Nghiên cứu nội lực và chuyển vị của dầm bằng phương pháp sai phân hữu hạn

Các trình bày ở trên là ví dụ sử dụng trực tiếp nguyên lý cực trị Gauss, so sánh hệ cần tính với chính hệ đó khi hoàn toàn tự do (khi giải phóng các liên kết) , để nhận được hệ phương[r]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHÒNG -

TRỊNH HIẾU ĐÔNG

NGHIÊN CỨU NỘI LỰC VÀ CHUYỂN VỊ CỦA DẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN

Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Cơng trình Dân dụng & Cơng nghiệp

Mã số: 60.58.02.08

LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết luận văn trung thực chưa công bố công trình khác

Tác giả luận văn

LỜI CẢM ƠN

Tác giả luận văn xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc TS Phạm Văn Đạt tận tình giúp đỡ cho nhiều dẫn khoa học có giá trị thường xuyên động viên, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn nhà khoa học, chuyên gia ngồi trường Đại học Dân lập Hải phịng tạo điều kiện giúp đỡ, quan tâm góp ý cho luận văn hoàn thiện

Tác giả xin trân trọng cảm ơn cán bộ, giáo viên Khoa xây dựng, Phòng đào tạo Đại học Sau đại học - trường Đại học Dân lập Hải phòng, đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trình nghiên cứu hoàn thành luận văn

Tác giả luận văn

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

CHƯƠNG 1: CÁC NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN

THƯỜNG DÙNG TRONG CƠ HỌC

1.1 Phép tính biến phân [1, 2, 3]

1.2 Nguyên lý biến dạng tối thiểu 11

1.3 Nguyên lý công bù cực đại 12

1.4 Nguyên lý công ảo [4, 5] 13

1.5 Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss 14

1.5.1 Nguyên lý Gauss 14

1.5.2 Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss 16

1.5.2.1.Cơ học chất điểm 16

1.5.2.2.Cơ học môi trường liên tục 18

1.5.3 Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss (tiếp theo) 24

1.5.4 Sử dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss thiết lập phương trình vi phân cân dầm 28

1.5.5 Sử dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss thiết lập phương trình vi phân dao động dầm 29

1.5.6 Sử dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss thiết lập phương trình vi phân cân thẳng chịu uốn dọc 31

CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT DẦM CHỊU UỐN 33

2.1 Lý thuyết dầm Euler – Bernoulli [1] 33

2.1.1 Dầm chịu uốn túy phẳng 33

2.1.2 Dầm chịu uốn ngang phẳng 35

2.2 Lý thuyết dầm xét biến dạng trượt ngang 38

3.1 Phương pháp sai phân hữu hạn 44

3.1.1 Biểu diễn đạo hàm cấp phương pháp sai phân hữu hạn 44

3.1.1.1.Biểu diễn đạo hàm parabôn nội suy 44

3.1.1.2.Biểu diễn đạo hàm phép triển khai Taylor 46

3.1.1.3.Sai phân lùi (sai phân lệch trái) 49

3.1.1.4.Sai phân tiến 54

3.1.1.5.Sai phân trung tâm 57

3.2 Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn tính tốn dầm chịu uốn có điều kiện biên khác 62

3.2.1 Phương trình vi phân cân dầm 62

3.2.2 Các bước thực 63

3.2.3 Các ví dụ tính tốn 63

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 78

MỞ ĐẦU 1 Lý nghiên cứu đề tài

Trong lĩnh vực thiết kế kết cấu cơng trình, kết cấu máy v.v kỹ thuật tính tốn đại tạo nên khả mặt chất lượng Những khả tận dụng cách đầy đủ qua sử dụng phương pháp rời rạc hóa phương pháp số học kết cấu Các phương pháp cho phép lập chương trình tính tốn máy tính điện tử kết cấu chịu lực có mức độ phức tạp với điều kiện biên tải trọng Theo sơ đồ tính tốn thực nghiên cứu tĩnh học, động học ổn định kết cấu, kể đến cách hiệu đặc trưng phi tuyến vật liệu, đặc thù kết cấu chuyển vị lớn tác động phức tạp động đất, nổ

Trong học kết cấu cổ điển mục đích tìm nghiệm liên tục, mà điều thực số hạn chế toán Do vậy, với toán lại vận dụng phương pháp riêng để tìm lời giải cho Khác với phương pháp học kết cấu cổ điển, vận dụng số loại phương pháp số theo sơ đồ tương đối thống dẫn đến chương trình tính máy tính điện tử với tính chất vạn

Phương pháp sai phân hữu hạn hai phương pháp số với phương pháp phần tử hữu hạn mà ngày dùng phổ biến không cần bàn cãi toán kỹ thuạt nói chung tốn kết cấu cơng trình nói riêng

2 Đối tượng, phương pháp phạm vi nghiên cứu

Trong luận văn này, tác giả dùng phương pháp sai phân hữu hạn để nghiên cứu nội lực chuyển vị dầm chịu tác dụng tải trọng tĩnh

3 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu đề tài “Tính tốn nội lực chuyển vị dầm phương pháp sai phân hữu hạn”

4 Nội dung nghiên cứu

- Trình bày nguyên lý biến phân thường dùng học - Trình bày lý thuyết dầm chịu uốn

CHƯƠNG

CÁC NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN THƯỜNG DÙNG TRONG CƠ HỌC

Trong chương trình bày nguyên lý biến phân thường dùng học, trình bày phép tính biến phân, nguyên lý biến dạng tối thiểu, nguyên lý công bù cực đại, nguyên lý chuyển vị ảo, nguyên lý cực trị Gauss cuối phương pháp nguyên lý cực trị Gauss

1.1. Phép tính biến phân [1, 2, 3]

Định nghĩa biên phân δy: Biến phân δy hàm y(x) biến độc lập x hiệu hàm Y(x) với hàm y(x)

δy = Y(x) -y(x) (1.1) Từ (1.1) ta thấy biến phân δy làm thay đổi quan hệ hàm y(x) khơng nên nhầm số gia Δy có số gia Δx, Δy =y(x+Δx)-y(x) Trong trường hợp quan hệ hàm y(x) không thay đổi

Biến phân δy:’ Nếu hàm y biến phân δy có đạo hàm theo x biến phân δy’ có biến phân δy là:

δy′ = δ𝑑𝑦 𝑑𝑥 =

𝑑

𝑑𝑥δy = Y'(x)−y′(x) (1.2)

Trong (1.2) ký hiệu biến phân δ ký hiệu đạo hàm 𝑑

𝑑𝑥 hốn đổi vị trí

cho (tính chất giao hoán) Nếu cho hàm

𝐹 = 𝐹(𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, … 𝑦𝑛; 𝑥)

thì số gia ΔF có biến phân 𝛿𝑦𝑖 xác định sau Δ𝐹 = {

𝐹(𝑦1 + 𝛿𝑦1, 𝑦2+ 𝛿𝑦2, 𝑦3+ 𝛿𝑦.3, … 𝑦𝑛 +

… 𝛿𝑦𝑛 ; 𝑥) − 𝐹(𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, … 𝑦𝑛; 𝑥) } ; Nếu cho hàm

𝐹 = 𝐹(𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, … 𝑦𝑛, 𝑦′1, 𝑦′2, 𝑦′3, … 𝑦′𝑛; 𝑥) số gia ΔF có biến phân 𝛿𝑦𝑖, 𝛿𝑦′𝑖 xác định sau

Δ𝐹 =

𝐹 {(

𝑦1 + 𝛿𝑦1, 𝑦2+ 𝛿𝑦2, 𝑦3+ 𝛿𝑦.3, … 𝑦𝑛+ 𝛿𝑦𝑛, 𝑦′1 + 𝛿𝑦′1, … 𝑦′2+ 𝛿𝑦′2, 𝑦′3+ 𝛿𝑦′3, … + 𝑦′𝑛,… + 𝛿𝑦′𝑛; 𝑥) − (𝑦′1 + 𝛿𝑦′1, 𝑦′2+ 𝛿𝑦′2, 𝑦′3+ 𝛿𝑦′3, … , 𝑦′𝑛+ 𝛿𝑦′𝑛; 𝑥)

} + −𝐹{𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, … 𝑦𝑛, 𝑦′1, 𝑦′2, 𝑦′3, … 𝑦′𝑛; 𝑥}

Nếu hàm F liên tục đến đạo hàm bậc hai thi số gia ΔF viết tương tự theo cơng thức Taylor hàm 𝐹 = 𝐹(𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛) với ý đại lượng biến thiên 𝑥𝑖 cịn trường hợp xét hàm 𝑦𝑖 có hai đại lượng biến thiên biến phân 𝛿𝑦𝑖 , 𝛿𝑦𝑖′ Ta có:

ΔF=∑ {𝜕𝐹 𝜕𝑦𝑖𝛿𝑦𝑖 𝑛

1 +

𝜕𝐹 𝜕𝑦′ 𝑖

𝛿𝑦′𝑖} +

2{ ∑ ∑

𝜕2𝐹 𝜕𝑦𝑖𝜕𝑦𝑘 𝑛

𝑘=1 𝛿𝑦𝑖𝛿𝑦𝑘 𝑛

𝑖=1 +

+∑ ∑ 𝜕

2𝐹 𝜕𝑦𝑖𝜕𝑦′𝑘 𝑛

𝑘=1 𝛿𝑦𝑖𝛿𝑦′𝑘 𝑛

𝑖=1 +∑ ∑

𝜕2𝐹 𝜕𝑦′𝑖𝜕𝑦′𝑘 𝑛

𝑘=1 𝛿𝑦′𝑖𝛿𝑦′𝑘 𝑛

𝑖=1 } +𝜀(𝜌2)

(1.3)

Biểu thức 𝜀(𝜌2) vô bé bậc hai 𝜌

𝜌 = √𝛿𝑦12 + 𝛿𝑦′12 + 𝛿𝑦22 + 𝛿𝑦′22+ ⋯ 𝛿𝑦𝑛2 + 𝛿𝑦′𝑛2

Thành phần có đạo hàm bậc (1.3) gọi biến phân bậc F ký hiệu 𝛿𝐹, thành phần có đạo hàm bậc hai (1.3) khơng có hệ số ½ gọi biến phân bâc hai ký hiệu 𝛿2𝐹 Như vậy,

các biến phân 𝛿𝐹, 𝛿2𝐹 số gia hàm F có biến phân 𝛿𝑦𝑖, 𝛿𝑦′𝑖

Phương trình Euler:

Tìm cực trị (giá trị max) phiếm hàm sau

𝑍 = ∫ 𝐹(𝑦, 𝑦𝑥1𝑥2 ′, 𝑥)𝑑𝑥 (1.4) với hai cận tích phân , x1 x2, cho Trong toán hàm y(x) y’(x) hàm chưa biết , cần tìm cho phiếm hàm Z đạt cực trị

Theo qui tắc tìm cực trị số gia bậc Z phải không hay

𝛿𝑍 = Đưa biến phân bậc Z lấy theo (1.3) vào (1.4), ta có:

𝛿𝑍 = ∫ 𝛿𝐹𝑥1𝑥2 𝑑𝑥 = ∫ (𝑥1𝑥2 𝜕𝐹𝜕𝑦𝛿𝑦+ 𝜕𝐹

𝜕𝑦′𝛿𝑦′)𝑑𝑥 = (1.5)

∫ 𝜕𝑦𝜕𝐹′𝛿𝑦′𝑑𝑥 = ∫ 𝜕𝑦𝜕𝐹′𝑑(𝛿𝑦) = 𝜕𝐹

𝜕𝑦′𝛿𝑦|𝑥1

𝑥2− ∫ 𝑑 𝑑𝑥(

𝜕𝐹

𝜕𝑦′) 𝛿𝑦𝑑𝑥 𝑥2

𝑥1

𝑥2 𝑥1 𝑥2

𝑥1

Phương trình (1.5) viết lại sau: 𝜕𝐹

𝜕𝑦′𝛿(𝜕𝑦| 𝑥2

𝑥1) + ∫ ( 𝜕𝐹 𝜕𝑦 − 𝑥2 𝑥1

𝑑 𝑑𝑥

𝜕𝐹

𝜕𝑦′)𝛿𝑦𝑑𝑥 = (1.6)

Bởi 𝛿𝑦 đại lượng từ (1.6) ta có 𝜕𝐹

𝜕𝑦 − 𝑑 𝑑𝑥(

𝜕𝐹

𝜕𝑦′) = (1.7)

Phương trình (1.7) gọi phương trình Euler

Thành phần đầu (6) điều kiện tai cận cận x1 x2 Nếu giá trị hàm tai x1 x2 ,y(x1) y(x2) biết 𝛿𝑦𝑥1 = 𝛿𝑦𝑥2 = cho nên phương trình Euler (1.7) điều kiện cần dể phiếm hàm (1.4) có cực trị

Nếu giá trị y(x1) y(x2) hai khơng xác định từ phương trình (1.6), ngồi phương trình Euler cịn phải xét thêm hoăc hai điều kiện sau

𝜕𝐹

𝜕𝑦′𝑥1 = (1.8)

𝜕𝐹

𝜕𝑦′𝑥2 = (1.9)

Nếu phiếm hàm (1.4) chứa dạo hàm bậc cao , ví dụ bậc p: 𝑍 = ∫ 𝐹(𝑦, 𝑦𝑥1𝑥2 ′, 𝑦′′, … 𝑦(𝑝), 𝑥)𝑑𝑥 (1.10) đưa 𝛿𝐹 từ (1.3) vào (1.10) thực tích phân phần nhiêu lần ta nhận phương trình Euler (1.10) Đối với phiếm hàm (1.10) ta có cơng thức tổng qt sau []

∑ (−1)𝑝 𝜕𝑝 𝜕𝑥𝑝(

𝜕𝐹

𝜕𝑦(𝑝)) = 𝑝

𝑝=0 (1.11)

Khi hàm dấu tích phân chứa nhiều hàm 𝑦𝑖 với i=1,2,3,…n ứng với hàm

𝑦𝑖 ta có phương trình Euler dạng (1.7) (1.11)

Đối với toán học tốn có ý nghĩa vật lý rõ ràng phương trình Euler giải với điều kiện biên có nghiệm nghiệm

Phép tính biến phân với nguyên lý chuyển vị ảo công cụ tốn học hữu ích để xây dựng phương trình cân phương trình chuyển động điều kiện biên toán học

1.2. Nguyên lý biến dạng tối thiểu

Khi phương trình cân biểu thị qua ứng suất nội lực biến dạng biểu thị qua ứng suất nội lực ta có nguyên lý biến dạng cực tiểu, nguyên lý Castiliano (1847-1884) Nguyên lý phát biểu sau:

Trong tất trạng thái cân lực trạng thái cân bằng thực xảy biến dạng cực tiểu

Trạng thái cân lực trạng thái mà lực tác dụng lên phân tố thỏa mãn phương trình cân Ta viết nguyên lý dạng sau:

 F min

Với ràng buộc phương trình cân viết dạng lực Đối với dầm ta có:

П = 2∫

𝑀2 𝐸𝐽 𝑙

0 𝑑𝑥 → 𝑚𝑖𝑛 (1.12) 𝑑2𝑀

𝑑𝑥2 = −𝑞 (1.13)

Nội lực cần tìm mômen uốn hàm phân bố theo chiều dài dầm M(x) phải thỏa mãn điều kiện liên kết hai đầu (được xác định hai đầu thanh) Đây tốn cực trị có ràng buộc Bằng cách dùng thừa số Lagrange 𝜆(𝑥) đưa tốn khơng ràng buộc sau:

П = 2∫

𝑀2 𝐸𝐽 𝑙

0 𝑑𝑥 + ∫ 𝜆(𝑥) [ 𝑑2𝑀

𝑑𝑥2 + 𝑞] 𝑙

0 𝑑𝑥 → 𝑚𝑖𝑛 (1.14)

𝜆(𝑥) thừa số Lagrange ẩn tốn Theo phép tính biến phân từ phiếm hàm (1.14) ta nhận hai phương trình sau (phương trình Euler– Lagrange)

𝑀 = −𝐸𝐽𝑑2𝜆

𝑑2𝑀

𝑑𝑥2 = −𝑞 (1.16)

𝜆(𝑥) có thứ nguyên chuyển vị phương trình (1.15) biểu thị quan hệ M chuyển vị Thế (1.15) vào (1.16) ta có:

𝐸𝐽𝑑4𝜆

𝑑𝑥4 = 𝑞 (1.17)

𝜆(𝑥) độ võng dầm phương trình (1.17) phương trình vi phân cân dầm viết theo chuyển vị nhận

1.3. Nguyên lý công bù cực đại

Khi dùng ẩn chuyển vị biến dạng có ngun lý công bù cực đại

Trong tất chuyển vị động học (khả dĩ) chuyển vị thực chuyển vị có cơng bù cực đại

Chuyển vị động học chuyển vị thỏa mãn phương trình liên hệ chuyển vị biến dạng thỏa mãn điều kiện biên Cơng bù tích ngoại lực chuyển vị trừ lượng biến dạng

[Công ngoại lực – biến dạng]→max Với ràng buộc phương trình liên hệ chuyển vị biến dạng Lấy ví dụ dầm chịu uốn, ta có

