ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BUNHACOPSKI ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT. A.[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ :
ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BUNHACOPSKI ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A LÍ THUYẾT CƠ BẢN
I/ Bất đẳng thức Cô -si ( cauchy):
Với số không âm a;b 2 2
a b ab ( (a b )2 0 a2 2ab b 2 0 a2b22ab )
a+b 2√ab ( tương tự )
+ Với a ≥ 0, b ≥ a + b ≥ √ab (1) Dấu ‘ = ‘ xảy a = b
Từ đẳng thức (1) ta suy ra:
+ Nếu a.b =k ( khơng đổi) (a +b) = √k ⇔ a = b
+ Nếu a +b = k (khơng đổi ) max( a.b) = k2
4 ⇔ a = b
+ Với a1, a2, a3, …., an ≥ a1+ a2 + a3 + ….+ an ≥ n √na1 a2 a3 an ( 2)
Dấu ‘ = ‘ xảy a1 = a2 = a3 = … = an
Từ đẳng thức (2) ta suy ra:
+ Nếu a1.a2.a3 … an = k (khơng đổi ) min(a1+ a2 + a3 + ….+ an ) = n √nk
⇔ a1 = a2 = a3 = … = an
+ Nếu a1+ a2 + a3 + ….+ an = k (khơng đổi ) m
+ Mở rộng BĐT Cô- si
1 Với số a, b, c không âm a+b+c 33
√abc
Dấu “=” xảy ⇔ a=b=c
(2)Dấu “=” xảy ⇔ a=b=c=d
3 Đối với n số không âm: a ❑1 , a2, a3, , an 0 Ta có: a1+a2+a3+ + an≥ n
n
√a1a2a3 an
Dấu “=” xảy ⇔ a1=a2=a3= .=an
+ Biến dạng :
(a b ) 4ab
1
a b a b
2 2
( )
m n p m n p
x y z x y z
với x;y;z >0
II/ Bất đẳng thức Bunhiakopski
+Với số a;b;c;d ta có : (ac bd )2 (a2b2)(c2d2)
Dấu ‘ =’ xảy
a b c d
+Tổng quát : Cho hai x x1, , ,2 xn y y1, , ,2 yn
Ta có:
2 2 2 2 2 2 2
1 2 n n n n
x y x y x y x x x y y y
Dấu xảy
1
1
n
n
x x x
y y y
(3)
Bài : Cho a;b;c >0
3
a b c
Tìm GTNN
2 2
2 2
1 1
S a b c
b c a
Bài giải :
( Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky)
2 2
2
1
(a )(1 ) (a )
b b
2
1
( )
17
a a
b b
Tương tự:
2 2
2 2
1 1
S a b c
b c a
( 4 4)
17 a b c a b c
4 4 1 51
(16 ) (16 b ) (16 ) 15( ) 16 16 16 15
2
a b c a c a b c
a b c a b c
(Áp dụng BĐT Cô si )
Suy :
1 51 51
17 17
S
=>
51 17 Min
S
4 16
4 16
4 16
3
; ;
a a b
b c
c a b c a b c
a= b= c =
1
Bài 2:
Cho a;b;c số dương thỏa mãn a+b+c12
Tìm GTNN
a b c
P
b c a
Bài giải
Ta có :
2 2
2 ( a b c )2 a b c 2(a b b c c a)
P
b c a
b c a c a b
(4)Áp dụng BDT Cô si cho số dương :
Ta có :
4
a a b a b
c a b c c
4
b b c b c
a b c a a
4
c c a c a
b c a b b
=>
2 2
2 (a a b a b c) (b b c b c a) (c c a c a b) (a b c)
P
b c c c a a a b b
3(a+b+c) 3.12 =36
Vì P>0 => P 6
Min
P Khi a =b =c = 4
Bài 3
Tìm GTNN : A x 2 y biết x+y = Áp dụng BĐT Bunhiacosky ( A0)
2 ( 2 3)2 (12 1 )(2 2 3) 2(6 5) 2
A x y x y
=>A
