Lý thuyết giải tích hàm

Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự 1 Lớp Cao học Toán Khóa 14 – Trường Đại Học Cần Thơ - 1 - ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP GIẢI TÍCH HÀM ( Giảng viên hướng dẫn : TS Nguyễn Hữu Khánh) [] () () () () () () () () [] () ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =≥∈= =≥∈= • ∈−+→∈∀∈∀• − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ =≥∈=• ⊂ ∈+−=⇒∈ − =⇒• = − − = − = − + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ++ − −= ≠=≥• ∈++++=• • ∈−+=+=⇒• ⎩ ⎨ ⎧ −= ≤≤ ⇒=+≥• ∈+==• ∈==≥∈=• ⊂ ==≥ ∈∈−+ ∈∀∈∀⊂ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ == == == − = − = − = − − = −− == = = 1;0;; 1;0;; .11;0;, 1;0;; .1 1 .1 1 1 11 1 1 1 .1.1;0 ., .1 1 10 1;0, .,; .1; 10;, .1 10 ,, ,,.1 1;0, 11 11 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 112211 21112211 12 1 2121 212211 11 1 1 21 m j jjj m j jj n i iii n i ii CM n i iii n i ii nnn n i i n i n n n n i i n i n i nnn n n n n n n i ii innnn n i iii n i ii n i ii n i iin Myyy Mxxx ByttxtByx ttMxxtB AxtytxAx t t y t t t t t t xtx t t x t t tx ttt Axxtxtxtxtx Axtxtxtxtx tt t tttt Axxxtxtx AxtnitAxxtx tnit xtAxxxAyttx tAyx βββ ααα : sử Giả lồi. B : CM Ta M. của tử phầncác lồi hợptổ các tập Gọi M. chứanhất nhỏ lồi tập là đó nữa, Hơn lồi. tậpmột là M của tơ véc các lồi hợptổ các cảtất tập CM X. M Cho b) lồi A 1 - n với đúng đề Mệnh : thấy Ta : có Ta sử giả taquát tổng tínhmất Không : có ta sử Giả n. với đúng đề mệnh CM Ta 1. - n với đúng đề mệnh sử Giả lồi A sử Giả : 2 n Khi nạp Quy : CM Ta : sử Giả A. thuộc đều A của tơ véc các lồi hợptổ mọi thì lồi tập là A nếu CM a) :Giải M. chứanhất nhỏ lồi tập là đó nữa, Hơn lồi. tậpmột là M của tơ véc các lồi hợptổ các cảtất tập CM X. M Cho b) A. thuộc đều A của tơ véc các lồi hợptổ mọi thì lồi tập là A nếu CM a) và :đó trong :dạng có tổngmột là tơ véc các của lồi hợptổMột :có ta vànếulồitập làgọiđược X A Tập X.tính tuyến gian khôngCho 1) W Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự 1 Lớp Cao học Toán Khóa 14 – Trường Đại Học Cần Thơ - 2 - () () () () { () { () () [] () [] () () () () () () () () () () () () () () () [] () () () () () () () [] () () [] () () () () () () [] () [] () [] () () () () () () ()()() ()()() () () () () () () () () () [] () () () () [] () () [] () () .00 :;0 . .'max c) . .'max'max ''max''max 'max.'.max. .0;;0;;;;0' 00 0 .00 :;0 . .'max b) .00.0, . .'max .'max c) ,'max b) ,'max 3,2,1, .1111.1 1. 