Thông tin tài liệu
gth1 1 CHƯƠNG MỘT KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN gth1 2 KHÔNG GIAN VECTƠ Ta thường ký hiệu ∑ — : tập hợp các số thực . ∑ ¬ : tập hợp các số phức . ∑ : một trong hai tập hợp — và ¬ . gth1 3 Đònh nghóa . Cho E là một tập khác trống . Ta nói E là một không gian vectơ trên , nếu có nội luật + : E μ E Ø E và ngoại luật . : μ E Ø E có các tính chất sau (i) Luật + có tính giao hoán , phối hợp, có phần tử trung hoà 0, và với mọi x trong E \ {0} có một phần tử đối ký hiệu là -x , nghóa là (E, +) là một nhóm cộng giao hoán. (ii) Ngoại luật . phối hợp với nội luật + trong E và các nội luật trong , nghóa là với mọi x và y trong E ; t và s trong ta có t.(x + y) = t.x + t.y , (t+s).x = t.x + s.x , (t.s).x = t.(s.x) . (iii) 1.x = x. gth1 4 Thí dụ 1 . Cho n là một số nguyên dương và đặt E = { x = (x 1 , . . . , x n ) : x 1 , . . . , x n œ — } nội luật + : E μ E Ø E (x 1 , . . . , x n ) + (y 1 , . . . , y n ) = (x 1 +y 1 , . . . , x n +y n ) và ngoại luật . : — μ E Ø E t. (x 1 , . . . , x n ) = (tx 1 , . . . , t x n ) Lúc đó E là một không gian vectơ trên — . Ta thường dùng — n để ký hiệu không gian vectơ này . gth1 5 Thí dụ 2 . Cho n là một số nguyên dương và đặt E = { x = (x 1 , . . . , x n ) : x 1 , . . . , x n œ ¬ } nội luật + : E μ E Ø E (x 1 , . . . , x n ) + (y 1 , . . . , y n ) = (x 1 +y 1 , . . . , x n +y n ) và ngoại luật . : ¬ μ E Ø E z. (x 1 , . . . , x n ) = (z x 1 , . . . , z x n ) Lúc đó E là một không gian vectơ trên ¬ . Ta thường dùng ¬ n để ký hiệu không gian vectơ này . gth1 6 Thí dụ 3 . Cho E là tập hợp tất cả các đa thức thực trên một khoảng đóng [a , b] . nghóa là f œ E nếu và chỉ nếu có một số nguyên dương k và k +1 số thực a 0 , a 1 , . . . , a k sao cho f (t) = a 0 + a 1 t + . . . + a k t k " t œ [a , b] . nội luật + : E μ E Ø E (f + g ) (t) = f(t) + g(t) " t œ [a , b] và ngoại luật . : — μ E Ø E (s. f)(t) = sf (t) " t œ [a , b] Lúc đó E là một không gian vectơ trên — . Ta thường dùng P([a , b] ,—) để ký hiệu không gian vectơ này . gth1 7 Thí dụ 4 . Cho E là tập hợp tất cả các đa thức thực bậc nhỏ hơn hay bằng N trên một khoảng đóng [a , b] . nghóa là f œ E nếu và chỉ nếu có N +1 số thực a 0 , a 1 , . . . , a N sao cho f (t) = a 0 + a 1 t + . . . + a N t N " t œ [a , b] . nội luật + : E μ E Ø E (f + g ) (t) = f(t) + g(t) " t œ [a , b] và ngoại luật . : — μ E Ø E (s. f)(t) = sf (t) " t œ [a , b] Lúc đó E là một không gian vectơ trên — . Ta thường dùng P N ([a , b] ,—) để ký hiệu không gian vectơ này . gth1 8 Thí dụ 4 . Cho E là tập hợp tất cả các hàm số thực liên tục trên một khoảng đóng [a , b] . nội luật + : E μ E Ø E (f + g ) (t) = f(t) + g(t) " t œ [a , b] và ngoại luật . : — μ E Ø E (s. f)(t) = sf (t) " t