Bất đẳng thức đã được chứng minh..[r]
(1)Bài 1: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2009 – 2010) a) abc3 xyz 3(a+x)(b+y)(c+z) (1)
Lập phương vế (1) ta :
abc + xyz + (abc) xyz +3 abc(xyz)3 (a+x)(b+y)(c+z)
2
3
abc + xyz+ (abc) xyz +3 abc(xyz)
abc+xyz+abz+ayc+ayz+xbc+xyc+xbz
2
3
3 (abc) xyz + abc(xyz) (abz+ayc+ xbc)+ (ayz+xbz+xyc)
(2)
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có :
3
(abz+ayc+ xbc) (abc) xyz (3)
(ayz+xbz+ xyc) abc(xyz) (4)
Cộng hai bất đẳng thức (3) (4) ta bất đẳng thức (2), (1) chứng minh b) Áp dụng BĐT (1) với a = 3+ 3, b = 1, c = 1, x = - 3, y = 1, z = 13
Ta có : abc = + 33, xyz = 3-33, a+ x = 6, b + y = 2, c + z = Từ : 33+ 33 33- 33 36.2.2 3 (đpcm)
Bài 2: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2010 – 2011) Áp dụng BĐT Côsi cho số dương ta có:
2
2 ( )
a b ab ab a b
1 1
( )
4
a b
a b ab a b
(*)
Dấu “=” xảy a = b Áp dụng BĐT (*) ta có:
1 1 1 1 1 1 1
( ) ( )
2x y z 2x y z 2x y z x 2y 2z
(1)
Tương tự ta có:
1 1 1
2 2
x y z y z x
(2)
1 1 1
2 2
x y z z x y
(3) Cộng (1), (2) , (3) ta được:
1 1 1 1 2 1 1
( ) ( )
2x y z x2y z x y 2z 8 xy z2x2y2z 4 xyz
Vậy :
1 1
2x y z x2y z x y 2z
2010 1005
Dấu “=” xảy
1 670 x y z
Vậy MaxP = 1005
2
1 670 x y z
(2)
a) Chứng minh : 2
2
x 2y 3xy y 1 (x, y > 0) Vì x, y > nên x22y2 3 0; xy y 0 Do : 2
2
x 2y 3xy y 1 2xy 2y x 22y23 (x y) 2(y 1) 0
Bất đẳng thức sau nên bất đẳng thức đầu Dấu xảy x = y = 1.
b) Tìm giá trị lớn biểu thức:
2 2 2
1 1
2 3
M
a b b c c a
(a,b,c >0; abc = 1) Áp dung bất đẳng thức câu a) ta có:
2 2
1 1
2
2 3 ab b
a b a b 2 2
1 1
2
2 3 bc c
b c b c 2 2
1 1
2
2 3 ca a
c a c a
1 1
2 1
M
ab b bc c ca a
Do abc = nên:
1 1
1 1
ab b bc c ca a =
1
ca a
abc ac a ca a ca b abc ca =
1
1 1
ca a
ca a ca a ca a =1. Do
1 M
Dấu “=” xảy a = b = c =1 Vậy
1 ax(M) =
2 M
Bài 4: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)
Tìm GTNN biểu thức P 1 xy, biết: x2013y20132x1006 1006y (1)
Ta có:
2
2013 2013 2 1006 1006 2013 2013 4 2012 2012
x y x y x y x y
(2) Mặt khác:
2
2013 2013 4 2013 2013
x y x y
(3) Từ (2) (3) suy ra: 4x2012y20124x2013 2013y
Hay : 4x2012y2012(1 xy) 0 Do P 1 xy Đẳng thức xảy khi: xy 1 x2013 2013y 1(4) Từ (1) (4) ta có:
2013 2013 2013 2013
1
1
x y x
y
x y
.
(3)Bài 5: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2013 – 2014)
CMR:
a b c
b c c a a b
Cách 1:
3 1 1 0
2 2
a b c a b c
b c c a a b b c c a a b
2 2
0
2 2
a b c b a c c a b
b c c a a b
(*)
Vì a, b, c có vai trị Giả sử : a b a c ; a+b b+c .
Suy ra:
2 2 2
0
2 2 2
a b c b a c c a b a b c b a c c a b
b c c a a b a b a b a b
Vậy bất đẳng thức (*) với giá trị dương a, b, c Dấu “=” xảy a = b = c
Nên
a b c
b c c a a b Dấu “=” xảy a = b = c.
Cách 2: Đặt
; y=a+c; z=a+b
a= ; b= ; c=
2 2
x b c
y z x x z y x y z
Ta có :
2
a b c y z x x z y x y z
b c c a a b x y z
1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
y z x z x y y x z x y z
x x y y z z x y x z z y
Mà
2 1
2 2
y x y x
x y x y .
Tương tự : 2 2 1; 2 1
z x y z
x z z y
Nên
3
2 2
a b c y z x x z y x y z
b c c a a b x y z
Hay
a b c
b c c a a b
Dấu “=” xảy : 2 2 ; 2 ; 2
y x z x y z
x y x z z y hay x = y = z a b c . Bài 6: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016) Chứng minh rằngxy y 4
Ta có: x y 3 x y 1
Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương y, x + ta có:
2
1
( 1)
2
x y
xy y y x
.
Dấu “=” xảy
3
1
x y x
y x y
(4)Tìm GTNN biểu thức:
2
3
P
xy y
.
Ta có:
2 4
3 6
xy y xy y
P
xy y
.
Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương kết hợp với a) ta được:
2 ( 1)
2
3 6
xy y y x
P
xy y
2 4
2
3
Dấu “=” xảy khi:
3
1
2
3
6
4
x y y x
x xy
y xy
y y
.
Vậy
4 Min P
khi x1,y
Bài 7: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2015 – 2016)
Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn
1 1
2 2 x1 2 y1 2 z .
Chứng minh
1 64 xyz
Từ giả thiết ta có:
1 1 2
1
1 2 2
y z
x y z y z
Áp dụng BĐT Cauchy :
4
1 2
yz
x y z
(1) Dấu “=” (1) xảy
2
1 2
y z
y z
y z
.
Lập luận tương tự ta có:
1
1 2
zx
y z x
(2), dấu “=” z x ;
1
1 2
xy
z x y
(3), dấu “=” xy
Vì vế (1), (2) (3) không âm nên nhân theo vế ta được: 2
2 2
1
64
(1 )(1 )(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) x y z
x y z x y z
1 64 xyz
Dấu “=” xảy
1 x y z
(5)
Cho m, n số thực thay đổi cho m2n2 (1) Hãy tìm giá trị nhỏ biểu5 thức:Q m n mn (2).1
Từ (2) ta có: 2Q2m n 2mn2
Do đó: 2Q m 2n2 m2n22m2n2mn2
2
1
m n
1 Suy ra:
2
2Q 1 m n 4
(do (1)) Q
Dấu “=” xảy
2
2
1
2
m n
m n
m n m
n
.
Vậy Min Q = -2 m =-2, n =1 m =1, n = -2.
Bài 9: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018)
a) Với
4
3
x
< <
, chứng minh 2( )
4 x
x - x ³ (1).
Với
4
3
x
< <
, (1) Û 3x4- 4x3+ ³1 ( ) ( )
2 2
1
x x x
Û - + + ³
( )2 2
3 (2)
3
x ộờổỗx ửữ ựỳ
- ờỗ + ữữ+ ỳ ỗố ứ
ờ ỳ
ở ỷ .
(2) nên (1) Dấu “=” xảy x= b) Cho a, b, c ba số dương nhỏ
4
3 cho a + b + c =
CMR: 2( ) 2( ) 2( )
1 1
3
3 3 3
Q
a b c b c a c a b
= + + ³
+ - + - +
-Theo giả thiết: a b c 3 3b3c 3 a
Áp dụng bất đẳng thức (1) ta được: 2( ) 2( )
1
3 a
a b+ -c =a - a ³
Tương tự, ta có:
( ) ( )
2
1
;
3 b
b c+ a- =b - b ³ 2( ) 2( )
1
3 c
c a+ -b =c - c ³ .
Do 2( ) 2( ) 2( )
1 1
4 4
Q
a a b b c c
= + +
- - - ³ a b c+ + =3.
(6)Bài 10: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2017 – 2018)
a) Chứng minh:
a a
a b a b
Ta có: ( )
a a
a b a a b
2 a
a ab
2
a a
a b a ab b
b) Chứng minh: 2
a b c
a b b c c a
Từ a) suy
a a a
a b a b a b c (1).
Tương tự ta có : (2); (3)
b b c c
b c a b c c a a b c Cộng (1), (2) (3) theo vế ta :
1
2 2
a b c a b c
a b b c c a a b c a b c a b c .
Bài 11: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019)
Chox y z R, , và x + y + z = Chứng minh rằng 1
2 9xyz 21 x y z
Bất đẳng thức cho tương đương
1 1 1
2 9xyz 21
x y z x y z
1 1
9 21
x y z xy yz zx
x y z
9 18
x y y z z x
xy yz zx
y x z y x z
2 2
9 24(1)
x y y z z x
xy yz zx
xy yz zx
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
2
9 (2)
x y x y
xy xy x y
xy xy
2
9 (3)
y z y z
yz yz y z
yz yz
2
9 (4)
z x z x
zx zx z x
zx zx
Cộng (2), (3) (4) theo vế ta
2 2
9 12 24
x y y z z x
xy yz zx x y z
xy yz zx
(7)Đẳng thức xảy
2 2
9 3
1 1
9
3
9
x y x y
xy
xy xy
y z y z
yz x y z
yz yz x y z
z x z x
zx zx
zx
Bài 12: ( HSG TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2018 – 2019)
Với a, b, c số dương thỏa mãn điều kiệna b c ab bc ca 6abc0. Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2
1 1
P
a b c
Ta có
1 1 1
a b c ab bc ca 6abc
a b c ab bc ca
Theo BĐT Cauchy ta có
2 2 2
1 1 1 1 1 1
, ,
2 a b ab b c bc c a ca
(1)
2 2
1 1 1 1 1
1 , ,
2 a a b b c c
(2) Cộng vế theo vế BĐT (1) (2) ta
2
3 1
6
2 a b c
2 2 2
3 1 1
3
2 a b c a b c
Vậy minP 3 a b c 1
Bài 13: ( CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỈNH PHÚ YÊN NĂM HỌC 2019 – 2020)
Cho a b c, , số thực dương thỏa mãn ab bc ca 1 Chứng minh rằng
2 1 1 1 2
a b b c c a . Dấu “=” xảy nào?