∫ 𝑞𝑦𝑑𝑥 − 0𝑙 12∫ 𝐸𝐽𝑙 2

0 𝑑𝑥 → 𝑚𝑎𝑥 (1.18)

Với ràng buộc:

χ = −𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 (1.19)

χ biến dạng uốn độ cong đường độ võng Tích phân thứ (1.18) cơng tồn phần ngoại lực (khơng có hệ số ½), tích phân thứ hai biến dạng biểu thị qua biến dạng uốn

Thay χ từ (1.19) vào (1.18), ta có

∫ 𝑞𝑦𝑑𝑥 −0𝑙 12∫ 𝐸𝐽 (−𝑑 2𝑦 𝑑𝑥2)

2 𝑙

0 𝑑𝑥 → 𝑚𝑎𝑥 (1.20)

Thay dấu (1.20) ta có

1

2∫ 𝐸𝐽 (− 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2)

2 𝑙

0 𝑑𝑥 − ∫ 𝑞𝑦𝑑𝑥

𝑙

Khi y có giá trị xác định hai đầu mút dầm điều kiện cần để biểu thức (1.21) cực tiểu phương trình Euler sau

𝐸𝐽𝑑4𝑦

𝑑𝑥4 = 𝑞 (1.22)

Phương trình (1.22) phương trình vi phân cân dầm chịu uốn Nguyên lý công bù cực đại dạng biểu thức (1.21) sử dụng rộng rãi tính tốn cơng trình theo phương pháp phần tử hữu hạn

1.4. Nguyên lý cơng ảo [4, 5]

Cho phương trình sau

∑ X = , ∑ X = ∑ Z = (1.23) Nếu cho dại lượng a,b c khơng đồng thời khơng (a,b,c độc lập tuyến tính nhau) từ (2.1), ta có:

𝑎 ∑ 𝑋 + 𝑏 ∑ 𝑌 + 𝑐 ∑ 𝑍 = (1.24) Ngược lại, cho (1.24) ta lại nhận (1.23)

Chú ý phương trình (1.23) (1.24) phương trình xây dựng sở lập luận tốn học túy, phương trình (1.23) (1.24) đại lượng a, b,c không thiết phải có ý nghĩa vật lý cụ thể

Bây ta xem X, Y, Z hinh chiếu lực tác dụng lên chất điểm lên trục hệ tọa độ vng góc x, y,và z hệ phương trình (1.23) hệ phương trình cân lưc Gọi 𝑟𝑥, 𝑟𝑦 𝑟𝑧 chuyển vị ảo theo chiều x,y z, ta có

∑ 𝑋𝛿𝑟𝑥 + ∑ 𝑌𝛿𝑟𝑦 + ∑ 𝑍𝛿𝑟𝑧 = (1.25) Chuyển vị ảo 𝑟𝑥, 𝑟𝑦 𝑟𝑧 chuyển vị nguyên nhân gây ra, hàm liên tục tọa độ x,y,z Các 𝛿𝑟𝑥, 𝛿𝑟𝑦 𝛿𝑟𝑧 biến phân chuyển vị ,là đại lượng bé chuyển vị liên tục, từ (1.25) ta lại nhận hệ phương trình cân lực (1.23) Phương trình (1.25) thường gọi nguyên lý công ảo

𝛿𝑟𝑧 phải liên tục đến đạo hàm bậc hai Đó điều kiện chuyển vị ảo

Ta sử dụng biến phân chuyển vị thực chuyển vị thực thỏa mãn điều kiên biên nguyên lý (1.25) gọi nguyên lý chuyển vị

Bất đẳng thức Fourier:

Nguyên lý chuyển vị ảo (1.25) với trường hợp liên kết giữ (liên kết hồn lại,) Khi có liên kết khơng giữ ,ví dụ, hai chất điểm nối với sợi dây chúng chuyển động lại gần nhau, có sợi dây, chúng khơng thể chuyển động xa vật thể lăn bề mặt vật cứng khác ‘lún’ vào chuyển động tách khỏi bề mặt trường hợp ngun lý chuyển vị ảo (1.25) có dạng

∑ 𝑋𝛿𝑟𝑥 + ∑ 𝑌𝛿𝑟𝑦 + ∑ 𝑍𝛿𝑟𝑧 ≤ (1.26)

Bất đẳng thức (1.26) gọi bất đẳng thức Fourier [ ] Gauss nhà toán học người Nga Ostrogradsky M.B.(1801-1862) nhận bất đẳng [ ] Bất đẳng thức (1.26) có liên kết khơng giữ cơng ảo đại lượng không dương

1.5. Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss 1.5.1.Nguyên lý Gauss

Nhà tốn học người Đức Gauss Karl Friedrich (1777- 1855) có cơng trình học với tựa đề “Về ngun lý mới, chung học’ viết vào năm 1829 Cơng trình dịch sang tiếng Nga in lại “Các nguyên lý biến phân học” với thích giải cặn kẽ lý thú Gauss người biên tập [1]

“Chuyển động hệ chất điểm chúng có liên kết tùy ý, chịu tác dụng bất kỳ, thời điểm, trùng hoàn toàn có thể, với chuyển động hệ hoàn toàn tự do, tức chuyển động xảy với lượng cưỡng tối thiểu số đo lượng cưỡng lấy tổng tích khối lượng chất điểm với bình phương độ lệch vị trí chất điểm có liên kết với vị trí chuyển động chất điểm hồn tồn tự sau thời đoạn vơ nhỏ”

Giả sử thời điểm t chất điểm m có vị trí A Nếu thời điểm ta giải phóng liên kêt có vận tốc ban đầu tác dụng lực, sau thời đoạn vơ nhỏ dt chất điểm có vị tri B Chất điểm có lực tác

dụng chịu ảnh hưởng liên kết sau thới đoạn dt có vị trí C Chuyển động thực xảy lượng cưỡng Z chất diểm viết hệ nhiều chất diểm tối thiểu :

𝑍 = ∑ 𝑚𝑖 𝑖𝐵𝐶̅̅̅̅𝑖2 → 𝑚𝑖𝑛 (1.27)

Dựa vào bất đẳng thức (2.4) bất đẳng thức ông đưa ra, Gauss

trình bày luận chứng minh cho ngun lý

Biểu thức giải tích nguyên lý Gauss

Trong hệ chất điểm nguyên lý giải thích sau [1]

Xét hệ chất điểm có tọa độ r vận tốc 𝑟̇ thời điểm t Sau thời đoạn vô nhỏ dt chất điểm chịu tác dụng lực F vận tốc có vị trí

r(t+dt) = r+𝑟̇𝑑𝑡 +1 2𝑟̈𝑑𝑡

2

̇

(a)

Nếu thời điêm t ta giải phóng liên kết giữ lực tác dụng, sau thời đoạn dt vị trí chất diểm

r(t+dt) = r+𝑟̇𝑑𝑡 +1

̇ 𝐹

𝑚𝑑𝑡

2 (b)

Hiệu (b) (a) độ lệch vị tri chất điểm hoàn toàn tự có liên kết Lượng cưỡng chuyển động theo hệ chất điểm theo (1.1)

𝑍 = 𝑑𝑡2

4 ∑ 𝑚𝑖( 𝐹𝑖 𝑚𝑖− 𝑟𝑖̈ )

2 𝑖

𝑍 =∑ 𝑚𝑖 (𝐹𝑖

𝑚𝑖− 𝑟𝑖̈ )

→ 𝑚𝑖𝑛

𝑖 (1.28) Hay: 𝑍 = ∑

1 𝑚𝑖 𝑖 (𝐹𝑖 − 𝑚𝑖𝑟𝑖 ̈)2 → 𝑚𝑖𝑛 (1.28b)

Trong hệ tọa độ vuông góc x, y, z biểu thức (1.28) có dạng 𝑍 = ∑ {𝑚𝑖(𝑋𝑖

𝑚𝑖− 𝑥𝑖̈ )

2+ 𝑚 𝑖 (

𝑌𝑖

𝑚𝑖 − 𝑦𝑖̈ )

+ 𝑚𝑖(𝑍𝑖

𝑚𝑖− 𝑧𝑖̈ ) 2 }

𝑖 → 𝑚𝑖𝑛 (1.29)

Trong (1.29) đại lượng X,Y,Z hình chiếu trục tọa độ x,y,z lực F tác dụng lên chất điểm

Các biểu thức (1.28) (1.29) biểu thức giải tích nguyên lý (1.27)

Khối lượng chất điểm lực tác dụng lên biết (1.28) (1.29) gia tốc đaị lượng chưa biết Khảo sát với điều kiên liên kết khác nhau, nhà nghiên cứu cho đại lượng biến phân biểu thức giải tích (1.28) (1.29) chỉ gia tốc [1, 2, 3]

Các tài liệu học bàn nguyên lý cực trị Gauss, ví dụ xem [1, 2, 3, 4],đều giới thiệu biểu thức (1.28, 1.29), cần lưu ý biểu thức Gauss mà nhà nghiên cứu nguyên lý Gauss đưa Ngồi ra, [2] cịn nêu nhận định ngun lý Gauss dạng đặc biệt nguyên lý D’Alambert

1.5.2. Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss

Như Gauss viết, nguyên lý ông nguyên lý chung học, nghĩa có tính khái qt cao, với kết luận nhận định trình bày trên, nguyên lý không sử dụng học Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss trình bày phương pháp sử dụng trực tiếp nguyên lý Gauss để xây dựng phương trình chuyển động phương trình cân hệ nhằm khẳng định phần tính khái quát nguyên lý

1.5.2.1. Cơ học chất điểm

Các biểu thức (1.28) (1.29) trình bày biểu thức lượng cưỡng viết cho hệ chất điểm có liên kết (liên kết giữ liên kết không giữ) Trong trường hợp liên kết giữ, xem gia tốc đại lượng biến phân, từ (1.28) ta nhận phương trình cân bằng:

∑ 𝑚𝑖

Chú ý thành phần ngoặc đơn (1.30) biểu thị điều kiện cân lưc tác dụng lên chất điểm, xem 𝑟𝑖 ̈là gia tốc ảo Về

mặt toán học , đại lượng ảo bất kỳ, nghĩa xem khơng gia tốc, mà vận tốc chuyển vị đại lượng ảo Do ngồi (1.30), viết thêm

∑

𝑚𝑖

𝑖 (𝐹𝑖 − 𝑚𝑖𝑟𝑖̈ )𝛿𝑟𝑖̇ =0 (1.31)

∑ 𝑚𝑖

𝑖 (𝐹𝑖 − 𝑚𝑖𝑟𝑖̈ )𝛿𝑟𝑖 =0 (1.32)

Phương trình (1.5) xem vận tốc đại lượng biến phân, phương trình (1.32) xem chuyển vị đại lượng biến phân Như vậy, đại lượng biến phân nguyên lý cực trị Gauss (1.27) trường hợp liên kết giữ gia tốc, vận tốc chuyển vị

Tương tư, trường hợp liên kết giữ, từ biểu thức lượng (1.29) nhận phương trình

∑ 𝑚𝑖{(𝑋𝑖

𝑚𝑖− 𝑥𝑖̈ ) 𝛿𝑥𝑖̈ + ( 𝑌𝑖

𝑚𝑖− 𝑦𝑖̈ ) 𝛿𝑦𝑖̈ + ( 𝑍𝑖

𝑚𝑖− 𝑧𝑖̈ )𝛿𝑧𝑖̈

𝑖 } = (1.33)

∑ 𝑚𝑖{(𝑋𝑖

𝑚𝑖− 𝑥𝑖̈ ) 𝛿𝑥𝑖̇ + ( 𝑌𝑖

𝑚𝑖 − 𝑦𝑖̈ ) 𝛿𝑦𝑖̇ + ( 𝑍𝑖

𝑚𝑖− 𝑧𝑖̈ )𝛿𝑧𝑖̇

𝑖 } = (1.34)

∑ 𝑚𝑖{(𝑋

𝑚𝑖− 𝑥̈) 𝛿𝑥 + ( 𝑌

𝑚𝑖 − 𝑦̈) 𝛿𝑦 + ( 𝑍

𝑚𝑖− 𝑧̈)𝛿𝑧

𝑖 } = (1.35)

Đại lượng biến phân (1.33) gia tốc, (1.34) vận tốc, (1.35) chuyển vị

Như vậy, trường hợp liên kết giữ, nguyên lý Gauss (1.27) dẫn nguyên lý cơng ảo (1.31 – 1.35)

Ví dụ 1.1 Viết phương trình chuyển động chất điểm có khối lượng m chuyển động không ma sát tác dụng lực trọng trường đường cong phẳng 𝑦 = 𝑏𝑥2 (hình 2) Ví dụ lấy từ [ 4]

Bài làm: Trong ví dụ lực tác dụng lên chất điểm chiều x X=0, chiều y Y=mg Các phương trình (1.33)-(1.35) với ý lực quán tính mang dấu âm chuyển động xảy mặt phẳng (x,y), viết lại sau

𝑚(𝑥̈ )𝛿𝑥̈ +𝑚(𝑚𝑔

𝑚 +𝑦̈ )𝛿𝑦̈ = (a)

𝑚(𝑥̈ )𝛿𝑥̇ +𝑚(𝑚𝑔

𝑚(𝑥̈ )𝛿𝑥 + 𝑚(𝑚𝑔

𝑚 +𝑦̈ )𝛿𝑦 = (c)

Hình Minh họa cho ví dụ

Bây ta tính vận tốc gia tốc y theo vận tốc gia tốc x

𝑦 = 𝑏𝑥2 , 𝑦̇ = 2𝑏𝑥𝑥̇ , 𝑦̈ = 2𝑏𝑥̇2 + 2𝑏𝑥𝑥̈

Ta tính biến phân 𝛿𝑦 , 𝛿𝑦̇ , 𝛿𝑦̈ qua biến phân 𝛿𝑥, 𝛿𝑥̇ , 𝛿𝑥̈

𝛿𝑦̈ = 𝛿𝑥̈(2𝑏𝑥̇2+ 2𝑏𝑥𝑥̈) = 2𝑏𝑥𝛿𝑥̈ (d)

𝛿𝑦̇ = 𝛿𝑥̇(2𝑏𝑥𝑥̇) = 2𝑏𝑥𝛿𝑥̇ (e) 𝛿𝑦 = 𝛿𝑥(2𝑏𝑥2) = 2𝑏𝑥𝛿𝑥 (f)

Đưa các biến phân (d),(e),(f) vào phương trình (a),(b),(c) ta nhận phương trình sau

𝑥̈ + (𝑔 + 2𝑏𝑥̇2+ 2𝑏𝑥𝑥̈)2𝑏𝑥 =

Sắp xếp lại, ta có

(1 + 4𝑏2𝑥2)𝑥̈ + 4𝑏2𝑥𝑥̇2 + 2𝑏𝑔𝑥 =

Phương trình vừa nhận phương trình chuyển đơng cần tìm ví dụ

Những trình bày rằng,đối với học chất điểm trường hợp liên kết giữ, đại lượng biến phân nguyên lý Gauss gia tốc, vận tốc chuyển vị

1.5.2.2. Cơ học môi trường liên tục a.Các phương trình Navier

Sử dụng trực tiếp nguyên lý Gauss (1.1) để xây dựng phương trình chuyển động mơi trường liên tục nội dung phần trình bày Để trình bày rõ ràng, ta xét mơi trường đàn hồi đồng đẳng hướng Tách phân tố khối dx.dy.dz khỏi môi trường Các lực tác dụng đặt

y

x O

trọng tâm phân tố lực khối 𝑏𝑥,, 𝑏𝑦, 𝑏𝑧 lực quán tính 𝑓𝑥, 𝑓𝑦, 𝑓𝑧 , bề mặt phân tố có ứng suất pháp 𝜎𝑥, 𝜎𝑦, 𝜎𝑧 vá ứng suất tiếp 𝜏𝑥𝑦, 𝜏𝑥𝑧, 𝜏𝑦𝑧(hinh 2) Do có lực tác dụng, trọng tâm phân tố có chuyển vị u theo chiều x, v theo chiều y w theo chiều z

Hình 1.2 Trạng thái ứng suất phân tố

Các biến dạng phân tố chuyển vị gây ra, xem chuyển vị bé, theo lý thuyết đàn hồi, ví dụ xem [ ], xác theo biểu thức

𝜀𝑥 = 𝜕𝑢

𝜕𝑥 , 𝜀𝑦 = 𝜕𝑣

𝜕𝑦 , 𝜀𝑧 = 𝜕𝑤

𝜕𝑧

𝜀𝑥𝑦 = (𝜕𝑢 𝜕𝑦 +

𝜕𝑣

𝜕𝑥) ,𝜀𝑥𝑧 = ( 𝜕𝑢 𝜕𝑧 +

𝜕𝑤

𝜕𝑥) , 𝜀𝑦𝑧 = ( 𝜕𝑤 𝜕𝑦 +

𝜕𝑣

𝜕𝑧) (1.36)

