giải tích hàm

gth1 1CHƯƠNG MỘT KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN KHÔNG GIAN VECTƠ Ta thường ký hiệu ∑ —: tập hợp các số thực.. Lúc đó E là một không gian vectơ trên ¬ .Ta thường dùng ¬n để ký hiệu không gian vect

gth1 1

CHƯƠNG MỘT KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN

KHÔNG GIAN VECTƠ

Ta thường ký hiệu

∑ —: tập hợp các số thực

∑ ¬ : tập hợp các số phức

∑  : một trong hai tập hợp — và ¬

Định nghĩa Cho E là một tập khác trống Ta nói E là một không

gian vectơ trên  , nếu có

nội luật +: EμE Ø E và

ngoại luật :  μE Ø E có các tính chất sau

(i) Luật + có tính giao hoán , phối hợp, có phần tử

trung hoà 0, và với mọi x trong E \ {0} có một phần tử đối

ký hiệu là -x , nghĩa là ( E, +) là một nhóm cộng giao hoán

(ii) Ngoại luật phối hợp với nội luật +trong Evà các nội luật

trong , nghĩa là với mọi x và y trong E ; t và s trong ta

có

t.(x+y) = t.x +t.y,

(t+s).x = t.x +s.x,(t.s).x = t.(s.x)

Thí dụ 1 Cho n là một số nguyên dương và đặt

E = { x = (x 1 , , x n ) : x 1 , , x n œ — }

nội luật + : E μ E Ø E (x 1 , , x n ) + (y 1 , , y n ) = (x 1 +y 1 , , x n +y n) và

ngoại luật : — μ E Ø E

t (x 1 , , x n ) = (t x 1 , , t x n)

Lúc đó E là một không gian vectơ trên —

Ta thường dùng —n để ký hiệu không gian vectơ này

Lúc đó E là một không gian vectơ trên ¬

Ta thường dùng ¬n để ký hiệu không gian vectơ này

Thí dụ 3 Cho E là tập hợp tất cả các đa thức thực trên một

khoảng đóng [a , b] nghĩa là f œ E nếu và chỉ nếu có một số nguyên dương k và

k +1 số thực a0, a1, , ak sao cho

Lúc đó E là một không gian vectơ trên —

Ta thường dùng P([a , b] ,—) để ký hiệu không gian vectơ này

Thí dụ 4 Cho E là tập hợp tất cả các đa thức thực bậc nhỏ hơn

hay bằng N trên một khoảng đóng [a , b]

nghĩa là f œ E nếu và chỉ nếu có N +1 số thực a0, a1, , aN

Lúc đó E là một không gian vectơ trên — Ta thường dùng

PN([a , b] ,—) để ký hiệu không gian vectơ này

Thí dụ 4 Cho E là tập hợp tất cả các hàm số thực liên tục

trên một khoảng đóng [a , b]

nội luật +: E μE Ø E

(f + g ) (t) = f (t) + g (t) " t œ [a , b]

và ngoại luật : —μE Ø E

(s f )(t) = s f (t) " t œ [a , b]

Lúc đó E là một không gian vectơ trên —

Ta thường dùng C([a , b] ,—) để ký hiệu không gian vectơ này

gth1 9

Định nghĩa Cho E là một không gian vectơ F và A là một tập

hợp con của E Ta nói :

† A là một tập độc lập tuyến tính nếu với mọi tập con

hữu hạn {a1, , an} các phần tử khác nhau trong A và

với mọi họ con hữu hạn {a1, , an} trong F sao cho a1 a1

+ + anan= 0 thì

a1= = an = 0

† A là một tập sinh của E nếu

E = {a1a1+ + anan: a1, , anœ A ; a1, ,anœ F}

† A là một cơ sở của E nếu A là một tập độc lập tuyến tính

và tập sinh của E.

