Giải tích hàm nhiều biến

Trường Đại học Bách Khoa Tp HCM GIẢI TÍCH HÀM NHIÊỀU BIÊẾN TS LÊ XUÂN ĐạI KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG TP HCM - 2012 TÍNH TOÁN HÌNH THỨC  Để tính giới hạn, đạo hàm, tích phân ta phải khai báo biến hình thức KHAI BÁO BIẾẾN syms a b c x  a = sym(‘a’)  b = sym(‘b’)  c = sym(‘c’)  x = sym(‘x’)  Khai báo biến phức  x = sym(‘x’,’real’); y = sym(‘y’,’real’) syms x y real  z = x + i*y  KHAI BÁO BIẾẾU THỨC  Khai báo biểu thức: f = 2*x + b syms x b  f = 2*x + b  f = sym(‘2*x + b’)  sym(‘(sqrt(2) + 1)/3’)  g = syms(‘5’) (khác g = 5)  syms x y  h = x^2 + y^2  CÁC LỆNH ĐỐẾI VỚI BIẾẾN HÌNH THỨC  Lệnh findsym: tìm biến hình thức biểu thức  Ví dụ syms a b n t x z  s = x^n; g = sin(a*t + b)  findsym(f)  ans = x n  findsym(g)  ans = a b t  findsym(g,1): tìm biến hình thức mặc định  findsym(g,1)  ans = t  HIỂN THỊ BIẾẾN HÌNH THỨC DẠNG SỐẾ  t = 0.1            sym(t,’ f ’) ans = '1.999999999999a'*2^(-4) sym(t, ’r ’) ans = 1/10 sym(t,’ e ’) ans = 1/10+eps/40 sym(t,’ d ’) ans = 10000000000000000555111512312578 digits(7) sym(t,’ d ’) ans = 1000000 ĐẠO HÀM  diff(Y) Y: hàm số biến hình thức cần lấy đạo hàm  Ví dụ         syms x; f = sin(5*x) diff(f) ans = 5*cos(5*x) g = exp(x)*cos(x) diff(g) ans = exp(x)*cos(x) – exp(x)*sin(x) c = sym(‘5’); diff(c) ans = ĐẠO HÀM   diff(5) ans = [ ] biến hình thức  Lấy đạo hàm cấp diff(g,2)  diff(diff(g))  ans = -2exp(x)*sin(x)   Đạo hàm nhiều biến Gọi f = f(x,y)   Đạo hàm theo x: diff(f,x) Đạo hàm theo y: diff(f,y) ĐẠO HÀM    Đạo hàm cấp theo x: diff(f,x,2) Đạo hàm cấp theo y: diff(f,y,2) Nếu x biến mặc định f diff(f,2) tương đương với diff(f,x,2) o Ví dụ  syms s t  f = sin(s*t)  diff(f,t) => ans = cos(s*t)*s  diff(f,s) => ans = cos(s*t)*t  diff(f,t,2) => ans = -sin(s*t)*s^2  findsym(f,1)=> ans = t Suy biến mặc định t diff(f,2) = diff(f,t,2) ĐẠO HÀM o Đạo hàm ma trận      syms a x A = [cos(a*x) sin(a*x); -sin(a*x) cos(a*x)] A= [cos(a*x), sin(a*x)] [-sin(a*x), cos(a*x)] diff(A) ans = [-sin(a*x)*a, cos(a*x)*a] [-cos(a*x)*a, -sin(a*x)*a] ĐỐỒTHỊ D  Hàm ezplot3(x,y,z)  Ví dụ  syms xyzt  x = 3*t/(1 + t^3)  y = 3*t^2/(1 + t^3)  z = sin(t)  ezplot3(x,y,z)  ezcontour / ezcontourf  ezmesh / ezmeshc  ezsurf / ezsurfc ĐỐỒTHỊ D - MESHGRID  [X; Y ] = meshgrid(x; y)  Ý nghĩa Tạo ma trận X với hàng hàng véc tơ x, ma trận Y với cột hàng véc tơ y  Ví dụ x = [ 1]; y = [9 10 11 12]; [X; Y ] =  meshgrid(x; y): MatLab cho kết X= Y= 101 9 101 10 10 10 101 11 11 11 101 12 12 12 ĐỐỒTHỊ D – MESH(X,Y,Z)-SURF(X,Y,Z)  Ví dụ  x = linspace(0, 2*pi, 50); y = linspace(0, pi, 50);  [X; Y ] = meshgrid(x; y); Z = sin(X).