Tài liệu Toán 11 GIỚI HẠN Hàm số liên tục (Lý thuyết + Bài tập vận dụng) File word

Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đóA. Các ví dụ.[r]

M c l cụ ụ

HÀM SỐ LIÊN TỤC 2

Vấn đề Xét tính liên tục hàm số điểm 2

Vấn đề Xét tính liên tục hàm số tập 8

Vấn đề Chứng minh phương trình có nghiệm 14

HÀM SỐ LIÊN TỤC

 Cho hàm số yf x( ) xác định khoảng K x0K 1) Hàm số yf x( ) liên tục 0

lim ( ) ( )

x x

x f x f x



 

2) Hàm số yf x( ) khơng liên tục x0 ta nói hàm số gián đoạn x0

 yf x( ) liên tục khoảng kiên tục điểm khoảng đó.  yf x( ) liên tục đoạn a b;  liên tục a b;  và

lim ( ) ( )

xa f x f a 

, lim ( )xb f x f( ) 

2 Các định lý bản.

Định lý :

a) Hàm số đa thức liên tục tập R

b) Hàm số phân thức hữu tỉ hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng

Định lý Các hàm số yf x y( ), g x( ) liên tục x0 Khi tổng, hiệu, tích liên tục

tai x0, thương

( ) ( )

f x y

g x 

liên tục g x( ) 00  .

Định lý Cho hàm số f liên tục đoạn a b; 

Nếu f a( )f( ) M số nằm f a( ) , ( )f tồn số ca b;  cho f c( )M

Hệ : Cho hàm số f liên tục đoạn a b; 

Nếu f a f( ) ( ) 0 tồn số ca b;  cho f c( ) 0 Chú ý : Ta phát biểu hệ theo cách khác sau :

Cho hàm số f liên tục đoạn a b;  Nếu f a f( ) ( ) 0 phương trình f x( ) 0 có nghiệm thuộc ( ; )a b

Vấn đề Xét tính liên tục hàm số điểm Phương pháp:

 Tìm giới hạn hàm số yf x( ) x x0 tính f x( )0  Nếu tồn

lim ( )

xx f x

ta so sánh

lim ( )

xx f x

với f x( )0 . Chú ý:

1 Nếu hàm số liên tục x0 trước hết hàm số phải xác định điểm đó

2 0

lim ( ) lim ( ) lim ( )

xx f x  l xx f x xx f x l

3 Hàm số

0

( )

f x x x

y

k x x

 





 liên tục 0

lim ( )

x x

x x f x k



  

4 Hàm số

1

2

( ) ( )

( )

f x x x

f x

f x x x

 





 liên tục điểm xx0 khi

0

1

lim ( ) lim ( ) ( )

xx f x xx f x f x

Chú ý:

 Hàm số

0

( )

f x x x

y

k x x

 





 liên tục xx0 khi

0

lim ( )

xx f x k

 Hàm số

0

( ) ( )

f x x x

y

g x x x

 





 liên tục xx0 khi

0

lim ( ) lim ( )

xx f x xx g x

Các ví dụ

Ví dụ Xét tính liên tục hàm số sau x3

1   27 10 3 x x x x f x x             2  

 2

3

khi

2 3

1

x x x f x x x           

Lời giải :

1 Hàm số xác định 

Ta có 10 (3) f  2

3 3

27 ( 3)( 9)

lim ( ) lim lim

( 3)( 2)

6

x x x

x x x x

f x x x x x             

3 27

lim (3) x x x f x        .