Bất đẳng thức cho tương đương
2 2
2
2 2
1 1
1 1
a b b c c a
a b b c c a
Đặt
2
2 1 1 1
S a b b c c a
(8)
2
2 2
2 2 2 2
2 2
1 1
1 1 1
2 1 1
S a b b c c a
a b b c c a ab b c
ac b a bc c a
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có
b2 1 c2 1 b c2 b2 c2 1 bc 1 6.1
b21 a21 b a2 2a2b2 1 ab1 6.2
a2 1 c2 1 a c2 a2 c2 1 ac 1 6.3
Kết hợp (6.1), (6.2) (6.3) ta
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2
2 2
2 2
S a b b c c a ab bc ac ab bc ac
ab bc ca a b c ab bc ca
ab bc ca a b c ab bc ca
Mặt khác, ta lại có a2b2c2ab bc ca Suy ra
2 3
S ab bc ca ab bc ca Vậy bất đẳng thức (6)
Đẳng thức xảy
2
2
2
2
1 1
1 1
1
1 1
3
1
b c bc
b a ab
a c ca a b c
a b c ab bc ca ab bc ca
Bài 14: ( HSG TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU NĂM HỌC 2008 – 2009)
F = (x2y22 ) (4xy x2y212 4xy 4x2 ) 2y = (x y )2(2x y 1)22.
Ta thấy với x, y F 2 Nên
1
0 3
2
2 1
3 x x y
F
x y
y
.
Bài 15: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2008 – 2009)
a) Hàm số xác định với x y giá trị hàm số phơng trình
y= x +1
x2+x+1 (Èn x tham sè y) cã nghiÖm
y(x2 + x + 1) = x+ y.x2 + (y - 1)x + y - = (1) +) y = th× x = - (cã nghiÖm)
+) y (1) cã nghiÖm 0
(y - 1)2 - 4y(y - 1) (y - 1)(-3y - 1) (2) Giải (2) ta đợc
(9)Khi x = th× y = 1; x = -2 th× y = −1
3
Do max y = y = −1
3 b) Do 2p = nªn a, b, c < 3
+) Ta dễ dàng chứng minh đợc với ba số dơng x, y, z ta có
x + y + z 3
√xyz hay xyz≤(
x+ y+z 3 )
3
(*) áp dụng (*) cho ba số dơng - a; - b; - c ta đợc
(3−a)(3−b)(3−c )≤(3−a+3−b+3−c
3 )
3 =1. 27 - 9(a + b + c) + 3(ab + bc + ca) - abc
abc 3(ab + bc + ca) - 28
Do 3(a2 + b2 + c2) +2abc 3(a2 + b2 + c2) + 6(ab + bc + ca) - 56 = 3(a + b + c)2 - 56 = 52.
Đẳng thøc x¶y a = b = c =
Bài 16: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2009 – 2010)
Ta có với x, y > thì: ( x+y)2 4xy
(*) 1 1
1
y x y
x y x y
x dấu xảy x = y.
Áp dụng bất đẳng thức (*) a+b+c = nên ta có:
1
;
1 ( ) ( )
ab ab ab
c c a c b c a c b
Tương tự ta có:
1
;
1
bc bc
a a b a c
ca ca
b b a b c
1 1
1 1 4
ab bc ca ab bc ab ca bc ca
a b c
c a b c a b c a b
1 1
1
b
ca a
bc c
ab
Dấu xảy a b c
Bài 17: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2012 – 2013)
Cho ba số dương a b, c thoả mãn abc 1 Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1
2 3
a b b c c a
Ta có: a22b2 3 (a2b2) ( b21) 2 ab2b2
Tương tự:b22c2 3 2bc2c2, c22a2 3 2ac2a2
Suy ra:
2 2 2
1 1 1 1
( )
2 3 1
1 1 1
( )
1 1
2 1 1
a b b c c a ab b bc c ac a
ab b a
a ab b
(10)Bài 18: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2016 – 2017)
Ta có
2 2
2 2
3 x y z x y z x y y z x z 0
2 2 2 2
3
x y z x y z
nên với x,y,z>0 ta có
2 2
3
x y z x y z
, áp dụng ta có
1 1 1
3
2 2
2 2 ab a bc b ca c
ab a bc b ca c
-Với x,y>0 ta có
2 1 1
2
4
x y xy x y xy
x y x y
áp dụng ta có
1 1
2 1 ( 1) ( 1)
1 1 1 1
4 ( 1) ( 1) 1
ab a ab a ab abc a ab c a
abc c
ab c a ab c a c a
Vây ta có
1 1
2 1
c
ab a c a
Tương tự ta có
1 1
2 1
a
bc b a b
;
1 1
2 1
b
ca c b c
nên
1 1
3
2 2
1 1
3
4 1 1 1
ab a bc b ca c
c a b
c a a b b c
Vậy
1 1
2
2 2
ab a bc b ca c dấu “=” có a=b=c=1
Bài 19: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2017 – 2018)
Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x y z xyz
Chứng minh rằng:
2
2 1 1
1 1 1 1
y
x z
xyz
x y z
Từ Gt suy ra:
1 1
1 xy yz zx
Nên ta có:
2
1 x 1 1 1 1
x x xy yz zx x y x z
1 1
;" " y z x y z
Vậy
2 1 x
x
1
2 x y z
Tương tụ ta có
2 1 y
y
1
2 x y z
;
2 1 z
z
1
2 x y z
Vậy ta có
2
2 1 1
1 1 1 1
y
x z
x y z
1 1
3 ;" " x y z x y z
(11)Ta có
2 2
3
2
x y x xy yz xx x y y z x z
Nên
2
x y x xy yz xx
xyz2 3xy yz xz 3xy yz xz xyz 1 xyz
xyz x y z
Vậy
2
2 1 1
1 1 1 1
y
x z
xyz
x y z ; " " x y z .
Bài 20: ( HSG TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2018 – 2019)
Áp dụng bất đẳng thức x y 2x y với số x, y khơng âm. Ta có
3 3 3 2
2
P a b b c c a abc ab bc ca bca
2
2 2 2 2
2 2
2 P
ab a b c bc a b c ca c a
ab bc ca a b c
2
2 2
2 2 2 2
2
ab bc ca a b c P ab bc ca a b c
2
8
a b c
P
Dấu “=” xảy ra, chẳng hạn a b c ; ; 2;2;0 Vậy GTLN P 8
Bài 21: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2009 – 2010)
a)P = 3x2 + 11y2 – 2xy – 2x + 6y –
Ta đưa PT bậc với ẩn x : 3x2 – 2x.(y + 1) + 11y2 + 6y – – P = (1)
Để tồn tại nghiệm x PT (1) phải có: ' 32y2 16y 4 3p0
2
2
3 32 16 32 2
4
p y y y
p2. Đẳng thức xảy
1;
4
y x
Vậy P nhỏ –
1;
4
y x b)Dự đoán dấu = xảy a = b = c =
2
2 Từ ta áp dụng BĐT Cơ-Si sau:
Ta có: 3
2 2
2 9 3
bc c b
a c b abc a
; … cộng theo vế biến đổi ta được:
3 3 2
2 1. 1 1
2 2 2 3 3
bc ca ab a b c
a c b b a c c b a a b c abc
(*) Mặt khác: 2
1 1 1 1 1 1 a b c 6
a b c ab bc ca abc
(12)
3 3
2.6 6 2
2 2 2 3 3
bc ca ab abc
a c b b a c c b a abc Dấu = xảy a = b = c = 2 . c)Giả sử tmin , , > ta có:
1 1 1
. 3
x y z x y z
M t t x y z t
y z z x x y y z z x x y x y y z z x
.
Đặt a = x + y; b = y + z; c = z + x ta được:
1 1 3 9 3 3
2 2 2
t t t
M a b c t t
a b c
min
3
min , , min , ,
2
a b c x y z
t M
t t
Bài 22: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2011 – 2012)
Ta có : (x + y + 1)(x2 + y2) +
4 x y
= (x + y + 1)(x2 + y2) - ( x + y) + ( x + y ) +
4 x y
= ( x + y )( x2 + y2 ) + (x2 + y2) - ( x + y) + ( x + y ) +
4 x y
= ( x + y ) (x2 + y2 – 1) + (x2 + y2) + ( x + y ) +
4 x y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương :
x + y 2 xy = ( xy = ) Dấu “ = “ xảy x = y = 1 x2 + y2 2xy = Dấu “ = “ xảy x = y = 1
( x + y ) +
x y Dấu “ = “ xảy (x + y)2 = x = y = 1.
Do : (x + y + 1)(x2 + y2) +
4
x y 2.(2 – 1) + + = Dấu “ = “ xảy x = y = 1.
