Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức аsin2x + bcos2x, ở đó a và b là các số thực.. Thầy Nguyễn Xuân Tranh..[r]
(1)Trung học Cơ sở Yên lạc năm học 0809 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP HỌC SINH LỚP X ĐỀ BÀI Bài 1: Giả sử các cạnh а, b và с tam giác АВС thỏa mãn đẳng thức: а + b = 3c A B Tính ctg ctg , đó А và B – góc đối diện với cạnh а và b tương ứng 2 Bài 2: Trong tứ giác lồi АВСD: BC = 4, АDС = 60, BАD = 90 S ABCD AB CD BC AD Tính độ dài CD Bài Chứng minh giá trị nào x thỏa mãn bất đẳng thức: x 3x 16 x x Bài 4: Giải phương trình: x x 3x Bài 5: Phương trình này có bao nhiêu nghiệm x x cos(x ) ? Bài 6: Tìm tất giá trị tham số a cho hệ phương trình sau có nghiệm x4 y4 a cos( x y ) xy Bài 7: Chứng minh x , thì sinx + tg2x + sin3x + tg4x + < 1,2 Bài Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức аsin2x + bcos2x, đó a và b là các số thực - Thầy Nguyễn Xuân Tranh Lop10.com (2) Trung học Cơ sở Yên lạc năm học 0809 LỜI GIẢI Bài 1: Giả sử các cạnh а, b và с tam giác АВС thỏa mãn đẳng thức: а + b = 3c A B Tính ctg ctg , đó А và B – góc đối diện với cạnh а và b tương ứng 2 Trả lời: Рис Giải: Cách Khảo sát đường tròn bán kính r, nội tiêp tam giác đã cho АВС Nối tâm О với đỉnh А và В tam giác còn tiếp điểm trên các cạnh A’, B’ và С’ (xem hình1) Theo tính tính chất tiếp tuyến ta có AB’ = AC’ = x; BA’ = BC’ = y Khi đó x = р – а; y = p – b, đó p – nửa chu vi tam giác АВС vì АО và ВО – phân giác góc А và В A x B y tương ứng, thì từ tam giác АОС’ và BOC’ nhận ctg ; ctg r r S Vì r , S p ( p a )( p b )( p c) – diện tích tam giác АВС, p S p ( p a )( p b )( p c) ( p a )( p b )( p c) thì r p p2 p A B xy ( p a )( p b ) p p Khi đó ctg ctg 2 r ( p a )( p b )( p c) p c Theo giả thiết, а + b = 3c, a b c A B Bởi , p c suy ra, ctg ctg 2 Cách a b 3c , đó R – bán kính vòng tròn 2R 2R 2R ngoại tiếp tam giác АВС Theo lý thuyết hàm số sin ta có sin A sin B sin C Biến đổi đẳng thức lượng giác dạng: Từ đẳng thức а + b = 3c suy ra, sin A sin B sin( A B ) A B A B A B A B sin cos sin cos 2 2 A B vì sin 0, A B A B nên cos cos 2 Thầy Nguyễn Xuân Tranh Lop10.com (3) Trung học Cơ sở Yên lạc năm học 0809 A B A B A B cos cos 2 A B A B A B sin sin cos cos sin sin 2 2 2 A B A B sin sin cos cos 2 2 A B A B vì sin và sin , đó ctg ctg 2 2 cos Bài 2: Trong tứ giác lồi АВСD: BC = 4, АDС = 60, BАD = 90 S ABCD AB CD BC AD Tính độ dài CD Trả lời: Giải: Giả sử АВСD – tứ giác đã cho (xem hình 2) Lấy điểm đối xứng với đỉnh B qua đường trung trực đoạn AC là B’ Khi đó B’A = BC, CB’ = AB và SAB’C = SABC AB CD BC AD CB'CD B' A AD = 2 CB'CD sin B' CD B' A AD sin B' AD và SAB’CD = B’AD = B’CD = 90 Vì B’AD = BAD = 90, nên tia AB’ и AB trùng nhau, suy ra, В và B’ trùng (xem hình 3) Khi đó ВА = ВС, BAC = BCA và DAC = DCA = 60, thi ADC – suy ra, BAC = BCA = 30, СD = CA = Suy SAB’CD = SABCD = hình hình Thầy Nguyễn Xuân Tranh Lop10.com (4) Trung học Cơ sở Yên lạc năm học 0809 Bài Chứng minh giá trị nào x thỏa mãn bất đẳng thức: x 3x 16 x x Giải: 1) với x = bất đẳng thức đã cho thỏa mãn 1) ta chứng minh bất đẳng thức thỏa mãn với x > Khảo sát tam giác vuông ABC với góc vuông C cạnh AC = 3; BC = (xem hình 4) Trên phân giác góc С lấy điểm D đặt CD = x Theo lý thuyết cosin tam giác ADC và BDC, tuwong ứng ta nhận AD AC CD AC CD cos ACD = x 3x 2 và BD BC CD 2BC CD cos BCD = 16 x x hình theo bất đẳng thức tam giác AD + BD AB, suy x 3x 16 x x , là điều phải chứng minh Bài 4: Giải phương trình: Trả lời: x x 3x 2 2 2 , , 2 Giải: Ta thấy x – là nghiệm phương trình đã cho thì |x| Giả sử x cos t , đó t [ 0; ] , đó phương trình đã cho có dạng cos2 t cos3 t cos t sin t cos 3t vì t [ 0; ] , thi sint 0, thì t ) cos 3t sin t sin 2t 4 4 cos( t n , đó nZ hay t với t [ 0; ] suy ra: t1 , t2 k , với kZ 5 3 và t suy Thầy Nguyễn Xuân Tranh Lop10.com (5) Trung học Cơ sở Yên lạc x1 cos x cos năm học 0809 cos( 4) 1 2 2 1 2 ; cos( 4) 5 1 2 2 ; 1 sin 8 2 x cos 3 Cách khác: Biến đổi phương trình đã cho dạng 16y3 – 24y2 + 10y – = 0, đó y = x2 Bài 5: Phương trình này có bao nhiêu nghiệm Trả lời : năm Giải: x x cos(x ) ? x x cos(x ) x x 0, x x 0, x или x 1,5 cos(x ) 0, x k , k Z x 0,5 k , k Z 2 1,5 x x x x x Vậy nghiệm phương trình đã cho là: –1,5; –0,5; 0,5; 1,5; Bài 6: Tìm tất giá trị tham số a cho hệ phương trình sau có nghiệm x4 y4 a cos( x y ) xy Trả lời: а = Giải: Giả sử (m; n) – là nghiệm hệ phương trình đã thì (n; m) – phải là nghiệm phương trình đó Suy ra, hệ phương trình đã cho có nghiệm thì nghiệm đó có dạng (m; m) m4 a m nên : a 1 m Với а = hệ phương trình đã cho có nghiệm x4 y4 vi x = y = cos( x y ) xy Thầy Nguyễn Xuân Tranh Lop10.com (6) Trung học Cơ sở Yên lạc năm học 0809 Bài 7: Chứng minh x Giải: vì x , thì sinx + tg2x + sin3x + tg4x + < 1,2 , thì tất các số hạng đã cho là các số dương vô hạn và chúng có thể 1 và < tg2x < Giả sử tổng đã cho là S = S1 + S2, đó S1 = sinx + sin3x + ; S2 = tg2x + tg4x + tg x sin x sin x đó S1 = ; S = tg x sin x cos2 x có thể chọn các nhóm, ngoài ta có, < sin2x < vi trên đoạn [0; ] hàm y = sinx đồng biến, còn hàm y = cos2x nghịch biến, thì giá trị lớn S1 đạt với x = sin x 0,5 Suy x , thì S1 = cos x 0,75 Tương tự trên đoạn [0; ] hàm số y = tg2x tăng, còn hàm y = – tg2x giảm, thì giá trị lớn S2 đạt x = tg x 3 Suy x , thi S2 = tg x 2 Vậy x , thì S < < 1,2 6 Bài Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức аsin2x + bcos2x, đó a và b – là các số thực Trả lời: b a , thì b – giá trị lớn , a –là giá trịn nhỏ nhất; b a , thì a – giá trị lớn nhất, b – giá trị nhỏ Cách g ( x ) a sin x b cos x a sin x а cos x (b а ) cos x а (b а ) cos x vì cos2x 1, thì với b a a g (x ) b ; với b a b g (x ) a Cách g (x ) a si n x b cos2 x 0,5a(1 cos 2x ) 0,5b(1 cos 2x ) = 0,5(a b (b a) cos 2x ) vì –1 cos2x 1, thì với b a a g (x ) b ; với b a b g (x ) a Thầy Nguyễn Xuân Tranh Lop10.com (7)