giải tích hàm nhiều biến

Vì vậy, khi tính tích phân đường loại 2, ta phải chú ý đến hướng của đường lấy tích phân xuất phát từ điểm nào và kết thúc ở điểm nào để xác định cận tích phân.. Hướng ngược lại là h[r]

GIẢI TÍCH

HÀM NHIỀU BIẾN

Chương

TÍCH PHÂN BỘI §1 TÍCH PHÂN BỘI HAI

I Tích phân bội hai



f x y dxdy( , )

: miền lấy tích phân, bị chặn 2

 Tính chất: Cho f, g khả tích   Ta có

  

  

  

 f g dxdy  f dxdy g dxdy,

  

 



 f dxdy  f dxdy,

 Nếu      1 2  k với     i j i j, f khả tích

i



 



 

1 i

k

i

f dxdy f dxdy,  Nếu f x y( , ) 0, ( , )  x y  





 f dxdy

II Tích phân lặp

 

  

 

 

 

  

 

 

   

   

2

1

2

1

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( , ) ( , )

( , ) ( , )

g x g x

b b

a g x a g x

h y h y

d d

c h y c h y

f x y dydx f x y dy dx

f x y dxdy f x y dx dy

Chú ý:

 Trong tính trước,

  f x y dy( , ) : tích phân theo y, xem x hằng,

  f x y dx( , ) : tích phân theo x, xem y hằng,

Ví dụ Tính   

3

(x )y dxdy

Giải 



 

    

 

  

5

3

2 1

( )

2

x

x

x

x y dxdy xy dy       

 



25

10 32

2 y y dy

Ví dụ Tính    

1

( 1)

x

x

x y dydx

ĐS: 1/3.

III Phương pháp tính tích phân bội hai

Có phương pháp chính: -Đưa tích phân lặp, -Đổi biến tổng quát,

-Đổi biến sang tọa độ cực

3.1 Phương pháp đưa tích phân lặp

Vẽ Kẹp (Cắt) (Chiếu)

(giao điểm) 



( ) ( ) Oy

Ox Vẽ:

-Miền khép kín

-Khi vẽ đường, cần ý giao điểm với đường khác

Kẹp, cắt, chiếu:

 Nhìntheo hướng Oy: (chuyển pt đường dạng y theo x)

 

  ( , ) :x y ax b g x, ( )1  y g x2( )



 

  

 

 

  

2

1

( ) ( )

( , ) ( , )

g x b

a g x

 Nhìn theo hướng Ox: (chuyển pt đường dạng x theo y)

 

  ( , ) :x y cy d h y , ( )1  x h y2( )



 

  

 

 

  

2

1

( ) ( )

( , ) ( , )

h y d

c h y

f x y dxdy f x y dx dy

Chú ý:

 Nên làm theo hướng mà miền không bị “chia cắt” bị “chia cắt”

 Nếu  ( , ) :x y a x b c,  y d  thì



   

     

   

   

 ( , )   ( , )   ( , )

b d d b

a c c a

f x y dxdy f x y dy dx f x y dx dy

 Nếu f x y( , )h x g y( ) ( ) thì



  

   

  

 ( ) ( )  ( )  ( )

b d

a c

h x g y dxdy h x dx g y dy

IV Chú ý tích phân cận đối xứng hàm chẵn, hàm lẻ:

-Hàm f x( ) gọi hàm chẵn theo biến x

   

( ) ( ),

f x f x x D

-Hàm f x( ) gọi hàm lẻ theo biến x

    

( ) ( ),

f x f x x D

-Tính chất:



     





2 ( ) ( ) ( )

0 ( ) laø

a a

a

f x dx f x hàm chẵn f x dx

f x hàm lẻ

Ví dụ Tính





(2x y dxdy) với  hình chữ nhật [ 2,3] [0,2] 

Cách (theo hướng Oy):



    

   

           

 

 

 

    

2

3 3

2 0

(2 ) (2 ) (4 2) 20

2

y

y

y

x y dxdy x y dy dx xy dx x dx

Cách (theo hướng Ox): SV tự làm

Nhận xét:Đây ví dụ đơn giản với cận lấy tích phân số nên ta thoải mái đảo thứ tự lấy tích phân.

Ví dụ Tính



s in2 2x ydxdy với         

 

2

( , ) ,

2

x y x y

Giải ĐS:

ln Ví dụ Tính



y dxdy2 với  hình giới hạn y2 ,x y5 ,x x1

Giải

Cách (theo hướng Oy):



 

   

        

 

 

 

    

5

1

2 3

0 2

1 39

(125 )

3

y x

x

x y x

y

y dxdy y dy dx dx x x dx

Cách (theo hướng Ox): SV tự làm

Ví dụ Tính



(x y dxdy2 ) với  hình giới hạn x 9 y x2, 0, 3  y Giải

Cách (theo hướng Ox):

Cách (theo hướng Oy): Cách 3:

Miền cần tính tích phân miền DECB, tính sau

 

 ( ) ( ) ( )

DECB ABC ADE

x y dxdy x y dxdy x y dxdy

ĐS: 512

Nhận xét: Trong ví dụ này, ta nên dùng cách miền khơng bị “chia cắt” khi nhìn theo hướng Ox

Ví dụ Tính



ydxdy với  hình trịn x2 y2 1 nằm phần tư thứ ba

Giải

Cách (theo hướng Oy):

Cách (theo hướng Ox): SV tự làm

Ví dụ Tính



e dxdyx3 với  hình giới hạn x 0, x 1,y 0, y3x2

Giải

SV tự làm thử cách

Nhận xét:Đây ví dụ cho thấy, lúc ta giải bằng 2 cách

3.2 Phương pháp đổi biến tổng quát

Dấu hiệu: hàm lấy tích phân miền lấy tích phân phức tạp đặt ẩn phụ được

Bước (đổi biến): Đặt

  

 

( , ) ( , ) u u x y

v v x y (*)

Bước 2: Tính



trị tuyệt đối J với

 

  

  

  

 

( , )

0 ( , )

x x x y u v J

u v y y u v

Cách 1: Từ (*)    



( , ) ( , ) x x u v

J J y y u v

Cách 2: Từ (*) 



 

 



     

  

 

( , ) ( , )

( , )

0

( , ) u v

x y

u u x y u v

J J

x y v v x y

Bước (đổi miền): Tìm điều kiện cho u v,  uv

Bước 4:

 



 ( , )  ( ( , ), ( , ))

xy uv

f x y dxdy f x u v y u v J dudv

Ví dụ Tính





(2x y dxdy) với  hình bình hành giới hạn

 1,  2,  1,  3

x y x y x y x y

Giải

Nhận xét:

-Nếu nhìn theo hướng Oy ta phải tách làm miền -Nếu nhìn theo hướng Ox ta phải tách làm miền Mặc dù ta tính được, dài, tính tốn dễ sai

Cách (đổi biến tổng quát):

Nhận xét: nhìn vào phương trình đường, ta thấy có yếu tố lặp lại “x y ” “2x y” Đây ví dụ mà ta nhìn vào miền lấy tích phân để đặt ẩn phụ.

Đặt



 



      

 

  

   

    

 

1

( )

3 3

2

(2 )

x u v

u x y u v x

v x y u v y

y u v

 



 

     

 

 

1

1

3 0 .

3

1 3

x x

u v

J J

y y

u v

Ta có

  1 1

x y u

x y  2 u2

   

2x y v

   

2x y v

 



   ( , ) :1u v u2, 1 v

Vậy,



 

 

      

 

(2x y dxdy)  23(u v) 13(2u v) 31dudv

 

 

    

 

  

2 ??? 1

1

Ví dụ 2. Tính



 

sinx ydxdy

x y với  hình giới hạn trục Ox, Oy

 1

x y

Giải

Cách (đưa tích phân lặp):

 

 

 

  

   

  



1 1

Khó tính nguyên hàm

sin sin

x

x y x y

dxdy dy dx

x y x y

Cách (đổi biến tổng quát):

Nhận xét: nhìn hàm bên dấu tích phân, ta thấy có yếu tố gây khó khăn việc tính ngun hàm “x y ” “x y ”.Đây ví dụ mà ta nhìn vào hàm lấy tích phân để đặt ẩn phụ.

Đặt

  



 



u x y v x y

 



 



  

  

 

1

( , )

2

( , ) 1

u u x y u v

x y v v x y

  1 1

2

J J

Ta có

 

   

 

: u x

Ox y u v v x

  

    

 

: u y

Oy x u v

v y

   1

x y v



Vậy,



  

   



      

    

   

1 ???

0

sin sin sin

2

v

v

x y u u

dxdy dudv dudv

x y v v

1 2 3.3 Phép đổi biến sang tọa độ cực

Dấu hiệu: miền có dạng trịn dạng elip

 Trường hợp miền có dạng trịn (có chứa biểu thức x2 y2):

Bước (đổi biến): Đặt

   

  

cos sin x r y r Bước 2: J r

Bước (đổi miền): Tìm điều kiện cho r,  r

 : nhìn hình, tìm tia xuất phát tia kết thúc (tia qua O tiếp xúc với ),

 góc quét từ tia xuất phát đến tia kết thúc

 r: tìm “r vào” “r ra”

Bước 4:



  

 



 ( , )  ( cos , sin )

xy r

f x y dxdy f r r rdrd

Chú ý: Nếu đường trịn có dạng (xx0)2 (y y 0)2 R2, tâm



0

( , ) (0,0)

I x y O ta dùng phép đổi biến

 

  

 

 

 

0

cos sin x x r

y y r

Khi đó, điều kiện r  phải xác định theo gốc tọa độ điểm

0 ( , ) I x y

 Trường hợp miền có dạng elip (có chứa biểu thức 

2 2 x y a b ):

   

  

cos sin x ar

y br



J abr

Chú ý: Trong phép đổi biến này,  chưa góc quét từ tia xuất phát đến tia kết thúc Để xác định điều kiện cho  ta nên dựa vào phương trình tia xuất phát tia kết thúc

Một vài trường hợp cụ thể:

  miền cho tia xuất phát O cắt biên  điểm:

 

  

 

cos (*) sin x r

y r ,

 

  

 

 

 

1

vaøo

( ) ( )

r r

r r r

Thay (*) vào pt đường vào r1( ) Thay (*) vào pt đường r2( )

Ví dụ. Tính 



ex2 y2dxdy với  hình giới hạn x2 y2 1, x2 y2 4

và nằm phần tư thứ

Giải

Đặt

 

  

 

cos sin x r

y r ,

 

 , 0  , 1 2

2

J r r

Vậy,



 

 

  

 2  

/ 2 ???

( )

4

x y r

e dxdy e rd dr e e

  miền cho gốc tọa độ O nằm biên:

 

  

 

cos (*) sin x r

y r ,

  



 

 

0 r R( )

Thay (*) vào pt đường cong  R( )

Ví dụ Tính



 

 a2 x2 y dxdy2 với  ( , ) :x y x2 y2 a y2, 0

Giải

Đặt

 

  

 

cos sin x r

y r , J r, 0, 0 r a

Vậy,



 



    

  

3 ???

2 2 2

0

3

a

a a x y dxdy a r rdrd

Ví dụ 2. Tính



 

 4 x2 y dxdy2 với  ( , ) :x y x2  y2 2 ,x y 0

Giải

Đặt

 

  

 

cos sin x r

y r , J r,

 

 

0

2

 

     

2 2

2 cos 2cos

0 r cos Vậy,                     cos ???

2 2

0

8

4

3

x y dxdy r rdrd

Ví dụ Tính



 

 4 x2 y dxdy2 với

 

  ( , ) : 0x y x 2, 2xx2 y 4x2

Giải Đặt        cos sin x r

y r , J r,

    2, Mặt khác,                                                        2

2 2

2

2

2 2

2 2

2 2 2 4

2 cos cos sin

sin cos

2 cos cos

2 cos

2

x x y x

x x y x x y y x y x

r r r

r r

r r r

r r r Vậy,             2 ???

2 2

0 cos

16

4

9

  miền chứa gốc tọa độ O:

 

  

 

cos (*) sin x r

y r ,

 



 

 

0

0 r R( )

Thay (*) vào pt đường cong  R( )

Ví dụ Tính  



e x2 y2dxdy với  hình trịn đơn vị

Giải

Đặt

 

  

 

cos sin x r

y r , J r, 0 2 , 0  r

Vậy,



 

  



 

    

 

 2  

2 ???

0

1

x y r

e dxdy e rdrd

e

Ví dụ 2. Tính



 



2 2 x y dxdy

a b với  phần elip   2 2 x y

a b Giải

Đặt

 

  

 

cos sin x ar

y br , J abr, 0 2 , 0  r



 



    

  

2

2 ???

2 2

0

2

1

3

x y ab

dxdy ab r rdrd

a b

§2 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI HAI

I Tính diện miền phẳng D2 

D D

S dxdy

Ghi nhớ: Cơng thức tính diện tích miền phẳng D2 cơng thức tính tích phân bội hai với hàm f x y( , ) 1

Ví dụ 1. Tính diện tích miền phẳng giới hạn y2  4 x y2  4 4x

Giải

 

???

D D

S dxdy (đvdt)

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn elip  

2

9

x y

, tia Ox tia

 , ( 0)

y x x

Giải

Đặt

 

  

 

3 cos sin x r

y r , J 6r,

  2 sin 3 costan 3 arctan3 2

2

y x r r

 0 r Vậy,



 

     

2 ???

2 0

3 3arctan

2

D D

S dxdy rdrd

Nhận xét: Trong ví dụ này, nhiều người nhầm 2 

4 II Tính diện mặt cong  3

 Cho mặt cong  có pt zz x y( , ) Khi

   

      2

1 x y

D

S z z dxdy

D hình chiếu  xuống mp Oxy

 Cho mặt cong  có pt y y x z( , ) Khi

         

2

1 x z

D

S y y dxdz

D hình chiếu  xuống mp Oxz

 Cho mặt cong  có pt x  x y z( , ) Khi

   

     

2

1 y z

D

S x x dydz

D hình chiếu  xuống mp Oyz

Ví dụ Tính diện tích phần mặt phẳng 6x3y2z12 nằm góc phần tám thứ

Cách (chiếu xuống Oxy): Ta có :



 

      3    

6 12 3,

2 x y

x y z z x y z z

  

 

      

 

 

2

2

1

2

D D

S dxdy dxdy

với D hình tam giác hình vẽ

Vậy,

    ???