Bài 23: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2014 – 2015)
Từ giả thiết = x + y + z , ta có : P = 2
x y z
x y z x y z x y z Đặt a = 2x + y + z ; b = x + 2y + z ; c = x + y +2z a , b, c > 0 Ta có : a + b + c = 4( x + y + z) = (a – x) = 4(b – y) = 4(c – z) Từ a + b + c = 4(a – x) x =
3 ( )
4 a b c
Tương tự : y =
3 ( )
4 b c a
; z =
3 ( )
4 c a b
Ta có : P =
3 ( )
4 a b c
a
+
3 ( )
4 b c a
b
+
3 ( )
4 c a b
(13) 4P = ( - b c
a
) + ( - c a
b
) + (3 - a b
c
) = - b a a b
- b c c b
- c a a c
– =
P
Dấu « = » xảy a = b = c =
3 x = y = z = Vậy Pmax =
3
4 x = y = z =
3
Bài 24: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2016 – 2017)
Áp dụng BĐT Cô si cho số dương x yz, ta có:2
x + yz 2 x yz2 2x yz
1 1
2
x yz x yz x yz
Tương tự, ta có:
1 1
y xz y xz
1 1
z xy z xy
Suy ra:
2 2
1 1 1 1
2
x yz y xz z xy x yz y xz z xy
(1)
Ta có:
1 1
x yz y xz z xy =
yz xz xy
xyz
(2) Ta có: yz xz xy x + y + z (3)
Thật vậy: (*) yz xz 2 xy 2x 2y 2z
x y2 z x2 y x2
(BĐT đúng) Dấu “=” xảy x = y = z
Từ (2) (3) suy ra:
1 1
x yz y xz z xy
1 1
x y z
xyz yz xz xy
(4)
Từ (1) (4) suy ra: 2
1 1 1 1
2
x yz y xz z xy xy yz zx
Bài 25: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017 – 2018)
a)Ta có: p + q + r = r = –p – q
Khi đó: apq + bqr + crp = apq – (p + q)(bq + cp) = cp2a c b pq bq2 Do đó: apq + bqr + crp cp2 a c b pq + bq 20 (*)
- Nếu c = a + b2 22ab (vì a + b + c2 22 ab + bc + ca ) a = b Khi đó: (*) bq20 (Bất đẳng thức ln với b 0)
(14)Khi đó: (*)
2
2 2 a c b a c b 2
cp a c b pq + bq cp a c b pq + q q bq
4c 4c
2 2
2 2
2
a c b a c b 4bc a c b
c p pq + q q
c 4c 4c
2 2
2
2 ab + bc + ac a b c a c b
c p q q
2c 4c
Ta có:
2 2
2 ab + bc + ac a b c
.q 4c
(vì a + b + c2 22 ab + bc + ca , c > 0)
2
a c b
c p q
2c
Vậy:
2 2
2
2 ab + bc + ac a b c a c b
c p q q
2c 4c
(đúng với a,b c > 0)
Từ hai trường hợp, ta có được: apq + bqr + crp b)Ta có a, b > a.b = 1; mà a + b2 22ab2
2
M a + b + a + b a + b + a + b a + b
a + b a + b a + b
4 a + b
2 ab 2 2
a + b
Dấu “=” xảy a = b; a, b >
a = b a + b = 4; a.b =
Vậy GTNN M a = b = 1.
Bài 26: ( HSG TỈNH BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2018– 2019)
Đặt P = a b31 b c31 c a31suy 2P = 2a b31 2b c31 2c a31 =
2a b b b 1 2b c c c 1 2c a 1 a a 1
a b b c c a
= ab2bc2ca26 Q 6
Không tính tổng quát, ta giả sử b c a ta có
b a c c b 0 abc b c2 ab2 bc2
ab2bc2ca2 abc b c2 ca2
Do Q
2
2 2 a b a b
abc b c ca 2abc b c ca c a b 4c
2
2
3 4 a b c
4 a b a b 4.3
c
27 2 27 27
Do 2P 10 P Dấu “=” xảy a + b + c = 3, b c a, 2c = a + b, abc = 2abc b = 0, c = 1, a = 2
Bài 27: ( HSG TỈNH BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2018– 2019)
(15)
4 3 4 3
3 3 3 3
3 2 2
P 2x x 2y y 2x 2y 2x 2x y 2y 2xy x y
2x x y 2y x y x y x y x y
x y x y x xy y x xy y
Khi ta có
2 2
2 1
x xy y x y 2xy x y x y x y
2 2
Dấu xẩy
1 x y
2
Vậy giá trị nhỏ biểu thức P
1
2, đạt tại
1 x y
2
Bài 28: ( HSG TĨNH GIA – THANH HÓA NĂM HỌC 2013– 2014)
Ta có : x2xy y 2=
4 (x22.xy y 2)+
4.(x2 2.xy y 2) =
3
4 (x+y)2 +
1
4.(x-y)2
4 (x+y)2 => x2xy y (x+y)
Tương tự : y2yz z
2 (y+z) ; z2zx x (z+x) Cộng vế theo vế ta M 3(x+y+z) =
Vậy M đạt giá trị nhỏ x = y = z =
Bài 29: ( HSG TỈNH DAKLAK NĂM HỌC 2012– 2013)
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 1b2 2b nên:
2
2
1 ( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
1 2
a b a b a ab b
a a a
b b b
1
1
a ab b
a b
Tương tự ta có:
1
1
b bc c
b c
(2)
1
1
c ca a
c a
(3)
Cộng vế theo vế (1), (2) (3) ta được:
2 2
1 1
3
1 1
a b c a b c ab bc ca
b c a
(*)
Mặt khác:
2
3( )
2
(16)Nên (*) 2
1 1 1
3
1 1 1
a b c
b c a
(đpcm)
Dấu "=" xảy a b c
Bài 30: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2016– 2017)
a)
2
2 2
2
2 2
2 2
a ( ) ( )
(x, y >0)
2
a b
a b x y b x y
a b
x y x y x y
a y b x a y b x
a b a b ab
x y x y
2 a y b x
x y
(đúng với x, y > 0)
Vậy:
2
2 a b
a b
x y x y
với x, y > 0.
b) Ta có: Với x > 0, y > với x + y = x = – y y = – x;
2
1 1 (1 )(1 y) y(1 ) x(1 y)
x y x y x y
x y x x y x
Do x > 0, y > 0, Áp dụng Côssi cho số dương:
2
y(1 ) x(1 y) y(1 ) x(1 y)
1 1
2 2 (1)
y(1 ) x(1 y) (1 )(1 )
x y x y
x x
x y
x x y x y xy xy
2
1
2
4 4
2
1
2
2 3
x y
xy xy
xy xy
Do
Từ (1) (2) suy ra: 2
1
x y
x y
Bài 31: ( HSG TỈNH ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2018– 2019)
Ta có:
3 4
1 1 1 4
a b c a b c
b c a a b b c c a
a b c a b c
b c a a b b c c a
(17) 2 2 2
4 4 4
0 0
( ) ( ) ( )
a b a b c b c a c b a b c b c a c a a b b c c a
b a b c b c a c a
Ln a, b, c số dương Dấu xẩy a = b = c
Bài 32: ( HSG TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2009– 2010)
Trước hết, ta chứng minh bất đẳng thức sau:
2
1 a b
ab
a b
(1)
Thật vậy, ta có:
2
2
1 1 a b
ab a b
ab
a b a b
1 2
a ab b a b
1
a ab b
2
1
0
a b
(hiển nhiên)
Tương tự (1), ta có:
2
1 b c
bc
b c
(2)
2
1 c a
ca
c a
(3)
Cộng (1), (2), (3) theo vế, ta có:
2 1 a b b c c a
ab bc ca
a b c
hay
2 1 a b b c c a
ab bc ca
a b c
hay
2 2
a b b c c a
a b c ab bc ca
Bài 33: ( HSG TỈNH HÀ NAM NĂM HỌC 2012– 2013)
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 1b2 2b nên:
2
2
1 ( 1) ( 1)
( 1) ( 1)
1 2
a b a b a ab b
a a a
b b b
1
1
a ab b
a b
(18)
1
1
b bc c
b c
(2)
1
1
c ca a
c a
(3)
Cộng vế theo vế (1), (2) (3) ta được:
2 2
1 1
3
1 1
a b c a b c ab bc ca
b c a
(*)
Mặt khác:
2
3( )
2
a b c ab bc ca ab bc ca a b c
Nên (*) 2
1 1 1
3
1 1 1
a b c
b c a
(đpcm)
Dấu "=" xảy a b c
Bài 34: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2008– 2009)
Áp dụng BĐT Bunhiacopky ta có:
P2 = [x2(y + z) + y2(x + z) + z2(y + x)]2 ≤ (x4 + y4 + z4)[(y + z)2 + (x + z)2 + (y + x)2] Mà: (x4 + y4 + z4)[(y + z)2 + (x + z)2 + (y + x)2] = 6[z2 + x2 + y2 + xy + xz + yz] mà: 6[z2 + x2 + y2 + xy + xz + yz] ≤ 12(z2 + x2 + y2) ≤ 12 3(z + x + y ) = 364 4 P2 ≤ 36 => P
max = x = y = z =
Bài 35: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2010– 2011)
Gọi vế trái bất đẳng thức cần chứng minh P, ta cần chứng minh P
(1) Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho số dương, ta có:
3
3
a b c a (1 b)(1 c)
(1 b)(1 c) 8 64(1 b)(1 c)
3
a b c
a (1 b)(1 c) 8
(2)
Tương tự, ta có:
3
b c a
b (1 c)(1 a) 8
(3) ,
3
c a b
c (1 a)(1 b) 8
(4)
Lấy (2) + (3) + (4) theo vế rút gọn áp dụng tiếp bất đẳng thức Cô si, ta được:
P (a b c)
4
1.3 abc3 P
2
, đpcm (Dấu “=” xảy a b c 1 )
Bài 36: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2012– 2013)
Ta có
2 x4
(x2+y2)(x+ y)=
x4+y4+(x4−y4) (x2+y2)(x + y) =
x4+y4
(x2+y2)(x+ y)+x− y
¿ 2(x
2 +y2)
x + y +x− y≥
1
4(x + y)+x− y= x−
3 y .
Tương tự
2 y4
(y2+z2)( y + z )≥ y−
3 z ,
2 z4
(z2+x2)( z+ x )≥ z−
(19)Vậy 2F ¿
4(x+ y + z)−
4(x + y +z)=
x+ y+ z
2 =
2⇒F≥ Dấu xảy x = y = z =
1
3 Vậy giá trị nhỏ F .
Bài 37: ( HSG TỈNH HÀ TĨNH NĂM HỌC 2014– 2015)
C/M : a2b2 c2d2 (a c )2(b d )2 Dấu xảy khi: a b c d
Áp dụng (1) ta có :
2
2 2 2
4 ( )
1 4
4 4 16
P a a a b
b b
Mặt khác:
9 (1 )(1 )
2
a b
5
2 a b ab
(2)
Mà:
2
2 2
2
1
3( )
4 2 4
2
2
a a
a b
b b a b ab a b
a b
ab
(3)
Từ (1) (3) suy ra: P 2 17 Dấu “=” xảy khi: a=1 b
Vậy: MinP 2 17 Đạt a = b
Bài 38: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2009– 2010)
Đặt
2
( 1)
; x y
a a A a
xy y x a
Ta chứng minh bất đẳng thức (x y 1)2 3(xy y x ) Có:
2
2 2
( 1) 3( ) 2( 1) 6( )
( ) ( 1) ( 1)
x y xy y x x y xy y x
x y x y
Đúng với x; y Đẳng thức xảy x = y =1
( 1)
3
x y
a xy y x
(vì x; y > 0)
Có
1 8 10 10
( )
9 9 3 3
a a a
A a A
a a a
Đẳng thức xảy
3
3
1 a
a x y
a a
Vậy GTNN A
10
3 đạt x y
(20)Từ gt : 2ab6bc2ac7abc a,b,c > Chia hai vế cho abc >
2 c a b
đặt
1 1
, ,
x y z
a b c
, ,
2
x y z
z x y
Khi
4 9 4
2 4
ab ac bc
C
a b a c b c
4
2x y 4x z y z
4
2 (2 )
2
C x y x z y z x y x z y z
x y x z y z
2 2
2
2 17 17
2 x y x z y z
x y x z y z
Khi 1
x ,y z 1
2 C = 7
Vậy GTNN C a = 2; b = 1; c =
Bài 40: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2014– 2015)
Có xyyz zx xyz
1 1
x y z
(1) Ta chứng minh với x, y dương:
2 ( )2
(*)
a b a b
x y x y
(*)
2
2
( ) ( )
a b
x y a b
x y
2 y x 2
a b ab
x y
2
0
y x
a b
x y
đúng; “=”
y x
a b
x y =0 a= x b
y
Áp dụng(*) ta có:
2 2
1 (1 1)
(" " y z: 1)
y z y z y z
2 2
2 (2 2)
(" " ) 2y y z 3y z 3y z y y z y z
2 2
4 (4 4) 64
(" " ) 4x 3y z 4x 3y z 4x 3y z x y z
2 2
64 1
(" " &
4 3x y z 4x2y y z x y z x y z y z x=y=z)
Tương tự:
64
(" " )
4 x y z
x y z x y z
64
(21)1 1
4 3
M
x y z x y z x y z
1 1 1 x y z
( theo (1)) Vậy M đạt GTLN
1
8 x = y = z = 3( theo (1))
Bài 41: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2016– 2017)
Đặt vế trái (1) M.
Ta có: 6a28ab11b2 (2a3 )b 22(a b )2(2a3 )b 2, dấu “=” có a=b Suy : 6a28ab11b2 2a3b > mà a23ab b >0 , a b0
2 2
2
3
2
6 11
a ab b a ab b a b
a ab b .
Ta chứng minh:
2 3 3 2
2
a ab b a b a b
Thật : (*)
2 2
5 (2 )(3 ) ( )
a ab b a b a b a b
(ln đúng) ; Dấu “=” có a=b
Do :
2
2
3
5
6 11
a ab b a b
a ab b
Tương tự:
2
2
b 3bc c 3b 2c 6b 8bc 11c
;
2
2
c 3ca a 3c 2a 6c 8ca 11a
Cộng vế với vế ba BĐT chiều ta được:
3 3
5 5
a b b c c a
M a b c
Ta có: (a b c )2 a2b2c2(2ab2bc2 )ca a2b2c2(a2b2) ( b2c2) ( c2a2) = 3a23b2 3c2 9 Do đó: a b c 3
Vậy M3, dấu đẳng thức có a = b = c = 1.
Bài 42: ( HSG TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2018– 2019)
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
2
3
2
2
( 2) ( 4)
8 ( 2)( 4)
2
2
x x x x x
x x x x
x x
x x x
Tương tự, ta có
2 2
2
3
2
;
6
8
y y z z
y y z z
y z
Từ suy ra:
2 2 2
2 2
3 3
2 2
6 6
8 8
x y z x y z
x x y y z z
x y z
(22)Chứng minh bổ đề: Cho ,x y ,ab ta có: 0
2
2
*
a b
a b
x y x y
Ta có
2
2
2
2
* a y b x a b a y b x x y xy a b ay bx
xy x y
Đẳng thức xảy
a b x y.
Áp dụng bổ đề ta có
2
2 2
2 2 2
2
6 6 12
x y
x y z z
x x y y z z x y x y z z
2
2 2
2( )
( ) 18
x y z
x y z x y z
. Đến đây, ta cần chứng minh:
2
2 2
2( )
1 ( ) 18
x y z
x y z x y z
Do x2y2z2 (x y z ) 18
2
2 18
12
x y z x y z xy yz zx
x y z x y z
Nên 3 2(x y z )2 x2y2z2 (x y z ) 18 x2y2z2 x y z (4)
Mặt khác, x y z, , số dương nên ta có:
2 2 3
3( )
x y z xy yz zx x y z xy yz zx
Nên bất đẳng thức (4)
Từ (1), (2), (3) (4), ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x y z
Bài 43: ( HSG TỈNH HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2016– 2017)
Với x số dương, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
2
3 x x x x
x x x x
2
3
1
(*) x x
Dấu “ =” xảy x =
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được:
3
3 2
3
a 2a
a b c 1 b c b c 2 b c 2a
a a
(23)Suy ra:
3 2
3 2 2 2
3
a 2a a
(1) a b c b c 2a
a b c Tương tự ta có:
3
3 2
3
b b
(2) a b c b a c
3
3 2
3
c c
(3) a b c c a b
Cộng vế với vế ba bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được:
3 3
3 3
3 3
a b c
1 a b c b a c c a b Dấu “=” xảy a = b = c
Bài 44: ( HSG TỈNH HỊA BÌNH NĂM HỌC 2009– 2010)
ViÕt l¹i:
1 15
( ) ( )
16 16 b
A a b
a b
1 a
a
;
1
16
b b
;
15 15 16b 4
VËy
25 A
, DÊu xảy a=1; b=4, KL
Bi 45: ( HSG TỈNH HỊA BÌNH NĂM HỌC 2013– 2014)
Ta có: P 0
Xét hệ
3
2
x y x my
2
2 (6 )
x y x y
x my m y
+ Nếu m 6 hệ có nghiêm
6 12
6 y
m m x
m
Khi P đạt min
6 12
6 y
m m x
m
+ Nếu m 6 đặt x3y , ta có t P t 2 (2t6)2 5t224t36
2 12 36 5( )
5
t
36
5
Đẳng thức xảy
12 t
Khi 36
5 P
đạt
12
5 x y
(có thể chọn
7 ; x y
)
(24)a)Áp dụng bất đẳng thức
1 1 4
x y xy (với x,y > 0)
Ta có:
1 1 1 1
( )
2x+y+z 4 2x yz ;
1 1 1
yz 4y 4z
Suy ra:
1 1 1 1 1
( )
2x+y+z 4 2x 4y 4z (1)
Tương tự:
1 1 1 1 1
( )
x+2y+z 4 4x 2y 4z (2)
1 1 1 1 1
( )
x+y+2z 4 4x 4y 2z (3)
Từ (1),(2),(3)
1 1 1 1 1 1 1
( )
2x+y+z x+2y+z x+y+2z 4 x y z
1 1 1
1 2x+y+z x+2y+z x+y+2z
Dấu "=" xảy
3 x y z
4
b)Áp dụng bất đẳng thức CôSy cho x2011,x2011 2009 số ta có:
2011 2011 2011 2011
x x 1 2011 (x )
2011
2x 2009 2011x
(1)
Tương tự: 2y2011 20092011y2 (2)
2z2011 20092011z2 (3)
Từ (1), (2), (3)
2011 2011 2011
2 2 2(x y z ) 3.2009
x y z
2011
x2 y2 z2 3
Giá trị lớn M x = y = z =
Bài 47: ( HSG TỈNH NGHỆ AN- BẢNG B NĂM HỌC 2010– 2011)
Tìmgiá trị nhỏ 4x+3 A
x 1
Ta có:
2
2
4x+3 x 4x+4
A 1
x 1 x 1
2
(x 2)
A 1 1
x 1
(25)Bài 48: ( HSG HUYỆN NGHĨA ĐÀN TỈNH NGHỆ AN- BẢNG B NĂM HỌC 2011– 2012)
Ta có A = (
a2+
16 a2 )+(b
2
+ 16 b2)+
15 16 (
1 a2+
1 b2) Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: a
2
+ 16 a2≥
1 , b
2
+ 16 b2≥
1 ,
1 a2+
1 b2≥
2 ab=
4 2 ab
Mặt khác ta có: a2+
1 b2≥
4 a2+b2
Từ suy ra: ( a2+
1 b2)≥4(
1 a2+b2+
1
2 ab)≥4
4
a2+b2+2ab= 16
(a+b)2=16 suy ra:
1 a2+
1 b2≥8 Vậy: A ¿
1 2+
1 2+
15 =
17
Bài 49: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2015– 2016)
Cho , ,a b c thỏa mãn0 a b c Chứng minh rằng: 3 2
1 1
3
1 1
a b c
b c a
Sử dụng bất đẳng thức Cơ si
Ta có:
2
2
1
1
1 1
1 2
b a b a
a b ab
a a a
b b b
(1)
Tương tự:
1
1
b c bc
b c
(1)
1
1
c a ca
c a
(3)
Từ (1); (2) (3) suy ra: 2
1 1
3
1 1 2
a b c a b c ab bc ca
b c a
Mặt khác a2b2c2 ab bc ca hay 3(ab bc ca ) a b c 9
Do đó: 2
1 1
3
1 1 2
a b c a b c ab bc ca
b c a
=
3
3
2 6
Vậy 2
1 1
3
1 1
a b c
b c a
Dấu xảy a = b = c =
Bài 50: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2016– 2017)
Ta có
2a b c
P
a b a c b c b a c b c a
1 1 1
a.2 b.2 c.2
a b a c 4 b c b a 4 c b c a
1 1 1 1 1 1 9
a b c
a b a c 4 b c b a 4 c b c a 4
Vậy GTLN P 9 4
a 15
b c .
(26)Bài 51: ( HSG TỈNH NGHỆ AN NĂM HỌC 2018– 2019)
Ta có:
4 4
1 1
(1 ) (1 ) (1 )
P
b c a
a b c
Đặt: , , , , 0,
b c a
x y z x y z xyz
a b c
4 4
1 1
(1 ) (1 ) (1 )
P
x y z
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:
2
2 2
1 1
3 (1 ) (1 ) (1 )
P
x y z
Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:
2
2 2
2
1
1 1
1
x y
xy x
y x xy x y
Tương tự:
(1 ) (1 )( )
x y xy x y
Từ BĐT ta có:
2
1 1
(1x) (1y) 1xy
Dấu xảy x = y = 1
Tương tự: 2
1 1 1
(1z) (1 1) 1z (1z) 1z
2 2
1 1
(1 x) (1 y) (1 z)
1 1 1
1 1 4
z
xy z z z
Ta có:
3 3
, 1
16 16
P P x y z a b c
Vậy giá trị nhỏ P là: 3 16
Bài 52: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2013– 2014)
Cho {
a, b,c>0
a+2b+3c≥10 , chứng minh : a+b +c +4 a3 + 8 b+
1
c≥
13 Sử dụng bất đăng thức Cơsi cho số dương ta có:
a+
a≥2 ⇒
3 4(a+
1
a)≥
3
9 9
2 3
4 4
b b
⇒1
2(b+ 4 b)≥
3 c +
4
c≥2√4=4 ⇒
1 4(c+
4
(27)Cộng vế với vế bất đẳng thức ta có: 4a+
1 2b+
1 c+
3 4 a+
9 8 b+
1
c≥4 (3)
Từ a+2b+3 c≥10 ta có 4a+
1 2b+
3 c=
a+2 b+3 c
4 ≥
5
2 (4) Từ (3) (4) suy a+b +c +
3 4 a+
9 8 b+
1
c≥
13
2 (Đpcm) ( Dấu xảy a=1; b=
3
2; c=2 )
Bài 53: ( HSG TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2014– 2015)
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab ac bc 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2 2
19 3 19 3 19 3
1 1 1
a b c
T
b c a
Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
2 2 2
2 2
2 2
2
3
2 3
9
ab ac bc a b c b a c
a b c
a b c ab ac bc
a b c a b c
2 2 2 2 2
19 19 19 1
16
1 1 1 1 1
a b c a b c a b c
T
b c a b c a b c a
Đặt 2
a b c
A
b c a
2
1 1
1 1
a b c
B
b c a
Ta lại có: a)
2 2
2 2 2
3
1 1 1 2 2
a b c ab bc ca ab bc ac
a b c A a b c
b c a b c a
3 A a b c
(*)
b) 2
1 1
3
1 1
a b c
a b c B a b c
b c a
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
1 1 1
1 1
3
1 1 2
3
2
a ab a b b bc b c c a c c a
b c a
ab b bc c a c a a b c
b c a
a b c B a b c
3
2
a b c
B
(**) Từ (*) (**) ta có:
3
16 16
2 2
a b c A B a b c
(28)
35 39
33
2
T a b c
Vậy giá trị nhỏ T 33 Dấu “=” xảy a b c 1.
Bài 54: ( THI VÀO LỚP 10 TỈNH HƯNG YÊN NĂM HỌC 2016– 2017)
P biểu thức đối xứng nên ta dự đốn minP = m a = b = c =
9 Ta tìm m
Ta có
2
2 5
2
4
a ab b a b a b a b
Dấu “=” xảy a = b Tương tự :
2 2
2 5
2
4
b bc c b c b c b c
Dấu “=” xảy b = c
2 2
2 5
2
4
c ca a c a c a c a
Dấu “=” xảy c = a
Suy
5
2 2
2
P a b c a b c
Lại có
1 1 1 2
2
9 9 9 3
a b c a b c a b c
1 a b c
Dấu “=” xảy a = b = c = 9.
Do
5
5
3
P
P a b c
Vậy minP = .
Bài 55: ( HSG TỈNH KOMTUM NĂM HỌC 2012– 2013)
Ta có , , a b c độ dài ba cạnh tam giác nên:
0; b 0;
a b c a c c a b Từ bất đẳng thức ta có:
2 ( )2 2 2 (1)
a b c a b c bc
2 2 2
( ) (2)
b a c b a c ac
2 ( )2 2 2 (3)
c a b c a b ab
Cộng bất đẳng thức (1), (2) (3) vế theo vế rút gọn ta được:
2 2
2( )
(29)Từ (4) (5) suy ra: a2b2c2 1 (a2b2c2)
Hay
2 2
2
a b c
(đpcm)
Bài 56: ( HSG TỈNH LAI CHÂU NĂM HỌC 2014– 2015)
Do a, b, c độ dài cạnh tam giác nên ta có 0
b c a b c a b c Áp dụng BĐT
1 1 4
(x, y 0) x y x y ta có
1 1 4 2
a b c b c a a b c b c a b
Tương tự,
1 1 2
b c a c a b c
1 1 2
a b c c a b a
Cộng vế với vế BĐT ta
1 1 1 1 1
2 2
a b c b c a c a b a b c
1 1 1 1 1
a b c b c a c a b a b c
(đpcm)
Bài 57: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2014– 2015)
Ta có: ( a b)2 0 nên a b 2 ab với a, b dương Từ giả thiết:
12 16
2P 3(x y) (3x ) (y ) 3.6 2.6 2.4
x y
Nên 2P38 P19 minP = 19 x = 2, y =
Bài 58: ( HSG TỈNH LẠNG SƠN NĂM HỌC 2015– 2016)
Ta chứng minh phương pháp phản chứng: Bài toán phát biểu lại
Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn:
3 ab bc ca
4
Chứng minh rằng:
2 2 2
1 1 1 2
a b 4 c b 4 a c 4 3 Thật vây:
2
2 2
1 2 a b 1
a b 4 3 a b 4 3
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
2 2 2 2
2
2 2 2
( a b ) ( a a b a c
a b
a b 4 (a b 4) a 6
(30)
2 2
2
a a bc 2 a bc
a 6 a 6
Mặt khác ta có
2
2 a bc 1
a 6 3
(đúng) vì5a2 3bc 8 bc 6 bc 43(đúng) Vậy đpcm dấu “ =” xảy
1 a b c
2
Bài 59: ( HSG TỈNH LONG AN NĂM HỌC 2018– 2019)
Chứng minh bất đẳng thức:
2
2 2 a b c
a b c
*
x y z x y z
với a,b,c R x, y,z 0
Với a,b R x, y ta có 0
2
2 a b
a b
**
x y x y
a y b x x y2 xy a b 2 bx ay2 0
(luôn đúng)
Áp dụng bất đẳng thức ** , ta có :
2 2
2 2 a b a b c
a b c c
+
x y z x y z x y z
Vì xy yz zx 673 nên
2 2019 1346 0
x x yz x x xy zx
Tương tự :
2019 0
y y zx
2 2019 0
z z xy
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có :
2 2
2 2
2 2
2 3
2019 2019 2019
2019 2019 2019
1 2019
x x x
x yz y zx z xy
x y z
x x yz y y zx z z xy
x y z
x y z xyz x y z
Ta lại có:
3
3 3
2 2
2 2
3 3
3
x y z xyz x y xy x y z xyz
x y z x y x y z z xy x y z
x y z x y z xy yz zx
Nên:
3 3
2 2 2 2 2
2 2019
3 673
3
x y z xyz x y z
x y z x y z xy yz zx . x y z
x y z x y z xy yz zx xy yz zx x y z
x y z x y z xy yz zx xy yz zx
x y z x y z
(31)
2
2 2
1
2019 2019 2019
x y z
x x x
( dpcm )
x yz y zx z xy x y z x y z x y z
Bài 60: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2011 – 2012)
Áp dụng BĐT ab
2 2 a b ĐK: –x20 Ta có
2 9
y x x 2
Vậy giá trị lớn y 9/2 x= 9 2
Bài 61: ( HSG TỈNH NINH BÌNH NĂM HỌC 2014 – 2015)
Cho ba số thực không âm x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3.Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = √2x2+3 xy+2 y2+√2 y2+3 yz+2z2+√2 z2+3 zx+2 x2
A = √2( x+ y )2−xy+√2( y+z)2−yz+√2( z+ x)2−zx Ta có: 2(x + y)2 – xy ≥ 2(x + y)2 -
(x+ y )2 =
7
4 (x + y)2
=> √2x2+3 xy+2 y2 ≥
√7
2 (x + y) dấu “=” xảy x = y
Tương tự: √2 y2+3 yz+2 z2 ≥
√7
2 (y + z) dấu “=” xảy y = z
√2z2+3 zx+2 x2 ≥
√7
2 (z + x) dấu “=” xảy z = x
A = √2x2+3 xy+2 y2+√2 y2+3 yz+2z2+√2 z2+3 zx+2 x2 ≥ √7 (x + y + z) = √7
Vậy minA = √7 x = y = z =
Bài 62: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2008 – 2009)
a) Ta có
P x y z xyz
x y xy x y z xyz
3 3
3 3
3
3
x y z xy x y xyz
x y z x y z x y z xy x y z
3 3
2 2
3
3
x y z x y z x y z xy x y z x y z xy yz zx
2
2 2
3
x y z x y y z z x
2 2
1
0
(32)Suy P x 3y3 z3 3xyz0 x3y3z3 3xyz b) Từ
2 2
m n 2mn m n 0
giả thiết suy m2n22mn 1
Do
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
15 m n
m n m n m n m n
P
m n m n 16m n m n 16m n
áp dụng BĐT a b 2 ab với a, b không âm, đấu đẳng thức có a = b, ta có 15 17
P
2 4
KÕt luËn: 17 P
4
, đạt đợc
1 m n
2
Bài 63: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2009 – 2010)
Trớc tiên ta chứng minh bất đẳng thức: Với a, b, c R x, y, z > ta có
2
2 2 a b c
a b c
x y z x y z
(*)
DÊu “=” x¶y
a b c x y z
ThËt vËy, víi a, b R vµ x, y > ta cã
2
2 a b
a b
x y x y
(**)
2
2
a y b x x y xy a b
2 bx ay
(luôn đúng) Dấu “=” xảy
a b x y
áp dụng bất đẳng thức (**) ta có
2 2
2 2 a b a b c
a b c c
x y z x y z x y z
DÊu “=” x¶y
a b c x y z áp dụng bất đẳng thức (*) ta có
2010 2010 2010
x y z
VT
x yz y zx z xy
2 2
2 2010 2010 2010
x y z
x x yz y y zx z z xy
2 3 3 2010
x y z
x y z xyz x y z
(1)
Chó ý:
2 2010
x x yz
=
2 1340 0
x x xy zx
,
2 2010 0
y y zx vµ
2010 0
z z xy
Chøng minh:
3 3 3 2
(33)
3
x y z x y z xy yz zx
(2)
Do đó:
3 3 3 2010
x y z xyz x y z
2
3 2010
x y z x y z xy yz zx
=
3 x y z
(3) Tõ (1) vµ (3) ta suy
2
1 x y z
VT
x y z x y z
DÊu “=” x¶y x = y = z =
2010
Bài 64: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2012 – 2013)
Dự đoán a = b = c tách mẫu để a + c = b + c = 2b
Tacó áp dụng BĐT
(x+ y+z )(1 x+
1 y+
1
z)≥9 ⇔ 1 x+ y+z≤
1 9(
1 x+
1 y+
1 z)
1 1 1 1
(1)
3 2 ( ) ( ) 2 9 2 9 2
ab ab ab ab ab a
a b c a c b c b a c b c b a c b c
Tư
ơng tự
1 1 1 1
(2)
2 3 ( ) ( ) 2 9 2 9 2
1 1 1 1
(2)
3 2 ( ) ( ) 2 9 2 9 2
bc bc bc bc bc b
a b c a b a c c a c b c b a b b c
ac ac ac ac ac c
a b c a b b c a a b b c a a b b c
Từ (1) (2) (3)
P≤1 9(
ac+ bc a+ b +
ab+ac b+c +
bc+ab a+c +
a+b+c 2 )=
a+b+ c 6
Dấu “=” xảy a = b = c
Bài 65: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2013 – 2014)
Chứng minh được: 2x2y2z22x y z
Tương tự ta có 2y2z2x2 2y z x , 2z2x2y2 2z x y Do ta chứng minh
2
4 4
x y z y z x z x y
xyz
yz zx xy
.