2
Min
A
5
2 2
6
2
x
x y
x y
y
Bài 4
Tìm GTNN
2 2
1 2017 2017
( )
x x x
M
x x x x
(5)2 2 2
1 2 2017
1 2017
( 2016 ) ( 2016 ) ( 2016 )
2016
( )
x x x x x x
M
x x x x
Áp dụng BĐT cô si
1 2017 2017
2 2016 ( )
2016 2016
( )
x x x x
M
x x x x
2 2016
M
2 2016 Min
M
Khi
2 2017
2016
x
x x x
Bài 5
Cho a3b3 2 ;a >0; b >0 Tìm GTLN N= a + b
Bài giải
+ Chứng minh BĐT : a3b3ab a b( ) ;
3 ( )( 2 ) ( )(2 ) ( )
a b a b a b ab a b ab ab ab a b
+ a3b3ab a b( ) => 3(a3b3) ( ab a b ) 4(a3b3)a3b33 (ab a b ) (a b)
Nên 23(a b )3 N a b
Max
N a = b = 1
Bài 6
Cho a;b;c số thực dương thỏa mãn abc=1 Tìm GTLN :
5 5 5
ab bc ca
P
a b ab b c bc c a ca
Bài giải
+ Ta chứng minh BĐT : a5b5a b3 2a b2 a b a b2 2( )
+Ta có
5 2 2 2
(6)( )
.abc a b c a b c
ab ab
c c
Vậy 5
a b ab ab.a b c
c
hay 5
ab c
a b aba b c (1)
Tương tự : 5
bc a
b c bca b c (2)
5
ac b
a c ac a b c (3)
Từ (1)(2)(3) Suy :
5 5 5
ab bc ca a b c
P
a b ab b c bc c a ca a b c
1 Max
P a= b= c=1
Bài 7
Cho a;b >0 ; a+b Tìm GTNN :
2
1
A a b
a b
Bài giải
+Ta có :
1
1
4
a b ab ab
+ 2 2 2
1 1 15 1
( ) ( ) ( )
2 16 2 16 16
a a b b
A a b
a b a b a b
3
2
1
3( )
2 16 2 16
a a b b
a b
+
15 16 ab
3 15
1 4 16
4
9 Min
A Khi a =b=
Bài 8
(7)2 4
1
A
x y x y
Bài giải
2
2 2
3
2 4 2 4
1
1 [ 1]
x x
y y
x y x y
A
x y x y x xy y x xy y x x x
y y y
2 2
3 3
( 1) ( 1)
1 1
1 ( 1) 1
t t t t t t
t t t t t
t 0
Max
A t = => x =y = 1
Bài 9
Cho x;y;z >0 thỏa mãn xyz =1 Tìm GTLN :
3 3 3
1 1
1 1
A
x y y z z x
Bài giải
+ ta có : x3y3xy x y( ) =>x3y3 1 xy x y( ) xyz xy(x y z)
+ 3 3 3
1 1
1 1
A
x y y z z x
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
z x y
xy x y z yz x y z xz x y z xyz x y z yzx x y z xzy x y z
=
1
x y z x y z
Max
A x =y = z= 1.
Bài 10
Cho a;b;c >0 a+b+c =2016 Tìm GTNN :
2 2 2
M a ab b b bc c c ca a
(8)+ Ta có a2 ab b 3(a b )2(a b) a b
Tương tự b2 bc c b+c
c2 ca a c+a
Nên suy
2M2 (a+b+c) =2 2016
=>M 2016
=>AMin 2016 a =b =c = 2016:3 =672
Bài 11
Cho x;y;z>0 Tìm GTNN :
x y y z z x A
z x y
Bài giải
+Ta chứng minh 2(a b ) a b
+Ta có
2(x y) 2(y z) 2(z x)
A
z x y
x y y z z x x z y z x y
z x y z x z y y x
2 2
+ Suy A 3
Min
A Khi x =y =z
Bài 12
Cho a;b;c >0 a+b+c =3 Tìm GTNN :
2 2
2 2
2 2
a b c
A
a b b c c a
(9)Bài giải
+ Chứng minh BĐT :
2 2 ( )2
m n p m n p
x y z x y z
với x;y;z >0
+Ta có :
2 2
2 2
2 2
a b c
A
a b b c c a
2
2 2 2
( )
2( ) 2( )
a b c
a b c a b c a b c
2
9
1
( )
3
3
a b c
1 Min
A Khi a=b=c = 1.
