TOÁN 11: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC.. 1..[r]

Xét mệnh đề P(n): Xét mệnh đề P(n):

( 1)

1

2 n n

n 

     nnN* N* Với n = 1, 2, 3, P(n) hay sai?

1, 1,

n  VT  VP  Đ 2(2 1)

2, 3,

2

n  VT    VP   

Đ

3(3 1)

3, 6,

2

n  VT     VP    Đ

4(4 1)

4, 10, 10

2

Bài 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

1 Phương pháp qui nạp toán học

Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên với n mà thử trực tiếp ta có thể làm sau:

*

Bài 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC

1 Phương pháp qui nạp tốn học

B1: Kiểm tra mệnh đề với n=1

B2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n=k (giả thiết quy nạp)



Bài 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TỐN HỌC

2 Các ví dụ :

VD1

VD1: Chứng minh với n: Chứng minh với nN*, ta có: N*, ta có:

( 1)

1 (1)

2 n n

n 

VD1

VD1: Chứng minh với n: Chứng minh với nN*, ta có: N*, ta có:

( 1)

1 (1)

2

n n

n 

    

Giải:

B1 Với n = 1, VT=1, VP=1 (1) n=1 B2 Giả sử (1) với n = k ≥ 1, nghĩa

( 1)

1 (*)

2

k k

k 

VD1

VD1: Chứng minh với n: Chứng minh với nN*, ta có: N*, ta có: ( 1)

1 (1)

n n

n 

    

Giải:

Ta chứng minh (1) với n = k+1, tức phải chứng minh:

( 1)( 2) ( 1)

2

k k

k k  

( 1)( 2) ( 1)

2

k k

k k  

       ( 1) ( 1) k k k     VP 

Vậy (1) chứng minh

 1

k

k  

      

 1

2 k

k   

     

(1 ) ( 1)

B1 Với n=1 VT=2, VP=2 Vậy (2) n=1

B2 Giả sử (2) với n = k ≥ 1, nghĩa

2

3 7 4

2

k  k  

BÀI PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Để chứng minh mệnh đề với (p số tự nhiên) thì:

n p

n k p 

B1: Kiểm tra mệnh đề với n=p

B2: Giả sử mệnh đề với (Giả thiết quy nạp)

Ta chứng minh mệnh đề với n=k+1

2 Các ví dụ:

3k  3k 1

Với n = 2, 9>7 , (3) n=2

Giả sử (3) với n = k≥ 2, nghĩa là:

( Giả thiết quy nạp )

Ta phải chứng minh bđt với n = k+ 1, tức là: 3k1 3(k 1) 1

  

 

: n N n, ta : 3n 3n

    

3k  3k 1

Với n = 2, 9>7 , (3) n=2

Giả sử (3) với n = k≥ 2, nghĩa là:

( Giả thiết quy nạp )

Ta phải chứng minh bđt với n = k+ 1, tức là:

Thật vậy: theo giả thiết quy nạp có:

3k  3k  1 3 3(3k  k 1)  3k1  3(3k 1)

3k 3k 4

 

 

: n N n, 2 ta : 3n  3n 1

1

3k 9k

  

1

3k 3k 6k

    

ì k  2 6k   1

V (3k + 4)+ (6k - 1) > 3k + 4

Vậy: n   2, n N cã : 3n  3n 1

1

3k 3k

  

 

: n N n, ta : 3n 3n

    

1.n 1: 3

B   Vậy (4) với n=1

Giả sử (4) với n = k≥ 1, nghĩa là:

( Giả thiết quy nạp )k 2k 3

 

Ta phải chứng minh (4) với n = k+ 1, tức là: (k 1)3 2(k 1) 3

Bài 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

1 Phương pháp qui nạp toán học

B1: Kiểm tra mệnh đề với n=1

B2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n=k (giả thiết quy nạp)



BÀI PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Để chứng minh mệnh đề với (p số tự nhiên) thì:

n p

n k p 

B1: Kiểm tra mệnh đề với n=p

B2: Giả sử mệnh đề với (Giả thiết quy nạp)

Ta chứng minh mệnh đề với n=k+1

2 Các ví dụ:

BÀI TẬP

1) Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến P(n) với số tự nhiên

Ở bước chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng:

A. n = B. n = C. n = D. n =

*



BÀI TẬP

2) Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến P(n) với số tự nhiên n p ( p số tự nhiên) Ở bước ta giả thiết mệnh

đề P(n) với n = k Khẳng định sau đúng?

A. k p        B. k chia hết cho

BÀI TẬP

3) Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến P(n) với số tự nhiên n ≥ p (p số tự nhiên) Ở bước chứng minh quy nạp, bắt đầu với n bằng:

BÀI TẬP

4) Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến P(n) với số tự nhiên n ≥ p (p số tự nhiên) Ở bước chứng minh quy nạp, Giả sử mệnh đề với (Giả thiết quy nạp)

Ta chứng minh mệnh đề với

A. n = B. n = p C. n = p+1 D. n = k+1