Đang tải... (xem toàn văn)
Tong hop ly thuyet Giai tich 12
G I Á O D Ụ C L À V Ũ K H Í M Ạ N H N H ẤT M À N G Ư Ờ I TA C Ó T H Ể S Ử D Ụ N G Đ Ể T H AY Đ Ổ I CẢ THẾ GIỚI N.MANDELA H Ọ C VẤ N D O N G Ư Ờ I S I Ê N G N Ă N G Đ ẠT Đ Ư Ợ C , TÀ I S Ả N D O N G Ư Ờ I T I N H T Ế S Ở H Ữ U , Q U Y Ề N LỢ I D O N G Ư Ờ I D Ũ N G CẢ M NẮ M G I Ữ , T H I Ê N Đ Ư Ờ N G D O N G Ư Ờ I L Ư Ơ N G T H I Ệ N X ÂY D Ự N G FRANKLIN (MỸ) … M U Ố N X ÂY D Ự N G Đ ẤT N Ư Ớ C , T R Ư Ớ C H Ế T P H Ả I P H ÁT T R I Ể N G I Á O D Ụ C M U Ố N T R Ị N Ư Ớ C , P H Ả I T R Ọ N G D Ụ N G N G Ư Ờ I TÀ I … CHIẾU LẬP HỌC LỤ C T R Í T U Y Ê N T Ổ N G H Ợ P LÝ T H U Y Ế T GIẢI TÍCH 12 N H À X U ẤT B Ả N H O C T R A C N G H I E M V N Bản quyền © 2019 Lục Trí Tun xuất bả n n h x uất h octracnghiem.vn Điều khoản quyền theo luật sở hữu trí tuệ số 50/2005/QH11; bạn không phép chép tài liệu ngoại trừ cho phép tác giả Bạn tìm hiểu thêm luật quyền http://www.cov.gov.vn Ngoại trừ cho phép tác giả, hành vi i n , mua bán, kinh doan h thứ cấp vi phạm quyền theo luật quyền Xuất lần đầu, Tháng năm 2019 Mục lục KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG 1.1 Sự biến thiên hàm số 1.1.1 Điều kiện đồng biến, nghịch biến 1.1.2 Điều kiện tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng 1.1.3 Ứng dụng tính đơn điệu hàm số 1.2 Cực trị hàm số 1.2.1 Định nghĩa cách tìm cực trị hàm số 1.2.2 Cực trị hàm số bậc ba 1.2.3 Cực trị hàm số trùng phương 1.3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 1.3.1 Phương pháp chung tìm GTLN, GTNN 1.3.2 Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn [a;b] 1.3.3 Ứng dụng cho hàm nhiều biến toán thực tế 1.4 Tiệm cận đồ thị hàm số 1.4.1 Tiệm cận ngang 1.4.2 Tiệm cận đứng ax + b 1.4.3 Bài toán hay tiệm cận hàm y = cx + d 1.5 Nhận dạng đồ thị hàm số 1.5.1 Đồ thị hàm 1.5.2 Suy đồ thị 1.5.3 Đồ thị đạo hàm 1.6 Tương giao đồ thị hàm số 1.6.1 Số nghiệm, số giao điểm trường hợp cô lập tham số 1.6.2 Số giao điểm, tọa độ giao điểm dựa vào phương trình hồnh độ giao điểm 1.7 Phương trình tiếp tuyến, tiếp xúc 1.7.1 Các dạng phương trình tiếp tuyến 1.7.2 Điều kiện hai đồ thị tiếp xúc 1.8 Điểm đặc biệt đồ thị hàm số 1.8.1 Điểm bất động họ đồ thị 1.8.2 Điểm đồ thị có tính chất theo u cầu 1.8.3 Quỹ tích điểm họ đồ thị MŨ VÀ LOGARIT 2.1 Lũy thừa hàm số lũy thừa 2.1.1 Lũy thừa công thức lũy thừa 2.1.2 Hàm số lũy thừa 2.1.3 Công thức lãi gộp ứng dụng lũy thừa 2.2 Logarit 2.2.1 Định nghĩa công thức Logarit 2.3 Hàm số mũ hàm số Logarit 2.3.1 Tổng hợp hàm số mũ hàm số logarit 2.4 Phương trình bất phương trình mũ 2.4.1 Phương trình bất phương trình mũ 2.4.2 Các phương pháp 2.5 Phương trình bất phương trình Logarit 1 7 10 12 12 13 14 15 15 15 16 17 17 19 21 23 24 24 28 28 29 29 29 30 30 31 31 31 33 33 36 36 37 37 38 39 39 41 2.5.1 Phương trình bất phương trình logarit 2.5.2 Các phương pháp Hệ phương trình mũ logarit 2.6.1 Phương pháp thường dùng 41 42 42 43 NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 3.1 Nguyên hàm 3.1.1 Khái niệm nguyên hàm tính chất 3.1.2 Bảng nguyên hàm ứng dụng 3.1.3 Phương pháp đổi biển số 3.1.4 Phương pháp nguyên hàm phần 3.2 Tích phân 3.2.1 Khái niệm tích