Chuyên đề giải toán bằng cách lập phương trình

ĐẠI SỐ GIẢI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Bước 1: Lập phương trình:  Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;  Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết;  Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng Bước 2: Giải phương trình Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm phương trình, nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn, nghiệm không, kết luận II.BÀI TẬP MINH HỌA A.DẠNG BÀI CƠ BẢN Phương pháp chung Bước 1: Kẻ bảng được, gọi ẩn, kèm theo đơn vị điều kiện cho ẩn Bước 2: Giải thích bảng, lập luận để thiết lập phương trình bậc hai Bước 3: Giải phương trình, đối chiếu điều kiện trả lời toán Dạng 1: Toán Chuyển Động Loại 1.Chuyển động Phương pháp Bước 1: Kẻ bảng gồm vận tốc, thời gian, quãng đường điền thông tin vào bảng gọi ẩn, kèm theo đơn vị điều kiện cho ẩn Bước 2: Giải thích ô bảng, lập luận để thiết lập phương trình bậc hai Bước 3: Giải phương trình, đối chiếu điều kiện trả lời tốn Ví dụ 1.Hai tô khởi hành từ hai địa điểm A, B ngược Xe từ A có vận tốc 40 km/h, xe từ B có vận tốc 30 km/h Nếu xe từ B khởi hành sớm xe từ A xe gặp địa điểm cách A B Tìm độ dài quãng đường AB TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Ví dụ Một người xe đạp từ A đến B cách 24 km Khi từ B trở A người tăng vận tốc lên km/h so với lúc đi, thời gian thời gian 30 phút Tính vận tốc xe đạp từ A đến B Ví dụ Một người từ A đến B với vận tốc dự định km/h Sau nửa quãng đường AB với vận tốc đó, người ô tô với vận tốc 30 km/h, đến B sớm dự định 10 phút Tính chiều dài quãng đường AB Ví dụ Một người dự định xe đạp từ Ađến B cách 60 km thời gian định Sau 30 km người dừng lại nghỉ 30 phút Do đó, để đến B thời gian dự định người phải tăng vận tốc thêm km/h Tính vận tốc dự định người Ví dụ Một tô dự định từ A đến B cách 120 km thời gian quy định Sau tơ bị chặn xe cứu hỏa 10 phút Do để đến hạn xe phải tăng tốc thêm 6km/h Tính vận tốc lúc đầu tơ Loại 2.Chuyển động dịng nước -Vận tốc xi dịng = vận tốc riêng ca nơ + vận tốc dịng nước ( viết tắt vx= vr + vn) Vận tốc ngược dòng = Vận tốc riêng ca nơ – vận tốc dịng nước ( viết tắt vng= vr - vn, ý vr > ) -Quãng đường = vận tốc x thời gian; S x= vx.tx; Sng= vng.tng Ví dụ :Để đoạn đường từ A đến B, xe máy phải hết 3giờ 30’; ô tô hết 2giờ 30’ phút Tính quãng đường AB Biết vận tốc ôtô lớn vận tốc xe máy 20km/h Ví dụ 2: Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau chạy xi dịng 48 km dịng sơng có vận tốc dịng nước 2km/h Tính vận tốc tàu tuần tra nước yên lặng, biết thời gian xi dịng thời gian ngược dịng Dạng 2: Tốn Năng Suất -Năng suất lượng công việc làm đơn vị thời gian -Tổng lượng công việc = Năng suất x thời gian TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com -Năng suất = Tổng lượng công việc : Thời gian -Thời gian = Tổng lượng công việc : Năng xuất Ví dụ : Trong tháng đầu hai tổ cơng nhân xí nghiệp dệt 800 thảm len Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15%, tổ vượt mức 20% nên hai tổ dệt 945 thảm len Tính xem tháng thứ hai tổ dệt thảm len Ví dụ Một tổ sản xuất phải làm 600 sản phẩm thời gian quy định với suất Sau làm 400 sản phẩm, tổ tăng suất thêm ngày 10 sản phẩm, hồn thành cơng việc sớm ngày Tính số sản phẩm làm ngày theo quy định Ví dụ Một người thợ làm 120 sản phẩm thời gian suất dự định Khi làm 50 sản phẩm, người thợ nhận thấy làm với suất thấp suất dự định sản phẩm ngày Do đó, để hồn thành thời gian định, người thợ tăng suất thêm sản phẩm ngày so với dự định Tính suất dự định người thợ Dạng 3: Tốn Làm