Tài liệu dạy học Đại số lớp 10 kì 2

Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨCBẤT PHƯƠNG TRÌNH §1 BẤT ĐẲNG THỨC A TĨM TẮT LÍ THUYẾT CÁC KHÁI NIỆM Khái niệm (Bất đẳng thức) Cho hai số thực a, b Các mệnh đề “a > b”, “a < b”,“a ≥ b”, “a ≤ b” gọi bất đẳng thức Khái niệm (Bất đẳng thức chiều, trái chiều) Cho bốn số thực a, b, c, d Các bất đẳng thức “a > b”, “c > d” gọi bất đẳng thức chiều Các bất đẳng thức “a > b”, “c < d” gọi bất đẳng thức trái chiều Khái niệm (Bất đẳng thức hệ quả) Nếu mệnh đề “a > b ⇒ c > d”đúng ta nói bất đẳng thức “c > d” bất đẳng thức hệ bất đẳng thức “a > b” viết a > b ⇒ c > d Khái niệm (Bất đẳng thức tương đương) Nếu bất đẳng thức “a > b” hệ bất đẳng thức “c > d” ngược lại ta nói hai bất đẳng thức tương đương với viết a > b ⇔ c > d TÍNH CHẤT Tính chất Điều kiện Nội dung a 0, c > a < b c < d ⇒ ac < bd Nhân hai bất đẳng thức chiều ∗ 2n+1 n∈N a a < b ⇔ a2n < b2n √ √ a có nhiều hướng đánh giá khai thác: … √ b b ab • a + b ≥ ab;a + b = a + + ≥ ; 2 a a 1 • a + 2b = a + b + b; a + = + + = a + + ; 2 √ √ 2 • + a + b ≥ 3 ab; + a = 1…+ + a ≥ 3 a; √ √ 1 1 • a2 + = a2 + + ≥ 3 ; ab = a · b · b; ab2 = a · b · b; a 2a 2a d) Cô-si ngược dấu, với a, b, c dương thì: 1 1 1 ≤ √ ; ≤ √ ; ≤ √ , a+b a a+b+c ab a + abc Ví dụ Cho Å a, b làãhai số dương Chứng minh: 1 a) (a + b) + ≥ 4; a b √ √ 1 b) a2 + b2 + + ≥ 2( a + b) a b Ví dụ Chứng minh a, b dấu a b a b + ≥ a, b trái dấu + ≤ −2 b a b a Ví dụ Chứng minh a2 + b2 = |a + b| ≤ Ví dụ Chứng minh với ba số a, b, c ≥ a + b + c ≥ √ √ √ √ ab + bc + ca Dấu đẳng thức xảy nào? Ví dụ Cho a, b dương Chứng minh bất đẳng thức: (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab Dấu đẳng thức xảy nào? HDedu - Page Dạng Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Định lí Cho a, b, c, d số thực tùy ý, ta có bất đẳng thức sau (a2 + b2 )(c2 + d2 ) ≥ (ac + bd)2 (Bunhiacopxki) a b = c d Hệ Bất đẳng thức Bunhiacopxki mở rộng Dấu ” = ” xảy ad = bc ⇔ Cho 2n số a1 ; a2 ; ; an b1 ; b2 ; ; bn ta có bất đẳng thức sau (a21 + a22 + + a2n )(b21 + b22 + + b2n ) ≥ (a1 b1 + a2 b2 + + an bn )2 Dấu ” = ” xảy a1 a2 an = = = b1 b2 bn Hệ Bất đẳng thức cộng mẫu Cho n số a1 ; a2 ; ; an n số dương x1 ; x2 ; ; xn ta có bất đẳng thức sau a1 a2 an (a1 + a2 + + an )2 + + + ≥ x1 x2 xn x1 + x2 + + xn x1 x2 xn Dấu ” = ” xảy = = = a1 a2 an ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho x2 + y = tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức A = x + 2y Ví dụ Tìm giá trị lớn biểu thức A = √ √ − x + x + Dạng Sử dụng bất đẳng thức hệ Ta sử dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho nhiều số, tốn có mẫu, ta sử dụng Bất đẳng thức cộng mẫu ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Tìm giá trị lớn biểu thức A = √ √ − 2x + + x Ví dụ Cho x, y, z độ dài cạnh tam giác thỏa mãn x + y + z = 3, tìm giá trị nhỏ biểu thức A = + + x+y−z y+z−x z+x−y HDedu - Page Dạng Chứng minh bất đẳng thức dựa vào tọa độ véc -tơ ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Chứng minh rằng: √ (a + c)2 + b2 + (a − c)2 + b2 ≥ a2 + b2 với a, b, c ∈ R √ √ Ví dụ Chứng minh rằng: a2 + 4b2 + 6a + + a2 + 4b2 − 2a − 12b + 10 ≥ với a, b, c ∈ R √ √ Ví dụ Tìm GTNN P = x2 − x + + x2 + x + Dạng Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Chứng minh |a − b| |a| |b| ≤ + + |a − b| + |a| + |b| Ví dụ Cho số thực a, b, c thỏa mãn |ax2 + bx + c| ≤ 1, ∀|x| ≤ Chứng minh |a| + 2|b| + 3|c| ≤ Ví dụ Tìm GTNN biểu thức A = |x + 2017| + |x − y − 6| + |2x − y + 44| HDedu - Page §2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Định nghĩa Bất phương trình bậc ẩn bất phương trình (bpt) sau thu gọn có dạng ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ a, b số thực với a = x ẩn số GIẢI VÀ BIỆN LUẬN BẤT PHƯƠNG TRÌNH AX + B > Å ã b b • Với a > 0, bpt ⇔ x > − Tập nghiệm bpt S = − ; +∞ ; a Å a ã b b • Với a < 0, bpt ⇔ x < − Tập nghiệm bpt S = −∞; − ; a a • a = 0, bpt thành 0x + b > Ta xét hai trường hợp: b ≤ 0, tập nghiệm bpt S = ∅; b > 0, tập nghiệm bpt S = R GIẢI VÀ BIỆN LUẬN BẤT PHƯƠNG TRÌNH AX + B ≤ Å ị b b • Với a > 0, bpt ⇔ x ≤ − Tập nghiệm bpt S = −∞; − ; a ẫ ï b b • Với a < 0, bpt ⇔ x ≥ − Tập nghiệm bpt S = − ; +∞ ; a a • a = 0, bpt thành 0x + b ≤ Ta xét hai trường hợp: b ≤ 0, tập nghiệm bpt S = R; b > 0, tập nghiệm bpt S = ∅ HDedu - Page B CÁC DẠNG TOÁN Dạng Giải bất phương trình bậc ẩn Xét bất phương trình bậc ẩn dạng: ax + b > (*) b • Nếu a > bất phương trình (*) có nghiệm x > − hay bất phương trình có tập nghiệm a Å ã b S = − ; +∞ a b • Nếu a < bất phương trình (*) có nghiệm x < − hay bất phương trình có tập nghiệm a Å ã b S = −∞; − a Các bất phương trình dạng ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ có cách giải tương tự Các bất phương trình khác ta biến đổi bất phương trình dạng ax + b > (hoặc dạng ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0) ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Giải bất phương trình sau: a) 3x − ≥ b) 2x + < 4x − c) (x − 3)(2x + 5) ≤ 2x2 + 4x − Ví dụ Giải bất phương trình sau: a) − 2x ≥ x2 + b) x2 + 3x − x2 − x − < x2 + 2x + x2 + 2x + Ví dụ Giải bất phương trình sau: √ x − 1(3x − 8) ≤ 4x + b) √ ≥ 2−x a) √ − 5x c) √ > 2x + 2x + x−1 d) < 2−x HDedu - Page Dạng Giải biện luận bất phương trình bậc ẩn Xét bất phương trình ẩn dạng: ax + b > Trường hợp a = 0: (*) b • Nếu a > bất phương trình (*) có nghiệm x > − hay bất phương trình có tập a Å ã b nghiệm S = − ; +∞ a b • Nếu a < bất phương trình (*) có nghiệm x < − hay bất phương trình có tập a Å ã b nghiệm S = −∞; − a Trường hợp a = 0: • Nếu b > bất phương trình (*) ln nghiệm với x ∈ R hay bất phương trình có tập nghiệm S = R • Nếu b ≤ bất phương trình (*) vơ nghiệm hay bất phương trình có tập nghiệm S = ∅ Các bất phương trình dạng ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ có cách giải biện luận tương tự Các bất phương trình khác ta biến đổi bất phương trình dạng ax + b > (hoặc dạng ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0) ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Giải biện luận bất phương trình mx + > 2x + Ví dụ Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình (m2 − 4m + 3)x + 2m − < vô nghiệm Ví dụ Giải biện luận bất phương trình √ x − (x − m + 2) > HDedu - Page Dạng Tìm giá trị tham số để bất phương trình có tập nghiệm thỏa điều kiện cho trước • Biến đổi bất phương trình bốn dạng sau ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ • Nêu điều kiện mà bất phương trình phải thỏa, từ tìm giá trị tham số ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho bất phương trình (4m2 − 6m)x + 7m ≥ (3m2 − 5)x + + 5m Định m để bất phương trình thỏa với x ∈ R Ví dụ Định m để bất phương trình mx + 3m3 ≥ −3(x + 4m2 − m − 12) có tập nghiệm [−24; +∞) Dạng Hệ bất phương trình bậc ẩn Khi cho hệ bất phương trình bậc ẩn tập hợp nghiệm hệ giao tập hợp nghiệm bất phương trình hệ • Các bước thực hành giải tốn: Tìm điều kiện hệ (nếu có) Biến đổi để đưa hệ bất phương trình dạng đặc trưng a1 x + b1 ≤ (1) a2 x + b2 ≤ (2) Giải bất phương trình hệ Gọi S1 , S2 tập nghiệm phương trình (1), (2) hệ Tập nghiệm hệ bất phương trình S = S1 ∩ S2 ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Giải hệ bất phương trình: 3−x≥0 − 2x ≥  2x − < − 2x Ví dụ Giải hệ bất phương trình:  2x − < 5(3x − 1) HDedu - Page 10 Ví dụ Biểu diễn cung lượng giác có số đo x = kπ với k số nguyên tùy ý Ví dụ Cho cung lượng giác có số đo x = π + kπ với k số nguyên tùy ý Có giá trị k thỏa mãn x ∈ [2π; 5π]? π kπ Ví dụ Cho cung lượng giác có số đo x = − + với k số nguyên tùy ý Có Å ò 3π giá trị k thỏa mãn x ∈ − ; 4π ? π kπ Ví dụ Cho cung lượng giác có số đo x = − + với số k tùy ý Có giá trị k −π thỏa mãn x ∈ ; 2π ? Ví dụ Biểu diễn cung lượng giác có số đo x = kπ với k số nguyên tùy ý HDedu - Page 39 §2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG A TĨM TẮT LÍ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA • sin α = OK • cos α = OH sin α • tan α = cos α = cos α cos α • cot α = sin α = sin α Các giá trị sin α, cos α, tan α, cot α gọi giá trị lượng giác cung α Ta gọi trục tung trục sin, cịn trục hồnh trục y M B K α A H O A x cosin B ! Chú ý • Các định nghĩa áp dụng cho góc lượng giác • Nếu 0◦ ≤ α ≤ 180◦ giá trị lượng giác góc α giá trị lượng giác góc nêu SGK Hình học 10 HỆ QUẢ a) sin α cos α xác định với α ∈ R, • sin(α + k2π) = sin α, ∀k ∈ Z • cos(α + k2π) = cos α, ∀k ∈ Z b) −1 ≤ sin α ≤ −1 ≤ cos α ≤ c) Với m ∈ R mà −1 ≤ m ≤ tồn α, β cho sin α = m cos β = m π d) tan α xác định với α = + kπ, k ∈ Z e) cot α xác định với α = kπ, k ∈ Z HDedu - Page 40 f) Dấu giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cung AM = α đường tròn lượng giác y B II M I K Góc phần tư Giá trị lượng giác I II III IV sin α + + − − cos α + − − + tan α + − + − cot α + − + − α H O A A III x IV B Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CƠTANG • tan α biểu diễn độ dài đại số # » vectơ AT trục t At Trục t At gọi trục tang Do tan α = AT • cot α biểu diễn độ dài đại số # » vectơ BS trục s Bs Trục s Bs gọi trục côtang Do cot α = AT y t B s M K S s T α A O H A x M B t CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN • sin2 α + cos2 α = π + kπ, k ∈ Z = α , • + tan2 α = cos2 α , α = kπ, k ∈ Z • + cot2 α = sin2 α kπ , k ∈ Z • tan α · cot α = 1, α = HDedu - Page 41 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT a) Cung đối • cos(−α) = cos α y • sin(−α) = − sin α B • tan(−α) = − tan α • cot(−α) = − cot α M α A x H A x −α O A H M B b) Cung bù • cos(π − α) = − cos α y • sin(π − α) = sin α • tan(π − α) = − tan α B K M M π−α α • cot(π − α) = − cot α A x A O B c) Cung π • cos(α + π) = − cos α • sin(α + π) = − sin α y B • tan(α + π) = tan α M • cot(α + π) = cot α π+α H α O A M B d) Cung phụ π • cos( − α) = sin α π • sin( − α) = cos α π • tan( − α) = cot α π • cot( − α) = tan α y B M K K M α A O H HA x B HDedu - Page 42 B CÁC DẠNG TOÁN Dạng Dấu giá trị lượng giác Để xác định dấu giá trị lượng giác y góc α ta xác định vị trí điểm cuối cung B AM = α đường trịn lượng giác Điểm M thuộc góc phần tư ta áp dụng bảng xác II định dấu giá trị lượng giác I A A x α Góc phần tư Giá trị lượng giác I II III IV sin α + + − − cos α + − − + tan α + − + − cot α + − + − M III IV B ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Xác định dấu biểu thức: a) A = sin 50◦ · cos(−100◦ ) 20π b) B = sin 195◦ · tan Ví dụ Xác định dấu Å ãbiểu thức: 2π 2π a) A = cot · sin − 4π π 4π 9π b) B = cos · sin · tan · cot 3 3π Ví dụ Cho π < α < Xét dấu biểu thức sau: π a) A = cos α − Å ã 2019π b) B = tan −α HDedu - Page 43 Dạng Tính giá trị lượng giác cung Để tính giá trị lượng giác cung ta dựa vào đẳng thức lượng giác: sin2 α + cos2 α = 1; + tan2 α = 1 ; + cot2 α = cos α sin2 α Ngoài ra, cần phải xác định dấu hàm số lượng giác cung ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Biết sin α = π α ∈ ; π Tính giá trị cos α tan α Ví dụ Cho tan α = − π < α < π Tính giá trị sin α Ví dụ Cho tan α = 2, tính giá trị biểu thức M = cos2 α − sin2 α Ví dụ Cho cot α = Tính giá trị biểu thức M = sin α − cos α sin3 α + cos3 α √ π Ví dụ Cho < α < π cos 2α = − Biết A = sin 2α + cos 2α = a + b với a, b ∈ Q a p = phân số tối giản Tính M = p − q b q HDedu - Page 44 Dạng Sử dụng cung liên kết để tính giá trị lượng giác Sử dụng cơng thức cung có liên quan đặc biệt ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Tính giá trị lượng giác góc α = 2017π Å ã 3π Ví dụ Cho cos α = Tính sin α − Ví dụ Rút gọn biểu thức A = cos π + x + cos (2π − x) + cos (3π + x) Ví dụ Cho tam giác ABC, chứng minh sin(A + B + 2C) = − sin C Ví dụ Tính giá trị biểu thức B = cos 20◦ + cos 40◦ + cos 60◦ + + cos 180◦ Dạng Rút gọn biểu thức chứng minh đẳng thức Một số hệ thức hay dùng toán rút gọn biểu thức chứng minh đẳng thức: • sin2 α + cos2 α = 1 π • + tan2 α = , α = + kπ, k ∈ Z cos2 α • + cot2 α = , α = kπ, k ∈ Z sin2 α kπ • tan α · cot α = 1, α = , k ∈ Z ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Rút gọn biểu thức A = sin2 x + sin2 x tan2 x Ví dụ Rút gọn biểu thức B = sin2 x − sin2 x − sin x cos x Ví dụ Rút gọn biểu thức: A = sin2 α cos2 α + cos2 α + sin4 α Ví dụ Chứng minh rằng: + sin2 α = tan2 α + − sin2 α HDedu - Page 45 §3 CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC A CƠNG THỨC CỘNG Dạng Cơng thức cộng Để giải tốn liên quan đến cơng thức cộng, ta thường sử dụng công thức sau: a) sin(a ± b) = sin a cos b ± sin b cos a c) tan(a ± b) = b) cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b tan a ± tan b ∓ tan a tan b ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Tính giá trị biểu thức P = cos 10◦ + cos 11◦ cos 21◦ + cos 69◦ cos 79◦ Ví dụ Rút gọn biểu √ cos a − cos