Bất đẳng thức tương đương với
1
4 4
y z z x x y
yz yz zx zx xy xy
Ta có
2
4 2 2 2 2 2
yz y z
yz yz yz yz yz yz yz yz
(34) 2
0 2 yz yz xy 1
nên
1
2 yz yz 2 yz yz
Vậy nên
1
4 2
y z
yz yz yz
, tương tự có
1
4 2
z x
zx zx zx
và
1
4 2
x y
xy xy xy
Do
1 1
4 4 2
y z z x x y
yz yz zx zx xy xy xy yz zx
.
Với a, b, c>0 có
1 1
3 a b b c c a 2
a b c
a b c b a c b a c
nên
1 1
a b c a b c (*)
Áp dụng (*) ta có
1 1
1 2 xy 2 yz 2 zx 6 xy yz zx ;
(Vì 2
x y y z z x
xy yz zx x y z )
Vậy
1
4 4
y z z x x y
yz yz zx zx xy xy
Do ta có
2 2 2 2 2
2 2
4
4 4
x y z y z x z x y
xyz
yz zx xy
Đẳng thức xảy x y z
Bài 66: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2014 – 2015)
A=3x
√yz+ y
√xz+ z
√xy= x√3 x
√xyz+ y3√y
√xyz+ z3√z
√xyz Ta có 3=x2+y2+z2≥33√x2y2z2⇔xyz≤1 Nên A≥x√3 x+ y√3 y+z√3z
Áp dụng BĐT Bunhia cho dãy dãy : 3√x2;3√y2;√3 z2 Dãy : 3√x;√3 y;3√z
(x3√x + y3√y +z3√z)(3√x2+√3 y2+√3 z2)≥(x+ y +z)2≥3(xy + yz+xz) (*)
Ấp dụng Côsi
√x2 1≤x 2+1+1
3 ;
√y2.1 1≤y 2+1+1
3 ;
√z2 1≤z 2+1+1
3 Nên
3
√x2.+3√y2+3√z2≤x
+y2+z2+6
3 =3
(35)A≥x√3 x+ y√3 y+z√3 z≥xy+ yz+xz
Hay x
√yz+ y
√xz+ z
√xy≥xy+ yz+xz
Dấu “=” xảy
x2= y2=z2=1
3
√ x =√3 y =√3 z x2
+ y2+ z2=3
⇔ x = y = z =1
¿
{¿ {¿ ¿ ¿
¿
Cách khác
√yz 1≤y +z+1
3 ;
√xz 1≤x+z+1
3 ;
√yx 1≤y+x+1
3 Nên
A=x3
√yz + y
√xz+ z
√xy≥3( x
y +z +1+ y
x+ z+1+ z
y+x +1)=3( x2
xy +xz+ x+ y2
xy + yz+ y+ z2
yz+ xz+z )=B B≥3( x + y +z )
2
2( xy + yz+xz )+x + y +z≥
3 (x + y +z )2
2( xy + yz+xz )+x2+y2+z2=
3( x+ y+ z )2
(x + y +z )2 =3≥xy + yz+xz do :( x + y +z )2≤3( x2+y2+z2)=9 ⇒ x + y +z≤3=x2+y2+z2;
xy + yz+xz≤x2+y2+z2=3
Bài 67: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2015 – 2016)
Ta có ( a+b a−b+1)(
b+c b−c+1)(
c +a
c−a+1)=( a+b a−b−1)(
b+c b−c−1)(
c +a c−a−1) ⇔ a+b a−b b+c b−c+ b+c b−c c +a c−a+ c +a c−a a+b a−b=−1
Khi (
a+b a−b+ b+c b−c+ c+a c−a) ≥0
⇔(a+b a−b)
2
+(b+c b−c)
2
+(c+a c−a)
2
≥−2 a+b
a−b b+c b−c+ b+c b−c c +a c−a+ c +a c−a a+b a−b=2 Suy
2.( a2+b2 (a−b)2+
b2+c2
(b−c )2+
c2+a2
(c−a )2)=
(a+b )2+(a−b )2 (a−b )2 +
(b+c )2+(b−c )2 (b−c )2 +
(c +a)2+(c−a)2 (c−a )2 =(a+b
a−b)
+(b+c b−c)
2
+(c+a c−a)
2
+3≥2+3=5 ⇒ ( a2+b2 (a−b )2+
b2+c2
(b−c )2+
c2+a2
(c−a)2)≥
(1)
Mặt khác ( a b−c+1)(
b
c−a+1)( c
a−b+1)=( a
b−c−1)( b
c−a−1)( c a−b−1) ⇔ a b−c b c−a+ b c−a c a−b+ c a−b a b−c=−1
Khi (
a b−c+ b c−a+ c a−b) ≥0
⇔( a b−c)
2 +( b
c−a)
+( c a−b)
2
≥−2 a
b−c b c−a+ b c−a c a−b+ c a−b a
(36)
(a2+b2+c2)( (a−b)2+
1 (b−c )2+
1 (c−a )2) =( a
2+b2
(a−b )2+
b2+c2 (b−c )2+
c2+a2
(c−a )2) +(
a b−c)
2 +( b
c−a)
+( c a−b) ≥5 2+2= 9 2 .
Dấu “=” xảy
⇔
a + b a −b +
b + c b− c +
c + a
c −a=0 a
b −c + b c − a+
c
a −b=0
⇒( a + b + c )(a −b1 +
b− c +
1
c −a )=0
¿ ¿{¿ ¿ ¿ Chẳng hạn a=0,b=1,c=−1
Bài 68: ( HSG TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2017 – 2018)
Giả sử a b c t đặt a tx b ty c tz ; ; x y z 1
Ta chứng minh
2 2 2
3 3
9 t x y t y z t z x t x y z
t x xy t y yz t z zx
2
3 3
9 x y y z z x x xy y yz z zx
4 4 4
9
1 1
x x y y y z z z x
x x y y y z z z x z x x y y z
2 2
5 5
x y y
x x y y z z
Vì a b c, , ba cạnh tam giác nên
1 , , 0;
2 a b c x y z
Ta có:
2
2
5
18 3
x
x x x
x x
1 0;
2 x 2
2
5
18 3
y
y y y
y y
1 0;
2 y 2
2
5
18 3
z
z z z
z z
1 0;
2 z
Suy 2
5 5
18
x y y
x y z x x y y z z
2
5 5
x y y
x x y y z z
Bài 69: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2013 – 2014)
Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn
1 1
1 (*) abc . Chứng minh rằng:
1
1 1 1
8
a b c a b c
.(*)
1 1 1
1 1 1
c a b
c 1 a 1 b 1
c a b
Từ a b c , , 0
1 1 1 1
(37)Ta có:
1 1
1 1 1
2 a b
c a b
c a b ab
(1) Tương tự :
1 1
1 1 1
2 c a
b c a
b c a ca
(2)
1 1
1 1 1
2 b c
a b c
a b c bc
(3) Từ (1), (2) (3) suy :
1 1 1 1 1 1
( 1) ( 1) ( 1)
2 a b .2 c a .2 b c
c b a
c b a ab ca bc
a 1 b 1 c 1 8a 1 b 1 c 1
1 1 1 1 1 1 1
8
a b c a b c
(đpcm)
Bài 70: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2015 – 2016)
Trước hết ta chứng minh với a 0
2 2
1 (*) ab ab a
Thật vậy:
2 2 2
(*) a 2abb a a ab b 2ab a ab
a b 1 0
(do a > 0)
Từ (*)
1 a 1
a b a b
Tương tự: 2
1 b 1
b a b a
Cộng vế theo vế ta được: 2
1 1 2
(1)
( )
a b M
a b b a a b
Ta chứng minh với a b, 0 thỏa mãn a b 2 2
1 (2)
( )
a b a b
Thật vậy:
2
(2) (ab) (ab) 2 (a b 1)(a b 2)0 (do a b 2) Từ (1) (2) suy M 1
Dấu ‘=’ xãy a b 1
Vậy giá trị lớn M a b 1
Bài 71: ( HSG TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2018 – 2019)
(38)
x y z xyz
xy x y yz y z zx z x xyz xy yz zx x y z
x y y z z x x y z x
1 1
1 x y z
Đặt
1 1
a ;b ;c
x y z
ta a b c 1 .