phân tính chất 3.2.2 Đọc thêm: Tích phân có cận hàm số 3.2.3 Phương pháp đổi biến số 3.2.4 Phương pháp tích phân phần 3.2.5 Đọc thêm: Một số dạng tích phân đặc biệt 3.2.6 Đọc thêm: tích phân hàm ẩn 3.3 Ứng dụng tích phân 3.3.1 Diện tích hình phẳng 3.3.2 Thể tích vật thể biết diện tích thiết diện 3.3.3 Thể tích khối trịn xoay 3.3.4 Ứng dụng vật lí số ứng dụng khác 44 44 44 45 46 49 50 50 51 52 53 53 56 60 60 62 64 65 SỐ PHỨC 4.1 Định nghĩa số phức phép toán 4.1.1 Các khái niệm 4.1.2 Các phép toán 4.1.3 Tính chất phép tốn 4.2 Phương trình tập số phức 4.2.1 Phương trình bậc 4.2.2 Phương trình bậc hai 4.2.3 Phương trình quy phương trình bậc hai 4.3 Tìm số phức thỏa mãn điều kiện 4.3.1 Số phức thỏa mãn z1 z + z2 z = z3 4.3.2 Số phức thỏa mãn điều kiện chứa z, z |z| 4.3.3 Số phức thỏa mãn hệ thức chứa z |z| 4.4 Dạng lượng giác số phức (đọc thêm) 4.4.1 Định nghĩa dạng lượng giác số phức 4.4.2 Ứng dụng dạng lượng giác số phức 4.5 Biểu diễn hình học số phức 4.5.1 Xác định điểm biểu diễn số phức 4.5.2 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức 4.6 GTLN-GTNN mô đun số phức 4.6.1 Có ràng buộc đường thẳng, đường trịn 4.6.2 Có ràng buộc Elip 4.6.3 Có ràng buộc khác 68 68 68 69 69 70 70 70 71 71 71 72 72 73 73 73 74 74 74 75 75 79 80 2.6 Giới thiệu Cuốn sách tổng hợp lý thuyết dạng tốn cơng thức nhanh giải tập giải tích 12 nhằm giúp học sinh ơn thi THPTQG đầy đủ thuận tiện Lục Trí Tuyên http://hoctracnghiem.vn/ ĐT: 0972.17.77.17 Chương KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG 1.1 Sự biến thiên hàm số 1.1.1 Điều kiện đồng biến, nghịch biến Định lý 1.1.1: Điều kiện biến thiên Cho hàm số y = f (x) liên tục (a; b) có: f ′ (x) > ∀x ∈ (a; b) đồng biến (a; b) f ′ (x) < ∀x ∈ (a; b) nghịch biến (a; b) f ′ (x) = ∀x ∈ (a; b) ⇔ y = c (hàm hằng) (a; b) Điều ngược lại không bởi: Nếu f ′ (x) ≥ (hoặc f ′ (x) ≤ 0) ∀x ∈ (a; b) (không đổi dấu (a; b)) f (x) không hàm (a; b) hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) (a; b) y Trường hợp hàm (y = c) hàm số khơng đồng biến khơng nghịch biến miền xác định Về đặc đ iể m đồ t hị , hàm số y = f (x) đồng biến (a; b) đồ thị có hình dáng lên tính từ trái qua phải Hàm số nghịch biến (a; b) đồ thị có hình dáng xuống tính từ trái qua phải Ví dụ, với hàm số có đồ thị hình 1.1, ta thấy hàm số đồng biến khoảng (−∞; 0) (2; +∞) Hàm số nghịch biến (0; 2) Bảng b iế n th i ên công cụ trực quan để quan sát khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Chẳng hạn, hàm số y = −x4 + 4x2 − có bảng biến thiên hình 1.2 x √ − −∞ y′ + √ − + +∞ 2 x Hình 1.1: Đồ thị hàm số cho thấy hàm số đồng biến (−∞; 0) (2; +∞), nghịch biến (0; 2) Hình 1.2: Bảng biến thiên hàm số chỉ√ hàm số √ đồng biến khoảng (−∞; − √ √ 2) (0; 2), nghịch biến (− 2; 0) ( 2; +∞) − y −∞ −3 −∞ Nh , ta xét dấu đạo hàm hàm số thơng tin hàm số sáng tỏ Có thể nói, đạo hàm trái tim hàm số Do vậy, học sinh cần nắm quy tắc xét dấu hàm số (biểu thức biến) bất kỳ, làm chủ hàm số Lục Trí Tuyên Định lý 1.1.2: Quy tắc xét dấu f ′ (x) Hàm số y = f (x) có đạo hàm f ′ (x) tập xác định D (f ′ (x) không xác định D) Ta xét dấu f ′ (x) theo bước sau: • Tìm giá trị x ∈ D cho f ′ (x) = f ′ (x) không xác định (mẫu f ′ (x) = 0) Chẳng hạn x = x1 , x2 , • Lập bảng xét dấu f ′ (x) (cũng suy bảng biến thiên) cách kiểm tra dấu f ′ (x) khoảng định Có dạng: x −∞ y′ x1 x2 − + x3 + +∞ +∞ +∞ − Kiểm tra dấu cách thay khoảng giá trị đại diện vào f ′ (x) theo quy tắc: đổi dấu qua nghiệm bội lẻ không đổi dấu qua nghiệm bội chẵn f (x3 ) y −∞ −∞ f (x2 ) 1.1.2 Điều kiện tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng Định lý 1.1.3: Định lý dấu tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai P (x) = ax + bx + c, a ̸= + Với ∆ ≤ 0: a.P (x) ≥ ∀x ∈ R + Với ∆ > 0: a.P (x) > ⇔ x ∈ (−∞; x1 ) ∪ (x2 ; +∞) a.P (x) < ⇔ x ∈ (x1 ; x2 ) Hệ quả: P (x) ≥ ∀x ∈ R ⇔ P (x) ≤ ∀x ∈ R ⇔ Ch ú ý : Đối với hàm f (x) liên tục (a; b) có f ′ (x) khơng đồng thì1 : f (x) đồng biến (a; b) ⇔ f ′ (x) ≥ ∀x ∈ (a; b) f (x) nghịch biến (a; b) ⇔ f ′ (x) ≤ ∀x ∈ (a; b) Nếu f (x) liên tục [a; b] hàm số đồng biến (nghịch biến) khoảng (a; b) hay đoạn [a; b] tương đương Khi đó, tốn hỏi điều kiện biến thiên khoảng hay đoạn không cần phân biệt { a>0 ∆≤0 { a 0): z có CBH ± ⋆ Nếu z = a + bi với b ̸= 0: Có ζ = x + yi CBH z ⇔ ζ = z { x2 − y = a ⇔ , (x, y ∈ R) 2xy = b 4.1.3 Tính chất phép tốn Định lý 4.1.1: Tính chất phép tốn Các phép tốn số phức bảo tồn tính chất tập số thực bao gồm: giao hoán, kết hợp, phân phối, chuyển vế đổi dấu, nhân chéo, v.v Ngồi ra, phép tốn có thêm tính chất khác: Tính chất liên hợp: • z ± z = z1 ± z2 Tính chất mơ-đun: • z1 z2 = z1 z2 • |z1 z2 | = |z1 | |z2 | ( • z1 z2 ) = z1 z2 • |z1 ± z2 | ≤ |z1 | + |z2 | • |z1 | z1 = z2 |z2 | Một số l ưu ý , bất đẳng thức: |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |, dấu ”=” xảy z1 = kz2 với k > |z1 − z2 | ≤ |z1 | + |z2 |, dấu ”=” xảy z1 = kz2 với k < 69 Lục Trí Tuyên Cũng từ tính chất ta thấy |z n | = |z|n z n = z n Đố i vớ i số i, từ tính chất kết hợp phép nhân ta có 1 • z số thực ⇔ z − z = 1 i n i = −1 −i • z số ảo ⇔ z + z = với n với n chia dư với n chia dư { (1 + i)2 = 2i ⇒ (1 + i)n = (1 − i)2 = −2i ⇒ (1 − i)n = với n chia dư 4.2 Phương trình tập số phức 4.2.1 Phương trình bậc Định nghĩa 4.2.1: Phương trình bậc Phương trình bậc C có dạng az + b = (a ̸= 0, b ∈ C số), z ∈ C b Phương trình có nghiệm nhất: z = − a 4.2.2 Phương trình bậc hai Định nghĩa 4.2.2: Phương trình bậc hai với hệ số thực Phương trình bậc tập số phức có dạng az + bz + c = với a ̸= 0, b, c ∈ R z ∈ C Ta có: Nghiệm phương trình: • Có ∆ = b2 − 4ac Tính chất nghiệm: • Phương trình ln có nghiệm • Nếu có nghiệm z = x + yi (y ̸= 0, x, y ∈ R) nghiệm cịn lại z = x − yi • Gọi δ CBH ∆ Phương trình có nghiệm b z1 + z2 = − a • Định lý Vi-et: −b±δ c z1 z2 = z1,2 = 2a a c • Ln có |z1 |2 = |z2 |2 = a 70 http://hoctracnghiem.vn/ ĐT: 0972.17.77.17 4.2.3 Phương trình quy phương trình bậc hai Một số phương trình số phức quy bậc thường gặp Dạng Cách giải az + bz + c = az + b = kz + e cz + d az + bz + cz + d = (az + bz + c)2 + (a′ z + b′ z + c′ )2 = Đặt t = z az + bz + cz ± bz + a = Quy đồng nhân chéo Phân tích nhân tử + bz + c = ±i(a′ z + b′ z + c′ ) Chia vế cho z đặt t = (z ± ) z az 4.3 Tìm số phức thỏa mãn điều kiện Mục học sinh tìm hiểu tốn tìm số phức thỏa mãn hệ thức liên quan đến z |z| 4.3.1 Số phức thỏa mãn z1 z + z2 z = z3 Số phức liên hệ z z Tìm số phức z thỏa mãn z1 z + z2 z = z3 với z1 , z2 z3 số phức biết Cách • Gọi z = a + bi (a, b ∈ R) Cách • Liên hợp vế z2 z + z1 z = z3 • Từ z1 (a + bi) + z2 (a − bi) = z3 ⇔ Hệ phương • Kết hợp với z1 z + z2 z = z3 khử z trình ẩn a, b z1 z3 − z2 z3 • Giải hệ phương trình a, b (*) • Từ z = |z1 |2 − |z2 |2 Để d ễ nh cơng thức (*), ta xây dựng quy trình tìm z z1 z + z2 z = z3 sau: • Thêm ”trừ trên” z1 , ”trừ dưới” z2 vế trái z1 z − z2 z • Thay z z3 , z1 z3 − z2 z • Chia cho |z1 |2 − |z2 |2 71 Lục Trí Tuyên 4.3.2 Số phức thỏa mãn điều kiện chứa z, z |z| Số phức thỏa mãn hệ thức chứa z |z| Tìm số phức z thỏa mãn f (z, z, |z|) = (∗): • Gọi z = a + bi với a, b ∈ R • Thay vào (∗), rút gọn, cho phần thực phần ảo ta hệ phương trình ẩn a, b • Giải hệ phương trình tìm a, b ⇔ tìm z 4.3.3 Số phức thỏa mãn hệ thức chứa z |z| Số phức thỏa mãn hệ thức chứa z u(|z|) Dạng tổng quát F (z, u(|z|)) = với u(|z|) hàm phức ẩn |z| Cách Cách • Đặt z = a + bi với a, b ∈ R • Cô lập z dạng z = f (|z|) • Thay vào phương trình đồng phần • Lấy mơ-đun vế phương trình ẩn |z| thực, phần ảo hệ phương trình ẩn a, b • Tìm |z| thay vào F tìm z Cách toán phức tạp tạo thành hệ phương trình ẩn a, b khó giải Do đó, cách khuyến khích sử dụng cho dạng Ví dụ 4.3.1 √ Cho số phức z thỏa mãn (2 + i) |z| = 10 + − 2i Tìm |z| z Hướng dẫn Điều kiện z ̸= 0, quy đồng ta √ (2 + i) |z| z = 10 + z − 2iz √ ⇔√ (2 |z| − + (|z| + 2) i) z = 10 ⇒ (2 |z| − 1)2 + (|z| + 2)2 |z| = ⇒ 5|z| + 5|z| = 10 ⇒ |z| = 72 √ 10 http://hoctracnghiem.vn/ ĐT: 0972.17.77.17 4.4 Dạng lượng giác số phức (đọc thêm) 4.4.1 Định nghĩa dạng lượng giác số phức Định nghĩa 4.4.1: Dạng lượng giác số phức Cho số phức z = a + bi ̸= (a, b ∈ R) (còn gọi dạng đại số) Khi ) ( √ b a z = a2 + b2 √ +√ i a2 + b2 a2 + b2 ( √ a ( )2 √ b )2 = nên tồn góc φ ∈ [0; 2π) cho a2 + b2 a cos φ = √ b a + b2 tan φ = a b sin φ = √ 2 a +b √ √ Vậy z = a2 + b2 (cos φ + i sin φ) = r (cos φ + i sin φ) với r = |z| = a2 + b2 Do a2 + b2 + y: trục ảo Bây giờ, z = r(cos φ + i sin φ) gọi dạng lượng giác z • r mơ-đun z M (a; b) b r φ • φ cịn gọi Argumen z a x: trục thực 4.4.2 Ứng dụng dạng lượng giác số phức Định lý 4.4.1: Phép toán dạng lượng giác công thức Moivre Cho hai số phức dạng lượng giác z1 = r1 (cos φ1 + i sin φ1 ) z2 = r2 (cos φ2 + i sin φ2 ), ta có: Phép nhân chia • z1 z2 = r1 r2 (cos (φ1 + φ2 ) + i sin (φ1 + φ2 )) • z1 r1 = (cos (φ1 − φ2 ) + i sin (φ1 − φ2 )) z2 r2 Lũy thừa (công thức Moivre) • z n = rn (cos nφ + i sin nφ) ) ( φ + k2π φ + k2π √ √ + i sin , • n z = n r cos n n với k = 0, 1, 2, , n − 73 Lục Trí Tuyên 4.5 Biểu diễn hình học số phức 4.5.1 Xác định điểm biểu diễn số phức Định lý 4.5.1: Biểu diễn hình học số phức liên quan đến z Gọi M N điểm biểu diễn số phức z1 = a1 +b1 i = r1 (cos φ1 +i sin φ1 ) z2 = a2 +b2 i = r2 (cos φ2 + i sin φ2 ) Khi đó, Phép cộng, trừ, nhân với số thực: Phép nhân, chia, lũy thừa: −−→ −−→ −−→ { • P biểu diễn z1 + z2 ⇔ OP = OM + ON ⇔ ′ −−→ tịnh tiến M theo ON ⇔ tịnh tiến sang ngang • A biểu diễn z1 z2 ⇔ A = Q(O;φ2 ) (M ) A = V(O;r2 ) (A′ ) theo hoành độ a2 thẳng đứng theo tung độ b2 z1 • B