Vậy hàm số không liên tục x3

2 Ta có f(3) 4

2

3

lim ( ) lim( 1)

x  f x x  x 

;

3 3

3 3

lim ( ) lim lim lim ( )

2

2 3

x x x x

x x

f x f x

x                 

Vậy hàm số gián đoạn x3

Ví dụ Xét tính liên tục hàm số sau điểm ra

1

2

1

( )

2

x x f x x       

 điểm x0 1 2

2

2

( ) 1

1

x x

x

f x x

x          

1 Ta có f(1) 2

2

1

lim ( ) lim( 1) (1)

x f x x x   f

Vậy hàm số liên tục điểm x1 2 Ta có f( 1) 1 

1 1

( 1)( 2)

lim ( ) lim lim (2 )

1

x x x

x x

f x x

x

  

     

 

   



1 1

( 1)( 2)

lim ( ) lim lim ( 2) lim ( )

1

x x x x

x x

f x x f x

x

   

       

 

    



Suy không tồn giới hạn hàm số yf x( ) x 1 Vậy hàm số gián đoạn x1

Ví dụ Tìm a để hàm số sau liên tục x2

1  

34 2

2

x

x

f x x

a x

 

 

 

 

 2

 

4

5

khi

8

1

x x

x

f x x

ax x x

  

 

 

   



Lời giải :

1 Ta có f(2)a

3

2 2 3

4

lim ( ) lim lim

2 (4 ) 2 4 4

x x x

x f x

x x x

  



  

  

Hàm số liên tục điểm

1

2 lim ( ) (2)

3

x

x f x f a



    

2 Ta có :

4 2

3

2 2

5 ( 1)( 2)

lim ( ) lim lim

8

x x x

x x x x

f x

x x x

  

  

   

  

  

 

2

lim ( ) lim (2)

x  f x x  ax  x  a f

Hàm số liên tục x 2 lim ( ) lim ( )x2 f x x2 f x f(2)

1

4

2

a a

    

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài Cho hàm số

2

4 ( )

1

4

x

x x

f x

x

 

 

 



 



 Khẳng định sau nhất

A Hàm số liên tục x4

B Hàm số liên tục điểm tập xác định gián đoạn x4 C Hàm số không liên tục x4

D Tất sai

Ta có : 4

2 1

lim ( ) lim lim (4)

4 2

x x x

x

f x f

x x

  



   

 

Hàm số liên tục điểm x4

Bài Cho hàm số

2

2

3

2

( )

3

x x

x

f x x

x x x

  

 



 

   

 Khẳng định sau nhất

A Hàm số liên tục x1 B Hàm số liên tục điểm C Hàm số không liên tục x1 D Tất sai

Lời giải :

1

( 1)( 2)

lim ( ) lim 2

1

x x

x x

f x

x

 

 

   

    



 

 

1 1

lim ( ) lim 3 lim ( )

x  f x x  x  x  x  f x

Hàm số không liên tục x1

Bài Cho hàm số

  cos

1

x

x f x

x x

 

 



  

 Khẳng định sau nhất

A Hàm số liên tục tại x1và x1

B Hàm số liên tục x1, không liên tục điểm x1 C Hàm số không liên tục tại x1và x1

D Tất sai

Lời giải :

Hàm số liên tục x1, không liên tục điểm x1

Bài Chọn giá trị f(0) để hàm số

2 1

( )

( 1)

x f x

x x   



liên tục điểm x0

A.1 B.2 C.3 D.4

Lời giải :

Ta có :  

0 0

2 1

lim ( ) lim lim

( 1) ( 1) 2 1 1

x x x

x x

f x

x x x x x

  

 

  

   

Vậy ta chọn f(0) 1

Bài Chọn giá trị f(0) để hàm số

3 2 8 2

( )

3

x f x

x   

A.1 B.2 C.

2

9 D.

1

Lời giải :

Ta có :

 

 

0 3

2 2

lim ( ) lim

9

3 (2 8) 2

x x

x f x

x x

 

 

 

   

Vậy ta chọn

2 (0)

9

f 

Bài Cho hàm số

2

( ) 1

2

x x

x

f x x

x x

  

  

 

  

 Khẳng định sau nhất

A Hàm số liên tục tại x0 1 B Hàm số liên tục điểm

C Hàm số không liên tục tại x0 1 D Tất sai

Lời giải :

Ta có: f( 1) 1  xlim ( ) 1 f x xlim 2 1 x3 1

2

1 1

2

lim ( ) lim lim

1 ( 1)( 2)

x x x

x x x x

f x

x x x x

  

     

   

 

   

2

lim

2

x

x

x x

  





 

Suy xlim ( ) 1 f x xlim ( ) 1 f x



Vậy hàm số không liên tục x0 1.