1 1 1 3 1 ; 3 1 ; 3 3 1 ; 2 22 2 22 2 2 1 ; 2 1 ; 2 2 1 1 ; 1 1 3 2 1 1 ; 1 1 1 111 1111 =⇒= ∈∀≥• • + ∫ = += ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +≤ +++=+++=+• = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +=+=• ⎩ ⎨ ⎧ =⇒∈∀=⇒∈∀=→∈∀= =→= ⇒= =⇒= ∈∀≥• • += =≠≠−=• • +−= + ∫ = += +−= = ⊂→∈⇒⇒ ⇒∈∀• ⊂⊃• • ∈−+⇒=−+= ∑ −+ ∑ = ∑ −+ ∑ • ∑ −+ ∑ = ∑ −+ ∑ =−+• ≤≤ ≤≤≤≤ ≤≤≤≤ ≤≤≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ = = = === ==== xpx Cxxp Cp txdttxxp Cp ypxptyaytxax tytxayaxtyxayxyxp xptxaxtxaxxp xbattxbatCtxbattx axax xp xpx Cxxp Cp txaxxp xpxCCCtx Cp txaxbxxp txdttxxp txaxxp txaxbxxp ipC Axx xBx Byttxttttt ytxtytxtyttx ba ba bta b a ba btabta btabta btabta ba ba bta ba bta bta b a bta bta i ba m j j n i i m j j n i i m j jj n i ii m j jj n i ii o o o trên chuẩn là trên chuẩn là : Vậy trên chuẩn là nhưng thấy Ta số hằngXét trên chuẩn là không a) :Giải a) ? không haychuẩn là có đây sau hàm các 0;1 trên tục liên hàm đạo có hàm các tính tuyến gian khôngTrong 2) A. B A của tử phầncác lồi hợptổ 1 là M. của tử phầncác lồi hợptổ 1 là A. B : CM Ta M. A và lồi A sử Giả M. chứanhất nhỏ lồi tập là B : CM * lồi. - B Vậy : có Ta : trình ng Xét phươ a) câu ααααα βαβα βαβα Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự 1 Lớp Cao học Toán Khóa 14 – Trường Đại Học Cần Thơ - 3 - () () () [] () [] () () () () () () () () ()()() ()() () () () () () () () () () () () [] () () {} {} [] () () () () () () {} () [] [] () ( ) [] () ( ) () () . 1 1 2 1 1 1 100 1;0;01. . 0 . 21 00 1.1 1 1 10 .,0&0:, 1.11 .1.1;0.1,, 1:) .,, ) .0 0;00) 1:., . .'max'max ''max''max 'max.'.max. .00.0;;0' ;;0 0 1 1;0 1;0 21 1 ;3 33 3 33 3 + < + − + =≤=≤• →∈∀≥−=−=• →∗ + − + = ===• +≤+⇒ + + = + + = + + + =−+≥⇒ ∈−+⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + =− ≤≤ → + =• ∈≠≠∈∀• +≤+• →∈−+⇒−+≤−+• −+∈≤⇒∈• ≤∈= ∈∀∀= ==≠≥ ∈ ≤∈= += ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +≤ +++=+++=+• = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +=+=• ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =⇒=⇒−===→∈∀= ∈∀=→= ⇒= + ++ ≤≤≤≤ ≤≤≤≤ ≤≤≤≤ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ nnn xtxx txttttttx Cx C n t n t txx yx yxyx yx yx yx yx y y yx y x x yx x y y t x x t S y y t x x t yx y t t yx x t S y y x x yxXyx yxyx x Syttxytxtyttx yttx tyxSyx x xXxiii Xxxxii xxxxi xXx xXxX Cxp ypxptydttytxdttx tytxdttytxtyxdttyxyxp xptxdttxtxdttxxp xCabCdtCdttxbattx batCtxdttx xp nnn n nnn n n nn n n n ba bta b a bta b a bta b a bta b a bta b a bta b a b a b a b a biến.đồng trong :CM Ta :Giải trong : với dãy của tụ hộisự Xét 4) ra.xảy "" dấu thì hoặc Khi lồi S Lấy : có ta :CM cần chỉ Ta X.trên chuẩnmột là :CM * lồi. tập là S : có Ta Xét Lấy Lấy lồi. tập là S :CM * :Giải X.trên chuẩnmột là thì lồi. là S cầu Hình nếu nếu : cho sao sốmột với mỗi ứngcho Xtính tuyến gian không trong nếu lại, Ngược lồi. tập là S cầu hìnhthì chuẩn đònh gian khôngtrong CM 3) trên chuẩn là : Vậy ααα ααααα o X Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự 1 Lớp Cao học Toán Khóa 14 – Trường Đại Học Cần Thơ - 4 - () () [] () {} () () () () {} () {}() {}() {} {} {} {} {} {} compact. khôngS Vậy S. trong tụ hộikhông con dãy vò đơn cầumặt trong bảncơ không con dãy vò đơn cầumặt trong bảncơ không với 7 BT Theo :Giải compact. khôngvò đơn cầumặt thì chiều số vô chuẩn đònh gian khôngTrong :thêm Chế thỏa dãy được ta trình quá tục Tiếp và Gọi và bởisinh đóng con KG Gọi chiều hạnvô X :Giải 2 1 hơnlớn bất kìtử phần2 giữa cách khoảngcho sao vò đơn cầu hìnhtrong tử phầndãy 1 có đều Xchiều số vô chuẩn đònh gian khôngtrong CM 7) đpcm. 2 1 chọn quả, hệTheo : cho sao : thì XY X,của đóng con KG -Y KGĐC, - X :Riesz lý đònh của quả Hệ :Giải cho sao :CM X. M X,KGĐC của đóng con KG là M Cho 6) ~ (3) & (2) Từ ~ (4) & (1) Từ :Giải Euclide chuẩn c) b) a) :đương tương sau chuẩn các CM Với R. trong chuẩn là sử Giả 5) trong :Vậy :đó Khi biệtĐặc biệtĐặc k n k n n n mnn n n mnnn BT BT bcbcb baaba ab bc c schwards b ba cba n n t n t n k k x Sx xXxSx mnxxxXx mnxxxx xxxxMyyx xXxxxLMxxMyyx xXxxxLMxXx YyyxxYx MyyxxXx xxxxx xxxxx xxxxxx xxxxxxxx xxxxxx xxxx xxxxxxxxx Rxxxx Cx n txtxx ∀⇒ ∀⇒ =∈=⇒ ∀>−=⊂∃⇒ ∗ ∀>−=• >−>−→∈∀>− =∈∃⇒=>−→∈∀>− =∈∃⇒−==∈∃⇒• →=• ∈∀−>−=∈∃>∀ ≠ • ∈∀>−=∈∃≠ ⇒≤≤⇒∗ ⇒≤≤⇒∗ =≤+=• =+=++=• =++<+=• =+≤• +=+== ∈= → → + <==− ≤≤≤≤ .1: .,, 2 1 &1 .,, 2 1 &1 . 2 1 , 2 1 , 2 1 1,,. 2 1 , 2 1 1,.1, . .,11,,0 ., 2 1 &1 . 2 1 .2 4 2,sup.2 3 .2 2.2.11.1.1 1 ,sup ., . 0 .0 1 1 maxmax0 231323 33 6 2121212 22 6 11111 00 00 2121 2121 2 2 2 1 2 2 2 1 22 21 21 2 2 2 12121 2 21 1,0 1010 ε εε Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự 1 Lớp Cao học Toán Khóa 14 – Trường Đại Học Cần Thơ - 5 - [] () () [] (){} () ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =• ≥∈ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∫ ,1 , 1 1 0 nt txtx txdxtxx n n n p p : bởicho : dãy Xét :Giải Banach. gian khônglà không1p, C :chuẩn với C :CM 8) 0,10,1 ≤< ≤≤ 1 1 1 0, t n n t 0 x t y y y (){} () () () () () () () () [] [] [] () [] {} () {} {} [] () [] () [] () [] () {} () () ()() ()( ) () () ( ) () () () () [] () .1,1, . ,1 ,0 ,2, .,, 01.1.1 1111. .lim .1. .0&10, :,, .,,,,:,, ./;:,;:, .,, . 