biểu diễn (z2 ̸= 0) z2 B ′ = Q(O;−φ2 ) (M ) −−→ −−→ −−→ ⇔ • Q biểu diễn z1 − z2 ⇔ OQ = OM − ON ⇔ B = V (B ′ ) −−→ (O; r ) tịnh tiến M theo N O ⇔ tịnh tiến sang ngang theo hoành độ −a2 thẳng đứng theo tung • C biểu diễn z n (n ∈ N) { độ −b2 OC = OM n ⇔ (Ox, OC) = n(Ox, OM ) −−→ −−→ • R biểu diễn k.z1 (k ∈ R) ⇔ OR = k OM ⇔ R ảnh M qua phép vị tự tâm O tỉ số k (Ở (Ox, OM ) góc lượng giác tia đầu Ox tia cuối OM Ký hiệu Q(O;α) phép quay tâm O góc quay α V(O;k) phép vị tự tâm O tỉ số k) 4.5.2 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Kh i có vô số số phức z thỏa mãn hệ thức F (z, z, |z|) = tương ứng có vơ số điểm M biểu diễn số phức z Bài toán đặt điểm M thay đổi đường cố định nào, hay cách khác tập hợp điểm M đường Cách làm tổng quát sau: • Gọi z = x + yi (x, y ∈ R) M (x; y) • Thay z = x + yi vào F (z, z, |z|) = ⇔ f (x, y) = • Vậy M chạy đường (C) có phương trình f (x, y) = • Tập hợp M phần đồ thị (C) giới hạn điều kiện x y mà làm cho M tồn 74 http://hoctracnghiem.vn/ ĐT: 0972.17.77.17 Một số quỹ tích điểm biểu diễn số phức thường gặp Quy ước: Nói ”điểm biểu diễn z −→ điểm z” lưu ý |z1 − z2 | = M N với M, N điểm biểu diễn z1 z2 Khí đó, tập hợp điểm z thỏa mãn: • |z − z1 | = |z − z2 |: Là đường trung trực z1 z2 • |z − z1 | + |z − z2 | = |z1 − z2 |: Là đoạn thẳng z1 z2 • |z1 z − z2 | = |z4 z − z4 | với |z1 | ̸= |z3 |: Là đường trịn • |z − z0 | = R > 0: Là đường trịn tâm z0 bán kính R • |z − z1 | + |z − z2 | = 2a > |z1 − z2 |: Là Elip với tiêu cự 2c = |z1 − z2 | độ dài trục lớn 2a Ch ú ý: Có trường hợp điều kiện z khơng hồn tồn trùng khớp với dạng dễ dàng chuyển dạng Chẳng hạn: − 3i 2i = z− • |(1 + i)z + 2i| = |(1 − i)z − + 3i| ⇔ z + 1+i 1−i √ |1 + i| = |1 − i| = 2, • |(3 + 4i)z − + 3i| = ⇔ z − • |iz + 2| + |z − 4i| = ⇔ z + − 3i = 1, + 4i + |z − 4i| = 8, i ( nhờ vào biến đổi |z1 z + z2 | = z1 z2 z+ z1 ) = |z1 | z + z2 z1 4.6 GTLN-GTNN mô đun số phức Mục yêu cầu học sinh nắm kiến thức phần trước, đặc biệt biểu diễn hình học số phức bất đẳng thức mơ-đun 4.6.1 Có ràng buộc đường thẳng, đường tròn Dạng 1: Ràng buộc đường tròn Cho số phức z thỏa mãn |z1 z − z2 | = k > Tìm GTLN, GTNN T = |z − z0 | Cách g iả i: Gọi M điểm biểu diễn z, có |z1 z − z2 | = k⇔ z − k z2 = z1 |z1 | 75 Lục Trí Tuyên z2 k Vậy M chuyển động R = z1 |z1 | đường trịn tâm I bán kính R Gọi A điểm biểu diễn z0 T = AM Bài toán trở thành: “cho M di chuyển đường trịn tâm I bán kính R A điểm cố định Tìm GTLN, GTNN AM ” Như vậy, nhìn vào hình vẽ ta thấy ngay: z2 k ||z1 z0 − z2 | − k| T = |AI − R| = z0 − − = z1 |z1 | |z1 | ⇔ IM = R với I biểu diễn (C) z2 k |z1 z0 − z2 | + k + = z1 |z1 | |z1 | (tử số thay z0 vào phương trình đường trịn vậy) M2 -max M I M1 -min max T = AI + R = z0 − A −−→ − → Đẳng thức xảy M, I, A thẳng hàng hay AM = lAI ⇔ z − z0 = l(zI − z0 )(1) với zI số phức biểu diễn tâm I đường tròn Mặt khác, z thỏa mãn phương trình |z − zI | = R ⇔ |z − z0 + z0 − zI | = R Thay (1) vào ta |l − 1| |zI − z0 | = R ⇔ l = ± Khi đó, T đạt l = − z = z0 + l(zI − z0 ) R |zI − z0 | R R ; max T đạt l = + |zI − z0 | |zI − z0 | Chú ý: Khơng phải phương trình đường trịn có dạng |z1 z − z2 | = k > 0, mà đơi dạng |z1 z − z2 | = |z1 