14 D

S dxdy (đvdt)

Cách 2: Ta có :



 

          

6 12 2,

3 x z

x y z y x z y y  



 

      

 

 

2

2

1

3

D D

S dxdz dxdz

với D hình tam giác hình vẽ

Vậy,

    ???

14 D

S dxdz (đvdt)

Cách 3: Ta có :

 

 

     1 1   

6 12 ,

2 y z



   

      

   

 

2

1

1

2

D D

S dydz dydz

với D hình tam giác hình vẽ

Vậy,

    ???

14 D

S dydz (đvdt)

Ví dụ Tính diện tích phần paraboloid z x2 y2 nằm mặt phẳng z9

Giải

Ta có : z x2 y2 zx 2 ,x zy 2y

    

   1 2  2  4(  2)

D D

S x y dxdy x y dxdy, với D hình trịn tâm O(0,0), bán kính R3

SV tự làm tiếp

ĐS:  37 37 1 

6 (đvdt)

Ví dụ Tính diện tích phần mặt phẳng x y z nằm mặt trụ

 

2

x y

Ta có : x y   z z 7x y  zx  1,zy  1

    

   1 1  1  3

D D

S dxdy dxdy, với D hình trịn tâm O(0,0), bán kính R2

SV tự làm tiếp

ĐS: 3 (đvdt)

Ví dụ Tính diện tích phần mặt phẳng paraboloid zx2 y2 nằm phía mặt cầu x2 y2 z2 6

Giải

Ta có : z x2 y2zx 2 ,x zy 2y

    

   1 2  2   4(  2)

D D

S x y dxdy x y dxdy, với D hình chiếu  xuống mp Oxy

Xét

  

 

  

 

2 2 2 6

z x y

x y z

     



    

   

 

 



2 2

2

2 6 2( ) 3 ( )

z x y z x y

x y

z n z l

z z

 D hình trịn tâm O(0,0), bán kính R SV tự làm tiếp

ĐS:13

Ví dụ Tính diện tích phần mặt cầu x2 y2 z2 4 nằm hình trụ

  

2 2 0

x y x

Giải

Nhận xét: Trong ví dụ này, ta khó vẽ phần mặt cần tính diện tích Hãy tưởng tượng hình ảnh ống hút đâm xuyên qua banh, tạo lát cắt nhau: lát bên lát bên Do đó, ta cần tính diện tích 1 lát bên trên, sau nhân kết cần tìm

Ta có 1: z 4 x2 y2

 

 

  

   

,

4

x y

x y

z z

x y x y

   

   

     

 

 

1

2

2 2

2 2

4

x y

D D

S S z z dxdy dxdy

x y

với D( , ) :x y x2 y2 2x

SV tự làm tiếp

ĐS:8( 2) (đvdt)

III Tìm khối lượng trọng tâm mảnh phẳng

Cho mảnh phẳng D mặt phẳng có khối lượng riêng  điểm



( , )

3.1 Khối lượng mảnh phẳng D :

  ( , )

D

M x y dxdy

3.2 Trọng tâm G x y( , ) củamảnh phẳng D :

 

 

 

( , ) ,

( , )

D

D

x x x y dxdy M

y y x y dxdy M

Đặc biệt, vật đồng chất, tức ( , )x y const điểm

 

 

,

D D

D D

x xdxdy S

y ydxdy S

với SD diện tích miền D

Ví dụ Giả sử vật thể hình giới hạn x1, y 2 ,x trục Ox có khối lượng riêng ( , ) 6x y  x6y6 Hãy tìm khối lượng trọng tâm vật thể

Giải

SV tự làm

ĐS:   

 

5 11

14, ,

7 14 M G

BÀI TẬP

Bài Tính tích phân sau

1)   

1 0

( )

x

x y dydx ĐS: 9 / 20

2)   2 1 y

xy dxdy ĐS: 9 /

3)  

y

e

y

x dxdy ĐS: 4 3/  32

9e 45 4)





 

2

( )

x

x

x y dydx ĐS: 5

5)    0 x y dydx

x ĐS:

1 ln2 6)  

1 0

y y

e dxdy ĐS: 1( 1) e 7)  

3 / y x y y

e dxdy ĐS: 1( 4 )

2 e e 8)   

1

2 0

y

x y x dxdy ĐS: 1/12

9)  

2

1 0

cos

x

x y dydx ĐS: 1(1 cos1)

2 10)    cos / 0 sin y x

e y dxdy ĐS: e2

Bài Trong tích phân sau, vẽ miền lấy tích phân đổi thứ tự lấy tích phân

1)  

( , )

y

y

f x y dxdy ĐS:  

2 ( , ) x x

f x y dydx

2)      2 9 ( , ) y y

f x y dxdy ĐS:    ( , ) x

f x y dydx

3)    ( , ) y y

f x y dxdy ĐS:





   

2

6

0 6

( , ) ( , )

x x

f x y dydx f x y dydx

4)      2 4 ( , ) y y

f x y dxdy

ĐS:           

2

1 2

( , ) ( , )

x

x x

f x y dydx f x y dydx

5)   0

( , )

x

f x y dydx ĐS:  

2

2

( , )

y

f x y dxdy

6)   4

( , )

x

f x y dydx ĐS:   / 4 0

( , )

y

f x y dxdy

7)   ln

( , )

x

f x y dydx ĐS:   ln 2

0

( , ) y

e

8)   ( , ) x x

f x y dydx. ĐS:  

3 ( , ) y y

f x y dxdy

9)  

( , )

x

x

f x y dydx ĐS:   

2

0

3

( , ) ( , )

y

y y

f x y dxdy f x y dxdy

10)   1 ( , ) x x

f x y dydx ĐS:      

1 3

1 1

3

( , ) ( , ) ( , )

y y

f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy

11)





   

1 2

0

( , ) ( , )

x x

f x y dydx f x y dydx ĐS:    ( , ) y y

f x y dxdy

12)  



   

0 3

3

( , ) ( , )

x x

f x y dydx f x y dydx ĐS:    ( , ) y y

f x y dxdy

Bài Tính tích phân sau

1) 

x ydxdy2 ,  hình chữ nhật giới hạn x2, x4, y1,y5. ĐS: 224

2) 



(6x y2 )y dxdy4 ,  ( , )x y 2 | 0 x 3, 0 y1 ĐS: 21/2

3)

 



1

(x y) dxdy,  [3,4] [1,2] ĐS: ln(25 / 24) 4)    2 xy dxdy

x ,         

( , )x y | x 1, y ĐS: 9ln2

5)     2 1 x dxdy

y ,        

( , )x y | x 1, y ĐS:  /

6)

 

1 x dxdy

xy ,  [0,1] [0,1] ĐS: 2ln2 1 7)

 

 2 x

dxdy

x y ,  [1,2] [0,1] ĐS:



 

1

ln 2arctan

2 2

8) 

xlnydxdy,  hình chữ nhật 0x4, 1 y e ĐS: 8

9) 

xye dxdyx y2 ,  [0,1] [0,2] ĐS: 1( 3) e 10)





cos(x )y dxdy,         

 

2

( , ) | ,

2

11) 



(cos2x sin2y dxdy) ,  hình vuông 0  , 0 

4

x y ĐS: 2 / 16

12)  

ex sinycosydxdy,  hình chữ nhật 0 , 0 

2

x y

ĐS: (e1)(e 1)

13) 



xsin(x y dxdy) ,  [0, / 6] [0, / 3]   ĐS: 1  

2 12 14)



ysin(xy dxdy) ,  [1,2] [0, ]  ĐS:

15)  

ex ydxdy,  ( , )x y 2 | 0 x1, 0 y1 ĐS: 2(e2)

16) 



 x y dxdy,  hình vng x 1, y 1 ĐS: 8/3

Bài Tính tích phân sau

1) 

x y dxdy3 ,  ( , )x y 2   x y x, 0x2 ĐS: 256/21

2) 



(x y dxdy) ,  hình giới hạn y3 ,x x0, y6 ĐS: -20

3) 

xydxdy,  hình giới hạn x0,y0, 3x y 2 ĐS: 2/27

4) 



(x 1)dxdy,  hình giới hạn yx y,   x 2, x3 ĐS: 40/3

5) 

x dxdy,  hình tam giác có đỉnh A(2,3), B(7,2), C(4,5) ĐS: 26

6) 

y dxdy3 ,  hình tam giác có đỉnh A(0,2), B(1,1), C(3,2) ĐS: 147/20

7) 

xy dxdy,  hình tam giác có đỉnh O(0,0), A(1,2), B(0,3) ĐS: 7/8

8) 

 

(2x 3y 1)dxdy,  hình tam giác có đỉnh A( 1, 1)  , B(2, 4) ,

(1,3)

C ĐS: 3

Bài Tính tích phân sau

1)

 



2 y

dxdy

x ,        

( , )x y y , 1x x ĐS: 8ln10 3 2)





(x2 y dxdy2) ,  miền giới hạn đường thẳng

 ,  1, 1, 3

3) 



(x y dxdy) ,  miền cho x  y 2 ĐS: 0

4) 



(x )y dxdy,  miền giới hạn đường thẳng

 , 2 , 2, 3

y x y x x x ĐS: 76/3

5)  

ex ydxdy,  miền cho max | |,| |  x y 2 ĐS: e4 e4 e2 e2

6) 



x y2( x dxdy) ,  miền giới hạn đường y  x x2, y2 ĐS: -1/504

7) 



(x y dxdy) ,  miền giới hạn đường

y2 3 ,x y2 4 x ĐS: 48 8)





(3x y dxdy) ,  ( , )x y 2 x2   5 y 4, 3  x1 ĐS: -784/15

9) 

(x2sin2y dxdy) ,         

 

2

( , ) 3cos ,

2

x y x y y ĐS: 12/5

10) 



x y4 1dxdy,  miền nằm phía đường y 1 nằm vòng

tròn x2 y2 4 ĐS:

11) 



(x y dxdy) ,  miền giới hạn đường

 2 2, 2 1

y x y x ĐS: 64/15

12) 

 

(3x2 2xy y dxdy) ,  miền giới hạn đường

0,  2, 2

x x y y ĐS: 244/21

13) 

x dxdy2 ,  miền giới hạn đường y 4,y x2. ĐS: 128/15

14) 

x ydxdy2 ,  miền giới hạn đường

a) y  x2, 4y x y2, 

b) y  x2, 4y x x2, 2

c) y  x y2,  x2, x2

ĐS:a) 512/3; b) 60/7; c)

15) 

Bài Tính tích phân sau

1) 

ydxdy

x ,  hình giới hạn yx y, 2 ,x xy1, xy3 ĐS: 1 2)





(y x dxdy) ,  hình giới hạn

 

 1,  3,   7,  5

3 3

y x y x y x y x ĐS: 8

3) 

 

(x y) (3 x y dxdy)2 ,  hình giới hạn

 1,  1,  3,   1

x y x y x y x y ĐS: 20/3

4) 

xydxdy,  hình giới hạn

    

2

, , , ( 0)

y x y x y x y x x ĐS: 105/32

5)

   

y x y x

e dxdy,  hình giới hạn điểm

(0,1), (0,2), (2,0), (1,0) ĐS: 3  1

4 e e 6)



  

(2x2 )(2y2 x2 3y2 )xy dxdy,  hình giới hạn

        

2 2

2 1, 3, 1, ( 0, 0)

3

x y x y x y y x x y ĐS: 1/2

Bài Tính tích phân sau

1) 

 

 4 x2 y dxdy2 ,  ( , )x y 2 x2 y2 2 ,x y0 ĐS:   

 

8

3 2)





(3x y dxdy) ,        

 

2 2

( , ) 9,

3

x y x y y x ĐS: -432/169

3) 



ln(x2 y dxdy2) ,  hình vành khăn đường trịn

   

2 2 2 ,

x y e x y e ĐS: e2(3e2 1)

4) 

xydxdy,  hình trịn với tâm gốc tọa độ bán kính ĐS: 0

5) 



(x y dxdy) ,  miền bên trái trục Oy nằm hai đường tròn

x2 y2 1, x2 y2 4 ĐS: -14/3

6) 



x2 y2 9 ĐS: sin 7)  



e x2 y2dxdy,  miền giới hạn đường x  4y2 trục Oy

ĐS: (1 4)

2 e 8)



ye dxdyx ,  hình trịn x2 y2 25 nằm phần tư thứ

ĐS: 23

2

e

9) 

 

 

 

arctan y dxdy

x ,         

2 2

( , )x y x y 4, y x ĐS: 

64 10)



 

 R2 x2 y dxdy2 ,  miền giới hạn đường tròn x2 y2 R2 đường y x y,  3x nằm góc phần tư thứ ĐS: 

3 36

R

11) 

 

(x 2y 1)dxdy,  giao hai hình trịn x2 y2 2y, x2 y2 2x

ĐS: 5 

4 12)



xdxdy,  miền nằm hai đường tròn x2 y2 2x, x2 y2 4x

ĐS: 7

13) 



 x2 y dxdy2 ,  miền cho xx2 y2 4, x0, y0

ĐS: 4 

3 14)

 

2

2 y

dxdy

x ,  miền cho    2

1 x y 2x ĐS:  3

2 15)



 

 

 

arctan y dxdy x ,

 

        

 

2 2

( , ) 9,

3 x

x y x y y x ĐS:  16)



 

  

   

 

 2

1 sin( )

1

xy dxdy

x y

,  nửa hình trịn tâm O, bán kính

17) Tính     2 2 sin x y

dxdy x y ,          2 2 ( , ) : 16

x y x y ĐS: ( 1)

18)     2 2 x y dxdy

a b ,  miền giới hạn   2 2 x y

a b ,  

2

2

4

x y

a b

nằm góc phần tư thứ ĐS:  ab

19)  



  

 xy x y2 sin( )y3 dxdy,  miền cho  

2 16 x y

ĐS: 24(3 ) 

Bài Tính tích phân sau

1)   1

2

sin( )

x

y dydx ĐS: 1(1 cos1).