œ [a , b] Lúc đó E là một không gian vectơ trên — . Ta thường dùng C([a , b] ,—) để ký hiệu không gian vectơ này . gth1 9 Đònh nghóa . Cho E là một không gian vectơ F và A là một tập hợp con của E . Ta nói : † A là một tập độc lập tuyến tính nếu với mọi tập con hữu hạn {a 1 , ,a n } các phần tử khác nhau trong A và với mọi họ con hữu hạn {a 1 , ,a n } trong F sao cho a 1 a 1 + +a n a n =0 thì a 1 = . . . = a n = 0 . † A là một tập sinh của E nếu E = {a 1 a 1 + . . .+ a n a n : a 1 , . . . , a n œ A ; a 1 , . . . ,a n œF}. † A là một cơ sở của E nếu A là một tập độc lập tuyến tính và tập sinh của E. gth1 10 † Nếu A là một cơ sở của E và A có hữu hạn phần tử , ta nói E là một không gian vectơ hữu hạn chiều và số phần tử của A được gọi là số chiều của E và được ký hiệu là dim (E ) . † Nếu A là một cơ sở của E và A có vô hạn phần tử , ta nói E là một không gian vectơ vô hạn chiều và viết dim (E ) = ¶ . gth1 11 Đònh nghóa . Cho E là một không gian vectơ trên F, cho || || là một ánh xạ từ E vào —, ta nói || || là chuẩn trên E , nếu || || có các tính chất sau: (i) || x || ¥ 0 " x œ E , và || x || = 0 nếu và chỉ nếu x = 0 . (ii) || tx || = |t| || x || " x œ E , t œF. (iii) || x + y || || x || + || y || " x , y œ E . Nếu || || là một chuẩn trên E , ta nói (E, || ||) là một không gian vectơ đònh chuẩn , hoặc một không gian đònh chuẩn . Nếu không có gì để sợ lầm lẩn , ta ghi E thế cho (E, || ||) . gth1 12 Thí dụ 1 . Cho x = (x 1 , . . . , x n ) trong — n . Đặt || x || 1 = | x 1 | + . . . + | x n | || x || 2 = ( | x 1 | 2 + . . . + | x n | 2 ) 1/2 || x || ¶ = max{ | x 1 | , . . . , | x n | } Lúc đó || || 1 , || || 2 và || || ¶ là các chuẩn trên — n . gth1 13 Thí dụ 2 . Cho C([0,1], — ) là họ tất cả các hàm số liên tục từ khoãng [0 , 1] vào — . C([0,1], — ) là một không gian vectơ với các luật cộng và nhân của các hàm số thực. Ta đặt || f || = sup { | f(t) | : t [0 , 1 ] } f C([0,1], — ) Lúc đó (C([0,1], — ) , ||.||) là một không gian đònh chuẩn gth1 14 Đònh nghóa . Cho (E,||.||) là một không gian đònh chuẩn (trên ) và f là một ánh xạ từ tập hợp các số nguyên dương Õ vào E. Đặt x n = f(n) n œ Õ . Ta gọi {x n } là một dãy trong không gian đònh chuẩn E Thí dụ 1. {sin(n 3 + 2n)} là một dãy trong khoãng đóng [-1 , 1] Đònh nghóa . Cho E là một tập hợp khác trống và f là một ánh xạ từ tập hợp các số nguyên dương Õ vào E. Đặt x n = f(n) n œ Õ . Ta gọi {x n } là một dãy trong E gth1 15 Thí dụ 2 . Cho C([0,1], — ) là họ tất cả các hàm số liên tục từ khoãng [0 , 1] vào — . C([0,1], — ) là một không gian vectơ với các luật cộng và nhân của các hàm số thực. Ta đặt || f || = sup { | f(t) | : t [0 , 1 ] } f C([0,1], — ) Lúc đó (C([0,1], — ) , ||.