z − z3 | với |z1 | ̸= |z2 | Do đó, để kiểm tra điều kiện giả thiết phương trình đường trịn hay đường thẳng trường hợp lạ, cách tốt gọi z = x + yi thay vào giả thiết để biết (x; y) thỏa mãn phương trình Ví dụ 4.6.1 Cho số phức z thỏa mãn |z − + 2i| = Tìm GTLN GTNN T = |z + − i| Hướng dẫn Viết T dạng T = |z − z0 | z0 = −1+i Thay vào phương trình đầu ta |z0 − + 2i| = |−2 + 3i| √ √ Vậy P = − 13 max P = + 13 Ví dụ 4.6.2 Cho số phức z thỏa mãn |2iz − + 3i| = Tính GTLN, GTNN T = |z + − 3i| Hướng dẫn Viết T dạng T = |z − z0 | z0 = −2 + 3i Thay z0 vào √ |2iz − + 3i| ta |2iz0 − + 3i| = |−7 − i| = 76 http://hoctracnghiem.vn/ ĐT: 0972.17.77.17 √ √ 2+1 2−1 max P = Vậy P = 2 Ví dụ 4.6.3 Cho số phức z thỏa mãn |2z − 1| = |z + 2i| Tìm GTLN, GTNN T = |z + + 2i| Hướng dẫn Gọi z = x + yi (x, y ∈ R), M (x; y) biểu diễn z |2z − 1| = |z + 2i|⇔ (2x − 1)2 + (2y)2 = x2 + (y + 2)2 2 ⇔ 3x2 +3y −4x−4y−3 = ⇔ x2 +y − x− y−1 = Vậy 3 √ 1 11 M nằm đường tròn tâm I( ; ) bán kính R = 3 Có T = |z + + 2i| = √ AM với√ A(−1; −2) Vậy T = AI − R = 365 − 311 max T = AI + R = √ 65 √ + 11 Dạng 2: Ràng buộc đường thẳng Cho số phức z thỏa mãn |z − z1 | = |z − z2 | Tìm GTNN T = |z − z0 | M Cách g iả i: Nếu ta gọi M điểm biểu diễn z, A điểm biểu diễn z1 B biểu diễn z2 giả thiết tương đương với M A = M A hay M nằm trung trực AB Gọi I điểm biểu diễn z0 T = IM Vậy IM nhỏ M hình chiếu vng góc I lên d Giá trị nhỏ T = d (I, d) M -min d d(I, d) I Chú ý: Khơng phải phương trình đường thẳng có dạng |z − z1 | = |z − z2 |, gặp giả thiết lạ, cách tốt để nhận biết giả thiết đường thẳng hay đường tròn gọi z = x + yi thay vào phương trình Ví dụ 4.6.4 Cho số phức z thỏa mãn |z + i + 1| = |z − 2i| Tìm GTNN |z| Hướng dẫn Gọi z = x + yi M (x; y) điểm biểu diễn z Từ |z + i + 1| = |z − 2i| ⇔ (x + 1)2 + (y + 1)2 = x2 + (y + 2)2 ⇔ x − y − = (d) Vậy M di chuyển (d) Có |z| = OM , |z| nhỏ d(O; d) = √ 77 Lục Trí Tuyên Ví dụ 4.6.5 Cho số phức z thỏa mãn (z + − i) (z + + 3i) số thực Tìm giá trị nhỏ T = |z − + i| Hướng dẫn Gọi z = x + yi, ta có (z + − i) (z + + 3i)= ((x + 3) + (y − 1)i) ×((x + 1) + (−y + 3)i) Tích có phần ảo (x + 3) (−y + 3) + (y − 1) (x + 1) Phần ảo ⇔ 3x − 3y + − x + y − = ⇔ x − y + = (d) Vậy gọi M điểm biểu diễn z M chạy đường thẳng (d) Gọi A(1; −1) điểm biểu diễn − i T = AM Giá trị T nhỏ khoảng cách từ A đến (d) √ |1 + + 4| √ Vậy T = = 2 Ví dụ 4.6.6 Cho số phức z thoả mãn |z + − i| + |z − + 7i| = 10 Tìm GTLN, GTNN P = |z − − 4i| Hướng dẫn Gọi F1 (−2; 1), F2 (4; −7) A(1; 4) M điểm biểu diễn z Có F1 F2 = 10 |z + − i| + |z − + 7i| = 10 ⇔ M thuộc đoạn thẳng F1 F2 −−−→ Có F1 F2 = (6; −8) nên phương trình tham số F1 F2 : { x = −2 + 3t y = − 4t Với x ∈ [−2; 4] ⇒ t ∈ [0; 2] Có P = (x − 1)2 +(y − 4)2 = (3t − 3)2 +(4t + 3)2 = 25t2 + 6t + 18 với ⇒ t ∈ [0; 2] Khảo sát hàm f (t) = 25t2 + 6t + 18 [0; 2] GTNN f (t) 18, GTLN 130 √ √ Vậy P = max P = 130 78 http://hoctracnghiem.vn/ ĐT: 0972.17.77.17 Dạng 3: Ràng buộc gồm đường thẳng đường tròn Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 − z1∗ | = R |z2 − z2∗ | = |z2 − z3∗ | , với z1∗ , z2∗ , z3∗ cho trước Tìm GTNN T = |z1 − z2 | M Cách g iả i: Gọi M, N điểm biểu diễn z1 , z2 Giả thiết |z1 − z1∗ | = R tương đương với M thuộc đường trịn tâm I bán kính R (gọi đường tròn (C)) Giả thiết |z2 − z2∗ | = |z2 − z3∗ | tương đương với N thuộc đường thẳng (d) Bài tốn trở thành tìm M thuộc (C) N thuộc (d) cho T = M N ngắn Từ hình vẽ ta thấy giá trị nhỏ M N d(I, (d))− N R Vậy T = d (I, (d)) − R I M -min d(I, d) − R N -min d Ví dụ 4.6.7 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn |z1 + 5| = |z2 + − 3i| = |z2 − − 6i| Tìm giá trị nhỏ T = |z1 − z2 | Hướng dẫn Gọi M, N điểm biểu diễn z1 , z2 Giả thiết |z1 + 5| = tương đương M thuộc đường tròn tâm I(−5; 0) bán kính R = Giả thiết |z2 + − 3i| = |z2 − − 6i| ⇔ N thuộc đường thẳng (d): 8x + 6y − 35 = 15 Vậy M N = d(I, (d)) − R = −5= 2 4.6.2 Có ràng buộc Elip Ph ương t rìn h E l ip với số p h ứ c có dạng: |z − z1 | + |z − z2 | = 2a (∗) với |z1 − z2 | = 2c < 2a, a, c > Thật vậy, gọi F1 , F2 biểu diễn z1 , z2 M biểu diễn z Khi đó, (∗) ⇔ M F1 + M F2 = 2a > F1 F2 nên tập hợp M Elip với: • Độ dài trục lớn: 2a • Tiêu điểm F1 , F2 nên tiêu cự 2c = F1 F2 √ • Độ dài trục lớn 2b = a2 − c2 79 Lục Trí Tuyên Bài toán: Cho số phức z thỏa mãn |z − z1 | + |z − z2 | = 2a với |z1 − z2 | = 2c < 2a, a, c > Tìm GTLN, GTNN biểu thức P = |z − z0 | Tương đương với: Cho điểm M chuyển động Elip (E) Tìm GTLN, GTNN P = AM với A điểm biểu diễn z0 Đặt z0 − z1 + z2 =k k khoảng cách từ A đến tâm Elip Ta có trường hợp sau giải xác GTLN, GTNN P Tổng hợp trường hợp giải tay { (1) Elip dạng tắc: |z − c| + |z + c| = 2a |z − ci| + |z + ci| = 2a c2 k > (2.1) Nếu thấy a z0 − z1 = l (z0 − z2 ) c2 k ≤ (2.2) Nếu thấy a z0 − z1 = l (z0 − z2 ) c2 k > (2.3) Nếu thấy b |z0 − z1 | = |z0 − z2 | c2 k ≤ (2.4) Nếu thấy b |z0 − z1 | = |z0 − z2 | { x = a cos t x = b cos t - Đặt y = b sin t y = a sin t - Thay vào P = f (t), t ∈ [0; 2π] - Khảo sát f (t) (với điều kiện giải f ′ (t) = cách tường minh) max P = k + a; P = |k − a| max P = k + a; P = max P = k + b; P = |k − b| max P = a√ k + c2 ; P = |k − b| c 4.6.3 Có ràng buộc khác Dạng 1: Tổng tuyến tính mô-đun hai số phức Cho |z1 | = m, |z2 | = n |az1 + bz2 | = p Tính q = |cz1 + dz2 | Bà i g iả i: Coi z1 = ⃗u z2 = ⃗v ⃗u2 = |⃗u|2 = m2 , ⃗v = |⃗v |2 = n2 (a⃗u + b⃗v )2 = p2 ; (c⃗u + d⃗v )2 = p2 Khai triển: p2 = a2 m2 + b2 n2 + 2ab.⃗u.⃗v 2 2 q = c m + d n + 2cd.⃗u.⃗v 80 b√ k + c2 c (4.1) (4.2) http://hoctracnghiem.vn/ ĐT: 0972.17.77.17 Bây khử ⃗u.⃗v xong: Nhân (4.1) với cd nhân (4.2) với ab trừ đi, được: ( ) ( ) cd.p2 − ab.q = cd a2 m2 + b2 n2 − ab c2 m2 + d2 n2 ⇔ cd.p2 − ab.q = acm2 (ad − bc) − bdn2 (−bc + ad) ⇔ cd.p2 − ab.q = (ad − bc)(acm2 − bdn2 ) Đặc biệt: Khi a = b = c = −d = 1, ta có cơng thức hình bình hành ( ) |z1 |2 + |z2 |2 = |z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 Dạng 2: Đòn bẩy cân Cho số phức z thỏa mãn |z − z0 | = R Tìm GTLN P = a |z − z1 | + b |z − z2 | biết z0 − z1 = −k (z0 − z2 ), k > a, b ∈ R+ Bài giải M Gọi M, I điểm biểu diễn z, z0 A, B biểu diễn z1 , z2 Giả thiết z0 − z1 = −k (z0 − z2 ), k > có nghĩa I, A, B thẳng hàng Bài toán trở thành toán hình học: Cho điểm M chuyển động đường trịn tâm I bán kính R Cho A, B điểm cố định thỏa mãn I nằm đoạn thẳng AB Tìm giá trị lớn P = aM A + bM B A I B Nếu