2 2)    

2 0

x xe y

dydx

y ĐS: 

8 1 4 e

3)   3

x y

e dxdy ĐS: 

9

e

4)   

1

1

y

x dxdy ĐS: 2(23/ 1)

5)  

2 cos( ) y

y x dxdy ĐS: 1sin81

4 6)  

2 1 3 sin( ) x

x y dydx ĐS: (1 cos1).

12 7)





  /

2 arcsin

cos cos

y

x x dxdy ĐS: 1(2 1).

3 8)  

2 1 x y ye dxdy

x ĐS: 

1

( 1) e

9)  

    1 5/2 2 0 x

x y dydx ĐS: 

14 10)     2 1/

1

x

x

dydx

x y

Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường

1) x4y y 2, x y ĐS: 1/6

2)  1 x

y , yx22, x 1, hình nằm bên phải đường x 1. ĐS: 27/4

3) y2  4 x, 2y2 x8 ĐS: 32

4) (x1)2 y2 1, (x2)2 y2 4, yx, y 0 ĐS:   

 

1

4 5) y2 2x, y2 3x, x2 y, x2 4y ĐS: 1

6) x2 2xy y x y 0, x  y 0 ĐS: 16/3

Bài 10.

1) Tìm diện tích mặt nón z x2 y2 nằm bên hình trụ x2 y2 2x

ĐS: 

2) Tìm diện tích mặt trụ x2 2z bị cắt mặt phẳng x2y 0, y 2x,

2

x ĐS: 13

3) Tìm diện tích phần mặt parabolơit x 1 y2 z2 bị cắt hình trụ

 

2

y z ĐS: (5 1) 

6

4) Tìm diện tích phần mặt phẳng x2y z 4 nằm bên hình trụ

 

2 1

x y ĐS: 6

5) Tìm diện tích phần mặt cầu x2 y2 z2 36 nằm bên hình trụ

 

2 6

x y y mặt phẳng Oxy ĐS:   

 

72

2 6) Tìm diện tích phần mặt cầu x2 y2 z2 4z nằm bên parabolôit

 

z x y ĐS: 4

7) Tìm diện tích phần mặt cầu x2 y2 z2 25 nằm mặt z2

4

z ĐS: 20

8) Tìm diện tích phần hình trụ x2 y2 9 bị cắt hình trụ x2  z2 9

ĐS: 72

Bài 11 Tìm tọa độ trọng tâm vật thể đồng chất giới hạn

1) y2 4x4,y2  2x 4. ĐS:  

 

2 ,0

2) y  x y2,   x 2. ĐS:  

 

§3 TÍCH PHÂN BỘI BA

I Tích phân bội ba



f x y z dxdydz( , , )

: miền lấy tích phân, bị chặn 3

II Phương pháp tính tích phân bội ba 2.1 Miền lấy tích phân hình hộp

 

     

      

       

1 2 3

1 2 3

, , ,

( , , ) : , ,

a b a b a b

x y z a x b a y b a z b

Ta có





   

3

1

( , , ) ( , , )

b b b

a a a

f x y z dxdydz f x y z dzdydx

Chú ý:

 Trong cơng thức trên, ta hốn vị thứ tự lấy tích phân

 Nếu f x y z( , , ) f x h y g z( ) ( ) ( ) thì



 

  

 

   

   

   

   

3

1

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

b

b b

a a a

f x h y g z dxdydz f x dx h y dy g z dz

Ví dụ Tính



xyz dxdydz2 với  ( , , ) : 0x y z  x1, 1  y2, 0 z 3

Giải

Cách 1:



   

 

   

 

     

3

1 3

2

0 0 0

z

z

z

xyz dxdydz xyz dzdydx xy dydx



 

 

     

 

   

2

1 2

0 1

9 27 27

9

2

y

y

xy

xydydx dx xdx

Cách 2: SV tự làm

2.2 Miền lấy tích phân khơng phải hình hộp

2.2.1 Phương pháp đưa tích phân bội hai

 Miền lấy tích phân nhìn theo hướng Oz:

 

  ( , , ) : ( , )x y z x y Dxy, ( , )z x y1  z z x y2( , ) , với Dxy miền nằm mp

Oxy



 

  

 

 

  

2

1

( , ) ( , )

( , , ) ( , , )

xy

z x y

D z x y

f x y z dxdydz f x y z dz dxdy

 Miền lấy tích phân nhìn theo hướng Oy:

 

  ( , , ) : ( , )x y z x z Dxz, y x z1( , ) y y x z2( , ) , với Dxz miền nằm mp

Oxz



 

  

 

 

  

2

1

( , ) ( , )

( , , ) ( , , ) xz

y x z

D y x z

f x y z dxdydz f x y z dy dxdz

 Miền lấy tích phân nhìn theo hướng Ox:

 

  ( , , ) : ( , )x y z y z Dyz, x y z1( , ) x x y z2( , ) , với Dyz miền nằm mp



 

  

 

 

  

2

1

( , ) ( , )

( , , ) ( , , )

yz

x x z

D x x z

f x y z dxdydz f x y z dy dydz

Nhận xét: Thông thường, tính tích phân bội bội phương pháp đưa tích phân lặp, ta thường phải vẽ miền lấy tích phân Việc vẽ hình 2 thì dễ, cịn vẽ hình 3 khơng phải dễ.

-Tích phân bội  dễ vẽ

-Tích phân bội  lúc dễ, lúc khó

Do đó, gặp tính tích phân bội 3, ta cần ý vào đặc điểm miền để xử lý

Chú ý hai dạng đặc biệt sau:

DẠNG 1.Miền  gồm hai mặt cong có pt zg x y( , ) zh x y( , ):

Chuyển tích phân bội 2, với

  



  

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) g x y z h x y h x y z g x y

Bước (Xác định miền Dxy mp Oxy): Dxy tạo giao tuyến hai mặt cong cho

Cho f x y( , ) g x y( , ) biên miền Dxy (Dxy khép kín)

Bước 2: vẽ Dxy lên mp Oxy

DẠNG 2.Miền  gồm hai mặt cong có pt zg x y( , ), zh x y( , ) có thêm các pt khơng chứa biến z:

Chuyển tích phân bội 2, với

  



  

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) g x y z h x y h x y z g x y Bước (Xác định miền Dxy mp Oxy):

Các phương trình khơng chứa biến z biên miền Dxy

Bước (Vẽ Dxy lên mp Oxy):

-Nếu Dxy kín  xong

-Nếu Dxy chưa kín: tìm thêm biên cách cho f x y( , ) g x y( , ), sau vẽ thêm biên

Bước 3: lấy điểm M x y( , )0 0 Dxy, ta biết hg (hay g h )

“Như vậy, toán rơi vào hai dạng ta cần vẽ miền D của  mặt phẳng (dễ) Nếu không rơi vào hai dạng bắt buộc ta phải vẽ  không gian.”

Hai dạng dạng cho z Dạng cho y, cho x, ta làm tương tự Ví dụ 1. Tính



z dxdydz với  giới hạn mặt z x2 y2

4 z

Giải

Cách (vẽ trực tiếp  Oxyz):

Nhìn theo hướng Oz:

xy D

xy

 Dxy hình trịn tâm O, bán kính R4 Vậy,

 

 

 



 

 

  

2

4 xy

D x y

z dxdydz zdz dxdy      

??? 2

1

(16 ) 64

2 xy

D

x y dxdy

Nhìn theo hướng Oy:

 Dxz miền giới hạn zx z,  x z, 4 Vậy,



  

 

 



 

 

  

2

2

xz

z x

D z x

zdxdydz zdy dxdz    

??? 2

2 64

xz

D

z z x dxdz

Nhìn theo hướng Ox: tương tự

Cách (khi vẽ hình Oxyz):

Nhận xét: Nhìn vào đề bài, ta thấy z nằm mặt z x2 y2 z4.

Bài làm:

Xét



  

 

  

2

z x y

z     

2 2

4 16

x y x y



???

 

  ( , , ) : ( , )x y z x y Dxy, x2y2  z , với Dxy hình trịn x2 y2 16

nằm mp Oxy

Vậy,



 

 

 

    

 

 

   

2

4 ???

2

(16 ) 64

2

xy xy

D x y D

zdxdydz zdz dxdy x y dxdy

xy D

xz

Ví dụ 2. Tính





(2x )y dxdydz với  giới hạn mặt

 ,  1 , 0, 0

y x z y x z

Giải

Cách (vẽ trực tiếp  Oxyz):

Nhìn theo hướng Oz  Dxy miền nằm mp Oxy giới hạn đường x0,y x, y 1

Cách (khi khơng biết vẽ hình Oxyz):

Nhận xét: Nhìn vào phương trình ta thấy z có khả nằm mặt

0

z z 1 y, phương trình cịn lại y x, x0 không chứa biến z Ta cần vẽ miền Dxy mp Oxy Tuy nhiên vẽ y x, x0 Dxy chưa khép kín, ta cho 1y 0 y 1, vẽ thêm đường Dxy khép kín

Bài làm:

Xét    

 

1 z y

z 1y 0 y1



???

 

Vậy,

 

 

     

 

  

1 ???

0

11

(2 ) (2 )

60 xy

y

D

x y dxdydz x y dz dxdy

Ví dụ Tính





 x2 z dxdydz2 với  miền bị chặn paraboloid

 

y x z mặt y4

Giải

Cách 1 (vẽ trực tiếp  Oxyz):

Nhìn theo hướng Oz  Dxy miền nằm mp Oxy giới hạn

 2,

y x y4

Vậy,



  

 

 

  

 

 

  

2

2

2 2

xy

y x

D y x

x z dxdydz x z dz dxdy

   

    

2

2 2

2 ???

2 2

y x

x y x

x z dzdydx (Tính khó!)

Vậy,



 

 

     

 

 

  

2

4 ???

2 2 128

15 xz

D x z

x z dxdydz x z dy dxdz

Cách (khi khơng biết vẽ hình Oxyz):

Nhận xét: Nhìn vào phương trình ta thấy y có khả nằm mặt

 

y x z y4 Ta cần vẽ miền Dxz mp Oxy

Bài làm:

Xét      

 

2

2 4

y x z

x z

y



???

 

  ( , , ) : ( , )x y z x z Dxz, x2 z2  y4 , với Dxz hình trịn x2  z2  nằm mp Oxz

Vậy,



 

 

     

 

 

  

2

4 ???

2 2 128

15 xz

D x z

x z dxdydz x z dy dxdz 2.2.2 Phương pháp đổi biến tổng quát

Dấu hiệu: hàm lấy tích phân miền lấy tích phân phức tạp đặt ẩn phụ được

Bước (đổi biến): Đặt

  

 

 



( , , ) ( , , ) ( , , ) u u x y z v v x y z w w x y z

(*)

Bước 2: Tính



trị tuyệt đối J với

  

  

   

  

   

  

  

( , , )

0 ( , , )

x x x

u v w

x y z y y y

J

u v w u v w

z z z

u v w

Cách 1: Từ (*)

  

   

  

( , , ) ( , , ) ( , , ) x x u v w

y y u v w J J z z u v w

Cách 2: Từ

(*)

  

  

   

     



   



  

  

( , , )

0

( , , ) ( , , )

( , , ) u u u

x y z u v w v v v

J J

u v w x y z x y z

x y z w w w

x y z

Bước (đổi miền): Tìm điều kiện cho u v w, ,  uvw

Bước 4:

 



 ( , , )  ( ( , , ), ( , , ), ( , , ))

xyz uvw

f x y z dxdydz f x u v w y u v w z u v w J dudvdw

Ví dụ Tính



xyzdxdydz với  giới hạn mặt



       

2 2

, , 1, 4, , ( , , 0)

2

x y

z x y z xy xy y x y x x y z

Giải

Cách (đưa tích phân bội hai):

  

      

 

2

2 ( , , ) : ( , ) ,

2

xy

x y

x y z x y D z x y , với Dxy miền nằm mp Oxy giới hạn đường

1, 4,  , 2 ( , 0)

xy xy y x y x x y

Vậy



 

 

 

  

 

 

  

2

2

2 xy

x y

D x y

xyz dxdydz xyzdz dxdy    

 

???765 15

2 ln

64

Nhận xét: nhìn vào phương trình mặt, ta thấy có yếu tố lặp lại “z”, “xy” “y

x ” Đây ví dụ mà ta nhìn vào miền lấy tích phân để đặt ẩn phụ. Đặt                        ??? u x u xy v y

v y u v x w z z w                        1 2

x x x

u v w

y y y

J J

u v w v v

z z z

u v w

Ta có

 1 1

xy u

xy4 u4

y   1 v x

y   2 v x

 

        

 

2 u

z x y w uv u v

v v

      

 

2 1

2

x y u

z w v

v                        1 ( , , ) : ( , ) , uv u

u v w u v D u v w v

v v , với

 

 ( , ) :1 4, 1 2

uv

D u v u v Vậy,                                   ???

1 1

2 uv u v v D u v v

xyz dxdydz u w dudvdw u w dw dudv

2.2.3 Phương pháp đổi biến sang tọa độ trụ

Dấu hiệu:  có hình chiếu xuống Oxy miền có dạng trịn, đề có chứa dạng “x2 y2”

Bước (đổi biến): Đặt

 

  

    

cos sin x r y r z z

  

0 r , 0 2 ,    z

Bước 2: J r. Chú ý: x2y2 r2

Bước (đổi miền): Tìm điều kiện cho r, , z r z

 : nhìn hình, tìm tia xuất phát tia kết thúc (tia qua O tiếp xúc với hình chiếu),  góc quét từ tia xuất phát đến tia kết thúc)

 r: tìm “r vào” “r ra”

z: tìm “z trên” “z dưới”

Bước 4:



  

 



 ( , , )  ( cos , sin , )

xyz r z

f x y z dxdydz f r r z rdrd dz

Chú ý:  có hình chiếu xuống Oxy miền có dạng elip, đề có chứa

dạng “ 

2 2 x y

a b ”, ta dùng công thức

 

  

    

cos sin x ar y br z z



J abr

2.3.4 Phương pháp đổi biến sang tọa độ cầu

Dấu hiệu:  có hình chiếu xuống Oxy miền có dạng trịn, đề có chứa dạng “x2 y2 z2”

Bước (đổi biến): Đặt

 

 



  

    

sin cos sin sin cos x p y p z p

  

Bước 2: J  p2sin Chú ý: x2 y2 z2  p2 Bước (đổi miền): Tìm điều kiện cho p, ,   p

  , : nhìn hình

 p: tìm “p vào” “p ra”

Bước 4:



      

 



 ( , , )  ( cos sin , sin sin , cos )

xyz p

f x y z dxdydz f p p p p2sin dpd d



Chú ý:  có hình chiếu xuống Oxy miền có dạng elip, đề có chứa

dạng “  

2 2 2 x y z

a b c ”, ta dùng công thức

 

 



  

    

sin cos sin sin cos x ap y bp z cp



 2sin

J abc p

Ví dụ Tính





 x2 y dxdydz2 với  hình giới hạn mặt x2 y2 16,

 5

z z4

Giải

Nhận xét:  có hình chiếu xuống Oxy hình trịn tâm O, bán kính R4

Bài làm:

Dùng tọa độ trụ

 

  

    

cos sin x r y r z z



 

 

  

   

2 4 ??? 2

0

384

x y dxdydz r r dzdrd

Ví dụ Tính





(x2 y dxdydz2) với  hình giới hạn mặt z x2 y2

và z2

Giải

Nhận xét:  có hình chiếu xuống Oxy hình trịn tâm O, bán kính R2

Bài làm:

Cách 1:

Dùng tọa độ trụ

 

  

    

cos sin x r y r z z

, J r, 02 , 0  r 2,

     

2

2

x y z r z Vậy,



 



  

   

2 2 ???

2 2

0

16

( )

5

r

x y dxdydz r rdzdrd Cách 2:

Dùng tọa độ cầu

 

 



  

    

sin cos sin sin cos x p y p z p

, J  p2sin, 0 2 Ta có

 

0 ,



  

      2cos2  2sin2  

4

 

 0 

4



0 p,





 2 cos  2 

cos

z p p



0 

cos p Vậy,

  

   



 

   

2 cos

2 2 2

0 0

(x y dxdydz) p sin p sin dpd d

  

  

   

2 cos

4 0

sin

p dpd d  

???16

Nhận xét chung: Trong ví dụ này, ta nên dùng tọa độ trụ để dễ tính tốn

Ví dụ Tính  



e(x2 y2 z2 3/ 2) dxdydz với  ( , , ) :x y z x2 y2 z2 1

Giải

Nhận xét:  có hình chiếu xuống Oxy hình trịn tâm O, bán kính R1 đề bài có chứa biểu thức “x2 y2 z2”

Bài làm:

Dùng tọa độ cầu

 

 



  

    

cos sin sin sin cos x p y p z p

, J  p2sin, 0 2 , 0 , 0 p 1

Vậy,

 

  

  



 2 3/   

2

( )

0 0

sin

x y z p

e dxdydz e p dpd d   

???4

Ví dụ Tính



 

 x2 y2 z dxdydz2 với  hình nằm nên mặt nón

 

z x y mặt cầu x2 y2 z2 z

Giải

Nhận xét:  có hình chiếu xuống Oxy hình trịn tâm O, bán kính R1 / 2 đề có chứa biểu thức “x2 y2 z2”

Bài làm:

Cách 1:

Dùng tọa độ cầu

 

 



  

    

sin cos sin sin cos x p y p z p

, J  p2sin, 0 2 Ta có

 

0 ,



  

      2cos2  2sin2  

4

z x y z x y p p ,

 

 0 

4



0 p,

 

      

2 2

cos cos

x y z z p p p



 0 pcos

Vậy,

  

  



  

   

2 cos

2 2

0 0

sin

x y z dxdydz p p dpd d

  

  

   

2 cos 0

sin

p dpd d   

 

 

Cách 2:

Dùng tọa độ trụ

 

  

    

cos sin x r y r z z

, J r, 02 , 0  1

2

r ,

   

2

x y z r z

Khó xác định “z trên”! Vì vậy, khơng nên dùng tọa độ trụ ví dụ

Ví dụ Tính



 

 

 

 



2 2 2

x y z

dxdydz

a b c với  miền nằm bên elipsoid

  

2 2 2 x y z

a b c

Giải

Đặt

 

 



  

    

sin cos sin sin cos x ap y bp z cp

, J abcp2sin,

 

 

0 , 0 p1, 0  Vậy

 



  



 

   

 

 

   

2

2 2 ???

4 2

0 0

4

.sin

5

x y z abc

dxdydz abc p dpd d

a b c

§4 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI BA

I Tính thể tích hình  3: 





V dxdydz

Ví dụ Tính thể tích vật thể  giới hạn x2 4y2  z z 3

Giải

Xét

   

   

2

4

3

x y z

z    

2 4 3 1

x y      

2

2 4 4 1

4 x

x y y

 

        

???

2

( , , ) : ( , )x y z x y Dxy, z x 4y , với Dxy hình elip  

2

1

x y

nằm mp Oxy

Vậy,

 

  

 

 

 

    

 

 

   

2

1

2

4

xy xy

x y

D D

V dxdydz dz dxdy x y dxdy  

???32

3 (đvtt) Ví dụ Tính thể tích vật thể  giới hạn z0,z 1 x2 y y2,  x y,  x

Giải

Xét

 

      



  



2 2

2

0 1

1 z

x y x y

z x y

 

       

???

2

( , , ) : ( , )x y z x y Dxy, z x y , với Dxy miền nằm mp Oxy giới hạn đường



y x, yx 3, x2 y2 1

Vậy,

  



 

 

 

 

 

  

2

1 xy

x y

D

V dxdydz dz dxdy  

???

Ví dụ Tính thể tích vật thể  giới hạn

       

2 2 2 2

1, 4,

x y z x y z z x y

Giải

Dùng tọa độ cầu

 

 



  

    

sin cos sin sin cos x p y p z p

, J  p2sin, 0 2 Ta có

 

0 ,



  

      2cos2  2sin2  

4

z x y z x y p p ,

 

 0 

4

Lại có

    

2 2 1 1

x y z p

    

2 2 4 2

x y z p

 1 p2

Vậy,

 

    

 

      

2 ???

2 0

14

sin

3

V dxdydz p dpd d

II Tìm khối lượng trọng tâm vật thể

Cho vật thể  khơng gian có khối lượng riêng  điểm

 

( , , )

M x y z hàm ba biến ( , , )x y z Ta có

2.1 Khối lượng vật thể :





 ( , , )

2.2 Trọng tâm G x y z( , , ) củavật thể :

  







  

  

( , , ) ,

( , , ) ,

( , , )

x x x y z dxdydz M

y y x y z dxdydz M

z z x y z dxdydz M

Đặc biệt, vật đồng chất, tức ( , , )x y z const điểm

 

 

 

 





 

,

,

x xdxdydz V

y ydxdydz V

z zdxdydz V

BÀI TẬP

Bài Tính tích phân sau

1)     0

6

z x z

xzdydxdz ĐS: 1

2)    0

2

y x

x

xyz dzdydx ĐS: 5/8

3)

   

2

1 0

z y

ze dxdzdy ĐS: 1 1

3 e 4)    

1 0

y z

y

ze dxdydz ĐS: 4e 5)



 

   / 0

cos( )

y x

x y z dzdxdy ĐS: 1 6)





(xz y dxdydz3) , với  ( , , ) : 1x y z   x1, 0 y2, 0 z 1 ĐS: 8

7) 

(x ye dxdydz3 z) , với  ( , , ) :1x y z x 2, 0y 1, 0 z ln 2 ĐS: 15/8

8) 

sin sin sin cos cos cosx y z x y zdxdydz, với

    

  ( , , ) : 0x y z  x  / 2, 0 y / 2, 0 z / ĐS: 1/8

9) 



sin101xln(y z dxdydz) , với  ( , , ) : 0x y z  x2 , 1  y e , 1 z e ĐS:

10) 

 

(x y z dxdydz) , với  giới hạn mặt phẳng x0, x1, y0,

1

y , z0 z1 ĐS: 3/2

Bài Tính tích phân sau

1) 

2x dxdydz, với  ( , , ) : 0x y z y2, 0 x 4y2, 0 z y. ĐS:

2) 

yzcos( )x dxdydz5 , với  ( , , ) : 0x y z  x 1, 0 y x x,  z 2x

ĐS: sin1 20 3)



x dxdydz, với  giới hạn paraboloid z2x2 y2 hình trụ z 4 y2

4) 

x dxdydz, với  giới hạn paraboloid x 4y2 4z2 mặt phẳng x4 ĐS: 16 / 3

5) 



(x2 z dxdydz2) , với  giới hạn 2y x2 z2 y 2 ĐS: 80 / 9

6) 

z dxdydz, với  miền giới hạn mặt z x2 y2, z0, x2 y2 4 ĐS: 32 / 3

7) 



(z 1)dxdydz, với  giới hạn xy2, zx, z0, x1 ĐS: 38/35

8) 

6xy dxdydz, với  giới hạn z 1 x y z, 0, y x y, 0, x 1 ĐS: 65/28

9) 

xy dxdydz, với  giới hạn mặt trụ yx2, xy2 mặt phẳng

0,  

z z x y ĐS: 3/28

10) 

xyzdxdydz, với  miền giới hạn mặt x0, y 0,

0, 1, 2

z x y zx2 y2 ĐS: 23/6

11) 

z dxdydz, với  giới hạn mặt trụ y2 z2 9, mặt phẳng

0, 3 , 0

x y x z nằm góc phần tám thứ ĐS: 27/8

12) 

y dxdydz, với  giới hạn mặt trụ yx2và mặt phẳng

0, 0,  2

y z x z ĐS: 16/15

Bài Tính tích phân sau

1) 

y dxdydz, với  giới hạn x0, y0,z0, 2x2y z 4 ĐS: 4/3

2) 

x e dxdydz2 y , với  giới hạn hình trụ z 1 y2 mặt phẳng

0, 1,  1

z x x ĐS: 8/3e

3) 

y dxdydz, với  miền giới hạn mặt y x2, z y1, z0 ĐS: 8/35

4) 



(1 x yz dxdydz) , với  miền giới hạn mặt phẳng x0, y0,

0

z z 1 xy ĐS: 1/144

5) 



ycos(x z dxdydz) , với  giới hạn y x, y0, z0  

ĐS:  

2 16 6)

   

( 1)3 dxdydz

x y z , với  giới hạn x z 3, y 2, x0, y 0, z0

ĐS: ln 1 7)





(x2 y dxdydz2) , với  miền bị chặn mặt z y x2, z0,

1

y ĐS: 4/15

8) 

xzdxdydz, với  tứ diện với đỉnh (0,0,0), (1,1,0), (0,1,0), (0,1,1)

ĐS: 1/120

9) 

xzdxdydz, với  hình giới hạn

3 ,  0, 3 14,  21, 0 2

x y x y x y x y z ĐS: 462

Bài Tính tích phân sau

1) 

e dxdydzz , với  giới hạn paraboloid z 1 x2 y2, mặt trụ x2 y2 5

và mặt phẳng Oxy ĐS: (e6  e 5)

2) 

x dxdydz, với  giới hạn mặt phẳng z0, z x y5 mặt trụ x2 y2 4 x2 y2 9 ĐS: 65 / 4

3) 



 x2 y dxdydz2 , với  hình nằm bên mặt trụ x2 y2 1, mặt phẳng z4 mặt paraboloid z 1 x2 y2 ĐS:12 / 5

4) 

x dxdydz2 , với  hình nằm bên mặt trụ x2 y2 1, mặt phẳng

0

z mặt nón z2 4x2 4y2 ĐS: / 5

5) 



(x3 xy dxdydz2) , với  hình nằm góc phần tám thứ nhất, paraboloid z 1 x2 y2 ĐS: 2/35

6)

  

 2

1 xyz

dxdydz

x y , với  hình nằm phần x0, y 0, z0 giới

Bài Tính tích phân sau

1) 

 

(x2 y2 z dxdydz2) , với  hình cầu tâm O, bán kính R1 ĐS: / 5

2) 



(x2 y dxdydz2) , với  ( , , ) :x y z x2 y2 z2 1, z0 ĐS: / 15

3)  



e x2 y2 z2 dxdydz, với  hình nằm góc phần tám thứ nằm mặt cầu x2 y2 z2 9 ĐS:  (5 32)

2 e 4)



x dxdydz2 , với  giới hạn mặt y 0, y  9x2 z2

 16 

y x z ĐS: 1562 / 15

5)

 

  

 3/

2 2 z

dxdydz x y z

, với  khối cầu tâm (0,0,2), bán kính

ĐS:  /

6) 

 

 x2 y2 z dxdydz2 , với  ( , , ) :x y z x2 y2 z2 x 0 ĐS:

7) 

x y z dxdydz2 2 , với  ( , , ) :x y z x2  y2 2z2  4 ĐS: 512 / 945

8) 

    

 

 x y z2 (2 1) (cosx e z dxdydzy) , với  ellpsoid   

2

2

2

4 x

y z

ĐS: 0

Bài Tìm thể tích khối

1) Tứ diện nằm góc phần tám thứ tạo mặt tọa độ mặt

  1

x y z ĐS: 1/6

2) Giới hạn mặt trụ y x2 mặt phẳng z0, z4 y 9 ĐS: 144

3) Nằm hình trụ x2 y2 9 hai mặt phẳng z2x1, z0 (x0)

ĐS: 369

2 4) Giới hạn mặt 2z x2 y2, y z 4 ĐS: 81 / 4

5) Giới hạn paraboloid xy2 z2, x16 ĐS: 128

6) Nằm phía mặt phẳng Oxz mặt y 1 x2 z2 ĐS:  /

7) Nằm hình trụ x2 4y2 4, z y5 z 9 x ĐS: 28

8) Tứ diện với mặt x0, z0, x 2y6, x y 3z ĐS:

10) Giới hạn mặt z3x2, z4x2, y 0 y z ĐS: 304 / 15

11) Giới hạn mặt zx2 y2, z0, x2 y2 x x2 y2 2x

ĐS: 45 / 32

12) Nằm góc phần tám thứ giới hạn mặt y 0, y3,

0

x , z x z x 4 ĐS: 12

13) Giới hạn mặt phẳng đôi song song (tạo thành khối hình bình hành) sau

x   y z 2,  x 2y3z 3, 2x 3y3z 4 ĐS: 192/19

14) Giới hạn x y z  x y z    x y z 1 ĐS: 1/3

15) Nằm mặt cầu x2 y2 z2 4 hình trụ x2 y2 1 ĐS: 4(8 ) 3/2

3

16) Giới hạn paraboloid zx2 y2 z36 3 x2 3y2 ĐS: 162

17) Giới hạn mặt trụ 2zx2 y2, 4xx2 y2 mặt z0 ĐS: 12

18) Được cắt từ hình trụ ellipse 9x2 4y2 36 mặt phẳng z0

 3

z y ĐS: 18

19) Nằm mặt cầu x2 y2 z2 4, mặt phẳng Oxy mặt nón

 

z x y ĐS: / 3

20) Giới hạn paraboloid 2z x y2 x2 y2 z2 3 ĐS:    

 

5

2

6 21) Giới hạn x2 y2 z2 R2 x2 y2 z2 2zR ĐS: 5R3 / 12

Bài

1) Tìm tọa độ trọng tâm vật thể giới hạn x2 y2 a2 (a0), z0, z2 a ĐS: (0,0, )a

2) Tìm khối lượng cầu có bán kính a, khối lượng riêng

 

 

2 2 ( , , )x y z

x y z ĐS: 4a

3) Tìm khối lượng hình lập phương 0x2, 0 y2, 0 z 2, khối lượng riêng ( , , )x y z  x yz. ĐS: 24 4) Tìm tọa độ trọng tâm vật thể giới hạn 2x3y12 0, x0, y0,

0,

z 

2 , y

Chương

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG-TÍCH PHÂN MẶT §1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT

I Ký hiệu

  ( , )

C

f x y ds , với C đường cong 2,   ( , , )

C

f x y z ds , với C đường cong 3

 Chú ý: Đường cong kín là đường cong có điểm đầu trùng với điểm cuối không tự cắt (các chỗ khác điểm trùng nhau)

Khơng kín Kín

II Định nghĩa

Cho C đường cong khả vi 2 có phương trình tham số

 

 

 

( )

, [ , ] ( )

x x t

t a b y y t ,

Chia [a,b] thành n khoảng [ti1, ]ti Đặt   

 

( )

, [ , ] ( )

x x t

t a b

y y t Các điểm P x yi( , )i i chia C thành n cung nhỏ



1 i i P P Đặt is chiều dài cung P Pi1 i

Trong cung thứ i, ta chọn điểm P x yi*( , )i* i* , 1 i n  Nếu

 

  

 * * 

1

lim ( , )

n

i i i

n i

f x y s m

thì giới hạn gọi tích phân đường loại f C, nghĩa



 ( , )

C

f x y ds m Nếu C kín, ta cịn ký hiệu  ( , )

C

f x y ds

III. Cách tính tích phân đường loại 1: tính vi phân cung “ds”, đưa tích phân xác định.

3.1 Trong 2

 ( , )

C

f x y ds , với C đường cong 2

Cách 1: C có dạng    



( )

, [ , ] ( )

x x t

t a b y y t

Khi

 

   

   

2

= x t( ) y t( )

ds dt

       

 ( , )ds ,  ( )2  ( )2

b

C a

f x y f x t y t( ) ( ) x t y t dt

Cách 2: C có dạng y y x( ), x[ , ]a b Khi



 

  

2 =

ds y x( ) dx

    

 ( , )ds , 1  2

b

C a

f x y f x ( )y x y x( ) dx

Cách 3: C có dạng x  x y( ), y[ , ]c d Khi



  

 

2

=

      ( , )ds ,  2 1

d

C c

f x y f x y( ) y x y( ) dy

3.2 Trong 3

 ( , , )

C

f x y z ds , với C đường cong 3

Dạng 1: C có dạng tham số

  

 

   

( )

( ) , [ , ] ( )

x x t

y y t t a b z z t

Khi

  

     

     

2 2

= x t( ) y t( ) z t( )

ds dt

          

 ( , )ds , ,  ( )2  ( )2  ( )2

b

C a

f x y,z f x t y t z t( ) ( ) ( ) x t y t z t dt

Dạng 2: C giao tuyến hai mặt

   

  

1

( , ) ( , ) z z x y

z z x y

 



 

( , , ) ( , , ) F x y z

G x y z

Khi đó, ta đưa dạng (tham số hóa) cách:

- Tìm phương trình hình chiếu C lên mặt phẳng tọa độ (chẳng hạn Oxy) - Biểu diễn tham số cho biến phương trình tìm (chẳng hạn ta biểu diễn tham số cho x y)

- Từ phương trình hai mặt, ta suy biểu diễn tham số biến lại (chẳng hạn z)

3.3 Chú ý:

 Tích phân đường loại không phụ thuộc vào chiều đường cong

 Cận tích phân phải chọn bé cận  (  )  

C C C

f g ds f ds g ds    

C C

k f ds k f ds

 Nếu đường cong C nối đường cong C C1, 2, ,Cn,

   

   

1

n

C C C C

f ds f ds f ds f ds

 Nếu f 1



 

C AB

Ví dụ 1. Tính 

C

y ds với C đường cong có phương trình

 

  

 

2

, x t

t

y t

Giải

   

   

   

2

2

( ) ( )

ds t t dt t dt

Vậy,

   

 

2 ???

2

1

4 (17 17 1)

12

C

y ds t t dt

Ví dụ Tính 4

C

y ds x với

a) C cung parabol 

2 x

y , nối từ điểm O(0,0) đến điểm A(1, )1

b) C đoạn thẳng nối từ điểm O(0,0) đến điểm A(1, )1 Giải

a) Nhận xét: phương trình C có dạng y  y x( ), ta nên giải theo cách Nhưng trước làm, ta phải vẽ hình để tìm điều kiện cho x

Bài làm:

Ta có



2 x

y , x[0,1],

 

 

     

  

 

2

2

1

2 x

ds dx x dx

Vậy,

 



???

4

(2 1)

C

y ds

x

b) Nhận xét: phương trình C chưa có, ta phải viết phương trình đường thẳng qua điểm (0,0) (1,1/2)

-Đường thẳng (OA)

    

qua O(0,0) quaA(1, )

2

 

  





0

2

1 0

2

x y

x y

Đoạn OA:    

 

1 , 0,

2

x y y , ds (2 )y 2 1dy 5dy

Vậy,





???

5

C

y ds

x

Nhận xét chung: qua ví dụ này, ta thấy kết tích phân đường loại phụ thuộc vào đường lấy tích phân

Ví dụ 3. Tính 

C

xyds với C

4 đường tròn   2

1,

x y (x0, y0)

Giải

Cách 1:



   



  

  



cos

: , 0,

2 sin

x t

C t

y t

Vậy,





??? 1

C

xyds Cách 2:

Vì C

4 đường tròn   2

1,

x y (x0,y0) nên ta có

 1 2, [0,1] y x x Vậy,



C

xyds 

???1

Nhận xét:Trong ví dụ này, ta nên giải theo cách để dễ tính đạo hàm bên dấu căn.

Ví dụ Tính 2

C

xds với C bao gồm C1 đường parabol yx2 nối từ điểm (0,0) đến (1,1) theo sau C2 đoạn thẳng nối từ điểm (1,1) đến (1,2)

phương trình dạng y  y x( ), C2 chưa có phương trình, ta phải viết phương trình cho C2.

Giải

-Trên C1: y  x2, x[0,1],





1

???

2

C

xds

-Trên C2: x1,y[1,2],





2

???

C

xds

Vậy,       

1

5

2 2

6

C C C

xds xds xds

Ví dụ Tính ( 2 )

C

x y ds với C biên tam giác đỉnh D(1,1), E(3,1), F(1,5)

Nhận xét: đề không nói rõ phương trình C, cho biết biên tam giác có đỉnh D, E, F Khi vẽ hình xong, ta thấy C “khép kín” nối 3 đoạn DE, EF, FD Do đó, ta phải tính tổng tích phân Nhưng trước khi tính, ta phải viết phương trình cho đoạn (nên biểu diễn theo cách 2)

Giải

-Trên DE y: 1,x[1,3],

 



???

( )

DE

x y ds

-Trên    

???

: 7, [1,3]

EF y x x ,

 



???

( )

EF

x y ds

-Trên FD x: 1,y[1,5],

 



???

( )

FD

x y ds Vậy

      

( 2 )  ( 2 ) ( 2 )  ( 2 )

C DE EF FD

x y ds x y ds x y ds x y ds  46 10

Ví dụ Tính 

C

x ds với C đường trịn tâm O(0,0), bán kính R2

Giải

Cách 1: Ta có



 

 



  

 

2 cos

: , 0,2

2sin x t

C t

y t ,

   

   

       

   

2

2

2 cos 2sin 4sin cos

ds t t dt t t dt dt

Vậy,



C

x ds  

???

Cách 2:Ta giải cách tách C thành hai đường cong

 

1: ,

C x y y [ 2,2];

  

2: ,

C x y y [ 2,2]

Khi

 

  

1

2 2

C C C

x ds x ds x ds



  





2

???

2

2

2 (4 )

4 y

y dy

y 



   

2 ???

2

4 y dy .

Ví dụ Tính 2   2

C

z x y ds với C cung đường cong có phương trình



 cos ,  sin ,  ,0 2

x t t y t t z t t

Giải

  

     

  t  t  t

ds x y z dt

mà

cos  sin    cos2 2 cos sin  2sin2

t t

x t t t x t t t t t t

sin  cos    sin2 2 sin cos  2cos2

t t

y t t t y t t t t t t

 1    1

t t

z z

Vậy,

   

 2

C

z x y ds      

 

???

2 3/2 2

(1 )

3

Ví dụ Tính  ( 1)2 24 5(  2) 4 C

z xy x y ds với C giao tuyến mặt trụ

 

2

x y mặt phẳng 2x 3y z Giải

Ta có

  



  



2 4

2

x y

x y z

 hình chiếu C xuống mặt phẳng Oxy đường tròn

 

2

x y

Đặt    

 

2 cos

, [0,2 ] 2sin

x t t

y t

Từ 2x3y z

  z 2x3y 1 2.(2 cos ) 3.(2sin ) cost  t   t6sint



  

   

   



2 cos

: 2sin , [0,2 ]

1 cos 6sin x t

C y t t

z t t

Từ đó, ta dễ dàng tính



     



???

2 2

( 1) 24 5( ) 60

C

z xy x y ds IV.Ứng dụng tích phân đường loại 1:

Cho cung vật chất AB khơng gian có khối lượng riêng  điểm





( , , )

M x y z AB hàm ba biến ( , , )x y z Ta có

4.1 Độ dài cung



 

AB

l ds

4.2 Khối lượng cung vật chất AB:





  , ,

AB

4.3 Trọng tâm G x y z( , , ) củacung vật chất AB:

  



















, , ,

, , ,

, ,

AB

AB

AB

x x x y z M

y y x y z M

z z x y z M

( )ds

( )ds

BÀI TẬP

Bài 1. Tính tích phân đường sau

1) 

C

xy ds, C : x4 cost, y 4sint,    

2 t 2. ĐS: 8192/5. 2)  x

C

ye ds, C : x 1 3t, y 2 5t, 0 t 1. ĐS: 34(16e4 e) / 9. 3) 

C

xy ds, C : x4sint, y4cost, z3t, 0 

2

t ĐS: 320

4) 

C

x zds, C : x4t, y  6 5t, z  1 6t, 0 t 1. ĐS: 56 77 / 3. 5)  yz

C

xe ds, C : xt, y 2t, z3t, 0 t 1. ĐS: 14(e6 1) / 12. 6) (  )

C

x y ds, C đoạn thẳng nối A(9,6) với B(1,2) ĐS: 36 5

7)

 

 2 4

C

ds x y

, C đoạn thẳng nối điểm O(0,0) với A(1,2) ĐS: ln 4 8)





C

ds

x y, C đoạn thẳng nối A(0,2) với B(4,0) ĐS:

5 ln 9) (2  2 )

C

x y z ds, C đoạn thẳng nối hai điểm A(1,-1,2) B(-1,2,-1)

ĐS:  22 /

10) 

C

x ds, C cung   

2

,

x

y x ĐS: 58/15

11) 

C

xds, C : y  x2, 1  x1 ĐS: 0

12) (2 )

C

x y ds, C nửa đường tròn x2 y2 1 ĐS: 2 +

3 13)  

C

x y ds, C nửa đường tròn x2 y2 2x với x1 ĐS: 4

14) 

C

xy ds, C

4 elip   2

1

9

x y

15) 4

C

x ds, C bao gồm C1 đường thẳng nối từ điểm (-2,-1) đến điểm (0,-1), theo sau C2 đường cong yx3 1 nối từ điểm (0,-1) đến (1,0) C3 đường thẳng nối từ điểm (1,0) đến điểm (1,2) ĐS: 218 20 10

27

16) 

C

xyds, C biên hình vng x  y a a, 0 ĐS: 0

17) (  )

C

x y ds, C chu vi tam giác gồm đỉnh A(1,0), B(0,1), C(0,0) ĐS: 1

18) 

C

xy ds, C biên hình chữ nhật ABCD, A(0,0), B(4,0), C(4,2), D(0,2) ĐS: 24

19)  2  C

y z ds, C là đường    

 

2 2

x y z a

x y ĐS:  2 a

20) 

C

x ds, với cung C là giao x2 y2 4 z2x4 nằm góc phần tám thứ hệ trục tọa độ nối (0,4,4) đến (1,3,6) ĐS: (27 5)

12 Bài Cho dây thép dạng nửa đường trịn mặt phẳng Oyz với phương trình y2 z2 1, z0 Biết khối lượng riêng ( , , ) 2x y z  z Tìm khối lượng trọng tâm dây. ĐS:  



  

  



 

8

§2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI

I Ký hiệu

  ( , ) ;  ( , ) ;  ( , )  ( , )

C C C

f x y dx f x y dy f x y dx g x y dy , với C đường cong 2



 

  



( , , ) ; ( , , ) ; ( , , ) ; ( , , ) ( , , ) ( , , )

C C C

C

f x y z f x y z f x y z f x y z g x y z h x y z

dx dy dz

dx dy dz ,

với C đường cong 3

II Định nghĩa

Trong định nghĩa tích phân đường loại 1, ta thay is ix  xi xi1 iy yi yi1 ta thu tích phân đường f C tương ứng x

y (gọi tích phân đường loại 2) sau

 

  

 * *

1

( , ) lim ( , )

n

i i i

n i C

f x y dx f x y x,

 

  

 * *

1

( , ) lim ( , )

n

i i i

n i C

f x y dy f x y y,

Ngồi ra, ta cịn có tích phân đường loại hai hàm f, g sau

 

 

      

 * * * *

1

( , ) ( , ) lim ( , ) ( , )

n

i i i i i i

n i C

f x y dx g x y dy f x y x g x y y

Chú ý rằng, tích phân đường loại 1, is ln dương Trong tích phân đường loại này, ix, iy âm, dương, phụ thuộc vào việc chọn điểm đầu hay điểm cuối đường cong

Nếu C kín, ta ký hiệu dấu tích phân 

C

III Một số ý

 Hướng C hướng theo điểm M chạy cung C từ điểm đầu đến điểm cuối cung C Cung C với hướng xác định gọi cung định hướng

C có hướng từ C có hướng từ

điểm A đến điểm B điểm B đến điểm A

Vì vậy, tính tích phân đường loại 2, ta phải ý đến hướng đường lấy tích phân xuất phát từ điểm kết thúc điểm để xác định cận tích phân  Khi C kín, ta quy ước hướng dương C hướng cho di chuyển

C miền  giới hạn C ln nằm phía tay trái Hướng ngược lại hướng âm

Tích phân lấy theo hướng dương thường ký hiệu 

C

 Miền đơn liên, miền đa liên: Miền đơn liên miền “không có lỗ thủng” Miền khơng đơn liên (miền đa liên) miền có “lỗ thủng”

    

C C C

f dx g dy f dx g dy

      

C C C C

f dx g dy h dz f dx g dy h dz

 Nếu đường cong C nối đường cong C C1, 2, ,Cn,

   

   

1

n

C C C C

f ds f ds f ds f ds

  

 



 

C AB C BA

2

C C3

1

C

 1 2

C C C

IV Định lý Green (đưa cơng thức liên hệ tích phân đường loại đường cong kín C tích phân bội 2)



  

    

 

 

 

 ( , ) ( , )

C

g f

f x y dx g x y dy dxdy x y

Nếu điều kiện sau thỏa:

C kín bao miền  (đơn liên đa liên),

Hướng C hướng dương,

 f g, và đạo hàm riêng cấp chúng liên tục trên  C

Chú ý: Trong trường hợp  miền đa liên, ví dụ hình vẽ số thì, ta có

 

    

  

  

1 2

C C C C C

fdx gdy fdx gdy fdx gdy V. Phương pháp tính tích phân đường loại

Chú ý C kín hay khơng kín Từ đó, tìm cách đưa tích phân xác định có cận

5.1 Trong 2

 ( , )  ( , )

C

f x y dx g x y dy , với C đường cong 2

tham số hóa

C biết y  y x( )  TPXĐ có cận x  x y( )

C khơng kín

C chưa biết biết khó tính TP      

  , ( , )

f g

x y

y x ,

 



 

f g

y x

( mở, đơn liên, chứa C)

Tích phân khơng phụ thuộc Thêm bớt đường đi đường tạo đường kín

Chọn đường Tính bằng để dùng ĐL Green

gấp khúc hàm // trục F(cuối)-F(đầu) tọa độ

1 C

2 C

 1 2  3

Tham số hóa  TPXĐ có cận

Tách C thành đường khơng kín C kín Định lý Green (hay dùng)

Tính  

 , 

f g

y x

với  miền C (C biên ) 5.2 Trong 3

 

 ( , , ) ( , , ) ( , , )

C

f x y z dx g x y z dy h x y z dz , với C đường cong 3

Tham số hóa C kín & khó tham số hóa

ĐL Stockes (chương 3)

VI.Các dạng cụ thể

6.1 C biết, C có dạng tham số hóa, y y x( ) hay x x y( )

 C có dạng    

 

( ) , : ( ) x x t

t

y y t

   

  

( ) ( ) dx x t dt dy y t dt

Vậy,

   





   

    

 ( , ) ( , )  ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )

C

f x y dx g x y dy f x t y t x t g x t y t y t dt

 C có dạng y y x( ), x a: b dyy x dx( )

Vậy,

   

  

    

 ( , ) ( , )  , ,

b

C a

f x y dx g x y dy f x y x( ) g x y x( ) y x dx( )



  

    

 

 

 

 ( , ) ( , )

C

g f

 C có dạng x  x y( ), y c: d dxx y dy( )

Vậy,

   

  

    

 ( , ) ( , )  , ,

d

C c

f x y dx g x y dy f x y( ) y x y( ) g x y( )y dy

Ví dụ 1. Tính 

 

 2

1

C

xdy ydx x y

với C phần tư cung tròn x2 y2 4 từ A(2,0) đến B(0,2)

Nhận xét: C biết khơng kín

Giải



 

 

 

2cos

: , :

2 2sin

x t

C t

y t

  

   

2sin cos dx tdt dy tdt

 



 

   

   

  

/2 2 /2

2 2

0

(2 cos ) (2sin )

5

1 (2 cos ) (2sin )

C

xdy ydx t t

dt dt

x y t t

Ví dụ 2. Tính   C

x dx xydy với

a) C đoạn thẳng từ O(0,0) đến A(1,1) b) C parabol yx2 từ O(0,0) đến A(1,1)

Nhận xét: C biết khơng kín

Giải

a) Cách 1:

Đường thẳng (OA) có pt: yx

Vì C đoạn thẳng từ O(0,0) đến A(1,1) nên

C: yx, x: 01

 dydx

Vậy,       

1

2 2

0

2

3

C

x dx xydy x dx x x dx x dx

Cách 2: SV thử dùng dạng tham số C b) C: yx x2, : 01

 dy2xdx

Vậy,   

???

2 11 / 15.

C

Ví dụ 3. Tính ( 2 ) ( 2 )

C

x xy dx y xy dy với C gồm phần cung parabol yx2

đi từ A(-1,1) đến B(1,1) đoạn thẳng nối B với C(2,0)

Nhận xét: C nối đường C C1, 2 đã biết khơng kín. Giải

-Trên C y1: x x2, : 1 1,

   



1

2

( ) ( )

C

x xy dx y xy dy

-Đường thẳng (BC) có pt: y 2 x -Trên C2:y  2 x x, :12,

   



2

2

( ) ( )

C

x xy dx y xy dy

Vậy,



     

( 2 ) ( 2 ) 14 16

15 15

C

x xy dx y xy dy

6.2 C chưa biết C biết khó tính tích phân

Cách 1: Ta chứng minh tích phân khơng phụ thuộc vào đường Từ đó, ta chọn đường để tính (thường chọn đường gấp khúc // trục tọa độ để dễ tính tốn) tính cách dùng hàm

Định lý Giả sử hàm số f, g có đạo hàm riêng cấp liên tục miền D Dạng f dx g dy dạng vi phân toàn phần

 

  

  , ( , )

f g

x y D

y x

Định nghĩa Hàm F gọi hàm thế (f,g)

F ( , )f g

với     

 

 

, F F F

x y

Định lý (Điều kiện để tích phân đường loại không phụ thuộc đường đi) Cho  tập mở, đơn liên 2 Cho hai điểm P Q,   C đường cong trong , C nối từ P đến Q Khi

 



 



   

 



, đạo hàm riêng cấp liên tục miền , ( , )

f g

f g

x y

y x

 ( , )  ( , )

C

f x y dx g x y dy không phụ thuộc vào cách chọn đường cong C

  

 ( , ) ( , ) ( ) ( )

C

f x y dx g x y dy F Q F A

Đặc biệt, C kín (PQ)  ( , )  ( , ) 0

C

f x y dx g x y dy Cách 2: Nếu   

 

f g

y x ta thêm bớt đường bất kì, tạo đường kín để dùng Định

lý Green

Ví dụ 1. Cho f x y( , ) 3 x2 2xy g x y( , ) x2 y a) Kiểm tra fdx gdy dạng vi phân toàn phần b) Tìm hàm F x y( , ) ( , )f g

Giải

a) Ta có     

 

f g

x

y x fdx gdy dạng vi phân toàn phần 

b) Ta có     

 

 

( , ) F, F ( , ) F f g f g

x y



  

    



   

  

2

( , ) (1)

( , ) (2)

F

f x y x xy x

F

g x y x y y

Từ (1) F x y( , ) 3x2 2xy dx h y  ( ) x3 x y h y2  ( ) (*) Lấy đạo hàm riêng vế (*) theo biến y, ta





 



2

( ) F

x h y y

 

      



do (2)

2 2

( ) F

h y x x y x y

y    

2 ( )

2 y

h y ydy C, C số

    

2 ( , )

2 y

F x y x x y C

Ví dụ 2. Tính  2

C

y dx xydy với C đường cong nối từ A(1,1) đến B(2,4)

Ta có     

2

( , ) f

f x y y y y

    

( , ) g

g x y xy y x

  

 

  

 



 

2

, đạo hàm riêng cấp liên tục , ( , )

f g

f g

x y

y x

 tích phân ban đầu khơng phụ thuộc vào đường

Cách 1: Ta tính theo đoạn thẳng nối từ A(1,1) đến B(2,4)

3 2, :12

y x x

Cách 2: Ta tính theo parabol nối từ A(1,1) đến B(2,4)

 2, :12

y x x

 



???

2 2 31.

C

y dx xydy

Cách 3: Ta tính theo đường gấp khúc C bao gồm C1 đoạn nối từ A(1,1) đến D(2,1) C2 đoạn nối từ D(2,1) đến B(2,4)

-Trên C y1: 1, :1x 2

 



1

???

2

C

y dx xydy -Trên C2:x 2, :1y 4

 



2

???

2 2 30

C

y dx xydy

Vậy,  2 30 31  C

y dx xydy Cách 4: (Dùng hàm thế)

-Tìm hàm F(x,y):

Ta có     

 

 

( , ) F, F ( , ) F f g f g

x y



 

    



  

  

2

( , ) (1)

( , ) (2)

F

f x y y x

F

g x y xy y





 

 ( )

F

xy h y y

 

     



do (2)

( ) F 2

h y xy xy xy

y

h y( )C, C số

F x y( , )y x C2  Chọn C  0 F x y( , )y x2 Vậy,

     

 2 (2,4) (1,1) 32 31

C

y dx xydy F F

Ví dụ 3. Tính  xsin 5   xcos 5

C

e y xy dx e y dy, C nửa đường tròn

 

2 2

x y x từ A(2,0) đến O(0,0)

Nhận xét: C khơng kín biết cụ thể Giải

Cách 1: C: y  2x x2, : 2x 0,

Cách 2:



  

 

 

1 cos

: , :

sin

x t

C t

y t

Cách 3: Gọi C1 đoạn thẳng nối từ O đến A Ta có



  

 

   

 





1

1

C C C C

C C

với C đường cong kín nối C C1

Tính    



  



 xsin x cos

C

e y xy dx e y dy:

Ta có



    



( , ) xsin f xcos

f x y e y xy e y x

y ,



   



( , ) xcos g xcos g x y e y e y

x ,

 f g, đạo hàm riêng cấp chúng liên tục  C Áp dụng định lý Green, ta có

   



  

 xsin xcos

C

e y xy dx e y dy



  

   

 

 

 gx fy dxdy

  

 



      

??? 5

cos cos 5

2

x x

e y e y x dxdy xdxdy

Tính      

1

sin cos

x x

C

e y xy dx e y dy:

 

1: 0, : C y x

 dy0

   

      

1

2

sin cos 0

x x

C

e y xy dx e y dy dx

Vậy

            

 xsin xcos 52 52

C

e y xy dx e y dy 6.3 C kín

Ví dụ 1. Tính   C

y dx x dy, C đường trịn bán kính với tâm gốc tọa độ, có hướng ngược với chiều quay kim đồng hồ

Nhận xét: C kín biết cụ thể

Giải

Cách (tham số hóa): SV tự làm Cách (dùng Green):

Ta có    



2

( , ) f

f x y y y y

     

2

( , ) g

g x y x x x

Ta có

 C kín, có hướng dương

 f g, đạo hàm riêng cấp chúng liên tục  C Áp dụng định lý Green, ta có

 

  

       

 

 

 2  ( )

C

g f

y dx x dy dxdy x y dxdy

x y

SV tự làm tiếp

Ví dụ 2. Tính   C

x ydx x dy, C biên miền giới hạn hai parabol

 2, 

y x x y , theo hướng dương

Nhận xét: C kín biết cụ thể

Giải

Cách (tách C thành đường khơng kín): SV tự làm

Cách (dùng Green):

Ta có    



2

( , ) f

f x y x y x y

    

3

( , ) g

g x y x x x

Ta có

 C kín, có hướng dương

 f g, đạo hàm riêng cấp chúng liên tục  C Áp dụng định lý Green, ta có

 

    

  

???

2 (3 2) 2 .

35

C

x ydx x dy x x dxdy x dxdy

Ví dụ 3. Tính 



 2

C

xdy ydx

x y , C đường tròn   2

4

x y , có hướng ngược với chiều quay kim đồng hồ

Nhận xét: C kín biết cụ thể Hơn nữa, ta có

 



2 ( , ) y f x y

x y , ( , ) 

x g x y

x y không liên tục (0,0) thuộc miền

 

  ( , ) :x y x2 y2 4 nên ta dùng Định lý Green. Đây ví dụ cho thấy khơng phải lúc dùng Định lý Green Ta giải cách tham số hóa.

Giải



 

 

 

2cos

: , :

2sin x t

C t

y t

SV tự làm tiếp

ĐS: 

Ví dụ 4. Tính 





 2

C

xdy ydx

x y , C đường cong kín, trơn, bao quanh gốc tọa độ O

Nhận xét:

 C kín Ta có   

2 ( , ) y f x y

x y , ( , ) 

x g x y

x y không liên tục (0,0) thuộc miền C nên ta dùng Định lý Green. Hơn nữa, C chưa biết cụ thể đường nên ta khơng thể tham số hóa

 Tuy nhiên, ta có

   

   

  

2

2 2 , ( , ) (0,0)

( )

f x y g

x y

y x y x ,

Ta dùng phương pháp “khoét lỗ” để loại bỏ điểm “kì dị” (0,0)

Giải

Ta có

   

   

  

2

2 2 , ( , ) (0,0)

( )

f x y g

x y

y x y x (*)

Gọi Cr đường tròn tâm O bán kính r đủ nhỏ nằm hồn tồn miền của C, theo chiều kim đồng hồ

Gọi  miền giới hạn C Cr Ta có

 C, Cr kín, có hướng dương

 f g, đạo hàm riêng cấp chúng liên tục   (CCr) Áp dụng định lý Green miền , ta có



 

 

  

    

 

  

 

(*)

2

r

do

C C

xdy ydx f g

dxdy

y x

x y

 

  

 

 2  2

r

C C

xdy ydx xdy ydx x y x y



  

   

  

 2  2  2

r r

C C C

xdy ydx xdy ydx xdy ydx

x y x y x y ,

với Cr Cr có hướng ngược với chiều quay kim đồng hồ

Ta dễ dàng tính 





 

 2

r

C

xdy ydx

x y cách tham số hóa tương tự ví dụ

6.4 C 3

Ví dụ 1. Tính (   )

C

x y z dx, với C đường cong cho phương trình

cos , sin ,  ,

x t y t z t theo hướng t tăng từ đến 

Giải

Ta có

cos   sin

x t dx tdt, t: 0 Vậy,





       

 

???

3

( ) (cos sin )sin

2

C

x y z dx t t t tdt

Ví dụ 2. Cho A(3, 6,0) B( 2,4,5) Tính    C

xy dx yz dy zx dz, với a) C đoạn thẳng nối từ O(0,0,0) đến B

b) Cung C giao x2 y2z2 45 y2x 0 nằm phía mặt phẳng Oxy

nối từ A tới B

Giải

a) Ta có

   

 

   

2

: , :

x t C y t t

z t

SV tự làm tiếp

ĐS: 91

b)

Ta có cung C phần đường tròn    

 



2 2 45

x y z

y x

Đặt x t t , : 3 2

 y 2t

  

     



 



: , :

45 x t

C y t t

z t

SV tự làm tiếp

ĐS: -1085/4

Ví dụ 3. Tính    C

ydx z dy x dz, với C giao tuyến mặt cầu x2 y2 z2 4

với mặt phẳng z có hướng vịng quanh ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ điểm (0,0,2)

Giải

Cách 1:

Ta có       

 

 

 

2 2 4 2 1 :

3

x y z x y

C

z z

 

  

 

 

 

cos

: sin , :

x t

C y t t

z

SV tự làm tiếp

ĐS: 

Cách 2: (dùng Định lý Stokes)

TÓM TẮT

Tích phân đường loại 1:

♥ Nhớ công thức vi phân cung ds ♥ Cận < cận

 Tích phân đường loại 2: ♥ Chiều C

♥ C kín hay khơng kín ♥   

 

f g y x hay

 



 

BÀI TẬP

Bài Tính

1) (3 2 )  C

x y dx dy, C :y4x2x2 từ (2,0) đến (1,2) ĐS: -31/6

2)   C

xdx xydy, với

a) C đoạn thẳng x1, 1 y4 b) C đoạn thẳng y 2,  1 x1

ĐS: a)15/2; b)0

3)   C

xdx xydy, C đoạn thẳng x1, 1y 4 ĐS: 15/2

4)   C

y dx xdy, với

a) C là đoạn thẳng nối (-5,-3) tới (0,2).

b) C cung parabol x 4 y2 nối từ (-5,-3) tới (0,2).

ĐS: a) -5/6; b) 245/6

5)   C

y dx x dy, C :y2 x từ (0,0) đến (1,1) ĐS: 3/5

6)  y

C

xe dx, C đường cong x ey nối (1,0) tới (e,1) ĐS: 1( 1) e 7) ( 3 )2 

C

x y dx xdy, C cung tròn x2 y2 9 từ (0,3) đến (-3,0) ĐS: 9 63

4 8)  

C

y dx x dy, C cung y 4 x2 nằm phía Ox thuận chiều kim đồng hồ

ĐS: 512/15

9)  (  )

C

xy dx x y dy, C gồm đoạn thẳng từ (0,0) tới (2,0) đoạn thẳng từ (2,0)

tới (3,2) ĐS: 17/3

10) sin cos

C

x dx ydy, C gồm nửa đường tròn x2 y2 1 từ (1,0) đến (-1,0) đoạn thẳng từ (-1,0) đến (-2,3) ĐS: cos1 cos2 sin3 

11) (  2) (  2)

C

x y dx x y dy, C đường cong y   1 x , theo chiều x tăng từ

12)   C

y dx x dy, C nửa elip  

2 2 x y

a b , có hướng chiều quay

kim đồng hồ ĐS:

3ab 13)  

C

x y dy, C

4 đường tròn   2

x y R từ (R,0) đến (0,R) ĐS: R2 /

Bài Cho (f,g) Kiểm tra điều kiện để f dx g dy dạng vi phân toàn phần tìm hàm F trường hợp dạng vi phân toàn phần

1) (2x3 ,3y x4 )y ĐS: x2 3xy2y2 C

2) (3 , xy x2 3 )y2 ĐS: 3xx y y2  3C

3) (x34 ,4xy xy y 3). ĐS: Không dạng vptp

4) (xe yey, x). ĐS: Không dạng vptp

5) (xe yey, x). ĐS: Không dạng vptp

6) (x ye xy,xexy). ĐS:  

2

xy

x

e C

7) (ey, 2 y xe y). ĐS: xeyy2 C

8) (x2 y2, 2 xyln )y ĐS:    

3

2 ln

x

xy y y y C

9) (2 cosx y y cos ,x x 2sinysin )x ĐS: x2cosy y sinx C

10) (yex sin ,y ex xcos )y ĐS: yex xsiny C

11) (exy 2 cos ,x y exy x2sin )y ĐS: Không dạng vptp

Bài Trong tập sau, chứng minh tích phân khơng phụ thuộc đường cong tính tích phân

1)  ( 2 )

C

y dx x y dy, C đường cong nối (0,1) tới (2,1) ĐS:

2) (3 1) ( 3 )

C

xy dx y x y dy, C đường cong nối từ (-1,-3) đến (3,5) ĐS: 336

3) (3 1) ( 2)

C

x y dx x dy, C đường cong kín theo hướng dương ĐS:

4)   C

x y dx x y dy, C đường cong nối (0,1) tới (1,2) ĐS:

5) ( 4 3) (6 2 5 )4

C

x xy dx x y y dy, C đường cong nối từ (-2,-1) tới

6) (1 x)  x C

ye dx e dy, C đường cong nối (0,1) tới (1,2) ĐS: 2/e

7) (sin 2 ) (2 3 ) C

x y dx x y dy, C đường cong khả vi khúc nối

(0,2) đến (3,1) ĐS: 5/2-cos3

8)     

 

 2

1

2 (4 ln )

C

y dx xy y dy

x , C nối từ (1,3) đến (3,1) miền x y, 0

ĐS: -28/3-3ln3

9) ( sinx  ) ( xcos 1) C

e y y dx e y dy, C nửa đường tròn x2  y2 4x (y0) từ A(4,0) đến O(0,0) ĐS: 2

10) ( 1) x y  x y

C

x e dx xe dy, C cung x2 y2 2x (y0) từ O(0,0) đến

A(2,0) ĐS: 2e2

Bài Tính tích phân sau

1) ( ) 

C

x y dx xy dy, C đường tròn x2 y2 9 theo hướng dương

ĐS: 81 / 2

2) (  ) (  ) C

x y dx x y dy, C đường elip  

2 2 x y

a b , có hướng ngược với chiều

quay kim đồng hồ ĐS:

3) (  )2 (  )2 C

x y dx x y dy, C biên tam giác OAB theo hướng dương, với O(0,0), A(2,0), B(4,2) ĐS: 16

4)  

C

xy dx x dy, C biên hình chữ nhật bao gồm đỉnh O(0,0), A(2,0), B(2,3), C(0,3), theo hướng dương ĐS:

5)  

C

x y dx xy dy, C đường cong kín tạo từ đường x4 parabol



2

y x ĐS: -8192/105

6)  3 C

y dx xydy, C biên miền giới hạn x2 y2 1, x2  y2 4,

0

y , nằm phía trục Ox, theo hướng dương ĐS: 14/3

7)  2 4 C

8)  2x ( 2 2) C

xe dx x x y dy, C biên miền giới hạn hai đường tròn

 

2 1

x y , x2 y2  4, theo hướng dương ĐS: 0

9)       

 

 

 2 ln( 2)

C

x y dx y xy x x y dy, C đường tròn

   

(x 1) (y 1) 1, theo hướng dương ĐS: 5 / 4

10) 



 C

dx dy

x y , C chu vi hình vng A(1,0), B(0,1), C(-1,0), D(0,-1), có

hướng ngược với chiều quay kim đồng hồ ĐS:

11) 



 2

C

xdy ydx

x y , C đường tròn

   

 

1 cos , 2sin

x t

y t theo hướng dương ĐS: 2

12)   



 2

( ) ( )

C

x y dx x y dy

x y , C đường cong trơn khúc, không qua gốc tọa

độ, biên miền  trường hợp a)  không chứa gốc tọa độ O

b)  hình trịn tâm O, bán kính R c)  chứa gốc tọa độ O

ĐS: a) 0; b) 2; c) 2

Bài Tính

1)   

C

z dx xdy ydz, C :x t y2, t z t3,  2, theo hướng t tăng từ đến ĐS: 3/2

2)   

C

x dx y dy z dz, C gồm C1 đoạn thẳng nối (0,0,0) tới (1,2,-1) C2 đoạn thẳng nối (1,2,-1) tới (3,2,0) ĐS: 35/3

3) (  ) (  ) (  ) C

z y dx x z dy y x dz, C là đường gấp khúc nối điểm (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0) (1,1,1) theo thứ tự ĐS:

4)  (   2)

C

z

dx x y z dz

y , C là giao  

2 1

x y z2x4 nằm góc phần tám thứ hệ trục tọa độ nối (0,1,4) tới (1,0,6) ĐS: 152 / 2 

5)   2 C

ydx zdy xdz, C là giao nửa mặt cầu tâm O, bán kính R, phía mặt phẳng Oxy mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz, tựa đường trịn nằm mặt phẳng Oxy có tâm ( / 2,0)R , bán kính R/ 2, nằm góc phần tám thứ nối A(R,0,0) tới B(0,0,R) ĐS:    

 

2

8

6)   

C

xydx yzdy xzdz, C là đường trịn có phương trình    

 

2 2 2

x y z Rx

z x

nằm phía y 0 từ O(0,0,0). ĐS:   

 

 

3 16

R

7)   2 C

ydx zdy xdz, C là giao tuyến mặt trụ x2 y2 4 mặt phẳng

   

2x 3y z 0, theo chiều cho điểm chạy C hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy chạy quay gốc O theo hướng ngược với chiều quay kim

đồng hồ ĐS: 24

Bài Chứng minh rằng, miền  thỏa định lý Green tính diện tích cơng thức

 xdy,



 ydx,



 

 

2 ydx xdy

Áp dụng để làm tập sau

a) Tính diện tích tam giác có đỉnh (1,2), (3,4), (-3,-8) b) Tính diện tích tứ giác có đỉnh (1,2), (2,1), (1,10),(6,12)

ĐS: a) 6; b) 55/2

Bài Tìm số a, b để tích phân

    



 



2 2

2 2

(1 ) (1 )

(1 )

C

y x ay dx x y bx dy I

x y

không phụ thuộc đường lấy tích phân Tính tích phân với a, b tìm với

C đường cong nối O(0,0) tới A(1,1) ĐS: 1 /

Bài Tìm hàm h x( ) để

 

 ( ) ( cos  sin ) ( sin  cos )  C

I h x x y y y dy x y y y dx

khơng phụ thuộc đường lấy tích phân Tính tích phân với h x( ) tìm C

§3 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI MỘT

I Ký hiệu



 ( , , )

S

f x y z d , với S mặt 3, Chú ý:



Khơng kín Kín

 Nếu S mặt kín tích phân mặt cịn ký hiệu 

S

II. Cách tính tích phân mặt loại 1: tính vi phân mặt“d ”, đưa tích phân bội hai.

Cách 1: S có dạng

  

  

   

2 ( , )

( , ) , ( , ) ( , )

x x s t

y y s t s t D z z s t

Khi



= EG F d dsdt

trong

           

  

  

  

2 2

2 2

s s s

t t t

s t s t s t

E x y z

G x y z

F x x y y z z

 ( , , )   ( ( , ), ( , ), ( , )) 

S D

Cách 2: S cĩ dạng z z x y( , ), với( , )x y Dxy (hình chiếu S xuống Oxy) Khi đĩ

   

 

= zx zy

d dxdy

     ( , , )  ( , , ( , )) 1 

xy

x y

S D

f x y z d f x y z x y z z dxdy

Cách 3: S cĩ dạng y y x z( , ), với( , )x z Dxz (hình chiếu S xuống Oxz) Khi đĩ

   

 

= yx yz

d dxdz

   

 ( , , )   ( , ( , ), ) 1 

xz

x z

S D

f x y z d f x y x z z y y dxdz

Cách 4: S cĩ dạng x  x y z( , ), với( , )y z Dyz (hình chiếu S xuống Oyz) Khi đĩ

   

 

= xy xz

d dydz

   

 ( , , )  ( ( , ), , ) 1 

yz

y z

S D

f x y z d f x y z y z x x dydz

 Chú ý:

 S

d diện tích mặt S

Ví dụ 1. Tính  

S

z d với S nửa mặt cầu nằm phía mặt phẳng Oxy, tâm O, bán kính

Giải

Cách 1: tham số hóa

 



    



  

    

   

2sin cos

: 2sin sin , ,

2 cos

x S y z

       

    

???