||) là một không gian đònh chuẩn Ta sẽ cho một thí dụ về một dãy { u n } trong C([0,1], — ) gth1 16 Đặt u n (t) 1 1 2 2 1 tt t n n ! t [0 , 1] n Õ Lúc đó u n là một hàm số liên tục từ [0,1] vào — . Ta sẽ cho một thí dụ về một dãy { u n } trong C([0,1], — ) Vậy { u n } là một dãy trong C([0,1], — ) gth1 17 Cho { x n } là một dãy trong một không gian đònh chuẩn (E ,||.|| ) và một phần tử a trong E . Ta nói dãy { x n } hội tụ về a nếu và chỉ nếu > 0 N() Õ sao cho || x n - a || < n > N() gth1 18 Đặt a (t) = t t [0 , 1] x n (t) = t + sin(n -1 t) n Õ t [0 , 1] Chứng minh {x n } hội tụ về a trong (C([0,1], ||.||) Chứng minh > 0 N() Õ sao cho || x n - a || < n > N() Cho trước một số thực dương , tìm một số nguyên dương N() sao cho || x n - a || < n > N() gth1 19 Cho trước một số thực dương , tìm một số nguyên dương N() sao cho ( || f || = sup { | f(t) | : t [0 , 1 ] } ) sup { |x n (t) - a(t) | : t [0 , 1 ] } < n > N() |x n (t) - a(t) | < n > N() t [0 , 1] || x n - a || < n > N() gth1 20 Cho trước một số thực dương , tìm một số nguyên dương N() sao cho a (t) = t t [0 , 1] x n (t) = t + sin(n -1 t) n Õ t [0 , 1] |t + sin(n -1 t) - t | < n > N() t [0 , 1] | sin(n -1 t) | < n > N() t [0 , 1] ( n -1 n -1 t | sin(n -1 t) | t [0 , 1] ) n -1 < n > N() t [0 , 1] |x n (t) - a(t) | < n > N() , t [0 , 1] gth1 21 Đònh nghóa . Cho g là một ánh xạ từ tập hợp các số nguyên dương Õ vào Õ . Đặt n k = g(k) k Õ . Ta dùng {n k } thay cho {x n } vì ta thường ký hiệu các số nguyên dương là n Ta thấy {n k } là một dãy trong Õ gth1 22 Cho E là một tập hợp khác trống , g là một ánh xạ từ Õ vào Õ và f là một ánh xạ từ Õ vào E. Đặt x n = f(n) n œ Õ . b n = fog(n) n œ Õ . Ta thấy fog cũng là một ánh xạ từ Õ vào E . Vậy {x n } và {b n } là các dãy trong E gth1 23 Cho { x n } là một dãy trong một không gian đònh chuẩn (E ,||.|| ) và một phần tử a trong E . Ta nói dãy { x n } hội tụ về a nếu và chỉ nếu > 0 N() Õ sao cho || x n - a || < n > N() Cho E là một tập hợp khác trống , g là một ánh xạ từ Õ vào Õ và f là một ánh xạ từ Õ vào E. Đặt x n = f(n) n œ Õ . b n = fog(n) n œ Õ . Ta nói {b n } là một dãy con của {x n } nếu g tăng nghiêm cách. Lúc đó ta ký hiệu b n = k n x ( b n = fog(n) = b n = f (g(n) ) = f(n k ) ) gth1 24 Nếu g(n) = 5n+3 ta ký hiệu là x 5n+3 k n x Nếu g(n) = 2n ta ký hiệu là x 2n k n x Nếu g(n) = 2n+1 ta ký hiệu là x 2n+1 k n x gth1 25 Cho { x n } là một dãy trong một không gian đònh chuẩn (E ,||.|| ) Ta nói dãy { x n } là một dãy Cauchy nếu và chỉ nếu > 0 N() Õ sao cho || x n - x m || < n > m > N() gth1 26 Cho { x n } là một dãy hội tụ về a trong một không gian đònh chuẩn (E ,||.|| ) . Chứng minh { x n } là một dãy Cauchy . > 0 N() Õ sao cho || x n - a || < n > N() > 0 N() Õ sao cho || x n - x m || < n > m > N() ’ > 0 M(’) Õ sao cho || x n - x m || < ’ n > m > M(’) gth1 27 Cho { x n } là một dãy hội tụ về a trong một không gian đònh chuẩn (E ,||.