Chung Cơng Việc Ví dụ Hai đội công nhân sửa mương hết 24 ngày Mỗi ngày phần việc làm đội 1 phần việc đội làm Nếu làm mình, đội sửa xong mương ngày? Ví dụ Khối trường THCS có số lớp nhiều 2, tổ chức trồng cây: Lớp thứ trồng 1 số lại.Lớp thứ hai trồng tiếp 10 số 5 lại.Lớp thứ ba trồng tiếp 15 số lại.Cứ trồng đến lớp cuối vừa hết số số lớp trồng Tính số mà khối trồng số lớp khối tham gia trồng TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Ví dụ Trong tháng giêng hai tổ cơng nhân sản xuất 800 chi tiết máy Sang tháng hai tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 20%, hai tổ sản xuất 945 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất chi tiết máy? Dạng 4: Tốn Có Nội Dung Hình Học Dạng ta cần ghi nhớ công thức chu vi, diện tích hình tam hình vng, hình chữ nhật, Ví dụ Lan có miếng bìa hình tam giác ABC vng A, cạnh AB = 3cm Lan tính cắt từ miếng bìa hình chữ nhật có chiều dài 2cm hình bên hình chữ nhật có diện tích nửa diện tích miếng bìa ban đầu Tính độ dài cạnh AC tam giác ABC Ví dụ Một hình chữ nhật có chu vi 320m tăng chiều dài thêm 10m tăng chiều rộng thêm 20m diện tích hình chữ nhật tăng thêm 2700m Tính kích thước hình chữ nhật Dạng Dạng tốn có chứa tham số Ví dụ : Bà An gửi vào quỹ tiết kiệm x nghìn đồng với lãi suất tháng a% (a số cho trước) lãi tháng tính gộp vào vống cho tháng sau a Hãy viết biểu thức biểu thị : + Số tiền lãi sau tháng thứ nhất; + Số tiền (cả gốc lẫn lãi) có sau tháng thứ nhất; + Tổng số tiền lãi có sau tháng thứ hai b Nếu lãi suất 1,2% (tức a = 1,2) sau tháng tổng số tiền lãi 48,288 nghìn đồng, lúc đầu bà An gửi tiền tiết kiệm? Dạng Toán tỉ lệ chia phần Ví dụ Hai đội cơng nhân tham gia lao động công trường xây dựng Số người đội I gấp hai lần số người đội II Nếu chuyển 10 người từ đội I sang đội II số người đội II TỐN số người lại đội I Hỏi lúc đầu đội có người? HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Ví dụ Học kì I số học sinh lớp 8A số học sinh lớp Sang học kì II có ba bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi Do số học sinh giỏi 20% số học sinh lớp Hỏi lớp 8A có học sinh giỏi Dạng Dạng toán liên quan đến số học Phương Pháp: Ở chương trình đại số lớp 8, em thường gặp loại tìm số tự nhiên có hai chữ số, loại tốn tương đối khó em; để giúp học sinh đỡ lúng túng giải loại trước hết phải cho em nắm số kiến thức liên quan : - Cách viết số hệ thập phân - Mối quan hệ chữ số, vị trí chữ số số cần tìm…; điều kiện chữ số Ví dụ “Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số 16, đổi chỗ hai chữ số cho số lớn số cho 18 đơn vị Tìm số cho Ví dụ 2.Tìm số tự nhiên có chữ số tận Biết xóa chữ tận số nhỏ số đầu 2003 đơn vị Ví dụ 3.Cho phân số 37 Hãy tìm số tự nhiên m cho đem tử số mẫu số trừ 53 m phân số Dạng : Dạng tốn có nội dung vật lý, hóa học Phương Pháp Để lập phương trình, ta phải dựa vào cơng thức, định luật vật lý, hóa học liên quan đến đại lượng có đề tốn Ví dụ : Biết 200g dung dịch chứa 50g muối Hỏi phải pha thêm gam nước vào dung dịch để dung dịch chứa 20% muối? Ví dụ Có hai loại thép vụn chứa 5% 40% nicken Cần lấy thép vụn loại để luyện 140 thép chứa 30% nicken? TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com LỜI GIẢI DẠNG BÀI CƠ BẢN Dạng 1: Toán Chuyển Động Loại 1.Chuyển động Ví dụ 1.Hai tơ khởi hành từ hai địa điểm A, B ngược Xe từ A có vận tốc 40 km/h, xe từ B có vận tốc 30 km/h Nếu xe từ B khởi hành sớm xe từ A xe gặp địa điểm cách A B Tìm độ dài quãng đường AB Giải Gọi độ dài quãng đường AB x (km), với x  Vì hai xe gặp địa điểm cách A B nên quãng đường xe x (km) Thời gian x x quãng đường AB xe từ A  (h) 2.40 80 Thời gian x x quãng đường AB xe từ B  (h) 2.30 60 Theo đề ta có phương trình: x x    x  1440 60 80 Vậy quãng đường AB dài 1440 km Ví dụ Một người xe đạp từ A đến B cách 24 km Khi từ B trở A người tăng vận tốc lên km/h so với lúc đi, thời gian thời gian 30 phút Tính vận tốc xe đạp từ A đến B Lời giải Vận tốc Thời gian Quãng đường Lúc x 24 x 24 Lúc x4 24 x4 24 Gọi vận tốc xe đạp từ A đến B x (km/h) Điều kiện: x  TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Vận tốc từ B trở A x  (km/h) Thời gian lúc lúc 24 24 (giờ) x x4 Vì thời gian thời gian 30 phút  nên ta có phương trình : 24 24 24( x  4)  24 x 96       x x4 x( x  4) x( x  4)  x2  x  192   x2  x   196    x  2  196  x   14  x  12 (TM), x  16 (L) Vậy vận tốc lúc 12 (km/h) Ví dụ Một người từ A đến B với vận tốc dự định km/h Sau nửa quãng đường AB với vận tốc đó, người tơ với vận tốc 30 km/h, đến B sớm dự định 10 phút Tính chiều dài quãng đường AB Lời giải Đổi 10 phút = 13 Gọi chiều dài quãng đường AB x (km), (x > 0) Thời gian người nửa quãng đường AB với vận tốc km/h x x :  (giờ) Thời gian người qng đường cịn lại với vận tốc 30 km/h x x (giờ) : 30  60 Theo đề bài, người đến B trước 10 phút ( 13 giờ)nên ta có phương trình : x x 13   60 Giải phương trình, tìm x = 20 (thỏa mãn điều kiện ẩn) Trả lời : Quãng đường AB dài 20 km TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Ví dụ Một người dự định xe đạp từ Ađến B cách 60 km thời gian định Sau 30 km người dừng lại nghỉ 30 phút Do đó, để đến B thời gian dự định người phải tăng vận tốc thêm km/h Tính vận tốc dự định người Lời giải Vận tốc Thời gian Quãng đường Dự định X 60 x 60 Thực tế X 30 x 30 x+2 30 x2 30 Đổi 30 phút = Gọi vận tốc dự định x ( km/h) Điều kiện: x > Thời gian dự định 60 (giờ) x Thời gian người 30 km đầu 30 (giờ) x Thời gian người 60 – 30 = 30 km lại 30 ( giờ) x2 Do xe đến B hạn nên ta có phương trình 60 30 30 60 30 30 + + =  =   x x2 x x x2 x( x  2)  x2 + 2x - 120 =  x2 + 2x + – 121=  (x+1)2 = 121  x+ 1= 11  x= 10 ( thỏa mãn), x= -12 (loại) Vậy vận tốc dự định 10 ( km/h) TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Ví dụ Một ô tô dự định từ A đến B cách 120 km thời gian quy định Sau tô bị chặn xe cứu hỏa 10 phút Do để đến hạn xe phải tăng tốc thêm 6km/h Tính vận tốc lúc đầu tơ Lời giải Vận tốc Thời gian Quãng đường Dự định X 120 x 120 Thực tế X x x+6 120  x x6 120 - x Đổi 10 phút = Gọi vận tốc lúc đầu ô tô x ( km/h) Điều kiện: x > Thời gian dự định ô tô 120 (giờ) x Trong đầu ô tô x (km) nên quãng đường lại 120 - x (km) Thời gian tơ qng đường cịn lại 120  x (giờ) x6 Do xe đến B hạn nên ta có phương trình x  720 120  x 120 120 120  x  +1+ =  =  x6 x x x6 x( x  6)  6(x2+ 720)=7(x2+ 6x)  x2 + 42x – 4320 =  ( x – 48 )( x + 90 )=  x= 48 ( thỏa mãn), x= - 90 (loại) Vậy vận tốc lúc đầu ô tơ 48 ( km/h) Loại 2.Chuyển động dịng nước TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Ví dụ :Để đoạn đường từ A đến B, xe máy phải hết 3giờ 30’; ô tô hết 2giờ 30’ phút Tính quãng đường AB Biết vận tốc ôtô lớn vận tốc xe máy 20km/h Đối với tốn chuyển động, ghi tóm tắt đề bài, đồng thời ta vẽ sơ đồ minh họa học sinh dễ hình dung tốn Tóm tắt: Đoạn đường AB A t1 = 30 phút = 3,5 giờ;  B t2 = 30 phút = 2,5 v2 lớn v1 20km/h (v2 – v1 = 20) Tính quãng đường AB=? - Các đối tượng tham gia :(ô tô- xe máy) - Các đại lượng liên quan : quãng đường , vận tốc , thời gian - Các số liệu biết: + Thời gian xe máy : 30’ + Thời gian ô tô :2 30’ + Hiệu hai vận tốc : 20 km/h - Số liệu chưa biết: vxe máy? vôtô? sAB ? Cần lưu ý : Hai chuyển động quãng đường không đổi Quan hệ đại lượng s, v, t