Tâm đường tròn này là trung điểm của BC.. Tâm là trung điểm của BH.[r]
(1)Bài 1: Cho DABC nhọn nội tiếp ( )O ; AD BE CF; ; ba đường cao Chứng minh
OA ^EF
Hướng dẫn giải Vẽ xy tiếp tuyến A (O)
à Ã
1
A ABC
ị =
(cùng chắn AC¼ )
· ·
AEF =ABC (BCEF nội tiếp) µ ·
1
A AEF
Þ =
mà hai góc vị trí so le nên EF/ / xy mà
EF OA ^xyÞ OA ^
Cách 2: Vẽ đường kính AK (O) Þ ACK· =90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O)) Þ AKC· +A¶2=90°
· ·
AKC =ABC ( góc nội tiếp chắn AC¼ )
·
1
ˆ
ABC =E
(BCEF nội tiếp)
· ·
AKC AEF
Þ =
· ¶
2 90
AEF +A = °
Gọi M giao điểm OA EF Þ DAME vng M
Chú ý: OB ^DF OC ^DE
Bài 2: Cho DABC nhọn, AD BE CF; ; ba đường cao cắt H a) Chứng minh AEHF tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh tứ giác BCFE nội tiếp
Hướng dẫn giải a) AEH· =AFH· =900 (BE, CF đường cao)
· · 180
AEH AFH
Þ + = °
⇒ Tứ giác AEHF nội tiếp * Xác định tâm"
·AEH
Þ góc nội tiếp AEH =· 90°
⇒ AH đường kính Tâm đường tròn trung điểm AH
(2)⇒ BC đường kính Tâm đường tròn trung điểm BC 1) Tứ giác loại 1:
- BDHF nội tiếp Tâm trung điểm BH - CDHE nội tiếp Tâm trung điểm CH 2) Tứ giác loại 2:
- ABDE nội tiếp Tâm trung điểm AB - ACDF nội tiếp Tâm trung điểm AC
Bài 3: Cho DABC nhọn, AD BE CF; ; ba đường cao cắt H Chứng minh H tâm đường tròn nội tiếp DDEF
Hướng dẫn gii T giỏc BCEF ni tip
à ả
1
F B
Þ = ( hai góc nội tiếp chắn EC¼
) Tc giỏc BDHF ni tip
à ả
2
F B
Þ =
(hai gúc ni tip cựng chn HDẳ )
à
1 2
F F
Þ =
FH
Þ đường phân giác ·DFE Tương tự DH phân giác ·EDF
Vậy H giao điểm đường phân giác DDEF nên H tâm đường tròn nội tiếp DDEF
Bài 4: Cho DABC nhọn, AD BE CF; ; ba đường cao cắt H O trung điểm BC Chứng minh F, E, O, D thuộc đường tròn
Hướng dẫn giải Từ tập ta có EF· D =2B¶1
Tam giác OBE cân O có
· ¶
1
2 EOC = B
(góc ngồi tam giác)
· ·EF
EOC D
Þ =
· · · ·
EFD+EOD =EOD+EOC =180°
(3)điểm E, F, D, O thuộc đường tròn
Bài 5: Cho DABC nhọn, AD BE CF; ; ba đường cao cắt H Vẽ đường kính AK Chứng minh BHCK hình bình hành
Hướng dẫn giải Chỉ BE KC/ / Þ BH KC/ /
Chỉ CF KB/ / Þ CH/ / K B
Từ suy BHCK hình bình hành
Bổ trợ: Gọi M trung điểm BC, chứng minh H, M, K thẳng hàng
và
1
OM = AH
Bài 6: Cho DABC nhọn, AD BE CF; ; ba đường cao cắt H AH cắt ( )O D' Chứng minh D' H đối xứng qua BC
Hng dn gii HD:
ả
1
B =A (cùng phụ với ·ACB )
ả
2
B =A
(cựng chn D Cẳ' )
ả ả
1
B B
Þ =
BD vừa đường cao, vừa tia phân giác tam giác BHD đỉnh B nên DBHD' tam giác cân BD đường trung trực HD' Vậy D' H đối xứng qua BC
Mở rộng:
'
F đối xứng với H qua F
'
E đối xứng với H qua E.
(4)Bài 7:
a)ABC ADE hai cát tuyến (O) Chứng minh AB AC =AD AE
b) ABC cát tuyến (O), AD tiếp tuyến (O) Chứng minhAD2=AB AC Hướng dẫn giải
a) DABE”DADC (g.g)
AB AE
AB AC AD AE AD AC
Þ = Þ =
b) BCD· =D¶1 (góc tạo tiếp tuyến dây
cung)
µA góc chung.
ABD ADC
D ”D (g.g)
2 .
AB AD AD AB AC AD AC
Þ = Þ =
Khai thác: AD2=OA2- OD2=OA2- R2
2 2
AB AC =OA - R =AD
(5)ACE ADB
D ”D (g.g)
AC AE AC AB AD AE AD AB
Þ = Þ =
Bài 9: DABC nhọn, AD, BE, CF đường cao cắt H Chứng minh
DB DC =DH DA
Hướng dẫn giải DBH DAC
D ”D (g.g)
DB DH DB DC DA DH DA DC
Þ = Þ =
Bài 10: Cho (O) đường kính AB, dây CD ^AB H Tiếp tuyến C cắt AB M Chứng minh BM AH =BH AM
Hng dn gii
ẳ Ã
CD ^AB ị BC =BD
¶ ¶
1
C =C CB
Þ tia phân giác góc
HCM DHCM BH CH BM CM
Þ =
( )1
· 90
ACB = ° Þ CA tia phân giác ngồi góc C DHCM
AH CH AM CM
(6)Từ ( )1và ( )2
BH AH BM AM
Þ =
BM AH BH AM
Þ =
Bài 11: Cho (O; R) đường kính AB, tiếp tuyến B C cắt D; kẻ CH ^AB Chứng minh AD qua trung điểm I CH
Hướng dẫn giải
C1: IH DB/ /
2
IH AH AH DB = AB = R
Chỉ OD AC/ / (cùng vuông góc với BC)
( ) CHA DBO gg
Þ D ”D
CH AH AH DB BO R
Þ = =
Từ suy
1
IH = CH
C2: Kéo dài AC cắt BD E.
Chỉ DE =DB =DC
Talet