I trung điểm AB theo cơng thức trung tuyến ta có: M A2 + M B AB AB M I2 = − ⇒ M A2 + M B = 2R2 + (không đổi) Áp dụng bất đẳng thức B.C.S, ta có: P = (aM A + bM B)2≤ (a2 + b2 )(M A2 + M B ) (không đổi) MA MB = Đẳng thức xảy a b M ∈ (I; R) Nếu a = b M giao điểm đường trịn (I; R) với đường trung trực AB Nếu a ̸= b M giao điểm đường trịn (I; R) với đường tròn Apollonius (xem [?]) tỉ số a : b dựng hai tiêu điểm A, B Nếu I khơng trung điểm AB việc giải hình học bất khả thi Bài tốn dễ dàng giải dựa vào tính chất mơ-đun số phức Ta có: |z − z1 |2 = |z − z0 + z0 − z1 |2 = |z − z0 |2 + |z0 − z1 |2 + 2⃗u.(−k⃗v ) (1) |z − z2 |2 = |z − z0 + z0 − z2 |2 = |z − z0 |2 + |z0 − z2 |2 + 2⃗u.⃗v (2) Trong đó, ⃗u vector biểu diễn z − z0 ⃗v vector biểu diễn z0 − z2 với lưu ý z0 − z1 = −k (z0 − z2 ) Nhân (2) với k cộng với (1) ( ta được: ) |z − z1 |2 + k|z − z2 |2 = (1 + k) R2 + k|z0 − z2 |2 (không đổi) Áp dụng bất đẳng thức B.C.S cho P , ta có: P = (a |z − z1 | + b |z − z2 |)2 ( )2 ( ) ( ) b √ b = a |z − z1 | + √ k |z − z2 | ≤ a2 + |z − z1 |2 + k|z − z2 |2 k k 81 Lục Trí Tuyên ( ⇒ P2 ≤ a2 b2 + k ) ( ) (1 + k) R2 + k|z0 − z2 |2 MA kM B = hay M giao điểm đường tròn (I; R) với đường tròn Apola b lonius tỉ số ak : b với tiêu điểm A, B Đẳng thức xảy Dạng 3: Sử dụng phép nghịch đảo Cho số phức z thỏa mãn |z − z0 | = R Tìm GTNN P = |z − z1 | + k |z − z2 | biết |z0 − z1 | |z1 − z0 | > R; |z2 − z0 | > R , k = R Lời giải Ý nghĩa hình học: Gọi I điểm biểu diễn z0 M, A, B biểu diễn z, z1 , z2 toán trở thành: IA Cho hai điểm A, B nằm ngồi đường trịn tâm I bán kính R số thực k = Tìm GTNN T = R M A + kM B Lấy điểm A′ đoạn IA cho IA′ IA = R2 R2 − −→′ → ⇒IA = IA ⇒ A’ cố định (A’ gọi ảnh IA2 A qua phép nghịch đảo tâm I tỉ số R2 ) Khi IA′ IM I ta có = ⇒ ∆IA′ M ∼ ∆IM A (c.g.c) IM IA IA′ IA = R2 IA′ MA IA M A′ = ⇒ = Mà giả thiết cho ⇒ R MA IM M A′ R A′ IA nên M A = kM A′ Vậy T = M A + kM B = k= R M k (M A′ + M B) ≥ kA′ B Vì B nằm ngồi đường trịn A′ nằm đường tròn nên dấu “=” xảy A A′ B cắt đường tròn B 1− −→ → Đáp số: T = kA′ B với A′ điểm thỏa mãn IA′ = IA k Dạng 4: Dùng bất đẳng thức mô-đun z0 ≤ k, (k > 0) hay dạng tương đương z + z0 ≤ k |z| , (k > 0) z Tìm GTLN, GTNN T = |z| Cho số phức z thõa mãn z + Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức ||z1 | − |z2 || ≤ |z1 + z2 |, ta có |z|2 − |z0 | ≤ z + z0 Mặt khác, z + z0 ≤ k |z| ⇒ |z|2 − |z0 | ≤ k |z| { |z|2 − k |z| − |z0 | ≤ ⇒ −k |z| ≤ |z|2 − |z0 | ≤ k |z| ⇒ |z|2 + k |z| − |z0 | ≥ √ √ −k + k + |z0 | k + k + |z0 | ⇔ ≤ |z| ≤ 2 82 http://hoctracnghiem.vn/ ĐT: 0972.17.77.17 z = −lz0 (với l > 0)(1) √ Đẳng thức xảy k + |z0 | ± k |z| = (2) Hệ dễ dàng giải cách lấy mô-đun vế (1) (2) vào tìm l Khi có l, thay trở lại (1) tìm z CBH −lz0 √ √ k + k + |z0 | −k + k + |z0 | max T = Vậy T = 2 83 ... 1 7 10 12 12 13 14 15 15 15 16 17 17... LỤ C T R Í T U Y Ê N T Ổ N G H Ợ P LÝ T H U Y Ế T GIẢI TÍCH 12 N H À X U ẤT B Ả N H O C T R A C N G H I E M V N Bản quyền © 2019 Lục Trí Tun xuất bả n n h... Giới thiệu Cuốn sách tổng hợp lý thuyết dạng tốn cơng thức nhanh giải tập giải tích 12 nhằm giúp học sinh ôn thi THPTQG đầy đủ thuận tiện Lục Trí Tuyên http://hoctracnghiem.vn/ ĐT:
