Đang tải... (xem toàn văn)
Điều khó hình dung hơn là giao điểm của mặt đồ thị này với mọi mặt phẳng phức (nghĩa đồ thị của đa thức bậc nhất) đều là một tập hữu hạn các điểm (chứ không phải các đường như ta vẫn hìn[r]
(1)Trong kỳ thi Olympic toàn Liên bang Nga năm học 2014-2015 có tốn sau Bài tốn 1.Một tập hữu hạn điểm trên mặt phẳng tọa độ gọi thích hợp nếu chúng có hồnh độ khác mỗi điểm tô hai màu xanh hoặc đỏ Ta nói đồ thị đa thức phân tách tập điểm phần mặt phẳng phía trên đồ thị có điểm một màu phần mặt phẳng phía của đồ thị có điểm màu cịn lại (ngay trên thân đồ thị có điểm của cả hai màu) Với số tự nhiên𝑛 >1hãy tìm số𝑘nhỏ với tính chất: với bộ
𝑛điểm thích hợp, ln tồn đa thức bậc khơng q 𝑘 mà đồ thị phân tách tập điểm này.
Mục đích viết phân tích số tính chất đồ thị đa thức phản ánh toán vài toán khác Các bạn học sinh giỏi trước đọc tiếp, dành thời gian để tìm cách giải tốn Bất kể bạn giải hay khơng giải việc suy nghĩ làm cho việc tiếp tục đọc viết có ích cho bạn
Hàm số cơng cụ quan trọng tốn học nhằm mô tả phụ thuộc đại lượng thực tế Ví dụ điển hình mơ tả phụ thuộc vào thời gian yếu tố đó, ví dụ vận tốc, qng đường, nhiệt độ, độ ẩm, Đa thức
là lớp hàm số đặc biệt, mà việc mô tả phụ thuộc đại lượng 𝑦 vào đại lượng 𝑥 sử dụng phép tính cộng trừ nhân Tính hữu hạn chất đặc trưng đa thức để phân biệt với hàm số Tính hữu hạn đa thức phản ánh, chẳng hạn qua việc đa thức bậc𝑛được xác định khơng q 𝑛+ “đơn vị thơng tin”, ví dụ đa thức xác định 𝑛+ hệ số nó, giá trị 𝑛+ điểm khác nhau, hệ số cao
𝑛nghiệm (tính bội) Nói rộng ra, tính hữu hạn đặc trưng quan trọng để phân biệtđại sốvàgiải tích.
Tốc độ tăng số hàm số
Đồ thị hàm số phương thức trực quan quan trọng để nghiên cứu chúng Đối với đồ thị đa thức, có hai cách nhìn chúng: nhìn “hữu hạn” nhìn “vơ hạn”
(2)Đồ thị theo tỷ lệ xích khác Ở hình bên trái ta thấy đồ thị hàm số Ở hình bên phải, nhìn rộng hơn, đồ thị của𝑦=𝑥gần trùng hồn tồn với trục hoành Đồ thị của2𝑥sau thời gian
ở đồ thị của𝑥4đã vượt lên vượt qua giá trị 16. Cách nhìn vơ hạn đồ thị
đa thức hiểu “dáng điệu tiệm cận” đồ thị đa thức Nếu coi đa thức
𝑃(𝑥) =𝑎0𝑥𝑛+𝑎1𝑥𝑛−1+ .+𝑎𝑛
như hàm số theo𝑥, khi𝑥đủ lớn, tỷ số
𝑃(𝑥)
𝑎0𝑥𝑛
sẽ tiến dần tới1 Điều có nghĩa, nhìn đồ thị hàm số𝑦 = 𝑃(𝑥) từ xa ta thấy giống đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑎0𝑥𝑛 (Hãy tưởng tượng khác việc ta nhìn trái đất đứng mặt đất đứng Mặt Trăng) Bài tốn ví dụ điển hình việc vận dụng “tốc độ tăng" hàm đa thức (trong ta cần khảo sát tất hệ số không hệ số cao - chúng phản ánh vào tốc độ tăng đa thức)
Bài toán 2.Cho 𝑃 và𝑄là hai đa thức hệ số thực thỏa mãn tính chất, với mọi giá trị 𝑥 ∈ R, 𝑃(𝑥) ∈ Z khi khi
𝑄(𝑥) ∈ Z Chứng minh rằng𝑃 +𝑄 hoặc
𝑃−𝑄là số.