10,1 0,0 .0 1 1 000 00 1 0 00000 0 00 000000 0000 00 1,0 1,0 1 0 1 0 1 0 xSxSXx yx yx yxdX rxSxrxSx rrxx xxxxxxxxx xx xxx rxSrxS rxSrxSrxSrxSrxSrxS xxArxxXxrxSrxxXxrxS rxSrxS C Ctxtx t t txtx n dtdttxtxdttxtxxx tx n n n n n n n n nn p npn p npn p npn n n ≠∈• ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = =≥• ∗ ∈⇒∈⇒ >−<−≤−−= −−=−−−=−−+=−⊕ =⊕ −+= →<< ⊂• ⊃⇒⊃⊃• =<−∈=≤−∈=• = ∉⇒=→ ⎩ ⎨ ⎧ ≤< = =→• →=≤−=−=− −• < ∞→ ∞→ +++ ∫∫∫ : thì ý tùy Lấy nếu nếu : rạc rờimêtric và dX, Xét :sau dụ ví phảnlấy Ta bất kì.gian khôngvới đúng khôngthức Đẳng:ý Chú :có Ta : Đặt Chọn : CM Ta đóng : CM Ta A của dínhđiểm là :Giải :có ta chuẩn đònh gian khôngTrong :CM 9) trên. chuẩn với Banach gian khônglà không : Vậy 0 t tại phải bêntục liên không :thấy Ta bản.cơ dãy nnn nnnnn nn nnn εεε εεεεε εε εεε 321 o o o n 1 y pn + 1 1 1 Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự 1 Lớp Cao học Toán Khóa 14 – Trường Đại Học Cần Thơ - 6 - [] () ( )() () ( )( ) ( ) ()() ()() ()( ) ()() () ()() ()()() ()() { }() [] ( ) ( )() { } ()()() ()()() ()() () () () ()( ) ( )()() ()() {} {} {} () {} () () () () () ,1, . .,, . .,.0 0, .,:0'. '. 01 1 '' .,.1: 0, .,,,, .,,,, ,,., .;,,,, ,,,,, .,, ,,, 11 / 11 2211 , BxuBuBuAuAxA niMuuuuxx XxBxAxMxBxAx X XxxMAxx xMAx x Ax x Ax x x AMS x x xXx SxMAxMxA n n n n Ax n Ax n x AxA x nn x x n x x nAxSxnxXx Ax xXx dssxstFtxdusuKutHstF dssxdusuKutHdsdusxsuKutHtx butasxsuKutH sxbutasuKutH dudssxsuKutHdudssxsuKutHduuAxutHtAxBtx dsstKutH duuxutHtBxdssxstKtAx n i ii B n i ii MBA n i ii A n i ii inn n n n nn n n n n n n n nn n n n n n b a b a b a stF b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ === ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =⇒ =∈+++=⇒∈∀ ∈∀=• ∈∀=∈∀= =⊂→ ∈∀≤⇒==• ≤⇒== ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≥∈≠∈∀• ∈∀≤≥∃⇒ +∞→=>== ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = →====• >∈∃∀⇒=∈=• →⊂→ =⇒=• ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = • ⇒≤≤⇒ ≤≤ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ===• == ∑∑∑∑ ∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫ ∫ ∫∫ == = == ∞→ αααα ααα tính tuyến tử toán tính tuyến ba, ML ML x Bx, Ax :CM :Giải thì Nếu :CM ML cho sao XM và tục liên tính tuyến tử toán các là Y X:BA, và ĐCKG 2 là Y X,sử Giả 12) tục. liên A Vậy raxảy "" dấu thì Khi : rasuy trên Theo : thì : đó Khi : đó Do ). lí vô ( chặn bò không Nhưng vì :có ta : Xét cho sao lại ngược sử Giả S trên chặn bòA : CM Ta :Giải tục. liên A :CM chặn. bò dãy thì dãy mỗi với sử Giả tính. tuyến tử toán là Y X:A và ĐCKG 2 là Y X,Cho 11) s).F(t, hạchvới phântích tử toán là AB Vậy AB :Đặt AB : phântích lấy tự thứ đổi Thay tích. Khả trên tục liên ba, trên tục liên trên tục liên AB :Giải là hạchvà phântích tử toán là cũng A o B :CM nhân hạt hàm,là hạch :u)H(t,s),K(t, làlượt lầnhạchvớiC trong phântích tử toán 2 là BA, Cho 10) o o 444344421 o o o Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự 1 Lớp Cao học Toán Khóa 14 – Trường Đại Học Cần Thơ - 7 - () {} ( ) () () () () () ()() ()()()()() () () () () () { }()(){}() () () {} () () () () () () ()() () () () ()() {} ()()() () () () { ,,;, . ,,1; , ,, . ., ,,dimdim, ,, : .,,, ., , ,, , ,, )13 .limlim.;, .: 1 2 111 1 2211 2 2 1 1 21 2121 11111 1111 2211 21 21 / n1,itục, liên Euclide. chuẩn là A(X) trên chuẩn chọnchiều hạnhữu :tục liên n1,itính, tuyến :nênnhất duy là e sở cơ qua diễn biễusự và tục liên tính tuyến tử toán là A Vì : có ta n1,itính, tuyến A Xtrênàm phiếm hlà :Đặt : thì :đó Khi (X). A của sở cơ 1 là Gọi XAdim chiều hạn hữutục liên tính tuyến tử toán là Y X:A sử Giả XAdim chiều hạn hữuA tục. liên A : tục liên A : tính tuyến tử toán là A :Giải trên. dạng diễn biễucó đều chiều hạn hữutục liên tính tuyến tử toán mọi lại, Ngược chiều. hạn hữutục liên tính tuyến tử toán là Ax : với Y X:A tử toán thì và Xtrên đònh xác tục liên tính tuyếnøm phiếm hacác là Nếu :CM Y. của chiều hạn hữucon gian khônglà ImA nếu chiều hạn hữutử toán là gọi được Y X:A tục liên tính tuyến tử Toán ĐC.KG 2 là Y X,sử Giả : đó Khi tục liên i tính tuyến =∀⇒≤=≤ ⇒ • =∀⇒+=+ • +=+=+ +=+ ∈∀∈∀∗ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =∀ +++=→∈==• +++=∈∀• +∞<=⇒→•⇐ +∞<≤≤⇒⊂ +∞<⇔• ⇒ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =≤=≤=∈∀ • +=+=+=+=+ ∈∀∈∀•⇒ ∈+++= →∈ → ===→→⇒• →⊂∃⇒=∈∀• ∑ ∑∑∑ ∑ ∑∑∑∑∑ ∑∑∑∑ = === = ===== ==== ∞→ = ∞→ i M E n i ii i iiii n i iii n i ii n i ii i n i i i nn i i xi n x n xx n nn M i n i ii n i i n i ii n i ii n i ii n i ii n i ii n i iii f i n i i nn n n n n MLBA n n nn n n n fxAAxxfxf XA f fyfxfyxf eyfxfeyfexfAyAx eyxfyxA KXyx f exfexfexfx xf Xxnixf eeeAxXxeee n nuuuLXAuuuLXA xufuxfuxfuxfuxfAxXx AyAxuyfuxfuyfxfuyxfyxA KXyx Xxuxfuxfuxf Yuuu fff BxBxAxAxBxBxAxAxBA xxMLxMLXx i o o o o o o o 4434421 βαβα βαβαβα βαβα βα α ααα βαβαβαβαβα βα Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự 1 Lớp Cao học Toán Khóa 14 – Trường Đại Học Cần Thơ - 8 - () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () )( )( . )( ).( )(.)(.0 .kerker,1,0 :, .0&0kerker,kerker:,1:2 0 kerkerker .kerker:,1:1 kerker kerker )( )(.)(0kerker0 :, .0:0 kerker : .,max.) , ) ,kerker , ,, 22112 22 2 1 11 1 2 22 2 1 11 1 2 22 2 1 11 1 11112211 2211 112211 1111 11 1 1 11 1 11 1 11 1 1111 111 1 2211 1 21 1 nnn nn n n nn n ii n nn n jjjijjijji nnjjijj gt ii ji nn CM i nni CM i ni nn i i n ffffxf xf xf xf xf xf xf xf xf xf xf xf xf xf xf xf xf xf xf xfyf ffyniyf x xf xf x xf xf x xf xf xyXx xfxffxfxjffnjTH fffffff fff ffnjTH ffffff ffffff ffxf xf xf xfxf xf xf xfyfffyyf x xf xf xyXx xfXxf ffff b Xxxfcxfc ffffb ff ffff ααα ααααα ααα ααα α α ααα α +++=⇒+++=⇒ −−−−==⇒ ⊂∈⇒=∀=∗ −−−−=∈∀∗ ≠=⇒∉∈∃∀⇒⊄=∃∗ +++++++=⇒ →⊂= ⊂=∃∗ +++=⇒⊂∗ +++=⇒⊂ =⇒=⇒−==⇒⊂∈⇒= −=∈∀∗ ≠∈∃⇒≠∗ =⇒⊂= ⇒• ∈∀≤∞< +++= ⊂ = = ≠ = ≠ ++−− = = ≠ = ≠ = −− = ≤≤ = I II II I I I I o 321 o n 1i n 1i ji n 1i ji n 1i n 1i ji n 1i ji n 1i 1-n 1i n : có Ta xét và 1 - n với đúng đề mệnh : có Ta : sử Giả :n với đúng đề mệnh CM Ta :1 - n với đúng đề mệnh sử Giả : có Ta xét :1n nạp. Quy a :Giải : cho sao c tại Tồn a) :đương tương là sau điều 3 CM X.trênđònhxáctụcliêntínhtuyếnøm phiếm hacác là và Cho 15) Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự 1 Lớp Cao học Toán Khóa 14 – Trường Đại Học Cần Thơ - 9 - () () () () ( ) ( ) () () () () () () () () () () () () () (){}() () () () () () () () () () () () () () () () chặt. KGĐC là L : Vậy (3) & (1) Từ raxảy "" Dấu MinKovSki BĐT Theo :Giải chặt. KGĐC là chuẩn với L thì Với :CM khithức đẳng thành trở chỉ :thức đẳng bất nếuchặt chuẩn đònh là gọi được KGĐCMột 17) : Vậy : thì 0 Cho :cho sao bé, khá :có ta :CM :có ta :CM : biếtTa :Giải :CM và KGĐC, là Xsử Giả 16) :cho sao (c), Theo p p .0, 3.2 (2) (1) . 1.0, 0,0 . 1 ,0.,0 1 .,0 1 . ':',0 , sup . 1 0,0 . 1 sup 1 supsup,: 1 ,0 . 1 inf,0 , 1 , 11 supsup,: 1 ,0 .0inf,0 . 1 ,0.1:0,, .kerkerker00max. .0max ,1,0,1,kerker .kerker:: .max :: 1 0 1 1 1 00 00 1 1 1 1 1 1 212211 2211 >=⇒ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =⇒• ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + == +=+ ⇔=+≤+⇒• ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =+∞<<>= ≠≠+≤+ =≥→≥> − ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ ≤<−∈∃>∀ ∈∀≤ ⇔= <−<∈∃>∀ ===∈∀≤• ≥=⇒ ∈∀≥⇒∈∀≥==∈∀≥• −=∗ ==∈=≠=∈ ⊂⇒∈⇒=⇒=≤∞<∃ =⇒==⇒=∈⇒∈∀ ⊂⇒• +++≤+++≤ +++=∈∀⇒• > − − ∈ ∈ ≠ ∈ ∈ ≠ ∈ ∈ ≠ ∈ ∈ ≠ ∈ ∈ ∗ = ≤≤ ≤≤ = = ≤≤ ∞< ∫ ∫ ∫∫∫ ∫ αα μαα ε ε εε εεε αααααα ααα α ε ε ε ε gfq g f f gf gf g g f f gfgf gfgf dffpxy yxyxyx f SdSd f Sdy f mxmXx Xxmx mX y fSy y xf x x xf fSx f Sd f xSd Sx f xSx xxx xf fSx f Sd xSd f SdxfXxSfRXLXf fffxxfxfcxfc xfnixfnifxfx ffCMac xfxfxfxf xfxfxfxfXxcb p p p pq pq p p p p ppp p X p p Sy Sy x Sx Sx x Sx Sx x Sx Sx x Sx Sx n i ii ni i ni ii n i i n i i i ni C nnn nn 43421 o o o o 444344421 I I I Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự 1 Lớp Cao học Toán Khóa 14 – Trường Đại Học Cần Thơ - 10 - ( ) ( ) ( ) () {} (){} {} () () () () . mở xạ ánh là f mở xạ ánh lý nguyên Theo thì : Đặt : cho sao : nên 0 f vì ánh. toàn - f :CM Banach. -K X, có ta sử Giả :Giải . mở xạ ánh là f :CM 0. kháctục liên tính tuyếnàm phiếm hlà f Banach, KG là XCho 20) cc Với :được ta : Xét c Chọn c Chọn c Chọn c cho sao c : có ta lại ngược sử Giả :Giải c thìcompact M Nếu :CM và dương số các dãy là Cho Vì : có taHolder BĐT Theo :CM cần ta CM Để :Giải thì Nếu :CM 18) 1n 2 n 1n 2 n 1n 2 n 1n 2 n 1n 2 n 1n 2 n 1n 2 n 1n 2 n ⇒==⇒ ∈=≠∈∃≠∈∀• →• >>+=−>• ⊂=• >∈∃⇒+>=• >∈∃⇒+>=• >∈∃⇒≥=• >∈∃∈∀>∃• +∞=∗ +∞< =≤∈= ∞<⇒∈∞<⇒∈ ∞< ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤• ∞<∈+=⇒+=• ∈∈∈+= ∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∫∫ ∫∫∫∫∫ ∫ + += + += ++ + += −− + += + += + += ∞ = ∞ = .)