† Nếu A là một cơ sở của E và A có hữu hạn phần tử , ta nói

E là một không gian vectơ hữu hạn chiều và số phần tử của A

được gọi là số chiều của E và được ký hiệu là dim (E )

† Nếu A là một cơ sở của E và A có vô hạn phần tử , ta nói

E là một không gian vectơ vô hạn chiều và viết dim (E ) = ¶

Định nghĩa Cho E là một không gian vectơ trên F,

cho || || là một ánh xạ từ E vào —, ta nói || || là chuẩn trên

E , nếu || || có các tính chất sau:

(i) || x || ¥ 0 " x œ E , và || x || = 0 nếu và chỉ nếu x = 0

(ii) || tx || = |t| || x || " x œ E , t œ F

(iii) || x + y ||  || x || + || y || " x , y œ E

Nếu || || là một chuẩn trên E , ta nói (E, || ||) là một không gian

vectơ định chuẩn , hoặc một không gian định chuẩn Nếu không

có gì để sợ lầm lẩn , ta ghi E thế cho (E, || ||)

gth1 13

Thí dụ 2 Cho C([0,1], — )là họ tất cả các hàm số liên tục từ

khoãng [0 , 1] vào —

C([0,1], — ) là một không gian vectơ với các luật cộng và nhân

của các hàm số thực

Ta gọi {x n} là một dãy trong không gian định chuẩn E

Thí dụ 1 {sin(n 3 + 2n)} là một dãy trong khoãng đóng [-1 , 1]

Định nghĩa Cho E là một tập hợp khác trống vàf là một ánh xạ từ tập hợp các số nguyên dương Õ vào E Đặt

C([0,1], — ) là một không gian vectơ với các luật cộng và nhân

của các hàm số thực

Ta đặt

|| f || = sup { | f(t) | : t [0 , 1 ] }

 f  C([0,1], — )

Lúc đó (C([0,1], —) , ||.||) là một không gian định chuẩn

Ta sẽ cho một thí dụ về một dãy{u n} trong C([0,1], — )

Đặt

u n (t)   1 t 12t2    n1!t n

 t  [0 , 1]  n Õ

Lúc đó u n là một hàm số liên tục từ [0,1] vào — .

Ta sẽ cho một thí dụ về một dãy{ u n}trong C([0,1], — )

Vậy {u n} là một dãy trong C([0,1], — )

gth1 17

(E ,||.|| ) và một phần tử a trong E

Ta nói dãy {x n} hội tụ về a nếu và chỉ nếu

Chứng minh {x n} hội tụ về a trong (C([0,1], ||.||)

Chứng minh > 0  N()  Õ sao cho

gth1 21

Định nghĩa Cho g là một ánh xạ từ tập hợp các số nguyên

dương Õ vào Õ Đặt

Ta dùng {n k } thay cho {x n } vì ta thường ký hiệu các số

nguyên dương là n

Ta thấy {n k} là một dãy trong Õ

Cho E là một tập hợp khác trống ,

g là một ánh xạ từ Õ vào Õ và

f là một ánh xạ từ Õ vào E Đặt

(E ,||.|| ) và một phần tử a trong E Ta nói dãy { x n} hội

tụ về a nếu và chỉ nếu

 > 0 N()  Õ sao cho

|| x n - a || <   n > N()

Cho E là một tập hợp khác trống , g là một ánh xạ từ Õ vào Õ

và f là một ánh xạ từ Õ vào E Đặt

b n = fog(n)  n œ Õ

Ta nói {b n} là một dãy con của {x n} nếu g tăng nghiêm cách

Lúc đó ta ký hiệu b n =

k nx

Nếu g(n) = 5n+3 ta ký hiệu là x 5n+3

k nx

Nếu g(n) = 2n ta ký hiệu là x 2n

k n

x

Nếu g(n) = 2n+1 ta ký hiệu là x 2n+1

k nx

Cho {x n} là một dãy hội tụ về a trong một không gian định

chuẩn (E ,||.|| ) Chứng minh {x n} là một dãy Cauchy

Đặt u n (t) = t + 2-1t 2 + + n -1tn

Ta thấy {u n} là một dãy trong E

Ta sẽ chứng minh {u n} là một dãy Cauchy trong E Nhưng

không cóvtrongE sao cho{u n} hội tụ về v

Suy ra ta cần chọn N() sao cho N()-1< 

Chứng minh không có vtrong E sao cho {u n} hội tụ về v

Cho vtrong E Chứng minh {u n} không hội tụ về v

> 0 N()  Õ sao cho

|| u n - v || >   n > N()