Bài 13
Cho x;y >0 x+y+xy =8 Tìm GTNN : A x 2y2
Bài giải
+Ta có x +y 2 xy
=>xy + 2 xy hay
2
1
xy
=> xy 1 =>xy
+ Ta có
2 2 2
9 xy (x y 1) x y 1 2(x y xy )x y 17
Vì xy => –xy =>
2 2 2
9 xy 25 x y 17 25
Suy A
Vậy AMin8 x = y =2
Bài 14
(10)2 2
1 1
( 1) ( 1) ( 1)
A
x y z
Bài giải
+ Áp dụng BĐT cô si với số khơng âm ta có :
3
1 1
3
( 1) 8 64
x x
x
=>
1
( 1) 4
x x
Dấu “ =” xảy x =1
Tương tự y ; z
+ 2
1 1
( 1) ( 1) ( 1)
A
x y z
3
3
3
3
4 4 4
xyz x y z
Bài 15
Cho a 10; b100 ; c1000 Tìm GTNN : 1
A a b c
a b c
Bài giải
Ta có :
1 1
A a b c
a b c
1 1 1 99 9999 999999
( ) ( ) ( )
100a a 10000b b 1000000c c 100a 10000b 1000000c
1 1 99 9999 999999
2( ) 10 100 1000
10 100 1000 100 10000 1000000
=1110.111 Vậy AMin1110.111 a =10 ; b = 100; c =1000
Bài 16
Cho x;y;z >0 thỏa mãn x+y +z 20
11 Tìm GTNN 1
A x y z
x y z
(11)Bài giải
Ta có
1 1
A x y z
x y z
=
1089 1089 1089 689 689 689
( ) ( ) ( ) ( z)
400 xx 400 yy 400 zz 400x400y400
1089 1089 1089 689 20 1489
2 2
400 400 400 400 11 220
Vậy
1489 220 Min
A
x = y =z =
20 33
Bài 17
Cho số thực dương a;b;c thỏa mãn a+b+c =2 Tìm GTLN của:
2 2
ab bc ca
A
c ab a bc b ac
Bài giải
+ Ta có
1
2 ( ) ( )( )
ab ab ab ab
b c c a c ab a b c c ab b c c a
+ tương tự hạng tử lại
Ta suy
1
2 2
ab bc ca ab ab bc bc ca ca
A
b c c a b a a c c b b a c ab a bc b ac
1
.( )
2
ab ca ab bc bc ca
a b c
b c c a a b
1
A => AMax 1 Khi a =b=c =
2 3
Bài 18
Cho a;b>0 a+b Tìm GTNN :
2
2
1
A a b ab
a b
(12)Ta có
2
2 2 2
1 1 29 1
( ) ( ) ( ) ( )
16 16 32 32 32
A a b ab
a b a b a b
2 2 2
1 1 29
2 2
16 16 ab 32 a b 32 a b
=
1 29
1
16 16
ab
ab ab
1 29
1
16 4( )
ab
ab a b
=1+
1 29 35
2 4
A 35
4 =>
35 Min
A
Khi a =b =
1
Bài 19
Cho x;y;z >0 x+y+z =2 Tìm GTNN :
2 2
x y z
A
y z z x x y
Bài giải
Áp dụng BĐT cô si cho số dương:
2
2( ) 2 (2 ) 2
x x
k y z k y z kx
y z y z ;(k>0) với Điểm rơi
2
x y z
=>
4
k
+Ta có
2 2
x y z
A
y z z x x y
2 2
1 1
( ) (x ) ( )
4 4
x y z
y z z y x
y z z x x y
-1
( )
2 x y z
2 1 1 1
2 ( ) (x ) ( )
4 4
x y z
y z z y x
y z x z y x
1
( )
2 x y z
=(x+y+z)-
1
( )
2 x y z =
( )
2 x y z =1
Suy Min A=
2
x y z
(13)Bài 20
Cho số x;y;z không âm, không đồng thời 0; thỏa mãn
1 1
1
1
x y z
Tìm GTNN :
1
A x y z
x y z
+ Ta có :
1 1
1
1 x y z
x y z x y z
(Áp dụng BĐT :
2 2 ( )2
m n p m n p
x y z x y z
với x;y;z >0)
+ Áp dụng BĐT cô si :
1 8( ) 8.3 10
( )
9 9
x y z x y z x y z
A
x y z x y z
Vậy Min A =
10
3 Khi x+y+z =3;( x;y;z không âm, không đồng thời 0)
Bài 21
Cho xyz =1 ; x +y +z = Tìm GTNN : 16 16 16
P x y z
Bài giải
+ Áp dụng BĐT:
2 2 ( )2
m n p m n p
x y z x y z
với x;y;z >0; cách liên tục
Ta có : P x 16y16z16
2 4
8 8 4 4
3
( )
3
( ) ( )
1 1 3
x y z
x y z x y z
4 8
2 2 2
2 2
3 7
( ) ( )
3 ( ) 3
3
3 3
x y z x y z
x y z
(14)Bài 22
Cho a;b;c > thỏa mãn a+b +c = Tìm GTNN của:
2 2
2 2
1 1
A
a b c
Bài giải
+ Ta có :
2
2 2
2 ( 1)
2 2
1 1
a a
a a a a
a a a
Tương tự ta có :
2
1b b
2
1c c
Nên suy : 2
2 2
1 1
A
a b c
2-a + 2- b + – c = – (a+b+c) =6 -3 =3
Min A = a = b= c =
Bài 23.