Quan hệ ứng suất biến dạng

𝜎𝑥 = 2𝐺(𝜀𝑥 + 𝜈

1−2𝜈𝜃) , 𝜎𝑦 = 2𝐺(𝜀𝑦 + 𝜈

1−2𝜈𝜃) , 𝜎𝑧 = 2𝐺(𝜀𝑧 + 𝜈

1−2𝜈𝜃),

𝜏𝑥𝑦 = 𝐺𝜀𝑥𝑦 , 𝜏𝑥𝑧 = 𝐺𝜀𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 = 𝐺𝜀𝑦𝑧 𝜃 = 𝜀𝑥 + 𝜀𝑦 + 𝜀𝑧 , 𝐺 = 𝐸

2(1+𝜈) (1.37)

Trong biểu thức 𝜃 biến dạng thể tích, 𝐺 mođun trượt vật liệu, 𝐸 mođun đàn hồi 𝜈 hệ số Poisson

Hình 1.3

Để cho chuyển vị 𝑢0, 𝑣0,𝑤0 xác định, đăt thêm lo-xo theo chiều x, y, z (hinh 1.3) Độ cứng lo-xo

𝑘𝑥 = lim 𝑢0→∞

−𝑏𝑥+𝑓𝑥

𝑢0 , 𝑘𝑦 = lim𝑣0→∞

−𝑏𝑦+𝑓𝑦

𝑣0 , 𝑘𝑧 = lim𝑤0→∞

−𝑏𝑧+𝑓𝑧 𝑤0

Ta đặt lo-xo vào phân tố có liên kết Rõ ràng lo-xo đưa thêm vào không làm thay đổi chuyển vị 𝑢, 𝑣, 𝑤 phân tố có liên kêt chuyển vị 𝑢0, 𝑣0,𝑤0 phân tố tự

Phân tố có liên kết có biến dạng (chuyển động) sau : Các biến dạng 𝜀𝑥, 𝜀𝑦, 𝜀𝑧 có độ cứng 2G ,

Biến dạng thể tích 𝜃 có độ cứng 2𝐺𝜈

(1−2𝜈) ,

Các biến dạng trượt 𝜀𝑥𝑦, 𝜀𝑥𝑧 , 𝜀𝑦𝑧 có độ cứng G

Phân tố tự (khơng có liên kết với mơi trường) khơng có biến dạng

Theo nguyên lý Gauss (1.1) ta viết lưỡng chuyển động 𝑍 = ∫ { 2𝐺 ( 𝜀𝑥2+ 𝜀𝑦2+ 𝜀𝑧2 ) +

2𝐺𝜈 (1−2𝜈)𝜃

2 +

𝐺 (𝜀𝑥𝑦 2+ 𝜀

𝑥𝑧2+

𝜀𝑦𝑧2 )} 𝑑𝑉

+ ∫{ 𝑘𝑥(𝑢 − 𝑢0)2+ 𝑘𝑦(𝑣 − 𝑣0)2+ 𝑘𝑧(𝑤 − 𝑤0)2} 𝑑𝑉 → 𝑚𝑖𝑛

(1.38)

V thể tích vật thể cần tính

∫ 𝑘𝑥(𝑢 − 𝑢0)2 𝑑𝑉 = ∫ lim 𝑢0→∞

𝑓𝑥−𝑏𝑥

𝑢0 (𝑢 − 𝑢0)

2 𝑑𝑉 = − ∫ 2(𝑓𝑥 − 𝑏𝑥)𝛿𝑢 𝑑𝑉

∫ 𝑘𝑦(𝑣 − 𝑣0)2𝑑𝑉 = 𝑚𝑖𝑛 ∫ lim𝑣 0→∞

𝑓𝑦−𝑏𝑦

𝑣0 (𝑣 − 𝑣0)

2𝑑𝑉 = − ∫ 2(𝑓𝑦 − 𝑏𝑦)𝛿𝑣 𝑑𝑉

𝑚𝑖𝑛 ∫ 𝑘𝑧(𝑤 − 𝑤0)2𝑑𝑉 = ∫ lim𝑤 0→∞

𝑓𝑧−𝑏𝑧

𝑤0 (𝑤 − 𝑤0)

2 𝑑𝑉 = − ∫ 2(𝑓𝑧 − 𝑏𝑧)𝛿𝑤 𝑑𝑉 (1.39)

Bây viết lại lượng cưỡng Z (1.38) thay biến dạng đạo hàm chuyển vị ý tới biểu thức (1.13)

𝑍 = ∫ { 2𝐺 (𝜕𝑢 𝜕𝑥)

2

+ 2𝐺 (𝜕𝑣 𝜕𝑦)

2

+ 2𝐺 (𝜕𝑤 𝜕𝑧) + 2𝐺𝜈 1−2𝜈( 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕𝑤 𝜕𝑧) + 𝐺 (𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣 𝜕𝑥) + 𝐺 (𝜕𝑢 𝜕𝑧 + 𝜕𝑤 𝜕𝑥) + 𝐺 (𝜕𝑣 𝜕𝑧 + 𝜕𝑤 𝜕𝑦)

} 𝑑𝑉 − ∫{2(𝑓𝑥 − 𝑏𝑥)𝛿𝑢 +

2(𝑓𝑦 − 𝑏𝑦)𝛿𝑣 + 2(𝑓𝑧 − 𝑏𝑧)𝛿𝑤}𝑑𝑉 → 𝑚𝑖𝑛 (1.40)

Trong (1.40) có ba hàm ẩn u,v w cần xác định Lấy biến phân theo ba hàm ẩn nhận ba phương trình

Trước tiên lấy biến phân theo u ,ta có

𝛿𝑍 = ∫{2𝐺𝜕𝑢𝜕𝑥𝛿 (𝜕𝑢 𝜕𝑥) + 2𝐺𝜈 1−2𝜈( 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦+ 𝜕𝑤 𝜕𝑧)𝛿 ( 𝜕𝑢 𝜕𝑥) + 𝐺 ( 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣 𝜕𝑥) 𝛿 ( 𝜕𝑢 𝜕𝑦) + 𝐺 (𝜕𝑢 𝜕𝑧 + 𝜕𝑤 𝜕𝑥) 𝛿 ( 𝜕𝑢

𝜕𝑧) − (𝑓𝑥 − 𝑏𝑥)𝛿𝑢}𝑑𝑉 = (1.41)

Phương trình (1.41) phương trình ngun lý cơng ảo Như vậy, nguyên lý Gauss trường hợp liên kết giữ lại dẫn nguyên lý công ảo

Trong (1.41) chứa biến phân đạo hàm tính biến phân tiếp tục phương trình này, ta nhận

𝛿𝑍 = ∫ {−2𝐺 (𝜕𝜕𝑥2𝑢2) − 2𝐺𝜈 1−2𝜈(

𝜕2𝑢 𝜕𝑥2 +

𝜕2𝑣 𝜕𝑥𝜕𝑦+

𝜕2𝑤

𝜕𝑥𝜕𝑧) − 𝐺 ( 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 +

𝜕2𝑣 𝜕𝑦𝜕𝑥) − 𝐺 (𝜕2𝑢

𝜕𝑧2 + 𝜕2𝑤

𝜕𝑧𝜕𝑥)} 𝛿𝑢𝑑𝑉 − ∫(𝑓𝑥 − 𝑏𝑥)𝛿𝑢𝑑𝑉 = (1.42)

𝐺∇2𝑢 + 𝐺 1−2𝜈(

𝜕2𝑢 𝜕𝑥2+

𝜕2𝑣 𝜕𝑥𝜕𝑦+

𝜕2𝑤

𝜕𝑥𝜕𝑧) -+𝑏𝑥 = 𝑓𝑥 = 𝜚 𝜕2𝑢 𝜕𝑡2

Ở ∇2= 𝜕2 𝜕𝑥2+

𝜕2 𝜕𝑦2+

𝜕2

𝜕𝑧2 (tốn tử Laplace)

Bằng cách tính tương tự hai hàm ẩn v w, có thêm hai phương trinh nữa, ba phương trình viết lại sau

𝐺∇2 𝑢 + 𝐺 1−2𝜈(

𝜕2𝑢 𝜕𝑥2+

𝜕2𝑣 𝜕𝑥𝜕𝑦+

𝜕2𝑤

𝜕𝑥𝜕𝑧) + 𝑏𝑥 = 𝑚 𝜕2𝑢 𝜕𝑡2

𝐺∇2𝑣 + 𝐺 1−2𝜈(

𝜕2𝑢 𝜕𝑦𝜕𝑥 +

𝜕2𝑣 𝜕𝑦2+

𝜕2𝑤

𝜕𝑦𝜕𝑧) + 𝑏𝑦 = 𝑚 𝜕2𝑣

𝜕𝑡2 (1.43)

𝐺∇2𝑤 + 𝐺 1−2𝜈(

𝜕2𝑢 𝜕𝑧𝜕𝑥+

𝜕2𝑣 𝜕𝑧𝜕𝑦 +

𝜕2𝑤

𝜕𝑧2) + 𝑏𝑧 = 𝑚 𝜕2𝑤

𝜕𝑡2

Các phương trình (1.43) gọi phương trình Navier

Các trình bày ví dụ sử dụng trực tiếp nguyên lý cực trị Gauss, so sánh hệ cần tính với hệ hồn tồn tự (khi giải phóng liên kết) , để nhận hệ phương trình vi phân chuyển động vật thể đàn hồi đồng đẳng hướng, hệ phương trình Navier

Sử dụng lo-xo ảo nguyên lý Gauss với cách làm tương tự nhận phương trình chuyển động dầm , khung, thanh, chịu uốn v v…

b.Các phương trình truyền sóng

Lý thuyết biến dạng môi trường liên tục cho thấy phân tích biến dạng chung phân tố thành biến dạng thể tích chuyển động quay phân tố vật cứng

Các ứng suất pháp 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜎𝑧 gây biến dạng thể tích có hai thành phần, thành phần biến dang dài 𝜀𝑥, 𝜀𝑦, 𝜀𝑧 với độ cứng 2G thành phần hệ số Poisson gây với độ cứng 2𝐺𝜈

1−2𝜈 Như vậy, độ cứng biến

dạng thể tích 𝜃 2𝐺 + 2𝐺𝜈

1−2𝜈 = 2𝐺 1−𝜈 1−2𝜈

Các ứng suất tiếp 𝜏𝑥𝑦, 𝜏𝑥𝑧 , 𝜏𝑦𝑧 gây biến dạng quay với độ cứng

G làm cho phân tố quay vật cứng quanh trục x, y z Các góc quay xác định

𝜔𝑥 = 2(

𝜕𝑤 𝜕𝑦 −

𝜕𝑣

𝜕𝑧) ; 𝜔𝑦 = 2(

𝜕𝑤 𝜕𝑥 −

𝜕𝑢

𝜕𝑧) ; 𝜔𝑧 = 2(

𝜕𝑣 𝜕𝑥−

𝜕𝑢

Phân tố có chuyển động, biến dạng thể tích chuyển động quay Trước tiên, xét biến dạng thẻ tích Khi tách phân tố khỏi mơi trường phân tố khơng có liên kết với mơi trường, phân tố hồn tồn tự do,

𝜕𝜃

𝜕𝑥 = 0, 𝜕𝜃

𝜕𝑦 = 0, 𝜕𝜃

𝜕𝑧 =

Ngược lại ,khi có liên kết với mơi trường 𝜕𝜃

𝜕𝑥 ≠ 0, 𝜕𝜃

𝜕𝑦 ≠ 0, 𝜕𝜃 𝜕𝑧 ≠

Lượng cưỡng 𝑍 = ∫2𝐺(1−𝜈)1−2𝜈 {(𝜕𝜃

𝜕𝑥)

2+ (𝜕𝜃 𝜕𝑦)

2+ (𝜕𝜃 𝜕𝑧)

2} 𝑑𝑉 → 𝑚𝑖𝑛

Phương trình Euler phiếm hàm 2𝐺(1−𝜈)

1−2𝜈 ( 𝜕2𝜃 𝜕𝑥2+

𝜕2𝜃 𝜕𝑦2 +

𝜕2𝜃

𝜕𝑧2 ) =

Trường hợp có lực qn tính ta có 2𝐺(1−𝜈)

1−2𝜈 ( 𝜕2𝜃 𝜕𝑥2+

𝜕2𝜃 𝜕𝑦2 +

𝜕2𝜃

𝜕𝑧2 ) = 𝜌 𝜕2𝜃 𝜕𝑡2

Đặt

𝑣𝑝 = √2𝐺(1−𝜈)𝜌(1−2𝜈) (1.45) Ta có 𝑣𝑝2( 𝜕2𝜃

𝜕𝑥2+ 𝜕2𝜃 𝜕𝑦2+

𝜕2𝜃 𝜕𝑧2 ) =

𝜕2𝜃

𝜕𝑡2 (1.46)

Ở 𝑣𝑝 có thứ ngun vận tốc Phương trình (1.46) phương trình truyền sóng thể tích với vân tốc truyền sóng 𝑣𝑝 , gọi phương trình truyền sóng dọc (kéo, nén) theo phương khác nhau, quỹ đạo chuyển động hạt trùng với phương tuyền sóng

Xét chuyển động quay quanh trục x , 𝜔𝑥 Khi tách phân tố khỏi môi trường phân tố khơng có liên kết với mơi trường, phân tố hồn tồn tự do,

𝜕𝜔𝑥

𝜕𝑥 = 0, 𝜕𝜔𝑥

𝜕𝑦 = 0, 𝜕𝜔𝑥

𝜕𝑧 =

Ngược lại ,khi có liên kết với mơi trường 𝜕𝜔𝑥

𝜕𝑥 ≠ 0, 𝜕𝜔𝑥

𝜕𝑦 ≠ 0, 𝜕𝜔𝑥

𝜕𝑧 ≠

𝑍 = ∫ 𝐺 {(𝜕𝜔𝑥 𝜕𝑥 )

2+ (𝜕𝜔𝑥 𝜕𝑦 )

2 + (𝜕𝜔𝑥 𝜕𝑧 )

2} 𝑑𝑉 → 𝑚𝑖𝑛

Phương trình Euler phiếm hàm 𝐺 ( 𝜕2𝜔𝑥

𝜕𝑥2 + 𝜕2𝜔𝑥

𝜕𝑦2 + 𝜕2𝜔𝑥

𝜕𝑧2 ) =

Trường hợp có lực qn tính ta có 𝐺 ( 𝜕2𝜔𝑥

𝜕𝑥2 + 𝜕2𝜔𝑥

𝜕𝑦2 + 𝜕2𝜔𝑥

𝜕𝑧2 ) = 𝜌 𝜕2𝜔𝑥

𝜕𝑡2

Đặt

𝑣𝑠 = √𝐺𝜌 (1.47) Ta có 𝑣𝑠 ( 𝜕2𝜔𝑥

𝜕𝑥2 + 𝜕2𝜔𝑥

𝜕𝑦2 + 𝜕2𝜔𝑥

𝜕𝑧2 ) = 𝜕2𝜔𝑥

𝜕𝑡2 (1.48)

Ở 𝑣𝑠 có thứ ngun vận tốc Phương trình (1.48) goi phương trình truyền sóng cắt với vân tốc truyền sóng cắt 𝑣𝑠 theo phương x, quỹ đạo chuyển động hạt nằm mặt phẳng (yz)

Thực bước tính tương tự chuyển động quay quanh trục y trục z nhận hai phương trình truyền song sau

Phương trình 𝑣𝑠 ( 𝜕

2𝜔 𝑦 𝜕𝑥2 +

𝜕2𝜔𝑦 𝜕𝑦2 +

𝜕2𝜔𝑦 𝜕𝑧2 ) =

𝜕2𝜔𝑦

𝜕𝑡2 (1.49)

được gọi là phương trình truyền sóng cắt với vân tốc truyền sóng cắt

𝑣𝑠 theo phương y, quỹ đạo chuyển động hạt nằm mặt phẳng (xz)

Phương trình

𝑣𝑠 ( 𝜕2𝜔𝑧 𝜕𝑥2 +

𝜕2𝜔𝑧 𝜕𝑦 +

𝜕2𝜔𝑧 𝜕𝑧2 ) =

𝜕2𝜔𝑧

𝜕 𝑡2 (1.50)

được gọi là phương trình truyền sóng cắt với vân tốc truyền sóng

𝑐ắ𝑡 𝑣𝑠 theo phương z, quỹ đạo chuyển động hạt nằm mặt phẳng (xy)

Như nhận phương trình truyền sóng hiểu phương trình truyền sóng phương trình chuyển động dạng chuyển động (biến dạng) không gian hệ môi trường liên tuc Thiết nghĩ, với ngun lý Gauss có cách xây dựng phương trình truyền sóng

Ở trình bày phương pháp nguyên lý cực trị Gauss so sánh hệ cần tính với hệ giải phóng liên kết, nói cách khác, so sánh

chuyển động phân tố môi trường liên tục với chuyển động chất điểm Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss cho phép so sánh hai hệ môi trường liên tục khác hai chịu lực tác dụng giống nhau Trở lại với toán đàn hồi chiều trình bày Cho hai vật thể đàn hồi, đồng nhất, đẳng hướng chịu tác dụng lực khối 𝑏𝑥,, 𝑏𝑦, 𝑏𝑧 Giả sử biết lời giải hệ chuyển vị 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 để tính chuyển vị hệ chưa biết 𝑢, 𝑣 , 𝑤 ta xây dựng lượng cưỡng cách

so sánh chuyển động hai hệ :

𝑍 = ∫{ 2𝐺1 (2𝐺𝜀𝑥 − 2𝐺0𝜀0𝑥)2+

2𝐺(2𝐺𝜀𝑦 − 2𝐺0𝜀0𝑦) 2+

2𝐺(2𝐺𝜀𝑧 − 2𝐺0𝜀0𝑧)2+1−2𝜈

2𝐺𝜈 ( 2𝐺𝜈 1−2𝜈𝜃 −

2𝐺0𝜈 1−2𝜈𝜃0)

2 + 1

𝐺(𝐺𝜀𝑥𝑦 − 𝐺0𝜀0𝑥𝑦) 2+

𝐺(𝐺𝜀𝑥𝑧 − 𝐺0𝜀0𝑥𝑧)2+

𝐺(𝐺𝜀𝑦𝑧 − 𝐺0𝜀0𝑦𝑧)

2}𝑑𝑉 → 𝑚𝑖𝑛 (1.51)

Lượng cưỡng (1.51) viết cho trường hợp thông số đàn hồi hai hệ khác

Thay biến dạng đạo hàm chuyển vị ta có

𝑍 = ∫{ 2𝐺(2𝐺

𝜕𝑢

𝜕𝑥 − 2𝐺0 𝜕𝑢0

𝜕𝑥)

2+ 2𝐺(2𝐺

𝜕𝑣

𝜕𝑦− 2𝐺0 𝜕𝑣0 𝜕𝑦 ) + 2𝐺(2𝐺 𝜕𝑤

𝜕𝑧 − 2𝐺0 𝜕𝑤0

𝜕𝑧 ) 2+ − 2𝜈

2𝐺𝜈 ( 2𝐺𝜈 − 2𝜈[

𝜕𝑢 𝜕𝑥+ 𝜕𝑣 𝜕𝑦 + 𝜕𝑤 𝜕𝑧] −

2𝐺0𝜈 − 2𝜈[

𝜕𝑢0 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣0 𝜕𝑦 + 𝜕𝑤0 𝜕𝑧 ]) + 𝐺(𝐺 [ 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣

𝜕𝑥] − 𝐺0[ 𝜕𝑢0 𝜕𝑦 𝜕𝑣0 𝜕𝑥]) + 𝐺(𝐺 [ 𝜕𝑢 𝜕𝑧 + 𝜕𝑤

𝜕𝑥] − 𝐺0[ 𝜕𝑢0 𝜕𝑧 + 𝜕𝑤0 𝜕𝑥 ]) + 𝐺(𝐺 [ 𝜕𝑣 𝜕𝑧 + 𝜕𝑤 𝜕𝑦] − 𝐺0[𝜕𝑣0

𝜕𝑧 + 𝜕𝑤0

𝜕𝑦 𝑥] 2)

}𝑑𝑉

Phiếm hàm chứa đại lượng biến phân 𝛿𝑢, 𝛿𝑣, 𝛿𝑤 cho ta phương trình cân theo chiều x, chiều y chiều z

𝛿𝑍 = ∫{(𝐺𝜕𝑢𝜕𝑥 − 𝐺0𝜕𝑢0 𝜕𝑥) 𝛿 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + ( 2𝐺𝜈 1−2𝜈[ 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑣 𝜕𝑦+ 𝜕𝑤 𝜕𝑧] −

2𝐺0𝜈 1−2𝜈[

𝜕𝑢0 𝜕𝑥

+𝜕𝑣0

𝜕𝑦 + 𝜕𝑤0 𝜕𝑧 ])𝛿 𝜕𝑢 𝜕𝑥 + (𝐺 [ 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣

𝜕𝑥] − 𝐺0[ 𝜕𝑢0 𝜕𝑦 + 𝜕𝑣0 𝜕𝑥]) 𝛿 𝜕𝑢 𝜕𝑦 + (𝐺 [ 𝜕𝑢 𝜕𝑧 + 𝜕𝑤 𝜕𝑥] − 𝐺0[𝜕𝑢0

𝜕𝑧 + 𝜕𝑤0

𝜕𝑥 ])𝛿 𝜕𝑢

𝜕𝑧}𝑑𝑉 = (1.52)

Phương trình (1.52) phương trình ngun lý cơng ảo Như vậy, nguyên lý cực trị Gauss trường hợp liên kết giữ dẫn nguyên lý công ảo

Lấy biến phân tiếp phương trình ta nhận 𝛿𝑍 = ∫{− (2𝐺𝜕2𝑢

𝜕𝑥2− 2𝐺0 𝜕2𝑢0

𝜕𝑥2) 𝛿𝑢 − ( 2𝐺𝜈 1−2𝜈[

𝜕2𝑢 𝜕𝑥2+

𝜕2𝑣 𝜕𝑥𝜕𝑦+

𝜕2𝑤 𝜕𝑥𝜕𝑧] −

2𝐺0𝜈

1−2𝜈[ 𝜕2𝑢0

𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑣0 𝜕𝑥𝜕𝑦+

𝜕2𝑤0

𝜕𝑥𝜕𝑧])𝛿𝑢 − (𝐺 [ 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2+

𝜕2𝑣

𝜕𝑥𝜕𝑦] − 𝐺0[ 𝜕2𝑢0

𝜕𝑦2 + 𝜕2𝑣0

𝜕𝑥𝜕𝑦])𝛿𝑢

(𝐺 [𝜕2𝑢 𝜕𝑧2+

𝜕2𝑤

𝜕𝑥𝜕𝑧] − 𝐺0[ 𝜕2𝑢0

𝜕𝑧2 + 𝜕2𝑤0

𝜕𝑥𝜕𝑧])𝛿𝑢}𝑑𝑉 =

Sau rut gọn, viết

𝐺∇2 𝑢 + 𝐺 1−2𝜈(

𝜕2𝑢 𝜕𝑥2+

𝜕2𝑣 𝜕𝑥𝜕𝑦+

𝜕2𝑤 𝜕𝑥𝜕𝑧) = = 𝐺0∇2𝑢0 + 𝐺0

1−2𝜈( 𝜕2𝑢0

𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑣0 𝜕𝑥𝜕𝑦+

𝜕2𝑤0

𝜕𝑥𝜕𝑧) (1.53a)

Cách làm tương tự chuyển vị v w ta có 𝐺∇2 𝑣 + 𝐺

1−2𝜈( 𝜕2𝑣 𝜕𝑦2 +

𝜕2𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦+

𝜕2𝑤 𝜕𝑧𝜕𝑦) = 𝐺0∇2𝑣0+ 𝐺0

1−2𝜈( 𝜕2𝑣0

𝜕𝑦2 + 𝜕2𝑢0 𝜕𝑥𝜕𝑦+

𝜕2𝑤0

𝜕𝑧𝜕𝑦) (1.53b)

𝐺∇2 𝑤 + 𝐺 1−2𝜈(

𝜕2𝑤 𝜕𝑧2 +

𝜕2𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑧 +

𝜕2𝑣 𝜕𝑦𝜕𝑧) = 𝐺0∇2𝑤0+

𝐺0 1−2𝜈(

𝜕2𝑤0 𝜕𝑧2 +

𝜕2𝑢0 𝜕𝑥𝜕𝑧 +

𝜕2𝑣0

𝜕𝑦𝜕𝑧) (1.53c)

Các phương trình tìm hàm ẩn 𝑢, 𝑣 , 𝑤 theo hàm biết 𝑢0, 𝑣0, 𝑤0 vế phải ba phương trình lần

Cũng dung ứng suất làm ẩn Gọi 𝜎𝑥, 𝜎𝑦, 𝜎𝑧, 𝜏𝑥𝑦, 𝜏𝑥𝑧, 𝜏𝑦𝑧 hàm ẩn ứng suất toán 𝜎0𝑥, 𝜎0𝑦, 𝜎0𝑧, 𝜏0𝑥𝑦, 𝜏0𝑥𝑧, , 𝜏0𝑦𝑧 hàm ứng suất biết hệ Như biết, trường hợp liên kết giữ nguyên lý Gauss dẫn ngun lý cơng ảo, ta có

𝑍 = ∫{ (𝜎𝑥 − 𝜎0𝑥)𝛿𝜀𝑥 + (𝜎𝑦 − 𝜎0𝑦)𝛿𝜀𝑦 + (𝜎𝑧 − 𝜎0𝑧)𝛿𝜀𝑧+

(𝜏𝑥𝑦 − 𝜏0𝑥𝑦)𝛿𝜀𝑥𝑦 + (𝜏𝑥𝑧 − 𝜏0𝑥𝑧)𝛿𝜀𝑥𝑧+ (𝜏𝑦𝑧 − 𝜏0𝑦𝑧)𝛿𝜀𝑦𝑧}𝑑𝑉 → 𝑚𝑖𝑛 (1.54)

Thay biến dạng đạo hàm chuyển vị ta có

𝑍 = ∫{(𝜎𝑥 − 𝜎0𝑥)𝛿 ( 𝜕𝑢

𝜕𝑥) + (𝜎𝑦 − 𝜎0𝑦)𝛿( 𝜕𝑣

𝜕𝑦) + (𝜎𝑧− 𝜎0𝑧)𝛿 ( 𝜕𝑤

𝜕𝑧) + (𝜏𝑥𝑦 − 𝜏0𝑥𝑦)𝛿 (

𝜕𝑢 𝜕𝑦 +

𝜕𝑣

𝜕𝑥) + (𝜏𝑥𝑧 − 𝜏0𝑥𝑧)𝛿 ( 𝜕𝑢 𝜕𝑧 +

𝜕𝑤

𝜕𝑥) + (𝜏𝑦𝑧 − 𝜏0𝑦𝑧)𝛿( 𝜕𝑣 𝜕𝑧 + 𝜕𝑤

𝜕𝑦)}𝑑𝑉 → 𝑚𝑖𝑛

Phương trình Euler phiếm hàm 𝜕𝜎𝑥

𝜕𝑥 + 𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑦 + 𝜕𝜏𝑥𝑧

𝜕𝑧 = 𝜕𝜎0𝑥

𝜕𝑥 + 𝜕𝜏0𝑥𝑦

𝜕𝑦 + 𝜕𝜏0𝑥𝑧

𝜕𝑧

𝜕𝜎𝑦

𝜕𝑦 + 𝜕𝜏𝑥𝑦

𝜕𝑥 + 𝜕𝜏𝑦𝑧

𝜕𝑧 = 𝜕𝜎0𝑦

𝜕𝑦 + 𝜕𝜏0𝑥𝑦

𝜕𝑥 + 𝜕𝜏0𝑦𝑧

𝜕𝑧

𝜕𝜎𝑧

𝜕𝑧 + 𝜕𝜏𝑥𝑧

𝜕𝑥 + 𝜕𝜏𝑦𝑧

𝜕𝑦 = 𝜕𝜎0𝑧

𝜕𝑧 + 𝜕𝜏0𝑥𝑧

𝜕𝑥 + 𝜕𝜏0𝑦𝑧

𝜕𝑦 (1.55)

Các phương trình (1.55) xác định trường ứng suất hệ chưa biết qua trường ứng suất hệ biết trường ứng suất hệ biết cân với ngoại lực tác dụng trường ứng suất hệ chưa biết tìm ,theo phương trình trên, cân với ngoại lực Khi giải hệ phương trình vi phân (1.55) cần ý thỏa mãn điều kiện biên ứng suất hệ chưa biết

học hệ đàn hồi nhiều lớp , vật thể đàn hồi hữu hạn v.v… Trong học cơng trình ta có lời giải giải tích dầm vô hạn vô hạn nằm Winkler … Có thể dung lời giải để tìm lời giải hữu hạn dầm hữu hạn v.v…

Phương pháp so sánh hai hệ chúng chịu lực tác dụng giống phương pháp học nói chung học cơng trình nói riêng

1.5.4. Sử dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss thiết lập phương trình vi phân cân dầm

Xét dầm chịu tải trọng phân bố q, độ cứng uốn dầm EJ=const có lien kết bất kỳ, hình a Hệ so sánh chọn dầm khơng có liên kết có tải trọng độ cứng uốn dầm xét, hình b

Hình 1.4 Phân tố dầm a, phân tố tự b

Theo phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, lượng cưỡng toán viết sau:

𝑍 = ∫ 𝐸𝐽 (−𝑑2𝑦 𝑑𝑥2)

2

𝑑𝑥 + ∫ 𝑘(𝑦 − 𝑦0)2𝑑𝑥 → 𝑚𝑖𝑛 𝑙

0 𝑙

0 (a)

Trong đó: 𝑘 = lim 𝑦0→∞

𝑞

𝑦0 độ cứng lò xo

Từ điều kiện cực trị dầm, ta có:

𝛿𝑍 = 𝛿 {[∫ 𝐸𝐽 (−𝑑𝑑𝑥2𝑦2)

+ ∫ 𝑘(𝑦 − 𝑦0)2 𝑙

0 𝑙

0 ] 𝑑𝑥} =

= 𝛿 {[∫ 𝐸𝐽 (−𝑑𝑑𝑥2𝑦2)

+ ∫ lim 𝑦0→∞

𝑞

𝑦0(𝑦 − 𝑦0) 𝑙

0 𝑙

0 ] 𝑑𝑥} = = 𝛿 {[∫ 𝐸𝐽 (−𝑑2𝑦

𝑑𝑥2)

+ ∫ lim 𝑦0→∞

𝑞 (𝑦2

𝑦0 − 2𝑦 + 𝑦0) 𝑙

0 𝑙

0 ] 𝑑𝑥} =

Vì ta tìm giá trị nên 𝑦0 → ∞ 𝑦

2

(𝑦2

𝑦0 − 2𝑦 + 𝑦0) → −2𝑦

Do ta có:

𝛿𝑍 = 𝛿 {[∫ 𝐸𝐽 (−𝑑𝑑𝑥2𝑦2)

+ ∫ 𝑞(−2𝑦)0𝑙 𝑙

0 ] 𝑑𝑥} =

Hay: − 𝜕2

𝜕𝑥2[2𝐸𝐽 ( 𝜕2𝑦

𝜕𝑥2)] + 2𝑞 = 𝐸𝐽𝜕4𝑦

𝜕𝑥4− 𝑞 = (b)

Phương trình (b) phương trình vi phân đường độ võng dầm

1.5.5 Sử dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss thiết lập phương trình vi phân dao động dầm

a. Dao động tự không kể lực cản

Xét dầm có khối lượng phân bố m, lực quán tính tác dụng dầm fm, độ cứng uốn dầm EJ=const có liên kết bất kỳ, hình a Hệ so sánh chọn dầm khơng có liên kết có tải trọng độ cứng uốn dầm xét, hình b

Hình 1.5

Theo phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, lượng cưỡng toán viết sau:

𝑍 = ∫ 𝐸𝐽 (−𝑑𝑑𝑥2𝑦2)

𝑑𝑥 + ∫ 𝑘(𝑦 − 𝑦0)2𝑑𝑥 → 𝑚𝑖𝑛 𝑙

0 𝑙

0 (a)

Trong đó:

𝑘 = lim 𝑦0→∞

𝑞

𝑦0 độ cứng lò xo

Từ điều kiện cực trị dầm, ta có:

𝛿𝑍 = 𝛿 {[∫ 𝐸𝐽 (−𝑑2𝑦 𝑑𝑥2)

2

+ ∫ 𝑘(𝑦 − 𝑦0)2 𝑙

0 𝑙

𝛿𝑍 = 𝛿 {[∫ 𝐸𝐽 (−𝑑𝑑𝑥2𝑦2)

+ ∫ lim 𝑦0→∞

𝑓𝑚

𝑦0(𝑦 − 𝑦0) 𝑙

0 𝑙

0 ] 𝑑𝑥} = 𝛿𝑍 = 𝛿 {[∫ 𝐸𝐽 (−𝑑𝑑𝑥2𝑦2)

2

+ ∫ lim 𝑦0→∞𝑓𝑚(

𝑦2

𝑦0 − 2𝑦 + 𝑦0) 𝑙

0 𝑙

0 ] 𝑑𝑥} =

Vì ta tìm giá trị nên 𝑦0 → ∞ 𝑦2

𝑦0 → ( 𝑦2

𝑦0 − 2𝑦 + 𝑦0) → −2𝑦

Do ta có:

𝛿𝑍 = 𝛿 {[∫ 𝐸𝐽 (−𝑑2𝑦 𝑑𝑥2)

2

+ ∫ 𝑓𝑚(−2𝑦) 𝑙

0 𝑙

0 ] 𝑑𝑥} =

Hay: − 𝜕2

𝜕𝑥2[2𝐸𝐽 ( 𝜕2𝑦

𝜕𝑥2)] − 2𝑓𝑚 = 𝐸𝐽𝜕4𝑦

𝜕𝑥4+ 𝑓𝑚 = 𝐸𝐽𝜕4𝑦

𝜕𝑥4+ 𝑚 𝜕2𝑦

𝜕𝑡2 = (b)

Phương trình (b) phương trình vi phân dao động tự dầm chịu uốn

b. Dao động cưỡng không kể lực cản

Khi dầm chịu tải phân bố q Theo phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, lượng cưỡng toán viết sau:

𝑍 = ∫ 𝐸𝐽 (−𝑑𝑑𝑥2𝑦2)2𝑑𝑥 + ∫ 𝑘(𝑦 − 𝑦0)2𝑑𝑥 → 𝑚𝑖𝑛 𝑙

0 𝑙

0 (c)

Trong đó: 𝑘 = lim 𝑦0→∞

𝑞−𝑓𝑚

𝑦0 , độ cứng lò xo

Từ điều kiện cực trị dầm, ta có:

𝛿𝑍 = 𝛿 {[∫ 𝐸𝐽 (−𝑑𝑑𝑥2𝑦2)2+ ∫ 𝑘(𝑦 − 𝑦0)2 𝑙

0 𝑙

0 ] 𝑑𝑥} = = 𝛿 {[∫ 𝐸𝐽 (−𝑑𝑑𝑥2𝑦2)

2

+ ∫ lim 𝑦0→∞

𝑞−𝑓𝑚

𝑦0 (𝑦 − 𝑦0) 𝑙

0 𝑙

0 ] 𝑑𝑥} = = 𝛿 {[∫ 𝐸𝐽 (−𝑑𝑑𝑥2𝑦2)

2

+ ∫ lim

𝑦0→∞( 𝑞 − 𝑓𝑚) ( 𝑦2

𝑦0 − 2𝑦 + 𝑦0) 𝑙

0 𝑙

0 ] 𝑑𝑥} =

Vì ta tìm giá trị nên 𝑦0 → ∞ 𝑦2

𝑦0 → (𝑦2

Do ta có:

𝛿𝑍 = 𝛿 {[∫ 𝐸𝐽 (−𝑑𝑑𝑥2𝑦2)

+ ∫ (𝑞 − 𝑓𝑚)(−2𝑦) 𝑙

0 𝑙

0 ] 𝑑𝑥} =

Hay: 𝜕

2

𝜕𝑥2[2𝐸𝐽 ( 𝜕2𝑦

𝜕𝑥2)] + 2𝑓𝑚 − 2𝑞 = 𝐸𝐽𝜕4𝑦

𝜕𝑥4+ 𝑓𝑚 − 𝑞 = 𝐸𝐽𝜕4𝑦

𝜕𝑥4+ 𝑚 𝜕2𝑦

𝜕𝑡2 = 𝑞 (d)

Phương trình (d) phương trình vi phân dao động cưỡng dầm không kể đến lực cản

1.5.6 Sử dụng phương pháp nguyên lý cực trị Gauss thiết lập phương trình vi phân cân thẳng chịu uốn dọc

Xét thẳng chịu tải trọng nén dọc trục P, độ cứng uốn dầm EJ=const có liên kết Tách khỏi hệ phân tố có chiều dài dx, phân tố chịu nén có biến dạng uốn hình a

Hình 1.6 Tại đầu (a) có nội lực M gây biến dạng uốn

𝜒 = −𝐸𝐽𝑑2𝑦

𝑑𝑥2

Giả sử đầu (b) có chuyển vị Δ,

Tại đầu (a) có ngoại lực Mp=P Δ gây góc xoay φ =

dy

dx, φ nhỏ nên 𝑡𝑔φ = φ → Δ = φdx = dy

dx𝑑𝑥, ta có: M𝑃 = 𝑃Δ = P dy dx𝑑𝑥

Theo phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, lượng cưỡng toán viết sau:

𝑍 = ∫ 𝑀 (−𝑑𝑑𝑥2𝑦2) 𝑑𝑥 − ∫ P dy dx(

dy

dx) 𝑑𝑥 → 𝑚𝑖𝑛 𝑙

0 𝑙

0 (e)

Từ điều kiện cực trị dầm, ta có:

P P

𝛿𝑍 = −𝛿 {[∫ 𝑀 (0𝑙 𝑑𝑥𝑑2𝑦2) + ∫ 𝑃 (0𝑙 𝑑𝑑𝑥2𝑦2)] 𝑑𝑥} = Hay: − 𝑑2

𝑑𝑥2[𝑀 − 𝑃] = −𝑑2𝑀

𝑑𝑥2 + 𝑃 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 =

Thay 𝜒 = −𝐸𝐽𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 vào phương trình ta có 𝐸𝐽𝑑4𝑦

𝑑𝑥4+ 𝑃 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 = (f)

Phương trình (b) phương trình ổn định thẳng chịu uốn dọc

CHƯƠNG

LÝ THUYẾT DẦM CHỊU UỐN 2.1.Lý thuyết dầm Euler – Bernoulli [1]

Dầm chịu uốn cấu kiện có kích thước tiết diện nhỏ nhiều lần so với chiều dài nó, mặt cắt ngang dầm tồn hai thành phần nội lực mômen uốn M lực cắt Q Tải trọng tác dụng lên dầm nằm mặt phẳng có chứa đường trung bình dầm thẳng góc với trục dầm Dưới ta xét hai trường hợp dầm chịu uốn túy phẳng uốn ngang phẳng

2.1.1.Dầm chịu uốn túy phẳng

Dầm chịu uốn túy phẳng dầm mà mặt cắt ngang dầm có thành phần nội lực mơmen uốn nằm mặt phẳng quán tính trung tâm

Ứng suất mặt cắt ngang

Giả sử dầm có mặt cắt ngang hình chữ nhật (bxh) chịu uốn túy hình… Ta tiến hành thí nghiệm sau:

Trước dầm chịu lực ta vạch lên mặt dầm đường thẳng song song vng góc với trục dầm tạo nên vng, hình… Sau dầm biến dạng hình….ta thấy đường song song với trục dầm trở thành đường cong, đường thẳng vng góc với trục dầm thẳng vng góc với trục dầm Từ người ta đưa hai giả thiết sau đây:

-Mặt cắt ngang dầm ban đầu phẳng vng góc với trục dầm, sau biến dạng phẳng vng góc với trục dầm (giả thiết mặt cắt ngang, giả thiết Bernoulli)

-Trong trình biến dạng thớ dọc dầm không ép lên không đẩy xa (giả thiết thớ dọc)

Ngoài tính tốn dầm ta cịn dựa vào giả thiết sau:

- Vật liệu có tính chất lien tục, đồng đẳng hướng

- Biến dạng vật thể biến dạng đàn hồi đàn hồi tuyệt đối - Biến dạng vật thể ngoại lực gây nhỏ so với kích thước chúng

Từ hình… ta nhận thấy rằng: dầm bị uốn thớ co lại, thớ giãn Do chuyển từ thớ co sang thớ giãn có thớ khơng co, khơng giãn Thớ gọi thớ trung hòa Tập hợp thớ trung hòa gọi lớp trung hòa, giao lớp trung hòa với mặt cắt ngang gọi đường trung hòa Nếu ta xét mặt cắt ngang dầm sau bị uốn cho hình dạng hình…Đường trung hịa mặt cắt ngang đường cong Vì chuyển vị điểm mặt cắt ngang dầm bé, nên ta coi hình dáng mặt cắt ngang dầm khơng thay đổi sau biến dạng Khi đường trung hịa mặt cắt ngang đường thẳng giả sử lấy trục ox trùng với đường trung hòa

Xét biến dạng đoạn dầm dz cắt khỏi dầm hai mặt cắt 1-1 2-2 Sau biến dạng hai mặt cắt làm với góc 𝑑𝜑 thớ trung hịa có bán kính cong 𝜌 (hình…) Theo tính chất thớ trung hịa ta có:

𝑑𝑧 = 𝜌𝑑𝜑 (2.1)

Ta xét biến dạng thớ ab cách thớ trung hòa khoảng y, ta có:

𝑎𝑏𝑡

̅̅̅̅̅ = 𝑑𝑧 = 𝜌𝑑𝜑; 𝑎𝑏̅̅̅̅̅ = 𝑑𝑧 = (𝜌 + 𝑦)𝑑𝜑𝑠 (2.2) Từ (2.2) ta suy ra:

𝜀𝑧 = 𝑎𝑏̅̅̅̅̅−𝑎𝑏𝑠 ̅̅̅̅̅𝑡 𝑎𝑏̅̅̅̅̅𝑡 =

(𝜌+𝑦)𝑑𝜑−𝜌𝑑𝜑

𝜌𝑑𝜑 ; (2.3)

Xét ứng suất điểm A(x,y) mặt cắt ngang đócủa dầm (hình ) Trong trục oy trục đối xứng mặt cắt ngang, trục ox trùng với đường trung hòa mặt cắt ngang

Ta tách A phân tố hình hộp mặt cắt song song với mặt tọa độ (hình…) Khi theo giả thiết thứ góc phân tố sau biến dạng khơng đổi, nên ta suy mặt phân tố khơng có ứng suất tiếp Mặt khác theo giả thiết thứ hai mặt phân tố song song với trục Z khơng có ứng suất pháp, nghĩa 𝜎𝑥 = 𝜎𝑥 = Do mặt phân tố có ứng suất pháp 𝜎𝑧 theo định luật Hooke ta có:

𝜎𝑧 = 𝐸𝜀𝑧 = 𝐸 𝑦

𝜌; (2.4)

𝑁𝑧 = ∫ 𝜎𝐹 𝑧𝑑𝐹 = (2.5) 𝑀𝑥 = ∫ 𝜎𝐹 𝑧𝑦𝑑𝐹 = (2.6)

Thay (2.4) vào (2.5) ta

𝑁𝑧 = ∫ 𝐸𝑦𝜌𝑑𝐹 = 𝐸

𝜌∫ 𝑦𝑑𝐹 = 𝐹 = 𝐸

𝜌𝑆𝑥 =

𝐹 (2.7)

𝑆𝑥 = nghĩa ox trục quán tính trung tâm Vì y trục đối xứng nên suy oxy trục quán tính trung tâm mặt cắt ngang Thay (2.4) vào (2.6) ta được:

𝑀𝑥 = ∫ 𝜎𝑧𝑦𝑑𝐹 = 𝐸 𝜌∫ 𝐸

𝑦2

𝜌 𝑑𝐹 = 𝐸 𝜌

𝐹 𝐽𝑥

𝐹 (2.8)

Suy ra:

𝜌= 𝑀𝑥

𝐸𝐽𝑥 (2.9) 𝐸𝐽𝑥 độ cứng

của dầm uốn Thay (2.9) vào (2.4) ta có:

𝜎𝑧 = 𝑀𝑥

𝐸𝐽𝑥𝑦 (2.10)

Từ cơng thức (2.10) ta có nhận xét:

-Luật phân bố 𝜎𝑧 mặt cắt ngang dầm bậc y -Những điểm mặtcắt ngang có tung độ y (nghĩa điểm nằm đường thẳng song song với trục trung hịa x) có trị số tỉ lệ với khoảng cách từ điểm tới trục trung hòa

-Những điểm nằm trục trung hịa y=0 có trị số 𝜎𝑧 = Những điểm xa trục trung hịa có trị số ứng suất lớn bé

2.1.2.Dầm chịu uốn ngang phẳng

Dầm chịu uốn ngang phẳng dầm mà mặt cắt ngang có thành phần nội lực lực cắt Qy mômen uốn Mx nằm mặt phẳng quán

tính trung tâm dầm

Ứng suất mặt cắt ngang

với trục dầm hình… Điều chứng tỏ mặt cắt ngang dầm sau biến dạng bị vênh Nếu điểm A dầm ta tách phân tố mặt song song với mặt tọa độ sau biến dạng góc vng phân tố khơng cịn vng nữa, nghĩa phân tố có biến dạng góc Suy mặt phân tố có ứng suất tiếp Trong lý thuyết đàn hồi người ta chứng minh mặt phân tố có ứng suất sau:

𝜎𝑦, 𝜎𝑧, 𝜏𝑧𝑦, 𝜏𝑦𝑧, Nhưng thực tế cho thấy ứng suất pháp 𝜎𝑦, bé so với thành phần khác nên ta bỏ qua, nghĩa dầm chịu uốn ngang phẳng mặt cắt ngang dầm có hai thành phần ứng suất là: ứng suất pháp 𝜎𝑧, ứng suất tiếp hình…

a.Ứng suất pháp 𝝈𝒛:

Trong mục trước nhờ giả thiết Bernoulli mặt cắt ngang phẳng ta đưa tới cơng thức tính ứng suất pháp 𝜎𝑧 mặt cắt ngang dầm là:

𝜎𝑧 = 𝑀𝑥

𝐸𝐽𝑥𝑦 (2.11)

Trong trường hợp dầm bị uốn ngang phẳng sau biến dạng mặt cắt ngang dầm bị vênh đi, nghĩa khơng cịn phẳng Như lập luận để đưa tới cơng thức (2.11) để tính ứng suất pháp 𝜎𝑧 không phù hợp Tuy nhiên lý thuyết đàn hồi người ta chứng minh dầm chịu uốn ngang phẳng ta dùng cơng thức (2.11) để tính ứng suất 𝜎𝑧

mà sai số không lớn

b.Ứng suất tiếp mặt cắt ngang dầm chịu uốn ngang phẳng (công thức Durapski):

Giả sử có dầm mặt cắt ngang hình chữ nhật hẹp (b<h) chịu uốn ngang phẳng hình…

Ta xét ứng suất tiếp điểm A(x,y) mặt cắt ngang 1-1 dầm Qua điểm A ta kẻ đường thẳng song song với trục ox cắt biên mặt cắt B C, cắt trục oy D Trước hết ta xét ứng suất tiếp B,C D

Ứng suất tiếp C 𝜏𝑐, giả sử có phương 1-1

Do 𝜏𝑐 = 𝜏𝑧𝑦 𝑐 có phương song song với oy Do tính chất đối xứng ta

suy 𝜏𝐵 = 𝜏𝑧𝑦𝐵 = 𝜏𝑧𝑦 𝐶

Cũng tính chất đối xứng giả thiết hình chữ nhật hẹp nên 𝜏𝐷 = 𝜏𝑦𝑧𝐷 = 𝜏𝑦𝑧𝐵 = 𝜏𝑦𝑧 𝐶

Do giả thiết hình chữ nhật hẹp nên CD=b/2 nhỏ mà ứng suất tiếp C D có phương y Do ta suy ứng suất tiếp A có phương y: 𝜏𝐴 = 𝜏𝑦𝑧𝐴 Đồng thời:

𝜏𝑦𝑧𝐴 = 𝜏𝑦𝑧 𝐶 + 𝜏

𝑦𝑧𝐷

2 = 𝜏𝑦𝑧 𝐶 = 𝜏

𝑦𝑧𝐷

Như ứng suất tiếp điểm đường thẳng BC qua A có phương y trị số Nghĩa ứng suất tiếp BC phân bố với cường độ 𝜏𝑧𝑦 Để tính 𝜏𝑧𝑦 ta cắt đoạn dầm dz hai mặt cắt 1-1 2-2 hình….Sau cắt đoạn dầm dz mặt phẳng qua điểm A song song với trục Z Mặt phẳng chia đoạn dầm dz làm hai phần Nếu gọi BC = bc dt (BCEF)=Fc từ điều kiện cân phân đoạn dz hình…ta suy ra:

∑ 𝑍 = ∫ 𝜎𝑧(1)𝑑𝐹 − ∫ 𝜎𝑧(2)𝑑𝐹 + 𝐹𝑐

𝐹𝑐

𝜏𝑦𝑧𝑏𝑐𝑑𝑍 =

Mặt khác ta lại có

𝜎𝑧(1) = 𝑀𝑥

𝐽𝑥 𝑦 (a) 𝜎𝑧(2) = 𝑀𝑥+𝑑𝑀𝑥

𝐽𝑥 𝑦 (b)

Thay (b) vào (a) ta được:

𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦 = 𝑏𝑐.𝑑𝑧[∫

𝑀𝑥+𝑑𝑀𝑥 𝐽𝑥

𝐹𝑐 𝑦𝑑𝐹 − ∫

𝑀𝑥 𝐽𝑥

𝐹𝑐 𝑦𝑑𝐹] = =

𝐽𝑥.𝑏𝑐 𝑑𝑀𝑥

𝑑𝑧 ∫ 𝑦𝑑𝐹𝐹𝑐 (c)

Ta có: 𝑑𝑀𝑥

𝑑𝑧 = 𝑄𝑦; ∫ 𝑦𝑑𝐹𝐹𝑐 = 𝑆𝑥

𝑐 (d)

𝑆𝑥𝑐: gọi mơmen tĩnh phần diện tích Fc trục x Thay (d)

vào (c) ta suy ra:

𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦 = 𝑄𝑦𝑆𝑥 𝑐

Trong bc gọi bề rộng mặt cắt ngang qua điểm cần tính ứng suất A Công thức (2.12) gọi công thức Durapski Từ công thức theo điều kiện cân phần ta suy 𝜏𝑦𝑧 chiều với trục

z, 𝜏𝑧𝑦 cùng chiều với 𝑄𝑦 Nghĩa dấu 𝜏𝑧𝑦 và 𝑄𝑦 Do cần tính trị số 𝜏𝑧𝑦 theo (2.12) cịn dấu xác định từ biểu đồ

lực cắt 𝑄𝑦

c. Luật phân bố ứng suất tiếp 𝜏𝑧𝑦 đối với mặt cắt hình chữ nhật:

Giả sử mặt cắt ngang dầm chịu uốn ngang phẳng hình chữ nhật bề rộng b, chiều cao h Ta tìm luật phân bố ứng suất tiếp 𝜏𝑧𝑦 đối với mặt cắt lực cắt mặt cắt 𝑄𝑦