* cos(Y );  mesh(X; Y ; Z)  xlabel (‘x’); ylabel (‘y’); zlabel (‘z’);  axis([0 2*pi pi -1 1]) ĐỐỒTHỊ D – MESH(X,Y,Z)-SURF(X,Y,Z) ĐỐỒTHỊ D – CONTOUR(Z)  Ví dụ  x = linspace(0, 2* pi ; 30); y = linspace(0, pi, 30);  [X; Y ] = meshgrid(x; y);  Z = sin(X).*cos(Y + pi/2);  c = contour (X; Y ; Z; [ -1:.1:-0.1 0.1 :.1:1]);  clabel (c; [ -1 : 0.2 : 1]);  xlabel (‘x’); ylabel (‘y’);  title(‘Contour of z = sin(x).*cos(y + pi=2)’); ĐỐỒTHỊ D – CONTOUR(Z) c=contourf(X,Y,Z,[-1:0.1:-0.1 0.1:0.1:1],’-k'); sphere(n) – hình cầỒu xác định (n + 1)* điểm  [x; y; z] = sphere(25);  surf (x- 3; y- 2; z);  %translated  hold on  surf (x *2; y* 2; z*2);  %scaled Ellipsoid  [x; y; z] = ellipsoid(2, 0, 2, 2, 1, 1);  surf (x; y; z);  axis([0 -2 4]);  hold on  contour(x,y,z); Cylinder ([0 1]); Cylinder ([1 1]) Vẽ vật thể giới hạn y=x^2, y=1, z=0,z=x^2+y^2  Tạo miền D giới hạn a[...]... exp(2)+exp(2)*(x-2)+1/2*exp(2)*(x2)^2+1/6*exp(2)*(x-2)^3  taylor(exp(1/x^2),6,inf) ans = 1+1/x^2+1/2/x^4 CÁC HÀM ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC  collect(f) - f = f(x)  collect(f,y) - f = f(x,y,…) • • • Đơn giản hàm f bằng các nhóm các biến x có cùng số mũ Trường hợp f có nhiều biến collect(f,y) sẽ chỉ định gom nhóm theo biến y collect(f) gom nhóm theo biến mặc định được chỉ ra trong findsym(f) CÁC HÀM ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC            syms x t f = x^3...TÍCH PHÂN  int(f,x) hoặc int(f) : Tìm nguyên hàm của hàm f = f(x)  int(f,a,b) : Tính tích phân của f từ a -> b  Ví dụ  syms xnabt f = x ^ n  int(f) ( hoặc inf(f,x))  ans = x^(n+1)/(n+1) TÍCH PHÂN          g = cos(a*t + b) int(g) ans = sin(a*t + b)/a h = sin(2*x) int(h,0,pi/2) ans = 1 u = exp(-x^2) int(u,0,inf) ans = 1/2*pi^(1/2) TÍCH PHÂN  Tích phân bội: π sinx... TRONG ĐẠI SỐẾ  Có thể dùng các hàm rút gọn và lấy đạo hàm, tích phân trên ma trận  Ví dụ  syms a b s  K = [a+b, a-b;b-a, a+b]  G = [cos(s) sin(s);-sin(s) cos(s)]  L = K^2  collect(L)  factor(L)  diff(L,a)  int(K,a)  J = K/G  simplify(J*G)  simplify(G*(G.’)) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN  Hàm: dsolve  Ví dụ  Giải:   dsolve(‘Dy=1+y^2’,’y(0)=1’) y = tan(t + 1/4*pi)  Giải:   dy = 1 + y 2 , y (0)... collect(f,t) => ans = 2*x*t + t CÁC HÀM ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC  expand(f) : phân tích biểu thức f  Ví dụ  syms xyab  f = a*(x + y)  expand(f) => ans = a*x + a*y  g = (x -1)*(x -2)*(x – 3)  expand(g) => ans = x^3 – 6*x^2 + 11*x – 6  h = exp(a + b)  expand(h) => ans = exp(a)*exp(b)  cos(3*x) => ans = 4*cos(x)^3 – 3*cos(x) CÁC HÀM ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC  factor(f) : phân tích đa thức f thành nhân tử chung... PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN  Giải:    d 3u  3 =u  dx u (0) = 1; u '(0) = −1; u ''(0) = π dsolve(‘D3u=u’,’u(0)=1’,’Du(0)=-1’,’D2u(0)=pi’),’x’)  df  dt = 3 f (t ) + 4 g (t ) , f (0) = 0 Giải:   dg = −4 f (t ) + 3 g (t ) , g (0) = 1  dt  [f g] = dsolve(‘Df = 3*f + 4*g’,’Dg = -4*f + 3*g’, ’f(0) = 0’,’g(0) = 1’)  f = exp(3*t)*sin(4*t); g = exp(3*t)*cost(4*t) ĐỐỒTHỊ 2 D  Hàm ezplot(f)  Ví dụ ... số của f gán cho N và D  Ví dụ  syms s H = -(1/6)/(s + 3) -(1/2)/(s + 1) + (2/3)/s  simplify(H)  pretty(ans)  [N D] = numden(H) N = s + 2  D = (s+3)*(s+1)*s  CÁC HÀM ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC  [poly2sym(a,x): tạo một đa thức theo biến x với các hệ số được lấy lần lượt từ mảng a  Ví dụ  syms x; a = [1 4 -7 -10]  p = poly2sym(a,x)  p = x^3 + 4*x^2 – 7*x - 10  x = sym2poly(p): trích các hệ số của... factor(h)  ans = (x^2 + 1)*(x^4 – x^2 + 1)  CÁC HÀM ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC  simplify(f): đơn giản biểu thức f  Ví dụ f = x*(x*(x – 6) + 11) - 6  simplify(f) => ans = x^3 – 6*x^2 + 11*x – 6  g = (1 – x^2)/(1 – x)  simplify(g) => ans = x + 1  syms x y positive  simplify(log(x*y)) => log(x) + log(y)  h = cos(x)^2 + sin(x)^2  simplify(h) => ans = 1 CÁC HÀM ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC  simple(f): rút gọn biểu... ans = log(x) + log(y)  simple(h) => ans = log(x*y) CÁC HÀM ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC  subs(expr,old,new): thay thế old bằng new trong biểu thức expr  syms xy  f = sin(x)  subs(f,x,pi/3) => ans = 0.8660  subs(f,x,sym(pi)/3) => ans = 1/2*3^1/2  S = x^y  subs(S,{x y},{3 2})  subs(S,{x y},{3 x+1})  subs(S,y,1:5) => ans = [ x, x^2, x^3, x^4, x^5] CÁC HÀM ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC  [N D] = numden(f): trích tử... exp(3*t)*sin(4*t); g = exp(3*t)*cost(4*t) ĐỐỒTHỊ 2 D  Hàm ezplot(f)  Ví dụ  syms txy  f = sin(2*x)  g = t + 3*sin(t)  h = 2*x/(x^2 -1)  ezplot(f); ezplot(g); ezplot(h)  ezplot(x*exp(-x), [-1 4]) ĐỐỒTHỊ 3 D  Hàm ezplot3(x,y,z)  Ví dụ  syms xyzt  x = 3*t/(1 + t^3)  y = 3*t^2/(1 + t^3)  z = sin(t)  ezplot3(x,y,z)  ezcontour / ezcontourf  ezmesh / ezmeshc  ezsurf / ezsurfc ĐỐỒTHỊ 3 D - MESHGRID  [X;