  > 0 sao cho N  Õ,  n > N

|| u n - v || > Tìm > 0 sao cho với mọi N  Õ ta tìm được một n > N

|| u n - v || > 

Cho a 1 , a 2 , , a n là n vectơ trong một không gian định chuẩn ( E , ||.||) Ta đặt

Lúc đó (C([0,1], — ) , ||.||) là một không gian định chuẩn Đặt

Lúc đó {xn} là một dãy trong C([0,1], — )

Chứng minh chuỗi hội tụ về  n1 x n strong C([0,1], — ),

xn(t)  t  [ 0 ,1] , n  1 œ Ù

n

n t

!

Đặt s n  

 x i i

Lúc đó {s n } là một dãy trong E Nếu dãy {s n }là một dãy

Cauchy trong E , ta nói chuỗi n1a n là một chuỗi Cauchy

Tương tự như dãy , một chuỗi hội tụ trong E sẽ là một chuỗi

Ta thấy {xn} là một dãy trong E

Tương tự như trong phần dãy, ta chứng minh được chuỗi là một chuỗi Cauchytrong E nhưng không hội tụtrong E n x n



Lưu ý Chuỗi chính là chuỗi

và đã được chứng minh hội tụ về s(t) = et trong không gian định chuẩn C([0,1], — ) ở đoạn bên trên

!







gth1 41

Định nghĩa Cho (E, ||.||) là một không gian định chuẩn

(trên ) Với mọi a trong E và với mọi số thực dương r ta

đặt

B( a, r) = {x E : || x – a|| < r }

Ta gọi B( a, r) là quả cầu mở tâm a bán kính r trong (E, ||.||)

Cho {x n} là một dãy trong một không gian định chuẩn

(E ,||.|| ) và một phần tử a trong E Ta nói dãy {x n}

hội tụ về a nếu và chỉ nếu

Có một dãy {x n } trong B sao cho với mổi số thực dương  , ta có

một số nguyênN() sao cho

|| x n - a || <   n > N()

Cho một r > 0 , tìm một x r œ B(a , r) … B

Có một dãy {x n} trong B sao cho với mổi số thực dương  , ta

có một số nguyênN() sao cho

gth1 45

Cho một dãy {x n}trong một không gian định chuẩn (E ,||.||) và

một điểm a trong E sao cho

Cho một r > 0 , ta có một y r œB(a , r) … B

Tìm một dãy {x n}trong B sao cho

|| x n – a || < n -1 " n œ Õ Cho một r > 0 , ta có một y r trong B với || y r – a || < r

ở đây B(c , r) là quả cầu tâm c bán kính r trong ( —, |.|)

Định nghĩa Cho (E , ||.||) là một không gian định chuẩn và

A là một tập con của E, ta nói

Alà một tập mở trong(E , ||.||)nếu có một họ các quả cầu mở

trong (E , ||.||) để cho

gth1 49

Định nghĩa Cho (E , ||.||) là một không gian định chuẩn và

A là một tập con của E , ta nói

A là một tập đóng trong (E , ||.||) nếu E \ A là một tập

mở trong(E , ||.||)

« = E \ E : «là một tập đóng trong E

E = E \« : Elà một tập đóng trong E

Định nghĩa Cho (E, ||.||) là một không gian định chuẩn

(trên ) Với mọi a trong E và với mọi số thực dương r ta

đặt

B’( a, r) = {x E: || x – a||  r }

Ta gọi B’( a, r) là quả cầu đóng tâm a bán kính r trong (E, ||.||)