Bài Cho hàm số

3

1

( )

2

x x

x

f x x

x

   

 



 

 Khẳng định sau nhất

A Hàm số liên tục x0 0

B Hàm số liên tục điểm gián đoạn x0 0 C Hàm số không liên tục x0 0

D Tất sai

Lời giải :

Ta có: f(0) 2

3

0 0

1 1

lim ( ) lim lim

x x x

x x x

f x

x x

  

 

    

    

 

1

lim (0)

1 1

x x x f

 

    

   

 

Vậy hàm số liên tục x0

Bài Cho hàm số

3 1

1 ( )

1

3

x

x x

f x

x

 

 

 



 



 Khẳng định sau nhất

A Hàm số liên tục x1 B Hàm số liên tục điểm C Hàm số không liên tục tại x1 D Tất sai

Lời giải :

Ta có :

3

3

1 4

1 1

lim ( ) lim lim (1)

1 1

x x x

x

f x f

x x x

  



   

  

Hàm số liên tục điểm x1

Bài Cho hàm số

2

2

2

2

( ) 2

3

x x

x x

f x x

x x x

  

 



 

   



Khẳng định sau A Hàm số liên tục x0 2 B Hàm số liên tục điẻm C Hàm số không liên tục x0 2 D Tất sai

Lời giải :

Ta có : 2

( 1)( 2)

lim ( ) lim

2

x x

x x

f x x

x

 

 

   

    



 

 

2 2

lim ( ) lim lim ( )

x  f x x  x  x  x  f x

Hàm số không liên tục x0 2.

Bài 10 Tìm a để hàm số

 

2

1

x a x

f x

x x x

  



  

 liên tục x0

A.

1

2 B.

1

4 C.0 D.1

Lời giải :

Ta có :

2

0

lim ( ) lim( 1)

x  f x x  x x

0

lim ( ) lim( )

x  f x x  x a  a

Suy hàm số liên tục

1

2

x  a

Bài 11 Tìm a để hàm số

2

4 1

( ) (2 1)

3

x

x

f x ax a x

x

  

 

  

 

 liên tục x0

A.

1

2 B.

1

4 C.

1



D.1

Lời giải :

Ta có : 0  

4 1

lim ( ) lim

2

x x

x f x

x ax a

 

  

 

  

4

lim

2

2 1

x a

ax a x



 



   

Hàm số liên tục

2

0

2

x a

a

    

 .

Bài 12 Tìm a để hàm số

2

3

1 ( )

( 2)

3

x

x x

f x

a x

x x

  

 

 

 

 

 

 liên tục x1

A.

1

2 B.

1

4 C.

3

4 D.1

Lời giải :

Ta có : 1

3

lim ( ) lim

8

x x

x f x

x

 

 

 

 



2

1

( 2)

lim ( ) lim

3

x x

a x a

f x

x

 

 



 



Suy hàm số liên tục

3

1

2

a

x    a

Vấn đề Xét tính liên tục hàm số tập

Phương pháp:Sử dụng định lí tính liên tục hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …

Nếu hàm số cho dạng nhiều cơng thức ta xét tính liên tục khoảng chia điểm chia khoảng

Các ví dụ

1 f x( ) tan 2 xcosx 2

1 ( )

3

x f x

x x

 



 

Lời giải :

1 TXĐ:

\ ,

4

D   k k 

 

 

Vậy hàm số liên tục D

2 Điều kiện xác định:

1

2

3

x x

x

x x

    





 



  

 



Vậy hàm số liên tục 1; 2  2;

Ví dụ Xác định a để hàm số  

   

2 2

khi

2

1

a x

x

f x x

a x x

 

 

  

  

 liên tục .