biểu diễn công thức: s = v.t Như tốn có đại lượng chưa biết, mà ta cần tính chiều dài đoạn AB, nên chọn x (km) chiều dài đoạn đường AB; điều kiện: x > Biểu thị đại lượng chưa biết qua ẩn qua đại lượng biết Vận tốc xe máy : Vận tốc ôtô : x 2,5 x 3,5 (km/h) (km/h) Dựa vào mối liên hệ đại lượng(v – v1 = 20) x x   20 2,5 3,5 10 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Gọi quãng đường BD x(km); x > 40 Do đoạn CD dài BC 40km; tổng hai đoạn đường x (km) nên: x  40 x  40 (km); đoạn đường CD dài (km) x  Đoạn đường BC dài  Thời gian ô tô đoạn BC x  40 : 50 (h) x  Thời gian ô tô đoạn CD x  40 : 35 (h) 24 phút = 1,4 Theo ta có phương trình:  x  40 x  40   1, 1 70 100 Giải phương trình: 1  10x  400  x  280  980  3x  300  x  100 Giá trị phù hợp với điều kiện ấn vậy: Quãng đường BD dài 100 km quãng đường AD dài 100 + 30 = 130 (km) Chú ý: Cách khác: Gọi thời gian xe máy từ C đến D x (giờ) thời gian tơ từ B đến C x 1, (giờ) Quãng đường CD dài 35x (km), quãng đường BC dài  x 1, 4.50 Ta có phương trình  x 1, 4.50  35 x  40 Giải phương trình x = (bạn đọc tính tiếp) Ví dụ Trên qng sơng AB dài 48km, ca nô xuôi từ A đến B quay trở lại đỗ địa điểm C giũa A B Thời gian ca nơ xi ngược dịng hết tất 30 phút Tính vận tốc riơng ca nô biết bè nứa thả trôi sông 15 phút trơi km * Tìm cách giải: - Đây toán chuyển động liên quan đến chuyến động xi, ngược dịng nước (hoặc xi gió, ngược gió) Nếu gọi vận tốc xi v x; vận tốc ngược ; vận tốc riêng động vr vận tốc dịng nước (hoặc giỏ) vx  vr  vdn ;  vr  vdn vx   2vdn 25 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Quãng sông ca nô xuôi 48km ngược 48: = 24km Vận tốc bè nứa trơi  vận tốc dịng nước  Chọn ẩn số x vận tốc riêng ca nô, ta tìm thời gian xi ngược để lập phương trình Giải 15 phút = 0,25 giờ; 30 phút = 3,5 Vận tốc bè nứa trôi 1: 0,25 = (km/h) vận tốc dịng nước Gọi vận tốc riêng ca nô x (km/h); x > Thì vận tốc ca nơ xi dịng x + (km/h), vận tốc ca nơ ngược dịng x - (km/h) Thời gian ca nơ xi dịng 48 24 (h) ngược dòng (h) x4 x4 Theo ta có phương trình: 48 24   3,5 1 x 4 x4 Giải phương trình (1): biến đổi thành 48 x 192  24 x  96  3, x  56   3,5 x  72 x  40   x 144 x  80   x  20   x 14 x  x  80    x  27 x  4    x   Trong hai giá trị x = 20 thỏa mãn điều kiện đầu Vậy vận tốc riêng ca nơ 20km/h Ví dụ Hai xưởng sản xuất làm sản phẩm, số sản phẩm xưởng thứ làm ngày nhiều số sản phẩm xưởng thứ hai làm ngày 140 sản phẩm Biết suất lao động xưởng thứ xưởng thứ hai 65 sản phẩm/ngày Tính suất lao động xưởng  Tìm cách giải: Bài toán thuộc loại toán Năng suất lao động Có ba đại lượng:  Khối lượng cơng việc: (K)  Thời gian hồn thành cơng việc (t)  Năng suất lao động: (lượng cơng việc hồn thành đơn vị thời gian) (N) 26 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Quan hệ dại lượng sau: K = Nt; t = K : N N = K: t Trong suất lao động xưởng số sản phẩm xưởng làm ngày, ta chọn ẩn X từ hai suất lao động Khối lượng công việc xưởng số sản phẩm xưởng thứ làm ngày, xưởng thứ hai làm ngày Lập phương trình từ việc so sánh hai khối lượng công việc Giải Gọi suất lao động xưởng thứ x (sản phẩm /ngày); ( x   ; x > 65) suất lao động xưởng thứ hai  x  65 (sản phẩm/ngày) Trong năm ngày xưởng thứ làm 5x (sản phẩm), sáu ngày xưởng thứ hai làm  x  65 (sản phẩm) Theo ta có phương trình: x   x  65  140 (1) Giải phương trình: (1)  x  x  390  140  x  250 (thỏa mãn điều kiện) Vậy: Năng suất lao động xưởng thứ 250 sản phẩm /ngày Năng suất lao động xưởng thứ hai 250 - 65 = 185 (sản phẩm /ngày) Ví dụ Hai vòi nước chảy vào bể cạn thời gian 48 phút bể đầy Nếu vịi thử chảy giờ, vịi thứ hai chảy