Ta gọi B( 0,1) và B’( 0,1) là các quả cầu đơn vị mở và

Định nghĩa Cho (E, ||.||) là một không gian định chuẩn (trên ) Cho x trong E vàA là một tập con củaE Ta nói

x là một điểm dính của A nếu và chỉ nếu

B(x, r)…A ∫ « "r > 0Cho (E, ||.||) = (—, |.|), A =( 0 , 1] ,

x = -1 và y = 0

B(x,1) … A = (-2 , 0)…( 0 , 1] = «

B(y, r) …A = (-r , r )…( 0 , 1] ∫ « "r > 0

Ta thấy x và y đều không thuộcA , nhưng x không là điểm dính

của A mà y là một điểm dính của A

Định nghĩa Cho (E, ||.||) là một không gian định chuẩn

(trên ) Cho x trong E vàA là một tập con củaE Ta nói

x là một điểm trongcủa A nếu có một thực dương r sao cho

B(x, r) Õ A

Cho (E, ||.||) = (—, |.|) , A = (-1 , 1] ,

y = 0 và z = 1

Ta thấy y và z đều thuộc A , nhưng z không là điểm trong

của A mà y là một điểm trong của A

gth1 53

Định nghĩa Cho (E, ||.||E ) và (F, ||.||F) là hai không gian định

chuẩn Cho A là một tập con của E và f là một ánh xạ từ A

vào F Cho x là một điểm của A Ta nói f liên tục tại x nếu

và chỉ nếu

"e> 0 $d(x ,e) > 0 sao cho

|| f(y) -f(x) ||F < e "yœ A với ||y–x||E< d(x ,e)

Cho f(x) = 4x + sin(x 5 + 1) – 2 cos (x 3+ 4)

Chứng minh phương trình sau đây có nghiệm

Cho (E, ||.||E) và (F, ||.||F) là hai không gian định chuẩn Cho

A là một tập con của E và f là một ánh xạ từ A vào F Cho x

là một điểm của A Cho {x n} là một dãy trong A và hội tụ về x Giả sử f liên tục tại x

Chứng minh {f(x n )} là một dãy hội tụ về f(x)

" e> 0 $ d(x,e) > 0 sao cho

|| f(y) - f(x) ||F < e " y œ A

với || y – x ||E< d(x,e) Cho một e > 0 ta có d(x,e) > 0 sao cho

|| f(y) - f(x) ||F < e " y œ A với || y – x ||E< d(x,e)

y V x n eV e”

|| xn -x||E V ||y–x||E

|| x n - x ||E < e’ V || y – x ||E < d(x,e)

Cho một e” > 0 Đặt

e = e” , e’ = d(x,e) , M(e”) = N(d(x,e) ) Nếu n ¥ N(d(x,e) ) thì || x n -x ||E < e’ Suy ra || f(x n )- f(x) ||F< e”

gth1 57

Cho (E, ||.||E ) và (F, ||.||F) là hai không gian định chuẩn Cho

A là một tập con của E và f là một ánh xạ từ A vào F Cho

x là một điểm của A

Giả sử với mọi dãy {x n} hội tụ về x trong A, ta có {f(x n)} hội tụ

fl Cho một e’ > 0 ta có một M(e’) œ Õ sao cho

|| f(x n ) - f(x) ||F< e’ " n ¥ M(e’) Cho một e” > 0 tìm d(x,e”) > 0 sao cho

|| f(y) - f(x) ||F < e” " y œ A với || y – x ||E< d(x,e”) Có e” > 0 sao cho với mỗi d > 0 ta có một ydœ A

với || yd– x ||E< d sao cho || f(yd) - f(x) ||F > e”

Cho một e > 0 ta có một N(e) œ Õ sao cho

|| yd– x ||E< d sao cho || f(yd) - f(x) ||F > e”

Tìm các thành tố có vẽ mâu thuẫn với nhau

|| f(x n ) - f(x) ||F< e’ V || f(yd) - f(x) ||F > e”

yd V x n || yd – x ||E < d V || x n - x ||E < e

Chọn d = n-1 và x n = y1/n

Định nghĩa Cho E là một không gian định chuẩn Cho A là

một tập con của E Ta nói A là một tập compắc nếu và chỉ nếu mọi dãy trong A đều có một dãy con hội tụ

Cho a và b là hai số thực sao cho a § b Lúc đó [ a , b ] là

một tập compắc trong —

gth1 61

Cho {x n} là một dãy trong một không gian định chuẩn (E, ||.||)