a) A = √ − sin a + sin thức: π +a π +a b) B = (tan a − tan b) cot(a − b) − tan a tan b Ví dụ Chứng minh đẳng thức sau: √ √ π a) cos a + sin a = cos − a = sin √ √ π b) cos a − sin a = cos + a = sin π +a π −a Ví dụ Cho tam giác ABC, chứng minh tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C HDedu - Page 47 B CÔNG THỨC NHÂN ĐƠI Định lí Với giá trị góc lượng giác α cho trước, ta có • sin 2α = sin α cos α • cos 2α = cos2 α − sin2 α = cos2 α − = − sin2 α π π  α = + k tan α , k ∈ Z • tan 2α = , π − tan α α = + kπ Hệ Với giá trị góc lượng giác α cho trước, ta có − cos 2α • sin2 α = + cos 2α • cos2 α = − cos 2α π • tan2 α = , α = + kπ, k ∈ Z + cos 2α Hệ Với giá trị góc lượng giác α cho trước, ta có • sin 3α = sin α − sin3 α • cos 3α = cos3 α − cos α (Chứng minh lại sử dụng tập tự luận) (Công thức nhân ba) Lời giải a) sin 3α = sin(α + 2α) = sin α cos 2α + sin 2α cos α = sin α(1 − sin2 α) + sin α cos2 α = sin α − sin3 α + sin α(1 − sin2 α) = sin α − sin3 α b) cos 3α = cos(α + 2α) = cos α cos 2α − sin α sin 2α = cos α(2 cos2 α − 1) − sin2 α cos α = cos3 α − cos α − 2(1 − cos2 α) cos α = cos3 α − cos α C CÁC DẠNG TOÁN Dạng Tính giá trị lượng giác góc cho trước Sử dụng cơng thức nhân đơi hạ bậc để tính giá trị lượng giác theo yêu cầu ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Tính giá trị lượng giác góc α = 22◦ 30 π Ví dụ Cho sin α = , với α ∈ ; π Tính giá trị sin 2α tan 2α HDedu - Page 48 Dạng Rút gọn biểu thức cho trước Sử dụng công thức nhân đôi hạ bậc kết hợp việc đánh giá quan hệ bội chẵn cung bậc ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Rút gọn biểu thức sau a) A = sin 10◦ cos 20◦ cos 40◦ b) B = cos3 x sin x − sin3 x cos x Dạng Chứng minh đẳng thức lượng giác Sử dụng công thức nhân đôi hạ bậc kết hợp việc đánh giá quan hệ bội chẵn cung bậc ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Chứng minh đẳng thức sau điều kiện có nghĩa biểu thức a) sin4 α + cos4 α = + cos 4α 4 − cos α + cos 2α b) = cot α sin 2α − sin α 4 sin α − cos α + cos2 α α c) = cos2 2(1 − cos α) Ví dụ Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến x P = − cos 2x + sin 2x · cot x + cos 2x + sin 2x HDedu - Page 49 D CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Dạng Biến đổi biểu thức thành tổng thành tích Đây dạng toán chủ yếu để tập cho học sinh áp dụng công thức biến đổi (tổng thành tích, tích thành tổng) học Dưới cơng thức biến đổi Cơng thức biến đổi tích thành tổng [cos(a − b) + cos(a + b)] • sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] • cos a cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)] • cos a sin b = [sin(a + b) − sin(a − b)] • sin a cos b = Công thức biến đổi tổng thành tích a+b a−b cos 2 a+b a−b • sin a − sin b = cos sin 2 a+b a−b • cos a + cos b = cos cos 2 • sin a + sin b = sin a+b a−b sin 2 sin(a + b) • tan a + tan b = cos a cos b sin(a − b) • tan a − tan b = cos a cos b • cos a − cos b = −2 sin ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Biến đổi biểu thức sau thành tổng: a) A = sin(a + b) sin(a − b) b) B = sin x sin 2x sin 3x c) C = cos x sin 2x sin 3x d) D = cos x cos (x + 60◦ ) cos (x − 60◦ ) Ví dụ Biến đổi