tiếp đầy  17 bể Hỏi nêu vịi chảy sau bể đầy? 24 Tìm cách giải - Đây tốn cơng việc đồng thời (làm chung, làm riêng công việc) - dạng đặc biệt tốn suất lao động Khối lượng cơng việc không cho dạng số lượng cụ thể Bởi ta quy ước cơng việc cần hồn thành Tùy nội dung toán cụ thể mà ta quy ước đại lượng làm đơn vị (1 bể nước, mương, cánh đồng, đường, ) Đơn vị suất lao động công việc / đơn vị thời gian Năng suất lao động chung tổng suất lao động riêng cá thể 27 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com - Ở tốn trên, cơng việc cụ thể bể nước (lượng nước làm đầy bể) Nếu vịi chảy sau a đầy bể suất (lượng nước chảy giờ) Nếu vịi khác chảy sau b đầy bể suất bể/giờ a bể/giờ Năng suất b  1 chung    (bể/giờ)  a b  Giải Hai vòi chảy chung 48 phút = 24 đầy bể hai vòi chảy chung  24  bể nước Gọi thời gian vịi thứ hai chảy đầy bể x  x   , vòi  24 5 thứ hai chảy bể nước x  1 Vòi thứ chảy    bể nước  24 x    17 Ta có phương trình 3      24 x  x 24 1 Giải phương trình: (1)  15 x  72  96  17 x  x  24  x  12 Giá trị phù họp với điều kiện ẩn Vậy thời gian vịi thứ hai chảy đầy bể 12 5 1 Thời gian vòi thứ chảy đầy bể 1:     1:  (giờ)  24 12  Ví dụ Năm ngối sơ kg thóc thu hoạch ruộng thứ số kg thóc thu hoạch thứ hai Năm nhờ cải tiến kỹ thuật thứ thu hoạch tăng 20%; thứ hai thu hoạch tăng 30% hai thu hoạch 1320kg Tìm số tạ thóc thu hoạch năm  Tìm cách giải: Đây dạng tốn liên quan đến tỷ số tỷ số % Thu hoạch tăng a% tức thu hoạch (100 + a)% Ta phải tìm số thóc thu hoạch năm Ẩn sổ ta nên chọn số thóc thu hoạch hai năm trước đại 28 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com lượng quan hệ: tỷ số sổ thóc thu hoạch hai ruộng năm trước tỷ số % tăng so với năm trước Giải Gọi số thóc thu hoạch năm ngối thứ hai x (kg) (x > 0) Số thóc thu hoạch năm ngoái thứ x (kg) Số thóc thu hoạch năm thứ hai 130% x (kg) Số thóc thu hoạch năm thứ 120% x (kg) Theo ta có phương trình: 120% x  130% x  1320 1 Giải phương trình: 1  120 130 x  x  1320 100 100  x 13x  13200  22 x  13200  x  600 Giá trị x thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy số thóc thứ hai thu hoạch năm 130%.600 = 780 (kg) = 7,8 (tạ), số thóc thứ thu hoạch năm 1320 - 780 = 540 (kg) = 5,4(tạ) Chú ý: Ta chọn x số thóc thu hoạch năm thứ Khi ta có phương trình: x.100 1320  x .100  120 130 Giải x = 540 (bạn đọc tự giải) Ví dụ Người ta dự định tổ chức hội nghị gồm 300 đại biểu, số chỗ ngồi xếp thành hàng có số ghế hàng Do hội nghị có thêm 23 đại biểu nên phải xếp lại, hàng thêm ghe, lại bớt hàng Tính số hàng số ghế hàng theo dự định xếp ban đầu  Tìm cách giải: Bài tốn có ba đại lượng: Tổng số chỗ ngồi (số ghế); số hàng ghế số ghế hàng Quan hệ chúng Tổng số chỗ ngồi (số ghế) = số hàng ghế x số ghế hàng 29 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Số hàng ghế = Tổng số chỗ ngồi (số ghế): số ghế hàng Sổ ghế hàng = Tổng số chỗ ngồi (số ghế): số hàng ghế Đã biết số đại biểu (tức số ghế cần xếp), ta chọn hai đại lượng số hàng ghế số ghế hàng làm ẩn dựa vào quan hệ ba đại lượng lúc đầu sau để lập phương trình Giải Gọi số hàng ghế dự định xếp ban đầu x  x  , x  3 , số dãy ghế sau xếp lại x 3 Số ghế hàng ban đầu 300 (chiếc) x Số ghế hàng sau xếp lại Theo ta có phương trình: 300  23 (chiếc) x3 300 300  23 4 x x 3 1 Giải phương trình: (1)  300x  900  x 12 x  323 x   x  35 x  900    x  20 x  45   x  20  x  20      x  45   x   45  Ta thấy x = 20 thỏa mãn điều kiện ẩn, vậy: Số hàng ghế ban đầu 20; số ghế hàng ban đầu 300: 20 = 15 C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN Hai giá sách có 450 chuyển 50 từ giá thứ sang giá thứ hai số