(. 0, ,: .02: ., 0,, ,,0, ,0 .: .: .:1 .,,0 . . ., 2,1,:, , ,,)19 .; '' 1 ' 1 1 " 1 ' 11 ,& " 1 ' 11 0 0 0 0 2 2 1 110 21120 110 00 2 21 '' '' ' ' '' 1 '' ' 1 ' '' '' . ' ' . "' 22 2 11 1 00 0 α α α α ε ε ε ε εε xf xf xf Xxx xf xxfXxK KXf xxqp Mxxxx Nkknnn Nkknnn Nknn NkNn icxlxMccc gLgfLf gfgfgf gfLgf p p p p ppp LgfLgLf ppp pp p qq q mmm mm m kn n kn n qp m m m knnm kn n mmmm kn n kn n kn n iiin p p p p p p p p p p p p p p p p p p p pp p p ppp [...]... nguyên lý ánh xạ mở ⇒ f là phép đồng phôi Vậy : X / ker A đồng phôi với Y 22) Cho X, Y là 2 KG Banach và {An }n ⊂ L( X , Y ) là dãy các toán tử tuyến tính liên tục Giả sử ∃ K > 0 sao cho An ≤ K , ∀n ∈ N Ngoài ra, với mọi x ∈ E thì {An x}n là một dãy cơ bản trong Y với E là một tập trù mật trong X CM : Dãy {An }n hội tụ từng điểm đến toán tử A ∈ L( X , Y ) Giải : ∗ Nhắc lại : Hệ quả của nguyên lý bò... Hồng Ngự 1 Giải : a) Theo BĐT Schwatz ta có : 1 ← xn , y n ≤ xn yn x n ≤1; y n ≤1 ≤ x n , y n ≤ 1 Cho n → ∞ thì lim xn = lim y n = 1 n →∞ 2 b) xn − y n n →∞ = x n − y n , xn − y n = x n , x n − 2 x n , y n + y n , y n = x n 2 − 2 xn , y n + y n 2 n→∞ → 1 − 2 + 1 = 0 ⇒ lim xn − yn = 0 n →∞ 30) Giả sử Y là KG con đóng của KG Hilbert X và x ∈ X CM : x ⊥ Y ⇔ x ≤ x − y , ∀y ∈ Y Giải : • Theo đònh lý 8 về... Nếu với mỗi u ∈ X, phiếm hàm : x a Ax, u , x ∈ X đều liên tục thì A liên tục Giải : • X - Banach : A : X → X là toán tử tuyến tính Để CM A liên tục ta CM A là tuyến tính đóng ⇔ CM : g(A) = {( x, Ax ), x ∈ X } đóng trong X x X CM {(xn , yn )}n ⊂ g(A), (xn , yn ) → (x, y ) ⇒ (x, y ) ∈ g ( A) • ( xn , y n ) ∈ g ( A) ⇒ y n = Axn → y (hội tụ theo tọa độ) • Giả sử • ∀u ∈ X , vì tích vô hướng liên tục đối... Bn • Khi hệ {ei }i đầy đủ , theo đònh lý1 0 ( 5 mệnh đề tương đương) ∞ ∞ ⇒ ∀x ∈ X thì x = ∑ ξ i ei = ∑ x, ei ei = lim i =1 n ∑ n → ∞ i =1 i =1 x, ei = lim y n ∈ L({e1 , e2 , , en }) n →∞ ∞ ⎧ ⎫ 28) Trong l 2 = ⎨(xn ) : ∑ xn 2 < ∞ ⎬ Xét họ e1 = (1,0,0, ), e2 = (0,1,0, ), en = (0, ,1,0, ) (1 ở vò trí thứ n ) n =1 ⎩ ⎭ CM : {en }n là hệ trực chuẩn đầy đủ trong l 2 Giải : • ∀x = (xn ), y = ( y n ) ∈ l 2... (∀n, m khá lớn ) ⇒ {An x}n − cơ bản trong Y ({Anu}n − cơ bản, u ∈ E ) • Vì Y - Banach nên An x → Ax ⇒ {An x}n − hội tụ từng điểm về toán tử A Theo đònh lý 5 ⇒ A ∈ L( X , Y ) 23) CM : Trong KG tiền Hilbert nếu X , Y = x y thì x và y phụ thuộc tuyến tính Giải : • Xét phương trình : 0 = f (α ) = αx − y , αx − y = x, x α 2 − 2 x, y