𝑆𝑥𝑐 = (ℎ

2− 𝑦) 𝑏 [𝑦 + 2(

ℎ

2− 𝑦)] = 𝑏 2(

ℎ2 − 𝑦

2)

Suy ra: 𝜏𝑦𝑧 = 𝜏𝑧𝑦 = 𝑄𝑦𝑆𝑥 𝑐 𝐽𝑥.𝑏𝑐 =

𝑄𝑦𝑏2(ℎ24−𝑦2) 𝐽𝑥.𝑏 =

𝑄𝑦 2𝐽𝑥(

ℎ2 − 𝑦

2) (2.13)

Từ (2.13) ta nhận thấy rằng: Luật phân bố 𝜏𝑧𝑦 trên mặt cắt parabol

bậc hai y Với y=0 (những điểm nằm trục trung hịa ox) thì:

𝜏𝑧𝑦 (0) = 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝑄𝑦ℎ 8.𝐽𝑥 =

3𝑄𝑦

2𝐹 (2.14) 𝑦 = ±ℎ

2 𝑡ℎì 𝜏𝑧𝑦 =

Từ ta vẽ biểu đồ 𝜏𝑧𝑦 cho mặt cắt hình…

2.2. Lý thuyết dầm xét biến dạng trượt ngang

Lý thuyết xét biến dạng trượt dầm Timoshenko đưa thường gọi lý thuyết dầm Timoshenko Khi xây dựng lý thuyết sử dụng giả thiết tiết diện phẳng lý thuyết dầm thơng thường, nhiên có biến dạng trượt, trục dầm xoay góc khơng cịn thẳng góc với tiết diện dầm

𝛾 = 𝑑𝑦

𝑑𝑥− 𝜃 (2.1)

Từ ta có cơng thức xác định M Q

𝑀 = −𝐸𝐽 (𝑑𝜃 𝑑𝑥) 𝑄 = 𝐺𝐹

𝛼 [− 𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝜃] (2.2)

Trong công thức 𝐸𝐽 độ cứng uốn, 𝐺𝐹 độ cứng cắt tiết diện, 𝐺 mođun trượt vật liệu, 𝐹 diện tích tiết diện, 𝛼 hệ số xét phân bố khơng ứng suất tiếp trªn chiều cao tiết diện

Các tác giả [28, trg 5] cho mơđun trượt G→∞ từ (2.2) suy

𝜃 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥

nghĩa trở lý thuyết dầm khơng xét biến dạng trượt: Góc xoay đường độ võng mômen gây Theo nghiên cứu sinh lập luận không thỏa mãn phương trình (2.3) từ phương trình (2.2) suy lực cắt Q =0, dẫn trường hợp uốn túy dầm Vì lý nên lý thuyết xét biến dạng trượt dùng y 𝜃 làm ẩn không hội tụ lý thuyết dầm thơng thường áp dụng vào tốn tấm, khơng hội tụ lý thuyết thông thường (lý thuyết Kierchhoff, [28, trg 71], [25, trg 404] Phương hướng chung để khắc phục thiếu sót vừa nêu bổ sung thªm nút xét lực cắt Q phần tử dầm phần tử [25, 26, 28] dùng phần tử có hàm dạng đa thức bậc thấp (bậc nhất) [ 31,trg 126] Vấn đề phần tử có hàm dạng khơng bị tượng biến dạng trượt bị khóa, shear locking, tiếp tục nghiên cứu, [32] Tình hình chung lý thuyết xét biến dạng trượt dầm

Khác với tác giả khác, [19, 20] lý thuyết xét biến dạng trượt xây dựng sở hai hàm chưa biết hàm độ võng y hàm lực cắt Q Trong trường hợp biến dạng trượt xác định theo

𝛾 = 𝛼𝑄

 hệ số xét phân bố không ứng suất cắt trục dầm Góc xoay momen uốn sinh hiệu góc xoay đường độ võng với góc xoay lực cắt gây

𝜃 = 𝑑𝑦

𝑑𝑥 − 𝛾 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥−

𝛼𝑄

𝐺𝐹 (2.5)

Momen uốn

𝑀 = −𝐸𝐽𝑑𝜃

𝑑𝑥 = −𝐸𝐽 ( 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2+

𝛼 𝐺𝐹

𝑑𝑄

𝑑𝑥) (2.6)

Biến dạng uốn 𝜒

𝜒 = −𝑑2𝑦 𝑑𝑥2+

𝛼 𝐺𝐹

𝑑𝑄

𝑑𝑥 (2.7)

Dựa lý thuyết ta xây dựng phương trình cân điều kiện biên dầm sau Theo phương pháp nguyên lý cực trị Gauss ta viết phiếm hàm lượng cưỡng (chuyển động) sau: (giả sử dầm có lực phân bố q)

𝑍 = ∫ 𝑀𝜒𝑑𝑥 0𝑙 + ∫ 𝑄𝛾𝑑𝑥 0𝑙 − ∫ 𝑞𝑦𝑑𝑥 0𝑙 → 𝑚𝑖𝑛 (2.8)

Các hàm độ võng y, hàm biến dạng trượt  hàm biến dạng uốn  đại lượng biến phân, nghĩa điều kiện cần đủ để hệ trạng thái cân

𝛿𝑍 = ∫ 𝑀𝛿𝜒𝑑𝑥 0𝑙 + ∫ 𝑄𝛿𝛾𝑑𝑥 0𝑙 − ∫ 𝑞𝛿𝑦𝑑𝑥 0𝑙 = Hay

𝛿𝑍 = ∫ 𝑀𝛿 [−𝑑𝑑𝑥2𝑦2+ 𝛼 𝐺𝐹

𝑑𝑄 𝑑𝑥] 𝑑𝑥 𝑙

0 + ∫ 𝑄𝛿 [

𝛼𝑄 𝐺𝐹] 𝑑𝑥 𝑙

0 − ∫ 𝑞𝛿[𝑦]𝑑𝑥

𝑙

0 = (2.9)

Trong phương trình tích phân (2.9) hai đại lượng cần tìm y(x) Q(x) tách thành hai phương trình sau:

∫ 𝑀𝛿 [−0𝑙 𝑑𝑑𝑥2𝑦2] 𝑑𝑥 − ∫ 𝑞𝛿[𝑦]𝑑𝑥 0𝑙 = (2.10)

∫ 𝑀𝛿 [−0𝑙 𝑑𝑑𝑥2𝑦2] 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑀𝑑 (𝛿 [0𝑙 𝑑𝑦𝑑𝑥]) 𝑑𝑥

= −𝑀𝛿 [𝑑𝑦 𝑑𝑥]|0

𝑙

+ ∫ 𝑑𝑀𝑑𝑥 𝛿 [𝑑𝑦 𝑑𝑥] 𝑑𝑥 𝑙

0

Tích phân phần thành phần cuối biểu thức ta có

∫ 𝑀𝛿 [−𝑑2𝑦 𝑑𝑥2] 𝑑𝑥 𝑙

0 = −𝑀𝛿 [

𝑑𝑦 𝑑𝑥]|0

𝑙

+𝑑𝑀

𝑑𝑥 𝛿[𝑦]|0 𝑙

− ∫ 𝑑2𝑀

𝑑𝑥2 𝛿[𝑦]𝑑𝑥 𝑙

0

Phương trình (2.10) sau lấy tích phân phần có dạng

−𝑀𝛿 [𝑑𝑦 𝑑𝑥]|0

𝑙

+𝑑𝑀

𝑑𝑥 𝛿[𝑦]|0 𝑙

− ∫ (0𝑙 𝑑𝑑𝑥2𝑀2 + 𝑞) 𝛿[𝑦]𝑑𝑥 = (2.12) Bởi đại lượng 𝛿[𝑦] 𝛿 [𝑑𝑦

𝑑𝑥] nhỏ nên từ (2.12) ta có 𝑑2𝑀

𝑑𝑥2 + 𝑞 = (2.12a) −𝑀𝛿 [𝑑𝑦

𝑑𝑥]|0 𝑙

= (2.12b)

𝑑𝑀

𝑑𝑥 𝛿[𝑦]|0 𝑙

= (2.12c) Tích phân phần phương trình (2.11):

∫ 𝑀𝛿 [0𝑙 𝐺𝐹𝛼 𝑑𝑄𝑑𝑥] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑀𝑑 (𝛿 [0𝑙 𝛼𝑄𝐺𝐹]) 𝑑𝑥

= 𝑀 (𝛿 [𝛼𝑄 𝐺𝐹])|0

𝑙

− ∫ 𝑑𝑀𝑑𝑥 𝛿 [𝛼𝑄 𝐺𝐹] 𝑑𝑥 𝑙

0

Sau lấy tích phân phần

𝑀 (𝛿 [𝛼𝑄 𝐺𝐹])|0

𝑙

+ ∫ (−𝑑𝑀

𝑑𝑥 + 𝑄) 𝛿 [ 𝛼𝑄 𝐺𝐹] 𝑑𝑥 𝑙

0 = (2.13)

Bởi biến phân 𝛿 [𝛼𝑄

𝐺𝐹] nhỏ nên từ (2.13) ta có −𝑑𝑀

𝑑𝑥 + 𝑄 = (2.13a) 𝑀𝛿 [𝛼𝑄

𝐺𝐹]|0 𝑙

= (2.13b)

𝐸𝐽 [𝑑4𝑦 𝑑𝑥4−

𝛼 𝐺𝐹

𝑑3𝑄

𝑑𝑥3] = 𝑞 (2.14a) 𝐸𝐽 [𝑑3𝑦

𝑑𝑥3− 𝛼 𝐺𝐹

𝑑2𝑄

𝑑𝑥2] = 𝑄 (2.15a)

Phương trình (2.14a) (2.15a) viết lại dạng

𝐸𝐽𝑑4𝑦 𝑑𝑥4−

𝛼ℎ2

𝑑3𝑄

𝑑𝑥3 = 𝑞 (2.14b) 𝐸𝐽𝑑3𝑦

𝑑𝑥3− 𝛼ℎ2

6 𝑑2𝑄

𝑑𝑥2 = 𝑄 (2.15b)

Để nhận điều kiện biên dầm kết hợp (2.12b) (2.13b) ta có

𝑀𝛿 [−𝑑𝑦 𝑑𝑥+

𝛼𝑄 𝐺𝐹]|0

𝑙

= (2.16)

Chú ý tới phương trình (2.13a), phương trình (2.12c) viết lại sau

𝑄𝛿[𝑦]|0𝑙 = (2.17)

Tóm lại, lý thuyết xét biến dạng trượt cho ta hai phương trình vi phân (2.14) (2.15) hai hàm y Q: phương trình (2.14) phương trình vi phân cân nội lực ngoại lực, phương trình (2.15) phương trình liên hệ mơmen uốn lực cắt Các phương trình (2.16) (2.17) điều kiện biên hai đầu

Ta xét điều kiên biên (2.16)

Nếu x=0 x=l, góc xoay θ mơmen uốn gây có biến phân

𝛿𝜃 = 𝛿 [−𝑑𝑦 𝑑𝑥 +

𝛼𝑄 𝐺𝐹]|0

𝑙

≠ 𝑡ℎì 𝑀|0𝑙 = → 𝑙𝑖ê𝑛 𝑘ế𝑡 𝑘ℎớ𝑝 (2.18a) Nếu góc xoay θ khơng có biến phân

𝛿𝜃 = 𝛿 [−𝑑𝑦 𝑑𝑥 +

𝛼𝑄 𝐺𝐹]|0

𝑙

𝛿[𝑦]|0𝑙 ≠ 𝑡ℎì 𝑄|0𝑙 = 0, → 𝑘ℎơ𝑛𝑔 𝑐ó 𝑔ố𝑖 𝑡ự𝑎 (2.18c) Nếu

𝛿[𝑦]|0𝑙 = 𝑡ℎì 𝑄|0𝑙𝑏ấ𝑡 𝑘ỳ, → 𝑙𝑖ê𝑛 𝑘ế𝑡 𝑔ố𝑖 𝑡ự𝑎 (2.18b)

Khi khơng xét biến dạng trượt, G→∞ h→0 phương trình (2.14) (2.15) phương trình điều kiện biên (2.16) (2.17) (2.18) dẫn lý thuyết dầm Euler- Bernoulli Cho nên nói lý thuyết xét biến dạng trượt nêu (xem hàm y hàm Q hai hàm chưa biết) lý thuyết đầy đủ dầm

Cuối cần lưu ý xét tính liên tục góc xoay hai đoạn dầm nói đến tính liên tục góc xoay mơmen gây xác định theo công thức (2.5), liên tục góc xoay 𝑑𝑦

𝑑𝑥 Hệ số 

CHƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN TÍNH TỐN DẦM CHỊU UỐN 3.1. Phương pháp sai phân hữu hạn

Phương pháp sai phân hữu hạn phương pháp tính số cổ điển đời từ lâu, từ có máy tính điện tử phương pháp chiếm vị trí quan trọng áp dụng rộng rãi để giải toán phức tạp kỹ thuật nói chung lĩnh vực kết cấu nói riêng

Nội dung phương pháp sai phân hữu hạn thay hàm xác định miền liên tục hàm lưới gồm tập hợp rời rạc hữu hạn điểm, đạo hàm thay tỷ sai phân Điều kiện biên điều kiện ban đầu xấp xỉ sai phân, nhờ tốn biên phương trình vi phân thay hệ phương trình đại số tuyến tính Trong phần tác giả giới thiệu nội dung phương pháp sai phân hữu hạn cách vận dụng để giải toán kết cấu

3.1.1.Biểu diễn đạo hàm cấp phương pháp sai phân hữu hạn 3.1.1.1.Biểu diễn đạo hàm parabôn nội suy

Phương pháp đơn giản để biểu thị gần đạo hàm hàm y(x) thay hàm y parabôn qua số điểm định điểm đạo hàm parabơn có giá trị gần đạo hàm hàm y

Chẳng hạn tìm đạo hàm cấp hai y'' y biết giá trị y điểm liên tiếp i -1, i, i+1 có khoảng cách h trục hoành với giá trị tương ứng hàm yi-1, yi, yi+1 (hình 1-1) ta viết phương trình

parabơn bậc qua điểm trên:

Hình 3.1 Parabon nội suy Có thể chọn điểm i làm gốc toạ độ, tức là:

y(-h) = yi-1 = Ah2 - Bh + C

y(0) = yi = C

y(h) = yy+1 = Ah2 - Bh + C

Từ rút ra:

yi-1 - 2yi + yi+1 = 2Ah2

Đạo hàm cấp hai y'' y điểm i có giá trị gần là:

 1 1

2 "

1

1

   

 yi yi yi

h

y (3.1)

Tương tự tìm đạo hàm cấp cao phương trình parabơn nội suy cấp cao chọn cho qua điểm đối xứng không đối xứng điểm i

Chẳng hạn parabôn bậc 3: yp = Ax3+ Bx2 + Cx + D

qua điểm i - 1, i, i + 1, i + (hình 1-1) chọn i làm gốc toạ độ ta có:

y(-h) = yi-1 = Ah3 - Bh2 + Cx + D

y(0) = yi = D

y(h) = yi+1 = Ah3 - Bh2 + Ch + D

y(2h) = yi+2 = 8Ah3 + 4Bh2 + 2Ch + D

 1 1 2

''

' 3 3

 

   



 i i i i

i y y y y

h

y (3.2)

Hình 3.2 Các điểm không cách

Bây tay thành lập biểu thức sai phân điểm có khoảng cách khơng Chẳng hạn tìm đạo hàm cấp hai điểm i hàm y biết giá trị điểm có khoảng cách h h (hình 3.2)

Phương trình parabơn qua điểm sau: y(-h) = yi-1 = Ah2 - Bh + C

y(0) = y1 = C

y(h) = yi+1

2Ah2 + Bh + C

khử B, C từ đạo hàm ''' i

y = 2A parabôn, ta có:

    1

2 ''

1

2

    



 i i i

i y y y

h

y  



 (3.3)

rõ ràng  = ta lại nhận công thức (3.1) Các đạo hàm cấp cao thực cách tương tự

3.1.1.2.Biểu diễn đạo hàm phép triển khai Taylor

Việc biểu diễn đạo hàm phương pháp sai phân dẫn đến sai số định, sai số triệt tiêu dần khoảng sai phân h dần tới không Để làm rõ diều ta tìm cơng thức gần khác đạo hàm, sai số phụ thuộc vào h qua việc triển khai Taylo

Chuỗi Taylo y(x + h) trục Ox viết sau:

x h

y  = y(x) +     ' ''  !

3 ''

! '

!