sách giá thứ hai số sách giá thứ Tìm số sách giá Năm tuổi mẹ gấp ba lần tuổi Phương Phương tính 13 năm tuổi mẹ gấp hai lần tuổi Phương Hỏi năm Phương tuổi? 30 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Trên cơng trình thủy lợi, đội dân cơng phải đào đắp 500 m đất vắng người người cịn lại phải đào đắp m3 hồn thành kế hoạch Tính xem đội dân cơng có người? (Coi người đào đắp số đất nhau) Một đội xe ôtô cần chở 30 hàng từ thành phố đến thành phố Khi chở có thêm ơtơ nên xe chở theo dự kiến Hỏi lúc đầu đồn xe có ôtô? Lúc sáng người xe máy khởi hành từ A dể đến B Lúc 10 phút ô tô khởi hành từ A với vận tốc lớn vận tốc xe máy 10km/h Trên đường ô tô phải dừng đường 14 phút đến B lúc với xe máy Tính vận tốc xe biết quãng đường AB xe taxi với vận tốc 60km/h hết 20 phút Từ bến A dịng sơng, lúc thuyền xi dịng với vận tốc 10km/h Lúc ca nơ xi dịng với vận tốc 25 km/h Lúc 10 tàu thủy xuôi dịng với vận tốc 30km/h Hỏi lúc tàu thủy cách ca nô thuyền? 7.Quãng đường AE gồm bốn đoạn, hai đoạn đường AB DE Nếu từ A BC đoạn lên dốc, CD đoạn xuống dốc Biết AB  DE; BC  DE; DE  2CD Vận tốc ô tô đường 40km/h, lên dốc 30km/h xuống dốc 60km/h Thời gian từ A đến E trở A 45 phút Tính quãng đường AE Một ca nơ xi dịng sơng từ A đến B hết Sau ca nơ quay trở lại ngược từ B đến bến C nằm cách A khoảng AB hết 24 phút Tính độ dài đoạn sơng từ A đến B biết khóm bèo trơi đoạn sơng 12 phút 400m Ba tổ sản xuất giao làm số sản phẩm, số sản phẩm tổ II giao gấp đôi tổ 1, số sản phẩm tổ III giao gấp đôi tổ II Do cải tiến kỹ thuật nên tổ I sản xuất 31 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com vượt mức 30% kế hoạch, tổ II sản xuất vượt mức 20% kế hoạch, tổ III sản xuất vượt mức 10% kế hoạch Do số sản phẩm vượt mức kế hoạch ba tổ 220 sản phẩm Tính số sản phẩm tổ giao theo kế hoạch 10 Một xí nghiệp khí giao sản xuất 500 máy bơm nước thời gian định Do cải tiến kỹ thuật tăng suất lao động, ngày xí nghiệp sản xuất thêm máy bơm nên xí nghiệp hồn thành cơng việc sớm ngày mà sản xuất thêm 70 máy bơm Hỏi số máy bơm dự định sản xuất ngày số ngày dự định theo kế hoạch ban đầu 11.Một số có hai chữ số, chữ số hàng chục lớn chữ số hàngđơn vị đơn vị Nếu đổi chỗ hai chữ số số lớn số ban đầu 37 đơn vị.Tìm số cho 12 Một số có bốn chữ số có chữ số hàng đơn vị Nếu chuyển lên đầu số có chữ số Tổng hai số có chữ số 8217 Tìm số cho 13 Một tơn hình chữ nhật có chu vi 114cm Người ta cắt bỏ bốn hình vng có cạnh 5cm bốn góc gấp lên thành hình hộp chữ nhật (khơng có nắp).Tính kích thước tơn cho Biết thể tích hình hộp bàng 1500cm 14 Cho quãng đường AB dài 120km Lúc sáng xe máy từ A đến B Đi quãng đường xe bị hỏng phải dừng lại sửa 10 phút tiếp đến B với vận tốc nhỏ vận tốc lúc đầu 10km/h Biết xe máy đến B lúc 11giờ 40 phút trưa ngày Giả sử vận tốc xe máy quãng đường ban đầu không thay đổi vận tốc xe máy 4 qng đường cịn lại khơng thay đổi Hỏi xe máy bị hỏng lúc giờ? 15 Một xe tải từ A đến B với vận tốc 40km/h Sau xe tải xuất phát thời gian xe khách xuất phát từ A với vận tốc 50km/h khơng có thay đổi duổi kịp xe tải B Nhưng sau nửa quãng đường AB xe khách tăng vận tốc lên 60km/h nên đến B sớm xe tải 16 phút Tính qng đường AB 32 TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN 1.Ta lập phương trình sau: Gọi số sách giá thứ trước chuyển x (cuốn) ( x nguyên, x  50 ) Khi số sách giá thứ hai trước chuyển 450  x (cuốn) So sánh giá thứ hai sau chuyển 50 từ giá thứ sang 450  x  50  500  x Vì số sách sau chuyển số sách lại giá thứ (đã chuyển) tức x  50 , nên ta có phương trình: 500  x  x  50 Giải phương trình ta x  300 , giá trị thỏa mãn điều kiện