biểu thức sau thành tích: a) A = sin a + sin 3a + sin 5a b) B = + cos x + cos 2x + cos 3x HDedu - Page 50 Dạng Chứng minh đẳng thức lượng giác có sử dụng nhóm cơng thức biến đổi • Với dạng toán thường xuất phát từ vế đẳng thức cần chứng minh, áp dụng cơng thức, kết hợp rút gọn, nhóm số hạng, cách hợp lý biến đổi biểu thức đồng với biểu thức vế • Tuỳ vào tốn cụ thể, đơi phương pháp biến đổi tương đương, chứng minh hai vế đẳng thức với biểu thức trung gian, sử dụng ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Chứng minh cos x cos π π − x cos + x = cos 3x, với x ∈ R 3 Ví dụ Chứng minh cos3 a cos 3a − sin3 a sin 3a = cos 4a + , với x ∈ R 4 Ví dụ Chứng minh giá trị biểu thức say không phụ thuộc vào biến số x: Å ã Å ã 2 2π 2π S = cos x + cos + x + cos −x 3 Dạng Dùng cơng thức biến đổi để tính giá trị (rút gọn) biểu thức lượng giác ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Rút gọn biểu thức A = sin x(cos x + cos 3x + cos 5x) π 3π 5π Từ tính giá trị biểu thức T = cos + cos + cos 7 Ví dụ Tính giá trị biểu thức A = sin2 10◦ + cos 70◦ cos 50◦ Ví dụ Rút gọn biểu thức sau đây: a) A = cos 4a − cos 2a sin 4a − sin 2a b) B = sin a − sin 2a + sin 3a cos a − cos 2a + cos 3a HDedu - Page 51 Dạng Nhận dạng tam giác Một số hệ thức tam giác • Biến đổi, dẫn đến sin A = cos A = có A = 900 • Nếu a2 + b2 = c2 C = 900 • Nếu sin(A − B) = cos(A − B) = A = B, suy tam giác cân • Tam giác cân mà có góc 600 tam giác Một số lưu ý giả thiết cho A, B, C ba góc tam giác • A + B + C = 180◦ ⇒ (A Å + B) ã C bù nhau, tương tự với (B +ÅC) A, ã A B C A B C B C A ◦ • + + = 90 ⇒ + phụ nhau, tương tự với + , 2 2 2 2 ◦ ◦ • Các góc A, B, C có số đo khoảng (0 ; 180 ) A B C • Các góc , , góc nhọn nên có giá trị lượng giác dương 2 ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Chứng minh ∆ABC vng sin A sin C = cos A cos C Ví dụ Chứng minh ∆ABC cân sin A sin B = + cos C (1) Ví dụ Cho ∆ABC với diện tích S R bán kính đường trịn ngoại tiếp Chứng minh rằng: sin 2A + sin 2B + sin 2C = 2S R2 Ví dụ Cho ∆ABC Chứng minh a sin(B − C) + b sin(C − A) + c sin(A − B) = Ví dụ Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: a+b A−B A+B tan = tan a−b 2 HDedu - Page 52 Ví dụ Cho A, B, C a, b, c góc cạnh ∆ABC Chứng minh rằng: sin(A − B) a2 − b = sin C c2 Ví dụ Chứng minh với tam giác ABC ta ln có sin A + sin B − sin C = sin A B C sin cos 2 Ví dụ Chứng minh với tam giác nhọn ABC ta ln có sin A + sin B − sin C A B C = tan tan cot cos A + cos B − cos C + 2 Ví dụ Tam giác ABC tam giác sin A = sin B + sin C ? cos B + cos C HDedu - Page 53 ... (a21 + a 22 + + a2n )(b21 + b 22 + + b2n ) ≥ (a1 b1 + a2 b2 + + an bn )2 Dấu ” = ” xảy a1 a2 an = = = b1 b2 bn Hệ Bất đẳng thức cộng mẫu Cho n số a1 ; a2 ; ; an n số dương x1 ; x2... √ (a + c )2 + b2 + (a − c )2 + b2 ≥ a2 + b2 với a, b, c ∈ R √ √ Ví dụ Chứng minh rằng: a2 + 4b2 + 6a + + a2 + 4b2 − 2a − 12b + 10 ≥ với a, b, c ∈ R √ √ Ví dụ Tìm GTNN P = x2 − x + + x2 + x + Dạng... phương trình sau: a) 3x − ≥ b) 2x + < 4x − c) (x − 3)(2x + 5) ≤ 2x2 + 4x − Ví dụ Giải bất phương trình sau: a) − 2x ≥ x2 + b) x2 + 3x − x2 − x − < x2 + 2x + x2 + 2x + Ví dụ Giải bất phương trình