọi là đường cong đặc trưng của phương trình (1.1.3). * Trường hợp b 2 − ac > 0 trong lân cận U - Nếu a = 0. Khi đó, phương trình (1.1.4) có hai nghiệm thực đối với y  , hay viết dưới dạng tích phân tổng quát ϕ 1 (x, y) = C 1 , ϕ 2 (x, y) = C 2 Đặt ξ = ϕ 1 (x, y), η = ϕ 2 (x, y) thay vào phương trình a 1 (ξ, η)u ξξ + 2b 1 (ξ, η)u ξη + c 1 (ξ, η)u ηη + F 1 (ξ, η, u, u ξ , u η ) = 0 thì a 1 = c 1 = 0 và b 1 = 0 nên phương trình ban đầu sẽ có dạng chính tắc u ξη = F ∗ 1 (ξ, η, u, u ξ , u η ) (1.1.7) - Nếu a = 0 thì ta có ngay u xy = F ∗ (x, y, u, u x , u y ). Thực hiện phép đổi biến ξ = α − β, η = α + β thì dạng chính tắc của phương trình (1.1.7) có dạng u αα − u ββ = Φ(α, β, u, u α , u β ) (1.1.8) Ví dụ 1.3. Đưa về dạng chính tắc phương trình sau: u xx − 7u xy + 12u yy + u x − 2u y − 3u = 0 9 Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh Phương trình đường cong đặc trưng y 2 + 7y  + 12 = 0 có biệt thức ∆ = 1 > 0. Áp dụng bổ đề 1.1 ta được nghiệm của phương trình đặc trưng là y  = −3 và y  = −4. Do đó hai đường cong tích phân tổng quát là y + 3x = C 1 ; y + 4x = C 2 Đặt ξ = y + 3x, η = y + 4x ta có phương trình chính tắc là u ξη + u ξ + 2u η + 3u = 0 * Trường hợp b 2 − ac < 0 trong lân cận U Khi đó, phương trình (1.1.4) có hai nghiệm phức liên hợp đối với y  , hay viết dưới dạng tích phân tổng quát ϕ 1 (x, y) = C 1 , ϕ 2 (x, y) = C 2 Đặt ξ = ϕ 1 (x, y), η = ϕ 2 (x, y) thay vào phương trình a 1 (ξ, η)u ξξ + 2b 1 (ξ, η)u ξη + c 1 (ξ, η)u ηη + F 1 (ξ, η, u, u ξ , u η ) = 0 thì a 1 = c 1 = 0. Đặt α = 1 2 (ϕ 1 (x, y) + ϕ 2 (x, y)), β = 1 2i (ϕ 1 (x, y) −ϕ 2 (x, y)) ta được phương trình sẽ có dạng a 2 u αα + 2b 2 u αβ + c 2 u ββ + F 2 (α, β, u, u α , u β ) = 0 (1.1.9) với a 2 = c 2 , b 2 = 0 và a 2 c 2 − b 2 2 > 0 thì dạng chính tắc của phương trình (1.1.9) có dạng u αα + u ββ = Φ(α, β, u, u α , u β ) (1.1.10) Ví dụ 1.4. Đưa về dạng chính tắc phương trình sau: u xx + 2u xy + 5u yy − 2u x + 3u y = 0 Phương trình đường cong đặc trưng y 2 − 2y  + 5 = 0 có biệt thức ∆ = −4 < 0. 10 [...]... coi t0 = 0 Định lý 2.2 ([1]) ( Tính ổn định nghiệm ) Nghiệm của bài toán Cauchy (2.1.3 - 2.1.5) phụ thuộc liên tục vào các dữ kiện ban đầu h và g 27 Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí 2.2 2.2.1 Ngọc Thị Vân Anh Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng Phương trình chuyển dịch Xét phương trình ut + bux = 0, (x, t) ∈ R × (0, +∞) Ta đi tìm nghiệm của phương trình trong lớp các hàm... của phương trình đã cho là: x y = yc + yp = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + [y2 (x)y1 (ξ) − y1 (x)y2 (ξ)] F (ξ) dξ p(ξ)W (ξ) α (1.2.8) Một trong những phương trình vi phân cấp 2 có cách giải đơn giản là: d2 F + λF = 0 d(x2 ) (1.2.9) Phương trình này xuất hiện do việc nghiên cứu của nhiều phương trình vi phân đạo hàm riêng trong toạ độ Descartes đối với các hiện tượng vật lí 13 Phương trình hyperbolic và ứng dụng. .. tách biến u(x, t) = X(x)T (t) Thay biểu thức nghiệm vào phương trình (2.3.5) ta được X(x)T ”(t) = a2 X (x)T (t) ⇒ T (t) X (x) = =λ a2 T (t) X(x) Ta có hệ phương trình X (x) − λX(x) = 0 T (t) − λa2 T (t) = 0 Giải phương trình X (x) − λX(x) = 0 33 (2.3.9) Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh - Nếu λ > 0, nghiệm của phương trình có dạng √ X(x) = Ce λx + De √ − λx Từ điều kiện.. .Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh Áp dụng bổ đề 1.1 ta được nghiệm của phương trình đặc trưng là y = 1 + 2i và y = 1 − 2i Do đó hai đường cong tích phân tổng quát là y − x − 2ix = C1 ; y − x + 2ix = C2 Đặt ξ = y − x, η = −2x ta có phương trình chính tắc là 1 uξξ + uηη + (uξ + 4uη ) = 0 25 * Trường hợp b2 − ac = 0 trong lân cận U - Nếu b = 0 thì a = 0 hoặc c = 0 nên phương. .. 2 utt − a2 uxx = 0 trong R × (0, +∞), 3 Với mọi x0 ∈ R, lim0 (x,t)→(x ,0+ ) u(x, t) = g(x0 ), lim0 (x,t)→(x 30 ,0+ ) ut (x, t) = h(x0 ) Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh Việc xác định nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng còn có thể được xác định bằng phương pháp tách biến như sau: - Phương trình các đường đặc trưng của phương trình hyperbolic có... dạng sau: Nghiệm phương trình vi phân dx2 F (x) = C1 + C2 (x) F (x) = K1 + K(x − x0 ) * Trường hợp 3 : λ = ω 2 > 0(ω > 0) d2 F Phương trình vi phân + ω 2 F = 0 là phương trình vi phân cấp 2 2 dx với hệ số là hằng số, vì thế có thể giả thiết nó có một nghiệm mũ F = emx , ta có phương trình đặc trưng m2 + ω 2 = 0 với các nghiệm đặc trưng 14 Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân... t)dx l Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh Từ điều kiện (2.3.13) ta có Tn (0) = Tn (0) = 0, n = 1, 2, Thay biểu thức nghiệm vào phương trình (2.3.11) ta được ∞ k 2 a2 π 2 kπx Tk + Tk (t) sin = l2 l k=0 ∞ fk (t)sin k=0 kπx l Đồng nhất hệ số ta được Tk (t) + k 2 a2 π 2 Tk (t) = fk (t) l2 Áp dụng lí thuyết phương trình vi phân thường ta có công thức nghiệm của phương trình. .. hàm g và h giả thiết là đã biết Ta cần tìm nghiệm của bài toán được biểu diễn qua g và h Chú ý rằng phương trình (2.2.1) có thể viết được dưới dạng ∂ ∂ +a ∂t ∂x ∂ ∂ −a u = utt − a2 uxx = 0 ∂t ∂x 29 (2.2.4) Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Đặt v(x, t) = Ngọc Thị Vân Anh ∂ ∂ −a u(x, t) Khi đó phương trình (2.2.4) trở thành ∂t ∂x vt (x, t) + avx (x, t) = 0, x ∈ R, t > 0 (2.2.5) Áp dụng. .. Z=− ∂ 2u ρ(x) 2 dx ∂t x1 Áp dụng nguyên lý D’Alembert ta được x2 Y +P +Z = ∂ 2u ∂ 2u T0 2 − ρ(x) 2 + p(x, t) dx ∂x ∂t x1 26 Phương trình hyperbolic và ứng dụng trong vật lí Ngọc Thị Vân Anh Do x1 , x2 là những vị trí bất kì nên ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u T0 2 − ρ(x) 2 + p(x, t) = 0 ⇔ ρ(x) 2 = T0 2 + p(x, t) ∂x ∂t ∂t ∂x Phương trình trên được gọi là phương trình dao động của dây Trong trường hợp dây đồng chất,... thức nghiệm của bài toán Cauchy) Định lý 2.4 ([1]) Bài toán Cauchy (2.2.1 - 2.2.3) của phương trình truyền sóng được đặt đúng đắn 2.3 2.3.1 Bài toán hỗn hợp đối với phương trình truyền sóng Các bài toán biên đối với phương trình truyền sóng Bài toán biên ban đầu Giả sử Ω là miền trong Rn và T > 0 Đặt QT = Ω × (0, T ) và ST = ∂Ω × (0, T ) Phương trình truyền sóng trong QT : utt = ∆u + f (x, t), (x, t)