Cho x>0;y>0 x + y = Tìm GTNN :
2 1 1 A x y Bài giải
Ta có : 2
1 1 A x y = 1 1 x y 1 1 x y = 1 1 x y .
(x 1)(y 1)
xy = 1 1 x y .
( y)( x)
xy = 1 1 x y =
1 1 1
1 x y 1
xy x y xy xy xy xy xy
Mặt khác Áp dụng BĐT :
2
( )
4
(15)=>A
2
1
1
Vậy Min A = Khi x = y =
1 2
Bài 24
Cho x;y;z >0 thỏa mãn xy + yz + zx Tìm GTNN :
4 4
3 3
x y z
A
y z z x x y
Bài giải
+ Ta chứng minh : (x y z )2 3(xy yz zx) 9
Hay x y z 3
+ Áp dụng BĐT cô si cho số dương ta có :
4
4
3 1 1
4
3 16 4 16 4
x y z x y z
x
y z y z
Nên :
4 3 1 1 3 1
3 16 4 16
x y z y z
x x
y z
Tương tự :
4 3 1
3 16
y z x
y z x
3
3 16
z x y
z x y
Suy
4 4
3 3
x y z
A
y z z x x y
3 3 3 3
( )
16 16 16 4
y z z x x y
x y z x y z
Vậy Min A =
3
(16)Bài 25
Cho x;y;z >0 thỏa mãn x +y +z = Tìm GTNN :
2 2 2
A x xy y y yz z z zx x
Bài giải
+ Ta có :
2
2 ( )2 ( )2 ( ) 3( )
4
x y x y
x xy y x y xy x y
( Áp dụng BĐT : (a b )2 4ab )
Nên suy :
2 3( )
2
x y x xy y
+ Tương tự :
2 3(y )
2
z y yz z
2 3(z )
2
x z zx x
Vậy A x2xy y y2yz z z2zx x
3( ) 3(y ) 3(z )
3( )
2 2
x y z x
x y z
=>Min A = Khi x =y =z =
1
Bài 26
Cho x;y;z>0 thỏa mãn
1 1
x y z Tìm GTNN :
2 2 2
2x y 2y z 2z x
A
xy yz xz
Bài giải
+ Áp dụng BĐT Bunhicosky
2 2 2
(17)=>
2
2 2 (2 x y)
2 (2 x y)
3 3
x y x y
xy xy y x
Tương tự ta có :
2
2
3
y z
yz z y
2
2
3
z x
zx x z
Do :
2 2 2
2x y 2y z 2z x
A
xy yz xz
1 2 1 1 1
.3 3
3 y x z y x z x y z
Vậy Min A = Khi x = y= z =
Bài 27
Cho a;b;c > thỏa mãn abc =1 Tìm GTNN :
3 3
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
a b c
A
b c a c b a
Bài giải
+Áp dụng BĐT cô si cho số dương :
3
3
1 1
3
(1 )(1 ) 8 (1 )(1 ) 8
a b c a b c
a
b c b c
Tương tự :
3
1
(1 )(1 ) 8
b a c
b
a c
3 1 1 3
(1 )(1 ) 8
c a b
c
a b
Ta có :
3 3 1 1 1 1 1 1 3
( )
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 8 8 8
a b c b c a c a b
a b c
b c a c b a
3 3 1 3
( 3) ( )
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
a b c
a b c a b c
b c a c b a
(18)3 3 3 1 1 3
( ) ( 3) ( )
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4
a b c
A a b c a b c a b c
b c a c b a
3
1 3
.3 3.1
2 abc 4
Vậy Min A =
3
4 , Khi a = =b = c=
C BÀI TẬP :
1 Cho a,b,c > a + b + c =
Tìm GTNN A = (1+ 1a ) (1+ 1b ) (1+ 1c ) Cho a,b, > a + b =
Tìm GTNN B = ab2 +
a2
+b2
3 Cho a,b,c >
a) Tìm GTNN C = b+ca + b
c +a+ c a+b
b) Tìm GTNN D = b+ca + b
c +a+ c a+b+
b+c a +
c+a b +
a+b c
4 Cho x,y,z −3
4 x + y + z =
Tìm GTLN E = √4 x +3+√4 y+3+√4 z +3
5 Cho a,b,c a + b + c =