|| ) . Chứng minh { x n } là một dãy Cauchy . > 0 N() Õ sao cho || x n - a || < n > N() ’ > 0 M(’) Õ sao cho || x n - x m || < ’ n > m > M(’) Cho một > 0 ta có N() Õ sao cho || x n - a || < n > N() Cho một ’ > 0 tìm M(’) Õ sao cho || x n - x m || < ’ n > m > M(’) gth1 28 Cho một > 0 ta có N() Õ sao cho || x n - a || < n > N() Cho một ’ > 0 tìm M(’) Õ sao cho || x n - x m || < ’ n > m > M(’) || x n - x m || § || x n - a || + || a - x m || || x n - x m || § + n , m > N() gth1 29 Cho một > 0 ta có N() Õ sao cho || x n - a || < n > N() Cho một ’ > 0 tìm M(’) Õ sao cho || x n - x m || < ’ n > m > M(’) || x n - x m || § || x n - a || + || a - x m || || x n - x m || § + n , m > N() + V ’ M(’) V N() Cho một ’ > 0 , ta chọn = ’ và M(’) = N() . Ta có || x n - x m || § || x n - a || + || a - x m || § + = ’ n > m > M(’) gth1 30 Cho E là tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực Cho f (t) = a 0 + a 1 t + . . . + a m t m . Đặt || f || = max { | a 0 | , | a 1 | , . . . , | a m | } Lúc đó (E , ||.||) là một không gian đònh chuẩn. Đặt u n (t) = t + 2 -1 t 2 + . . . + n -1 t n Ta thấy {u n } là một dãy trong E Ta sẽ chứng minh {u n } là một dãy Cauchy trong E . Nhưng không có v trong E sao cho {u n } hội tụ về v . gth1 31 > 0 N() Õ sao cho || u n - u m || < n > m > N() Cho một > 0 , tìm N() Õ sao cho || u n - u m || < n > m > N() || u || = max { | a 0 | , | a 1 | , . . . , | a k | } nếu u (t) = a 0 + a 1 t + . . . + a k t k u n (t) = t + 2 -1 t 2 + . . . + n -1 t n u( t ) = u n (t) - u m (t) = (m+1) -1 t 2 + . . . + n -1 t n || u n - u m || = (m+1) -1 n > m Cho một > 0 , tìm N() Õ sao cho || u n - u m || = (m+1) -1 < n > m > N() Suy ra ta cần chọn N() sao cho N() -1 < Vậy {u n } là một dãy Cauchy trong E . gth1 32 Chứng minh không có v trong E sao cho {u n } hội tụ về v Cho v trong E . Chứng minh {u n } không hội tụ về v > 0 N() Õ sao cho || u n - v || > n > N() > 0 sao cho N Õ , n > N || u n - v || > Tìm > 0 sao cho với mọi N Õ ta tìm được một n > N || u n - v || > gth1 33 Tìm > 0 sao cho với mọi N Õ ta tìm được một n > N để cho || u n - v || > || u || = max { | a 0 | , | a 1 | , . . . , | a n | } nếu u (t) = a 0 + a 1 t + . . . + a m t m u n (t) = t + 2 -1 t 2 + . . . + n -1 t n v (t) = b 0 + b 1 t + . . . + b k t k u (t) = u n (t) - v (t) = - b 0 +(1 – b 1 )t + . . . + +(k -1 -b k )t k + (k+1) -1 t k+1 + . . . + n -1 t n nếu n > k || u || = max{ | b 0 | , | 1 - b 1 | , . . . , | k -1 - b k | , (k+1) -1 , . . . , n -1 } (k+1) -1 nếu n > k (k+1) -1 § || u n - v || nếu n > k Chọn = (k+2 ) -1 . Ta có kết quả gth1 34 Cho a 1 ,a 2 , ,a n là n vectơ trong một không gian đònh chuẩn ( E , ||.