3

 

 h y x h y x

x y h

yi+1 = y(x + h) =     

0 ! m m x m y m h (3.4) Trong y(m) đạo hàm cấp m y Thay ký hiệu hình (3.2)

vào quan hệ (3.4) ta triển khai dạng chuỗi cho điểm x + h (x - h):

                    24 24 '' ' '' ' 4 '' ' 3 '' 2 ' IV i i i i i i IV i i i i i i y h y h y h hy y y y h y h y h hy y

y    

(3.5)

Từ rút ra:

yi+1 - yi-1 =      

6

1

1 '''

3 '' 2 '     

 hyi  h yi  h yi



Kết quả:

      1 

1

1

1 '''

2 '' 1 '        

 i i i i

i y h y h y y h y    

Như biểu thức gần đạo hàm cấp là:

   1

' 1    

 i i

i y y

h y

 (3.6)

Với sai số:

   

6

1

1 '''

2 ''     

 h yi h yi

  



Ta thấy  tiến tới không lúc với h  với h2  = Nếu khử ''

i

y hai phương trình (3.5) ta được:

     1

2 ' 1      

 i i i

i y y y

h

y  



 (3.7)

Sai số tiến tới khơng lúc với h2 

biểu thức (3.7) trở lại quan hệ (3.6)  = Khử '

i

y phương trình (3.5) ta nhận được:

  i   i i    i iIV

i y h y h y y y h y 12 1 1 2 '' ' 1 ''                

Ta thấy biểu thức (3.8) ''

i

y có sai số tién tới không lúc

với h   với h2  =

Bằng phương pháp tương tự, ta thiết lập biểu thức sai phân khác sai số chúng xác định cách dễ dàng

Ví dụ: Có thể xác định giá trị gần ''

i y :

          1

3 2 '' 6 2 1            

 i i i i

i y y y y

h

y      

  

(3.9)

Các điểm i - i - 1, i i - cách đoạn h, điểm i i + có khoảng cách h Hình (3.3a) có sai số tiến dần tới khơng lúc với h2 Biểu thức tương tự điểm hình (3.3b) là:

          2

2 3 '' ' ' ' ' ' ' ' ' '            

 i i i i

i y y y y

h

y       

  

(3.10)

Hình 3.3 Kết hợp khoảng cách khoảng cách không

Với sai số tiến dần tới không lúc với h2

Quá trình thiết lập đậòhm dạng sai phân xác định sai số chúng khái quát sau Giả sử muốn biểu diễn ''

i

y qua giá trị y điểm i - 1, i, i + Quan hệ tìm có dạng: 1 1 ''      

 i y i i i i

i a y a y a y

y (3.11)

Trong ai-1, ai, ai+1 số xác định sau:

- Triển khai yi+1 yi-1 theo quan hệ (2.23) đem thay chúng vào (3.11)

và sau nhóm lại sau:

Nếu triệt tiêu hệ số y'i yi sau cân hệ số y''i ta

được hệ phương trình:

                   0 1 1 i i i i i i i a a a a a a a  

Từ rút ra:

 

1 h ai  

  ; = 2

2

h 

 ; ai+1 =

 

1 h   

Thay giá trị ai-1, ai, ai+1 vào thành phần lại dấu

ngoặc (3.12) cho ta sai số 2 biểu thức (3.11)

Để xấp xỉ đạo hàm y"i ta đưa thêm nhiều điểm lân cận

như i + 2, i - Tương tự (3.11) ta viết:

y"i = ai-2yi-2 + ai-1yi-1 + aiyi + ai+1yi+1 + ai+2yi+2

Sau thực phép tính trung gian ta được:

y"i = 2 2 16 1 30 16 1 2 '2

12

1     

  

 i i i i

i y y y y

y h

Trong sai số

'2 =

1008 90   VIII i IV i y h y h

tiến dần tới không lúc với h4

Ta thấy trường hợp mà khoảng chia cách nhau, phương pháp triển khai Taylo có quan hệ chặt chẽ với phương pháp sai phân hữu hạn

Nhưng thực tế người ta áp dụng nhiều phương pháp đơn giản để xấp xỉ sai phân đạo hàm sai số tương ứng chúng

Dưới trình bày phương pháp

3.1.1.3.Sai phân lùi (sai phân lệch trái)

Đạo hàm điểm i dạng sai phân sau (hình 3.1)

h y y h y y x

y i i i i

i 1               (3.13)     h h y y h y y x

y i i i i

= 22

h y y yi  i  i

(3.14) Bằng phương pháp ta biểu diễn sai phân cho đạo hàm cấp cao Giả sử hàm y(x) cho giá trị y0, y1, y2 , yi-2, yi-1, yi, , yn-2,

yn-1, yn điểm có khoảng cách h

Sai phân lùi y điểm i xác định sau:

yi yi - yi-1 (3.15)

2(y

i) = (yi) = (yi - yi-1) - (yi-1 - yi-2) = yi - 2yi-1 + yi-2 (3.16)

ny

i (n-1yi) (3.17)

Trong ký hiệu  tốn tử sai phân lùi

Ta có nhận xét hệ số giá trị điểm nút suy từ hệ số nhị thức Niutơn (a - b)n

Ví dụ:

3y

i = yi - 3yi-1 + 3yi-2 - yi-3 (3.18)

4y

i = yi - 4yi-1 + 6yi-2 - 4yi-3 + yi-4 (3.19)

Tóm lại thực sai phân lùi liên tiếp hàm theo xếp hình (3.4)

Hình 3.4

Ở phần trái hình (3.4) biểu thị trình tự sai phân liên tiếp, ví dụ:

2y

được biểu thị hai đường xuất phát từ 2y

i hướng yi yi-1

tiếp tục yi yi-1 có mối liên hệ tương ứng với yi, yi-1 yi-1, yi-2 theo quan

hệ:

yi = yi - yi-1

yi-1 = yi-1 - yi-2

Như 2y

i = yi - 2yi-1 + yi-2 Ở phần bên phải hình (3.4) sai

phân yi, 2yi , biểu thị hệ số tương ứng yi, yi-1,

Ví dụ: 4y

i = yi - 4yi-1 + 6yi-2 - 4yi-3 + yi-4

Chúng ta biết toán tử vi phân D  d/dx sử dụng tượng trưng số (hoặc biến) với điều kiện thoả mãn quy tắc đại số Do tốn tử sai phân  sử dụng số (hoặc biến), tức thoả mãn quy tắc đại số, cụ thể sau:

(yi+ yj) = yi + yj = yj + yi

 (Cyi) = Cyi

m(ny

i) = m+nyi

Từ tính chất này, cho phép ta biểu thị sai phan hàm y qua đạo hàm liên tiếp ngược lại biểu diễn đạo hàm qua tỉ số sai phân liên tiếp

Với ý nghĩa đó, ta thực triển khai Taylo y(x + h) lân cận x y(x + h) = y(x) + ' ''( )

! ) ( " ! ) ( ' !  

h y x h y x

x y h

(a) Với ký hiệu toán tử D  d/dx ta viết:

y(x + h) = y(x) + ( )

! ) ( ! ) ( ! 3 2  

h D y x h D y x

x Dy h

= hD h D h D y x          ! ! ! 1 3 2 (b) Ta biết rằng:

! ! ! 1     

 x x x

e x

hD e D h D h D

h    

 ! ! ! 1 3 2 (3.20) Do đó:

y(x + h) = ehDy(x) (3.21)

cho x = xi đặt y(xi + h) = yi+1, y(xi) = yi

quan hệ (3.21) trở thành:

yi+1 = ehDyi (3.22)

Tương tự suy ra:

y(x - h) = e-hDy(x) (3.23)

hoặc yi-1 =e-hDyi (3.24)

Từ (3.24), biểu thức sai phân cấp (3.15) viết:

yi = yi - yi-1 = (1 - e-hD)y (3.25)

Hoặc từ quan hệ (3.25) ta có:

y1 = yi

D h D h D h hD           ! ! ! ! 4 3 2

= hD h D h D hDyi          24 3 2 (3.26) Quan hệ (3.26) cho ta triển khai tỉ sai phân bậc yi

dạng chuỗi qua đạo hàm điểm i

Quan hệ (3.19) viết dạng tốn tử:

 = - e-hD (3.27)

"số mũ" quan hệ sử dụng để xác định giá trị triển khai dạng chuỗi sai phân liên tiếp hàm số Chẳng hạn bình phương quan hệ (3.27) sử dụng quan hệ (3.20) ta có triển khai sai phân cấp hai 2 sau:

2 = (1 - e-hD)2 = + e2hD - 2e-hD

= + 

2 = h2 D2 - h3D3 +

12

h4D4 - (3.28) cách tương tự ta được:

3 = h3D3 -

4

3 4 4  5 5

D h D

h (3.29)

Bây để thiết lập biểu thức đạo hàm y qua tỉ phân, từ (3.27) ta viết:

e-hD = -  (3.30)

lấy logarit tự nhiên (2.48) ta có: Lne-hD = -hD = Ln(1 - ) =

(*)

2 

            

hD =  +

4       (3.31) Từ (3.31) suy ra:

h2D2 = 2 + 3 +

12

111

+

6

55

+ h3D3 = 3 +

2

31

+

4

75

+ h4D4 = 4 + 25 +

6

176

+ (3.32)

h5D5 = 5 +

2

56

+

6

257

Các quan hệ (3.26), (3.27) (3.32) cho phép đưa đến biểu thức sai phân đơn giản đạo hàm sai số chúng

Chẳng hạn giải phương trình (3.26), (3.27), (3.28) theo D, D2 D3 ta

được quan hệ:

D =

24 3 2

2    

 hD h D h D

h

12

7

3

2

2    h D 

hD h

D (3.33)

D3 =

4

3

3

 



 hD h D

Rõ ràng xét đến số hạng thứ chuỗi quan hệ (3.33) viết sau:

Dyi =

h

(yi - yi-1) + 0(h)

y 2y y   0 h h

1 y

D2 i  2 i  i1 i2  (3.34)

y 3y 3y y   0 h h

1 y

D3 i  3 i  i1  i 2  i 3 

  

Trong 0(h) sai số "bậc h" tổng tất số hạng lại quan hệ (3.33) Từ kết ta thấy xấp xỉ đạo hàm cấp n số hạng biểu thức triển khai sai phân dạng chuỗi dẫn đến sai số cỡ 0(h)

Để xấp xỉ đạo hàm với sai số cấp h2, tức nâng cao độ xác

của phương pháp sai phân phải xét tới hai số hạng chuỗi Như vậy, việc khử h2D2 quan hệ (3.26) (3.27) ta có:

 +

2

2



= hD -

1 3

D h

hoặc xét quan hệ (3.15) (3.16) ta có: Dyi = 3 1 2 0 2

2

h y

y y

h i  i  i  (3.35)

Tương tự, từ hai phương trình (3.28) (3.29) ta có:

2+ 3 = h2D2 -

12

11 4 

D h

hoặc từ (3.17) (3.18) ta được:

D2yi = 12 2y 5y 1 4y 2 y 3 0 h2

h i  i  i  i  (3.36)

Tóm lại việc xấp xỉ đạo hàm xét tới m số hạng chuỗi sai phâ, cơng thức tương ứng dẫn đến sai số có cấp hm

Các toán tử sai phân lùi thường gặp biểu diễn theo sơ đồ hình (3.5) với cấp tương ứng sai số đạo hàm

Ngược lại, với sai phân lùi, sai phân tiến ảnh hưởng tới điểm lân cận phía phải điểm xét i:

yi = yi+1 - yi (3.37)

Kết hợp với quan hệ (3.22) viết dạng tốn tử:

 = ehD - (3.38)

Tương tự sai phân lùi, sai phân tiến liên tiếp đạo hàm biểu thị hình (3.6a)

Hình 3.6.Sơ đồ sai phân lùi Hình 3.6.Sơ đồ sai phân tiến

Từ quan hệ (3.15) ta viết:

yi = yi+1 - yi (3.39)

( ký hiệu toán tử sai phân tiến)

2y

i = yi + - 2yi+1 + yi (3.40)

3y

i = yi+3 - 3yi+2 + 3yi+1 - yi (3.41)

Ta thấy hệ số giá trị điểm nút hệ số nhị thức Niutơn triển khai (a - b)n xếp tương ứng hình

(3.6b)

Quan hệ (3.37) viết dạng tốn tử:

Để triển khai đạo hàm dạng sai phân tiến, ta giải (3.42) theo ehD lấy logarit tự nhiên hai vế phương trình ta có:

hD = ln(1 + ) =  -

4

     

(3.43) Suy ra:

h2D2 = 2 - 3 +

6 12

114 5

h3D3 = 3 -

7

34  5

(3.44) h4D4 = 4 - 25 +

6

176

- h5D5 = 5 -

2 56

+

6 257

-

Ngược lại, cách triển khai dạng chuỗi thành phần thứ hai quan hệ (3.26) ta có:

 = hD +

! !

3 !

2

4 3 2

 

h D h D

D h

(3.45) Suy ra: 2 = h2D2 + h3D3 +

12

h4D4 +

3 = h3D3 +

4

h4D4 +

2

h5D5 + (3.46) Có thể chứng minh rằng, từ việc triển khai đạo hàm dạng chuỗi sai phân tiến với m số hạng dẫn đến sai số đạo hàm cấp hm

Hình 3.7 Toán tử sai phân tiến 3.1.1.5.Sai phân trung tâm

Sai phân trung tâm dùng với điểm đối xứng với điểm xét i, xác sai phân lùi sai phân tiến, phương pháp thông dụng việc giải toán biên

Giả thiết hàm y(x) xác định giá trị điểm nút i có khoảng cách trung tâm điểm nút (hình 3.8)

Hình 3.8 Sai phân trung tâm

Sai phân trung tâm cấp y(x) điểm i là:

yi =

2 1

2    

             i i

i y y

h x y h x y (3.47)

sai phân trung tâm cấp hai:

2y

i  (yi) =

                                                   2 2 2 2 i i i

i y y y

= yi+1 - 2yi + yi-1 (3.48)

Tổng quát:

nyi (n-1yi)

Trong đó:  - ký hiệu tốn tử sai phân trung tâm Từ suy ra:

3y

i = yi+3/2 - 3yi+1/2 + 3yi-1/2 - yi-3/2 (3.49)

Nói chung ta nhận thấy rằng, hệ số tung độ y biểu thức sai phân trung tâm cấp n hệ số nhị thức Niutơn triển khai (a - b)n

Hình (3.9) bảng xếp trật tự sai phân trung tâm liên tiếp

Hình 3.9 Sai phân trung tâm

Để tránh giá trị y điểm trung gian i - 3/2, i +1/2, i + 3/2, xuất biểu thức sai phân trung tâm bậc lẻ, ta đưa khái niệm sai phân trung bình lẻ điểm i, giá trị trung bình sai phân điểm i + 1/2 i - 1/2

Như sai phân trung bình cấp i biểu thị bởi:

 1/2 1/2    1

2

1

1

  



  i  i  i  i  i

i y y y y y

y 

 (a)

yi  1/2 1/2

2

   i

i y

y

(3.50) Như sai phân trung bình cấp viết:

yi =  1/2 1/2  1 1

2   

  i  i  i

i y y y

y 

 (3.51)

Để xác định mối quan hệ toán tử  tốn tử  ta viết:

2y

i =        

                 

 1

2 1 2 2 i i i i

i y y y y

y y



=  1 1

1

   i  i

i y y

y

Từ quan hệ (3.48) ta có:

 1

2

2

1

1       

  

 

 yi yi yi yi yi

= yi 1 2yi yi 1 2yi

4

1   

  rút ra: 2 

   (3.52)

Các quan hệ (3.48), (3.49), (3.52) cho phép tìm mối quan hệ đạo hàm sai phân trung tâm Thay (3.22) (3.24) vào quan hệ (3.51) ta có

yi =   i   i

hD hD i hD i hD i

i y sh hD y

e e y e y e y

y        

2 2 1

hoặc dạng toán tử:

 = sh(hD) (3.53)

Áp dụng triển khai chuỗi Taylo hàm sin hypecbôlic: shx = x +

! !   x x

vào triển khai sai phân trung bình bậc quan hệ đạo hàm có:

 = hD +

120 5 3 

h D

D h

2y

i = ehDyi - 2yi + e-hDyi = i

hD hD y e e         

2 = 2[ch(hD) - 1]yi

Ta biết rằng:

chx = + ! !   x x

2 = h2D2 +

360 12 6 4 

h D

D h

(3.55) Kết tương tự nhận cách triển khai dạng

chuỗi sai phân trung tâm cấp thơng thường (khơng phải trung bình)

yi = yi+1/2 - yi - 1/2 = ehD/2 ehD/2yi

= sh hD yi hD h D h D yi                ! ! 2 4 5 3

Từ viết dạng tổng quát:

n = 2nshn 

     hD (3.56) Trong trường hợp n = ta nhận quan hệ (3.55) Tích số quan hệ (3.54) (3.55) có dạng triển khai sai phân trung bình cấp 3:

3 = h3D3+

40 7 5 

h D

D h

(3.57) Từ (3.55) tìm sai phân trung tâm cấp 4:

4 = h4D4+

80 8 6 

h D

D h

(3.58) Ngược lại, để nhận số triển khai đạo hàm cấp quan hệ sai phân trung tâm, giải phương trình (3.53) theo hD:

hD = argsh()

Áp dụng chuỗi Taylo hàm argshx argshx = x -

40   x x

hD =  - 40 5

3  

 

Từ quan hệ (3.40) ta có:

hD = 

        30     (3.59)

Bằng cách nâng bậc cuả hD sử dụng lần quan hệ (3.56) ta

h2D2 = 2 - 90 12   

h3D3 =

         120 7

3  



 (3.60)

h4D4 = 4 - 240    

Chỉ xét tới số hạng đầu chuỗi trên, đạo hàm y biểu thị cách gần sai phân trung tâm với sai số tương cấp  = 0(h2)