Lời giải :

Hàm số xác định 

Với x 2 hàm số liên tục Với x 2 hàm số liên tục

Với x2 ta có xlim ( )2 f x xlim(12  a x) 2(1 a)f(2)

2

2

2 2

( 2)

lim ( ) lim lim ( 2)

2

x x x

a x

f x a x a

x

  

  



    

 

Hàm số liên tục  hàm số liên tục x2

2

1

lim ( ) lim ( ) 2(1 ) 1,

2

x  f x x  f x a a a a

 

       

Vậy

1 1,

2

a a

giá trị cần tìm CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP

Bài Cho hàm số

2 ( )

6

x f x

x x

 

  Khẳng định sau nhất.

A Hàm số liên tục 

B TXĐ : D\ 3; 2   Ta có hàm số liên tục x D hàm số gián đoạn

2,

x x

C Hàm số liên tục x2,x3 D Tất sai

Lời giải :

TXĐ : D\ 3; 2   Ta có hàm số liên tục x D hàm số gián đoạn

2,

Bài Cho hàm số

2

( )

f x  x 

Khẳng định sau A Hàm số liên tục 

B Hàm số liên tục điểm

1

; ;

3

x     

   

C TXĐ :

1

; ;

2

D    

   

D Hàm số liên tục điểm

1

;

3

x  

 .

Lời giải :

TXĐ :

1

; ;

3

D     

   

Ta có hàm số liên tục điểm

1

; ;

3

x     

   

1

1

lim ( )

3

x

f x f



 

  

 

 

   

 

hàm số liên tục trái

1

x

1

1

lim ( )

3

x

f x f



 

  

 

 

   

 

hàm số liên tục phải

1

x

Hàm số gián đoạn điểm

1

;

3

x  

 .

Bài Cho hàm số f x( ) sin x3 tan 2x Khẳng định sau A Hàm số liên tục 

B Hàm số liên tục điểm

C TXĐ :

\ ,

2

D   k k 

 

 

D Hàm số gián đoạn điểm x k2,k

 

   

Lời giải :

TXĐ :

\ ,

4

D   k k 

 

 

Ta có hàm số liên tục điểm thuộc D gián đoạn điểm

,

4

x  k k 

Bài Cho hàm số  

2

5

2

2 16

2

x x

khi x

f x x

x khi x

  

 

 

  

 Khẳng định sau nhất.

A Hàm số liên tục 

B Hàm số liên tục điểm

C Hàm số không liên tục 2 : D Hàm số gián đoạn điểm x2

Lời giải :

TXĐ : D\ 2   Với

2

5

2 ( )

2 16

x x

x f x

x

 

   

 hàm số liên tục

 Với x2 f x( ) 2  x hàm số liên tục  Tại x2 ta có : f(2) 0

 

2

lim ( ) lim

x  f x x   x 

;

2

2 2

( 2)( 3)

lim ( ) lim lim ( )

24

2( 2)( 4)

x x x

x x

f x f x

x x x

  

  

 

  

  

Hàm số không liên tục x2

Bài Cho hàm số

3

3

1

1 ( )

1

2

x

x x

f x

x

x x

 

 

 



 





 

 Khẳng định sau nhất.

A Hàm số liên tục 

B Hàm số không liên tục 

C Hàm số không liên tục 1 : D Hàm số gián đoạn điểm x1

Lời giải :

Hàm số xác định với x thuộc 

 Với

1

1 ( )

2

x

x f x

x

 

   

 hàm số liên tục

 Với

3 1

1 ( )

1

x

x f x

x 

   

 hàm số liên tục

 Tại x1 ta có :

2 (1)

3

3

3

1 1

1 ( 1)( 1)

lim ( ) lim lim

3

1 ( 1)( 1)

x x x

x x x

f x

x x x x

  

  

  

  

   

;

2 1

1 2

lim ( ) lim lim ( ) (1)

2

x x x

x

f x f x f

x

  

  

 

   



Hàm số liên tục x1 Vậy hàm số liên tục 

Bài Cho hàm số  

2 3 2

1

1

x x

khi x x

f x

a x

  

 

 





 Khẳng định sau nhất.