Vậy số sách giá thứ 300 giá thứ hai 150 2.Ta lập phương trình sau: Gọi tuổi Phương x ( x nguyên, x  ) Khi tuổi Phương sau 13 năm x  13 Tuổi mẹ 3x (vì tuổi mẹ gấp ba lần tuổi Phương nay), sau 13 năm tuổi mẹ 3x  13 Vì sau 13 năm tuổi mẹ gấp hai lần tuổi Phương, nên ta có phương trình: 3x  13  x  13 Giải phương trình ta x  13 , giá trị thỏa mãn điều kiện Vậy năm Phương 13 tuổi 3.Cách Ta lập phương trình sau: Gọi số người đội dân công dự kiến x ( x nguyên, x  ) Khi số đất dự kiến người làm 33 TOÁN 500 x HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Số người thực làm đội x  , số đất thực người làm 500 x 5 Vì số đất thực làm người số đất dự kiến m nên ta có phương trình: 500 500  5 x x 5 Giải phương trình ta x  20 x  25 So với điều kiện có giá trị x  25 thỏa mãn Vậy đội dân cơng có 25 ngưởi Cách Ta lập phương trình sau: Gọi số đất dự kiến người x (m3) (điều kiện: x  ) Khi số người dự kiến 500 x Số đất thực người làm x  (m3); Số người thực làm 500 x 5 Vid số người thực làm số người dự kiến người, nên ta có phương trình: 500 500   x x 5 Giải phương trình ta x  25 x  20 So với điều kiện có giá trị x  20 thỏa mãn Vậy số đất dự kiến người làm 20 m Do đội dân cơng có 25 người 4.Cách Ta lập phương trình sau: Gọi số hàng dự kiến xe chở x (đơn vị: tấn), (điều kiện: x  ) Khi số xe ơtơ dự kiến ban đầu 30 ; x Số hàng thực tế xe chở x  (do số hàng xe thực chở dự kiến tấn) Số xe thực chở 30 x 1 Vì số xe thực chwor số xe dự kiến xe nên ta có phương trình: 34 TỐN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com 30 30  1 x x 1 Giải phương trình ta x  x  5 Chỉ có giá trị x  thỏa mãn điều kiện Do xe dự kiến chwor hàng nên đội xe ban đầu có xe Cách Ta coi số xe đồn ban đầu aane, làm giống cách 5.Xe taxi 20 phút (bằng giờ) với vận tốc 60km/h Ta tính qng đường AB Xe tô khỏi hành sau 10 phút, nghỉ đường 14 phút đến B lúc với xe máy Như xe máy chậm ô tô 10  14  24 (phút) = So sánh thời gian ô tô xe máy ta lập phương trình Ta có cách giải: Qng đường AB dài 60  80 (km) Gọi vận tốc xe máy x km/h (x > 0), vận tốc tơ (x + 10) km/h Thời gian xe máy hết quãng đường AB đường AB (khơng tính thời gian nghỉ) Ta có phương trình: 80 (h); thời gian tơ quãng x 80 (h) x  10 80 80   Giải phương trình x = 40 x x 10 Vận tốc xe máy 40 km/h ô tô 50km/h 6.Lúc tàu thủy cách ca nơ thuyền độ dài đoạn sơng tàu thủy trừ độ dài đoạn sông thuyền với độ dài sông ca nô trừ độ dài đoạn sông mà tàu thủy Từ có cách giải sau: Gọi thời gian tàu thủy từ A đến cách ca nô thuyền x (x > 0) Đến 10 tàu thủy khỏi hành thuyền 20km ca nô 25km Ta có phương trình: 30 x  20  10 x   25  25 x   30 x Giải x  35 TOÁN 9 thỏa mãn điều kiện ẩn ( = 48 phút) 5 HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Trả lời: Lúc 11 48 phút tàu thủy cách ca nô thuyền 7.Nếu từ E trở DC đoạn lên dốc, CB đoạn xuống dốc Vận tốc lên dốc 30km/h xuống dốc 60km/h Tổng thời gian lẫn 45 phút Từ có cách giải: Gọi quãng đường DE dài x km (x > 0) đoạn đường AB 2x km; đoạn đường CB dài x km; đoạn CD = 0,5x Thời gian 45 phút = 31 Ta có phương trình: 3x 3x x 3x x 3x 31       40 240 120 40 60 480 Giải phương trình tìm x = 40 thỏa mãn điều kiện ẩn Từ tìm qng đường AE dài 155km 8.Vận tốc bèo trôi vận tốc dịng nước Nếu tính vận tốc riêng ca nơ ta tính độ dài qng sơng AB, nên ta chọn ẩn cách gián tiếp Ca nô ngược quãng sông AB hết 24 phút, ta tính thời gian ca nơ ngược hết qng sơng BA Qng sơng AB BA, ta dựa vào để lập phương trình có cách giải sau: Vận tốc bèo trơi vận tốc dịng nước Ta có 12 phút = 0,2 giờ; 400 m = 0,4km Vậy vận tốc dòng nước 0,4: 0,2 = 2(km/h) Gọi vận tốc riêng ca nô x km/h ( x > 2) Vận tốc ca nô xuôi  x  2 km/h ngược  x  2 km/h Ca nô ngược quãng sông AB hết 24 phút = 2,4 vận tốc ngược ca nô hết quãng sông AB hết (2,4: 2) = 3,6 (giờ) Theo ta có phương trình: 3 x  2  3,6  x  2 Giải phương trình x = 22 thỏa mãn điều kiện ẩn 36 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Vậy quãng sông AB dài 3.