2hDyi = (yi+1 - yi-1) + 21

              

 yi

30    

h2D2yi = yi+1 - 2yi + yi-1 + 2

              

 yi

30 6   

h2D2yi = yi+1 - 2yi + yi-1 + 2

              

 yi

90 12   

2h3D3yi = (yi+2 - 2yi+1 + 2yi-1 - yi-2) + 23

              

 yi

120 7     (3.61)

   

 

   

 

 



 yi

240

8

4

 



So sánh quan hệ (3.61) với quan hệ (3.64), (3.68) ta thấy sai số đạo hàm tương ứng sai số hai h, biểu thức sai phân trung tâm trung bình xác biểu thức sai phân lệch phía (sai phân tiến lùi)

Bằng cách thấy rằng, xét tới hai số hạng quan hệ (3.59) (3.60) sai số đạo hàm tương ứng cấp bốn h

Một cách tổng quát xét tới m số hạng đầu tiên, sai số nhận có cấp h2m

Các tốn tử sai phân trung tâm thường gặp biểu thị hình (3.10)

Hình 3.10 Các tốn tử sai phân trung tâm

3.2.Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn tính tốn dầm chịu uốn có các điều kiện biên khác

3.2.1 Phương trình vi phân cân dầm

q dx

M d hay q dx

y d

EJ  2 

2

4

(3.62) Mơmen uốn dầm (có chiều cao tiết diện khơng đổi) xác định theo (3.63)

2 dx y d EJ

M 

(3.63) Lực cắt dầm (có chiều cao tiết diện không đổi) xác định theo (3.64)

3 dx y d EJ dx

dM

Q 

(3.64)

Trong đó:

- M mơ men uốn, có giá trị dương dầm căng thớ

- q cường độ tải trọng phân bố, có dấu dương hướng từ lên - E mô đun đàn hồi vật liệu

- J mômen quán tính tiết diện ngang dầm

3.2.2 Các bước thực

Bước 1: Rời rạc hóa dầm cách chia dầm thành n phần tử, có (n-4) phần tử thực, phần tử ảo, dầm có i=n+1 nút, đánh số nút, đánh số ẩn chuyển vị

Bước 2: Sai phân hóa phương trình vi phân cân dầm điểm nút (i); Sai phân hóa điều kiện ràng buộc, bao gồm điều kiện biên điều kiện ban đầu (nếu có) Nhận hệ phương trình đại số tuyến tính tốn

Bước 3: Tìm nghiệm tốn cách giải hệ phương trình đại số vừa nhận bước Kết nhận giá trị chuyển vị điểm nút i Từ chuyển vị tính mơmen lực cắt điểm i

3.2.3 Các ví dụ tính tốn

Ví dụ 1: Dầm hai đầu khớp

Hình 3.11 Dầm đơn giản

Lời giải:

Rời rạc hóa dầm thành npt phần tử hình 11a, npt=8, có phần tử thực phần tử ảo (phần tử ảo cố định 4, phần tử thực thay đổi tùy ý Bài tốn có i=9 nút, có nút ảo (1, 2, 6, 7) nút thực (3, 4, 5, 6, 7)

Đánh số ẩn chuyển vị nw1 chuyển vị thẳng nút, có nút có chuyển vị (1, 2, 4, 5, 6, 8, 9), hai nút (3 7) có chuyển vị nw1=0 Như véc tơ chuyển vị nw1 có dạng nw1[1x9], sau:

nw1=[1 7]

Tiến hành sai phân hóa phương trình vi phân cân dầm theo (3.62) điểm chia dầm thực, điểm Phương trình sai phân phương trình (3.62) có dạng sau:

i i

i i i

i q

EJ x y

y y y

y

4

1

2

   



   



(a) Trong đó:

x

 khoảng cách điểm i, qilà tải trọng i

Đoạn dầm thực có chiều dài l chia thành đoạn

/

l x 

Viết phương trình sai phân theo (a) điểm 3, 4, 5, 6, dầm thực ta nhận phương trình sai phân cân theo (b):

SO DO DAM

DANH SO NUT DAM

                                        4 4 4 4 6 5 4 5 y y y y y q EJ x y y y y y q EJ x y y y y y q EJ x y y y y y y y y y y (b)

Sai phân hóa điều kiện ràng buộc, điều kiện biên, mô men uốn chuyển vị hai đầu dầm (điểm điểm 7) không

2    dx y d EJ M                    0 0 , , , , y y y y y y y y y y (c)

                                                          0 2 4 4 4 4 6 5 4 5 y y y y y y y y y y y y y q EJ x y y y y y q EJ x y y y y y q EJ x y y y y y y y y y y (d)

Trong đó: q4=q5=q6=qdx

Có thể biểu diễn hệ phương trình (d) dạng ma trận sau:

 AX B

(e)

Trong đó:  A ma trận hệ số bên trái hệ phương trình (d)

                                                              0 0 1 ; y y y y y y y y y B X

Giải hệ phương trình (e) ta nhận ẩn chuyển vị nút

Ta nhận thấy y5

chuyển vị dầm:

EJ ql4

5 0.0137

y 

Kết xác là:

EJ ql EJ

ql4

5 0.0130

348

y  

Đường độ võng

dầm hình 3.12 Hình 3.12 Đường độ võng

Hình 3.13 Biểu đồ mơmen uốn M

Hình 3.14 Biểu đồ lực cắt Q

Nhận xét kết trên:

Khi chia cột dầm thành 12 phần tử ta nhận kết trên, so sánh với kết xác theo lời giải giải tích ta nhận sai số theo bảng sau:

BẢNG SO SÁNH M, Y TẠI CÁC TIẾT DIỆN GIỮA DẦM, LỰC CẮT Q TẠI HAI ĐẦU DẦM

Nội lực chuyển vị

Lời giải số theo phương pháp

PTHH

Lời giải xác

Sai số %

0 10 12 14

-0.014 -0.012 -0.01 -0.008 -0.006 -0.004 -0.002

X: Y: -0.01309

0 10 12 14

-0.14 -0.12 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.02

X: Y: -0.125

0 10 12 14

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

X: 13 Y: -0.4583 X:

M 0,1250 0,1250

Q 0,4583 0,5000 8,34

Y 0,0131 0,013 0,77

Ta thấy kết nhận được, lực cắt Q có sai số 8,34%, M trùng khớp với lời giải xác, độ võng y có sai số khơng đáng kể

Khi chia dầm thành phần tử ta nhận kết sau: BẢNG SO SÁNH M, Y TẠI CÁC TIẾT DIỆN GIỮA DẦM, LỰC

CẮT Q TẠI HAI ĐẦU DẦM Nội lực

chuyển vị

Lời giải số theo phương pháp

PTHH

Lời giải xác

Sai số %

M 0,1250 0,1250

Q 0,3750 0,5000 25

Y 0,0137 0,013 5,38%

Khi chia dầm thành phần tử nhận M hồn tồn xác, độ võng sai số 5,38%, lực căt Q hai đầu dầm có sai số lớn (25%)

Ví dụ 2: Dầm đầu ngàm - đầu khớp

Cho dầm chịu lực hình 3.15a, dầm có độ cứng uốn EJ=const Hãy xác định chuyển vị nội lực dầm

Hình 3.11 Dầm đầu ngàm - đầu khớp

Lời giải:

SO DO DAM

DANH SO NUT DAM

Làm tương tự ví dụ 1, khác điều kiện biên bên trái dầm ngàm nên góc xoay khơng

Viết phương trình cho điểm chia dầm thực theo

i i

i i i

i q

EJ x y

y y y

y

4

1

2

   



   



(a) Trong đó:

x

 khoảng cách điểm i, qilà tải trọng i

Đoạn dầm thực có chiều dài l chia thành đoạn

/

l x 

Viết phương trình sai phân theo (a) điểm 3, 4, 5, 6, dầm thực ta nhận phương trình sai phân cân trình bày dạng ma trận

[A]X=B (b) [A], X B sau:

                                                              0 0 1 ; y y y y y y y y y B X

Giải hệ phương trình (b) ta nhận ẩn chuyển vị nút

                                                                  EJ ql X 0.0066 0.0053 0.0053 0.0066 0.0036 0.0036 0.0218 y y y y y y y y y

Đường độ võng dầm hình 3.16

Hình 3.16 Đường độ võng

0 10 12 14

-6 -5 -4 -3 -2 -1

0x 10

-3

Hình 3.17 Biểu đồ mơmen uốn M

Hình 3.18 Biểu đồ lực cắt Q

Nhận xét kết trên:

Khi chia cột dầm thành 12 phần tử ta nhận kết trên, so sánh với kết xác theo lời giải giải tích ta nhận sai số theo bảng sau:

0 10 12 14

-0.1 -0.05 0.05 0.1 0.15

X: Y: -0.06315 X:

Y: 0.1237

0 10 12 14

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

X: Y: 0.582

BẢNG SO SÁNH M, Y VÀ Q TẠI CÁC TIẾT DIỆN DẦM Nội lực

chuyển vị

Lời giải số theo phương pháp

PTHH

Lời giải xác

Sai số %

M đầu dầm -0,1237 -0,1250 1,04

M dầm 0,0632 0,0625 1,12

Q đầu dầm 0,5820 0,6250 6,88

Q cuối dầm -0,3346 -0,3750 10,77

Y dầm 0,0054 0,0053 1,88

Ta thấy kết nhận được, lực cắt Q đầu cuối dầm có sai số 6,88% 10,77%, M độ võng y có sai số khơng đáng kể

Khi chia dầm thành phần tử ta nhận kết sau: BẢNG SO SÁNH M, Y VÀ Q TẠI CÁC TIẾT DIỆN DẦM Nội lực

chuyển vị

Lời giải số theo phương pháp

PTHH

Lời giải xác

Sai số %

M đầu dầm -0,1136 -0,1250 9,12

M dầm 0,0682 0,0625 9,12

Q đầu dầm 0,4886 0,6250 21,82

Q cuối dầm -0,2614 -0,3750 30,29

Y dầm 0,0066 0,0053 24,52

Khi chia dầm thành phần tử kết nhận có sai số tương đối lớn, đặc biệt lực cắt Q hai đầu dầm độ võng dầm, với sai số 21,82%, 30,29% 24, 52% Như vậy, ta thấy trường hợp dầm siêu tĩnh, liên kết hai đầu không đối xứng kết hội tụ lời giải giải tích chậm

Ví dụ 3: Dầm đầu ngàm

Hình 3.19 Dầm đầu ngàm

Lời giải:

Làm tương tự ví dụ 1, khác điều kiện biên hai đầu dầm ngàm nên góc xoay hai vị trí khơng

Viết phương trình cho điểm chia dầm thực theo

i i

i i i

i q

EJ x y

y y y

y

4

1

2

   



   



(a) Trong đó:

x

 khoảng cách điểm i, qilà tải trọng i

Đoạn dầm thực có chiều dài l chia thành đoạn

/

l x 

Viết phương trình sai phân theo (a) điểm 3, 4, 5, 6, dầm thực ta nhận phương trình sai phân cân trình bày dạng ma trận

[A]X=B (b) [A], X B sau:

SO DO DAM

                                                              0 0 1 ; y y y y y y y y y B X

Giải hệ phương trình (b) ta nhận ẩn chuyển vị nút

Đường độ võng dầm hình 3.16

Hình 3.20 Đường độ võng

Hình 3.21 Biểu đồ mơmen uốn M Hình 3.22 Biểu đồ lực cắt Q

Nhận xét kết trên:

Khi chia cột dầm thành 12 phần tử ta nhận kết trên, so sánh với kết xác theo lời giải giải tích ta nhận sai số theo bảng sau:

0 10 12 14

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5

0x 10

-3

X: Y: -0.002749

0 10 12 14

-0.06 -0.04 -0.02 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

X: Y: 0.08275

X: Y: -0.04225

0 10 12 14

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

X: Y: 0.4583

BẢNG SO SÁNH M, Y VÀ Q TẠI CÁC TIẾT DIỆN DẦM Nội lực

chuyển vị

Lời giải số theo phương pháp

PTHH

Lời giải xác

Sai số %

M đầu dầm -0,0828 -0,0833 0,60

M dầm 0,0423 0,0417 1,12

Q đầu dầm 0,4583 0,5000 0,014

Y dầm 0,0028 0,0026 7,69

Ta thấy kết nhận được, M Q đầu dầm có sai số khơng đáng kể, riêng độ võng có sai số 7,69%

Khi chia dầm thành phần tử ta nhận kết sau: BẢNG SO SÁNH M, Y VÀ Q TẠI CÁC TIẾT DIỆN DẦM Nội lực

chuyển vị

Lời giải số theo phương pháp

PTHH

Lời giải xác

Sai số %

M đầu dầm -0,0781 -0,0833 6,24

M dầm 0,0469 0,0417 12,47%

Q đầu dầm 0,3750 0,5000 25

Y dầm 0,0039 0,0026 50

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

KẾT LUẬN

Qua kết nghiên cứu từ chương đến chương 3, tác giả rút số kết luận sau:

1 Đã trình bày nội dung phương pháp sai phân hữu hạn, trình bày lý thuyết tính tốn dầm chịu uốn áp dụng thành công phương pháp sai phân hữu hạn toán dầm đơn chịu tác dụng tải trọng phân bố

2 Độ xác kết nhận phụ thuộc vào toán tĩnh định hay siêu tĩnh, liên kết hai đầu dầm đối xứng hay chẳng hạn ví dụ 3.1, dầm đơn giản, tốn có hai đầu liên kết đói xứng nên chia dầm thành phần tử nhận M hồn tồn xác, độ võng sai số 5,38%, lực căt Q hai đầu dầm có sai số lớn (25%) Trong đó, ví dụ 3.2, dầm ngàm - khớp chia dầm thành phần tử kết nhận có sai số lớn, đặc biệt lực cắt Q hai đầu dầm độ võng dầm, với sai số 21,82%, 30,29% 24, 52% Cũng tương tự vậy, dầm hai đầu ngàm có lực cắt Q hai đầu dầm độ võng dầm, với sai số 25%, 50%, cịn M dầm có sai số 12,47% Nhìn chung dầm siêu tĩnh lực cắt Q độ võng y dầm có sai số lớn nhiều so với dầm tĩnh định nhịp tải trọng số phần tử chia

3 Khi chia dầm thành nhiều phần tử kết nhận tiệp cận với kết xác hơn, khảo sát trường hợp chia dầm thành 12 phần tử, nhận kết gần trùng khớp với lời giải giải tích, ngoại trừ lực cắt Q sai số từ 8% , 7% 10%, tương ứng với ví dụ 3.1, 3.2 3.3 Nếu chia dầm thành 16 phần tử trở lên ta nhận kết xác toán

KIẾN NGHỊ

Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn để tính tốn cho kết cấu phức tạp

TÀI LIỆU THAM KHẢO I Tiếng Việt

[1]Nguyễn Văn Liên, Nguyễn Phương Thành, Đinh Trọng Bằng (2003), Giáo trình Sức bền vật liệu, Nhà xuất xây dựng, tái lần thứ 3, 330 trang

[2]Nguyễn Văn Đạo (2001), Cơ học giải tích, Nhà xuất Đại học

Quốc gia Hà nội, 337 trang

[3]Lều Thọ Trình, Đỗ Văn Bình(2010), Giáo trình học cơng trình,

Nhà xuất xây dựng

[4]Lều Thọ Trình, Nguyễn Mạnh Yên (1998), Cơ học kết cấu, Nh xuất khoa học kỹ thuật

[5]Đoàn Văn Duẩn (2015), Bài toán học kết cấu dạng tổng quát, Tạp chí Xây dựng số 02 (Tr59-Tr61)

[6] Trần Thị Kim Huế (2005), Phương pháp nguyên lý Cực trị Gauss đối với toán học kết cấu, Luận văn thạc sỹ kỹ thuật

[7]Timoshenko C.P, Voinópki- Krige X, (1971), Tấm Vỏ Người

dịch, Phạm Hồng Giang, Vũ Thành Hải, Đoàn Hữu Quang, Nxb Khoa học kỹ thuật, Hà Nội

[8]T Karamanxki, người dịch Nguyễn Tiến Cường (1985), Phương pháp số học kết cấu, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật

[9]Nguyễn Trâm, Phương pháp phần tử hữu hạn (2007), Nhà xuất xây dựng

II Tiếng Anh

[11]Klaus – Jurgen Bathe (1996), Finite Element procedures Part two, Prentice – Hall International, Inc, 553 trang

[12]O.C Zienkiewicz-R.L Taylor (1991), The finite element method

(four edition) Volume 2, McGraw-Hill Book Company, Inc, 807 trang

[13]G.Korn-T.Korn (1961), Mathematical Handbook for sientists and Engineers, McGraw-Hill, New york (Bản dịch tiếng Nga, I.Bramovich chủ biên, Nhà xuất Nauka-Moscow, 1964)

[14] D.R.J Owen, E.Hinton (1986), Finite Elements in Plasticity:

Theory and Practice, Pineridge Press Lt

[15]C.A.Brebbia, J.C.F.Telles, L.C.Wrobel(1984), Boundary Element Techniques Theory and Applications in Engineering Nxb Springer – Verlag.(Bản dịch tiếng Nga, 1987)