2 2

4

E x y z ,

           

???

2 2

2 4sin

G x y z ,



???

F

        

d = EG F d d  16sin2 d d 4sin d d



    

 

      

 

( , ) : ,

2 D

 

    

   

    

 



 

 



 

2

S

2

2 ???

2 0

4 cos 4sin 16 cos sin

32

16 cos sin

3

D

D

z d d d

d d

d d

Cách 2:

  

:

S z x y

 

  

   

,

4

x y

x y

z z

x y x y

    

     

2

2 2 2 2

2 =

4 4

x y

d

x y x y dxdy x y dxdy



    2

S D

2 xy

z d x y dxdy, với Dxy hình trịn tâm O, bán kính 2, nằm mp Oxy Vậy    

??? S

32 z d

Ví dụ Tính  

S

Nhận xét: phương trình S có dạng zz x y( , ), điều kiện 0x1,

 

0 y 2 cho biết hình chiếu

 

 ( , ) : 0 1,0 2

xy

D x y x y Giải

SV tự giải

ĐS: 13 / 3

Ví dụ 3. Tính    

S

(6x 4y )z d với S phần mặt phẳng x2y3z6 nằm góc phần tám thứ

Giải

Cách 1: S x:  6 2y3z

Cách 2: :  16 3 

S y x z

Cách 3: :  16 2 

S z x y

ĐS: 54 14

Ví dụ Tính  

S

z d với S là biên khối giới hạn mặt trụ x2  y2 1, mặt phẳng z 1 x z0

Nhận xét: ta phải vẽ hình trước giải, nhận thấy mặt S bao gồm mặt: S1 là mặt trụ x2 y2 1, S2 hình tròn x2  y2 1 nằm mp Oxy có phương trình z0, S3 mặt phẳng có phương trình z 1 x Ta phải tính tích phân mỗi mặt Chú ý rằng, S2, S3 có phương trình dạng hiện, S1 có phương trình dạng ẩn, ta nên tham số hóa cho S1.

 S1:



   

  

       

   

cos

sin , , 1 cos

x

y z x

z z

       

    

???

2 2

1 E x y z ,        

???

2 2

1

z z z

G x y z ,



???

F

  

d = EG F d dzd dz

    

 ( , ) : 0 2 , 0  1 cos

D z z

 



  



     

1

1 cos

2 ???

S 0

3

D

zd zd dz zdzd

 S z2:  0    

2

S S

0

zd d

 S z3:  1 x    

3

??? S

2 zd

Vậy,          

 

   

1

S S S S

3 2

BÀI TẬP

Tính tích phân mặt sau

1)  

S

yz d , S : x u2, y usinv, z u cosv, 0 u 1, 0 

2

v

ĐS: 5 / 48 / 240 2) (  2) 

S

x y d , S là mặt cầu đơn vị x2  y2 z2 9. ĐS: 216

3)  

S

zd , S phần mặt paraboloid z2 -x2-y2 miền z0. ĐS: 37 / 10

4)     2 

S

( 2)

x y z d , S mặt x2  y2  z2 4, z1. ĐS: 8

5)  

S

x yz d , S là phần mặt phẳng z 1 2x3y nằm hình chữ nhật



[0,3] [0,2]. ĐS: 171 14

6)  

S

xy d , S là hình tam giác với đỉnh (1,0,0), (0,2,0), (0,0,2). ĐS: / 6

7)  2 

S

x z d , S là phần mặt nón z2  x2 y2 nằm mặt phẳng z1

3

z ĐS: 364 / 3

8)  

S

z d , S là mặt x  y2z2, 0 y1, 0 z ĐS: 13 / 12

9) 

 

2 12 1

S

d

z x , S là phần mặt   

0

x y z , 0x1, 0 y2

ĐS:    

 

 

5

ln ln

2

10)  

S

y d , S là phần mặt paraboloid y  x2 z2 nằm bên mặt trụ

 

2

4

x z ĐS: (391 17 1) / 60

11) Cho S phần mặt trụ x2 y2 9, 0 z Tính tích phân sau

a)  

S

d b)  

S

y d

s n

s n

§4 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI HAI

I Ký hiệu

 

 dydz dxdz dxdy

S

f g h , với S mặt 3

Chú ý: Phía của mặt để xác định pháp tuyến



s n

Khơng kín Kín

II Định lý Divergence-Cơng thức Gauss Ostrogradski (đưa cơng thức liên hệ tích phân mặt loại mặt kínS tích phân bội 3)



   

      

  

 

 

 dydz dxdz dxdy

S

f g h

f g h dxdydz

x y z Nếu điều kiện sau thỏa:

S kín bao khối ,

S phía ngồi,

 f g h, , và đạo hàm riêng cấp chúng liên tục trên  S

Định lý Divergence: mở rộng Định lý Green

GREEN DIVERGENCE



s

n



s

III.Phương pháp tính tích phân mặt loại

Dựa vào S kín hay khơng kín

3.1 S khơng kín:

Cách 1: Đưa tích phân mặt loại

Cách (hay dùng): Đưa bội hình chiếu mặt

Một vài dạng thường gặp S:

Gọi

 

( , , )

F f g h

S có dạng zz x y( , ) Khi



   

  

 

1

dydz dxdz dxdy dxdy

xy

Caùch Caùch

s

S S D

f g h F Nd Fn , với

   



( x, y,1)

n z z

S có dạng y  y x z( , ) Khi



   

  

 

1

dydz dxdz dxdy dxdz

xz

Caùch Caùch

s

S S D

f g h F Nd Fn , với

   



( x,1, z) n y y

S có dạng x  x y z( , ) Khi



   

  

 

1

dydz dxdz dxdy dydz

yz

Caùch Caùch

s

S S D

f g h F Nd Fn , với

   



(1, y, z)

n x x

Trong dạng trên, ý

  



n N

n : pháp vectơ đơn vị



s

n : lấy từ



n dựa vào phía mặt

3.2 S kín:

Ví dụ 1. Tính 

S

x dydz với S phía nửa mặt ellipsoid

  

2 2

1 z

x y

Nhận xét: S khơng kín

Giải

  

:

S z x y

 

  

   

3

,

1

x y

x y

z z

x y x y

   

      

     

 



2 2

3

, ,1 , ,1

1

x y

x y

n z z

x y x y S phía

 

 

 

     

 



2 2

3

, ,1

1

s x y

n

x y x y

Ta có  

3 ( ,0,0)

F x

 

 



2

1

s x

Fn

x y

 



3

xy

S

S D

x dydz Fn dxdy, với Dxy hình trịn tâm O, bán kính 1, nằm mp Oxy Vậy,



 

 

 

4 ???

3

2

3

xy

S D

x

x dydz dxdy

x y

Ví dụ 2. Tính   

S

xdydz ydzdx zdxdy với S phía phần mặt phẳng

 -1 0

x z nằm hai mặt y0 y4 thuộc góc phần tám thứ

Nhận xét: S khơng kín

 

:

S z x

 zx  1,zy 

   

      



, ,1 1,0,1

x y

n z z

S phía trên   

1,0,1

s

n

Ta có  

( , , ) F x y z

      



1

s

Fn x z x x

    



S xy

s D

xdydz ydzdx zdxdy Fn dxdy, với Dxy hình chữ nhật [0,1] [0,4] , nằm mp Oxy Vậy,

      

 

S

1 4 xy

xy

D D

xdydz ydzdx zdxdy dxdy S

Ví dụ 3. Tính 

S

ydxdz với S phía ngồi mặt kín tứ diện giới hạn mặt phẳng x 0, y 0, z0 x y z

Nhận xét: S kín

Giải

Cách 1:

S z1:  1 xy  

1

??? S

1

ydxdz    

2

???

S

: 0

S x ydxdz

   

3

???

S

: 0

S y ydxdz    

4

???

S

: 0

      

1

S S S S S

1 ydxdz ydxdz ydxdz ydxdz ydxdz Cách 2:

S kín bao khối ,

S phía ngồi,

 f x y z( , , ) 0, ( , , ) 0, ( , , ) 0 g x y z  h x y z   f g h, , và đạo hàm riêng cấp của chúng liên tục trên  S

Áp dụng định lý Divergence, ta



   

    

  

 

 

S

f g h

ydxdz dxdydz x y z

 



 1    1 

3 OAB

dzdydz V S OC

Ví dụ 4. Tính   

S

4x dydz 4y dxdz 6z dxdy với S phía ngồi mặt tồn phần hình trụ giới hạn x2  y2 4, z0, z3

Nhận xét: S kín

Giải

Áp dụng định lý Divergence, với

   

( , , ) , ( , , ) , ( , , ) ,

f x y z x g x y z y h x y z z

ta



   



???

3

S

4x dydz 4y dxdz 6z dxdy 1656

IV.Tính tích phân đường loại không gian Định lý Stokes



 dx dy + dz

C

P Q R

3 : đường cong kín

C

Định lý Stokes (đưa cơng thức liên hệ tích phân đường loại khơng gian với đường cong kínC tích phân mặt loại 2)

        

          

     

     

 dx dy + dz 

C S

R Q P R Q P

dydz dxdz dxdy

y z z x x y

P Q R

Nếu điều kiện sau thỏa:

C kín bao mặt S,

 Tích phân bên trái lấy theo hướng dương phù hợp với mặt S, tức từ điểm vectơ pháp tuyến mặt S nhìn xuống thấy hướng dương C

 P Q R, , và đạo hàm riêng cấp chúng liên tục trên SC Định lý Stokes: tổng quát Định lý Green

Ví dụ 1. Tính   

C

ydx z dy x dz, với C giao tuyến mặt cầu x2 y2 z2 4

với mặt phẳng z có hướng ngược với chiều quay kim đồng hồ nhìn từ điểm (0,0,2)

Nhận xét: Đây ví dụ phần tích phân đường mà ta giải cách tham số hóa Ta giải lại cách dùng Định lý Stokes

Giải

 

  

 

2 , R Q

z y z

 

  

 

2 ,

P R

x

z x

 

  

 

Q P

x y

Áp dụng Định lý Stokes, ta

     2 2 

C S

ydx z dy x dz z dydz x dxdz dxdy  

???

Ví dụ 2. Tính (  ) (  ) (  ) C

y z dx z x dy x y dz , với C giao tuyến

 

2 4

x y + =1

2 x z

, có hướng ngược với chiều quay kim đồng hồ ta nhìn từ hướng dương trục Ox

Giải

Cách 1: tham số hóa SV tự làm Cách 2: dùng Định lý Stokes với

  ,   ,  

P y z Q z x R x y

        

( ) ( ) ( )  2

C S

y z dx z x dy x y dz dydz dxdz dxdy

Ta có

 ,  2, 

  

     

 

3

: ,

2 x y

x

S z z z

   

        

 

 3

, ,1 ,0,1

2 x y

n z z

Theo đề    

 

 3

,0,1 s

n Ta có    



( 2, 2, 2)

F

  

 

5 s

F n Vậy

      

 2 5

xy xy

D

S D

dydz dxdz dxdy dxdy S  5 .2  20

BÀI TẬP

Bài 1. Tính tích phân sau

1) 4  S

x y dxdy, S phía hình trịn x2  y2 4 ĐS: 16 / 5 2) 

S

z dxdy, S phía ngồi mặt cầu x2  y2 z2 1. ĐS: 4 / 3 3) 

S

z dxdy, S phía ngồi mặt ellipsoid   

2 2

9 4

x y z

. ĐS: 16.

4)   

S

x dydz y dxdz z dxdy, S phía phần mặt phẳng x2z 1 0,

nằm hai mặt phẳng y 0, y 2 thuộc góc phần tám thứ nhất. ĐS: 5)   

S

x dydz y dxdz z dxdy, S mặt phía ngồi hình hộp chữ nhật

 

[0,1] [0,2] [0,3]. ĐS: 36. 6)  (  xz) cos( )

S

xy dydz y e dzdx xy dxdy, S phía ngồi mặt toàn phần

miền giới hạn mặt trụ z 1 x2 mặt phẳng z0, y0, y z 2. ĐS: 184 / 35

7)  2 3 S

x dydz xy dzdx xzdxdy, S phía ngồi phần mặt cầu

  

2 2

4

x y z , nằm góc phần tám thứ (khơng kể hình rẻ quạt nằm mặt phẳng tọa độ) ĐS: 3.

8)   

S

x dydz y dzdx z dxdy, S phía ngồi phần mặt cầu

   

2 2 2 , 0

x y z x z (khơng kể phần hình tròn mp Oxy) ĐS: 11 / 6

9)   

S

x dydz y dzdx dxdy, S phía ngồi mặt xung quanh khối trụ

    

2 2 , ( 0), 0

x y ax a z a (không kể hai đáy) ĐS: a3

Bài 2. Tính tích phân sau

1) (  ) (  ) (  ) C

y z dx z x dy x y dz, C là ellipse x2  y2 1, x z 1 có hướng ngược với chiều quay kim đồng hồ ta nhìn từ hướng dương trục

Oz ĐS: 4

2)   

C

ydx zdy xdz, với C đường tròn giao mặt cầu tâm O, bán kính R mặt phẳng x  y z có hướng ngược với chiều quay kim đồng hồ ta nhìn từ hướng dương trục Oz ĐS:  3R2