Cho J là một tập con trong Õ và J có vô hạn phần tử

Dùng qui nạp toán học ta đặt

n1 = min J

n2 = min J \ [ 0 , n1]

n 3 = min J \ [0 , n 2]

n k+1 = min J \ [0 , n k ] " k œ Õ

Ta thấy {n k }là một dãy đơn điệu tăng trong Õ

Vậy {xnk} là một dãy con của dãy {x n}

Cho A = {a 1 , , , a n } là một tập hữu hạn phần tử trong một

không gian định chuẩn (E, ||.||) Chứng minh A là một tập

compắc

Cho {x n } là một dãy trong A , tìm một dãy con {xnk}

hội tụ về một phần tử x trong A Với mọi số nguyên k trong {1, , n} ta đặt

Cho (E, ||.||E ) và (F, ||.||F) là hai không gian định chuẩn Cho

A là một tập con compắc của E và f là một ánh xạ liên tục từ

A vào F Chứng minh B ª f (A) là một tập bị chận trong F.

Cho {x n}là một dãy trong A , có dãy con hội tụ về x œ

A

} {

k n x

Cho x œ A và e > 0 ta có d(x,e) > 0 sao cho

|| f(y) - f(x) ||F < e " y œ A với || y – x ||E < d(x,e)

Tìm b œ F và r > 0 sao cho { f (z) : z œ A } Õ B(b,r)

Tìm b œ F và r > 0 sao cho || f (z) - b || < r " z œ A

Đặt s = || b || +r Cho z œ A, thì || f (z)|| § || f (z)- b || +|| b ||< r +|| b || = s

Tìm s > 0 sao cho || f (z) || < s " z œ A

Cho {x n}là một dãy hội tụ về x trong A Ta có {f (x n)} là một

dãy hội tụ về f (x) trong F

Cho {y n}là một dãy hội tụ về y trong A Ta có { f (y n)} là một

dãy hội tụ về f (y) trong F

Cho {x n} là một dãy trong A , ta có dãy con hội tụ về

Cho {y n} là một dãy hội tụ về y trong A Ta có {f (y n)} là một

dãy hội tụ về f (y) trong F Tìm s > 0 sao cho || f(z) || < s " z œ A Với mọi s > 0 có một z œ A sao cho || f (z) ||F ¥ s Với mọi n œ Õ có một z n œ A sao cho || f (z n ) ||F ¥ n

gth1 65

Cho {x n} là một dãy trong A, ta có dãy con hội tụ

về một phần tử x trong A

}{x n k

Có dãy con của dãy {z n}sao cho hội tụ về một

phần tử z trong A và || f ( ) ||F ¥ n k " k œÕ

(1)

} {

k n

k

n

z

{f ( )} là một dãy hội tụ về f (z) trong Fznk

Cho một e > 0 ta có một N(e) œ Õ sao cho

Cho {y n}là một dãy hội tụ về y trong A Ta có { f (y n)} là một

dãy hội tụ về f (y) trong F

Với mọi n œ Õ có một z n œ A sao cho || f(z n ) ||F ¥ n

F và T là một ánh xạ từ E vào F Ta nói T tuyến tính nếu

với mọi x và y trong E và với mọi t trong F ta có

T (x+y) = T (x) + T (y) và T (t x) = t T (x)

Cho một không gian định chuẩn E và một s trong F , ta đặt

T (x) = sx " x œ E

T (x+y) = s (x+y) = sx + sy = T (x) + T (y)

T (t x) = s (t x) = (st)x = (ts)x = t (s x) = t T (x) " x,y œ E, t œ F

Vậy T là một ánh xạ tuyến tính từ Evào E

Cho một không gian định chuẩn E Đặt T(x) = x " x œ E

T (x+y) = x+y = T (x)+ T (y) và T (t x) = t x = t T (x) " x,y œ E, t œ F

Vậy T là một ánh xạ tuyến tính từ Evào E Ta gọi ánh xạ này là ánh xạ đồng nhất trên Evà ký hiệu T là IdE hoặc Id

Định nghĩa Cho E và F là hai không gian định chuẩn trên

F và T là một ánh xạ tuyến tính từ E vào F Nếu T liên tục từ E vào F Ta nói T là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào

F Ta đặt L(E , F) là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục

từ E vào F Định lý 2.1 Cho E và F là hai không gian định chuẩn và T là một ánh xạ tuyến tính từ E vào F Các tính chất sau đây