A Hàm số liên tục 

B Hàm số không liên tục 

C Hàm số không liên tục 1 : D Hàm số gián đoạn điểm x1

Lời giải :

Hàm số liên tục điểm x1 gián đoạn x1

Bài Cho hàm số

  1

0

x

khi x

f x x

khi x

  

 



 

 Khẳng định sau nhất.

A Hàm số liên tục 

B Hàm số không liên tục 

C Hàm số không liên tục 0; D Hàm số gián đoạn điểm x0

Lời giải :

Hàm số liên tục điểm x0 gián đoạn x0

Bài Cho hàm số

3

2

( ) ( 1)

1

x x

f x x x

x x

  



   



 

 Khẳng định sau nhất.

A Hàm số liên tục 

B Hàm số không liên tục 

C Hàm số không liên tục 2; D Hàm số gián đoạn điểm x2

Lời giải :

Bài Cho hàm số

2

2

( )

3

x x x

f x x x         

 Khẳng định sau nhất.

A Hàm số liên tục 

B Hàm số không liên tục 

C Hàm số không liên tục 2; D Hàm số gián đoạn điểm x1

Lời giải :

Hàm số liên tục điểm x1và gián đoạn x1

Bài 10 Xác định a b, để hàm số

  sin

khi

x x

f x

ax b x

          

 liên tục 

A a b         B 2 a b         C a b         D a b        

Lời giải :

Hàm số liên tục

2 2 a b a b a b                        

Bài 11 Xác định a b, để hàm số

3 3 2

( 2)

( 2)

( )

x x x

x x x x

f x a x

b x               

 liên tục 

A 10 a b      B 11 a b      C 1 a b      D 12 a b     

Lời giải :

Hàm số liên tục

1 a b       

Bài 12 Tìm m để hàm số

3 2 2 1

( ) 1

3

x x

x

f x x

m x

   

 

 

  

A m1 B

4

m

C m2 D m0

Lời giải :

Với x1 ta có

3 2 2 1

( )

1

x x

f x

x

  



 nên hàm số liên tục khoảng \ 1 

Do hàm số liên tục  hàm số liên tục x1

Ta có: f(1) 3 m

1

2

lim ( ) lim

1

x x

x x

f x

x

 

  





 

3

1 3

2 lim

( 1) ( 2)

x

x x

x x x x x



 

 

 

   

    

 

 

2

1 3

2

lim

2 ( 2)

x

x x

x x x x



   

 

  

     

 

Nên hàm số liên tục

4

1 2

3

x  m   m

Vậy

4

m

giá trị cần tìm

Bài 13 Tìm m để hàm số

2

1

( )

2

x

x

f x x

x m x

  

 



   

 liên tục 

A m1 B

1

m

C m2 D m0

Lời giải :

 Với x0 ta có

1

( ) x

f x

x   

nên hàm số liên tục 0;  Với x0 ta có f x( ) 2 x2 3m1 nên hàm số liên tục ( ; 0). Do hàm số liên tục  hàm số liên tục x0

Ta có: f(0) 3 m1

0 0

1 1

lim ( ) lim lim

2 1

x x x

x f x

x x

  

  

 

  

 

 

0

lim ( ) lim 3

x  f x x  x m m

    

Do hàm số liên tục

1

0

2

x  m   m

Vậy

1

m

Bài 14 Tìm m để hàm số

2

( ) 1

2

x x

f x x

x

x mx m

   



 

 

  

 liên tục 

A m1 B

1

m

C m5 D m0

Lời giải :

Với x2 ta có hàm số liên tụC

Để hàm số liên tục  hàm số phải liên tục khoảng  ; 2 liên tục x2

 Hàm số liên tục  ; 2 tam thức

( ) 0,

g x x  mx m   x

TH 1:

2

' 3 17 17

2

(2)

m m

m

g m

      



  



  

 

TH 2:

2

2

3

'

2

'

' ( 2)

m m

m m

m

x m

m

   

     



 

 

   

 

   



3 17

3 17

6

2 2

6

m m

m

 



 

    

 



Nên

3 17

6

2 m



 

(*) g x( ) 0,   x

 lim ( ) limx 2 f x x 2 2x 3

 

   

2

1

lim ( ) lim

6

2

x x

x f x

m

x mx m

 

 



 



  

Hàm số liên tục

3

2

6

x m

m

    

 (thỏa (*))

Vậy m5 giá trị cần tìm

Vấn đề Chứng minh phương trình có nghiệm Phương pháp :

 Để chứng minh phương trình f x( ) 0 có nghiệm D, ta chứng minh hàm số yf x( ) liên tục D có hai số a b D,  cho f a f( ) ( ) 0

 Để chứng minh phương trình f x( ) 0 có k nghiệm D, ta chứng minh hàm số ( )

yf x

liên tục D tồn k khoảng rời ( ;a ai i1) (i=1,2,…,k) nằm D cho f a( ) (i f ai1) 0 .

Ví dụ Chứng minh phương trình sau có nghiệm.

1 x53x 1 2 x32x 4 3 2 x

Lời giải :

1 Xét hàm số

5

( )

f x x  x

hàm liên tục 

Mặt khác: ff( 1) 1, (0) 1ff   ( 1) (0)  1

Nên phương trình f x( ) 0 có nghiệm thuộc 1; 0 Giả sử phương trình có hai nghiệm x x1, 2

Khi đó:    

5

1 2

( ) ( )

f x  f x   x  x  x  x 

  2 

1 1 2 2

A

x x x x x x x x x x

       

            

(1)

Do

2

2 2

1 2 2

1 1

3

2

Ax  x x   x x x   x x  

   

Nên (1) x1 x2

Vậy phương trình ln có nghiệm

2 Điều kiện:

3

x

Phương trình  x32x 3 2 x 0

Xét hàm số

3

( ) 3

f x x  x  x

liên tục

3 ;

2

 

 

 

 

3 19

(0) 3 0, (0)

2

ff    ff     

   

Nên phương trình f x( ) 0 có nghiệm Giả sử phương trình f x( ) 0 có hai nghiệm x x1, Khi đó: f x( )1  f x( ) 02 

 3    

1 2 3 2

x x x x x x

        

  2

1 1 2

1

6

2

3

B

x x x x x x

x x

 

 

      

    

                

1

x x

 

(Vì

2 2

2

1

1

3

2

2 3 2 3 2

x x

B x

x x

 

      

  

 

Ví dụ Chứng minh phương trình sau có nghiệm : 1 x73x5 0 2 x2sinx x cosx 1

Lời giải :

1 Ta có hàm số

7

( )

f x x  x 

liên tục R ff(0) (1)3 0 Suy phương trinh f x( ) 0 có nghiệm thuộc (0;1) 2 Ta có hàm số

2

( ) sin cos

f x x x x x

liên tục R ff(0) ( )   0 Suy phương trinh f x( ) 0 có nghiệm thuộc (0; )

Ví dụ x52x315x214x2 3x2 x có nghiệm phân biệt

Lời giải :

Phương trình cho tương đương với

 2

5 2

2 15 14

x  x  x  x  x  x

5

9 18 12

x x x x x

       (1)

Hàm số

5

( ) 18 12

f x x  x  x  x  x

liên tục 

Ta có:

1 19

( 2) 95 0, ( 1) 0,

2 32

ff   f      

 

(0) 0, (2) 47 0, (10) 7921

ff   f    

Do phương trình f x( ) 0 có nghiệm thuộc khoảng

 2; ,  1; , 1; , 0; , 2;10   

2

   

      

   

Mặt khác f x( ) đa thức bậc nên có tối đa nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài Chứng minh phương trình sau có ba nghiệm phân biệt 1 x3 3x 1 2x6 13  x 3

Bài Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với giá trị m, n 1.    

