TÀI LIỆU CÁC MÔN CHUYÊN NGÀNH Y DƯỢC HAY NHẤT CÓ TẠI “TÀI LIỆU NGÀNH Y DƯỢC HAY NHẤT” ;https:123doc.netusershomeuser_home.php?use_id=7046916. TÀI LIỆU NGÂN HÀNG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (theo từng chương, chi tiết, rõ ràng) DÀNH CHO SINH VIÊN CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC Y DƯỢC VÀ CÁC TRƯỜNG KHÁC, GIÚP SINH VIÊN HỆ THỐNG, ÔN TẬP VÀ HỌC TỐT KHI HỌC TÀI LIỆU GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Giải ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Toán A2 Giải ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Toán A2 Phần MỞ ĐẦU N luận với việc “ hằm trang bị đầy đủ kiến thức cho tất cả các bạn sinh viên về phần Đại số tuyến tính Đặc biệt là những kỹ năng cơ bản để làm tốt những bài tập trắc nghiệm, chuẩn bị cho tất cả các bạn sinh viên trước kỳ kiểm tra cuối kỳ này. Đó cũng chính là một trong những lý do, mà chúng tơi làm đề tài tiểu Giải ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Tốn A2”. Chúng tơi chia bài tiểu luận thành những chương khác nhau, với hai mục riêng biệt là Tóm tắt lý thuyết và Giải tập trắc nghiệm ngân hàng câu hỏi Ngồi ra chúng tơi cịn giải thêm một số bài tập nâng cao liên quan đến chương đó, nhằm góp cho tất cả các bạn hiểu rõ hơn về chương đó. Tuy nhiên chắc chắn chúng tơi sẽ khơng tránh khỏi những thiếu sót. Nhóm rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của tất cả các thầy cơ và các bạn sinh viên ở trong trường cũng như ngồi trường, để lần sau nhóm viết tiểu luận t kt qu cao hn. Giải ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Toán A2 Phn hai NI DUNG Chương MATRNVNHTHC Phần Tóm tắt lý thuyết A MA TRN Định nghĩa Cho m và n là hai số ngun dương một ma trận A cấp m x n là một bảng gồm m x n số được xếp thành m hàng và n cột. Kí hiệu: A = [aij]mxn Các phép tốn ma trận 2.1 Các phép tốn Cho 3 ma trận A, B, C thuộc Mmxn ta có _ _ Hai ma trận bằng nhau: A = B nếu (A)ij = (B)ij, i = 1, m , j = 1, n Phép nhân một số với ma trận: (KA)ij = k(A)ij, i = 1, m , j = 1, n , k R _ Phép cộng ma trận: (A + B)ij = (A)ij + (B)ij, i = 1, m , j = 1, n Hiệu hai ma trận: A – B = A + (- B) Phép nhân hia ma trận: (AB)ij = n ( A) k 1 _ ik ( B) KJ , i = 1, m , j = 1, n 2.2 Tính chất Tương tự như trong các phép tính đại số ma trận cũng có các tính chất như giao hoán, kết hợp … 2.3 Phép chuyển vị ma trận AT là ma trận chuyển vị của ma trận A nhận được từ A bằng cách chuyển hàng thành cột. _ (AT)ij = (A)ji , i = 1, m , j = 1, n Tớnh cht: (A+B)T=AT+BT Giải ngân hàng câu hỏi trắc nghiƯm To¸n A2 (aA)T = aAT (AT)T=A (AB)T=BTAT *Tổng qt: (A1,A2,…An)T=AnT…A2TA1T Lũy thừa của ma trận: AP = AP-1A 2.4 Các phép biến đổi sơ cấp ma trận bậc thang 2.4.1 Ma trận bậc thang Là ma trận có tính chất sau: Các hàng khác khơng đều ở trên hàng bằng khơng Phần tử cơ sở của một hàng nằm ở cột bên phải so với phần tử cơ sở của hàng trên (phần tử cơ sở của hàng là phần tử khác không dầu tiên từ bên trái qua) 2.4.2 Các phép biến đổi sơ cấp Mọi ma trận đều đưa về được dạng ma trận bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng như sau: Nhân các phần tử của một hàng với một số khác không: hi hi ( 0) Cộng vào các phần tử của hàng các phần tử tương ứng của hàng khác đã nhân với một số hi hi hi ( 0) Đổi chỗ hai hàng cho nhau: hi hj Các hàng tỉ lệ với nhau hay giống nhau thì có thể bỏ đi chỉ trừ lại một hàng * Chú ý: Nếu các phép biến đổi sơ cấp thực hiện trên cột thì gọi là phép biến đổi sơ cấp đối với cột. B NH THC nh ngha Giải ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Toán A2 Cho ma trn vuụng cp n: A=[aij]mxn. Định thức A kí hiệu là detA hay A là một số thực được xác định như sau: (1) n (1 n ) 21 n a11 a 2 a n a n Tính chất * Tính chất 1: detA = detAT * Tính chất 2: Nếu A có một hàng các phần tử đều bằng 0 thì detA = 0 * Tính chất 3: Nếu đỏi chỗ hai hàng cho nhau thì detA đổi dấu * Tính chất 4: Nếu A có hai hàng giống nhau thì detA = 0 * Tính chất 5: Nếu nhân mọi phần tử trong một hàng của A với một số khác 0 thì detA cũng được nhân lên với số đó. * Tính chất 6: Nếu A có hai hàng tỉ lệ thì detA =0 * Tính chất 7: Nếu mọi phần tử trong hàng của A có dạng tổng của hai số hạng thì định thức có thể tách thành tổng hai định thức. * Tính chất 8: Nếu cộng vào một hàng nào đó của A bội của dịng khác định thức khơng thay đổi. * Tính chất 9: Nếu cộng vào một hàng nào đó của A tổ hợp tuyến tính của của các dịng cịn lại thì detA khơng đổi. Một số phương pháp tính định thức 3.1 Phương pháp khai triển theo hàng hay cột Cho A = (aij)n, A bỏ đi hàng i cột j phần cịn lại tạo một ma trận vng cấp n-1 định thức đó được gọi là định thức con bù của aij kí hiệu là ij : Aij = (-1)i+j ij gọi là phần bù đại số của aij. 3.2 Phương pháp Gauss Sử dụng phép biến đổi trên hàng để đưa định thức về dạng tam giác khi đó định thức sẽ bằng tích các phần tử trên đường chéo chính. 3.3 Khai trin Laplace Mrngcụngthckhaitrintheomthnghaymtctthnhcụngthckhai trintrờnkhngkct Giải ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Toán A2 nh lý Laplace:ChnkhngbtkỡtrongdetA,giM1,M2,,Mslttccỏc định thức con cấp k do k hàng vừa chọn kết hợp với k cột trong n cột của A và A1,A2,…,AS là phần bù đại số tương ứng ta có detA = M1A1 + M2A2 + ….+ MSAS S= n k(n k ) 3.4 Phương pháp truy toán Biến đổi định thức cùng dạng nhưng cấp thấp hơn để tính. Ứng dụng định thức Hạng ma trận: Hạng của A là cấp cao nhất của các định thức con khác khơng của A. Kí hiệu r(A) Tìm hạng ma trận: Dùng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận về dạng ma trận bậc thang khi đó hạng ma trận bằng số các hàng khác khơng Ma trận nghịch đảo 5.1 Các định nghĩa a) Ma trận phụ hợp Cho ma trận vuông cấp n: A=(aij)và A ij là phần bù đại số của aij ta lập ma trận. A11 A ~ A 21 A1n A21 A22 A2 n An1 An Ann ~ A gọi là ma trận phụ hợp của A b) Ma trận không suy biến Ma trận vuông A gọi là không suy biến nếu detA 0 c) Ma trận nghịch đảo Cho A Mn. Nếu tồn tại ma trận B sao cho AB = BA = In thì B gọi gọi là ma trận nghịch đảo của A, kí hiệu B = A-1 5.2 Phng phỏp tỡm ma trn nghch o Giải ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Toán A2 Phngphỏpdựngnhthc:A-1= ~ A A Phngphỏpdựngcỏcphộpbiniscptrờnhng:(A/In) Phần Bài tập trắc nghiệm Cõu 1: (Trần Độ) Tính định thức 7 4 0 Giải 7 4 0 = (-1)3+4 Câu 2: (Trần Thị Trúc Hà) Tính định thức 1 2 0 4 Giải 4 = 0 1+4 Câu 3: (Nguyễn Tấn Huyn) Biến đổi trên hàng In//A-1 Giải ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Toán A2 Tính định thức 1 4 0 Giải = 4 4 Câu 4: (Võ Thị Mỹ Lam) Tính định thức 0 0 4 Giải 0 0 4 =(-1)2+2 Câu 5: (Trần Ngọc Luân) Tính định thức 1 0 4 Giải 1 0 4 =(-1)1+2 Cõu 6: (Trn Tuyt Mai) Giải ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Toán A2 m Tính định thức 0 Tìm m để 1 Giải Để Câu 7: (Trần Thị Thuý Nga) m Tính định thức m 1 Tìm m để m Giải Để Câu 8: (Trương Thị Tú Nha) Tính định thức m 1 4 Tìm m để m Giải Để Câu 9: (Nguyễn Thị Kiu Xinh) Giải ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Toán A2 1 Tính định thức m Tìm m để 1 m Giải Để Câu 10: (Nguyễn Thị Hồng Xuyến) 1 m Tính định thức Tìm m để 1 Giải 1 m 1 1 = Để Câu 11: (Trần Độ) m Tính định thức 2m Tìm m để Giải m 2m = Để Câu 12: (Trần Thị Trúc Hà) Giải ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Toán A2 1 1 1 2 2 A = 1 1 B = C = AB = AC = 0 Các ví dụ chứng tỏ ma trận vng cấp mà bình phương ma trận 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 = 0 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 = 0 n n n n n n 0 0 = 0 0 n n Tính An, Cn 1 2 0 1 A2 = 1 2 1 4 1 2 1 4 1 6 = và A3 = = 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2n n A = 0 0 0 0 0 C2 = = và C3 = 3 3 0 9 3 2n n C = 0 0 3n B. ĐỊNH THỨC 2.1 Xác định nghịch hoán vị sau: a) (3 9); N = 3 + 3 + 6 = 12 b) (n (n-1) (n-2) …2 1) N = 1 +2 + 3 +…+(n-2) + (n-1) = n2 0 8 = 0 9 27 Giải ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Toán A2 c) (1 7…(2n-1) 6…(2n)); N = (n-1) + (n-2) + (n-3) +…+3 + 2+ 1 = n2 d) (2 …(2n) 7…(2n-1)); N = n +(n-1) + (n-2) +…+ 2 +1 = 2.2 Tính định thức cấp ba sau: a) n2 + n 2 4 2 = 3.0.3 + (-2).(-2).2 + 1. 3. (-4) –(-2).3.3- 2.3 = 8. 2 3 t 3 1 t 3 6 b) 1 = (t+3).(t-3).(t+4)- 6 -30 - 6.(t-3) + 6.(t+3) + 5.(t+4) t4 = (t2-9). (t+4) – 36 + 36 + 5t + 20 = t3 + 4t2 - 4t -16. a a2 1 a bc a a2 c) b ca = b b b a a a c c2 ab c a a2 c a c2 a2 (b a).(c a) b a (b a ).(c a ).(c b) ca 0 a b d) a b c 1 a b c a a3 b3 c3 e) c abc abc (b a).(c a ) a a3 a3 0 ba ca b3 a c3 a3 a ab b (b a).(c a ).(c ac ab b ) a ac c Giải ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Toán A2 2.3 Tớnh cỏc nh thc a) 1 1 1 1 6 1 1 1 6 1 0 6.2.2.2 48 2 4 1 1 2 7 1 2 7 11 b) (1) 2 8 10 260 2 8 10 7 10 13 7 10 13 2.4 Tính định thức cấp n: a) b) x y 2 y x 0 2 y 0 1 2 n 0 x 0 0 (1).2.1.2.3 ( n 2) (2).