Ta thử tìm hiểu tính chất hình học của tập hợp số𝑥 cho𝑃(𝑥)là số nguyên Đây nguyên tắc
trong phương pháp tiếp cận hình học Tập hợp vừa nhắc đến rõ ràng hợp rời rạc tập hợp
𝐴𝑃(𝑐) :={𝑥|𝑃(𝑥) =𝑐},
với𝑐chạy tậpZcác số nguyên Về mặt hình học tp𝐴𝑃(𝑐) tập hồnh độ giao điểm đồ thị
𝑦 =𝑃(𝑥)với đường thẳng𝑦 = 𝑐 Giả sử
𝑃(𝑥)có bậc𝑛≥1, với mỗi𝑐cụ thể, đồ thị 𝑦 = 𝑃(𝑥) cắt đường 𝑦 = 𝑐 không quá𝑛điểm Hơn nữa, giá trị tuyệt đối của𝑐 đủ lớn, đồ thị cắt đường
𝑦=𝑐tại khơng q điểm (tùy theo tính chẵn lẻ của𝑛)
Để đơn giản ta giả thiết𝑃(𝑥)có hệ số cao nhất>0và𝑐→+∞, xét giao điểm của𝑦 =𝑃(𝑥) và𝑦 =𝑐
mà có hồnh độ dương Như với mỗi𝑐
đủ lớn, có giao điểm, với hoành độ dương, nghĩa nghiệm dương phương trình
𝑃(𝑥) =𝑐, 𝑐≫0
(3)Điểm mấu chốt vấn đề tốc độ thu hẹp khoảng cách lưới đường thẳng song song với trục tung Mô tả cách cụ thể đại số gia số dãy
𝑥𝑘 :𝑃(𝑥𝑘) =𝑘, 𝑘=𝑁, 𝑁 + 1, ,
với𝑁 ≫ 0nào Ta có: bậc của𝑃
lớn 1, hiệu 𝑥𝑘+1−𝑥𝑘 giảm dần tới
0khi𝑘tiến vô Hơn nữa, tốc độ giảm dãy xác định hoàn toàn đa thức cho, với sai khác số Nói cách khác, với hai đa thức cho, đa thức tiến vô nhanh có dãy điểm𝑥𝑘tương ứng có gia số giảm
nhanh Đó kết luận
toán
Bài toán 3. Giả sử dãy (𝑎𝑛) các số nguyên thỏa mãn (𝑎𝑚 −𝑎𝑛) (𝑚−𝑛) với mọi 𝑚 > 𝑛 > và tồn đa thức 𝑃(𝑥) sao cho|𝑎𝑛|< 𝑃(𝑛)với mọi𝑛∈N Chứng
minh tồn đa thức 𝑄(𝑥) sao cho
𝑎𝑛=𝑄(𝑛)
Bài toán mẫu mực cho việc phối hợp nhiều kiến thức khác (số học, đại số, giải tích) lời giải Ở nhấn mạnh vào phần giải tích-hình học
số ngun cần, ta giả thiết𝑄(𝑥)có hệ số nguyên
Thay chứng minh (bằng quy nạp chẳng hạn) khẳng định với𝑛=𝑁 + 2, , ta chứng minh trước tiên với
𝑛 lớn Sử dụng giả thiết cách xây dựng𝑄(𝑥)ta có với mọi𝑛≫0:
𝑄(𝑛)−𝑎𝑛=𝑄(𝑛)−𝑄(𝑚)−(𝑎𝑛−𝑎𝑚)
.(𝑛−𝑚),
với mọi𝑚= 1,2, , 𝑁+ Từ suy
𝑄(𝑛)−𝑎𝑛 BCNN(𝑛−1, 𝑛−2, , 𝑛−(𝑁+1)),
(*) với mọi𝑛≫0
Ta cần toán phụ số học: Chứng minh khi𝑛tiến vơ thì BCNN(𝑛−1, 𝑛−2, , 𝑛−(𝑁+ 1))có độ lớn tương đương với𝑛𝑁+1, nghĩa là
BCNN(𝑛−1, 𝑛−2, , 𝑛−(𝑁+1))> 𝐶𝑛𝑁+1,
với mọi𝑛 đủ lớn hệ số𝐶 > 0nào đó.