Ta có
1 a b c
x ;y ;z
a b c
Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành
1 a b 1 b c 1 c a
1 a b c 6 2
a b c ab bc ca
Hay
b c c a c a a b a b b c
b c c a a b 6 2
a b c ab bc ca
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta
b c c a b c c a c c
2
ab b a b a
Tương tự ta có
c a a b a a
2
bc c b
a b b c b b
2
ca a c
Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta thu
b c c a c a a b a b b c b c c a a b
2
ab bc ca a b c
Do bất đẳng thức cho chứng minh Dấu đẳng thức xẩy
1 a b c
3
hay x y z 2
Bài 72: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2012 – 2013)
Với a, b > ta có:
(a – b)2(a + b) ≥ ⇔ a3 ≥ ab(a + b) - b3 ⇔
a3
b ≥ a(a + b) – b2 = a2 + ab – b2
Tương tự ta có BĐT cộng chúng lại ta suy đpcm
Bài 73: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013 – 2014)
Ta có :
2 2 2
a b c 1 a 1 b c 1
1 a 1 1 a 0
Tương tự : 1 b 0; c 0
(1 + a)(1 + b) (1 + c) ≥
+ a + b + c + ab + ac + bc + abc ≥ (1)
(39)= (a2 + b2 + c2) + (a2 + b2 + c2) + 2a + 2b + 2c + 2ab + 2ab + 2bc = 2(a2 + b2 + c2 + a + b + c + ab + ac + bc)
a2 + b2 + c2 + a + b + c + ab + ac + bc = 1
2(1 + a + b + c)2 ≥ (2) Cộng (1) (2) vế theo vế ta :
abc + a2 + b2 + c2 + + 2a + 2b + 2c + 2ab + 2ab + 2bc ≥ 0 abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥
Bài 74: ( HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2017 – 2018)
Vì a,b,c có vai trị 1a b c, , nên giả sử ≥ a ≥b ≥ c ≥ 12 Khi đó: (b-a)(b-c) ≤
b2 +ac ≤ ab+bc (*)
a b a
b c c ( chia vế (*) cho bc)
và
b c c
a b a ( chia vế (*) cho ab)
2( )
a b b c a c a c
bc a b c a c a
Để chứng minh (1) ta tiếp tục chứng minh 2( ) a c c a
5
a c
c a (2)
Ta có: ≥ a ≥ c ≥ a x
c
(2) x+
x
5
2 2x25x+2 (x2)(2x1) ( 1 x (2) chứng minh (1) chứng minh
Dấu “=”xảy a = 2, b = c = a = b = 2, c = hốn vị
Bài 75: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2008 – 2009)
Ta có M = x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2)
= x2 − xy + y2 (vì x + y = 1)
=
2 2
x y x y
( xy )
2 2 2 2 = 1
2 (x2 + y2) +
2
x y
( )
2 2 M
1
2 (x2+y2)
Ngoài x + y =1 x2 + y2 + 2xy = 2(x2 + y2)−(x − y)2 = 1
2(x2 + y2) 1 (x2 + y2)
1
2 dấu xảy x = y = 1 2 M
1 2
1 2 =
1
4 dấu xảy x = y = 1 2 Vậy giá trị nhỏ M
1
4 , đạt x = y = 1 2
(40)Ta có :
1 1
1
1 1 1 (1 )(1 )
b c bc
a b c b c b c
Tương tự :
1
2 ,
1 (1 )(1 ) (1 )(1 )
ca ab
b c a c a b
Nhân bất đẳng thức vừa nhận ta có :
1 1
1 1 (1 )(1 )(1 )
abc
a b c a b c
Hay : abc
Dấu = xãy a = b = c =
2 Vậy maxQ =
Bài 77: ( HSG TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2016 – 2017)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
2
2 a a
a b c a b c
b c a b c
Chứng minh tương tự ta được
2
;
b b c c
c a a b c a b a b c Suy
2
2 a b c
a b c
b c c a a b a b c
Dấu xảy
0 a b c
b c a a b c
c a b
(Trái với giả thiết) Vậy dấu = không xảy suy đpcm.
Bài 78: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2005 – 2006)
Ta cã: 21a+(3/a) =(3/a) + a/3 + 62a/3 √ 3 a.
a
3 + (62.3/3) = 64 (1) a DÊu b»ng x¶y <=> (3/a) = a/3 vµ a = <=> a =
L¹i cã: (21/b) + 3b =(21/b) + 7b/3 + 2b/3 √ 21
b . 7 b
3 + (2.3/3) = 16 (2) b DÊu b»ng x¶y <=> (21/b) = 7b/3 vµ b = <=> b =
Từ (1) (2) suy BĐT cần chứng minh Dấu xảy <=> a = b =
Cách giải khác:
Trớc hÕt chøng minh B§T: (21/b) + (3b) 16 (*) víi b Víi b th× (*) <=> 3b2 - 16b + 21 <=> (b - 3)(3b - 7) 0.
Do b nên (b - 3) (3b - 7) 3.3 - = => (b - 3)(3b - 7) DÊu b»ng x¶y <=> b =
Tơng tự, chứng minh đợc: 21a + (3/a) 64 với a (<=> (a-3)(21a-1) 0) Dấu xảy <=> a = Từ suy điều phải chứng minh
Bài 79: ( HSG TỈNH QUẢNG NINH NĂM HỌC 2013 – 2014)
2
2
1 1
a b
a b a b
(41)Có
2
1 1 1
2 2
a b a b ab
b a b a ab
Có
2
1 1
2 16 15 2 16 15
2 a b
ab ab ab ab
ab ab ab
Vậy
1 25
2 ab
ab
hay
2
1 25
2
a b
b a
Có 2 2
1 1
8a 8a 8b 8b 16
a b a b
3
2
1
3 8a a 8b b 16
a b
= Vậy có T
25 41
8
2 2
Dấu “ = “ xảy a = b =
Vậy giá trị nhỏ T 41
2 đạt tại a = b =
2
Bài 80: ( HSG TP QUY NHƠN NĂM HỌC 2013 – 2014)
Đặt x = + a => y = 1- a => x5 + y5 = (1+a)5 + (1-a)5 = 10a4 + 20a2 + ≥ ( a4 ≥ 0; a2 ≥ với
mọi a)
=> x5 + y5 ≥ Dấu “=” xãy a = x = y =
Bài 81: ( HSG TỈNH THÁI BÌNH NĂM HỌC 2012 – 2013)
Cho đa thức P(x) = ax2 + bx+ c Biết P(x) > với x thuộc R a > 0. Chứng minh rằng:
5
1 (1)
a b c
a b c
Từ giả thiết P(x) > với x thuộc R a > suy b c
a Vì P(x) > với x thuộc R nên P(-1)>0
Suy a – b + c > Vậy
5
1
a b c
a b c a b c a c b
a b c
Ta có
2
4
4 b
a c a
a
Áp dụng BĐT Cơsi ta có
2 b
4a b 2b
4a
4
a c b Vậy (1)
(42)Dễ thấy a 0 ta có
2
6 a 1
(a 1) (a 1)(a a 1) .(a a a) a
2
a 1 1
2( ) 2(a ) suy ra
a a
a >
6
1
a 2 a 1 4 a 2 3
a
Dấu sảy a = (loại) Vậy a6 > Mặt khác ta có + a3 = a5 + a
3
2 1
1 a 2
a a
( a 1) Nên có a 3 < suy a6 < Nên có < a6 < 4
Ta có 2(a2b2) ( a b )2
Suy
2 2 2
2 2 2
2 2
a b c a b c
b c c a a b b c c a c a
Đặt x b2c2, y c2a z2, a2b2,
suy
2 2 2 2 2
2 2 2
y z x z x y x y z
VT
x y z
2 2
1 ( ) ( ) ( )
2 2
2
y z z x x y
x y z
x y z
2 2
1 ( ) ( ) ( )
2 3
2 2
2
y z z x x y
x x y y z z
x y z
1
2( ) 2( ) 2(
2 y z x z x y x y z
Suy
1 2011
( )
2 2
VT x y z
Bài 83: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2010 – 2011) Bài 84: ( HSG TỈNH THANH HĨA NĂM HỌC 2013 – 2014)
Ta có:
1 2xy
1 1
B
xy 3xy xy xy(1 3xy) (x y) 3xy(x y)
.
Theo Côsi:
2 (x y) 1 xy
4
Gọi Bo giá trị B, đó, x, y để: o
1 2xy B
xy(1 3xy)
3Bo(xy)2 – (2 + Bo)xy + = (1)
Để tồn tại x, y (1) phải có nghiệm xy = Bo2 – 8Bo + o o
B B
(43)Với o
o
o
2 B 3 3 3 3
B xy x(1 x)
6B 6 2 3 6 2 3
2
2 3
1 1
3
x , x
3
x x
3
6 2
Vậy, Bmin 4 3, đạt
2 3
1 1
3
x , y
2
2 3
1 1
3
x , y
2
Bài 85: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2014 – 2015)
Từ:
2 2
2 2
( )( ) 2( )
2 a b c a b 6 c a b a ab b a b
b a b a a b ab
ta có:
2 2
2
2
( )( ) 2( ) ( ) ( )
2 c a b a ab b a b c a b c a b
a b ab
a b ab ab ab
Lại có
2
2 2 ( )
( ) ( ) ( )
(2 ) (2 ) (2 ) (2 ) ( ) ( )
c a b
bc ac bc ac bc ac
a b c b a c abc b c abc a c abc a b c abc a b c
và
2
( )
( )
3
ab bc ca abc a b c ab bc bc ca ab ca
2 ( )
3 ( )
( )
(2 ) (2 ) 2 1
c a b
bc ac c a b ab
c a b
a b c b a c ab bc ca
ab
Đặt
2
( )
2(1 )
c a b t
t P
ab t t
(với 0 t 2).