(22 + 2) = 72 (km) * Chú ý: Cách khác: Ta biết vx   2vdn nên gọi quãng sơng AB dài x km vận tốc ca nơ xuôi x x 5x 12 x (km/h), vận tốc ca nô ngược x :  ta có phương trình   Giải 3 18 18 x = 72 9.Ta có: Số sản phẩm vượt mức = Số % vượt mức x số sản phẩm theo kế hoạch Từ đó: Gọi số sản phẩm giao tổ I x sản phẩm (x > 0) số sản phẩm giao tổ II 2x sản phẩm, tổ III 4x sản phẩm  Số sản phẩm vượt mức tổ I 30% x, tổ II 20% 2x, tổ III 10% 4x Theo ta có phương trình: 30%x + 40% x + 40% x = 220 Giải phương trình x = 200 thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy: Số sản phẩm giao: Tổ I: 200 sản phẩm; Tổ II: 400 sản phẩm; Tổ III: 800 sản phẩm 10.Số máy bơm sản xuất = Số máy bơm sản xuất ngày x Số ngày sản xuất Từ đó: Gọi số máy bơm dự định sản xuất ngày x  x  N * số ngày dự định làm 500 (chiếc), số máy bơm thực làm 500 + 70 = 570 (chiếc) Số máy bơm x thực sản xuất ngày x + (chiếc), số ngày thực làm trình: 570 (ngày) Ta có phương x5 500 570  1 x x 5  x  25 Giải phương trình: x  75 x  2500    x  25 x  100   x  100 Ta có x = 25 thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy Số máy bơm dự định sản xuất ngày 25 Số ngày dự định làm 500  20 (ngày) 25 11.Bài tốn liên quan đến cấu tạo số Số có hai chữ số ab  10a  b ; Đổi chỗ số 37 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ba  10b  a với a, b  ;  a  9;  b  ) Ta có cách giải: Gọi chữ số hàng chục x  x  ;3  x  9 chữ số hàng đơn vị  x  3 Số cho: x  x  3  10 x   x  3 ; Đổi chỗ chữ số:  x  3 x  10  x  3  x Ta có phương trình 10  x  3  x  10 x   x  3  37 Giải phương trình x = phù hợp điều kiện ẩn Số cần tìm 96 12.Bài tốn liên quan đến cấu tạo số Số có bốn chữ số mà chữ số hàng đơn vị là abc6  10.abc  Chuyển lên đầu số 6abc  6000  abc với a, b, c  ; 0 10 vận tốc xe máy từ C đến B  x 10 (km/h) Xe máy quãng đường AC hết 90 30 (h) CB hết (h) x x 10 h Thời gian xe hết quãng đường AB (kể sửa xe) 38 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Thời gian sửa xe máy 10 phút = 40 phút = 14 h Biến đổi thành x 110x  600    x  303x  20  Nghiệm x  30 thỏa mãn điều kiện Thời gian từ A đến C 90 : 30  3h Thời điểm bị hỏng xe lúc 10 sáng ngày 15.Gọi quãng đường AB dài x km, x > Thời gian xe tải hết quãng đường AB (h) Thời gian dự kiên xe khách từ A đến B khách so với xe tải x 40 x (h) Thời gian xuất phát sau xe 50 x x x x  Thời gian xe khách thực tế   h ; 16 phút = 40 50 50 60 h 15 Ta có phương trình x x x x x         x  160 thỏa mãn điều kiện Vậy 40 100 120 15  40 50  quãng đường AB dài 160 km ========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ========== 39 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com ... phương trình: 1 x 3 x Giải phương trình ta tìm x  40 Giá trị thỏa mãn điều kiện đặt nên nghiệm phương trình Vậy số học sinh lớp 8A 40 em 20 TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Dạng Dạng toán. .. , nên ta có phương trình: 500  x  x  50 Giải phương trình ta x  300 , giá trị thỏa mãn điều kiện Vậy số sách giá thứ 300 giá thứ hai 150 2.Ta lập phương trình sau: Gọi tuổi Phương x ( x... sửa xong mương đội làm 40 ngày Chú ý: Ở loại toán , học sinh cần hiểu rõ đề bài, đặt ẩn, biểu thị qua đơn vị quy ước Từ lập phương trình giải phương trình Ví dụ 2.Khối trường THCS có số lớp nhiều