||) . Ta đặt a 1 + a 2 + a 3 = (a 1 + a 2 )+ a 3 a 1 + a 2 +. . .+a n = (a 1 + a 2 +. . .+a n-1 )+a n Cho {a n } là một dãy trong một không gian đònh chuẩn ( E , ||.||) . Ta đặt s n = a 1 + a 2 +. . .+a n n Õ Lúc đó {s n } là một dãy trong E . Nếu dãy này hội tụ về s , ta nói s là giới hạn của chuỗi (vectơ) a n n 1 gth1 35 Cho C([0,1], — ) là họ tất cả các hàm số liên tục từ khoãng [0 , 1] vào — . Ta đặt || f || = sup { | f(t) | : t [0 , 1 ] } f C([0,1], — ) Lúc đó (C([0,1], — ) , ||.||) là một không gian đònh chuẩn . Đặt Lúc đó {x n } là một dãy trong C([0,1], — ) . Chứng minh chuỗi hội tụ về s trong C([0,1], — ) , x nn 1 x n (t) t [ 0 ,1] , n œ Ù 1 n n t ! với s(t) = e t t [ 0 ,1] gth1 36 Đặt s n x i i n 0 Chứng minh {s n } hội tụ về s trong C([0,1], — ) Ta có s n (t) t [ 0 ,1] , n Õ 1 1 2 2 1 tt t n n ! > 0 N() Õ sao cho || s n - s || < n > N() Cho trước một số thực dương , tìm một số nguyên dương N() sao cho || s n - s || < n > N() Chứng minh chuỗi hội tụ về s trong C([0,1], — ) x i i 0 gth1 37 Cho trước một số thực dương , tìm một số nguyên dương N() sao cho || s n - s || < n > N() || f || = sup { | f(t) | : t [0 , 1 ] } f C([0,1], — ) s n (t) t [ 0 ,1] , n Õ 1 1 2 2 1 tt t n n ! s(t) = e t = t [ 0 ,1] 1 0 i i i t ! f(t) = s n (t) - s(t) = 1 1 i in i t ! Cho trước một số thực dương , tìm một số nguyên dương N() sao cho sup {| | : t [0 , 1] } < n > N() 1 1 i in i t ! | | < n > N() , t [0 , 1] 1 1 i in i t ! gth1 38 Để ý < 1 0 i i ! Cho trước một số thực dương , tìm một số nguyên dương N() sao cho | | < n > N() , t [0 , 1 ] 1 1 i in i t ! | | < n > N() 1 1 i in ! | | = t [0 , 1 ] 1 1 i in i t ! 1 1 i in ! 1 1 i in i t ! gth1 39 Cho {a n } là một dãy trong một không gian đònh chuẩn ( E , ||.||) . Ta đặt s n = a 1 + a 2 +. . .+a n n Õ Lúc đó {s n } là một dãy trong E . Nếu dãy {s n } là một dãy Cauchy trong E , ta nói chuỗi là một chuỗi Cauchy a n n 1 Tương tự như dãy , một chuỗi hội tụ trong E sẽ là một chuỗi Cauchy trong E. gth1 40 Cho E là tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực. Cho u (t) = a 0 + a 1 t + . . . + a m t m . Đặt || u || = max { | a 0 | , | a 1 | , . . . , | a n | } Lúc đó (E , ||.||) là một không gian đònh chuẩn. x n (t) t [ 0 ,1] , n œ Ù 1 n n t ! Ta thấy {x n } là một dãy trong E . Tương tự như trong phần dãy, ta chứng minh được chuỗi là một chuỗi Cauchy trong E nhưng không hội tụ trong E . x n n 0 Lưu ý . Chuỗi chính là chuỗi và đã được chứng minh hội tụ về s(t) = e t trong không gian đònh chuẩn C([0,1], — ) ở đoạn bên trên. x n n 0 1 0 i i i t ! [...]