(n 2)! n x 11 = 1 x y y x y 0 x 0 y 0 x y 0 + 1n1 y x 0 x y = x n 1n1 y n 1 x x x 1 x c) x x 1 x x x x (n 1) x (n 1) x (n 1) x (n 1) x (n 1) x x x 1 x x x x x x 1 1 x x x Giải ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm To¸n A2 1 x 1 x n 1 x 1 x x 1 x x x 1 0 x ( x 1) x ( x 1) x n 1 x 1 x 1 0 x (n 1) x 1 (1)n 1 ( x 1)n 1 a1 x x x x a2 x x x a3 x x x x d) D x an Nhân hàng đầu với (-1)rồi cộng tất cả các hàng lại ta được: a1 x x x x a1 a2 x a3 x x a1 x a1 0 an x (a1 x)( a2 x )(a3 x) (an x) a1 a1 x a2 a2 x 1 1 1 Cộng tất cả các cột 2,3 …n và cột 1 với a3 an a3 x an x a1 x 1 a1 x a1 x 0 ( x 1) Giải ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Toán A2 n i x x a2 a2 x 0 D (a1 x )(a2 x)( a3 x) (an x ) a3 an a3 x an x 0 n x (a1 x)( a2 x )(a3 x) (an x) i 1 x e) 0 1 a1 0 1 a2 0 0 an 0 an 1 Khai triển theo hàng đầu ta được: Dn a1 a2 a3 an 1 (1)n 1 a1 1 a2 0 0 an 2 Thực hiện đổi chỗ (n-2) lần để đưa hàng cuối cùng lên hàng dầu tiên, hàng 1 chuyển lên hàng 2, hàng 2 thành hàng 3… cứ vậy hàng (n-2) thành hàng (n-1), như vậy mỗi lần đổi lại xuất hiện dấu (-). Vậy: Dn a1 a2 a3 an1 (1)n1 (1)n Dn 1 a1 a2 a3 an1 Dn1 Cứ tiếp tục làm như vậy ta được: Dn a1 a2 a3 an 1 a1 a2 a3 an 1 (1)n a1 (1)n 1 a1 f) 1 1 a2 1 1 a3 1 a n Gi¶i ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Toán A2 Ly ln lượt theo thứ tự hàng n trừ đi hàng (n-1), hàng (n-1) trừ đi hàng (n2)…. Hàng 2 trừ hàng 1. Ta được: a1 a1 a2 1 0 a2 a3 0 = 0 a n 1 an 2.7 Dùng định lý Laplace tính định thức: 0 a 0 3 1 2 5 25 125 0 1 2 3 2 b 0 0 1 3 1 1 0 0 1 1 3 0 1 1 1 1 2 0 1 0 1 1 1 1 3 1.5 15 1 Giải ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Toán A2 x x2 a1 a12 a2 a22 an1 an21 xn1 x x2 a1n1 a1 x a12 x2 a2n1 a2 x a22 x2 n1 an1 an1 x an1 x2 a1 x a2 x an1 x x x2 a1 x a2 x an1 x x2 x a1 x a1 x a2 x an1 x 0 a2 a1 xn1 a1n1 xn1 a2n1 xn1 n1 an1 xn1 xn1 a1n2 a1n3 x a1xn3 xn2 a2n2 a2n3 x a2 xn3 xn2 n2 n3 an1 an1 x an1xn3 xn2 xn1 a1n2 a1n3 x a1xn3 a2n2 a1n2 a2n3 a1n3 x a2 a1 xn3 n2 n1 0 an1 a1 a n2 a a n3 n1 n3 a x a n1 a1 xn3 xn1 x x2 1 a2n3 aa1n3 a2n3 a1n3 x a2 a1 xn3 a1 x a2 x an1 x a2 a1 a3 a1 an1 a1 0 0 C.HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.Giải hệ phương trình sau: x1+2x2 +5x3=-9 a) 1 2 5 -9 x1 - x2 +3x3 = 2 ta có: A = 1 -1 3 2 3x1-6x2 – x3 =25 1 2 5 -9 0 3 2 -11 0 -12 -16 52 3 -6 -1 25 1 2 5 -9 0 3 2 -11 0 0 -8 8 x1+2x2+5x3 = -9 3x2+2x3=-11 -8x3=8 Gi¶i ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Toán A2 x1=2 x2=-3 x3 = -1 b) x1 - x2 + x3 =-2 1 -1 1 -2 1 -1 1 -2 2x1+x2 - 2x3 = 6 Ta có : A = 2 1 -2 6 0 3 -4 10 x1+2x2+ 3x3 = 2 0 3 2 4 1 -1 1 -2 0 3 -4 10 0 0 6 -6 1 2 3 2 x1-x2 +x3 =-2 3x2-4x3=10 6x3=-6 x1=1 x2=2 x3=-1 c) x1+2x2-3x3+5x4 =1 1 2 -3 5 1 1 2 -3 5 1 x1+3x2-13x3+22x4=-1 Ta có A = 1 3 -13 22 -1 0 -1 10 -17 2 3x1+5x2 +x3 -2x4 =5 3 5 1 -2 5 0 -1 10 -17 2 2x1+3x2+4x3-7x4 =4 2 3 4 -7 4 0 -1 10 -17 2 12-351x1+2x2-3x3+5x4=1 0-110-172-x2-10x3-17x4=2 x1=23a+12b+1 tx3=a,x4=btac:x2=-10a-17b-2 x3=a x4=b Giải ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Toán A2 d) 3x1-4x2+x3-x4=0 tacúA=3-41-1 6x1-8x2+2x3+3x4=0 3-41-1 6 -8 2 3 0 0 0 -5 x1= 4a - b / 3 3x1-4x2+x3-x4=0 x2= a 5x4=0 x3 = b x4 = 0 Giải và biện luận phương trình theo m mx1+x2+x3=1 m 1 1 m 1 1 x1+mx2+x3=m ta có A = 1 m 1 0 1-m2 1-m (1) x1+x2+mx3=m2 0 1-m 1-m2 1 1 m m 1 1 1 m 1 1 0 1-m2 1-m 1-m2 (2) A = 1 m 1 m 1 1 m m2 Từ (1) và (2) ta có: 1 0 1-m 1-m2 1-m3 Nếu m = 1 rA = rA