Có
2
2 2
3 4 8 32 24
2(1 ) 2(1 ) 3 (1 )
t t t t t
t t t t t t
2
( 2)( 22 12)
6 (1 )
t t t
t t
mà
2
2
( 2)( 22 12) ( 2)( 22 12) 8
0 (0; 2] (0; 2]
6 (1 ) (1 ) 3
t t t t t t
t t
t t t t
.
(44)Vậy giá trị nhỏ P
3 a b c
Bài 86: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2016 – 2017)
Tìm GTNN
Khơng tính tổng qt, ta giả sử a b c Khi :
5 ( 1)(2 ) (*)
3
a b c a a a a
Mặt khác, 0b c, 2 nên
( 2)( 2) 2( )
2(5 ) (**)
b c
bc b c
bc a a
Do
2
2 Theo (**)
3 2 ( 2)
A a b c a b c bc a a a
A a a a a a a a
vì
2
2
3 (3 ) 3 3 ( 1)(2 )
a a a a a a a a a a
3 2 ( 1)
( (a1)(2 a) 0 , theo (*) ) Nên a 3 a 1
Vậy A 2 1 Dấu xảy
0 , , ;
( 1)(2 ) ;
6 a b c a b c
a a a b c
bc a
Vậy giá trị nhỏ biểu thức A 2 1 Đạt (a, b, c) = (2, 2, 1) hoán vị
Bài 87: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2017 – 2018)
Ta có
2
2
2
1 1
xz y z
xz y x z yz yz x
P
xz z
y y yz xz yz x z
yz x
yz
2 2
2 2
2
1 1 2
1 1
1 1
x y z
a b c
y z x
y x z b a c
z y x
,
trong
2 x, y, z , , 0
a b c a b c
y z x
(45)Nhận xét 2
2
1
x
a b do x z
z c
Xét
2 2 2 2
2
2 2
1 1 1
2
1 1 1
a a ab b b ab aba a b
a b ab
b a ab a b ab
2
2 3
2 1 1 1
ab a b a b a b a b
a b ab
Do 2 2 2
1 1 1
a b ab c
b a ab c
c
Đẳng thức xảy a b
Khi
2
2
1
c c c
2 2
2
2 1 1
2 1
c c c c c
c c 3 2 1 3
0
2 1 1
c
c c c
do c
c c c c
Từ 1 2 suy điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy a b c , 1 x y z
Bài 88: ( HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2018 – 2019)
Cách : Ta có x y 1 z z xy x y 1 xy x1 y1
1 1
x yz x y x y x xy y y x y y
1 1
y xz y x x y x y x
3
2 3
1
x y P
x y x y
Vì
3 2
3 3
4
0
4 1 1
0 x y xy
x y x y
x P
xy x y x y
y
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho ba số thực dương, ta có:
2 2
3
3
27
1
2 4 1 27
x x x x x
x x
x
Tương tự: 27 y y . 2 3
1 4
4 27 27 729
4 1
x y P
x y
Dấu “=” xảy ra:
2
2
5
x y x y
z z x y
Vậy 729 MaxP
, đạt tại
(46) 2 2
3 2
1
x yz y xz z xy x yz y xz z xy x y z
z z
P x y y x x y y x xy
2
2
1
1 zy zx z z 1 y x z z z
P x y xy x y xy
Vì
2
1
2; ;
y x
x y z x y xy x y
nên:
2 2
2
2 2
4
1 4
1 1 1
1
z z
z z
z z z z
P x y z z
2
2
4
1 12
1
1
1
z z
z z
P z z z
Đặt t z 1,
2
2
2
2
1 12 12
6
4 8
12 729
6
4 8 729
t t t
t
P t t t t
t t t
P
t t
Dấu “=” xảy ra:t 4,x y x y 2,z5
Vậy
4 729 MaxP
, đạt tại
2 x y
z
Bài 89: ( HSG TP HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2016 – 2017)
Với x, y > 0, ta có:
2y
x 1 x xy 2y 2xy xy x y y 2xy 1 x y
• Áp dụng bđt Cauchy, ta có
2 2
1 y 2xy y.2xy 2xy 1 8xy P xy 8
•
y 2xy
1
P 8 y 2xy x y 2 x; y
Bài 90: ( HSG TỈNH TRÀ VINH NĂM HỌC 2017 – 2018)
Theo điều đề ta có: 1- a > ; 1- b > ; 1- c > Nên theo BĐT Cơ-si, ta có:
2
1 (1 )(1 )
2
1 (1 )(1 )
2
1 (1 )(1 )
a b ab
b a b a
b c bc
c b c b
c a ca
a c a c
(47)
2( )
1 1
1 1 2( )
3
a c b c a b ab bc ca
b a c c ab a bc b ca
ab bc ca
hay
c ab a bc b ca
ab bc ca
c ab a bc b ca
Vậy maxP =
2 tại a = b = c =
Bài 91: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2007 – 2008)
Trước hết, với số thực dương a b, ta có
3 ( )( 2 ) ( )(2 ) ( )
a b a b a b ab a b ab ab ab a b
Từ a3b3 2c3 ab a b( ) 2 c3 2 2abc a b3( ) 2 (c a b2 ) 4c a b Hay a3b32c3 4c a b (1)
Tương tự b3c32a3 4a b c (2); c3a32b34b c a (3) Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta có điều cần chứng minh.
Đẳng thức xảy
3
3
2
( ) 2
( ) ( )
abc a b c
ab a b c a b c bc b c a
ca c a b
Bài 92: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2008 – 2009)
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có 2 2
3 a b c a b c
a2 b2 c22 a b c a b3 c3
Từ
2 2 2
3 3
2
3
(1)
a b c a b c a b c b c c a a b
a b c
a b c b c a c a b
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy
3
3 ( )( )( )
3 (2)
a b c b c a c a b abc b c c a a b abc abc
Từ (1),(2) suy điều phải chứng minh
Dấu đẳng thức xảy … a b c 3
Bài 93: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2009 – 2010)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
2
3
1 1
( )( )( )
2
a b b c c a a b c abc
a b b c c a abc
(48)2 2
(a b b c c a )( )( )c a b( )a b c( )b c a( ) 2 abc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacopsky-Schwarz
2 2
3
2
2
1 1
( ) ( ) ( )
2
1 1
2 c a b a b c b c a abc
a b b c c a abc
c a b a b c b c a abc
a b b c c a abc
c a b abc
Dấu “ = ” xảy c a b( )a b c( )b c a( ) 2 abc abc.6 a b c
Bài 94: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2010 – 2011)
Đặt
2
x a b c y a b c z a b c
, x, y, z >0 z y c x y b c b , (z y ) Suy b x z 2y a3c2y x
Khi
2 4( ) 8( )
17 4
y x x z y z y y x z y
P
x y z x y y z
¸p dụng BĐT Cauchy ta được: P 17 32 17 12 2 .
Đẳng thức xảy
2 2
2 4
;
y x z y
x y z
x y y z ,
Khi
2 2( ) 2( )
a b c a b c
a b c a b c
, suy
(1 2) (4 2)
b a
c a
Vậy giá trị nhỏ P 17 12 2 , đạt
(1 2) (4 2)
b a
c a
Bài 95: ( HSG TỈNH VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2011 – 2012)
Ta có:
2 2012 abc bcd cda dab a b c d
ab c d cd a b 2
ab 12 a b2 cd 12 c d2
2 2 2 2
1 1 1
a b a b c d c d a b c d
Suy
2 1 1 1 1 2012 a b c d
Bài 96: ( HSG TP VĨNH YÊN NĂM HỌC 2012 – 2013)
a) Ta có
2 2
2 2 2
a b c a b c
b c c a a b a b c b c a c a b
2
2 2
a b c a b c
a b c b c a c a b ab bc ca
(49)
3
ab bc ca ab bc ca
=1
Dấu đẳng thức xảy a b c
b) Nhận xét Nếu ,a b 0
2
2
3a 6b a2b 2 a b a 2b Từ nhận xét ta có 3a26b2 a ; 3b b26c2 b ; 3c c26a2 c 2a Do
2 2 2
2 2 2
2 2
3 6
a b c b c a c a b a b c b c a c a b
a b c
b c c a a b
b c c a a b
Dấu đẳng
thức xảy a b c
Bài 97: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2003 – 2004)
a) 5a2 + 5b2 + 8ab = 18 M = 18 – 4a2 – 4b2 – 8ab = 18 – 4(a + b)2 ≤ 18
Dấu “=” xảy a = –b thay vào đẳng thức: 10a2 – 8a2 = 18 a2 = a = ±3 Vậy: max M = 18 (a ; b) = (3 ; –3) (–3 ; 3)
b) 5a2 + 5b2 + 8ab = 18 9(a2 + b2) = 18 + 4(a – b)2 ≥ 18 9M ≥ 18 M ≥ 2 Dấu “=” xảy a = b thay vào đẳng thức: a = b = ±1
Vậy: M = a = b = ±1
Bài 98: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2006 – 2007)
2
2 2
(m n) m n m n m n 1
A 1
2mn mn mn m n (m n)(m n mn) m n mn
(Do m ≥ n ≥ nên:
1
1 ;
m n ) Dấu “=” xảy m = n = 1 Bở xung: có thể thêm u cầu tìm giá trị nhỏ của biểu thức A
Ta có:
2
2 2
(m n) m n m n m n 1 1
A
(m n)(m n mn) m n mn 2mn mn mn m n 2
Dấu “=” xảy m = n =
Bài 99: ( HSG TỈNH YÊN BÁI NĂM HỌC 2011 – 2012)
Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có:
\f(x,y+1 + \f(y+1,4 > 2\f(x,y+1\f(y+1,4 = ∙ \f(x,2 = x (1)
Tương tự \f(y,z+1 + \f(z+1,4 > y (2) , \f(z,x+1 + \f(x+1,4 > z (3) Cộng vế bất đẳng thức (1), (2), (3) ta
\f(x,y+1 + \f(y,z+1 + \f(z,x+1 + \f(y+1,4 + \f(z+1,4 + \f(x+1,4 > x + y + z \f(x,y+1 + \f(y,z+1 + \f(z,x+1 > \f(,4 (4)
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cơ-si ta có: x + y + z > = = (5)
bất đẳng thức Cauchy t khi