... f(sx,y) = sf(x,y), (iv) f(x,sy) = s f(x,y) , (v) f(x,y) = f ( y , x ) , (vi) f(x,x) ¥ 0, gth1 90 (vii) f(x,x) = 0 ‹ x = 0 Cho E là không gian các hàm số liên tục từ [0,1] vào — Với mọi u và v trong E đặt f ( u ,v ) 1 u ( t )v ( t ) dt 0 Cho E là không gian các hàm số liên tục từ [0,1] vào ¬ Với 1 mọi u và v trong E đặt f ( u ,v ) 0 u ( t )v ( t )dt Đònh lý 3.1 Cho f là một dạng Hermite dương trên... nk § || f (z n k ) ||F § || f ( z nk ) - f (z) ||F + || f (z) ||F || f(zn) ||F ¥ nk " k œÕ § e + || f (z) ||F " k ¥ N(e) k § nk § e + || f (z) ||F gth1 " k ¥ N(e) 65 Cho C([0,1], — ) là họ tất cả các hàm số liên tục từ khoãng [0 , 1] vào — Ta đặt || f || = sup { | f(t) | : t [0 , 1 ] } f C([0,1], — ) Lúc đó (C([0,1], — ), ||.|| ) là một không gian đònh chuẩn Đặt 1 T(f ) = 0 f ( t ) dt + T(t... sao cho || f || = 1 và f (a) = || a || gth1 89 Cho E là không gian —n Với x =(x1,…, xn) ,y = (y1,…, yn) œ E đặt f(x,y) = x1y1+ x2y2+ + xnyn f(x,y) thường được ký hiệu là xÿy hoặc và được gọi là tích vô hướng của x và y Cho E là không gian ¬n Với x =(x1,…, xn) ,y = (y1,…, yn) œ E đặt f(x,y) = x1 y1 x 2 y 2 x n y n Cho E là không gian và n số thực dương a1 , a2 , …, an Với mọi x =(x1,…,... hai không gian đònh chuẩn Cho A là một tập con của E và f là một ánh xạ từ A vào F Cho x là một điểm của A Cho {xn} là một dãy trong A và hội tụ về x f(x) = 0 Giả sử f liên tục tại x Để ý f là một hàm số liên tục từ [ -1 , 1] vào — và Chứng minh {f(xn)} là một dãy hội tụ về f(x) f(-1) § - 1 < 0 < 1 § f(1) Suy ra " e > 0 $ d(x,e) > 0 sao cho 0 œ f([ -1, 1]) Đònh nghóa Cho (E, ||.||E ) và (F, ||.||F... nó là một gth1 ng gian Hilbert và viết 92 khô thay cho f(x,y) Đònh nghóa 3.4 Cho x và y trong E Ta nói x thẳng góc với y nếu và chỉ nếu = 0 Lúc đó ta ký hiệu x ^ y Cho E là không gian các hàm số liên tục từ [0,1] vào — Với 1 mọi u và v trong E đặt u ,v f ( u ,v ) 0 u ( t )v ( t ) dt Cho E là —2 Với mọi x = (x1, x2) , y = (y1, y2) œ E đặt Đặt un (t) = 2 1/2 sin npt < un , um >... vào — p dụng đònh lý Riesz ta tìm được một vectơ a = (a1, a2,…, an) trong E sao cho ||a|| = || T || và gth1 96 T(y) = = a1y1 + a2y2 + + anyn " y = (y1, y2,…, yn) œ E Cho E là không gian các hàm số liên tục từ [0,1] vào — Với mọi u và v trong E đặt u ,v 1 0 u ( t )v ( t ) dt 1 || u || = u , u 2 1 0 u ( t ) f ( t ) dt gth1 97 Cho S là một ánh xạ tuyến tính từ —n vào —n Các... T(u) (t) = a1 + a2t + + amtm-1 Lúc đó (E , ||.||) là một không gian đònh chuẩn Ta thấy T là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào E T là một không đơn ánh T là một toàn ánh ( T(E) không chứa các hàm hằng ) gth1 PHỔ CỦA TOÁN TỬ COMPẮC Cho T trong L(E, E ) và l trong — Ta nói l là một giá trò riêng của T nếu có một u trong E \ {0} sao cho 1 1 { 0 u 2 ( t ) dt } 2 Cho T trong L(E, —) Hỏi có f
Ngày đăng: 23/05/2014, 16:15
Xem thêm: giải tích hàm