Vế trái của(*)có tốc độ tăng khơng
𝑛𝑁 vế phải có tốc độ tăng𝑛𝑁+1, khi𝑛→ ∞ Từ ta kết luận 𝑄(𝑛) =𝑎𝑛
khi𝑛đủ lớn, ví dụ với mọi𝑛≥𝑀 với số tự nhiên𝑀 cố định
Để chứng minh 𝑄(𝑚) = 𝑎𝑚 với
𝑚= 1,2, , 𝑀−1ta lý luận tương tự:
𝑄(𝑚)−𝑎𝑚=𝑄(𝑚)−𝑄(𝑛)−(𝑎𝑚−𝑎𝑛)
(4)
Ta có ngay𝑄(𝑚)−𝑎𝑚 = 0vì chia hết
cho nhiều số tự nhiên Trong lời giải Bài tốn khơng xét phần “vô hạn” đồ thị đa thức mà kết hợp với việc xét phần “hữu hạn” Phần “hữu hạn” đồ thị đa thức hiểu phần đồ thị đa thức biến số chạy khoảng hữu hạn Khác với thực tế hay khoa học khác, toán học túy, số cố định lại trở nên “nhỏ bé” Tuy nhiên, tính hữu hạn đa thức thể chỗ, toàn đồ thị đa thức xác định hoàn toàn phần hữu hạn
Vấn đề xác định yếu tố phù hợp toán cụ thể Chẳng hạn phương pháp nội suy La-grange cho phép xác định đa thức từ giá trị tại𝑛+ 1điểm, 𝑛
là bậc đa thức Hệ đa thức xác định giá trị vơ hạn điểm
Trên ngơn ngữ đồ thị ta nói, qua
𝑛+ 1điểm mặt phẳng tọa độ, khơng có hai điểm có hồnh độ, ta vẽ đồ thị đa thức bậc không quá𝑛 (nếu cho phép bậc cao có vơ hạn đa thức thỏa mãn) Ta thay đổi cách xác định sau: qua𝑛điểm mặt phẳng tọa độ (với hoành độ khác nhau) tồn đa thức bậc𝑛với hệ số cao cho trước, có đồ thị qua 𝑛 điểm (chứng minh!)
Như ứng dụng đặc biệt ta có: đa thức có 𝑛nghiệm bậc lớn bằng𝑛, hay nói cách khác, đồ thị đa thức cắt trục hoành
𝑛điểm đa thức có bậc là𝑛 Ta phát biểu điều cách trực quan hình học là:nếu đồ thị đa thức càng phức tạp phần hữu hạn (cắt nhiều lần trục hồnh) bậc cao).