α + y, y = x α 2 − 2 x, y α + y 2 • Δ ' = x, y 2 2 2 2 − x y • Nếu X ,... là duy nhất - 12 - Gv biên soạn : Nguyễn Duy Trương – Trường THPT Hồng Ngự 1 25) Cho M là KG con đóng của KG Hilbert X và x ∈ X { } CM : min{ x − u : u ∈ M } = max x, t : t ∈ M ⊥ , t = 1 Giải : • x ∉ M : Theo đònh lý 8 về hình chiếu lên KG con ⇒ x = y + z với y ∈ M , z ∈ M ⊥ và d = x − y = min x − u > 0 { u ∈M } • Ta CM : d = max x, t : t ∈ M ⊥ , t = 1 o max ≤ d o ∀ t ∈ M ⊥ , t = 1 o x, t = y + z... y, u n →∞ (1) • Mặt khác, vì phiếm hàm f ( x ) = Ax, u nên khi xn → x thì f ( xn ) = Axn , u → f (x ) = Ax, u hay lim Axn , u = Ax, u n →∞ • (1) & (2 ) ⇒ Ax, u = y, u (2) (do sự hội tụ trong KG Haudoff là duy nhất ) ⇒ 0 = y, u − Ax, u = y − Ax, u • Cho u = y − Ax thì y − Ax, y − Ax = 0 ⇒ y − Ax = 0 ⇒ y = Ax ⇒ ( x, y ) ∈ g ( A) Do đó g(A) đóng trong X x X Theo nguyên lý đồ thò đóng ⇒ A liên tục Lớp Cao... ⇒ α i k → α i 0 , ∀i = 1, n Đặt x0 = ∑ α i 0 ei ∈ Bn thì : i =1 x k − x0 2 = ∑ (α n i =1 k i ) − α i 0 ei 2 n ≤ ∑ αik − αi0 i =1 2 k →∞ → 0 ⇒ x k → x0 • Sự hội tụ là duy nhất ⇒ x = x0 ∈ Bn Theo đònh lý 8 ⇒ X = Bn ⊕ Bn ⊥ • ∀x ∈ X , đặt z n = x − y n ⇒ x = y n + z n , với y n ∈ Bn Ta CM : z n ∈ Bn ⊥ ⇔ z n ⊥ Bn n • ∀j = 1, n, ta có : z n , e j = x − y n , e j = x − ∑ x, ei , e j = x, e j − i =1 x,... αx − y, αx − y = 0 ⇒ αx − y = 0 ⇒ y = αx Vậy : x và y phụ thuộc tuyến tính 24) Cho C là tập lồi, đóng trong không gian Hilbert X và x ∈ X CM : Tồn tại duy nhất y ∈ C sao cho : x − y = min x − u u∈C Giải : • x ∈ C : Hiển nhiên 1 • x ∉ C : d = d ( x, C ) = inf x − u > 0 Đònh nghóa inf ⇒ ∀n, ∃u n ∈ C sao cho d ≤ x − u n < d + u∈C n • Cho n → ∞ thì ta được {u n }n ⊂ C và lim x − u n = d n →∞ • {u n... ⇒ {en }n là hệ trực chuẩn ⎩1, n = m • {en }n đầy đủ : ∀x = (xn ) ∈ l , ta có : x = ( x1 , x2 , , xn , ) = x1 (1,0,0, ) + x2 (0,1,0, ) + + xn (0, ,1,0, ) 2 = x1.e1 + x2 e2 + + xn en + • Áp dụng đònh lý1 0 ( 5 mệnh đề tương đương) từ ii) → i) ⇒ {en }n là hệ trực chuẩn đầy đủ trong l 2 29) Giả sử {xn }n & {y n }n là 2 dãy các phần tử của hình cầu đóng đơn vò trong KG Hilbert X thỏa điều kiện lim xn . Thay tích. Khả trên tục liên ba, trên tục liên trên tục liên AB :Giải là hạchvà phântích tử toán là cũng A o B :CM nhân hạt hàm, là hạch :u)H(t,s),K(t, làlượt lầnhạchvớiC trong phântích. là nhưng thấy Ta số hằngXét trên chuẩn là không a) :Giải a) ? không haychuẩn là có đây sau hàm các 0;1 trên tục liên hàm đạo có hàm các tính tuyến gian khôngTrong 2) A. B A của tử phầncác. đóng con KG -Y KGĐC, - X :Riesz lý đònh của quả Hệ :Giải cho sao :CM X. M X,KGĐC của đóng con KG là M Cho 6) ~ (3) & (2) Từ ~ (4) & (1) Từ :Giải Euclide chuẩn c) b) a) :đương