3

1 2

m x x  x 

1

cosx sinxm

3.m x a x c     n x b x d      0 (a b c d   ). Bài Cho m0 a b c, , ba số thực thoả mãn

0

2

a b c

m m m Chứng minh phương trình ax2 bx c 0 ln có nghiệm Bài Chứng minh phương trình :

2 x5 5x34x 0 có năm nghiệm thuộc khoảng 2; 3

3 a x b x c     b x c x a     c x a x b     0 ; , ,a b c0 có hai nghiệm phân biệt 4 (1 m x2) 5 3x 0 ln có nghiệm với m

5 m2.(x 2)m x(  1) (3 x 2)43x 0 có nghiệm với m

Bài Cho số thực dương m,n,p thỏa mãn:

2 ;

n m mp n 

0

a b c

mnp  Chứng

minh phương trình :

2

( )

f x ax bx c 

ln có nghiệm Bài

1 Cho hàm số f: 0;1    0;1 liên tụC.Chứng minh tồn số thực

0;1

c  

cho f c  c

2 Cho hàm số f:[0;+ )  [0;+ ) liên tục

( )

lim

x

f x L x

   

Chứng minh tồn số c0 cho f c( )c

3 Tìm tất hàm số f :  liên tục x0 thỏa: f(3 )x f x( ) 4 Cho hàm số f : 0;1    0;1 liên tục 0;1 thỏa ff(0) (1)

Chứng minh với số tự nhiên n phương trình

1

( ) ( )

f x f x

n

  

ln có nghiệm thuộc đoạn 0;1

Bài

1 Cho hàm số f liên tục đoạn [a ;b] n điểm x x1; 2; ;xn a b;  Chứng minh rằng

tồn điểm c a b;  cho nf c( )f x( )1 f x( )  f x( )n .

2 Chứng minh tồn số 0    1 cho

cos  tan 1.

Lời giải :

Bài

1 Xét hàm số f x( )x3 3x1, ta có hàm số liên tục R ( 2) ; (0) ; (1) ; (2)

ff  ff   

( 2) (0) , (0) (1) 0, (1) (2)

ff ff ff

       

Suy phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng

( 2; 0),(0;1),(1; 2) .

Mà f(x) đa thức bậc ba nên f(x) có tối đa nghiệm Vậy phương trình cho có ba nghiệm

Xét hàm số

3

( ) (2 3) 216( 1)

f x  x  x

, ta có hàm số liên tục R ( 4) 251, (0) 189, (1) 1, (7) 35

ff  ff   

Suy ra ff( 4) (0) , (0) (1) 0, (1) (7) 0 ff ff  

Suy phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc khoảng

( 4; 0),(0;1),(1;7) .

Mà f(x) đa thức bậc ba nên f(x) có tối đa nghiệm Vậy phương trình cho có ba nghiệm

Bài

1 Ta có hàm số    

( ) 2

f x m x x  x

liên tục R (1) ( 2)

ff    

phương trình có nghiệm thuộc ( 2;1)

2 Điều kiện : x k2,k



  

Xét hàm số f x( ) sin x cosx m sin cosx x,liên tục

0;

  

 

  và

(0) ( )

2

ff   

phương trình f x( ) 0 có nghiệm

0 0;

2

x    x k

 

Do phương trình cho có nghiệm

3 Hàm số f x( )m x a x c     n x b x d     liên tục R        

2

( ) ( )

f a f c n a b a d c b c d     

phuowngt rình cho có nghiệm Bài Đặt f x( )ax2bx c

 c 0 f x( ) 0 có nghiệm x0

 c0 ta có  

1

(0) ;

2

m c

f c f

m m m

   

  

 

 

 

1

(0)