Tuy nhiên điều ngược lại, ta biết, không Vì đa thức bậc𝑛 >0 có hơn𝑛nghiệm thực, nên đồ thị cắt trục hồnh hơn𝑛
điểm Kể ta thay trục hoành đường thẳng khơng thể đảm bảo số giao điểm với đồ thị bằng𝑛
Một cách để giải khó khăn xét nghiệm phức Từ quan điểm đại số, việc chuyển từ tập số thực tập số phức đơn giản Nhưng từ quan điểm hình học vấn đề tỏ khó khăn Khi mở rộng tập số thực tập số phức đồ thị ta phải thay hệ tọa độ thực hệ tọa độ phức Tập số thực mơ tả cách hình học đường thẳng, tập số phức mô tả mặt phẳng – mặt phẳng phức Các bạn sinh viên đại học hình dung đồ thị đa thức hệ số phức mặt không gian bốn chiều thực - hai chiều phức Điều khó hình dung giao điểm mặt đồ thị với mặt phẳng phức (nghĩa đồ thị đa thức bậc nhất) tập hữu hạn điểm (chứ đường ta hình dung) tính bội số điểm bậc đa thức
Như vậy, chất, số giao điểm đồ thị đa thức với đường thẳng ln bậc đa thức Tuy nhiên, hệ tọa độ thực - phần thực tranh mà nhìn thấy, số giao điểm Chẳng hạn số giao điểm đồ thị 𝑦 = 𝑥4 với đường thẳng không vượt 2, tương tự số giao điểm đường thẳng với parabol𝑦=𝑥2 Vậy có cách nào
để phân biệt hai đồ thị thông qua việc đếm giao điểm
(5)nên cắt đồ thị 𝑦 = 𝑃(𝑥) tại điểm thứ tư Như ta dùng giao điểm của đồ thị đa thức với đồ thị đa thức bậc cao (thay đồ thị đa thức bậc – đường thẳng) để nghiên cứu tính chất đồ thị
Ý tưởng dùng để giải Bài tốn Sau khảo sát số trường hợp đặc biệt có 3, điểm ta dự đốn,𝑘=𝑛−2 Dễ thấy, với
𝑘 = 𝑛−2 ta ln ví dụ đa thức bậc𝑛−2có đồ thị phân tách
𝑛điểm thích hợp, cách dựng đồ thị qua số𝑛−1điểm cho Để chứng minh rằng𝑘 > 𝑛−3 ta cần ví dụ điểm khơng phân tách đồ thị đa thức bậc≤𝑛−3 Kinh nghiệm cho thấy ta tô màu xen kẽ điểm để đảm bảo đồ thị phải uốn lượn nhiều lần –đồ thị uốn lượn thì càng phải có bậc cao Tuy nhiên điểm phải không đặc biệt (chẳng hạn khơng thẳng hàng, trường hợp ta dùng đồ thị bậc nhất)
Đối lập với điểm “đặc biệt" điểm “tổng quát” Khơng có định nghĩa vạn cho điểm tổng quát, thay đổi
trực quan ta muốn chọn chúng tăng dần theo tung độ không nằm đa thức bậc không bé Chẳng hạn, ta chọn điểm
𝐴𝑖(𝑖, 𝑖𝑛), 𝑖 = 1,2, , 𝑛, tô màu xen kẽ, chứng minh đa thức có đồ thị phân tách chúng phải có bậc≥𝑛−2 Một phương pháp khác cho phép chứng minh 𝑛 điểm nằm đồ thị đa thức bậc𝑛−2, tô màu xen kẽ theo chiều tăng hồnh độ, khơng phân tách đồ thị đa thức bậc≤𝑛−3 Trong phương pháp ta tìm cách xây dựng đủ nhiều nghiệm đa thức có đồ thị phân tách điểm xét, để từ đánh giá bậc Cùng với định lý Bolzano (nếu hàm liên tục nhận giá trị trái dấu hai đầu đoạn [𝑎, 𝑏] có nghiệm đoạn này) ta sử dụng bổ đề thú vị sau:
Bổ đề.Giả sử đa thức 𝑃(𝑥) khác hằng số thỏa mãn𝑃(𝑎)≤0và𝑃(𝑏)≥0,𝑎 < 𝑏, thì tồn tại𝑐∈(𝑎, 𝑏)sao cho𝑃′(𝑐)>0