2

m c

ff

m m m

   

   

 

  , suy phương trình f x( ) 0

có nghiệm Bài Gọi f x( ) vế trái phương trình

1 Ta có hàm số yf x( ) liên tục  ff(1) ( 1) 3 0 Nên phương trình có nghiệm thuộc ( 1;1)

2 Ta có hàm số yf x( ) liên tục 

3

( 2) ( ) 0;

2

ff  

3 1

( ) ( 1) 0; ( 1) ( ) 0; ( ) (1) 0; (1) (3)

2 2

ff ff ff ff   

3 Ta có hàm số yf x( ) liên tục và

2

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

f a ff c abc a b b c c a     

Nên ta có điều phải chứng minh

4 Ta có hàm số yf x( ) liên tục và xlim ( ) lim ( ) 0  f x x  f x 

Nên ta có điều phải chứng minh

5 Ta có hàm số yf x( ) liên tục và ff(1) (2) 0 Nên ta có điều phải chứng minh

Bài Ta xét

2

( )n n n

f a b c

m  m  m .

Mặt khác từ :

0

a b c

mnp 

2

2 2

1

( )

m n n m

a b c c

m p

n m n

 

      

 

2 2

2 ( ) ( ) (0)

n pm pm n pm n

m n n

f c f c f

m m pm pm

n pn

  

     

* Xét c0

Nếu a 0 b 0 f x( ) đa thức không, f(x) có nghiệm (0;1)

Nếu a0, từ giả thiết

b n

a m

   

f x( )x ax b(  ) 0

(0;1)

b x

a

  

* Xét c0, ta có:

2

(0) pm n (0)

n

ff f

m pm

  

 

 

   f x( ) có nghiệm (0; ) (0;1) n

x

m

 

Bài

1 Xét hàm số g x  f x  x ,ta có yg x( ) liên tục 0;1 g(0) (1) 0g  nên tồn

0;1 : ( ) ( )

c   g c   f c c

2  Nếu f(0) 0 ta chọn c0.  Nếu f(0) 0 .

Xét hàm số g x( )f x( ) x, ta có hàm g liên tục [0;)và g(0) 0

Vì

( )

lim

x

f x L x

   

nên tồn số a0 cho

( )

1 ( )

f a

g a

a   

(0) ( )

g g a

 

nên tồn số thực c0;a cho g c( ) 0 Hay f c( )c

3 Ta có:

( )

3 3n

x x x

f x ff f    

Cho 3n 0,

x

n    x

Suy ra: f x( )f(0)a,   x Vậy f hàm

4 Xét hàm số

1

( ) ( )

g x f x f x

n

 

   

  , ta có g hàm liên tục

1

0;n

n

  

 

 

Và

1

0

1

(1) (0)

n n

k k

k k k

g ff ff

n n n

 

 

 

      

      

     

      

 

Suy tồn hai số i j, 0,1, ,n 1 cho :

j

i

g g

n n

   

    

   

Hay phương trình :

1

( ) ( ) ( )

g x f x f x

n

    

có nghiệm 0;1 Bài

1 Xét hàm số : g x( )nf x( ) f x( )1  f x( )   f x( )n liên tục [a ;b].

Vì f liên tục đoạn [a ;b] nên tồn giá trị lớn M, nhỏ m tồn

, a b,

    

cho f( ) m f, ( ) M  g( ) ( ) 0 g  

2 Hàm số : f x( ) cos x x liên tục  ff(0) (1) 1(cos1 1) 0  

Suy  0;1 : ( ) 0 f   hay cos 2

Mặt khác hàm số ycosx hàm nghịch biến (0;1), hàm yx2 hàm đồng biến 0;1 nên  số

Hàm số g x( )xtanx liên tục 0;1 ff(0) (1)1(tan 1) 0  , đồng thời hàm số ( )

g x đồng biến (0;1) nên tồn số thực  (0;1) cho tan  0 .

Vì sinxx  x nên

sin

( ) ( )

g          f